根系关系

根系关系及应用题知识互联网题型切片编写思路本讲主要分为两个版块，模块一主要讲解了一元二次方程的补充知识点，韦达定理，在这一板块重点进行了由定理直接进行的代数式的变形，对于这个补充版块，有的班级理解能力强些，老师们可能会有一些富余时间，故给老师们预备了对韦达定理的进一步探索。

模块二练习了各个类型的应用题，希望同学们能从不同的方面深入理解一元二次方程，并再次练习了解方程应用题的一般步骤：审、设、列、解、答，希望老师注意强调应用题的答千万不要忘记。

一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）若21,x x 是关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根，则方程的两个根21,x x 和系数c b a ,,有如下关系：acx x a b x x =⋅-=+2121,.【引例】 先阅读，再填空解题：⑴方程x 2－x －12＝0 的根是：x 1＝3-，x 2＝4，则x 1＋x 2＝1，x 1·x 2＝12-；⑵方程2x 2－7x ＋3＝0的根是：x 1＝12，x 2＝3，则x 1＋x 2＝72，x 1·x 2＝32；⑶方程x 2－3x ＋1＝0的根是：x 1＝ ， x 2＝ ． 则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ； ⑷根据以上⑴⑵⑶你能否猜出：如果关于x 的一元二次方程mx 2＋nx ＋p ＝0（m ≠0且m 、n 、p 为常数）的两根为x 1、x 2，那么x 1＋x 2、x 1·x 2与系数m 、n 、p 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由．⑸在⑶的条件下，求下列各式的值：①221221x x x x +；②221211x x + （十一学校期末） 【解析】；3，1；⑷1212n px x x x m m+=-=，； ⑸①()2212211212==31=3x x x x x x x x ++⨯②()()2221212122222212*********====71x x x x x x x x x x x x +-+-+ 思路导航例题精讲题型一：根与系数关系【例1】 不解方程，求下列方程两根的积与和．⑴25100x x --= ⑵22710x x ++= ⑶23125x x -=+ ⑷()137x x x -=+【解析】 ⑴1212510x x x x +==-， ⑵12127122x x x x +=-=，⑶1212223x x x x +==-， ⑷121247x x x x +==-，【例2】 已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．⑴求实数m 的取值范围；⑵当22120x x -=时，求m 的值． (毕节中考) 【解析】 ⑴由题意有22(21)40m m ∆=--≥，解得14m ≤．即实数m 的取值范围是14m ≤．⑵由22120x x -=得1212()()0x x x x +-=． 若120x x +=，即(21)0m --=，解得12m =．∵12＞14，12m ∴=不合题意，舍去． 若120x x -=，即12x x =∴ 0∆=，由⑴知14m =．故当22120x x -=时，14m =．【例3】 已知一元二次方程2(1)230m x mx m +++-=有两个不相等的实数根，并且这两个根又不互为相反数. ⑴ 求m 的取值范围；⑵ 当m 在取值范围内取最小偶数时，方程的两根为12,x x ，求2123(14)x x -的值.（北京八中期中试题）【解析】 ⑴根据题意，可得 ()()210441300m m m m m +≠⎧⎪∆=-+->⎨⎪≠⎩∴32m >-且0m ≠且1m ≠-．⑵依题意有2m =，原方程可化为23410x x +-=．典题精练方法一：∴121221143133410x x x x x x ⎧+=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪+-=⎪⎩∴()2121212123(14)(14)(14)11641x x x x x x x x -=--=+-+=方法二：12222133410x x x x ⎧=-⎪⎨⎪+-=⎩，()22221212123(14)3391x x x x x x -=⋅==【探究对象】根系关系的进一步应用【探究方式】在做含参一元二次方程根系关系的问题时，先考虑二次项系数不为0→再判断∆→然后根据题意看是否有两根的特殊关系（如例3，已知中强调两根不互为相反数，则根据根系关系能够得出0m ≠）．在这里主要探讨一下根的正负性问题：利用根与系数的关系，我们可以不直接求方程2++=0ax bx c 的根，而知其根的正、负性． 在2=40b ac ∆-≥的条件下，我们有如下结论：①当<0c a时，方程的两根必一正一负．若0ba -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若<0ba-，则此方程的正根小于负根的绝对值．②当>0c a时，方程的两根同正或同负．若>0b a -，则此方程的两根均为正根；若<0ba -，则此方程的两根均为负根．【探究1】已知关于x 的一元二次方程x 2－2ax +a 2－9=0 （1）a 为何值时，方程有两个正根？ （2）a 为何值时，方程有一正根、一负根？分析：此题根据上面的总结很容易得出：（1）a >3；（2）－3< a <3【探究2】已知关于x 的一元二次方程（m +2）x 2+2mx +232m -=0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）若 362m <<，试判断方程两个实数根的符号，并证明你的结论． 分析：（1）∵方程有两个不相等的实数根【探究3】已知方程22430x x k -+-=，k 为实数且k ≠0，证明：此方程有两个实数根，其中一根大于1，另一根小于1．分析：先判断∆=4+4k 2>0，所以方程有两不等实根，设为α、β，且αβ≠ 由根系关系得 4αβ+=，23k αβ=-，拓展逆用上述结论： ()()111αβαβαβ--=--+ 223410k k =--+=-<∴1α-与1β-中必有一个大于0，另一个小于0 即方程有两个实数根，其中一根大于1，另一根小于1．列一元二次方程解应用题的时候，要注意检验得到的根是否符合题意．【引例】 ⑴某汽车销售公司2009年盈利1500万元， 2011年盈利2160万元，且从2009年到2011年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）． （西城期末） A ．()2150012160x += B ．2150015002160x x += C ．215002160x = D ．()()215001150012160x x +++=例题精讲思路导航题型二：一元二次方程的应用题⑵某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为 ． (台州中考)【解析】 ⑴A ；⑵100)1(1202=-x ．【例4】 某商品进价为40元的衬衫按50元售出时.每月能卖500件.这种衬衫每涨价1元，其销售量减少10件.如果商场计划每月赚8000元利润.售价应定为多少? 【解析】 设涨价x 元，则售价为()50x +元，每月卖出()50010x -件．根据题意列出方程()()5001050408000x x -+-= 解得：121030x x ==，答：当售价定在60元或者80元时，每月赚8000元．【例5】 如图①，要设计一幅宽20cm ，长30cm 的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2:3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？图①图②分析：由横、竖彩条的宽度比为2:3，可设每个横彩条的宽为2x ，则每个竖彩条的宽为3x ．为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到矩形ABCD ． 结合以上分析完成填空：⑴ 如图②，用含x 的代数式表示：AB =____________________________cm ；AD =____________________________cm ； 矩形ABCD 的面积为_____________cm 2；⑵ 列出方程并完成本题解答．（三帆中学期末试题）【解析】 ⑴ 220630424260600.x x x x ---+，，⑵ 根据题意，得2124260600132030x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭⨯⨯.