22.1比例线段 第2课时比例的性质和黄金分割

比例线段
、过程与方法：通过比例的应用，培养学生的判断分析推理能力。

②合比性质：
例1.己知 ad=bc (a ，b ，c ，d 不为零)，下列各式中正确的是
应用一：比例在几何中的应用
d c b a =c
d c b b a ±=±⇒d -c d c b -a b a +=+⇒.C d d b c c a .B c d c b b a .A +=++=+
例3、一辆汽车2小时行驶140千米，照这样的速度，从甲地到乙地共行驶
乙两地之间的公路长多少千米？
小结：用比例的知识解应用题的方法：
1.审题找出一定（不变）量，判断另外两个量成什么比例。

2.若成正比例，解:设出未知数X,列出比例式：
a:x = b:c
3.若成反比例，解:设出未知数X,列出方程：
ax = bc
应用三：比例在物理中的应用
已知两车路程之比为所
=
中比例基本性质的证明。

22.1 比例线段第3课时比例的性质与黄金分割教学目标【知识与技能】1.进一步理解并掌握比例、比例线段的概念.2.会辨认比例式中的“项”.3.会求常见图形中的线段比.4.会进行黄金分割的有关计算.【过程与方法】1.经历探究比例、比例线段的性质的过程,体会类比的思想,促进探究、质疑、归纳能力的发展.2.经历黄金分割的引入以及黄金分割点的探究过程.3.通过问题情境的创设和解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系,体会数学的思维方式,增进数学学习的情感.【情感、态度与价值观】在交流协作中,体会生生交往与师生交往的乐趣;在解决问题的过程中接受挑战、战胜困难,增强学习数学的兴趣.重点难点【重点】比例及比例线段的性质;黄金分割点的有关计算.【难点】比例及比例线段的应用;黄金分割点的有关计算.教学过程一、复习回顾,引入新课师:在上一节,我们学习了成比例线段,同学们现在能画出两条线段、量出长度并求出它们的比值吗?学生作图后测量并求出比值.师:用同一个单位去度量两条线段a、b,得到它们的长度,我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比,记作或a∶b.在四条线段a、b、c、d中,如果其中两条线段a、b的比,等于另外两条线段c、d的比,即=(或a∶b=c∶d),那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.二、探究新知师:两条线段的比是它们长度的比,也就是两个数的比,因此也应具有关于两个数成比例的性质.如果=,你能把这个式子改写成乘积的形式吗?生:两边同乘以bd,得到ad=bc.师:反之,如果ad=bc(b、d≠0)我们是否能得到=呢?生:能,两边同除以bd.师:比例的这个性质叫做比例的基本性质.教师多媒体课件出示:师:现在请同学们看这三个图形.图形(1)和图形(2)对应边是成比例的,图形(3)的长等于图形(1)的长加上图形(2)的长,图形(3)的宽等于图形(1)的宽加上图形(2)的宽,你能判断图形(1)和图形(3)的边是否成比例吗?学生思考,讨论.师:你怎么判断这两个长方形的边是否是成比例的呢?生:计算3.6∶2和2.7∶1.5是否相等.师:现在就请同学们算一下是否相等.学生计算后回答:相等.师:所以我们有=.对于式子=,能否得到=呢?学生思考,讨论.生:在=的两边都加上1,然后通分就得到了=.师:对!所以我们得到了这个结论:如果=,那么=(b、d≠0).这叫做比例的合比性质.如果=,b1+b2≠0,你能否证明=呢?教师提示:我们可以倒着推:要证=,可先证(a1+a2)×b1=(b1+b2)×a1,即a1b1+a2b1=b1a1+b2a1,两边都减去a1b1,两边都减去a1b1,得a2b1=b2a1,你能证明a2b1=b2a1吗?学生思考后回答:能.师:怎么证明?生:因为=,两边同乘以b1b2,就证出来了.师:现在你知道怎么证明=了吗?生:知道了.师:请同学们想想有没有其他的证法?学生思考.教师提示:的值与的值相等,我们要证的是的值也与的值相等,如果我现在设==k,你能否证出=k呢?学生思考,讨论.师:a1、a2能否用含b1、b2的代数式表示?生:能.师:怎样表示?生:a1=b1k,a2=b2k.师:你知道怎样证明了吗?