计算方法_李桂成_期末复习要点

计算方法复习题二一、对于线性方程组KX 1+ X 2 = 1X 1+KX 2+X 3 = 2X 2 +KX 3 = 31、 写出相应的Jacobi （雅可比）迭代法和Gauss —Seidel （高斯—德尔）迭代法矩阵形式的迭代公式。

2、 选择合适的K 的值，使Jacobi 迭代法收敛，选择初始向量X （0），计算出X （1） 。

二、对于常微分方程初值问题y ′（x ）=f （x ，y （x ）） ， x ∈[a ，b]y （a ）=y 0试推导出梯形格式。

三、对于给定的方阵A ，若1A <，则矩阵I-A 是非奇异的。

四、证明，当1122a -<<时系数矩阵为111a a A a a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的方程组Ax=b,其雅可比迭代和高斯——赛德尔迭代均收敛。

五、设求方程组Ax=b,其雅可比迭代公式为(1)()k k G b x x +=+ 求证当1G ∞<时相应的高斯—赛德尔迭代亦收敛。

六、给定方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧⎰40)(dx x f 1231231235325242511x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=-⎩请问如何加工方程组，以保证雅可比迭代过程收敛。

七、已知函数表：用复化Simpson 公式求积分的 近似值。

计算方法复习题二答案一、解1、Jacobi 迭代公式()(1)21()()(1)132()(1)23123k k k k k k k k k k x xx x xx x +++-=--=-= Gauss —Seidel 迭代公式 ()(1)21(1)()(1)132(1)(1)23123k k k k k k k k k k x x x x x x x +++++-=--=-= 2、选择 (0)k=3, (0,0,0)x T=,计算 (1)(1)(1)123101200230;;133333x x x ----====== 二、解：作分划0(0,1,...,);i x x ih i N h =+=为定常数在1[,]i i x x +上对方程两端分别积分有11()(,)i i i i x x x x y x dx f x y dx ++=⎰⎰左端直接积分，右端用梯形求积公式计算积分整理，得111[(,)(,)](0,2,...,1)2i i i i i i h y y f x y f x y i N +++=++=- 三、 解：见教材165页。

5.2 雅克比和高斯－赛德尔迭代法5.2.1 雅克比迭代法5.2.2 高斯—赛德尔迭代法5.2.3 迭代法的收敛性返回125.2.1 雅克比迭代法设有方程组矩阵形式为，设系数矩阵A 为非奇异且，从（5.2.1）式的第个方程中解出, 得其等价形式取初始向量，对（5.2.2）式应用迭代法，可建立相应的迭代公式ij nj ijb x a=∑=1),,2,1(n i =)1.2.5(b Ax =),,2,1(0n i a ii =≠i i x ),2,1(1,1n i x a b a x j n i j j ij i ii i =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑≠=)2.2.5(()T nxx x x)0()0(2)0(1)0(,,, =3也可记为矩阵形式若将系数矩阵分解为，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∑≠=+i n i j j k j ij ii k i b x a a x ,1)(1(1）Jk J k f xx+B =+)()1()4.2.5()3.2.5(A U L D --=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn a a a D2211⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--000121323121nn n n a a a a a a L4则方程组，变为得于是于是（5.2.4）式中的分别称为雅克比迭代法的分量形式和矩阵形式，分量形式用于编程矩阵形式用于讨论迭代法的收敛性。

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--0000122311312n n n n a a a a a a Ub x =A b x U L D =--)(()Dx L U x b=++()()b D x A D b D x A D D b Dx U L Dx 111111)(------+-I =+-=++=A -I =B -1D J bD f j 1-=)4.2.5(),3.2.5(55.2.2 高斯—赛德尔（Gauss-Seidel ）迭代法雅克比(Jacobi)迭代法的优点是公式简单，迭代矩阵容易计算。

