线性方程组解的结构

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第六节线性方程组解的结构分布图示★ 解向量的概念 ★ 齐次线性方程组解的性质 ★ 基础解系的定义 ★ 基础解系的求法 ★ 例1 ★ 解空间及其维数★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7★ 非齐次线性方程组解的性质 ★ 非齐次线性方程组的通解 ★ 方程组有解的几个等价命题★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-6内容要点一、齐次线性方程组解的结构设有齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n mn m m nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (1) 若记⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211, ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x X 1 则方程组(1)可写为向量方程0=AX (2) 称方程(2)的解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X 21为方程组(1)的解向量.1．齐次线性方程组解的性质:性质1 若21,ξξ为方程组(2)的解, 则21ξξ+也是该方程组的解.性质2 若1ξ为方程组(2)的解, k 为实数, 则1ξk 也是(2)的解. 注: 齐次线性方程组若有非零解, 则它就有无穷多个解.由上节知：线性方程组0=AX 的全体解向量所构成的集合对于加法和数乘是封闭的，因此构成一个向量空间. 称此向量空间为齐次线性方程组0=AX 的解空间.定义1 齐次线性方程组0=AX 的有限个解t ηηη,,,21 满足:(1) t ηηη,,,21 线性无关;(2) 0=AX 的任意一个解均可由t ηηη,,,21 线性表示.则称t ηηη,,,21 是齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系.注：方程组0=AX 的一个基础解系即为其解空间的一个基, 易见方程组0=AX 基础解系不是唯一的，其解空间也不是唯一的.按上述定义，若t ηηη,,,21 是齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系. 则0=AX 的通解可表示为t t k k k X ηηη+++= 2211其中t k k k ,,,21 为任意常数.当一个齐次线性方程组只有零解时, 该方程组没有基础解系; 而当一个齐次线性方程组有非零解时, 是否一定有基础解系呢? 如果有的话,怎样去求它的基础解系? 下面的定理1回答了这两个问题.定理1 对齐次线性方程组0=AX ，若n r A r <=)(,则该方程组的基础解系一定存在，且每个基础解系中所含解向量的个数均等于r n -, 其中n 是方程组所含未知量的个数.注：定理1的证明过程实际上已给出了求齐次线性方程组的基础解系的方法. 且若已知r n -ηηη,,,21 是线性方程组0=AX 的一个基础解系，则0=AX 的全部解可表为,2211r n r n c c c x --+++=ηηη (4)其中r n c c c -,,,21 为任意实数. 称表达式（4）线性方程组0=AX 的通解.二、非齐次线性方程组解的结构设有非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* (5) 它也可写作向量方程b AX = (6)性质3 设21,ηη是非齐次线性方程组b AX =的解, 则21ηη-是对应的齐次线性方程组0=AX 的解.性质 4 设η是非齐次线性方程组b AX =的解, ξ为对应的齐次线性方程组0=AX 的解，则ηξ+非齐次线性方程组b AX =的解.定理2 设*η是非齐次线性方程组b AX =的一个解, ξ是对应齐次线性方程组0=AX 的通解, 则*ηξ+=x 是非齐次线性方程组b AX = 的通解.注：设有非齐次线性方程组b AX =，而n ααα,,,21 是系数矩阵A 的列向量组，则下列四个命题等价：(1) 非齐次线性方程组b AX =有解；(2) 向量b 能由向量组n ααα,,,21 线性表示；(3) 向量组n ααα,,,21 与向量组n ααα,,,21 ，b 等价； (4) )()(b A r A r =.例题选讲例1 求下列齐次线性方程组的一个基础解系:⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+-+.0,0223,0322432143214321x x x x x x x x x x x x解对此方程组的系数矩阵作如下初等行变换:=A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---111121233212323132r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----111154105410 21r r - ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11115410000031r r ↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000054101111 21r r + ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000541043012)1(r -.000054104301⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 于是原方程组可同解地变为:,5443432431⎩⎨⎧+-=-=x x x x x x 因此基础解系为 ,)0,1,4,3(1T --=η.)1,0,5,4(2T -=η例2 (E01) 求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=--+0377,02352,0432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系与通解.解对系数矩阵A 作初等行变换，化为行最简矩阵:=A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---137723521111,00007/47/5107/37/201⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---- 得到原方程组的同解方程组,)7/4()7/5()7/3()7/2(432431⎩⎨⎧+=+=x x x x x x 令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43x x =,01⎪⎪⎭⎫⎝⎛,10⎪⎪⎭⎫⎝⎛即得基础解系 =1η,017/57/2⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2η,107/47/3⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 并由此得到通解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321x x x x 1C =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛017/57/22C +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛107/47/3).,(21R C C ∈注：在第一节中，线性方程组的解法是从例1中的)(*式直接写出方程组的全部解（通解）. 实际上可从例1中的)(*式先取基础解系,再写出通解, 两种解法其实没有多少区别.例3 (E02) 用基础解系表示如下线性方程组的通解.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=-+++=--+-=-+++0765*******2303454321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 解 ,4=m ,5=n ,n m <因此所给方程组有无穷多个解.