整理，得2665500x x -+=.解方程，得125106x x ==，（不合题意，舍去）.则552332x x ==，．答：每个横、竖彩条的宽度分别为53cm ，52cm.【例6】 如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面．请观察下列图形并解答有关问典题精练题：⑴在第n个图中，每一横行共有块瓷砖，每一竖列共有块瓷砖；（均用含n 的代数式表示）⑵设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与⑴中的行列的函数关系式；（不要求写自变量n的取值范围）⑶按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；⑷若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题⑶中，共需花多少元钱购买瓷砖？⑸是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算说明理由．...n=3n=2n=1【解析】⑴3n+；2n+．⑵(3)(2)y n n=++，即256y n n=++．⑶当y=506时，256506n n++=，即255000n n+-=解得122025n n==-，（舍去）．⑷白瓷砖块数是(1)20(201)420n n+=⨯+=（块）．黑瓷砖块数是50642086-=（块）．共需86442031604⨯+⨯=（元）．⑸2(1)(56)(1)n n n n n n+=++-+化简为2360n n--=解得12n n==<（舍去）．∵n的值不为正整数，∴不存在黑、白瓷砖块数相等的情形．【例7】关于x的方程20x px q++=的两根和为1s，两根的平方和为2s，两根的立方和为3s，试求321s ps qs++的值．【解析】设方程的两根为1x、2x，则12x x p+=-，12x x q=．∴1s p=-，()2222212121222s x x x x x x p q=+=+-=-．()()()233231212121233s x x x x x x x x p p q⎡⎤=+=++-=--⎣⎦33pq p=-．∴()()32321320s ps qs pq p p p q q p++=-+-+-=．真题赏析训练1. 关于x 的一元二次方程()()23x x m --=有两个实数根1x 、2x ，⑴ 求m 的取值范围;⑵若1x 、2x 满足等式121210x x x x --+=求m 的值. （崇文区初三期末）【解析】 由()()23x x m --=，整理，得 2560x x m -+-=． ⑴ ∵方程有两个实数根，∴24b ac =-=Δ254(6)0m --≥．解之，得14m -≥ ．⑵ ∵方程2560x x m -+-=的两个实根是1x 、2x ， ∴12121456m x x x x m -+==⎧⎪⎨⎪-⎪⎪⎩≥ ∵121210x x x x --+=∴114650m m --+=⎧-⎪⎨⎪⎩≥ ∴2m =.训练2. ⑴已知t 是实数，若a b ，是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则22(1)(1)a b --的最小值是____________.⑵如果a b ，是质数，且22130130a a m b b m -+=-+=，那么b aa b+的值为 （ ） A.12322 B. 12522或2 C. 12522 D. 12322或2 【解析】 ⑴3-.提示：依题意有()224410210210210t a a t b b t a b ab t =--⎧⎪-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪+=⎪=-⎪⎩Δ≥≥，化简得22121212t a a t b b t ⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩≤≤ ∴()()222(1)(1)224a b a t b t t --=--=-，∴22(1)(1)a b --的最小值为3-． ⑵B ．提示：方法一：有两种情况：① 若a b =，则2b aa b+=；②若a b ≠，根据题意，a 、b 是方程2130x x m -+=的根，思维拓展训练(选讲)则13a b +=，因为a b ，是质数且和为奇数，所以两数分别为2和11．此时21112511222b a a b +=+=． 方法二：两式相减，消m ，2213130a b a b --+=，()()130a b a b -+-=，所以有a b=或13.a b +=训练3. 为了鼓励居民节约用电，某地区规定：如果每户居民一个月的用电量不超过a 度时，每度电按0.40元交费；如果每户居民一个月的用电量超出a 度时，则该户居民的电费将使用二级电费计费方式，即其中有a 度仍按每度电0.40元交费，超出a 度部分则按每度电150a元交费．下表是该地区一户居民10月份、11月份的用电情况．根据表中的数据，求在该地区规定的电费计费方式中，a 度用电量为多少？ （西城期末）【解析】 因为800.432⨯=，1000.44042⨯=<，所以 80100a <≤.由题意得 0.4(100)42150aa a +-=. 去分母，得 60(100)42150a a a +-=⨯.整理，得 216063000a a -+=. 解得 190a =，270a =. 因为 80a ≥，所以 270a =不合题意，舍去. 所以 90a =．答：在该地区规定的电费计费方式中，a 度用电量为90度.训练4. ⑴两个相邻的自然数的平方和比这两个数中较小的数的2倍大51，试求这两个自然数．⑵某两位数的十位数字与个位数字之和为5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数．【解析】 ⑴设这两个自然数分别为1n n +，．根据题意得()221251n n n ++=+解得：1255n n ==-，（舍） 所以这两个自然数为5和6⑵设这个数为()10595x x x +-=+，新的数为()105509x x x -+=- 根据题意得：()()95509736x x +-= 解得1223x x ==，所以这个两位数为23或32知识模块一 根与系数的关系 巩固练习【练习1】 ⑴方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-⋅的值为（ ）A ．7-B ．3-C ．7D ．3⑵设1x ，2x 是一元二次方程2320x x --=的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为__________________．【解析】 ⑴D ；⑵7．【练习2】 已知α，β是一元二次方程210x x +-=的两个根，求5325αβ+的值． 【解析】 因为α是方程210x x +-=的根，所以210αα+-=，即21αα=-． ()24211223ααααα=-=-+=-，()542232353αααααααα=⋅=-=-=-．同理()322121ββββββββ=⋅=-=-=-．所以()()()5325253521101121αβαβαβ+=-+-=+-=-．【练习3】 已知关于x 的方程()2120x k x k -+++=的两个实数根的平方和等于6，求k 的值． 【解析】 设方程的两个根为1x ，2x ，则121x x k +=+，122x x k =+．∵22126x x +=，∴()2121226x x x x +-=． ∴()()21226k k +-+=． 解得13k =，23k =-． 又()()2142k k ∆=+-+．当3k =时，0∆<，所以，3k =不符合题意．舍去． 当3k =-时，0∆>，所以，3k =-即为所求．复习巩固题型二 一元二次方程的应用问题 巩固练习【练习4】 某市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少．【解析】 设平均每次降价的百分率为x ，则2200(1)128x -=，即10.8x -=±，解得1 1.8x =（舍去），20.220%x ==答：这种药品平均每次降价20%．【练习5】 一条长64m 的铁丝被剪成两段，每段均折成一个正方形，若两个正方形的面积和等于2160cm ，求这两个正方形的边长，【解析】 设一个正方形的边长为x cm ，则另一个正方形的边长是644(16)cm 4x x -=-． ∴22(16)160x x +-=，整理，得216480x x -+=，解得12412x x ==，，则1612x -=或164x -=．答：这两个正方形的边长分别为4cm ，12cm ．。