毕业论文文献综述信息与计算科学定积分的数值计算方法一、 前言部分在科学与工程计算中，经常要计算定积分()()().baI f f x dx a b =-∞≤≤≤∞⎰ （1．1）这个积分的计算似乎很简单，只要求出f 的原函数F 就可以得出积分（1．1）的值，即()()().I f F b F a =- （1．2）如果原函数F 非常简单又便于使用，那么式（1．2）就提供了计算起来最快的积分法．但是，积分过程往往将导出新的超越函数，例如，简单积分1dx x ⎰可引出对数函数，它已不是代数函数了；而积分2x edx -⎰，将引出一个无法用有限个代数运算、对数运算或指数运算组合表示的函数．有些积分虽然容易求解，并且原函数仍然是一个初等函数，但可能过于复杂，以致于人们采用（1．2）来计算之前还得三思而行[1]．例如411dx C x =++⎰， （1．3） 采用式（1．3）这种“精确”表达式时，所需运算次数是个根本问题．由式（1．3）看出，需计算对数和反正切，因此只能计算到一定的近似程度．因此可以看出，这类表面上是“精确”的方法，实际上也是近似的．因此，我们常常需要探讨一些近似计算定积分的数值方法[2]．通过人们的研究和发现，得出了很多数值计算的方法，比如利用牛顿-科茨求积公式，复合求积公式，龙贝格积分法，高斯求积公式，切比雪夫求积法等来解决定积分的数值计算问题．构造数值积分公式最通常的方法是用积分区间上的n 次插值多项式代替被积函数，由此导出的求积公式称为插值型求积公式．特别在节点分布等距的情形称为牛顿-柯茨公式，例如梯形公式与抛物线公式就是最基本的近似公式．但它们的精度较差．龙贝格算法是在区间逐次分半过程中，对梯形公式的近似值进行加权平均获得准确程度较高的积分近似值的一种方法，它具有公式简练、计算结果准确、使用方便、稳定性好等优点，因此在等距情形宜采用龙贝格求积公式．当用不等距节点进行计算时，常用高斯型求积公式计算，它在节点数目相同情况下，准确程度较高，稳定性好，而且还可以计算无穷积分[3]．二、 主题部分2．1 牛顿-科茨求积公式[4]2．1．1 公式的一般形式[4]将积分（1．1）中的积分区间[],a b 分成n 等分，其节点k x 为1,()k x a kh h b a n=+=- (0,1,,)k n =L ． 对于给定的函数f ，在节点k x (0,1,,)k n =L 上的值()k f x 为已知．那么f 在n+1个节点01,,,n x x x L 上的n 次代数插值多项式为00()().n nj n kk j k j j k x x p x f x x x ==≠⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑∏ 如果记x a th =+，则上式可以写为00()().n nn kk j j k t j p x f x k j ==≠⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑∏ （2．1） 在积分（1．1）中的被积函数f 用其n+1个节点的代数插值多项式()n p x 来代替，可 得 ()()()()bbn n aaI f f x dx I f p x dx =≈=⎰⎰．多项式的积分是容易求出的，因此把上式写为()()()nn n k k I f I f A f x =≈=∑， （2．2）其中 ()00(),n n n k k j j kb a t j A dt b ac n k j=≠--==--∏⎰ (2．3) ()00(1)().!()!n kn n n kj j kct j dt k n k n -=≠-=--∏⎰ (2．4) 公式（2．2）称为牛顿-科茨求积公式或称为等距节点求积公式，k A 称为求积公式系数，()n k c 称为科茨求积系数．牛顿-科茨求积公式的误差估计()n E f ()()n I f I f =-，由下面定理给出 定理2．1 (1) 如果n 为偶数，(2)n f +在[],a b 上连续，则有[]3(2)()(),,n n n n E f c hf a b ηη++=∈， （2．5）其中 201(1)(2)()(2)!n n c t t t t n dt n =---+⎰L ． (2) 如果n 为奇数，(1)n f+在[],a b 上连续，则有[]2(1)()(),,n n n n E f c h f a b ηη++=∈， （2．6）其中 01(1)(2)()(1)!n n c t t t t n dt n =---+⎰L ． 定义2．1 如果求积公式()()nbk k ak f x dx A f x =≈∑⎰对所有次数不高于n 的代数多项式等式精确成立，但存在n+1次的代数多项式使等式不成立，则称上式求积公式具有n 次代数精度．由定理2．1可知，牛顿-科茨求积公式（2．