对增广矩阵A 施以初等行变换： =A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------76513553121231134111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------26220131102622034111 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000131100000021201即原方程组与下面方程组同解:,32254325431⎩⎨⎧+-=+--=x x x x x x x x 其中,3x ,4x 5x 为自由未知量. 令自由未知量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛543x x x 取值,001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,010⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,100⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛分别得方程组的解为,)0,0,1,1,2(1T -=η,)0,1,0,3,1(2T --=η,)1,0,0,1,2(1T =η,1η,2η3η就是所给方程组的一个基础解系. 因此，方程组的通解为332211ηηηηc c c ++=321,,(c c c 为任意常数).例4 求解下列齐次线性方程组:⎩⎪⎨⎧=-+=-+=++-+.022,03,0254354354321x x x x x x x x x x x 解对方程组的系数矩阵作如下初等变换：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=212001310012111A 232r r - ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---212001310012111351r ⎪⎭⎫ ⎝⎛- ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---212001310012111. 这个矩阵不符合要求，因为它已经不可能仅用初等行变换变成所要求的左上角为单位块的形状了，这是必须借助于列对调.54321x x x x x 52431x x x x x 52431x x x x x⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01000131001211132c c ↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--010*********11132c c ↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--00100103101121152431x x x x x 52431x x x x x21r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-001001031001501323135r r r r --,001001001011001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-矩阵的秩等于3，未知数个数,5=n 因此基础解系应含有2个向量，分别去自由变量 0,152==x x 及.1,052==x x 得到基础解系：T T )1,0,1,0,0(,)0,0,0,1,1(21=-=ηη 于是原方程组的解为,2211ηηc c +其中21,c c 为任意数.例5 求解齐次线性方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+++--=++++=-++.0263,0832,052242,022542154321543215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x 解对方程组的系数矩阵进行初等变换：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=21063831215224221021A 14131232r r r r r r -+-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--42000641009020021021322r r -⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----4200064100380002102132r r ↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----4200038100642002102154231x x x x x 54231x x x x x32c c ↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----42000380006401021201()421r - ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2100038000640102120154231x x x x x 52431x x x x x34rr↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----3821641212134cc↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----3821641221152431xxxxx52431xxxxx348rr+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---192164122114191r⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--21641221152431xxxxx52431xxxxx25431xxxxx434241262rrrrrr+-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛114121132314rrrr--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1112154cc↔.11121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛这个矩阵秩等于4，未知数个数,5=n因此基础解系只含有1个向量，取自由变量,12=x得.)0,0,0,1,2(T-=η原方程的通解为,ηc其中c可取任何数.例6证明).()(ArAAr T=证设A为nm⨯矩阵，x为n维列向量.若x满足0=Ax,0)(=AxA T即;0)(=xAA T若x满足0)(=xAA T,0)(=xAAx TT即0)()(=AxAx T.0=Ax 综上可知方程组0=Ax与0)(=xAA T同解,∴).()(ArAAr T=例7求出一个齐次线性方程组, 使它的基础解系由下列向量组成:.1234,432121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ξξ解设所求得齐次线性方程组为,0=Ax矩阵A的行向量形如),,,,(4321aaaaT=α根据题意, 有,01=ξαT,02=ξαT即⎩⎨⎧=+++=+++23443243214321aaaaaaaa设这个方程组系数矩阵为,B对B进行初等行变换,得=B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12344321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1510504321 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--32102101 这个方程组的同解方程组为⎩⎨⎧=++=--03202432431a a a a a a 其基础解系为,0121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-,1032⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-故可取矩阵A 的行向量为),0,1,2,1(1-=T α),1,0,3,2(2-=Tα 故所求齐次线性方程组的系数矩阵=A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10320121所求齐次线性方程组为.03202421321⎩⎨⎧=+-=+-x x x x x x例8 (E03) 求下列方程组的通解.236222323754325432154321⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=-+++=++++x x x x x x x x x x x x x x解 =~A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2362120231213711111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000002/23312/1102/9202/101 由),()(~A r A r =知方程组有解.