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![初二数学最新课件-相似三角形的识别[下学期]华师大版 精品](https://img.taocdn.com/s1/m/bcbee0cf79563c1ec5da71cf.png)
华师版八年级数学相似三角形复习练习华师大版华师版八年级数学相似三角形复习练习一.【方法指导与教材延伸】1．在数学上,把具有形状的图形称为相似形.2．在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做,简称.3.已知四条线段a.b.c.d,如果a∶b＝c∶d,那么a.b.c.d叫做组成比例的,线段a.d叫做比例 ,线段b.c叫做比例,线段d叫做a.b.c的.比例中项:如果比例内项是两条相同的线段,即,那么线段b叫做线段a和c的比例中项.4. 比例的性质:a∶b＝c∶d;a∶b＝b∶c5．两个相似形的特征:对应边成比例,对应角相等;6．识别两个多边形是否相似的方法:如果两个多边形,那么这两个多边形相似7．相似三角形:定义: 的三角形叫相似三角形.如△ABC与△A/B/C/相似,记作:.相似比:相似三角形的比叫相似比,若△ABC∽△A/B/C/,相似比为k,则△A/B/C/与△ABC的相似比是.即相似比是有顺序的.8．相似三角形的识别方法:(1)定义法:的两个三角形相似.(2)平行线法:的直线和其它两边(或两边的延长线) ,所构成的三角形与原三角形相似.注意:适用此方法的基本图形,(简记为A型,_型)∵ED∥BC,∴△ABC∽△AED(3)的两个三角形相似.(4)的两个三角形相似.(5)的两个三角形相似.(6)对应成比例的两个直角三角形相似.(7)被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似.3．相似三角形的识别方法的选择:(1)已知有一角相等时,可选择方法和方法;(2)已知有二边对应成比例时,可选择方法和方法;(3)若有平行条件时,可考虑方法;(4)有直角三角形时,可考虑方法4.相似三角形的性质(1)相似三角形的对应角相等,对应边成比例．(2)相似三角形对应的比.对应的比.对应角的比都等于相似比．(3)相似三角形的比等于相似比．以上各条可以概括为:相似三角形的对应之比等于相似比．(4)相似三角形面积之比等于．5．相似三角形性质的作用综合使用相似三角形的性质与相似三角形的识别可以解决以下问题:(1)可用来证明线段成比例.角相等.线段相等.垂直.平行等;(2)可用来计算周长.边长.角度等;(3)用来证明线段的平方比.图形面积的比等.注意:(1)求三角形某边长,可根据相似三角形的性质,得到对应线段成比例,再利用方程的思想方法,解出所求线段．(2)有关三角形或其它图形面积的题目,常用到两个知识点:一.是三角形面积公式:S＝底_高,这里特别注意图形中〝同高〞这个隐含条件,二.是相似三角形的面积比等于相似比的平方.3．直角三角形中的比例线段是这部分内容的一个重点．如图,由Rt△ACD∽Rt△CBD∽Rt△ABC,得AC2＝AD·AB,BC2=BD·AB,CD2=AD·DB．熟记这三个等式有时会给解题带来很大的方便,尤其解几何综合题更明显,但须注意,在使用它们时,一定要证明这三个直角三角形相似．二 .例题选讲例1:已知线段a＝15厘米,b＝20厘米,c＝75毫米,d＝0.1米,问这四条线段成比例吗?说明:在线段求比时,线段的长度单位要统一;要同单位下,两线段的比值是无单位的正数.例2:已知线段a＝7,b＝4,求线段a＋b与a－b的比例中项.说明:(1)此处是求线段的比例中项,所以只能取正值,但实际上,比例中项并不一定都是指两条线段,两个数.两个字母同样也可以求出它们的比例中项,并且比例中项也可为负.(2)所以在求比例中项时,一定要看清是求线段的比例中项,还是两个数的比例中项,它们的结果不一样的.例3:已知,且3_＋4z－2y＝40,求_.y.z的值.说明:设k法是有关比例式计算题中常用的方法,应学会.掌握.例题4:判断正误,并简要说出理由(1)两个矩形一定相似.;(2)两个菱形都有一个角是400,那么这两个菱形相似(3)两个正方形一定相似.(4)有一个角相等的两个等腰梯形相似.例题5:如图,E.F分别为矩形ABCD的边AD.BC的中点,若矩形ABCD与矩形EABF相似,AB＝1,求矩形ABCD的面积说明:运用相似多边形特征解题,应注意确定对应边.对应角,这里的AB是大矩形的宽,那么它只能中小矩形的长,大矩形宽与长的比等于小矩形宽与长的比.