2）的代数精度至少是n 次，而当n 是偶数时，（2．2）的代数精度可达n+1次．2．1．2 梯形公式[5]在牛顿-科茨公式（2．2）中，取n=1时(1)(1)011,2c c ==所以有 []1()()()().2b aI f I f f a f b -≈=+ （2．7） 公式（2．7）称为梯形公式，如果用连接(),()a f a 和(),()b f b 的直线来逼近f ，并对这线性函数进行积分可得到1()I f ．再用1()I f 来逼近()I f ． 定理 2．2 若[]2,f Ca b ∈，则梯形公式（2．7）的误差为[]3111()()()()''(),,.12E f I f I f b a f a b ηη=-=--∈ 2．1．3 辛普森公式[6]在牛顿-科茨公式（2．2）中,取n=2，则有220011(1)(2),46c t t dt =--=⎰221014(2),26c t t dt =--=⎰ 222011(1),46c t t dt =-=⎰有此得到2()()()4()().32h a b I f I f f a f f b +⎡⎤≈=++⎢⎥⎣⎦（2．8） 其中1()2h b a =-．式（2．8）称为辛普森公式． 定理2．3 若[]4,f Ca b ∈，则辛普森公式（2．8）的误差为[]5(4)221()()()(),,.90E f I f I f h f a b ηη=-=-∈2．2 复化求积公式[7]上面已经给出了计算积分()()baI f f x dx =⎰的3个基本的求积公式：梯形公式，辛普森公式，牛顿-科茨公式，并给出了它们误差的表达式．由这些表达式可知其截断误差依赖于求积区间的长度．若积分区间的长度是小量的话，则这些求积公式的截断误差是该长度的高阶小量．但若积分区间的长度比较大，直接使用这些公式，则精度难以保证．为了提高计算积分的精度，可把积分区间分为若干个小区间，()I f 等于这些小区间上的积分和，然后对每个小区间上的积分应用上述求积公式，并把每个小区间上的结果累加，所得到的求积公式称为复化求积公式．将积分区间[],a b 作n 等分，并记,,0,1,,k b ah x a kh k n n-==+=L ，于是 11()()k kn x x k I f f x dx +-==∑⎰．2．2．1 复化梯形求积公式[8]如果需要求出一个已知函数()f x 在一个很大区间[],a b 上的积分，那么我们可以把区间分成n 个长度为x h ∆=的小区间，对每一个小区间用梯形法则，然后再把这些小区间上的积分值相加．于是就得到了计算定积分的复化梯形公式：1101210()()(222)22n bi i n n ai h hf x dx f f f f f f f -+-=≈+=+++++∑⎰L (2．9)整体积分误差等于n 个小区间上的积分误差之和：整体误差= []312''()''()''()12n h f f f ξξξ-+++L ，其中i ξ是第i 个小区间上的某一点．如果''()f x 在区间[],a b 上连续，那么由连续函数的性质可知，在区间[],a b 上存在点ξ使得''()i f ξ的平均值等于()f ξ．于是由于nh b a =-,有整体误差= 322''()''()()1212nh b a f h f O h ξξ--=-=， 局部误差是3()O h ，整体误差是2()O h ．2.2.2 复化辛普森求积公式[9]对于积分()baf x dx ⎰，将[],a b 等分，每个小区间长度b ah n-=，节点记为 (0,1,2,,)k x a kh k n =+=L ，第k 个小区间记为[]1,(1,2,,)k k x x k n -=L ．记[]1,k k x x -的中点为1121()2k k k xx x --=+，则复化辛普森公式为 1112()()()4()()6n bk k ak k h f x dx S h f x f x f x --=⎡⎤≈=++⎢⎥⎣⎦∑⎰．2．3 龙贝格积分[10]现在要介绍用龙贝格（Romberg ）命名的一个算法，龙贝格首先给出了这种算法的递推形式，假设需要积分()baI f x dx =⎰ （2．10）的近似值．在讨论过程中函数()f x 和区间[],a b 将保持不变．2．3．1 递推梯形法则[10]设()T n 表示在长度是()/h b a n =-的n 个子区间上积分I 的梯形法则．根据()''()nbai f x dx h f a ih =≈+∑⎰，我们有 00()()''()''()nn n i i b a b a T h f a ih f a i n n ==--=+=+∑∑， （2．11） 这里求和符号中的两撇表示和式中第一项和最后一项减半． 2．3．2 龙贝格算法[10]在龙贝格算法中使用上述公式．