计算方法期末复习66页PPT

3. 美术小组 34 人去公园游玩。6 人座大船租金 30 元，4 人座小船租金 24 元，租( 5 )条大船和
( 1 )条小船最便宜，租金是( 174 )元。
4.脱式计算。
2400÷80－14×2 ＝30－28 ＝2
108－（83＋360÷60） ＝108－（83＋6） ＝108－89 ＝19
1450÷［2×（16＋9）］ ＝1450÷［2×25］ ＝1450÷50 ＝29
这个小数最小是 6.995，最大是7.004。
思路分析：近似数是 7.00，表明此数精确到百分位， 只需考虑千分位上的数字是几即可。
1. 小数每相邻两个计数单位间的进率是（ 十 ）。
2. 10.548 精确到百分位是（10.55 ），保留一位小 数是（ 10.5 ），保留整数是（ 11 ）。
3. 一个三位小数四舍五入后是 6.36，这个三位小数 最大是（ 6.364 ），最小是（ 6.355 ）。
1572＋817＝2389（人） 答：当天该景点总共接待游客2389 人。
（2）某景点一天共接待游客 2389 人，其中 上午接待游客 1572 人。下午接待游客多少人？ 思路分析：用线段图分析题意，如下图所示：
2389－1572＝817（人） 答：下午接待游客 817 人。
（3）某景点一天共接待游客 2389 人，其中 下午接待游客 817 人，上午接待游客多少人？ 思路分析：用线段图分析题意，如下图所示：
7. 学校要庆祝儿童节，准备做 3600 面彩旗布置会 场。学校把这个任务平均分给 25 个班，每个班 有 4 个小组，平均每个小组要做多少面彩旗？
3600÷25÷4＝36（面）
答：平均每个小组要做 36 面彩旗。
第三课时 小数的意义和性质

就可以得到一个递推公式
uk uk1x ank ,
k=1,2, …,n (1.3)
这样的计算过程只需要计算n次乘法和n次加法。 这种算法和上一种算法相比，不仅逻辑结构简单， 而且计算也明显地减少了。多项式求值的这种算法 称为秦九韶算法（计算框图见图1.2)。
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1.2 误差的来源及其基本概念
5
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5.
⒊得不到准确解时，设法得到近似解
例：求 x a, a 已0知数。
由数学中的极限理论可知，
当lim n
xn
x时（，极限存在）
有：lim n
xn1
lim
n
1 2
( xn
a xn
)
即x 1 ( x a )
2
x
于是 x2 a, a 0, x a
又∵n只能有限，∴x是近似值。
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6
在计算方法中，我们还将讨论： ⒋解的特性（近似程度，敛散性） ⒌各种方法的优缺点（速度，存储量） ⒍各种方法的实用范围（收敛范围）
7
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7.
⑵ 一个好的方法应具有如下特点：
第一，面向计算机，要根据计算机特点提供实际可行的 有效算法，即算法只能包括加、减、乘、除运算和逻辑运 算，是计算机能直接处理的。
计算方法
1
1.1 计算方法研究的对象和特点
计算方法实际上就是计算机上使用的数值计算方法，所 以这门课程又称为数值计算方法或数值分析。它是专门研究 求解各种数学问题的数值计算方法。现在，由于大多数科学 计算都比较复杂，人工计算无法完成；而计算机科学的迅速 发展和广泛应用提供了解决这些复杂问题的新途径。

(G) 1,其中J (D L%)1U%
（3）SOR迭代法收敛的充分必要条件是
(S ) 1,其中S (D L%)1[(1 )D U%]
14
定理3.12 设 Ax = b，如果A为严格对角占优阵，则
Jacobi迭代法和Gauss-Seidel 迭代法均收敛。
6 常微分方程的数值解法
2
1、 绪论
绝对误差和绝对误差限 相对误差和相对误差限
有效数字
定义1.5 设近似数 x 0.a1a2 an 10m ,
其中 ai {0,1, 2,3,L ,9}(i 1, 2,L n), a1 0,
m为整数，如果
e

x*x

1 2
10mn
,
则称近似值x有n位有效数字，其中a1, a2 , … , an都 是x的有效数字，也称x为有n位有效数字的近似值。
x(k 1
)