例题6:(1).如图,DE∥BC,EF∥AB,则图中相似形三角形有对,分别是.(2).如果AD＝5,DB＝3,FC＝2,则△ADE与△ABC的相似比是 ;如何求出BF的长?例题7:如图,在四边形ABCD中,E是对角线BD上的一点,EF∥AB,EM∥CD,求的值.例题8:如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,则图中有对相似三角形, 当△∽△时,则有;要AC·CE＝CB·CD,则应找哪两个三角形相似?解:例题9:如图,在△ABC中,AB＝AC,AD是中线,P是AD上一点,过点C作CF∥AB,延长BP交AC于点E,交CF于点F,说明:BP2＝PE·PF.解:说明:当成比例的四条线段在同一直线上时,可用相等的线段代换的方法来分散开来,后再找相似三角形例10．如图,在△ABC中,DE∥FG∥BC,并将△ABC分成三块S1.S2.S3,若S1︰S2︰S3＝1︰4︰10,BC＝15,求DE.FG的长例11如图,在△ABC中,D是BC边上的中点,且AD＝AC,DE⊥BC,DE与AB相交于点E,EC与AD相交于点F.(1)说明:△ABC∽△FCD(2)若S△FCD＝5,BC＝10,求DE的长.三【同步练习】练习一一.判断题:1．所有的三角形都相似; 2．所有的梯形都相似;3．所有的等腰三角形都相似;4．所有的直角三角形都相似;5．所有的矩形都相似;6．所有的平行四边形都相似;7．大小的中国地图相似;8．所有的正多边形都相似.二.填空:1．延长线段AB到C,使BC＝AB,则AC︰AB＝ ,AB︰BC＝ ,BC︰AC＝2．在比例尺为1︰500000的地图上,量得甲.乙两地的距离是25㎝,则两地的实际距离是 .3．已知点P在线段AB上,且AP︰PB＝2︰5,则AB︰PB＝ ,AP︰AB＝4．如图,已知,AD＝15,AB＝40, AC＝28,则AE＝ .5．已知:线段a＝3,b＝2,c＝4,则b.a.c的第四比例项d＝;则a.b.(a－b)的第四比例项是;3a.(2a－b)的比例中项是.6．已知:数3.6,请再写出一个数,使这个数是另外两个数的比例中项,这个数是.7．已知:则.8．已知,且3y＝2z＋6,则_＝ .y＝ .9．把一个矩形的硬纸片剪去一个正方形,若剩下的矩形与原矩形相似,那么原矩形的长边和短边之比为 .三.判断下列各组线段是否成比例?1．4㎝.6㎝.8㎝.2㎝;2．1.5㎝.4.5㎝.2.5㎝.7.5㎝3．1.1㎝.2.2㎝.3.3㎝.6.6㎝; 4．2㎝.4㎝.4㎝.8㎝.四.解答题:1．已知:3_－5y＝0,求:(1);(2);(3)2．已知:_︰y︰z＝2︰3︰4,求:的值.练习二一.填空:1.如图(1),在中,R在BC的延长线上,AR交BD于P,交CD于Q,若DQ∶CQ＝4∶3,则AP∶PR＝图(1)图(3)图(4)2.如图(2),在梯形ABCD中,CD∥AB,AC.BD交于点O,过点O作AB的平行线交AD于点E,交BC于点F,则图中有对相似形三角形;若DC＝9,AB＝15,则OD∶OB＝,EF＝.3.如图(3),在△ABC中,∠BAC＝900,CE平分∠ACB,AD⊥BC,垂足为D,AD.CE相交于点F,则△AFC∽△ .4.如图(4),要使△AEF∽△ABC,已具备的条件是,还需补充的条件是或或.5.如图(5),点D是△ABC内一点,连结BD并延长到E,连结AD.AE,若∠BAD＝200,,则∠EAC＝图(5)图(6)6.在△ABC中,AD⊥BC,DE⊥AB,则有AD2＝,ED2＝,BD2＝.若DF⊥AC,则还有线段是比例中项.二.解答题:1.如图(1),在中,对角线AC.BD相交于点O,BC＝18,E为OD的中点,连结CE并延长交AD于点F,求DF的长.2.如图(3),在△ABC中,E.F分别是AC.BC的中点,AF与BE交于点O,ED∥AF,交BC 于点D,求BO∶OE的值.3.如图,AE2＝AD·AB,且∠ABE＝∠C,试说明△BCE∽△EBD.4.如图,已知,试说明:AB·EC＝AC·BD.5.如图,D是△ABC内一点,在△ABC外取一点E,使∠CBE＝∠BAD,试说明△ABC∽△DBE6.如图,在△ABC中,AB＝8,AC＝6,点D在AC上,AD＝2,试在AB上求一点E,使△ADE 和△ABC相似,并求出AE的长.7.如图,在直角梯形ABCD中,AB＝7,AD＝2,BC＝3,如果边AB上的点P使得以P.A.D 为顶点的三角形和以P.B.C为顶点的三角形相似,则这样的P点有个8.如图,点C.D在线段AB上,△PCD是等边三角形,①当AC.CD.BD满足怎样的关系时,△ACP∽△PDB?