设(,0)R n 表示具有2n个子区间的梯形估计，我们有[]1211(0,0)()()()21(,0)(1,0)((21))2n n n i R b a f a f b R n R n hf a i h -=⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++-⎪⎩∑ ， （2．12） 对于一个适度的M 值，计算(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)R R R R M L ，并且其中没有重复的函数值的计算．在龙贝格算法的其余部分中，还要计算附加值(,)R n m ．所有这些都可以被理解为积分I 的估计．计算出(,0)R M 后，不再需要被积函数f 值的计算．根据公式[]1(,)(,1)(,1)(1,1)41m R n m R n m R n m R n m =-+-----， （2．13）对于1n ≥和1m ≥构造R 阵列的各列．定理 2．4（龙贝格算法收敛性定理）[10]若[],f C a b ∈，则龙贝格阵列中每一列都收敛于f 的积分．因此，对每个m ，lim (,)()baR n m f x dx =⎰．2．4高斯求积[11]前面研究的求积公式都是事先确定了n 个节点，然后按使求积公式阶数达到最大的原 则选取最佳权．由于自由参数为n 个，所以阶数一般为n-1，但如果节点的位置也自由选择，则自由参数的个数将变为2n ，因此求积公式的阶数可达到2n-1．高斯求积公式就是通过选择最佳的节点和权，使求积公式的阶数最大化．一般地，对每个n ，n 点高斯公式都是唯一的，而且阶数为2n-1．因而，对一定的节点个数，高斯求积公式的精度是最高的．但它的求得比牛顿—柯特斯公式要困难得多．虽然它的节点和权也可由待定系数法确定，但得到的方程是非线性的．2．4．1 高斯求积公式[11]为说明高斯求积公式，推导区间[]1,1-上的两点公式1112221()()()()()I f f x dx w f x w f x G f -=≈+=⎰，其中的节点1x 、2x 及权1w 、2w 按使求积公式阶数最大化的原则选取．令公式对前四个单项式精确成立，得力矩方程组112111122112221122113331122112,0,2,30.w w dx w x w x xdx w x w x x dx w x w x x dx ----⎧+==⎪⎪+==⎪⎪⎨⎪+==⎪⎪+==⎪⎩⎰⎰⎰⎰这个非线性方程组的一个解为12121,1,x x w w =-===另一个解可通过改变1x ，2x 的符号而得到．这样，两点高斯求积公式为2()(G f f f =-+，阶数为3．另外，高斯求积公式的节点也可以由正交多项式得到．若p 是n 次多项式，且满足()0,0,,1,bk ap x x dx k n ==-⎰L 则p 与[],a b 区间上所有次数小于n 的多项式正交，容易证明：1． p 的n 个零点都是实的、单的，且位于开区间(,)a b ．2． 区间[],a b 上以p 的零点为节点的n 点插值型求积公式的阶数为2n-1，是唯一的n 点高斯公式．定义2．2[12] 如果1n +个节点的求积公式()()()nbk k ak x f x dx A f x ρ=≈∑⎰（2．14）的代数精度达到21n +，则称式（2．14）为高斯型求积公式，此时称节点k x 为高斯点，系数k A 称为高斯系数．定理2．5[12] 以01,,,n x x x L 为高斯点的插值型求积公式具有21n +次代数精确度的充要条件是以这些节点为零点的多项式101()()()()n n x x x x x x x ω+=---L与任意次数不超过n 的多项式()p x 带权()x ρ均在区间[],a b 上正交，即1()()()0bn ax p x x dx ρω+=⎰． （2．14）定理2．6 高斯公式()()nbi i ai f x dx A f x =≈∑⎰（2．15）的求积系数k A 全为正，且 2()(),0,1,,bbk k k aaA l x dx l x dx k n ===⎰⎰L ． （2．16）定理2．7 对于高斯公式（2．14），其余项为 (22)211()()()()(22)!b n n a R f f x x dx n ξρω++=+⎰ ， （2．17） 其中[]101,,()()()().n n a b x x x x x x x ξω+∈=---L2．4．2 高斯—勒让德（Gauss-Legendre ）公式[13] 对于任意求积区间[],a b ，通过变换22a b b ax t +-=+，可化为区间[]1,1-，这时11()()222bab a a b b af x dx f t dt --+-=+⎰⎰． 