算法分析与设计重点课后习题答案

算法设计与分析课后答案5..证明等式gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)对每⼀对正整数m,n都成⽴.Hint:根据除法的定义不难证明:●如果d整除u和v, 那么d⼀定能整除u±v;●如果d整除u,那么d也能够整除u的任何整数倍ku.对于任意⼀对正整数m,n,若d能整除m和n,那么d⼀定能整除n和r=m mod n=m-qn；显然，若d能整除n和r，也⼀定能整除m=r+qn和n。

数对(m,n)和(n,r)具有相同的公约数的有限⾮空集，其中也包括了最⼤公约数。

故gcd(m,n)=gcd(n,r)6.对于第⼀个数⼩于第⼆个数的⼀对数字,欧⼏⾥得算法将会如何处理?该算法在处理这种输⼊的过程中,上述情况最多会发⽣⼏次?Hint:对于任何形如0<=m并且这种交换处理只发⽣⼀次.7.a.对于所有1≤m,n≤10的输⼊, Euclid算法最少要做⼏次除法?(1次)b. 对于所有1≤m,n≤10的输⼊, Euclid算法最多要做⼏次除法?(5次)gcd(5,8)习题1.21.(农夫过河)P—农夫W—狼G—⼭⽺C—⽩菜2.(过桥问题)1,2,5,10---分别代表4个⼈, f—⼿电筒4. 对于任意实系数a,b,c, 某个算法能求⽅程ax^2+bx+c=0的实根,写出上述算法的伪代码(可以假设sqrt(x)是求平⽅根的函数)算法Quadratic(a,b,c)//求⽅程ax^2+bx+c=0的实根的算法//输⼊:实系数a,b,c//输出:实根或者⽆解信息D←b*b-4*a*cIf D>0temp←2*ax1←(-b+sqrt(D))/tempx2←(-b-sqrt(D))/tempreturn x1,x2else if D=0 return –b/(2*a)else return “no real roots”else //a=0if b≠0 return –c/belse //a=b=0if c=0 return “no real numbers”else return “no real roots”5.描述将⼗进制整数表达为⼆进制整数的标准算法a.⽤⽂字描述b.⽤伪代码描述解答：a.将⼗进制整数转换为⼆进制整数的算法输⼊：⼀个正整数n输出：正整数n相应的⼆进制数第⼀步：⽤n除以2，余数赋给Ki(i=0,1,2...)，商赋给n第⼆步：如果n=0，则到第三步，否则重复第⼀步第三步：将Ki按照i从⾼到低的顺序输出b.伪代码算法DectoBin(n)//将⼗进制整数n转换为⼆进制整数的算法//输⼊：正整数n//输出：该正整数相应的⼆进制数，该数存放于数组Bin[1...n]中i=1while n!=0 do {Bin[i]=n%2;n=(int)n/2;i++;}while i!=0 do{print Bin[i];i--;}9.考虑下⾯这个算法,它求的是数组中⼤⼩相差最⼩的两个元素的差.(算法略) 对这个算法做尽可能多的改进.算法MinDistance(A[0..n-1])//输⼊:数组A[0..n-1]//输出:the smallest distance d between two of its elements习题1.31.考虑这样⼀个排序算法,该算法对于待排序的数组中的每⼀个元素,计算⽐它⼩的元素个数,然后利⽤这个信息,将各个元素放到有序数组的相应位置上去.a.应⽤该算法对列表‖60,35,81,98,14,47‖排序b.该算法稳定吗?c.该算法在位吗?解:a. 该算法对列表‖60,35,81,98,14,47‖排序的过程如下所⽰:b.该算法不稳定.⽐如对列表‖2,2*‖排序c.该算法不在位.额外空间for S and Count[]4.(古⽼的七桥问题)习题1.41.请分别描述⼀下应该如何实现下列对数组的操作,使得操作时间不依赖数组的长度. a.删除数组的第i 个元素(1<=i<=n)b.删除有序数组的第i 个元素(依然有序) hints:a. Replace the i th element with the last element and decrease the array size of 1b. Replace the ith element with a special symbol that cannot be a value of the array ’s element(e.g., 0 for an array of positive numbers ) to mark the i th position is empty. (―lazy deletion ‖)第2章习题2.17.对下列断⾔进⾏证明:(如果是错误的,请举例) a. 如果t(n )∈O(g(n),则g(n)∈Ω(t(n)) b.α>0时,Θ(αg(n))= Θ(g(n)) 解:a. 这个断⾔是正确的。