又,2)(=A r ,3=-r n 所以方程组有无穷多解. 且原方程组等价于方程组⎩⎨⎧+---=-+-=2/2332/2/922/5432531x x x x x x x 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛543x x x =,001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,010⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛.100⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛分别代入等价方程组对应的齐次方程组中求得基础解系 =1ξ,0012/12/1⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2ξ,01010⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3ξ.10032⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-求特解:令,0543===x x x 得,2/91-=x .2/232=x故所求通解为1C x =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0012/12/12C +⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-010103C +⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10032+.0002/232/9⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-其中,1C ,2C 3C 为任意常数.例9 求解下列非齐次线性方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=--+=---=--+.0895,4433,13432143214321x x x x x x x x x x x x 解对方程组的增广矩阵作如下初等变换：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==089514431311311)(~b A A 13123r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------176401764011311 23r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000001764011311 241r ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000004147231011311 21r r -.000004147231045432301⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----在上面的初等变换中没有作过列对换，因此可立即求出特解γ和对应齐次线性方程组的基础解系：.104743,012323,00414521⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ηηγ原方程组的解为 ,2211ηηγc c x ++=其中21,c c 为任意数.例10 求解下列线性方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=+-+--=++-+=++-+.432,636242,232543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x 解对方程组的增广矩阵作如下初等变换：54321x x x x x 54321x x x x x⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==431121636242213121)(~b A A 13122r r r r +-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-642000210000213121 54321x x x x x 32541x x x x x321r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-321000210000213121 5342c c c c ↔↔⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-30021020010021213132541x x x x x 32541x x x x x32r r ↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-200100300210212131 213r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---200100300210712501 32541x x x x x323125r r r r -+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--200100100010312001 .在上面初等变换的整个过程中，我们进行了两次列对换，第一次是第2列与第4列对换，第二次是第3列与第5列对换.秩)~(A =秩3)(=A未知数个数,5=n 因此基础解系应含有2个向量，分别取自由变量 0,1;0,03232====x x x x 及.1,032==x x得特解γ以及基础解系:,21ηη.)0,0,1,0,1(,)0,0,0,1,2(,)2,1,0,0,3(21T T T =-=-=ηηγ于是原线性方程组的通解为,2211ηηγc c ++其中21,c c 为任意数.例11 (E04) 设四元非齐次线性方程组b AX =的系数矩阵A 的秩为3, 已经它的三个解向量为,,,321ηηη 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0864,2143321ηηη,求该方程组的通解.解依题意, 方程组b Ax =的导出组的基础解系含134=-个向, 于是导出组的任何一个非零解都可作为其基础解系.显然)(21321ηηη+-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--23710≠是导出组的非零解,可作为其基础解系.故方程组b Ax =的通解为x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+=)(213211ηηηηc =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2143C+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2371（C 为任意常数）.课堂练习1. 求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=-+-=+--2/132130432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解.2. 设矩阵n m ij a A ⨯=)(,s n ij b B ⨯=)(满足O AB =并且.)(r A r = 试证: .)(r n B r -≤。

