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比例线段
、过程与方法：通过比例的应用，培养学生的判断分析推理能力。
②合比性质：
例1.己知 ad=bc (a ，b ，c ，d 不为零)，下列各式中正确的是
应用一：比例在几何中的应用
d c b a =c
d c b b a ±=±⇒d -c d c b -a b a +=+⇒.C d d b c c a .B c d c b b a .A +=++=+
例3、一辆汽车2小时行驶140千米，照这样的速度，从甲地到乙地共行驶
乙两地之间的公路长多少千米？
小结：用比例的知识解应用题的方法：
1.审题找出一定（不变）量，判断另外两个量成什么比例。
2.若成正比例，解:设出未知数X,列出比例式：
a:x = b:c
3.若成反比例，解:设出未知数X,列出方程：
ax = bc
应用三：比例在物理中的应用
已知两车路程之比为所
=
中比例基本性质的证明。
22.1 比例线段第3课时比例的性质与黄金分割教学目标【知识与技能】1.进一步理解并掌握比例、比例线段的概念.2.会辨认比例式中的“项”.3.会求常见图形中的线段比.4.会进行黄金分割的有关计算.【过程与方法】1.经历探究比例、比例线段的性质的过程,体会类比的思想,促进探究、质疑、归纳能力的发展.2.经历黄金分割的引入以及黄金分割点的探究过程.3.通过问题情境的创设和解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系,体会数学的思维方式,增进数学学习的情感.【情感、态度与价值观】在交流协作中,体会生生交往与师生交往的乐趣;在解决问题的过程中接受挑战、战胜困难,增强学习数学的兴趣.重点难点【重点】比例及比例线段的性质;黄金分割点的有关计算.【难点】比例及比例线段的应用;黄金分割点的有关计算.教学过程一、复习回顾,引入新课师:在上一节,我们学习了成比例线段,同学们现在能画出两条线段、量出长度并求出它们的比值吗?学生作图后测量并求出比值.师:用同一个单位去度量两条线段a、b,得到它们的长度,我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比,记作或a∶b.在四条线段a、b、c、d中,如果其中两条线段a、b的比,等于另外两条线段c、d的比,即=(或a∶b=c∶d),那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.二、探究新知师:两条线段的比是它们长度的比,也就是两个数的比,因此也应具有关于两个数成比例的性质.如果=,你能把这个式子改写成乘积的形式吗?生:两边同乘以bd,得到ad=bc.师:反之,如果ad=bc(b、d≠0)我们是否能得到=呢?生:能,两边同除以bd.师:比例的这个性质叫做比例的基本性质.教师多媒体课件出示:师:现在请同学们看这三个图形.图形(1)和图形(2)对应边是成比例的,图形(3)的长等于图形(1)的长加上图形(2)的长,图形(3)的宽等于图形(1)的宽加上图形(2)的宽,你能判断图形(1)和图形(3)的边是否成比例吗?学生思考,讨论.师:你怎么判断这两个长方形的边是否是成比例的呢?生:计算3.6∶2和2.7∶1.5是否相等.师:现在就请同学们算一下是否相等.学生计算后回答:相等.师:所以我们有=.对于式子=,能否得到=呢?学生思考,讨论.生:在=的两边都加上1,然后通分就得到了=.师:对!所以我们得到了这个结论:如果=,那么=(b、d≠0).这叫做比例的合比性质.如果=,b1+b2≠0,你能否证明=呢?教师提示:我们可以倒着推:要证=,可先证(a1+a2)×b1=(b1+b2)×a1,即a1b1+a2b1=b1a1+b2a1,两边都减去a1b1,两边都减去a1b1,得a2b1=b2a1,你能证明a2b1=b2a1吗?学生思考后回答:能.师:怎么证明?生:因为=,两边同乘以b1b2,就证出来了.师:现在你知道怎么证明=了吗?生:知道了.师:请同学们想想有没有其他的证法?学生思考.教师提示:的值与的值相等,我们要证的是的值也与的值相等,如果我现在设==k,你能否证出=k呢?学生思考,讨论.师:a1、a2能否用含b1、b2的代数式表示?生:能.师:怎样表示?生:a1=b1k,a2=b2k.师:你知道怎样证明了吗?生:知道,将a1=b1k,a2=b2k代入中.师:我们有了两种证法,哪两位同学愿意上来写出证明过程?学生举手,教师从举手的同学中找两生板演.生1板书:证明:∵=(已知),两边同乘以得=.∴=(合比性质).两边同乘以得=.两边取倒数,得=,即=.生2板书:设==k,得a1=b1k,a2=b2k,代入得===k=.师:你能总结一下以上两种方法吗?生:第一种方法是先倒推,再证明;第二种方法是设定值.师:同学们总结得很好!再遇到证明两式相等的问题时要记起这两种方法,其中设定值的方法一般适用于设比值为定值.如果我把这个式子推广,===…=成立,且b1+b2+b3+…+b n≠0,你能否推出所有分子之和与所有分母之和的比是等于呢?