算法分析与设计教程习题解答第1章 算法引论1. 解：算法是一组有穷的规则，它规定了解决某一特定类型问题的一系列计算方法。

频率计数是指计算机执行程序中的某一条语句的执行次数。

多项式时间算法是指可用多项式函数对某算法进行计算时间限界的算法。

指数时间算法是指某算法的计算时间只能使用指数函数限界的算法。

2. 解：算法分析的目的是使算法设计者知道为完成一项任务所设计的算法的优劣，进而促使人们想方设法地设计出一些效率更高效的算法，以便达到少花钱、多办事、办好事的经济效果。

3. 解：事前分析是指求出某个算法的一个时间限界函数（它是一些有关参数的函数）；事后测试指收集计算机对于某个算法的执行时间和占用空间的统计资料。

4. 解：评价一个算法应从事前分析和事后测试这两个阶段进行，事前分析主要应从时间复杂度和空间复杂度这两个维度进行分析；事后测试主要应对所评价的算法作时空性能分布图。

5. 解：①n=11； ②n=12； ③n=982； ④n=39。

第2章 递归算法与分治算法1． 解：递归算法是将归纳法的思想应用于算法设计之中，递归算法充分地利用了计算机系统内部机能，自动实现调用过程中对于相关且必要的信息的保存与恢复；分治算法是把一个问题划分为一个或多个子问题，每个子问题与原问题具有完全相同的解决思路，进而可以按照递归的思路进行求解。

2． 解：通过分治算法的一般设计步骤进行说明。

3． 解：int fibonacci(int n) {if(n<=1) return 1;return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2); }4. 解：void hanoi(int n,int a,int b,int c) {if(n>0) {hanoi(n-1,a,c,b); move(a,b);hanoi(n-1,c,b,a); } } 5. 解：①22*2)(--=n n f n② )log *()(n n n f O =6． 解：算法略。

算法设计与分析第三版第四章课后习题答案4.1 线性时间选择问题习题4.1问题描述：给定一个长度为n的无序数组A和一个整数k，设计一个算法，找出数组A中第k小的元素。