生:知道,将a1=b1k,a2=b2k代入中.师:我们有了两种证法,哪两位同学愿意上来写出证明过程?学生举手,教师从举手的同学中找两生板演.生1板书:证明:∵=(已知),两边同乘以得=.∴=(合比性质).两边同乘以得=.两边取倒数,得=,即=.生2板书:设==k,得a1=b1k,a2=b2k,代入得===k=.师:你能总结一下以上两种方法吗?生:第一种方法是先倒推,再证明;第二种方法是设定值.师:同学们总结得很好!再遇到证明两式相等的问题时要记起这两种方法,其中设定值的方法一般适用于设比值为定值.如果我把这个式子推广,===…=成立,且b1+b2+b3+…+b n≠0,你能否推出所有分子之和与所有分母之和的比是等于呢?生:能.教师找一生板演,其余同学在下面做,教师巡视指导.师:所以我们得到比例的又一性质:如果==…=,且b1+b2+b3+…+b n≠0,那么=.三、例题讲解【例1】已知:如图,在△ABC中,=.师:请同学们看这道题.学生读题思考.师:哪位同学能证明这道题,跟大家说说你的思路.学生举手.教师找一生回答第(1)题.生:因为=,由合比性质得=,即=.教师找另一生回答第(2)题.师:你是怎样考虑的呢?生:AB可以写成AD+DB,AC可以写成AE+EC.因为合比性质是分子加分母,要证明=,可先证=,然后两边取倒数,就得到要证的结果了.师:很好!现在请你把证明步骤写在黑板上,其余同学在下面做.学生证明后集体订正.教师多媒体课件出示:【例2】在地图或工程图纸上,都标有比例尺,比例尺就是图上长度与实际长度的比.现在一张比例尺为1∶5 000的图纸上,量得一个△ABC的三边:AC=3 cm,BC=4 cm,AB=5 cm.问这个图纸所反映的实际△A'B'C'的周长是多少?解:根据题意,得===.即=.又∵AB+BC+AC=5+4+3=12(cm),∴A'B'+B'C'+A'C'=12×5 000=60 000(cm)=600(m).答:实际△A'B'C'的周长是600 m.【例3】如图所示,已知线段AB长度为a,点P是AB上一点,且使AB∶AP=AP∶PB.求线段AP 的长和的值.解:设AP=x,那么PB=a-x.根据题意,得a∶x=x∶(a-x),即x2+ax-a2=0.解方程,得x=a.因为线段长度不能是负值,所以取x=a.即AP=a.于是==≈0.618.把一条线段分成两部分,使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,分割点叫做这条线段的黄金分割点,比值叫做黄金数.四、巩固练习1.若6x=5y,则x∶y= .【答案】2.已知ab=cd,则= .【答案】3.若==,则= .【答案】4.已知x===,则x的值是.解析:∵x===,∴a2+ab=bc+c2. ①b2+bc=a2+ac. ②ac+c2=ab+b2③将③式减去②式得ab-bc=c2-a2. ④将②式减去①式得ac-ab=b2-c2. ⑤将③式减去①式得b2-a2=ac-bc. ⑥由④⑤⑥式都可得出a+b+c=0.∴a+b=-c,b+c=-a,a+c=-b.∴x====-1.【答案】-15.点P在线段AB上,AP2=AB·PB.若PB=4,则AP的长为.解析:设AP=x,∴x2=(x+4)×4,x2-4x-16=0.∴x=2±2.又∵x>0,∴AP长取2+2.【答案】2+26.已知点M将线段AB黄金分割(AM>BM),则下列各式中不正确的是( )A.AM∶BM=AB∶AMB.AM=ABC.BM=ABD.AM≈0.618AB【答案】C7.已知x∶y=3∶5,y∶z=4∶7,求x∶y∶z.【答案】∵x∶y=3∶5,∴x=y.又∵y∶z=4∶7,∴z=y.∴x∶y∶z=y∶y∶y=12∶20∶35.五、课堂小结师:本节课你学习了什么内容?有什么收获?学生回答,教师点评.教学反思首先,从回顾上节已学的比例知识入手,运用类比的方法得到实数范围的比和比例,再类比得到比例线段的概念,这样会比较直观、易学.其次,尽可能体现数学与生活的紧密联系,如课题的引出及知识的应用,尽可能让学生感悟到数学源于实际,并且数学知识和方法能很好地解决实际生活中的问题,激起学生学习数学的欲望.总的来说,本节课是在轻松愉快的氛围中完成的,学生的热情也比较高涨,由于所涉及的问题是每个学生触手可及的,因而学生在活跃的课堂气氛中也各有所获.。