专题一：一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++两根的三种特殊情况 1.一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++的两根是互为相反数： 设方程两根为21x x ，，则⇔⎪⎩⎪⎨⎧=⇒==+≥∆0b 0a b -x x 021方程）（0a 0c bx ax 2≠=++的两根是互为相反数 例1：已知关于x 的一元二次方程()()010m 2x 9-m x 3-m 22=+++有两根互为相反数，求m 及两根。

2.一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++的两根是互为倒数：设方程两根为21x x ，，则⇔⎪⎩⎪⎨⎧=⇒==≥∆c a 1a c x x 021方程）（0a 0c bx ax 2≠=++的两根是互为倒数 例2：已知关于x 的一元二次方程()02-m 3x 3m x m 22=+++有两根互为倒数，求m 的值。

3.一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++必有一根为0：设方程两根为21x x ，，则⇔⎪⎩⎪⎨⎧=⇒==≥∆0c 0a c x x 021方程）（0a 0c bx ax 2≠=++必有一根为0 例3：已知关于x 的一元二次方程()()04-k x 32k -x 2k 22=+++有一根为0，求k 的值及方程的根。

专题二：利用一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++根的关系求待定系数及两根 例1：已知一元二次方程两根之和是4，两根之积为1，求这两根。

例2：已知关于x 的一元二次方程()05-m x 2m 2x 22=+++有两个实数根，且两根平方和比两根积大16，求m 的值。

例3：已知关于x 的一元二次方程0m 53x x 22=++的两根都小于1，求m 的取值范围。

例4：已知以斜边长为13的直角三角形的两条直角边长分别是一元二次方程()()02m 3x 1-m -x 2=++的两根，求直角三角形两直角边长。

专题三：利用一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++根系关系判断根的符号 （1）两根同号⇔⎪⎩⎪⎨⎧⇒>⇒>≥∆同号与c a 0a c 0x x 021 （2）两根异号⇔⎪⎩⎪⎨⎧⇒<⇒<>∆异号与c a 0a c 0x x 021 例：k 为何值时，方程()03k kx 2x 1-k 2=+++有一正根，有一负根，求k 的取值范围。

方程11级 解特殊复杂方程方程12级 特殊根问题 方程6级方程13级 根系关系及应用题春季班 第十一讲春季班 第九讲考古发现漫画释义满分晋级阶梯11根系关系及应用题题型切片（两个）对应题目题型目标根与系数关系 例1；例2；例3；例7；演练1；演练2；演练3； 一元二次方程的应用题例4；例5；例6；演练4；演练5．本讲主要分为两个版块，模块一主要讲解了一元二次方程的补充知识点，韦达定理，在这一板块重点进行了由定理直接进行的代数式的变形，对于这个补充版块，有的班级理解能力强些，老师们可能会有一些富余时间，故给老师们预备了对韦达定理的进一步探索。

模块二练习了各个类型的应用题，希望同学们能从不同的方面深入理解一元二次方程，并再次练习了解方程应用题的一般步骤：审、设、列、解、答，希望老师注意强调应用题的答千万不要忘记。