算法思路：本题可以使用快速选择算法来解决。

快速选择算法是基于快速排序算法的思想，通过递归地划分数组来找到第k小的元素。

具体步骤如下： 1. 选择数组A的一个随机元素x作为枢纽元。

2. 使用x将数组划分为两个子数组A1和A2，其中A1中的元素小于等于x，A2中的元素大于x。

3. 如果k等于A1的长度，那么x就是第k小的元素，返回x。

4. 如果k小于A1的长度，那么第k小的元素在A1中，递归地在A1中寻找第k小的元素。

5. 如果k大于A1的长度，那么第k小的元素在A2中，递归地在A2中寻找第k-A1的长度小的元素。

6. 递归地重复上述步骤，直到找到第k小的元素。

算法实现：public class LinearTimeSelection {public static int select(int[] A, int k) { return selectHelper(A, 0, A.length - 1, k);}private static int selectHelper(int[] A, int left, int right, int k) {if (left == right) {return A[left];}int pivotIndex = partition(A, left, righ t);int length = pivotIndex - left + 1;if (k == length) {return A[pivotIndex];} else if (k < length) {return selectHelper(A, left, pivotInd ex - 1, k);} else {return selectHelper(A, pivotIndex + 1, right, k - length);}}private static int partition(int[] A, int lef t, int right) {int pivotIndex = left + (right - left) / 2;int pivotValue = A[pivotIndex];int i = left;int j = right;while (i <= j) {while (A[i] < pivotValue) {i++;}while (A[j] > pivotValue) {j--;}if (i <= j) {swap(A, i, j);i++;j--;}}return i - 1;}private static void swap(int[] A, int i, int j) {int temp = A[i];A[i] = A[j];A[j] = temp;}}算法分析：快速选择算法的平均复杂度为O(n)，最坏情况下的复杂度为O(n^2)。

《算法及其分析》课后选择题答案及详解第1 章——概论1.下列关于算法的说法中正确的有（）。

Ⅰ.求解某一类问题的算法是唯一的Ⅱ.算法必须在有限步操作之后停止Ⅲ.算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或含义模糊Ⅳ.算法执行后一定产生确定的结果A.1个B.2个C.3个D.4个2.T(n)表示当输入规模为n时的算法效率，以下算法效率最优的是（）。

A.T(n)=T(n-1)+1，T(1)=1B.T(n)=2nC.T(n)= T(n/2)+1，T(1)=1D.T(n)=3nlog2n答案解析：1.答：由于算法具有有穷性、确定性和输出性，因而Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ正确，而解决某一类问题的算法不一定是唯一的。

答案为C。

2.答：选项A的时间复杂度为O(n)。

选项B的时间复杂度为O(n)。

选项C 的时间复杂度为O(log2n)。

选项D的时间复杂度为O(nlog2n)。

答案为C。

第3 章─分治法1.分治法的设计思想是将一个难以直接解决的大问题分割成规模较小的子问题，分别解决子问题，最后将子问题的解组合起来形成原问题的解。

这要求原问题和子问题（）。

A.问题规模相同，问题性质相同B.问题规模相同，问题性质不同C.问题规模不同，问题性质相同D.问题规模不同，问题性质不同2.在寻找n个元素中第k小元素问题中，如快速排序算法思想，运用分治算法对n个元素进行划分，如何选择划分基准？下面（）答案解释最合理。

A.随机选择一个元素作为划分基准B.取子序列的第一个元素作为划分基准C.用中位数的中位数方法寻找划分基准D.以上皆可行。

但不同方法，算法复杂度上界可能不同3.对于下列二分查找算法，以下正确的是（）。

A.intbinarySearch(inta[],intn,int x){intlow=0,high=n-1;while(low<=high){intmid=(low+high)/2;if(x==a[mid])returnmid;if(x>a[mid])low=mid;elsehigh=mid;}return –1;}B.intbinarySearch(inta[],intn,int x) { intlow=0,high=n-1;while(low+1!=high){intmid=(low+high)/2;if(x>=a[mid])low=mid;elsehigh=mid;}if(x==a[low])returnlow;elsereturn –1;}C.intbinarySearch(inta[],intn,intx) { intlow=0,high=n-1;while(low<high-1){intmid=(low+high)/2;if(x<a[mid])high=mid;elselow=mid;}if(x==a[low])returnlow;elsereturn –1;}D.intbinarySearch(inta[],intn,int x) {if(n>0&&x>=a[0]){intlow= 0,high=n-1;while(low<high){intmid=(low+high+1)/2;if(x<a[mid])high=mid-1;elselow=mid;}if(x==a[low])returnlow;}return –1;}答案解析：1.答：C。

