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专题10比例性质、黄金分割、平行线分线段成比例压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一比例的性质之等比性质】 (1)【考点二利用黄金分割求线段的长】 (3)【考点三与黄金分割有关的证明】 (5)【考点四由平行判断成比例的线段】 (9)【考点五由平行截线求相关线段的长或比值】 (11)【考点六构造平行线截线求相关线段的长或比值】 (14)【过关检测】 (17)【典型例题】【考点一比例的性质之等比性质】【变式训练】【考点二利用黄金分割求线段的长】【变式训练】A ．52-B ．522-C ．352-D ．52-【考点三与黄金分割有关的证明】【变式训练】1．（2022秋·九年级单元测试）如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF PD=，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．【考点四由平行判断成比例的线段】A ．BD DFAD AC=B ．BF FC 【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例判断各项即可．【详解】解：A ．由DF AC ∥【变式训练】1．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，连接CE 并延长交BA 的延长线于点F ，则下列结论错误的是（）A．AB DEAF EA=B．AEAD【答案】D【分析】根据平行四边形的性质得出例定理逐项进行判断即可．A．AC BD CE DF=【答案】B【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．【考点五由平行截线求相关线段的长或比值】【答案】10【分析】利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．【详解】解：AB CDBE AF【变式训练】【答案】6【分析】由平行线所截线段对应成比例可知【详解】解：∵AD BE∥∥∴2 AB DE==，【答案】43/4:3/113【分析】设CG 、AB 交于点H ，结合2BD =即有2AG BC =，再证明EF CG ∥，进一步可得∵2BD AD =，CG 平分线段BD ，∴12BH DH BD AD ===，∵AF BC ∥，∴2AG AH AD DH +===，【考点六构造平行线截线求相关线段的长或比值】【答案】12【分析】过点D作DG==一步可得GF GC【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，正确构造平行线是解决此题的关键．【变式训练】1．（2023·四川成都·一模）如图，点点为F ，:1:DF AF =【答案】78/0.875【分析】过D 作DG BE ∥::DF AF EG AE =，进而可得则::BD CD EG GC ==::1:DF AF EG AE ==∴772EG CE ．【过关检测】一、单选题AB AD AC AE∴=， 五线谱是由等距离的五条平行横线组成的，23AD AE ∴=，2AB A ．35B ．1455【答案】D 【分析】过C 作CM AB ⊥延长线于M∵13BG CG =，∴设,3BG x CG x ==，∴4DC BC x ==，A ．3B ．4【答案】B 【分析】过点D 作DH AE 交【详解】过点D 作DH AE 交则1,CH CD HE DA ==BE BF EH FD =32BE EC ∴=，∵10BC =,A．1045-B．【答案】A【分析】作AH BC⊥于H，如图，根据等腰三角形的性质得到∵AB AC=，∴122BH CH BC===，在Rt ABH△中，AH AB=二、填空题【答案】2 5【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质得到【详解】解：∵BD平分∴ABD DBC∠=∠，∵DE AB∥交BC于点【答案】25 39【分析】可求38FD HF HDBC HB HC===，设【详解】解： 四边形ABCD是平行四边形，【答案】()51-【分析】雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比（即2AB =，设AC x =，根据比例即可求解．【详解】解：∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比等于下部与全部的高度比，∴设AC x =，则2BC =∴222x x x -=-，【答案】15 2【分析】作HK CG∥交AB于点K 的长，进而可求出AB的长．∴BK BHKG CH=，AG ANKG NH=．H是BC的中点，BH CH∴=，三、解答题【答案】3【分析】过点D 作DM AB ∥交AC AMD ADM ∠=∠，由等边对等角的性质可得 DM AB ∥，∴75BAD ADM ∠=∠= ；又 180ADM AMD DAM ∠+∠+∠= ，(1)问题背景：如图1，点D，E分别在边AB，AC上，且BD AE=，CD与BE交于点F，求证：(2)点G，H分别在边BC，AC上，GH与CD交于点O，且60HOC∠=︒．①尝试运用：如图2，点D在边AB上，且43OHOG=，求ABBD的值；②类比拓展：如图3，点D在AB的延长线上，且256OHOG=，直接写出ABBD的值．【答案】(1)见解析(2)①3；②2或3由（1）可知60MPC ∠=60HOC ∠=︒ ，GH BM ∴∥，∴OH CO MN CN =，OG CO BN CN =∴OH OG MN BN =，由（1）可知60MNC ∠=︒，GH MN ∴∥，∴OH OG MN BN=，设BD AM a ==，AB x =，则 256OH OG =，∴256MN BN =，AP MN ∥ ，证明：延长BA 至E ，使得AC 结论应用：已知在 ABC 中，30C ∠=︒，连接AB '交BC 于点E ．(1)如图2，当30α=︒，AB '⊥(2)如图3，当45α=︒，AB '与【答案】证明：见解析；结论应用：(1)2；(2)1或2或62【分析】延长BA 至E ，使得AC AE =，连接CE ，证明AD CE ∥，可得AB BD AE CD=（1）由30B α∠==︒，30C ∠=︒，可得B C ∠=∠，依题意AB ：2AE =：1，由结论可得（2）①AB BC '⊥，则45B α∠==︒，②AB AB '⊥，则45B α∠==︒，点BAC AE = ，ACE AEC ∴∠=∠，又AD 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠．