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第四章 Bezier曲线曲面Ⅱ第三节 Bezier曲线的升阶与降阶2009-08-29 21、升阶的含义与目的：含义：Bezier曲线的升阶就是保持Bezier曲线的 形状与定向不变的条件下增加控制顶点的个数。
目的：增加对曲线形状控制的灵活性，同时在Bezier 曲线拼接或构造张量积Bezier曲面时也要经常涉及 到Bezier曲线的升阶，需要强调的是Bezier曲线的 升阶并没有影响曲线实际的次数。
2009-08-29 32009-08-2942、升阶公式, 0Bezier ()()nj j n j n p t b B t = = å r r设 次 曲线为： 升阶后变 为：1 (1),1 0()()n j j n j p t b B t + + = = å r r 1 (1),,1()() n n j j n j j n j j b B t b B t + + == = åå r r 令： 即：1 (1)1 1 0(1)(1) n n j jn j j j n jj n j n j j b C t t b C t t + -+- + == -=- åå r r2009-08-295[(1)](1)n j jn jj n j t t b C t t - = +-- å r 对上式左边乘以[t +(1-t )],得：11 0[(1)(1)]nj jn j j n jj n j b C t t t t +-+- = =-+- å r 1 (1)11 1 0(1)(1) n j j n j j n jj n j b C t t t t + +-+- + = -- å r 与 比较项前的系数，可得： (1)111 j j j j n j n j nb C b C b C - +- =+ r r r2009-08-296注：1）从上式可以看出升阶后的控制顶点是升阶前控 制顶点的凸组合，新控制多边形一定在旧控制多 边形的凸包内。
实验报告贝塞尔曲线生成算法的设计与调试一、实验目的在掌握曲线、曲面数学理论的基础上，通过调试，绘制Bezier 曲线。
加深同学对数学理论的理解。
通过二条Bezier曲线的拼接设计，掌握自由曲线的拟合方法。
二、实验原理1、由三次Bezier曲线的公式：P（t）=∑P i B i,3(t) 出发，编写生成Bezier曲线的程序，要求如下：（1）用鼠标输入特征多边形的四点。
然后调用Bezier曲线生成算法绘出曲线。
（2）重复上步3—4遍，验证编写的算法的正确性。
2、将特征多边形改为五个控制点，修改程序后绘出四次曲线。
3、实现二条三次Bezier的拼接，并使连接点处保持一阶连续。
三、实验程序typedef cptype float[4][4];float cc (int n,int i) //计算n!/（i!(n-i)!）{int j;float a;a=1;for(j=i+1;j<=n;j++) a*=j;for(j=2;j<=n-i;j++) a/=j;return a;}float b_lend(Int i,int n,float t2) //计算B i,n(t){float v;v=cc(n,i);for(j= 1;j<=i;j++) v*=t2;for(j=1;j<=n-i;j++) v*=(1-t2);return v;}void bezier(float x0,float y0,float z0,float t0,int n,cptype cp2)//给定t0,计算f(t0){int i;float b1,g;for(i=0;i<=n;i++){b1=b_lend(i,n,t0);x0=x0+cp2[i,1]*b1;y0=y0+cp2[i,2]*b1;z0=z0+cp2[i,3]*b1;}}void draw_curv(int k,cptype cp1)//将t分成k等份,循环迭代，绘出曲线。