生:能.教师找一生板演,其余同学在下面做,教师巡视指导.师:所以我们得到比例的又一性质:如果==…=,且b1+b2+b3+…+b n≠0,那么=.三、例题讲解【例1】已知:如图,在△ABC中,=.师:请同学们看这道题.学生读题思考.师:哪位同学能证明这道题,跟大家说说你的思路.学生举手.教师找一生回答第(1)题.生:因为=,由合比性质得=,即=.教师找另一生回答第(2)题.师:你是怎样考虑的呢?生:AB可以写成AD+DB,AC可以写成AE+EC.因为合比性质是分子加分母,要证明=,可先证=,然后两边取倒数,就得到要证的结果了.师:很好!现在请你把证明步骤写在黑板上,其余同学在下面做.学生证明后集体订正.教师多媒体课件出示:【例2】在地图或工程图纸上,都标有比例尺,比例尺就是图上长度与实际长度的比.现在一张比例尺为1∶5 000的图纸上,量得一个△ABC的三边:AC=3 cm,BC=4 cm,AB=5 cm.问这个图纸所反映的实际△A'B'C'的周长是多少?解:根据题意,得===.即=.又∵AB+BC+AC=5+4+3=12(cm),∴A'B'+B'C'+A'C'=12×5 000=60 000(cm)=600(m).答:实际△A'B'C'的周长是600 m.【例3】如图所示,已知线段AB长度为a,点P是AB上一点,且使AB∶AP=AP∶PB.求线段AP 的长和的值.解:设AP=x,那么PB=a-x.根据题意,得a∶x=x∶(a-x),即x2+ax-a2=0.解方程,得x=a.因为线段长度不能是负值,所以取x=a.即AP=a.于是==≈0.618.把一条线段分成两部分,使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,分割点叫做这条线段的黄金分割点,比值叫做黄金数.四、巩固练习1.若6x=5y,则x∶y= .【答案】2.已知ab=cd,则= .【答案】3.若==,则= .【答案】4.已知x===,则x的值是.解析:∵x===,∴a2+ab=bc+c2. ①b2+bc=a2+ac. ②ac+c2=ab+b2③将③式减去②式得ab-bc=c2-a2. ④将②式减去①式得ac-ab=b2-c2. ⑤将③式减去①式得b2-a2=ac-bc. ⑥由④⑤⑥式都可得出a+b+c=0.∴a+b=-c,b+c=-a,a+c=-b.∴x====-1.【答案】-15.点P在线段AB上,AP2=AB·PB.若PB=4,则AP的长为.解析:设AP=x,∴x2=(x+4)×4,x2-4x-16=0.∴x=2±2.又∵x>0,∴AP长取2+2.【答案】2+26.已知点M将线段AB黄金分割(AM>BM),则下列各式中不正确的是( )A.AM∶BM=AB∶AMB.AM=ABC.BM=ABD.AM≈0.618AB【答案】C7.已知x∶y=3∶5,y∶z=4∶7,求x∶y∶z.【答案】∵x∶y=3∶5,∴x=y.又∵y∶z=4∶7,∴z=y.∴x∶y∶z=y∶y∶y=12∶20∶35.五、课堂小结师:本节课你学习了什么内容?有什么收获?学生回答,教师点评.教学反思首先,从回顾上节已学的比例知识入手,运用类比的方法得到实数范围的比和比例,再类比得到比例线段的概念,这样会比较直观、易学.其次,尽可能体现数学与生活的紧密联系,如课题的引出及知识的应用,尽可能让学生感悟到数学源于实际,并且数学知识和方法能很好地解决实际生活中的问题,激起学生学习数学的欲望.总的来说,本节课是在轻松愉快的氛围中完成的,学生的热情也比较高涨,由于所涉及的问题是每个学生触手可及的,因而学生在活跃的课堂气氛中也各有所获.。
初三数学第2讲：比例线段与黄金分割教学内容一、知识要点：1、两条线段长度的比叫做两条线段的比。
2、在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
如果a、b、c、d是比例线段，即（或），那么线段a、d是比例外项，线段b、c是比例内项。
3、比例线段有以下性质：（1）基本性质如果，那么（2）合比性质如果，那么，；（3）等比性质如果，那么。
等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情形。
例如：如果，那么小试牛刀：一、填空题1、两条线段x、y的长度的比叫做这两条线段的____________，记作____________。
2、在四条线段中，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比____________，那么这四条线段叫做成比例线段，简称____________。
3、合（分）比性质：如果，那么=_____________。
