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第3课时 平行线基本定理教学目标1．理解平行线分线段成比例定理，平行线等分线段定理．2．会利用平行线分线段成比例定理，平行线等分线段定理求一些线段的长．3．了解将已知线段n 等分的方法．教学重难点平行线分线段成比例的几种类型及应用．教学过程导入新课在记录本上任画两条斜线，让这两条斜线与本子上的三条平行线相交，度量这两条斜线被本子上的三条平行线分成的四条线段，它们成比例吗？推进新课一、合作探究【问题1】 如图，过△ABC 的边AB 上任意一点D 作直线DE 平行于BC 交AC 于点E ，分别度量在AB 上截得的两条线段AD 、BD 和在AC 上截得的两条线段AE 、EC 的长度，AD DB 与AE EC相等吗？学生自己画图，再动手测量(要求测量要尽量准确)，看计算AD DB 与AE EC的结果是否大致相等．(结果：大致相等)【问题2】 任意平移DE ，再度量AD ，BD ，AE ，EC 的长度，AD DB 与AE EC 还相等吗？ 度量后回答．(结果仍相等)然后让学生合作探究学习课本上的证明，教师给予指导．【问题3】 如把上面的问题改为：如图，任意画两条直线l 1、l 2，再画三条与l 1、l 2相交的平行线l 3、l 4、l 5，AB BC与DE EF相等吗？让学生试着转化为问题1的类型进行说明．最后师生共同归纳出定理：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得对应线段成比例．【问题4】 当直线l 1，l 2的位置变化时，如图，直线l 1、l 2分别被三条平行线l 3、l 4、l 5截于点A 、B 、C 和D 、E 、F .问AB BC 与DE EF相等吗？教师引导学生进行证明，引导作出辅助线是关键．证明后得出平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例．【问题5】 在问题4中若AB ＝BC ，那么DE 与EF 有何关系？显然AB BC ＝1，又AB BC ＝DE EF ，所以DE EF＝1，故DE ＝EF . 于是得到平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等．二、巩固提高【例】 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，写出图形中的比例式，试试你能写出多少个？解：根据平行线分线段成比例定理，有AE EC ＝AD BD ，AD AB ＝AE AC ，AC AE ＝AB AD ，BD AD ＝CE AE等．只要写出的比例式左右对应即可．三、随堂训练已知在∠O 的一边上顺次有A ，B 两点，在另一边上顺次有C ，D 两点，若AC ∥BD ，则正确的是( )．A ．OA OC ＝OB OD B ．OA OC ＝CD AB C ．OB OA ＝OC OD D ．AB OB ＝CD OC本课小结1．平行线分线段成比例定理，平行线等分线段定理．2．利用平行线等分线段定理对线段进行等分、倍分．3．无论是平行线分线段成比例定理，还是平行线等分线段定理，一定至少要有两条平行线．1．对相似多边形的理解两个边数相同的多边形，如果对应角都相等，对应边都成比例，叫做相似形．如果两个多边形的对应边都成比例，对应角都分别相等，那么这两个多边形相似．相似具有传递性．因此判断两个边数相同的多边形相似的方法是：首先判断对应边是否成比例，再判断对应角是否相等．两个等边三角形一定相似，两个等腰直角三角形一定相似，两个正方形一定相似，但所有的菱形不一定相似，因为对应角不一定相等．2．相似与全等的联系和区别相似与全等既有联系，又有区别．首先，从它们各自具备的特征来说，(1)它们都具备 “形状相同”的本质特征，对应角都相等．(2)全等形的大小相同，对应边相等；而相似形大小不一定相同，对应边成比例．(3)全等形可以看作是相似形的特殊情况，其相似比k ＝1；反过来，当相似比k ＝1时，两个相似形全等．3．相似符号的起源最初的几何知识是从人们对形的直觉中萌发出来的，是从自然界本身提取几何形式，并且在器皿制作、建筑设计及绘画装饰中加以体现．早期人类对几何的兴趣，不只是对圆、三角形、正方形等一系列几何形状的认识，而且还有对全等、相似、对称等几何知识的运用，几何知识随着人们的实践活动而不断扩展．十七世纪德国莱布尼茨广泛使用了 “＝”，他在几何学中用“∽”表示相似，用“≌”表示全等，这就是相似符号的起源．4．对“黄金分割”的理解把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618.由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比．这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：10.618≈1.618，1－0.6180.618≈0.618. 这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用．一个很能说明问题的例子是五角星．五角星是非常美丽的，我国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是为什么？