习题13．设计算法求数组中相差最小的两个元素（称为最接近数）的差。

要求分别给出伪代码和C++描述。

//采用分治法//对数组先进行快速排序//在依次比较相邻的差#include <iostream>using namespace std;int partions(int b[],int low,int high){int prvotkey=b[low];b[0]=b[low];while (low<high){while (low<high&&b[high]>=prvotkey)--high;b[low]=b[high];while (low<high&&b[low]<=prvotkey)++low;b[high]=b[low];}b[low]=b[0];return low;}void qsort(int l[],int low,int high){int prvotloc;if(low<high){prvotloc=partions(l,low,high); //将第一次排序的结果作为枢轴qsort(l,low,prvotloc-1); //递归调用排序由low 到prvotloc-1qsort(l,prvotloc+1,high); //递归调用排序由 prvotloc+1到 high}}void quicksort(int l[],int n){qsort(l,1,n); //第一个作为枢轴，从第一个排到第n个}int main(){int a[11]={0,2,32,43,23,45,36,57,14,27,39};int value=0;//将最小差的值赋值给valuefor (int b=1;b<11;b++)cout<<a[b]<<' ';cout<<endl;quicksort(a,11);for(int i=0;i!=9;++i){if( (a[i+1]-a[i])<=(a[i+2]-a[i+1]) )value=a[i+1]-a[i];elsevalue=a[i+2]-a[i+1];}cout<<value<<endl;return 0;}4．设数组a[n]中的元素均不相等，设计算法找出a[n]中一个既不是最大也不是最小的元素，并说明最坏情况下的比较次数。

Program算法设计与分析基础中文版答案习题1.15..证明等式gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)对每一对正整数m,n都成立.Hint:根据除法的定义不难证明:●如果d整除u和v, 那么d一定能整除u±v;●如果d整除u,那么d也能够整除u的任何整数倍ku.对于任意一对正整数m,n,若d能整除m和n,那么d一定能整除n和r=m mod n=m-qn；显然，若d能整除n和r，也一定能整除m=r+qn和n。

数对(m,n)和(n,r)具有相同的公约数的有限非空集，其中也包括了最大公约数。

故gcd(m,n)=gcd(n,r)6.对于第一个数小于第二个数的一对数字,欧几里得算法将会如何处理?该算法在处理这种输入的过程中,上述情况最多会发生几次?Hint:对于任何形如0<=m<n的一对数字,Euclid算法在第一次叠代时交换m和n, 即gcd(m,n)=gcd(n,m)并且这种交换处理只发生一次.7.a.对于所有1≤m,n≤10的输入, Euclid算法最少要做几次除法?(1次)b. 对于所有1≤m,n≤10的输入, Euclid算法最多要做几次除法?(5次)gcd(5,8)习题1.21.(农夫过河)P—农夫W—狼G—山羊C—白菜2.(过桥问题)1,2,5,10---分别代表4个人, f—手电筒4. 对于任意实系数a,b,c, 某个算法能求方程ax^2+bx+c=0的实根,写出上述算法的伪代码(可以假设sqrt(x)是求平方根的函数)算法Quadratic(a,b,c)//求方程ax^2+bx+c=0的实根的算法//输入:实系数a,b,c//输出:实根或者无解信息If a≠0D←b*b-4*a*cIf D>0temp←2*ax1←(-b+sqrt(D))/tempx2←(-b-sqrt(D))/tempreturn x1,x2else if D=0 return –b/(2*a)else return “no real roots”else //a=0if b≠0 return –c/belse //a=b=0if c=0 return “no real numbers”else return “no real roots”5.描述将十进制整数表达为二进制整数的标准算法a.用文字描述b.用伪代码描述解答：a.将十进制整数转换为二进制整数的算法输入：一个正整数n输出：正整数n相应的二进制数第一步：用n除以2，余数赋给Ki(i=0,1,2...)，商赋给n第二步：如果n=0，则到第三步，否则重复第一步第三步：将Ki按照i从高到低的顺序输出b.伪代码算法DectoBin(n)//将十进制整数n转换为二进制整数的算法//输入：正整数n//输出：该正整数相应的二进制数，该数存放于数组Bin[1...n]中i=1while n!=0 do {Bin[i]=n%2;n=(int)n/2;i++;}while i!=0 do{print Bin[i];i--;}9.考虑下面这个算法,它求的是数组中大小相差最小的两个元素的差.(算法略) 对这个算法做尽可能多的改进.算法MinDistance(A[0..n-1])//输入:数组A[0..n-1]//输出:the smallest distance d between two of its elements习题1.31.考虑这样一个排序算法,该算法对于待排序的数组中的每一个元素,计算比它小的元素个数,然后利用这个信息,将各个元素放到有序数组的相应位置上去.a.应用该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序b.该算法稳定吗?c.该算法在位吗?解:a. 该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序的过程如下所示:b.该算法不稳定.比如对列表”2,2*”排序c.该算法不在位.额外空间for S and Count[] 4.(古老的七桥问题)习题1.41.请分别描述一下应该如何实现下列对数组的操作,使得操作时间不依赖数组的长度. a.删除数组的第i 个元素(1<=i<=n)b.删除有序数组的第i 个元素(依然有序) hints:a. Replace the i th element with the last element and decrease the array size of 1b. Replace the ith element with a special symbol that cannot be a value of the array ’s element(e.g., 0 for an array of positive numbers ) to mark the i th position is empty. (“lazy deletion ”)第2章 习题2.17.对下列断言进行证明:(如果是错误的,请举例) a. 如果t(n )∈O(g(n),则g(n)∈Ω(t(n)) b.α>0时,Θ(αg(n))= Θ(g(n)) 解:a. 这个断言是正确的。