因此，不失一般性，可取1,1a b =-=，考查区间[]1,1-上的高斯公式 11()()ni i i f x dx A f x -==∑⎰． （4．5）我们知道，勒让德多项式1211111()(1)2(1)!n n n n n d L x x n dx+++++⎡⎤=-⎣⎦+， （4．6） 是区间[]1,1-上的正交多项式，因此，1()n L x +的n+1个零点就是高斯公式（4．5）的n+1个节点．特别地，称1()n L x +的零点为高斯点，形如（4．5）的高斯公式称为高斯—勒让德公式．以上这些公式中的节点和求积系数可查表得到． 2．4．3 高斯—哈米特求积公式（Gauss-Hermite ）[14] Gauss-Hermite 求积公式2()0()()nx n k k k ef x dx f x ω∞--∞=≈∑⎰， （4．7）其余项为(22)1(().2(22)!n n n n R f f n ξ+++=+ （4．8）2．4．4 高斯—切比雪夫（Gauss-Chebyshev ）求积公式[15] 区间为[]1,1-，权函数()x ρ=Gauss 型求积公式，其节点k x 是Chebyshev多项式1()n T x +的零点，即21cos (0,1,,)2(1)k k x k n n π⎡⎤+==⎢⎥+⎣⎦L ，而(0,1,,)1k A k n n π==+L于是得到1021cos 12(1)nk k f n n ππ-=⎡⎤+≈⎢⎥++⎣⎦∑⎰（4．9） 称为Gauss-Chebyshev 求积公式，公式的余项为 (22)2(1)2()(),(1,1)2(22)!n n n R f f n πηη++=∈-+ ， （4．10） 这种求积公式可用于计算奇异积分．2．5 递推型高斯求积[10]高斯求积公式不具有递推性：当节点个数一定时，如果自由选择所有的节点和权以达到最高的阶数，则节点个数不同的公式一般没有公共节点，这意味着与一组节点对应的积分值，在用另外一组节点计算积分值时不能被利用．Kronrod 求积公式避免了这种工作量的增加，这类公式是对称的，n 点高斯公式n G 与2n+1个点Kronrod 公式21n K +对应．21n K +节点的约束条件为：以n G 的节点作为21n K +的节点，按求积公式达到最高阶数的要求确定21n K +中剩下的n+1个节点及2n+1个权（其中包括n G 的节点的权）．这样，求积公式的阶数可达到3n+1，而真正2n+1个点高斯公式应该是4n+1阶的，所以精度和效率是一对矛盾．使用两个节点个数不同的求积公式的主要原因是可以用它们的差估计积分近似值的误差．使用Gauss-Kronrod 公式对时，若以21n K +的值作为积分的近似值，则一半基于理论，一半基于经验，可以得到关于误差的保守估计： 1.521(200)n n G K +-．Gauss-Kronrod 公式不仅有效地提供了较高的精度，还给出了可靠误差估计，所以它被认为是最有效的求积公式之一，并且构成了主要软件库中求积程序的基础，特别地，公式715(,)G K 已被普遍使用．三、 总结部分因为一些定积分的求解比较复杂，所以数值积分的理论与方法一直是计算数学研究的基本课题．各种定积分的数值计算方法的出现和发展，加快和简化了求解定积分的效率和步骤．以上主要介绍了各种数值积分的方法——牛顿-科茨求积公式，复合求积公式，龙贝格积分法，高斯求积公式等．每种方法都有各自的优缺点，针对不同的积分函数采用不同的方法，所以在实际计算时，要做适当的采取．相信随着理论分析和研究的日益深入，求定积分的数值计算方法将更加简单和完善，为我们的计算带来前所未有的方便，在数学领域也将会更上一层楼．四、参考文献[1] 孙志忠，吴宏伟，袁慰平，闻震初．计算方法与实习（第4版）[M]．南京：东南大学出版社，2009,(2)： 128~129．[2]Micheal T ．Heath ． 张威，贺华，冷爱萍译．科学计算导论（第2版）[M]．北京：清华大学出版社，2005，(10)： 396~297．[3]李桂成．计算方法[M]．北京：电子工业出版社，2005，(10)：186．[4] 现代应用数学手册编委会． 现代应用数学手册——计算与数值分析卷[M]． 北京：清华大学出版社，2005，(1)： 163~168．[5] 林成森． 数值计算方法（上）[M]． 北京：科学出版社，2004，(5)： 220~221．[6]冯康．数值计算方法[M]．北京：国防工业出版社，1978，(12)： 45~47．[7]孙志忠，袁慰平，闻震初．数值分析（第2版）[M]．南京：东南大学出版社，2002，(1)： 191~194．[8] （美）柯蒂斯F ．杰拉尔德 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小学计算方法与知识点归纳在小学阶段，学生学习的数学内容包括了计算方法和知识点。