知识互联网题型切片编写思路题型一：根与系数关系一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）若21,x x 是关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根，则方程的两个根21,x x 和系数c b a ,,有如下关系：ac x x a b x x =⋅-=+2121,.【引例】 先阅读，再填空解题：⑴方程x 2－x －12＝0 的根是：x 1＝3-，x 2＝4，则x 1＋x 2＝1，x 1·x 2＝12-；⑵方程2x 2－7x ＋3＝0的根是：x 1＝12，x 2＝3，则x 1＋x 2＝72，x 1·x 2＝32；⑶方程x 2－3x ＋1＝0的根是：x 1＝ ， x 2＝ ． 则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ； ⑷根据以上⑴⑵⑶你能否猜出：如果关于x 的一元二次方程mx 2＋nx ＋p ＝0（m ≠0且m 、n 、p 为常数）的两根为x 1、x 2，那么x 1＋x 2、x 1·x 2与系数m 、n 、p 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由．⑸在⑶的条件下，求下列各式的值：①221221x x x x +；②221211x x + （十一学校期末）【解析】 ⑶352+，352-；3，1；⑷1212n px x x x m m+=-=，； ⑸①()2212211212==31=3x x x x x x x x ++⨯②()()2221212122222212*********====71x x x x x x x x x x x x +-+-+【例1】 不解方程，求下列方程两根的积与和．⑴25100x x --= ⑵22710x x ++= ⑶23125x x -=+ ⑷()137x x x -=+【解析】 ⑴1212510x x x x +==-， ⑵12127122x x x x +=-=，⑶1212223x x x x +==-， ⑷121247x x x x +==-，【例2】 已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．⑴求实数m 的取值范围；⑵当22120x x -=时，求m 的值． (毕节中考) 【解析】 ⑴由题意有22(21)40m m ∆=--≥，解得14m ≤．即实数m 的取值范围是14m ≤．典题精练例题精讲思路导航⑵由22120x x -=得1212()()0x x x x +-=． 若120x x +=，即(21)0m --=，解得12m =． ∵12＞14，12m ∴=不合题意，舍去．若120x x -=，即12x x =∴ 0∆=，由⑴知14m =．故当22120x x -=时，14m =．【例3】 已知一元二次方程2(1)230m x mx m +++-=有两个不相等的实数根，并且这两个根又不互为相反数. ⑴ 求m 的取值范围；⑵ 当m 在取值范围内取最小偶数时，方程的两根为12,x x ，求2123(14)x x -的值.（北京八中期中试题）【解析】 ⑴根据题意，可得 ()()210441300m m m m m +≠⎧⎪∆=-+->⎨⎪≠⎩∴32m >-且0m ≠且1m ≠-．⑵依题意有2m =，原方程可化为23410x x +-=．方法一：∴121221143133410x x x x x x ⎧+=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪+-=⎪⎩∴()2121212123(14)(14)(14)11641x x x x x x x x -=--=+-+=方法二：12222133410x x x x ⎧=-⎪⎨⎪+-=⎩，()22221212123(14)3391x x x x x x -=⋅==【探究对象】根系关系的进一步应用 【探究方式】在做含参一元二次方程根系关系的问题时，先考虑二次项系数不为0→再判断∆→然后根据题意看是否有两根的特殊关系（如例3，已知中强调两根不互为相反数，则根据根系关系能够得出0m ≠）． 在这里主要探讨一下根的正负性问题：利用根与系数的关系，我们可以不直接求方程2++=0ax bx c 的根，而知其根的正、负性． 在2=40b ac ∆-≥的条件下，我们有如下结论：①当<0c a时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若<0b a -，则此方程的正根小于负根的绝对值．②当>0c a时，方程的两根同正或同负．若>0b a -，则此方程的两根均为正根；若<0ba -，则此方程的两根均为负根．【探究1】已知关于x 的一元二次方程x 2－2ax +a 2－9=0 （1）a 为何值时，方程有两个正根？（2）a 为何值时，方程有一正根、一负根？ 分析：此题根据上面的总结很容易得出：（1）a >3；（2）－3< a <3【探究2】已知关于x 的一元二次方程（m +2）x 2+2mx +232m -=0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）若 362m <<，试判断方程两个实数根的符号，并证明你的结论．分析：（1）∵方程有两个不相等的实数根 ∴()()22324221202m m m m -∆=-+=-+> 解得：m ＜6； 又因为m +2≠0，则m ≠－2；所以m 的取值范围是m ＜6且m ≠－2； （2）设方程的两个实根分别为α与β，则根据根与系数的关系得：22mm αβ+=-+，()2322m m αβ-=+，又知362m <<，则202mm αβ+=-<+，()23022m m αβ-=>+ 逆用上述结论可知，方程有两个负实数根．【探究3】已知方程22430x x k -+-=，k 为实数且k ≠0，证明：此方程有两个实数根，其中一根大于1，另一根小于1．