算法设计与分析基础课后练习答案习题1.14.设计一个计算的算法，n是任意正整数。

除了赋值和比较运算，该算法只能用到基本的四则运算操作。

算法求//输入：一个正整数n2//输出：。

step1:a=1；step2:若a*a<n 转step 3，否则输出a；step3:a=a+1转step 2；5. a．用欧几里德算法求gcd（31415，14142）。

b. 用欧几里德算法求gcd（31415，14142）,比检查min｛m，n｝和gcd （m，n）间连续整数的算法快多少倍？请估算一下。

a. gcd(31415, 14142) = gcd(14142, 3131) = gcd(3131, 1618) =gcd(1618, 1513) = gcd(1513, 105) = gcd(1513, 105) = gcd(105, 43) =gcd(43, 19) =gcd(19, 5) = gcd(5, 4) = gcd(4, 1) = gcd(1, 0) = 1.b.有a可知计算gcd（31415，14142）欧几里德算法做了11次除法。

连续整数检测算法在14142每次迭代过程中或者做了一次除法，或者两次除法，因此这个算法做除法的次数鉴于1·14142 和2·14142之间，所以欧几里德算法比此算法快1·14142/11 ≈ 1300 与2·14142/11 ≈ 2600 倍之间。

6.证明等式gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)对每一对正整数m,n都成立.Hint:根据除法的定义不难证明:● 如果d整除u和v, 那么d一定能整除u±v;● 如果d整除u,那么d也能够整除u的任何整数倍ku.对于任意一对正整数m,n,若d能整除m和n,那么d一定能整除n和r=m mod n=m-qn；显然，若d能整除n和r，也一定能整除m=r+qn和n。

数对(m,n)和(n,r)具有相同的公约数的有限非空集，其中也包括了最大公约数。

算法设计与分析基础课后练习答案习题1.14.设计一个计算的算法，n是任意正整数。

除了赋值和比较运算，该算法只能用到基本的四则运算操作。

算法求//输入：一个正整数n 2//输出：。

step1:a=1；step2:若a*a<n 转step 3，否则输出a；step3:a=a+1转step 2；5. a．用欧几里德算法求gcd（31415，14142）。

b. 用欧几里德算法求gcd（31415，14142）,比检查min｛m，n｝和gcd（m，n）间连续整数的算法快多少倍？请估算一下。

a. gcd(31415, 14142) = gcd(14142, 3131) = gcd(3131, 1618) =gcd(1618, 1513) = gcd(1513, 105) = gcd(1513, 105) = gcd(105, 43) =gcd(43, 19) = gcd(19, 5) = gcd(5, 4) = gcd(4, 1) = gcd(1,0) = 1.b.有a可知计算gcd（31415，14142）欧几里德算法做了11次除法。