②当△ACP∽△PDB时,求∠APB的度数.练习三一.填空:1．如果两个相似三角形对应高的比为4:5,那么它们的面积比为2．把一个三角形变成和它相似的三角形,而面积扩大为原来的100倍,则边长扩大为原来的倍.3．如果两个相似三角形的面积比为8,周长比为k,那么＝.4．在△ABC中,DE∥BC,,且S△ABC＝8cm2,那么S△ADE＝cm25．如图(2),C为线段AB上的一点,△ACM.△CBN都是等边三角形,若AC＝3, BC＝2,则△MCD与△BND的面积比为.6．如图(3),在△ABC中,D.E分别是AB.AC的中点,则△ADE与四边形DECB的面积之比为.7．如图(4),DE∥FG∥BC,且S△ADE＝S梯形DFGE＝S梯形FBCG,则DE:FG＝.8．如图(5),在梯形ABCD中,AD∥BC,AC.BD交于O点,S△AOD:S△COB＝1:9,则S△DOC:S△BOC＝二.解答:1.在△ABC中,∠C＝900,BC＝8㎝,AC︰AC＝3︰5,点P从点B出发,沿BC向点C以2㎝/s的速度移动,点Q从点C出发沿CA向点A以1㎝/s的速度移动,如果P.Q分别从B.C同时出发:⑴经过多少秒△CPQ∽△CBA?⑵经过多少秒时,以C.P.Q为顶点的三角形恰与△ABC相似。
初二数学相似三角形华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：相似三角形［重点、难点］相似三角形的证明及应用［教学过程］知识精析：1. 主要知识结构：【典型例题】1. 基本知识概念应用例1. 若△ABC∽△A'B'C'，∠A＝45°，∠B＝100°，则∠C'＝___________。
分析：△ABC∽△A'B'C'∠C'与∠C是对应角，∠C＝∠C'∠C＝180°－∠A－∠B＝35°例2. 已知_______________分析：设则则例3. 若x：y：z＝2：7：5，且，求的值。
分析：x：y：z＝2：7：5设x＝2k，y＝7k，z＝5k∵∴∴k＝2∴x＝4，y＝14，z＝10∴2. 基本图形的识别及应用例1. 如图，DE∥BC，AD：DB＝1：4，EC－EA＝9，求AE。
分析：DE∥BC又∵EC－EA＝9则得：EA＝3例2. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O。
（1）若S△AOD：S△ACD＝1：3，则AO：AC＝_____________，AO：OC＝_____________，S△AOD：S△BOC＝_____________；（2）若S△AOD＝4，S△BOC＝9，则AO：CO＝_____________，AC：OC＝_____________，S△ABC＝_____________，S梯形ABCD＝_____________分析：（1）若S△AOD：S△ACD＝1：3∵△AOD与△ACD为等高三角形∴∴AO：AC＝1：3，又∵△AOD∽△BOC∴（2）若∵△AOD∽△BOC∴∴，∴AC：OC＝5：3又∵△ABC与△BOC为等高三角形∴∴S△ABC＝15，同理：S△ADC＝10∴S梯形ABCD＝25例3. 如图所示，∠ACB＝∠D＝90°，，AD＝2，当AB＝___________时，两个直角三角形相似。
教学目标1．知道相似三角形的概念；会根据概念判断两个三角形相似。
2．能说出相似三角形的相似比，由相似比求出未知的边长。
教学过程一、复习什么是相似形?识别两个多边形是否相似的标准是什么?二、新课1．相似三角形的有关概念：由复习中引入，如果两个多边形的对应边成比例，对应角都相等，那么这两个多边形相似．三角形是最简单的多边形．由此可以说什么样的两个三角形相似?如果两个三角形的三条边都成比例，三个角对应相等，那么这两个三角形相似，如在△ABC 与△A′B′C′中，∠A＝A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′那么△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′；“∽”是表示相似的符号，读作“相似于”，这样两三角形相似就读作：“△ABC相似于△A′B′C′”。