因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的．正五边形对角线连接后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形．由于五角星的顶角是36°，这样也可以得出黄金分割的数值为2sin 18°. 黄金分割点是指分一线段为两部分，使得原来线段的长跟较长的那部分的比约等于0.618∶1.线段上有两个这样的点．利用线段上的两个黄金分割点，可作出正五角星，正五边形．2 000多年前，古希腊雅典学派的欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割，指的是把长为L 的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比．黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为“金法”，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为“各种算法中最宝贵的算法”．这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”，也就是我们现在常说的比例方法．其实有关“黄金分割”，我国也有记载．虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的，后来传入了印度．经考证，欧洲的比例算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的．黄金分割(Golden Section)是一种数学上的比例关系．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．应用时一般取0.618，就像圆周率在应用时取3.14一样．黄金矩形(Golden Rectangle)的长、宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边的1.618倍．黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．在很多艺术品以及大自然中都能找到它．希腊雅典的帕撒神农庙就是一个很好的例子．达·芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形．《蒙娜丽莎》的脸也符合黄金矩形，《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局．。
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22.1 比例线段第3课时比例的性质与黄金分割教学目标【知识与技能】１.进一步理解并掌握比例、比例线段的概念。
２．会辨认比例式中的“项”.3。
会求常见图形中的线段比.4.会进行黄金分割的有关计算.【过程与方法】1。
经历探究比例、比例线段的性质的过程,体会类比的思想,促进探究、质疑、归纳能力的发展.2.经历黄金分割的引入以及黄金分割点的探究过程。
3．通过问题情境的创设和解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系,体会数学的思维方式，增进数学学习的情感。
【情感、态度与价值观】在交流协作中,体会生生交往与师生交往的乐趣;在解决问题的过程中接受挑战、战胜困难,增强学习数学的兴趣。
重点难点【重点】比例及比例线段的性质;黄金分割点的有关计算。
【难点】比例及比例线段的应用;黄金分割点的有关计算。
教学过程一、复习回顾,引入新课师:在上一节，我们学习了成比例线段,同学们现在能画出两条线段、量出长度并求出它们的比值吗?学生作图后测量并求出比值.师：用同一个单位去度量两条线段ａ、ｂ,得到它们的长度，我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比,记作或a∶b．在四条线段a、b、ｃ、d中,如果其中两条线段a、ｂ的比,等于另外两条线段c、d的比，即=(或a∶ｂ＝c∶ｄ),那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
22.1 比例线段第3课时比例的性质与黄金分割教学目标【知识与技能】1.进一步理解并掌握比例、比例线段的概念.2.会辨认比例式中的“项”.3.会求常见图形中的线段比.4.会进行黄金分割的有关计算.【过程与方法】1.经历探究比例、比例线段的性质的过程,体会类比的思想,促进探究、质疑、归纳能力的发展.2.经历黄金分割的引入以及黄金分割点的探究过程.3.通过问题情境的创设和解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系,体会数学的思维方式,增进数学学习的情感.【情感、态度与价值观】在交流协作中,体会生生交往与师生交往的乐趣;在解决问题的过程中接受挑战、战胜困难,增强学习数学的兴趣.重点难点【重点】比例及比例线段的性质;黄金分割点的有关计算.