球域bézier曲线
球域Bézier曲线是一种几何建模技术，它用于描述三维空间中球形区域内的曲线。
这种曲线是通过使用Bézier曲线和Bézier曲面在球面上的投影来定义的。
球域Bézier曲线的基本思想是将球面分割成一系列小的曲面片，然后将每个曲面片近似为Bézier曲面。
通过将这些Bézier曲面连接起来，形成一条平滑的曲线。
球域Bézier曲线的定义需要使用球面坐标系。
在球面坐标系中，球心位于原点，x 轴和y轴分别与球面上的经线和纬线对应。
球面上的任意一点P可以用经度θ、纬度φ和半径r来表示。
球域Bézier曲线的参数形式可以用以下公式表示：
P(t) = (r(t) * sin φ1(t) * cos θ1(t), r(t) * sin φ1(t) * sin θ1(t), r(t) * cos φ1(t))
其中，t是参数，r(t)、φ1(t)和θ1(t)是Bézier曲线和曲面在球面上的投影。
通过调整Bézier曲线和曲面的控制点，可以改变球域Bézier曲线的形状和弯曲程度。
同时，通过调整参数t的范围，可以控制曲线的长度和方向。
球域Bézier曲线在三维建模、动画制作、虚拟现实等领域有着广泛的应用。
它可以用于创建复杂的曲面和曲线，如地形、建筑物、植物等。
同时，球域Bézier曲线还可以
与其他几何建模技术结合使用，如NURBS、细分曲面等，以创建更加逼真的三维模型。
计算机图形学实验报告实验名称 Bezier曲线和样条曲线的生成算法评分实验日期年月日指导教师姓名专业班级学号一、实验目的1、复习Bezier曲线和B样条曲线的参数表示法。
2、编程实现用二次Bezier曲线绘制。
3、编程实现用三次Bezier曲线绘制和分段光滑Bezier曲线图形的绘制。
4、用三次B样条函数绘制曲线。
二、实验要求1、编程实现在屏幕上绘制出两次Bezie曲线的几何图形和特征多边形图形，对于直线和曲线设置不同的线形和颜色。
2、现在屏幕上绘制出三次Bezie曲线的几何图形和特征多边形图形，对于直线和曲线设置不同的线形和颜色。
1、编程实现用分段三次Bezier曲线绘制光滑Bezier曲线图形。
1、编程实现在屏幕上绘制出三次B样条函数绘制曲线。
2、编程实现在屏幕上绘制出光滑连接的三次B样条曲线。
三、关键算法及实现原理1、二次Bezier曲线的计算公式为：P(t)=(P0-2P1+P2)t2+(-2P0+2P1)t+P0X(t)=(X0-2X1+X2)t2+(-2X0+2X1)t+X0Y(t)=(Y0-2Y1+Y2)t2+(-2Y0+2Y1)t+Y0其中P0、P1、P2为三个已知的点，坐标分别为(X0、Y0)、(X1、Y1)、(X1、Y2)。
2、次Bezier曲线的计算公式为：P(t)=(-P0+3P1-3P2+P3)t3+(3P0-6P1+3P2)t2+(-3P0+3P1)t+P0X(t)= (-X0+3X1-3X2+X3)t3+(3X0-6X1+3X2)t2+(-3X0+3X1)t+X0Y(t)= (-Y0+3Y1-3Y2+Y3)t3+(3Y0-6Y1+3Y2)t2+(-3Y0+3Y1)t+Y0其中P0、P1、P2、P3为四个已知的点，坐标分别为(X0、Y0)、(X1、Y1)、(X1、Y2) 、(X3、Y3)。
3、三次B样条函数绘制曲线的计算公式为：P(t)=[(-P0+3P1-3P2+3P3)t3+(3P0-6P1+3P2)t2+(-3P0+3P2)t+(P0+4P1+P2)]/6X(t)=[(-X0+3X1-3X2+3X3)t3+(3X0-6X1+3X2)t2+(-3X0+3X2)t+(X0+4X1+X2)]/6Y(t)=[(-Y0+3Y1-3Y2+3Y3)t3+(3Y0-6Y1+3Y2)t2+(-3Y0+3Y2)t+(Y0+4Y1+Y2)]/6其中P0、P1、P2、P3为四个已知的点，坐标分别为(X0、Y0)、(X1、Y1)、(X1、Y2) 、(X3、Y3)。
贝塞尔曲线是计算机图形学中常用的一种曲线生成算法。