4、等比性质：如果，且_____________，那么__________=5、若4x=5y，则x：y=____________6、已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a=2厘米，b=4厘米，c=5厘米，则d为_______7、下列各组线段成比例的是（）A、1cm、3cm、2cm、4cmB、1m、20cm、5cm、25cmC、cm、cm、cm、4mD、4cm、8cm、6m、12cm8、已知点C是AB延长线上一点，且AC:CB=5:3,AB=52,则CB 的值为（）A、13B、19.5C、78D、1309、在比例尺为40:1的图纸上，一零件的长度为16厘米，则该零件的实际长度为（）A、6.4厘米B、64分米C、0.4厘米D、4厘米二、典型例题：例1、有两组线段，每组分别有四条，长度如下：（1）a=16厘米，b=18厘米，c=5厘米，d=10厘米；（2）a=10厘米，b=0.5厘米，c=0.6分米，d=12厘米。
试判断它们是否成比例。
沪科版数学九年级上册22.1《比例线段》（第2课时）教学设计一. 教材分析《比例线段》是沪科版数学九年级上册第22.1节的内容，主要介绍了比例线段的定义、性质和应用。
比例线段是初中数学中的重要概念，它在解决实际问题和进一步学习几何中起着重要作用。
本节内容通过讲解和实例分析，使学生掌握比例线段的性质和应用，培养学生的几何思维和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对线段、比例等概念有一定的了解。
但学生在理解和运用比例线段方面还存在一定的困难，需要通过实例分析和练习来进一步巩固。
此外，学生对几何图形的直观认识和空间想象能力还有待提高，需要在教学过程中给予引导和培养。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握比例线段的定义、性质和应用，能够运用比例线段解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过实例分析、合作交流和动手操作，培养学生的几何思维和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极进取的精神。
四. 教学重难点1.重点：比例线段的定义、性质和应用。
2.难点：比例线段的性质的证明和运用。
五. 教学方法1.启发式教学：通过提问、引导和讨论，激发学生的思维，培养学生的解决问题的能力。
2.实例分析：通过具体的例子，使学生理解比例线段的定义和性质。
3.合作交流：鼓励学生之间相互讨论、合作，共同解决问题。
4.动手操作：让学生通过实际操作，加深对比例线段的理解。
六. 教学准备1.教学PPT：制作详细的PPT，展示比例线段的定义、性质和应用。
2.实例材料：准备一些实际的例子，用于讲解和分析比例线段。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入比例线段的概念，激发学生的兴趣。
2.呈现（15分钟）讲解比例线段的定义、性质和应用，结合实例进行分析，让学生直观地理解比例线段的概念。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，合作解决一些关于比例线段的练习题，巩固所学内容。
比例线段与黄金分割【知识要点】 1．线段的比（（1） 定义：在同一单位下，丙条线段长度的比叫做这两条线段的比定义：在同一单位下，丙条线段长度的比叫做这两条线段的比注意：①计算两条线段的比时，长度单位必须一致注意：①计算两条线段的比时，长度单位必须一致注意：①计算两条线段的比时，长度单位必须一致②在同一单位下，线段的比与选用的长度单位无关②在同一单位下，线段的比与选用的长度单位无关②在同一单位下，线段的比与选用的长度单位无关③线段的比是一个没有单位的正数③线段的比是一个没有单位的正数③线段的比是一个没有单位的正数（2） 比例尺：比例尺＝图上距离：实际距离比例尺：比例尺＝图上距离：实际距离2．比例线段的概念定义：在四条线段中，如果两条线段的比等于另两条线段的比，那么这四条线段叫做定义：在四条线段中，如果两条线段的比等于另两条线段的比，那么这四条线段叫做成 比例线段，简称比例线段。
比例线段，简称比例线段。
注意：①四条线段注意：①四条线段d c b a ,,,成比例，记作d c b a ::=②四条线段成比例，要顺次写出来②四条线段成比例，要顺次写出来②四条线段成比例，要顺次写出来3．比例的性质①比例的基本性质：d b bd ad d c b a ,(=Û=都不为0）②更比性质：ïïïîïïïíì===Þ=a bc d ac bd d bc ad c b a ③反比性质：cd a b d c b a =Þ= ④合比性质：ïïîïïíì-=-+=+Þ=d d c b b a d d c b b a d c b a ⑤ 等比性质：如果()0¹+++===m d b n m d c b a ，那么b a n d b m c a =++++++ 4. 黄金分割概念：若点C 把线段AB 分成两条线段AC AC、、BC (AC BC (AC＞＞BC)BC)，若，若ACBC AB AC =，我们称线段AB 被点C 黄金分割，黄金分割，C C 点为该条线段的黄金分割点，较短线段与较长线段（或较长线段与原线段）的比叫做黄金比÷÷øöççèæ»-618.0215。