初三数学第2讲：比例线段与黄金分割教学内容一、知识要点：1、两条线段长度的比叫做两条线段的比。

2、在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

如果a、b、c、d是比例线段，即（或），那么线段a、d是比例外项，线段b、c是比例内项。

3、比例线段有以下性质：（1）基本性质如果，那么（2）合比性质如果，那么，；（3）等比性质如果，那么。

等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情形。

例如：如果，那么小试牛刀：一、填空题1、两条线段x、y的长度的比叫做这两条线段的____________，记作____________。

2、在四条线段中，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比____________，那么这四条线段叫做成比例线段，简称____________。

3、合（分）比性质：如果，那么=_____________。

4、等比性质：如果，且_____________，那么__________=5、若4x=5y，则x：y=____________6、已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a=2厘米，b=4厘米，c=5厘米，则d为_______7、下列各组线段成比例的是（）A、1cm、3cm、2cm、4cmB、1m、20cm、5cm、25cmC、cm、cm、cm、4mD、4cm、8cm、6m、12cm8、已知点C是AB延长线上一点，且AC:CB=5:3,AB=52,则CB 的值为（）A、13B、19.5C、78D、1309、在比例尺为40:1的图纸上，一零件的长度为16厘米，则该零件的实际长度为（）A、6.4厘米B、64分米C、0.4厘米D、4厘米二、典型例题：例1、有两组线段，每组分别有四条，长度如下：（1）a=16厘米，b=18厘米，c=5厘米，d=10厘米；（2）a=10厘米，b=0.5厘米，c=0.6分米，d=12厘米。

试判断它们是否成比例。

沪科版数学九年级上册22.1《比例线段》（第2课时）教学设计一. 教材分析《比例线段》是沪科版数学九年级上册第22.1节的内容，主要介绍了比例线段的定义、性质和应用。

比例线段是初中数学中的重要概念，它在解决实际问题和进一步学习几何中起着重要作用。

本节内容通过讲解和实例分析，使学生掌握比例线段的性质和应用，培养学生的几何思维和解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对线段、比例等概念有一定的了解。

但学生在理解和运用比例线段方面还存在一定的困难，需要通过实例分析和练习来进一步巩固。

此外，学生对几何图形的直观认识和空间想象能力还有待提高，需要在教学过程中给予引导和培养。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握比例线段的定义、性质和应用，能够运用比例线段解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过实例分析、合作交流和动手操作，培养学生的几何思维和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极进取的精神。

四. 教学重难点1.重点：比例线段的定义、性质和应用。

2.难点：比例线段的性质的证明和运用。

五. 教学方法1.启发式教学：通过提问、引导和讨论，激发学生的思维，培养学生的解决问题的能力。

2.实例分析：通过具体的例子，使学生理解比例线段的定义和性质。

3.合作交流：鼓励学生之间相互讨论、合作，共同解决问题。

4.动手操作：让学生通过实际操作，加深对比例线段的理解。

六. 教学准备1.教学PPT：制作详细的PPT，展示比例线段的定义、性质和应用。

2.实例材料：准备一些实际的例子，用于讲解和分析比例线段。

3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学内容。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入比例线段的概念，激发学生的兴趣。

2.呈现（15分钟）讲解比例线段的定义、性质和应用，结合实例进行分析，让学生直观地理解比例线段的概念。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，合作解决一些关于比例线段的练习题，巩固所学内容。

比例线段与黄金分割【知识要点】 1．线段的比（（1） 定义：在同一单位下，丙条线段长度的比叫做这两条线段的比定义：在同一单位下，丙条线段长度的比叫做这两条线段的比注意：①计算两条线段的比时，长度单位必须一致注意：①计算两条线段的比时，长度单位必须一致注意：①计算两条线段的比时，长度单位必须一致②在同一单位下，线段的比与选用的长度单位无关②在同一单位下，线段的比与选用的长度单位无关②在同一单位下，线段的比与选用的长度单位无关③线段的比是一个没有单位的正数③线段的比是一个没有单位的正数③线段的比是一个没有单位的正数（2） 比例尺：比例尺＝图上距离：实际距离比例尺：比例尺＝图上距离：实际距离2．比例线段的概念定义：在四条线段中，如果两条线段的比等于另两条线段的比，那么这四条线段叫做定义：在四条线段中，如果两条线段的比等于另两条线段的比，那么这四条线段叫做成 比例线段，简称比例线段。