由于∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，所以点A的对应顶点是A′，B与B′是对应顶点，C与C′是对应顶点，书写相似时，通常把对应顶点写在对应位置上，以便比较容易找到相似三角形中的对应角、对应边．如果记＝K，那么这个K就表示这两个相似三角形的相似比．相似比就是它们的对应边的比，它有顺序关系．如△ABC∽△A′B′C′，它的相似比为K，即指＝K，那么△A′B′C′与△ABC的相似比应是，就不是K了，应为多少呢?同学们想一想?2．△ABC中，D，E是AB、AC的中点，连结DE，那么△ADE与△ABC相似吗?为什么?如果相似，它们的相似比为多少?如果点D不是AB中点，是AB上任意一点，过D作DE∥BC，交AC边于E，那么△ADE与ABC 是否也会相似呢?判断它们是否相似，由①对应角是否相等，②对应边是否成比例去考虑。
能否得对应角相等?根据平行线性质与一个公共角可以推出①，而对应边是否成比例呢?目前还没有什么依据，同学们不妨用刻度尺量一量，算一算是否成比例?通过度量，计算发现．所以可以判断出△ADE与△ABC会相似。
若是如图DE∥BC，与BA、CA延长线交于D、E，那么△ADE与△ABC还会相似吗?试一试看。
初二数学知识点相似三角形
初二数学的知识点中有关相似三角形的内容包括：
1. 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应角相等，并且对应边的比值相等，则称这两个三角形相似。
2. 相似比的性质：如果两个三角形相似，则它们的对应边的比值是相等的。
3. 相似三角形的判定方法：可以通过观察三角形的角度或边长的比较来判定两个三角形是否相似。
4. 相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比值相等。
另外，相似三角形的比值是恒定的，不随其中一个三角形的大小改变。
5. 相似三角形的计算问题：可以利用相似三角形的性质来解决一些跟三角形比例有关的计算问题，如求边长、面积等。
6. 相似三角形的应用：相似三角形的概念在日常生活中有许多应用，如影子与物体的高度比例、特定条件下的角度计算等。
暑假专题——相似三角形重点、难点：1. 通过探索两个三角形相似的识别方法，加强合情推理能力的培养，感受发现的乐趣，逐步掌握说理的基本方法。
2. 通过相似三角形性质复习，丰富与角、面积等相关的知识方法，开阔研究角、面积等问题的视野。
【知识纵横】1. 相似三角形对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形（similar triangles）。
议一议：（1）两个全等三角形一定相似吗为什么（2）两个直角三角形一定相似吗两个等腰直角三角形呢为什么（3）两个等腰三角形一定相似吗两个等边三角形呢为什么2. 相似比相似三角形对应边的比叫做相似比。
说明：相似比要注意顺序：如△ABC ∽△A'B'C'的相似比k AB A B 1=''，而△A'B'C'∽△ABC 的相似比k A B AB 2=''，这时k k 121=。
3. 相似三角形的识别（1）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
（2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
（3）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
【典型例题】例1. 如图，∠1＝∠2＝∠3，图中相似三角形有（ ）对。
AD E3B C 2 1答：4对例2. 如图，已知：△ABC、△DEF，其中∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70°，∠D＝40°，∠E＝60°，∠F＝80°，能否分别将两个三角形分割成两个小三角形，使△ABC所分成的每个三角形与△DEF所分成的每个三角形分别对应相似如果可能，请设计一种分割方案；若不能，说明理由。
B EA C D F解：B E例3. （2004·广东省）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连结CF交AD于点E。
（1）求证：△CDE∽△FAE；（2）当E是AD的中点，且BC＝2CD时，求证：∠F＝∠BCF。
D CEF A B命题意图：相似三角形的识别、特征在解题中的应用。
