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专题10比例性质、黄金分割、平行线分线段成比例压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一比例的性质之等比性质】 (1)【考点二利用黄金分割求线段的长】 (3)【考点三与黄金分割有关的证明】 (5)【考点四由平行判断成比例的线段】 (9)【考点五由平行截线求相关线段的长或比值】 (11)【考点六构造平行线截线求相关线段的长或比值】 (14)【过关检测】 (17)【典型例题】【考点一比例的性质之等比性质】【变式训练】【考点二利用黄金分割求线段的长】【变式训练】A ．52-B ．522-C ．352-D ．52-【考点三与黄金分割有关的证明】【变式训练】1．（2022秋·九年级单元测试）如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF PD=，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．【考点四由平行判断成比例的线段】A ．BD DFAD AC=B ．BF FC 【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例判断各项即可．【详解】解：A ．由DF AC ∥【变式训练】1．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，连接CE 并延长交BA 的延长线于点F ，则下列结论错误的是（）A．AB DEAF EA=B．AEAD【答案】D【分析】根据平行四边形的性质得出例定理逐项进行判断即可．A．AC BD CE DF=【答案】B【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．【考点五由平行截线求相关线段的长或比值】【答案】10【分析】利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．【详解】解：AB CDBE AF【变式训练】【答案】6【分析】由平行线所截线段对应成比例可知【详解】解：∵AD BE∥∥∴2 AB DE==，【答案】43/4:3/113【分析】设CG 、AB 交于点H ，结合2BD =即有2AG BC =，再证明EF CG ∥，进一步可得∵2BD AD =，CG 平分线段BD ，∴12BH DH BD AD ===，∵AF BC ∥，∴2AG AH AD DH +===，【考点六构造平行线截线求相关线段的长或比值】【答案】12【分析】过点D作DG==一步可得GF GC【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，正确构造平行线是解决此题的关键．【变式训练】1．（2023·四川成都·一模）如图，点点为F ，:1:DF AF =【答案】78/0.875【分析】过D 作DG BE ∥::DF AF EG AE =，进而可得则::BD CD EG GC ==::1:DF AF EG AE ==∴772EG CE ．【过关检测】一、单选题AB AD AC AE∴=， 五线谱是由等距离的五条平行横线组成的，23AD AE ∴=，2AB A ．35B ．1455【答案】D 【分析】过C 作CM AB ⊥延长线于M∵13BG CG =，∴设,3BG x CG x ==，∴4DC BC x ==，A ．3B ．4【答案】B 【分析】过点D 作DH AE 交【详解】过点D 作DH AE 交则1,CH CD HE DA ==BE BF EH FD =32BE EC ∴=，∵10BC =,A．1045-B．【答案】A【分析】作AH BC⊥于H，如图，根据等腰三角形的性质得到∵AB AC=，∴122BH CH BC===，在Rt ABH△中，AH AB=二、填空题【答案】2 5【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质得到【详解】解：∵BD平分∴ABD DBC∠=∠，∵DE AB∥交BC于点【答案】25 39【分析】可求38FD HF HDBC HB HC===，设【详解】解： 四边形ABCD是平行四边形，【答案】()51-【分析】雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比（即2AB =，设AC x =，根据比例即可求解．【详解】解：∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比等于下部与全部的高度比，∴设AC x =，则2BC =∴222x x x -=-，【答案】15 2【分析】作HK CG∥交AB于点K 的长，进而可求出AB的长．∴BK BHKG CH=，AG ANKG NH=．H是BC的中点，BH CH∴=，三、解答题【答案】3【分析】过点D 作DM AB ∥交AC AMD ADM ∠=∠，由等边对等角的性质可得 DM AB ∥，∴75BAD ADM ∠=∠= ；又 180ADM AMD DAM ∠+∠+∠= ，(1)问题背景：如图1，点D，E分别在边AB，AC上，且BD AE=，CD与BE交于点F，求证：(2)点G，H分别在边BC，AC上，GH与CD交于点O，且60HOC∠=︒．①尝试运用：如图2，点D在边AB上，且43OHOG=，求ABBD的值；②类比拓展：如图3，点D在AB的延长线上，且256OHOG=，直接写出ABBD的值．【答案】(1)见解析(2)①3；②2或3由（1）可知60MPC ∠=60HOC ∠=︒ ，GH BM ∴∥，∴OH CO MN CN =，OG CO BN CN =∴OH OG MN BN =，由（1）可知60MNC ∠=︒，GH MN ∴∥，∴OH OG MN BN=，设BD AM a ==，AB x =，则 256OH OG =，∴256MN BN =，AP MN ∥ ，证明：延长BA 至E ，使得AC 结论应用：已知在 ABC 中，30C ∠=︒，连接AB '交BC 于点E ．(1)如图2，当30α=︒，AB '⊥(2)如图3，当45α=︒，AB '与【答案】证明：见解析；结论应用：(1)2；(2)1或2或62【分析】延长BA 至E ，使得AC AE =，连接CE ，证明AD CE ∥，可得AB BD AE CD=（1）由30B α∠==︒，30C ∠=︒，可得B C ∠=∠，依题意AB ：2AE =：1，由结论可得（2）①AB BC '⊥，则45B α∠==︒，②AB AB '⊥，则45B α∠==︒，点BAC AE = ，ACE AEC ∴∠=∠，又AD 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠．BAC ACE AEC ∠=∠+∠ BAD AEC ∴∠=∠，∴AD CE ∥，∴AB BD AE CD =，而AC AE =∴AB BD AC CD=（1）30B α∠==︒ ，∠B C ∴∠=∠，又 AB BC '⊥，AB ∴：2AE =：1，AD 平分BAC ∠，由结论(1)可得AB AE ∴21BD DE =．（2）①AB BC '⊥，则45B α∠==︒，AB ∴：2AE =：1，BAD EAD ∠=∠ ，∴AB BD AE DE=，∴221BD DE ==．②AB AB '⊥，则45B α∠==︒，点AB ∴：1AE =：1BAD EAD ∠=∠ ，AB BD AE DE=，∴111BD DE ==．③AB AC '⊥，30C ∠=︒，60AEC ∴∠=︒，设EF a =，则3AF a =，2AE a =，∵45B α∠==︒，∴6AB a =，BAD EAD ∠=∠ ，∴AB BD AE DE=，（2）数学活动二如图⑤，点C 在线段AB 上，且满足::AC BC BC AB =，即2BC =所以由勾股定理可得：。