计算方法是指学生通过某种方式进行数学运算的技巧和方法，而知识点则是数学的基本概念和原理。

在这篇文章中，我们将归纳整理小学阶段常见的计算方法和知识点，帮助学生掌握基本的数学技巧和理论。

计算方法1. 四则运算：小学阶段学生需要掌握加法、减法、乘法和除法这四种基本的运算方法。

加法和减法是最基本的计算方法，通过掌握数的加减法，学生可以计算简单的数字之间的运算。

乘法和除法进一步扩展了学生的运算能力，使他们可以处理更复杂的数字和问题。

2. 近似计算：近似计算是指用一个近似的数值来代替一个准确的数值。

在小学阶段，学生学习如何快速估算一个数的大小，以及如何使用近似计算来简化复杂的运算。

3. 分数运算：分数是数学中常见的概念，小学阶段学生需要学习如何进行分数的加减乘除运算。

分数运算是一个相对较难的概念，需要学生掌握分数的基本性质和运算规则。

4. 百分数和比例：百分数是指以百分之一为单位的数，比例是用来表示两个量之间的关系。

小学阶段学生需要学习如何计算百分数和比例，并运用它们解决实际问题，如计算折扣和利率。

5. 面积和体积计算：面积是平面图形所占用的空间大小，体积是立体图形所占用的空间大小。

小学阶段学生需要学习如何计算各种平面图形和立体图形的面积和体积，如矩形、三角形、圆形、长方体、正方体等。

知识点1. 数的基本概念：数是数学的基本概念，小学阶段学生需要学习自然数、整数、有理数和实数的概念。

他们需要了解不同类型数之间的关系和性质，以及如何在数轴上表示和比较不同的数。

2. 数的性质和规律：小学阶段学生需要学习数的性质和规律，如奇数和偶数的性质、质数和合数的性质、数字之和的性质等。

他们需要了解这些性质和规律在数学运算和问题解决中的应用。

3. 小数和分数：小学阶段学生需要学习小数和分数的概念和表示法，以及它们在数学运算和实际问题中的应用。

学生需要掌握小数和分数之间的转换，以及如何进行小数和分数的比较、加减乘除运算。

注：仅供参考引 论1．基于化归策略的三种基本的算法设计技术为缩减技术、校正技术、松弛技术.缩减技术的设计思想是大事化小，小事化了，如多项式求值的秦九韶算法；校正技术的设计思想是删繁就简，逐步求精，如求开方值的迭代公式；松弛技术的设计思想是优劣互补，化粗为精，如求倒数的迭代算法．2．由计算公式32((()))ax bx cx d ax b x c x d +++=+++知，此算法运用了 缩减技术.3．设计累乘求积1ni i T a ==∏算法时，可以运用缩减技术．4．由计算公式322222(((())))x x x =知：此算法运用了缩减技术．5．开方公式是校正技术的应用．第一章1．设()i x ϕ为n 次的Lagrange 插值基函数，0~i x i n=（）为两两互异的 节点，则：()i x ϕ=0(),0~n j i j j j ix x i n x x =≠-=-∏； 32()x ϕ= 0 ； 0()n i i x ϕ==∑ 1 ； 若0()()()n n i i i P x x f x ϕ==∑则()n P x 为次数n 的插值多项式．2．20ni i y =∆=∑ 10n y y + ∆ - ∆ ．3．设()p x 、()N x 是()f x 满足同一插值条件的n 次lagrange 、Newton 插值多项式，则()p x = ()N x ；若()f x 也是次数不超过n 的代数多项式，则：()p x = ()f x ．4．设()3(1)(2)(3)f x x x x x =---，则差商[0,1,2,3]f = 0 ，[0,1,2,3,4]f = 3 ，[0,1,2,3,4,5]f = 0 ．5．已知32()61f x x x =++，则差商23[1,2,2,2]f = 6 ．6．332,01()1(1)(1)(1)1,132x x s x x a x b x x ⎧ ≤≤⎪=⎨-+-+-+ ≤≤⎪⎩ ，若()s x 是[]0,3上以 0,1,3为节点的三次样条函数，则,a b = 3 = 3 .7．构造插值多项式的三种基本方法是余项校正法、基函数法、待定系数法．第二章1．五个节点的Gauss 求积公式具有 9 阶精度；而五个节点的Newton Cotes -公式具有 5 阶精度．2．复化梯形求积公式具有 1 阶代数精度．3．Romberg （龙贝格）算法中，24133n n n S T T =- ． 4．已知[](1)0()()(),,,n b m i i a i f x dx A f x kf a b k ξξ-==+∈∑⎰为常数，则求积公式0()()n b i i a i f x dx A f x =≈∑⎰的代数精度为2m - 阶．5．n 个节点的cot Newton es -公式的代数精度至少为1n - ． 6． Romberg 算法设计中，运用了松弛技术．7．复化Cotes 公式与复化Simpson 公式之间存在公式21611515n n n C S S = - .8．n 个节点的Gauss 求积公式具有21n - 阶的代数精度．第三章1．梯形格式111((,)(,))2n n n n n n h y y f x y f x y +++=++具有 2 阶精度． 2．改进的Euler 格式是 2 阶的方法，其计算公式为11[(,)(,(,))]2n n n n n n n n h y y f x y f x y hf x y ++ =+++ ． 3．Euler 格式是 1 阶的方法，其计算公式为1(,)n n n n y y hf x y + =+ ．4．隐式Euler 格式111(,)n n n n y y hf x y +++=+是 1 阶的方法．5．差分格式112(,)n n n n y y hf x y +-=+是两步法,显式公式．第四章1． Newton 迭代法求方程的根时，在重根附近是线性收敛的．2．迭代010()()()k k k k k x x x x f x f x f x +-=--是弦截法迭代公式． 3．若迭代1()k k x g x +=收敛于方程()x g x =的根*x ，且**()()0g x g x '''==， 而*()0g x '''≠则此迭代是 3 阶收敛的．4．Newton 迭代法求方程的根时，在单根附近是平方收敛的．5．设迭代函数()x ϕ在方程()x x ϕ=的根*x 的邻近有连续的二阶导 数，且*()1x ϕ'<，则1()k k x x ϕ+=在*x 附近，当*()0x ϕ'≠时，是 1阶收敛的；而*()0x ϕ'= ，*()0x ϕ''≠时，是 2 阶收敛的． 6．“设[]1(),0,11x x x ϕ= ∈+，则由于(0)1ϕ'=， 即迭代函数不满足 压缩性条件，所以[]00,1x ∀∈ ，迭代1()k k x x ϕ+=是发散的” 此结 论 不正确 的．7．方程()0f x =求根的迭代111()()()k k k k k k k x x x x f x f x f x -+--=--是快速弦截法。