分析：先判断∆=4+4k 2>0，所以方程有两不等实根，设为α、β，且αβ≠ 由根系关系得 4αβ+=，23k αβ=-，拓展逆用上述结论： ()()111αβαβαβ--=--+223410k k =--+=-<∴1α-与1β-中必有一个大于0，另一个小于0 即方程有两个实数根，其中一根大于1，另一根小于1．列一元二次方程解应用题的时候，要注意检验得到的根是否符合题意．思路导航题型二：一元二次方程的应用题【引例】 ⑴某汽车销售公司2009年盈利1500万元， 2011年盈利2160万元，且从2009年到2011年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）． （西城期末）A ．()2150012160x += B ．2150015002160x x += C ．215002160x = D ．()()215001150012160x x +++=⑵某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为 ． (台州中考)【解析】 ⑴A ；⑵100)1(1202=-x ．【例4】 某商品进价为40元的衬衫按50元售出时.每月能卖500件.这种衬衫每涨价1元，其销售量减少10件.如果商场计划每月赚8000元利润.售价应定为多少?【解析】 设涨价x 元，则售价为()50x +元，每月卖出()50010x -件．根据题意列出方程()()5001050408000x x -+-=解得：121030x x ==，答：当售价定在60元或者80元时，每月赚8000元．【例5】 如图①，要设计一幅宽20cm ，长30cm 的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2:3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？20cm 30cm图①图②30cm20cm ABCD分析：由横、竖彩条的宽度比为2:3，可设每个横彩条的宽为2x ，则每个竖彩条的宽为3x ．为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到矩形ABCD ．结合以上分析完成填空：⑴ 如图②，用含x 的代数式表示：AB =____________________________cm ；AD =____________________________cm ； 矩形ABCD 的面积为_____________cm 2； ⑵ 列出方程并完成本题解答．（三帆中学期末试题）例题精讲典题精练【解析】 ⑴ 220630424260600.x x x x ---+，，⑵ 根据题意，得2124260600132030x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭⨯⨯.整理，得2665500x x -+=.解方程，得125106x x ==，（不合题意，舍去）.则552332x x ==，．答：每个横、竖彩条的宽度分别为53cm ，52cm.【例6】 如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面．请观察下列图形并解答有关问题：⑴ 在第n 个图中，每一横行共有 块瓷砖，每一竖列共有 块瓷砖；（均用含n 的代数式表示）⑵ 设铺设地面所用瓷砖的总块数为y ，请写出y 与⑴中的行列的函数关系式；（不要求写自变量n 的取值范围）⑶ 按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n 的值； ⑷ 若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题⑶中，共需花多少元钱购买瓷砖？ ⑸ 是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算说明理由．...n=3n=2n=1【解析】⑴ 3n +；2n +． ⑵ (3)(2)y n n =++，即256y n n =++．⑶ 当y =506时，256506n n ++=，即255000n n +-=解得122025n n ==-，（舍去）． ⑷ 白瓷砖块数是(1)20(201)420n n +=⨯+=（块）．黑瓷砖块数是50642086-=（块）． 共需86442031604⨯+⨯=（元）． ⑸ 2(1)(56)(1)n n n n n n +=++-+化简为2360n n --=解得12333333022n n +-==<，（舍去）． ∵n 的值不为正整数，∴不存在黑、白瓷砖块数相等的情形．【例7】 关于x 的方程20x px q ++=的两根和为1s ，两根的平方和为2s ，两根的立方和为3s ，试求321s ps qs ++的值．【解析】 设方程的两根为1x 、2x ，则12x x p +=-，12x x q =．∴1s p =-，()2222212121222s x x x x x x p q =+=+-=-．()()()233231212121233s x x x x x x x x p p q ⎡⎤=+=++-=--⎣⎦真题赏析33pq p =-．∴()()32321320s ps qs pq p p p q q p ++=-+-+-=．训练1. 关于x 的一元二次方程()()23x x m --=有两个实数根1x 、2x ，⑴ 求m 的取值范围;⑵若1x 、2x 满足等式121210x x x x --+=求m 的值. （崇文区初三期末）【解析】 由()()23x x m --=，整理，得 2560x x m -+-=．⑴ ∵方程有两个实数根，∴24b ac =-=Δ254(6)0m --≥．解之，得14m -≥ ．⑵ ∵方程2560x x m -+-=的两个实根是1x 、2x ，∴12121456m x x x x m -+==⎧⎪⎨⎪-⎪⎪⎩≥ ∵121210x x x x --+=∴114650m m --+=⎧-⎪⎨⎪⎩≥ ∴2m =.