比例线段，简称比例线段。

注意：①四条线段注意：①四条线段d c b a ,,,成比例，记作d c b a ::=②四条线段成比例，要顺次写出来②四条线段成比例，要顺次写出来②四条线段成比例，要顺次写出来3．比例的性质①比例的基本性质：d b bd ad d c b a ,(=Û=都不为0）②更比性质：ïïïîïïïíì===Þ=a bc d ac bd d bc ad c b a ③反比性质：cd a b d c b a =Þ= ④合比性质：ïïîïïíì-=-+=+Þ=d d c b b a d d c b b a d c b a ⑤ 等比性质：如果()0¹+++===m d b n m d c b a ，那么b a n d b m c a =++++++ 4. 黄金分割概念：若点C 把线段AB 分成两条线段AC AC、、BC (AC BC (AC＞＞BC)BC)，若，若ACBC AB AC =，我们称线段AB 被点C 黄金分割，黄金分割，C C 点为该条线段的黄金分割点，较短线段与较长线段（或较长线段与原线段）的比叫做黄金比÷÷øöççèæ»-618.0215。

专题22.1 成比例线段【七大题型】【沪科版】【题型1 成比例线段的概念】 (1)【题型2 成比例线段的应用】 (2)【题型3 比例的证明】 (3)【题型4 利用比例的性质求比值】 (3)【题型5 利用比例的性质求参】 (4)【题型6 比例的性质在阅读理解中的运用】 (4)【题型7 黄金分割】 (6)【题型1 成比例线段的概念】【例1】（2022秋•南岗区校级月考）不能与2，4，6组成比例式的数是（）A．4B．3C．8D．123【变式1-1】（2022秋•义乌市月考）已知线段a＝2，b＝6，则它们的比例中项线段为2√3．【变式1-2】（2022秋•道里区期末）如图，用图中的数据不能组成的比例是（）A．2：4＝1.5：3B．3：1.5＝4：2C．2：3＝1.5：4D．1.5：2＝3：4【变式1-3】（2022秋•八步区期中）如图所示，有矩形ABCD和矩形A'B'C'D'，AB＝8cm，BC＝12cm，A'B'＝4cm，B'C'＝6cm．则线段A'B'，AB，B'C'，BC是成比例线段吗？【题型2 成比例线段的应用】【例2】（2022秋•渭滨区期末）已知△ABC的三边分别为a，b，c，且（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，试判断△ABC的形状．【变式2-1】（2022秋•青羊区校级月考）甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是（）A．0.8cm B．8cm C．80cm D．800cm．【变式2-2】（2022秋•杜尔伯特县期末）一个班有30名学生，男、女生人数的比可能是（）A．3：2B．1：3C．4：5D．3：1【变式2-3】（2022•台湾）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（）舞蹈社溜冰社魔术社上学期345下学期432A．舞蹈社不变，溜冰社减少B．舞蹈社不变，溜冰社不变C．舞蹈社增加，溜冰社减少D．舞蹈社增加，溜冰社不变)n+≠0【题型3 比例的证明】【例3】（2022秋•汝州市校级月考）已知线段a，b，c，d（b≠d≠0），如果ab=cd=k，求证：a−cb−d=a+cb+d．【变式3-1】（2022春•江阴市期中）如图，点B，C在线段AD上，且AB：BC＝AD：CD，求证：1AB+1AD=2AC．【变式3-2】（2022秋•秦都区校级期中）已知：如图，点O为三角形ABC内部的任意一点，连接AO并延长交BC于点D．证明：（1）S△ABOS△BOD=S△ACOS△COD；（2）S△ABOS△ACO=BDCD．【变式3-3】（2022秋•岳阳县期中）若a，b，c，d是非零实数且ab=cd，求证a2+c2ab+cd=ab+cdb2+d2．【题型4 利用比例的性质求比值】【例4】（2022秋•炎陵县期末）已知2b3a−b=34，则ab=．【变式4-1】（2022春•霍邱县期末）若a−ba=34，那么ba的值等于（）A．25B．14C．−25D．−14【变式4-2】（2022春•沙坪坝区校级期末）若ab =cd=ef=13且b﹣2d+3f≠0，则a−2c+3eb−2d+3f的值为（）A．16B．13C．12D．56【变式4-3】（2022春•栖霞市期末）下列结论中，错误的是（）A．若a4=c5，则ac=45B．若a−bb =16，则ab=76C．若ab =cd=23（b﹣d≠0），则a−cb−d=23D．