数值分析复习要点引论1数值计算研究的对象与特点计算方法研究的对象是专门研究各种数学问题的计算机解法（数值解法）, 包括方法的构造和求解过程的理论分析及软件实现, 包括方法的收敛性、稳定性以及误差分析等.计算方法即具有纯数学的抽象性与严密性的特点, 又具有应用的广泛性与实验的技术性特点.2误差的概念2.1误差的来源模型误差：数学模型的解与实际问题的解之间出现的误差, 称为模型误差测量误差：在测量具体数据时产生的误差称为测量误差.截断误差：数学模型的准确解与数值方法的准确解之间的误差称为截断误差舍入误差：由于计算机字长的限制而产生的误差, 称为舍入误差.2.2 误差的度量..(1).(2).(3).绝对误差与绝对误差限相对误差与相对误差限有效数字2.3误差的传播和、差的误差限不超过各误差限的和.积、商的相对误差限不超过各相对误差限的和.3数值计算的若干原则避免两相近数相减和绝对值太小的除数、简化计算步骤、使用数值稳定的算法方程求根1 二分法用二分法求方程 f ( x) 0 的实根 x * 的近似值 , 其主要思想是: 将含有根x* 的隔离区间二分通过判断二分点与边界点函数值的符号, 逐步对半缩小隔离区间, 直到缩小到满足精度要求为止 , 然后取最后二分区间的中点为根x * 的近似值 .,2迭代法一般地 , 为了求一元非线性方程 f (x)0 的根 , 可以先将其转换为如下的等价形式xx 然后构造迭代公式 . x k 1x k k 0,1,23收敛性和收敛速度（收敛性基本定理）的条件和结论收敛速度的快慢可用收敛阶来衡量. （收敛阶）设序列x k k 0收敛到x*,并记误差e k | x k x*| . 若存在常数 p 1 和 c0 , 使得 : lim ekp1ck e k则称序列x k k 0是 p 阶收敛的 , 当 p 1 时 , 称为线性收敛 , 当 p 1 时 , 称为超线性收敛 ,当 p 2 时 , 称为二次收敛或平方收敛 .4牛顿迭代公式及其收敛性牛顿迭代公式x k 1 x k f ( x k ) k 0,1,2f (x k )牛顿法的收敛性设 x*是方程 f ( x) 0 的单根 ,并且 f (x) 在x*的邻域上连续,则牛顿迭代法（ 3.4.1）至少平方局部收敛 .解线性方程组的直接法1高斯消去法消元过程为：对 k 1,2, , n 1 逐次计算 :l ik( k ) a ij a ik(k 1)/ a kk(k 1) ,( i k1,, n)a ij( k1)l ik a kj(k1) ,( i , j k1, , n)b i( k1)l ik b k( k1) ,( i k1,,n )回代过程：逐步回代求得原方程组的解x n b n(n 1) / a nn(n 1)nx k(b k( k 1)a kj(k 1) x j ) / a kk(k 1) ,( k n 1,n 2, ,1)j k1高斯消去法的乘除法总计算量为：1 n3 1 n2 6 n 1 n2 1 n 1 n3n 2 1 n32522332高斯—约当消去法约当消去法的计算过程为：对于 k 1,2,, n 计算：a kj(k )a kj(k 1)/ a kk(k 1) ( j k1,,n1) ( k )(k 1)( k 1)( k )(i1,2,且aij aijaikakj,n i k; j k 1,k 2, , n 1)乘除法的总次数为:1 n31n2.22它比高斯消去法的计算量大,但不需要回代过程3向量和矩阵的范数、条件数向量范数 :nn211 范数x 1x i2范数x 2(x i ) 2范数xmax x ii 1i 11 i n矩阵的范数设 x 为 n 维向量 , A 为 n 阶方阵 , 则算子范数 :nAmax ij 称为矩阵 A 的行范数。