它是通过控制点的位置确定曲线形状的方法。
贝塞尔曲线有三种类型：一次贝塞尔曲线、二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线。
一次贝塞尔曲线由起点P0和终点P1两个控制点确定，它的形状是一条直线。
公式为：B(t) = (1-t) * P0 + t * P1，其中0≤t≤1。
二次贝塞尔曲线由起点P0、控制点P1和终点P2三个控制点确定，它的形状是一条平滑的曲线。
公式为：B(t) = (1-t)^2 * P0 + 2 * t * (1-t) * P1 + t^2 * P2，其中0≤t≤1。
三次贝塞尔曲线由起点P0、两个控制点P1和P2，以及终点P3四个控制点确定，它的形状更加复杂。
公式为：B(t) = (1-t)^3 * P0 + 3 * t * (1-t)^2 * P1 + 3 * t^2 * (1-t) * P2 + t^3 * P3，其中0≤t≤1。
贝塞尔曲线可以用于图形的平滑插值、路径绘制等场景。
在计算机图形学中，常常使用递归的方式来生成和绘制贝塞尔曲线。
贝塞尔曲线（Bezier Curve）和B样条（B-Spline）是计算机图形学中常用的两种曲线生成方法，它们在图形设计、动画制作、CAD软件等领域被广泛应用。
本文将从贝塞尔曲线和B样条的生成原理入手，深入探讨它们的内在机制和应用。
一、贝塞尔曲线的生成原理贝塞尔曲线是一种由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）于1962年在汽车工业中首次引入的曲线生成方法。
其生成原理基于一组控制点来描述曲线的形状，这组控制点通过线性插值的方式来确定曲线的路径。
贝塞尔曲线的生成过程可以简要描述如下：1. 定义控制点：从给定的控制点集合中选择若干个点作为曲线的控制点。
2. 插值计算：根据控制点的位置和权重，通过插值计算得到曲线上的点。
3. 曲线绘制：利用插值计算得到的曲线上的点，进行绘制来呈现出贝塞尔曲线的形状。
在具体应用中，贝塞尔曲线的生成可以通过线性插值、二次插值和三次插值等不同插值方式来实现，其中三次插值的贝塞尔曲线应用最为广泛，其生成原理更为复杂，但也更为灵活。
二、B样条的生成原理B样条（B-Spline）是另一种常用的曲线生成方法，在实际应用中具有一定的优势。
B样条的生成原理与贝塞尔曲线不同，它是基于多项式函数的分段插值来描述曲线的形状。
B样条的生成过程可以简要描述如下：1. 定义控制点和节点向量：B样条需要定义一组控制点和一组节点向量（Knot Vector）来描述曲线的形状。
2. 基函数计算：根据节点向量和控制点，计算出关联的基函数（Basis Function）。
3. 曲线计算：利用基函数和控制点的权重，通过计算得到曲线上的点。
相比于贝塞尔曲线，B样条更为灵活，可以更精细地描述曲线的形状，并且能够进行局部编辑，使得曲线的变形更加方便。
三、应用比较与总结贝塞尔曲线和B样条是两种常用的曲线生成方法，它们各自具有一些优势和劣势，在实际应用中需要根据具体情况做出选择。
1. 灵活性比较：B样条相对于贝塞尔曲线更加灵活，能够更精细地描述曲线的形状，并且能够进行局部编辑，使得曲线的变形更加方便。
实验三贝齐尔（Bezier）曲线曲面的生成方法
实验类型：综合型
一、目的与任务
目的：通过学生上机，了解贝齐尔（Bezier）曲线德卡斯特里奥的递推算法和贝齐尔（Bezier）曲线的几何作图法。
任务：熟悉线框建模、表面建模的基本方法。
二、内容、要求与安排方式
1、实验内容与要求：
贝齐尔（Bezier）曲线曲面的德卡斯特里奥的递推算法P（t）=∑Bi,n(t)Q(i)和几何作图法；
要求用熟悉的编程语言编制、调试和运行程序，并打印程序清单和输出结果。
2、实验安排方式：课外编写好程序清单，按自然班统一安排上机。
三、实验步骤
1、熟悉贝齐尔（Bezier）的贝齐尔基函数和贝齐尔的性质