0
x(k 2
)

..........
a2n
x(k n
)
]
22
x ( k 1) n

1 ann
[bn

a x(k) n1 1

an
2
x(k 2
)
..........
0
x(k n
)
]
(k=0,1,2,…)
11
Gauss-Seidel 迭 代 公 式

n i0
li (x) yi

n i0
9
线性代数方程组的迭代解法
熟练掌握求解线性代数方程组的雅可比迭代法、赛德尔 迭代法及SOR迭代法的迭代格式和收敛条件。

再按消元公式计算 ai(j（3) i,j=3,…,n）。
然后每一步类似的都在右下角方阵中的第一列中选
主元，再经行对调, 将主元素换到右下脚方阵中左上
角的位置。再按下一步计算 ai(jk（) i,j=k,…,n)
直至将方程组化成上三角方程组，再进行回代就可 求得解。
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全主元消去法
a11 a12 a1n b1
+
a (1) 1n
xn
+
...
+
a(2) 2n
xn
=
b(1) 1
=
b(2) 2
a(2) 32
x2
+
...
+
a(2) 3n
xn
=
b(2) 3
......
a(2) n2
xn
+ ... +
a(2) nn
xn
=
b(2) n
A(2) x = b(2)
其中 a(2) ij
=
a (1) ij
− li1a1(1j)
右端列向量视为方程组A的第n＋1列，直接对矩阵A
（指现在的n行，n＋1列的增广矩阵）进行行初等变换，
将其变换为上三角形矩阵，从而回代求解得到方程组
的解。
15
Gauss消去法（续）
Remark2：可以统计出，如果A为n阶方阵，则Gauss顺
序消去法消去过程所需的乘除运算次数为
∑n−1 (n − k + (n − k)(n − k +1)) = n3
(3.1)
2
引言（续）
其矩阵表示形式为： AX = b
a11 a12 a1n
x1

a (1) 22
x2









a (1) 2n
xn
b2(1)



a x (k ) k 1k 1 k 1


a(k) k 1n
xn

b(k ) k 1



a x (k ) n k 1 k 1
an(kn) xn bn(k )


a (0) 1n
xn

b(0) 1

a (1) 22
x2


a (1) 2n
xn

b(1) 2



a (1) n2
x2


a (1) nn
xn

b(1) n
i,j=2,3,…,n
a 0 a 第二步: 设 (1)
m 22
,取
i2
a 去第i个方程组的x2,i=3,4,…n)
n （i
1)

1
n(n
1)

1
n2次加法与乘法。
i1
2
2
2.Gauss消元法
(一) 高斯消去法的求解过程：分为两个阶段:首先，把
原方程组化为上三角形方程组，称之为“消去”过程；然后，
用逆次序逐一求出三角方程组(原方程组的等价方程组)的解，
并称之为“回代”过程。下面分别写出“消去”和“回代”
N=(n2-1)n!+n
次乘除法运算,这个计算量是大得惊人的.例如,当n=10(即求解 一个含10个未知量的方程组),乘除法的运算次数共为32659210 次;