BAC ACE AEC ∠=∠+∠ BAD AEC ∴∠=∠，∴AD CE ∥，∴AB BD AE CD =，而AC AE =∴AB BD AC CD=（1）30B α∠==︒ ，∠B C ∴∠=∠，又 AB BC '⊥，AB ∴：2AE =：1，AD 平分BAC ∠，由结论(1)可得AB AE ∴21BD DE =．（2）①AB BC '⊥，则45B α∠==︒，AB ∴：2AE =：1，BAD EAD ∠=∠ ，∴AB BD AE DE=，∴221BD DE ==．②AB AB '⊥，则45B α∠==︒，点AB ∴：1AE =：1BAD EAD ∠=∠ ，AB BD AE DE=，∴111BD DE ==．③AB AC '⊥，30C ∠=︒，60AEC ∴∠=︒，设EF a =，则3AF a =，2AE a =，∵45B α∠==︒，∴6AB a =，BAD EAD ∠=∠ ，∴AB BD AE DE=，（2）数学活动二如图⑤，点C 在线段AB 上，且满足::AC BC BC AB =，即2BC =所以由勾股定理可得：。
黄金分割与几何学黄金比例在几何形状中的应用黄金分割和几何学黄金比例是一种数学原理和比例关系，广泛应用于艺术、建筑和设计等领域。
在几何形状中，黄金分割和几何学黄金比例可以提供一种美学上的平衡与和谐。
本文将探讨黄金分割和几何学黄金比例在几何形状中的应用。
一、黄金分割的定义与性质黄金分割是指一种特殊的比例关系，即整体与其较大的部分之间的比值等于较大的部分与较小的部分之间的比值。
用数学符号来表示，可以表述为：a / b = (a + b) / a。
黄金分割具有一些特殊的性质，其中最著名的是其无限不循环的小数表示。
也就是说，黄金分割的结果是一个无理数，无法准确的用有限的小数或分数来表示。
这种特殊性质使得黄金分割成为一种独特的数学现象。
二、黄金比例在几何形状中的应用1. 黄金矩形黄金矩形是指长和宽的比例等于黄金分割比例的矩形。
换句话说，长边与短边之比等于黄金分割比例。
黄金矩形被认为具有美学上的完美性，因为它在视觉上给人一种平衡与和谐的感觉。
黄金矩形在建筑和设计中广泛应用。
例如，古希腊的帕特农神庙和古埃及的金字塔等建筑物的比例就符合黄金矩形的原则。
此外，许多艺术作品、画框和摄影构图等也会采用黄金矩形的比例来增加其美感。
2. 黄金三角形黄金三角形是指一个直角三角形，其中两条边的比例等于黄金分割比例。
黄金三角形具有一些特殊的性质，例如其一条边的平方等于其他两条边长度之和的平方。
黄金三角形在设计和艺术中被广泛运用。
许多著名的艺术品中使用了黄金三角形的比例。
此外，黄金三角形还可以作为设计准则，用于布局和构图的指导。
3. 黄金螺旋黄金螺旋是一种特殊的曲线，其增长的比例恰好等于黄金分割比例。
黄金螺旋的特点是其每个回合都与前一个回合的比例相同，从而呈现出一种自相似的形态。
黄金螺旋在自然界中十分常见，例如很多花朵的生长方式符合黄金螺旋的规律。
此外，黄金螺旋在设计和艺术中也有所应用，例如在画作中呈现一种旋转和动感的效果。
结语黄金分割和几何学黄金比例在几何形状中的应用具有广泛的意义。
AB 21黄金分割及平行线分线段成比例一、黄金分割黄金分割如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC BCAB AC =，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．AC 与AB 的比叫做黄金比．黄金比黄金比值的求法：因为AC BC AB AC =，且BC ＝AB －AC ，所以AC ACAB AB AC -=，解得AC ＝AB 215-，或AC ≈0.618AB ，即得黄金比215-=ABAC 或0.618 求作黄金分割点求已知线段AB 的黄金分割点。
方法一：如图1、经过点B 作BD ⊥AB ，且BD=2、连接AD ，在DA 上截取DE ＝DB ．3、在AB 上截取AC ＝AE ， 所以点C 是线段AB 的黄金分割点． 理由：设AB ＝1，则BD ＝1/2，AD ＝25， AC ＝215-，BC ＝253- 所以215-==AC BC AB AC ，所以点C 是线段AB 的黄金分割点． 方法二：如图1、在线段AB 上作正方形ADCB2、取AD 的中点E ，连接EB ．3、延长DA 至F,使EF ＝EB ．4、以线段AF 为边作正方形AFGH ． 所以点H 是线段AB 的黄金分割点．理由:设AB ＝1，则AE ＝21,所以EFBE 25= →=AF 215-＝AH ，BH ＝253-所以215-==AHHB AB AH ，所以点H 是线段AB 的黄金分割点．方法三:如图1、以AB 为腰作等腰△ABD,使∠A ＝36°2、作∠ADB 的角平分线交AB 于点C 所以,点C 是线段AB 的黄金分割点．理由：作图的理由在本章学完就知道,对这一基本图形我们将会非常熟悉,此等腰三角形叫做黄金三角形例1:如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形(即BC AB ＝215-≈0。
618)，如果在其内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形?、例2：以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD,取AB 的中点P,连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上,如图所示, （1）求AM ，DM 的长，（2）试说明AM 2=AD ·DM(3)根据(2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？练习题一、请你填一填（1）如图，若点P 是AB 的黄金分割点，则线段A P 、PB 、AB 满足关系式________，即AP 是________与________的比例中项. （2)黄金矩形的宽与长的比大约为________（精确到0.001).（3）如果线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项，其中a =2 cm,b =4 cm ，c =5 cm ，则d =_____________cm. （4）已知O 点是正方形ABCD 的两条对角线的交点，则AO ∶AB ∶AC =________. 二、认真选一选1、有以下命题：①如果线段d 是线段a ,b ,c 的第四比例项,则有dc ba =②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC 〉BC ,那么AC 是AB 与BC 的比例中项 ④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC >BC ，且AB =2,则AC =5－1其中正确的判断有（ ） A 。