【难点】比例及比例线段的应用;黄金分割点的有关计算.教学过程一、复习回顾,引入新课师:在上一节,我们学习了成比例线段,同学们现在能画出两条线段、量出长度并求出它们的比值吗?学生作图后测量并求出比值.师:用同一个单位去度量两条线段a、b,得到它们的长度,我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比,记作或a∶b.在四条线段a、b、c、d中,如果其中两条线段a、b的比,等于另外两条线段c、d的比,即=(或a∶b=c∶d),那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.二、探究新知师:两条线段的比是它们长度的比,也就是两个数的比,因此也应具有关于两个数成比例的性质.如果=,你能把这个式子改写成乘积的形式吗?生:两边同乘以bd,得到ad=bc.师:反之,如果ad=bc(b、d≠0)我们是否能得到=呢?生:能,两边同除以bd.师:比例的这个性质叫做比例的基本性质.教师多媒体课件出示:师:现在请同学们看这三个图形.图形(1)和图形(2)对应边是成比例的,图形(3)的长等于图形(1)的长加上图形(2)的长,图形(3)的宽等于图形(1)的宽加上图形(2)的宽,你能判断图形(1)和图形(3)的边是否成比例吗?学生思考,讨论.师:你怎么判断这两个长方形的边是否是成比例的呢?生:计算3.6∶2和2.7∶1.5是否相等.师:现在就请同学们算一下是否相等.学生计算后回答:相等.师:所以我们有=.对于式子=,能否得到=呢?学生思考,讨论.生:在=的两边都加上1,然后通分就得到了=.师:对!所以我们得到了这个结论:如果=,那么=(b、d≠0).这叫做比例的合比性质.如果=,b1+b2≠0,你能否证明=呢?教师提示:我们可以倒着推:要证=,可先证(a1+a2)×b1=(b1+b2)×a1,即a1b1+a2b1=b1a1+b2a1,两边都减去a1b1,两边都减去a1b1,得a2b1=b2a1,你能证明a2b1=b2a1吗?学生思考后回答:能.师:怎么证明?生:因为=,两边同乘以b1b2,就证出来了.师:现在你知道怎么证明=了吗?生:知道了.师:请同学们想想有没有其他的证法?学生思考.教师提示:的值与的值相等,我们要证的是的值也与的值相等,如果我现在设==k,你能否证出=k呢?学生思考,讨论.师:a1、a2能否用含b1、b2的代数式表示?生:能.师:怎样表示?生:a1=b1k,a2=b2k.师:你知道怎样证明了吗?生:知道,将a1=b1k,a2=b2k代入中.师:我们有了两种证法,哪两位同学愿意上来写出证明过程?学生举手,教师从举手的同学中找两生板演.生1板书:证明:∵=(已知),两边同乘以得=.∴=(合比性质).两边同乘以得=.两边取倒数,得=,即=.生2板书:设==k,得a1=b1k,a2=b2k,代入得===k=.师:你能总结一下以上两种方法吗?生:第一种方法是先倒推,再证明;第二种方法是设定值.师:同学们总结得很好!再遇到证明两式相等的问题时要记起这两种方法,其中设定值的方法一般适用于设比值为定值.如果我把这个式子推广,===…=成立,且b1+b2+b3+…+b n≠0,你能否推出所有分子之和与所有分母之和的比是等于呢?生:能.教师找一生板演,其余同学在下面做,教师巡视指导.师:所以我们得到比例的又一性质:如果==…=,且b1+b2+b3+…+b n≠0,那么=.三、例题讲解【例1】已知:如图,在△ABC中,=.师:请同学们看这道题.学生读题思考.师:哪位同学能证明这道题,跟大家说说你的思路.学生举手.教师找一生回答第(1)题.生:因为=,由合比性质得=,即=.教师找另一生回答第(2)题.师:你是怎样考虑的呢?生:AB可以写成AD+DB,AC可以写成AE+EC.因为合比性质是分子加分母,要证明=,可先证=,然后两边取倒数,就得到要证的结果了.师:很好!现在请你把证明步骤写在黑板上,其余同学在下面做.学生证明后集体订正.教师多媒体课件出示:【例2】在地图或工程图纸上,都标有比例尺,比例尺就是图上长度与实际长度的比.现在一张比例尺为1∶5 000的图纸上,量得一个△ABC的三边:AC=3 cm,BC=4 cm,AB=5 cm.问这个图纸所反映的实际△A'B'C'的周长是多少?解:根据题意,得===.即=.又∵AB+BC+AC=5+4+3=12(cm),∴A'B'+B'C'+A'C'=12×5 000=60 000(cm)=600(m).答:实际△A'B'C'的周长是600 m.【例3】如图所示,已知线段AB长度为a,点P是AB上一点,且使AB∶AP=AP∶PB.求线段AP 的长和的值.解:设AP=x,那么PB=a-x.根据题意,得a∶x=x∶(a-x),即x2+ax-a2=0.解方程,得x=a.因为线段长度不能是负值,所以取x=a.即AP=a.于是==≈0.618.把一条线段分成两部分,使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,分割点叫做这条线段的黄金分割点,比值叫做黄金数.四、巩固练习1.若6x=5y,则x∶y= .【答案】2.已知ab=cd,则= .【答案】3.若==,则= .【答案】4.已知x===,则x的值是.