2、贝齐尔（Bezier）曲线的德卡斯特里奥的递推算法；
3、贝齐尔（Bezier）曲线的几何作图法；
4、贝齐尔（Bezier）曲线的德卡斯特里奥的递推算法；
5、贝齐尔（Bezier）曲线的几何作图法。
6、对几何作图法绘制出图，对德卡斯特里奥的递推算法编出程序。
四、实验要求
1．在规定的时间内完成上机任务。
2．必须实验前进行复习和预习实验内容。
3．在熟悉命令过程中，注意相似命令在操作中的区别。
4．指定图形完成后，需经指导教师认可后，方可关闭计算机。
5．完成实验报告一份。
五、试验具体内容
1，Bezier 曲线的描述
在空间给定n + 1 个点P0 ,P1 ,P2 , ⋯,Pn ,称下列参数曲线为n 次的Bezier 曲线。
P(t) = 6n
t = 0
PiJ i ,n (t) , 0 ≤t ≤1
其中J i ,n (t) 是Bernstein 基函数,即
B i ,n (t) = n !／i !(n - i) *t(1-t);
i = 0 , ⋯⋯,n
一般称折线P0P1P2 ⋯Pn 为曲线P(t) 的控制多边形;称点P0 ,P1 ,P2 , ⋯,Pn 为P(t) 的控制顶点。
在空间曲线的情况下,曲线P(t) = (x(t) ,y(t) ,z (t) ) 和控制顶点Pi = (Xi ,Yi ,Zi) 的关系用分量写出即为:
X(t) = 6n
i = 0
XiJ i ,n (t)
Y(t) = 6
n
i = 0
YiJ i ,n (t)
Z(t) = 6n
i = 0
ZiJ i ,n (t)
当t 在区间[0 ,1 ] 上变动时,就产生了Bezier 曲线。
若只考虑x和y ,就是平面上的Bezier 曲线。
以三次Bezier 曲线为例,它可用矩阵形式表示如下:
P(t) = [t3 t2 t 1]
- 1 3 - 3 1
3 - 6 3 0
- 3 3 0 0
1 0 0 0
Q(0)
Q(1)
Q(2)
Q(3)
0 ≤t ≤1
2, Bezier 曲线的性质
Bezier 曲线具有以下性质:
当t = 0 时,P(0) = P0 ,故P0 决定曲线的起点,当t = 1 时,P(1) = Pn ,故Pn 决定曲线的终点。
Bezier 曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。
Bezier 曲线P(t) 在P0 点与边P0P1 相切,在Pn点与边Pn- 1Pn 相切。
Bezier 曲线P(t) 位于其控制顶点P0 ,P1 ,P2 ,⋯,Pn 的凸包之内。
Bezier 曲线P(t) 具有几何不变性。
Bezier 曲线P(t) 具有变差缩减性。
3, Bezier曲线的de Casteljau算法
Paul de Casteljau 发现了一个Bezier 曲线非常有趣的特性,任何的Bezier 曲线都能很容易地分成两个同样阶次的Bezier 曲线。
图1 定比分割
如图1 所示,当P0 ,P2 固定,引入参数t ,令
P0P10
P10
P1
=
P1P11
P11
P2
=
P10
P20
P20
P11
的比值为t : (1 - t) ,即有:
P10= (1 - t) P0 + tP1P11= (1 - t) P1 + tP2P20= (1 - t) P10+ tP11t 从0变到1 ,第一、二式是两条一次Bezier 曲线。
将一、二式代入第三式得:
P20= (1 - t) 2P0 + 2t (1 - t) P1 + t2P2
当t 从0 变到1 时,它表示了由P0 、P1 、P2 三个控制顶点形成的一条二次Bezier 曲线。
并且表明:这个二次Bezier 曲线P02 可以定义为分别由前两个顶点(P0 ,P1) 和后两个顶点(P1 ,P2) 决定的一次Bezier 曲线的线性组合。