训练2. ⑴已知t 是实数，若a b ，是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则22(1)(1)a b --的最小值是____________.⑵如果a b ，是质数，且22130130a a m b b m -+=-+=，那么b aa b+的值为 （ ） A.12322 B. 12522或2 C. 12522 D. 12322或2 【解析】 ⑴3-.提示：依题意有()224410210210210t a a t b b t a b ab t =--⎧⎪-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪+=⎪=-⎪⎩Δ≥≥，化简得22121212t a a t b b t ⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩≤≤ ∴()()222(1)(1)224a b a t b t t --=--=-，∴22(1)(1)a b --的最小值为3-．⑵B ．提示：方法一：有两种情况：① 若a b =，则2b aa b+=；②若a b ≠，根据题意，a 、b 是方程2130x x m -+=的根，则13a b +=，因为a b ，是质数且和为奇数，所以两数分别为2和11．此时21112511222b a a b +=+=． 思维拓展训练(选讲)方法二：两式相减，消m ，2213130a b a b --+=，()()130a b a b -+-=，所以有a b =或13.a b +=训练3. 为了鼓励居民节约用电，某地区规定：如果每户居民一个月的用电量不超过a 度时，每度电按0.40元交费；如果每户居民一个月的用电量超出a 度时，则该户居民的电费将使用二级电费计费方式，即其中有a 度仍按每度电0.40元交费，超出a 度部分则按每度电150a元交费．下表是该地区一户居民10月份、11月份的用电情况．根据表中的数据，求在该地区规定的电费计费方式中，a 月份 用电量 所交电费总数（元）10月 80 32 11月10042【解析】 因为800.432⨯=，1000.44042⨯=<，所以 80100a <≤.由题意得 0.4(100)42150aa a +-=.去分母，得 60(100)42150a a a +-=⨯.整理，得 216063000a a -+=. 解得 190a =，270a =. 因为 80a ≥，所以 270a =不合题意，舍去. 所以 90a =．答：在该地区规定的电费计费方式中，a 度用电量为90度.训练4. ⑴两个相邻的自然数的平方和比这两个数中较小的数的2倍大51，试求这两个自然数．⑵某两位数的十位数字与个位数字之和为5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数．【解析】 ⑴设这两个自然数分别为1n n +，．根据题意得()221251n n n ++=+解得：1255n n ==-，（舍）所以这两个自然数为5和6⑵设这个数为()10595x x x +-=+，新的数为()105509x x x -+=- 根据题意得：()()95509736x x +-= 解得1223x x ==，所以这个两位数为23或32知识模块一 根与系数的关系 巩固练习【练习1】 ⑴方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-⋅的值为（ ）A ．7-B ．3-C ．7D ．3⑵设1x ，2x 是一元二次方程2320x x --=的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为__________________．【解析】 ⑴D ；⑵7．【练习2】 已知α，β是一元二次方程210x x +-=的两个根，求5325αβ+的值．【解析】 因为α是方程210x x +-=的根，所以210αα+-=，即21αα=-．()24211223ααααα=-=-+=-，()542232353αααααααα=⋅=-=-=-．同理()322121ββββββββ=⋅=-=-=-．所以()()()5325253521101121αβαβαβ+=-+-=+-=-．【练习3】 已知关于x 的方程()2120x k x k -+++=的两个实数根的平方和等于6，求k 的值．【解析】 设方程的两个根为1x ，2x ，则121x x k +=+，122x x k =+．∵22126x x +=，∴()2121226x x x x +-=．∴()()21226k k +-+=．解得13k =，23k =-．又()()2142k k ∆=+-+．当3k =时，0∆<，所以，3k =不符合题意．舍去．当3k =-时，0∆>，所以，3k =-即为所求．题型二 一元二次方程的应用问题 巩固练习 复习巩固【练习4】 某市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少．【解析】 设平均每次降价的百分率为x ，则2200(1)128x -=，即10.8x -=±，解得1 1.8x =（舍去），20.220%x ==答：这种药品平均每次降价20%．【练习5】 一条长64m 的铁丝被剪成两段，每段均折成一个正方形，若两个正方形的面积和等于2160cm ，求这两个正方形的边长，【解析】 设一个正方形的边长为x cm ，则另一个正方形的边长是644(16)cm 4x x -=-． ∴22(16)160x x +-=，整理，得216480x x -+=，解得12412x x ==，，则1612x -=或164x -=．答：这两个正方形的边长分别为4cm ，12cm ．第十六种品格：诚信感恩对手读完《感恩对手》这本书后，它让我明白了对手的存在是一种必然。