解析:∵x===,∴a2+ab=bc+c2. ①b2+bc=a2+ac. ②ac+c2=ab+b2③将③式减去②式得ab-bc=c2-a2. ④将②式减去①式得ac-ab=b2-c2. ⑤将③式减去①式得b2-a2=ac-bc. ⑥由④⑤⑥式都可得出a+b+c=0.∴a+b=-c,b+c=-a,a+c=-b.∴x====-1.【答案】-15.点P在线段AB上,AP2=AB·PB.若PB=4,则AP的长为.解析:设AP=x,∴x2=(x+4)×4,x2-4x-16=0.∴x=2±2.又∵x>0,∴AP长取2+2.【答案】2+26.已知点M将线段AB黄金分割(AM>BM),则下列各式中不正确的是( )A.AM∶BM=AB∶AMB.AM=ABC.BM=ABD.AM≈0.618AB【答案】C7.已知x∶y=3∶5,y∶z=4∶7,求x∶y∶z.【答案】∵x∶y=3∶5,∴x=y.又∵y∶z=4∶7,∴z=y.∴x∶y∶z=y∶y∶y=12∶20∶35.五、课堂小结师:本节课你学习了什么内容?有什么收获?学生回答,教师点评.教学反思首先,从回顾上节已学的比例知识入手,运用类比的方法得到实数范围的比和比例,再类比得到比例线段的概念,这样会比较直观、易学.其次,尽可能体现数学与生活的紧密联系,如课题的引出及知识的应用,尽可能让学生感悟到数学源于实际,并且数学知识和方法能很好地解决实际生活中的问题,激起学生学习数学的欲望.总的来说,本节课是在轻松愉快的氛围中完成的,学生的热情也比较高涨,由于所涉及的问题是每个学生触手可及的,因而学生在活跃的课堂气氛中也各有所获.。
第3课时 比例的性质与黄金分割◇教学目标◇【知识与技能】1.理解比例的基本性质;2.能根据比例的基本性质求比值,能根据条件写出比例式或进行比例式的简单变形;3.知道黄金分割的定义,会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.【过程与方法】通过例题的学习,培养学生的灵活运用能力.【情感、态度与价值观】建立初步的空间观念,发展形象思维;并通过有趣的图形,培养学生学习数学的兴趣.◇教学重难点◇【教学重点】比例的基本性质.【教学难点】掌握黄金分割的概念,并能解决相关的实际问题.◇教学过程◇一、情境导入美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618;一些长方形的画框,宽与长之比也设计成0.618.许多美丽的形状都与0.618这个比值有关,你知道0.618这个比值的来历吗?二、合作探究探究点1 比例的基本性质典例1 如果四条线段a ,b ,c ,d 构成a b =c d ,m>0,则下面推理正确的有 ( )①a b =cm dm ;②a b =7a+cm 7b+dm ;③a b =c+m d+m ;④a a+cm =b b+dm . A.1个 B.2个C.3个D.4个 [解析] ①∵a b =c d ,m>0,∴a b =cm dm ;②∵a b =c d ,m>0,∴a b =7a 7b =cm dm ,∴a b =7a+cm 7b+dm ;③a b =c+m d+m 错误;④设a b =c d =k ,则a=kb ,c=kd ,所以a a+cm =bk bk+kdm =b b+dm .综上所述,推理正确的有①②④.[答案] C已知x 2=y 3=z 4,求2x+2y+z 3y -z . [解析] 设x 2=y 3=z 4=k ,则x=2k ,y=3k ,z=4k.∴2x +2y +z 3y -z =2×2k +2×3k +4k 3×3k -4k =145.遇到连等式时常利用设“k”法,即引进参数解题.具体步骤如下:探究点2黄金分割典例2主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体,如果舞台AB长为20米,一个主持人现站在舞台AB的黄金分割点C处,则下列结论一定正确的是()①AB∶AC=AC∶BC;②AC≈6.18米;③AC=10(√5-1)米;④BC=10(3-√5)米或10(√5-1)米.A.①②③④B.①②③C.①③D.④[解析]若AC<BC,则AB∶BC=BC∶AC,所以①不一定正确;AC≈0.618AB≈12.36或AB=10(√5-1),BC=10(3-√5);若AC≈20-12.36=7.64,所以②错误;若AC为较长线段时,AC=√5-12AB=10(√5-1),AC=10(3-√5),所以③不一定正确,④正确.BC为较长线段时,BC=√5-12如图是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》.画中的脸部被包在矩形ABCD内,点E是AB的黄金分割点,BE>AE,若AB=2a,则BE长为() A.(√5+1)a B.(√5-1)aC.(3-√5)aD.(√5-2)a[答案] B三、板书设计比例的性质与黄金分割1.比例的基本性质2.黄金分割◇教学反思◇本节课学习的黄金分割是一个新的概念,学生缺少这方面知识的积累,因此教学中在内容选择上,充分利用网络资源,选用大量图文作为背景,通过建筑、艺术、生活中的实例了解黄金分割,体现数学丰富的文化价值.同时,在应用中进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容,在实际操作、思考、交流等过程中增强学生的实践意识.。