§6线性方程组解的结构

§6 线性方程组解的结构在解决线性方程组有解的判别条件之后，进一步来讨论线性方程组解的结构.所谓解的结构问题就是解与解之间的关系问题.一、齐次线性方程组的解的结构设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221211212111n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (1) 是一齐次线性方程组，它的解所成的集合具有下面两个重要性质：1. 两个解的和还是方程组的解.2. 一个解的倍数还是方程组的解.从几何上看，这两个性质是清楚的.在3=n 时，每个齐次方程表示一个过得点的平面.于是方程组的解，也就是这些平面的交点，如果不只是原点的话，就是一条过原点的直线或一个过原点的平面.以原点为起点，而端点在这样的直线或平面上的向量显然具有上述的性质.对于齐次线性方程组，综合以上两点即得，解的线性组合还是方程组的解.这个性质说明了，如果方程组有几个解，那么这些解的所有可能的线性组合就给出了很多的解.基于这个事实，我们要问：齐次线性方程组的全部解是否能够通过它的有限的几个解的线性组合给出？定义17 齐次线性方程组(1)的一组解t ηηη,,,21 称为(1)的一个基础解系，如果1）(1)的任一个解都能表成t ηηη,,,21 的线性组合；2）t ηηη,,,21 线性无关.应该注意，定义中的条件2)是为了保证基础解系中没有多余的解.定理8 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于r n -，这里r 表示系数矩阵的秩(以下将看到，r n -也就是自由未知量的个数).定理的证明事实上就是一个具体找基础解系的方法.由定义容易看出，任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系.二、一般线性方程组的解的结构如果把一般线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++sn sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111,, (9) 的常数项换成0，就得到齐次线性方程组(1). 齐次线性方程组(1)称为方程组(9)的导出组.方程组(9)的解与它的导出组(1)的之间有密切的关系：1. 线性方程组(9)的两个解的差是它的导出组(1)的解.2. 线性方程组(9)的一个解与它的导出组(1)的一个解之和还是这个线性方程组的一个解.定理9 如果0γ是线性方程组(9)的一个特解，那么线性方程组(9)的任一个解γ都可以表成ηγγ+=0其中η是导出组(1)的一个解.因此，对于线性方程组(9)的任一个特解0γ，当η取遍它的导出组的全部解时，(10)就给出(9)的全部解.定理9说明了，为了找出一线性方程组的全部解，只要找出它的一个特殊的解以及它的导出组的全部解就行了.导出组是一个齐次线性方程组，在上面已经看到，一个齐次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表示.因此，根据定理我们可以用导出组的基础解系来表出一般线性方程组的一般解；如果0γ是线性方程组(9)的一个特解，r n -ηηη,,,21 是其导出组的一个基础解系，那么(9)的任一个解γ都可以表成r n r n k k k --++++=ηηηγγ 22110推论在线性方程组(9)有解的条件下，解是唯一的充要条件是它的导出组(1)只有零解.线性方程组的理论与解析几何中关于平面与直线的讨论有密切的关系.来看线性方程组⎩⎨⎧=++=++.,23232221211313212111b x a x a x a b x a x a x a (11) (11)中每一个方程表示一个平面，线性方程组(11)有没有解的问题就相当于这两个平面有没有交点的问题.我们知道，两个平面只有在平行而不重合的情形没有交点.(11)的系数矩阵与增广矩阵分别是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=232221131211a a a a a a A 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22322211131211b a a a b a a a A , 它们的秩可能是1或者2.有三个可能的情形：1. 秩A =秩A =1.这就是的两行成比例，因而这两个平面平行.又因为A 的两行也成比例，所以这两个平面重合.方程组有解.2. 秩A =1，秩A =2.这就是说，这两个平面平行而不重合. 方程组无解.3. 秩A =2.这时A 的秩一定也是 2.在几何上就是这两个平面不平行，因而一定相交. 方程组有解.下面再来看看线性方程组的解的几何意义.设矩阵A 的秩为2，这时一般解中有一个自由未知量，譬如说是3x ，一般解的形式为⎩⎨⎧+=+=.,32223111x c d x x c d x (12) 从几何上看，两个不平行的平面相交在一条直线.把(12)改写一下就是直线的点向式方程3222111x c d x c d x =-=-. 如果引入参数t ，令t x =3，(12)就成为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=.,,3222111t x t c d x t c d x (13)这就是直线的参数方程.(11)的导出方程组是⎩⎨⎧=++=++.0,0323222121313212111x a x a x a x a x a x a (14) 从几何上看，这是两个分别与(11)中平面平行的且过原点的平面，因而它们的交线过原点且与直线(12)平行.既然与直线(12)平行，也就是有相同的方向，所以这条直线的参数方程就是⎪⎩⎪⎨⎧===.,,32211t x t c x t c x (15)(13)与(15)正说明了线性方程组(11)与它的导出组(14)的解之间的关系. 例1 求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧0793,083,032,054321432143214321=+-+=++-=+-+=-+-x x x x x x x x x x x x x x x x的一个基础解系.例2 设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧.2193164,432,14523,42354321543215432154321-=-+++-=+----=--++-=-+-+x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x用它的导出齐次方程组的基础解系表示它的全部解.。

第六节线性方程组解的结构v3.

例 2 设线性方程组
ax1 x2 x3 4 , x1 bx2 x3 3 , x 2bx x 4 . 2 3 1
讨论方程组的解的情况与参数 a, b 的关系，有解时求其解.
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线性方程组的解的结构

齐次线性方程组的解的性质
性质1：若 x = 1， x = 2 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，则 x = 1 + 2 还是 Ax = 0 的解．证明： A(1 + 2 ) = A1+ A2 = 0 + 0 = 0 ．性质2：若 x = 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，k 为实数，则 x = k 还是 Ax = 0 的解．证明： A( k ) = k ( A ) = k 0 = 0 ．性质3：若 x = 1, x = 2, ...,, x = t 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，则 x = k11 + k22 + … + ktt 还是 Ax = 0 的解. 证明： A(k11 + k22 + … + ktt ) = k1A1+ k2A2 + … ktAt = 0 +0+ …+ 0 = 0
1 + 2和1 + 2 是齐次线性方程组的解向量
下面说明1 + 2 ，1 - 2 线性无关 (2)考虑齐次线性方程组 k1(1 + 2 )+ k2 (1 -2 )0 即： (k1 + k2 )1+ (k1 - k2 ) 2 0
由1 ， 2线性无关
1 + 2 ，1 - 2 线性无关 1 + 2 ，1 - 2是齐次线性方程组的基础解系
§4
线性方程组的解的结构
回顾：线性方程组的解的判定

引言
问题：什么是线性方程组的解的结构？答：所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无穷多个解时，解与解之组存在唯一解时，无须讨论解的结构．下面的讨论都是假设线性方程组有解．