解析：由AB ∥DC 得：∠F ＝∠DCE ，∠EAF ＝∠D∴△CDE ∽△FAE∴=CD FA DE AE ，又E 为AD 中点 ∴DE ＝AE ，从而CD ＝FA ，结合已知条件，易证BF ＝BC ，∠F ＝∠BCF解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB ∥CD∴∠F ＝∠DCE ，∠EAF ＝∠D∴△CDE ∽△FAE（2）∵E 是AD 中点，∴DE ＝AE由（1）得：CD AF DE AE=∴CD＝AF∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD∴AB＝CD＝AF∴BF＝2CD，又BC＝2CD∴BC＝BF∴∠F＝∠BCF思路探究：平行往往是证两个三角形相似的重要条件，利用比例线段也可证明两线段相等。
例4. 在梯形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，点P在线段AB上从A向B运动，（1）是否存在一个时刻使△ADP∽△BCP；（2）若AD＝4，BC＝6，AB＝10，使△ADP∽△BCP，则AP的长度为多少解：（1）存在PB C（2）若△ADP∽△BCP，则ADBCAPBP=设AP x=∴=-∴=∴=461044 xxx AP，，或ADBPAPBC=∴-=∴=41064x xx，或x=6∴=AP4或AP=6∴AP长度为4或6例5. 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝2：3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S S SDEF EBF ABF∆∆∆：：=（）A. 4：10：25B. 4：9：25C. 2：3：5D. 2：5：25（2001年黑龙江省中考题）思路点拨：运用与面积相关知识，把面积比转化为线段比。
∴选A例6. 如图，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈钢片，并求出这种正方形不锈钢片的边长。
思路点拨：要在三角形内裁出面积最大的正方形，那么这正方形所有顶点应落在△ABC 的边上，先画出不同方案，把每种方案中的正方形边长求出。
解：如图甲，设正方形EFGH边长为x，则AC＝4而CD×AB＝AC×BC＝2SABC∆，得CD=125又△CEH∽△CAB，得CMCDEHAB=于是1251255-=x x ，解得：x =6037如图乙，设正方形CFGH 的边长为y cm由GH ∥AC ，得：GH AC BH BC = 即y y 433=-，解得：y =127x y y x ===∴>60371276035，， 即应如图乙那样裁剪，这时正方形面积达最大，它的边长为127cm例7. 如图，已知直角梯形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，设AB a AD b ==，，BC b a b =>2()，作DE ⊥DC ，DE 交AB 于点E ，连结EC 。
（1）试判断△DCE 与△ADE 、△DCE 与△BCE 是否分别一定相似若相似，请加以证明。
（2）如果不一定相似，请指出a 、b 满足什么关系时，它们就能相似解：（1）△DCE 与△ADE 一定相似，△DCE 与△BCE 不一定相似，分别延长BA 、CD 交于F 点由△FAD ∽△FBC ，得：FD FC AD BC b b ===212 于是FD ＝DC ，从而可证△FED ≌△CED得∠AED ＝∠DEC所以△DEC ∽△AED（2）作CG ⊥AD 交AD 延长线于G ，CD a b =+22由△AED ∽△GDC ，有AE GD AD GC=，得AE b a DE AE AD b b a b a a b BE AB AE a ba ab aBE DE a b a b aa b a b b a b ==+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪=+=-=-=-=-+=-+2222222222222222222 BC DC b a b =+222要使△DCE 与△BCE 相似，那么BE DE BC DC=一定成立 即a b bb 222-=，得a b 223= 也就是当a b =3时，△DCE 与△BCE 一定相似。
【模拟试题】（答题时间：40分钟）1. 如图，已知DE ∥BC ，CD 和BE 相交于O ，若S S DOE COB ∆∆：：=916，则AD ：DB ＝____________。
2. 如图，△ABC 中，CE ：EB ＝1：2，DE ∥AC ，若△ABC 的面积为S ，则△ADE 的面积为____________。
3. 若正方形的4个顶点分别在直角三角形的3条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3cm 和4cm ，则此正方形的边长为____________。