连续整数检测算法在14142每次迭代过程中或者做了一次除法，或者两次除法，因此这个算法做除法的次数鉴于1·14142 和2·14142之间，所以欧几里德算法比此算法快1·14142/11 ≈1300 与2·14142/11 ≈2600 倍之间。

6.证明等式gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)对每一对正整数m,n都成立.Hint:根据除法的定义不难证明:●如果d整除u和v, 那么d一定能整除u±v;●如果d整除u,那么d也能够整除u的任何整数倍ku.对于任意一对正整数m,n,若d能整除m和n,那么d一定能整除n和r=m mod n=m-qn；显然，若d能整除n和r，也一定能整除m=r+qn和n。

数对(m,n)和(n,r)具有相同的公约数的有限非空集，其中也包括了最大公约数。

算法分析与设计习题答案《算法分析与设计》期末复习题及答案⼀、简要回答下列问题：1.算法重要特性是什么？2.算法分析的⽬的是什么？3.算法的时间复杂性与问题的什么因素相关？4.算法的渐进时间复杂性的含义？5.最坏情况下的时间复杂性和平均时间复杂性有什么不同？6.简述⼆分检索（折半查找）算法的基本过程。

7.背包问题的⽬标函数和贪⼼算法最优化量度相同吗？8.采⽤回溯法求解的问题，其解如何表⽰？有什么规定？9.回溯法的搜索特点是什么？10.n皇后问题回溯算法的判别函数place的基本流程是什么？11.为什么⽤分治法设计的算法⼀般有递归调⽤？12.为什么要分析最坏情况下的算法时间复杂性？13.简述渐进时间复杂性上界的定义。

14.⼆分检索算法最多的⽐较次数？15.快速排序算法最坏情况下需要多少次⽐较运算？16.贪⼼算法的基本思想？17.回溯法的解（x1,x2,……x n）的隐约束⼀般指什么？18.阐述归并排序的分治思路。

19.快速排序的基本思想是什么。

20.什么是直接递归和间接递归？消除递归⼀般要⽤到什么数据结构？21.什么是哈密顿环问题？22.⽤回溯法求解哈密顿环，如何定义判定函数？23.请写出prim算法的基本思想。

参考答案：1. 确定性、可实现性、输⼊、输出、有穷性2. 分析算法占⽤计算机资源的情况，对算法做出⽐较和评价，设计出额更好的算法。

3. 算法的时间复杂性与问题的规模相关，是问题⼤⼩n的函数。

4．当问题的规模n趋向⽆穷⼤时，影响算法效率的重要因素是T(n)的数量级，⽽其他因素仅是使时间复杂度相差常数倍，因此可以⽤T(n)的数量级(阶)评价算法。

时间复杂度T(n)的数量级(阶)称为渐进时间复杂性。

5. 最坏情况下的时间复杂性和平均时间复杂性考察的是n固定时，不同输⼊实例下的算法所耗时间。

最坏情况下的时间复杂性取的输⼊实例中最⼤的时间复杂度：W(n) = max{ T(n，I) } , I∈Dn平均时间复杂性是所有输⼊实例的处理时间与各⾃概率的乘积和：A(n) =∑P(I)T(n，I) I∈Dn6. 设输⼊是⼀个按⾮降次序排列的元素表A[i：j] 和x，选取A[(i+j)/2]与x⽐较，如果A[(i+j)/2]=x，则返回(i+j)/2，如果A[(i+j)/2]回溯法的搜索特点是什么7. 不相同。