若ab =34，则a＝3，b＝4【题型5 利用比例的性质求参】【例5】（2022秋•蜀山区校级期中）已知：y+zx =x+zy=x+yz=k，则k＝．【变式5-1】（2022秋•灌云县期末）已知x3=y5，且x+y＝24．则x的值是（）A．15B．9C．5D．3【变式5-2】（2022秋•高州市期中）已知x3=y5=z6，且3y＝2z+6，求x，y的值．【变式5-3】（2022•雨城区校级开学）我们知道：若ab =cd，且b+d≠0，那么ab=cd=a+cb+d．（1）若b+d＝0，那么a、c满足什么关系？（2）若b+ca =a+cb=a+bc=t，求t2﹣t﹣2的值．【题型6 比例的性质在阅读理解中的运用】【例6】（2022秋•渝中区期末）阅读理解：已知：a，b，c，d都是不为0的数，且ab =cd，求证：a+bb=c+dd．证明：∵ab =cd，∴ab +1=cd+1．∴a+bb =c+dd．根据以上方法，解答下列问题：（1）若ab =35，求a+bb的值；（2）若ab =cd，且a≠b，c≠d，证明a−ba+b=c−dc+d．【变式6-1】阅读材料：已知x3=y4=z6≠0，求x+y−zx−y+z的值．解：设x3=y4=z6=k（k≠0），则x＝3k，y＝4k，z＝6k．（第一步）∴x+y−zx−y+z =3k+4k−6k3k−4k+6k=k5k=15．（第二步）（1）回答下列问题：①第一步运用了的基本性质，②第二步的解题过程运用了的方法，由k5k 得15利用了的基本性质．（2）模仿材料解题：已知x：y：z＝2：3：4，求x+y+zx−2y+3z的值．【变式6-2】（2022秋•椒江区校级月考）阅读下列解题过程，然后解题：题目：已知xa−b =yb−c=zc−a（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．解：设xa−b =yb−c=zc−a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0．依照上述方法解答下列问题：a，b，c为非零实数，且a+b+c≠0，当a+b−cc =a−b+cb=−a+b+ca时，求(a+b)(b+c)(c+a)abc的值．【变式6-3】（2022春•鼓楼区校级期中）阅读下面的解题过程，然后解题：题目：已知xa−b =yb−c=zc−a（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值．解：设xa−b =yb−c=zc−a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，依照上述方法解答下列问题：已知：y+zx =z+xy=x+yz（x+y+z≠0），求x−y−zx+y+z的值．.AC AB =≈0618，BC AB =.AB ≈0382，AC 与AB 的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB 而言，黄金分割点有两个．） 【题型7 黄金分割】【例7】（2022•青羊区校级模拟）如图，点R 是正方形ABCD 的AB 边上线段AB 的黄金分割点，且AR ＞RB ，S 1表示以AR 为边长的正方形面积；S 2表示以BC 为长，BR 为宽的矩形的面积，S 3表示正方形除去S 1，S 2剩余的面积，则S 1：S 2的值为 ．【变式7-1】（2022秋•杨浦区期末）已知点P 是线段AB 上的一点，线段AP 是PB 和AB 的比例中项，下列结论中，正确的是（ ） A ．PB AP=√5+12B ．PB AB=√5+12C ．APAB=√5−12D ．AP PB=√5−12【变式7-2】（2022秋•江都区校级月考）已知，点D 是线段AB 的黄金分割点，若AD ＞BD ． （1）若AB ＝10cm ，则AD ＝ ；（2）如图，请用尺规作出以AB 为腰的黄金三角形ABC ； （3）证明你画出的三角形是黄金三角形．【变式7-3】（2022春•兖州区期末）再读教材： 宽与长的比是√5−12（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN ＝2）第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线AB ，并把AB 折到图③中所示的AD 处．第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．问题解决：（1）图③中AB＝（保留根号）；（2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．。