一元二次方程根与系数的关系【要点回顾】1．一元二次方程的根的判断式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为： ．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac ∆=-对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有[1]当Δ 0时，方程有两个不相等的实数根： ；[2]当Δ 0时，方程有两个相等的实数根： ；[3]当Δ 0时，方程没有实数根．2．一元二次方程的根与系数的关系定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么： 1212,x x x x +==说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是0∆≥．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．【例题选讲】例1 已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：（1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根（3）方程有实数根； （4）方程无实数根．例2 已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．例3 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．例4 已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．例5 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．（1）求| x 1－x 2|的值；（2）求221211x x +的值； （3）x 13＋x 23．例6 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．练 习1．选择题：（1）方程2230x k -+=的根的情况是 （ ）（A ）有一个实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根 （D ）没有实数根（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ）（A ）m ＜14 （B ）m ＞－14（C ）m ＜14，且m ≠0 （D ）m ＞－14，且m ≠0 2．填空:（1）若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则1211x x +＝ ． （2）方程mx 2＋x －2m ＝0（m ≠0）的根的情况是 ．（3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．3|1|0b -=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？4．已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x 2－3)的值．5．选择题:若关于x 的方程x 2＋(k 2－1) x ＋k ＋1＝0的两根互为相反数，则k 的值为（ ）（A ）1，或－1 （B ）1 （C ）－1 （D ）06．填空:（1）若m ，n 是方程x 2＋2005x －1＝0的两个实数根，则m 2n ＋mn 2－mn 的值等于 ．（2）如果a ，b 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，那么代数式a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3的值是 ．7．已知关于x 的方程x 2－kx －2＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x 1和x 2，如果2(x 1＋x 2)＞x 1x 2，求实数k 的取值范围．8．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根为x 1和x 2．求：（1）| x 1－x 2|和122x x ； （2）x 13＋x 23．9．关于x 的方程x 2＋4x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．【巩固练习】1．若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( ) A ．2 B ．2- C ．12 D ．922．若t 是一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根，则判别式24b ac ∆=-和完全平方式2(2)M at b =+的关系是( )A ．M ∆=B ．M ∆>C ．M ∆<D ．大小关系不能确定 3．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = ___ __ ，q = _ ____ ．4．已知实数,,a b c 满足26,9a b c ab =-=-，则a = ___ __ ，b = _____ ，c = _____ ．5．已知关于x 的方程230x x m +-=的两个实数根的平方和等于11，求证：关于x 的方程22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根．6．若12,x x 是关于x 的方程22(21)10x k x k -+++=的两个实数根，且12,x x 都大于1．(1) 求实数k 的取值范围；(2) 若1212x x =，求k 的值．。