数 学 系 University of Science and Technology of China
第0章 绪论
计算方法的作用 计算方法的内容 误差 一些例子
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
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学习的目的、要求
会套用、修改、创建公式 编制程序完成计算
课程评分方法 (Grading Policies)
总分 (100) = 平时作业(20)+上机作业(10)+期末 (70)
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x 50.25 x 55.81
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例：蝴蝶效应 —— 纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北 京就刮起台风来了？！
NY
BJ
以上是一个病态问题
/* ill-posed problem*/
内容 : 一次作业一个附件，并在内容中写出运行结果
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内容
1、数值逼近－数学分析中的数值求解，如微分、积分、

b
a
f ( x)dx F (b) F (a)
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100以内的加法和减法（一）
整理和复习:计算
一、复习整理
57＋2＝ 75＋2＝
57＋20＝ 75＋20＝
哪些算式中的7和2可以 直接相加？说明理由。
一、复习整理
57＋9＝ 66 75＋9＝ 84
25＋8＝33 52＋8＝60
62＋7＝ 69 26＋7＝ 33
观 说 任察 一选这 说一组两 ，，个 你算 是跟式 怎你， 样的有 计伙伴什算 么 5说7相 说＋同 你9和？ 是7有 怎5＋什 样9么 计的不 算？同 的？。一源自复习整理57－2＝ 75－2＝
57－20＝ 75－20＝
哪些算式中的7和2可以直 接相减？说明理由。
一、复习整理
57－9＝ 48 75－9＝ 66
25－8＝17 52－8＝44
69－7＝ 62 96－7＝ 89
观 说 任察 一 选这 说 一两 ， 组个 你 ，算 是 跟式 怎 你， 样 的有 计 伙什算伴 么 5说7相 说－同 你9和？ 是7有 怎5－什 样9么 计的不 算？同 的？。
二、巩固练习
二、巩固练习
77 66 37 33
38 58
43 79
三、复习整理
13＋7＋54＝74
67－8－50＝9
38＋(46＋4)＝ 88
83－(27－20)＝ 76
像这样的题，要 从左往右计算。
有小括号的题，要先 算小括号里的算式。
说一说先算什 么，再计算。
四、综合练习
38 75 34 0 60
四、综合练习
72 63
28
68
65 67
54
五、布置作业
作业：第82页练习十九，第1题、第3题。
你有你的生命观，我有我的生命观，我不干涉你。只要我能，我就感化你。如果不能，那我就认命。 每一片绿叶都有向阳的需要，每一朵花都有盛开的理由，每一个孩子都需要教师的呵护。（刘玉春） 少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日中之光；志而好学，如炳烛之光。——刘向 谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特 你永远要感谢给你逆境的众生。 千万人的失败，都有是失败在做事不彻底，往往做到离成功只差一步就终止不做了。 不管是身处上坡还是下坡，适当的时候一定要懂得让自己停下来，驻足回望是为了更好地迈进。

2.算一算。 28×10＝280 25×40＝1000 32×200＝6400
33×20＝660 30×50＝1500 50×110＝ 5500
例3 王阿姨家养了一群鸡，每天能下32个蛋，照 这样计算，七月份（31天）共下了多少个蛋？
思路分析：要计算七月份下了多少个蛋，可以直接用七 月份的天数乘每天下蛋的个数，就是求31个32是多少， 用乘法计算，列式为32×31。
规范解答：方法一 30×2×4＝240（千克） 方法二 2×4＝8（筐） 30×8＝240（千克）
答：它们一共运了240千克苹果。
5.某服装店进了2箱牛仔裤，每箱30条，每条68元。 这批牛仔裤一共可以卖多少元？
2×30×68＝4080（元） 答：这批牛仔裤一共可以卖4080元。
例6 学校买了180盆花装饰教室。
规范解答：
4. 列竖式计算。
2.8＋5.5＝8.3
2.8 + 5.5
1
8.3
17.6－8.9＝8.7 .
17.6 - 8.9
8.7
例6
陶瓷杯 11.6元
玻璃杯 塑料杯 8.4元 0.9元
（1）买两个塑料杯需要多少钱？ （2）一个陶瓷杯比一个玻璃杯贵多少钱？ （3）小刚带了20元，能买一个陶瓷杯和一个玻璃杯吗？
期末复习课件 数与计算
第一课时 除数是一位数的除法
例1 口算。 60÷3＝ 600÷3＝
270÷9＝ 2700÷9＝
思路分析：一位数除整十、整百、整千或几百几十、
几千几百的数的口算，可以归结到表内除法，先除0
前面的部分，如能整除除数，算完后看被除数末尾有
几个0，就在得数的末尾添上几个0。
48≈50 50×9＝450（人） 48×9＜50×9＜451 答：租9辆车不够。