（2000年武汉市中考题）4. 阅读下面的短文，并解答下列问题：我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体。
如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比：a b ：，设S S 甲乙：分别表示这两个正方体的表面积，则S S a ba b 甲乙==⎛⎝ ⎫⎭⎪66222，又设V V 甲乙、分别表示这两个正方体的体积，则V V a ba b 甲乙==⎛⎝ ⎫⎭⎪333。
（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（ ）A. 两个球体B. 两个圆锥体C. 两个圆柱体D. 两个长方体（2）请归纳出相似体的3条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于____________；②相似体表面积的比等于____________；③相似体体积的比等于____________。
（2001年江苏省泰州市中考题） 5. 如图，铁道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m，当短臂端点下降 m时，长臂端点升高（）A. mB. mC. 8 mD. m6. 如图，D为△ABC的边AC上的一点，∠DBC＝∠A，已知BC=2，△BCD与△ABC的面积的比是2：3，则CD的长是（）A. 43B. 3C.233 D.4337. 如图，在正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，且ADAC=13，AE＝BE，则有（）A. △AED ∽△BEDB. △AED ∽△CBDC. △AED ∽△ABDD. △BAD ∽△BCD（2001年杭州市中考题）8. 如图，已知△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，且AD ：FD ：FB ＝1：2：3，则S S S ADE DFGE FBCG ∆：：四边形四边形等于（ ）A. 1：9：36B. 1：4：9C. 1：8：27D. 1：8：369. 如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ACD ＝∠B ，求证：AB CD BCAD 22=10. 如图，△ABC 中，D 是BC 边上的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F 。
（1）求证：△ABC ∽△FCD ；（2）若S BC FCD ∆==510，，求DE 的长。
（2000年河北省中考题）11. 阅读并解答问题。
在给定的锐角△ABC 中，求作一个正方形DEFG ，使D 、E 落在BC 上，F 、G 分别落在AC 、AB 边上，作法如下：第一步：画一个有3个顶点落在△ABC 两边上的正方形D'E'F'G'。
第二步：连结BF'，并延长交AC 于点F ；第三步：过F 点作FE ⊥BC 于E ；第四步：过F 点作FG ∥BC 交AB 于点G ；第五步：过G 点作GD ⊥BC 于点D 。
四边形DEFG 即为所求作的四边形DEFG ，为正方形。
问题：（1）证明上述所求作的四边形DEFG 为正方形；（2）在△ABC 中，如果BC ABC =+=︒6345，∠，∠BAC ＝75°，求上述正方形DEFG 的边长。
（江苏省扬州市中考题）AG FG' F'B D' E' D E C12. 如图，在△ABC 中，AB AC BC ===52，，在BC 上有100个不同的点P P P P 123100、、…，过这100个点分别作△ABC 的内接矩形P E F G P E F G 11112222，…P E F G 100100100100，设每个内接矩形的周长分别为L L L 12100、…，则L L L 12100+++=…____________。
（安徽省竞赛题）AE 2F 2E 1F 1B P 1 P 2 G 2 G 1 C13. 如图，在△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，GI ∥EF ∥AB ，若△ADE 、△EFG 、△GIC 的面积分别为204580222cm cm cm 、、，则△ABC 的面积为____________。