依次类推,由四个控制点定义的三次Bezier 曲线P03 可被定义为分别由(P0 ,P1 ,P2) 和(P1 ,P2 ,P3) 确定的二条二次Bezier曲线的线性组合,由(n + 1) 个控制点Pi (i = 0 ,1 ,⋯,n) 定义的n 次Bezier 曲线P0n 可被定义为分别由前、后n 个控制点定义的两条(n - 1) 次Bezier曲线P0n- 1 与P1n- 1 的线性组合:
Pn0 = (1 - t) Pn- 10 + tPn- 11 t ∈[0 ,1 ]
由此得到Bezier 曲线的递推计算公式:
Pki =Pi k = 0
(1 - t)Pk- 1
i + tPk- 1
i+1 k = 1 ,2 , ⋯,n ,i = 0 ,1 , ⋯,n - k
这便是de Casteljau 算法。
用这一递推公式,在给定参数下,求Bezier 曲线上一点P (t) 非常有效。
上式中:Pi0 = Pi 是定义Bezier 曲线的控制点,P0n 即为曲线P(t) 上具有参数t 的点。
这一算法可通过简单的几何作图来实现,给定参数t ∈[0 ,1 ] ,把定义域分成长度为t : (1 - t)的两段。
依次对原始控制多边形每一边执行同样的定比分割,所得分点就是第一级递推生成的中间顶点Pi1 (i = 0 ,1 , ⋯,n - 1) ,对这些中间顶点构成的控制多边形再执行同样的定比分割,得第二级中间顶点Pi2 (i = 0 ,1 , ⋯,n - 2) 。
重复进行下去,直到n 级递推得到一个中间顶点P0n 即为
所求曲线上的点P(t) 。
当t = 1/ 2 时,从(2) 式可知,求Pik 只需进行加法和除2 运算,在计算机内除2 运算只需右移1位,计算速度快。
所以通常取t = 1/ 2 最方便,
即每次求得Bezier
曲线的中点。
如图2 所示,有0 ,1 ,2 ,3 四个控制点,计算每条线的中点01 ,12 ,23 ,再得中点012 ,123 ,最后得到的中点0123 即在曲线上。
四个控制点0 ,01 ,012 ,0123 又定义
了左边的曲线, 四个控
制点0123 ,123 ,23 ,3 又定义了右边的曲线,重复对左右的两条曲线再进行定比分
割,多次进
行定比分割后,就可以用直线段代替曲线段[3 ] 。
图2 de Casteljau 算法的几何作图(t = 1/ 2)
六、贝齐尔（Bezier）曲线德卡斯特里奥的递推算法程序清单
#include<stdio.h>
#include<math.h>
void main()
{
int i,j,k,f,u,d,n,m,w,g,h;
char c1;
i=0;j=1;k=1;w=1;g=1;h=1;f=1;u=1;d=1;
printf(" please input n number:\n");
scanf("%d",&n);
for(i=0;i<=n;i++)
{
{ for(g=1;g<=n;g++)
f=f*g;
for(h=1;h<=i;h++)
u=u*h;
for(w=1;w<=(n-i);w++)
d=d*w;
m=f/u/d;
printf("%d",m);
f=1;u=1;d=1;
}
for(j=1;j<=i;j++)
printf("t");
for(k=1;k<=(n-i);k++)
printf("(1-t)");
printf("Q(%d)",i);
if(i==n)break;else printf("+");
}
}
七、运行结果
八，MATLAB曲面生成程序：
[th,r]=meshgrid((0:5:360)*pi/180,0:.05:1); %在极坐标系下设置一个73×21的网格矩阵，
[X,Y]=pol2cart(th,r); %转化为笛卡儿坐标系%
Z=X+i.*Y;
F=abs((Z.^4-1).^(1/4));
surf(X,Y,F); %显示曲面的立体图形%
S=[X(:) Y(:) F(:)]; %把X、Y、F 3个矩阵中的数据存储到矩阵S中%
b=size(S);
S=[floor(1:b(1,1));S']';
save flcxq.ibl S –ascii
图像为：。