例3 先填空，再列综合算式。
综合算式：
6
_5_4_÷__（__8_－__2_）__＝__9_
9
考点4：用两步计算解决问题
例4 男生 32 人、女生 40 人报名参加舞蹈 小组，把他们平均分成 9 个小组，每组有 多少人？
思路分析：要求每组有多少人，首先应求出参 加舞蹈小组的男生、女生一共有多少人，再用 总人数除以总组数，就求出平均每个小组有的 人数。
知
点
识
除法竖式的计 2 算方法
用竖式计算的方法：先写竖式除号，再 把被除数和除数分别写在除号的里面和 外面，在用竖式计算商是一位数的除法 时，商要写在被除数个位的上面。
没有掌握除法算式中商是一位数中 商的书写位置 【例题2】用竖式计算。35÷5=
错误答案: 35÷5= 7 7
5 35 35
正确答案: 35÷5= 7 7
规避策略
——在9的乘法口诀中，有一些积 比较相近，用口诀求商时要注意区分。
易错点 2
——在解决实际问题时，不能正确选 择有用的信息。
【例题2】
有40瓶可乐，32瓶橙汁。每8瓶可乐装一 箱，这些可乐能装多少箱？
32÷8=4（箱）答：可乐能装4箱。
40÷8=5（箱）答：可乐能装5箱。
错点警示
此题选错了条件，要把可乐装箱，却错误用 橙汁数量除以每箱可乐的数量。要求可乐的 箱数，应该用可乐的数量÷每箱可乐的数量。
错误答案:
正确答案:
27÷5=5(袋)……2(袋) 27÷5=5(袋)……2(个)
答：可以装5袋，
答：可以装5袋，
还剩2个。
还剩2个。
错点警示:余数是被除数平均分后剩下 的数量，所以余ຫໍສະໝຸດ 的单位名称应和被除 数的单位名称相同。

第三页，共八十页。
因此，采用(cǎiyòng)数值方法来计算定积分的值是非常
必要的 。
用数值方法计算定积分的基 本思想是，将积分 区间细分，在每个小区间上用简单函数代替复杂函 数。
（二） 数值积分法的三个基本问题 在研究数值积分的整个过程(guòchéng)中，需要讨论如下三 个
基本问题
1 、求积公式(gōngshì)的构造
2有些积分虽然可以解析地求解但原函数比被积函数复杂得多而且也难于给出最后的数值结没有具体表达式而只能通过观测数据给出因此在这种情况下更无法采用解析法求数值积分法的三个基本问题在研究数值积分的整个过程中需要讨论如下三个基本问题因此采用数值方法来计算定积分的值是非常必要的用数值方法计算定积分的基本思想是将积分区间细分在每个小区间上用简单函数代替复杂函作为定积分11的近似值其中叫做求积系数结点有关而与的具体形式无关
第三章 数值积分.
一、 数值积分法的三个基本(jīběn)问题
（一） 数值积分的必要性
计算(jìsuàn)定积分
I
f
b
a
f
( x)dx
(1.1)
的值，这在计算中经常碰到。这个问题似乎很简单,只要把
f (x) 的原函数 F(x) 求出来， 就可以求得积分（1.1）的值，即
I ( f ) F(b) F(a) 。但是，实际情况要复杂得多。其原因如下：
k 0
为求积公式（1.1）的余项或误差。
插值型求积公式的误差主要来源于插值误差，由 插值法知道，如果被积函数 f x 在 (a,b) 上具有 n 1
阶连续导数，则求积公式（1.7）的余项为
Rn ( f )
1 (n 1)!
b a
f n1 n1 x dx