比例线段及黄金分割（基础）知识讲解比例线段及黄金分割（基础）知识讲解【学习目标】1、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段；2、会运用比例线段解决简单的实际问题；3、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点.【要点梳理】要点一、比例线段【高清课堂： 394495 图形的相似预备知识】1．成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．2．比例的性质：（1）基本性质：如果a cb d=，那么ad bc =.（2）合比性质：如果++==.a c a b c d b d b d，那么如果--==.a c a b c d b d b d ，那么要点诠释：（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．要点二、黄金分割1.定义：点C 把线段AB 分割成AC 和CB 两段,如果AC BC AB AC =,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.要点诠释：=≈).AC AB2.作一条线段的黄金分割点：图4－7如图，已知线段AB，按照如下方法作图：1AB.（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=2（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、比例线段1. （优质试题?兰州模拟）若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（）A．2a=3b B．3a=2b C．D．【思路点拨】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案．【答案】B．【解析】A、2a=3b?a：b=3：2，故选项错误；B、3a=2b?a：b=2：3，故选项正确；C 、=?b ：a=2：3，故选项错误；D 、=?a ：b=3：2，故选项错误．故选B ．【总结升华】考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积．举一反三：【变式】（优质试题?崇明县一模）已知=，那么下列等式中，不一定正确的是（）．A ．2a=5b B. a b 52= C. a+b=7 D.a b b 72+= 【答案】C ．2. 设432z y x ==，求2222232zxy x z yz x --+-的值．【思路点拨】由已知条件利用解方程的思想不能求出x ，y ，z 的值，因此用设参数法代入化简．【答案与解析】设432z y x ==＝k 则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k 原式＝2222)4(322)2()4(433)2(2k k k k k k k k -??-+??-?＝222412k k --＝21 【总结升华】解此类题学生容易误认为设k 后，未知数越多更不易解出，实际上分子、分母能产生公因式约去．类型二、黄金分割3. 如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即BC AB ＝215-≈0.618），如果在其内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？【思路点拨】（1）矩形的宽与长之比值为215-，则这种矩形叫做黄金矩形．（2）要说明ABFE 是不是黄金矩形只要证明AB AE ＝215-即可．【答案与解析】矩形ABFE 是黄金矩形．理由如下：因为AB AE ＝ABED AB AD AB ED AD -=- ＝21512151)15)(15()15(21152-=-+=-+-+=-- 所以矩形ABFE 也是黄金矩形．【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法.举一反三：【变式】以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图所示，（1）求AM ，DM 的长，（2）试说明AM 2=AD ·DM（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？【答案】（1）∵正方形ABCD 的边长是2，P 是AB 中点，∴AD ＝AB ＝2，AP ＝1，∠BAD ＝90°，∴PD ＝522=+AD AP 。

沪科版数学九年级上册22.1《比例线段》（第2课时）教学设计一. 教材分析《比例线段》是沪科版数学九年级上册第22.1节的内容，本节内容是在学生已经掌握了比例的基本概念和线段的性质的基础上进行学习的。

比例线段是指在三角形中，如果一条线段是另外两条线段的比例中项，那么这条线段被称为比例线段。

本节内容主要让学生了解比例线段的定义，学会如何判断一条线段是否为比例线段，并能够运用比例线段解决一些实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力，但是对于比例线段这一概念可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，教师需要通过生动的例子和实际问题来引导学生理解和掌握比例线段的概念，并能够运用到解决问题中。

三. 教学目标1.让学生理解比例线段的定义，并能够判断一条线段是否为比例线段。

2.培养学生运用比例线段解决实际问题的能力。

3.培养学生合作交流的能力，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.比例线段的定义。

2.如何判断一条线段是否为比例线段。

3.运用比例线段解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生动的例子和实际问题，引导学生理解和掌握比例线段的概念。

2.合作交流法：学生在小组内合作探讨，共同解决问题，培养学生的合作交流能力。

3.练习法：通过大量的练习题，让学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的例题和练习题。

2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。

3.准备黑板和粉笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的内容，如：“在三角形ABC中，AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，请问是否存在一条线段DE，使得DE是三角形ABC的比例线段？”让学生思考并讨论，引出比例线段的概念。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT或者黑板，呈现比例线段的定义和判断方法，并用动画或者图形展示比例线段的特点。

让学生直观地理解和掌握比例线段的概念。