第十四讲一元二次方程—根的判别式与根系关系（1）【新知讲解】1、一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2 +bx+c=0 (a ≠0）是否有实根，完全取决于b 2 - 4ac的值的符号，我们就把 b 2 - 4ac 叫做一元二次方程ax 2 +bx+c=0的根的判别式，通常用“△”来表示，即：△= b 2 - 4ac注意：（1）根的判别式是指△=b 2 - 4ac，而不是△（2）使用判别式之前一定要先把方程变为一元二次方程的一般形式.2、一元二次方程的根的情况与判别式“△”的关系。

（1）判别式定理：△>0方程有两个不相等的实数根；△=0方程有两个相等的实数根；△<0方程没有实数根；△≥0方程有两个实数根。

（2）判别式定理的逆定理：方程有两个不相等的实数根△ > 0；方程有两个相等的实数根△ = 0；方程没有实数根△ < 0；方程有两个实数根△≥ 0；【例题解析】一、不解方程，判断方程根的情况。

例1：不解方程判断下列一元二次方程根的情况：（1）3x 2 -3x+1=0 (2) 2x 2 +1=(3) ax 2 +bx=0(a≠0) (4) (x-1) 2 -7x=0思路点拨：按照“一求二判”的思路来完成。

“一求”是指第一步求方程中“△”的值，“二判”是指第二步判断△的符号从而确定方程根的情况。

变式议练：1、下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A. 3x 2 -2x-2=0B. 3y 2 -222、已知方程mx 2 - mx+2=0有两个不相等的实数根，则m的取值是________。

3已知方程（5+11m)x2+(2-11m)x+3(m-1)=0有两个相等的实数根，则m=______。

4、已知方程2a(1-x)=b(1-x 2 )有两个相等的实数根, 则a与b的关系是_____。

5、关于x的一元二次方程（x-a)(x-b-a)=1（a、b均为实数）（）A. 无实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 有两个相等或不相等的实数根6、方程（2a-1)x 2 -8x+6=0没有实数根，则a的最小整数值是______。

一元二次方程的根系关系
嘿，朋友们！今天咱来聊聊一元二次方程的根系关系，这可有意思啦！
咱就说一元二次方程，它就像个神秘的小盒子，里面藏着好多秘密呢。

那根与系数的关系，不就像是盒子里的宝贝嘛！
你看啊，一元二次方程的根，就好像是一对好朋友。

它们有时候亲密无间，有时候又有点小脾气。

这两根之间的关系啊，可神奇了。

比如说，两根之和，就像是这两个好朋友手牵手的力量。

它们加在一起，能告诉我们好多信息呢。

难道不是很奇妙吗？两根之积呢，又像是它们之间的一种默契，一种特殊的联系。

咱可以想象一下，这两根就像是两个小伙伴在玩游戏。

它们的一举一动，都有着特定的规律。

我们只要掌握了这些规律，不就像掌握了游戏的窍门一样嘛！
而且啊，这根系关系在好多地方都能派上用场呢。

比如解决实际问题的时候，一下子就能找到关键所在。

这多厉害呀！
有时候我就在想，这数学里的东西咋就这么神奇呢。

就这么一个小小的一元二次方程的根系关系，都能让我们研究半天，还能发现那么多有趣的东西。

我们在学习的时候，可不能死记硬背呀，得去理解它，感受它的奇妙之处。

就像交朋友一样，要用心去体会。

当我们真正搞懂了这根系关系，那感觉就像是打开了一扇通往新世界的大门。

哇塞，里面的风景肯定美不胜收！
所以说呀，大家可别小瞧了这一元二次方程的根系关系，它可是有着大用处呢！我们要好好去探索，去发现它的魅力所在。

让我们一起在数学的海洋里畅游吧，去寻找更多的宝藏！。

韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b c x x x x a a+=-= 根系关系的三大用处（1）计算对称式的值例 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---= (2) 121212112220072007x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x -====说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．（2）构造新方程 理论：以两个数为根的一元二次方程是。

例 解方程组 x+y=5 xy=6解：显然，x ，y 是方程z 2-5z+6＝0 ① 的两根由方程①解得 z1=2,z2=3∴原方程组的解为 x1=2,y1=3x2=3,y2=2显然，此法比代入法要简单得多。

（3）定性判断字母系数的取值范围例一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k的取值范围。

解：设此三角形的三边长分别为a、b、c，且a、b为的两根，则c=2由题意知△＝k2-4×2×2≥0，k≥4或k≤-4∴为所求。