计算方法李桂成
摘要：
1.计算方法简介
2.李桂成的计算方法贡献
3.计算方法的实践应用
4.总结与展望
正文：
随着科技的不断发展，计算方法在各个领域发挥着越来越重要的作用。

在我国，有一位杰出的数学家——李桂成，他在计算方法领域做出了许多卓越的贡献。

本文将简要介绍李桂成的计算方法，以及他的研究成果在实际应用中的价值。

李桂成，我国著名数学家，长期从事计算方法的研究。

他的研究涉及数学、物理、化学、生物等多个学科，为我国计算方法领域的发展做出了巨大贡献。

李桂成在计算方法的研究中，提出了一系列高效、稳定的算法，其中最具代表性的是他在线性代数领域的研究。

线性代数是数学中的一个重要分支，其在自然科学、社会科学等领域有着广泛的应用。

李桂成针对线性代数中的矩阵运算、线性方程组求解等问题，提出了一种高效、易于实现的计算方法。

这种方法在保证计算精度的同时，大大提高了计算速度。

如今，该方法已在我国的高等院校、科研院所得到了广泛应用，为我国的科技创新、经济社会发展做出了积极贡献。

除了在理论研究方面取得的成就，李桂成的计算方法还在实践中发挥了重
要作用。

在航空航天、信息技术、新能源等领域，计算方法是解决问题的核心。

李桂成的研究成果为这些领域提供了有力的理论支持，使得我国在这些领域取得了世界领先的地位。

总之，李桂成的计算方法研究在我国科技发展中具有重要地位。

他的研究成果为各个领域提供了有力的理论基础，为我国的科技创新、经济社会发展做出了巨大贡献。

然而，计算方法的研究仍需不断发展，以满足不断变化的科技需求。

《计算方法》复习要点（考试时可带计算器）一、引论1. 计算方法的任务、意义研究适用于科学计算的数值计算方法及相关的数学理论，为数值计算程序设计和对数值结果进行分析奠定基础。

事实上，它是数值程序设计和对数值结果进行分析的依据和基础）。

具体地说，数值计算方法就是要解决如何让计算机计算数值( 如解方程、解方程组、求积分等)，不仅要算得快（用的机时少）、而且也要算得准（与真实值的误差小)的问题。

2. 误差的来源注意：计算机中能够表示的浮点数个数是有限的。

所以将实际数据存入计算机就会产生误差。

3.绝对误差、相对误差的区别及有效数字的概念、位数判断注意：准确数本身有无穷多位有效数字。

4.设计算法的若干原则（如何减少运算误差）5.秦九绍算法的多项式形式及程序二、非线性方程的数值解法1.二分法及其二分次数、误差、程序2. 迭代法收敛条件及程序3. 牛顿迭代公式及其程序（如求开方、开立方）三、线性代数方程组的数值解法1．线性方程组的直接解法、迭代解法适用情况（迭代解法适用于未知数n较多、系数矩阵稀疏的方程组）2．顺序高斯消去法求解过程（消元及回代）3．用高斯消去法解线性方程组时，线性方程组需要满足什么条件？为什么要选主元？4．矩阵直接三角分解法（即杜利特尔分解法）解方程组及其程序5．高斯-赛德尔迭代法与雅可比迭代法的格式、收敛条件、差别（谁好、谁坏）、程序四、插值法和曲线拟合1．曲线拟合与插值法异同（插值法求出的近似曲线要满足插值原则，拟合曲线用最小二乘法求解）2．线性插值及抛物线插值的概念3．拉格朗日插值公式及其余项、程序4．牛顿均差插值多项式、余项及程序5．多项式拟合（法方程组）五、数值积分及微分1. 梯形求积公式、抛物线求积公式2．牛顿-柯斯特求积公式、复合梯形公式、复合抛物线公式及其余项公式（误差公式）的应用（积分计算、误差估计、所需节点数确定等）3．龙贝格求积过程及程序4．导数的近似计算方法六、常微分方程初值问题的数值解法1．欧拉公式2．预测—校正公式及其应用、程序3．四阶龙格—库塔法程序、具有的格式数量及局部截断误差4．线性多步法与单步法的区别考试题型：一、填空二、选择题三、简答题四、计算题五、程序题（程序设计或程序填空）。