一元二次方程根的判别式及根系关系

一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用【主体知识归纳】1．一元二次方程的根的判别式：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式．通常用符号“Δ”来表示．2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．反过来也成立．3.如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，b那么x1+x2=-ac，x1x2=a4. 如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q【基础知识讲解】1．根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系22.根的判别式是指Δ＝b2－4ac，而不是指Δ＝．b4ac3．根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数的符号．4．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，不要丢掉等号．5. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：（1）二次项系数a≠0，即保证是一元二次方程；（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：b2－4ac≥06．判别式有以下应用：(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明．根与系数的关系有以下应用：(1)已知一根，求另一根及求知系数；(2)不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；(3)已知两数，求以这两数为跟的方程；已知两数的和与积，求这两个数(4)确定方程中字母系数的取值范围(5)确定根的符号。

【例题罗列】根的判别式类型1：不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）3x2－2x－1＝0；（2）y2＝2y－4；（3）（2k2＋1）x2－2kx＋1＝0；（4）9x2－（p＋7）x＋p－3＝0．（系数中有字母的情况）解：(1)∵Δ＝（－2）2－4×3×（－1）＝4＋12＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．(2)原方程就是y2－2y＋4＝0．∵Δ＝（－2）2－4×1×4＝4－16＜0，∴原方程无实数根．(3)∵2k2＋1≠0，∴原方程为一元二次方程．又∵Δ＝（－2k）2－4（2k2＋1）×1＝－4k2－4＜0，∴原方程无实数根．(4)Δ＝［－（p＋7）］2－4×9×（p－3）＝（p－11）2＋36，∵不论p取何实数，（p－11）2均为非负数，∴(p－11)2＋36＞0，即Δ＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．升级:如果关于x的方程x2＋2x＝m＋9没有实数根，试判断关于y的方程y2＋my－2m＋5＝0的根的情况．这是一类需要自己找出隐含条件的题解：∵x2＋2x－m－9＝0没有实数根，∴Δ1＝22－4(－m－9)＝4m＋40＜0，即m＜－10．又y 2＋my －2m ＋5＝0的判断式Δ2．Δ2＝m 2－4(－2m ＋5)＝m 2＋8m －20当m ＜－10时，m 2＋8m －20>0，即Δ2>0．∴方程y 2＋my －2m ＋5＝0有两个不相等的实数根．类型2：1.已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋2kx ＋k ＋3＝0．k 取什么值时，(1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程没有实数根?解：Δ＝(2k )2－4（k －1）（k ＋3）＝－8k ＋12．(1)当－8k ＋12＞0，且k －1≠0，即k ＜且k ≠1时，方程有两个不相等23的实数根；(2)当－8k ＋12＝0，且k －1≠0，即k ＝时，方程有两个相等的实数根；23(3)当－8k ＋12＜0，且k －1≠0，即k ＞时，方程没有实数根．23说明：当已知方程为一元二次方程时，要特别注意隐含的条件：二次项系数不等于零．2．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且方程a(1+x 2)+2bx-c(1-x 2)=0有两个相等的实数根，则此三角形为（ ）A 、等腰三角形 B 、等边三角形 C 、直角三角形 D 、斜三角形 看到有两个相同的实数根立即判断 应用根的判别式解：原方程可化为（a+c ）x 2＋2bx ＋a-c ＝0，Δ＝(2b)2－4（a +c ）（a -c ）＝0得到a 2=b 2+c 2，因此此三角形为直角三角形。

中考专题复习《一元二次方程根的判别式和根与系数的关系》【课标要求】1、根的判别式及应用(△=ac b 42-)：(1)判定一元二次方程根的情况。

(2)确定字母的值或取值范围。

2、根与系数的关系(韦达定理)的应用：韦达定理:如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两根为x 1、x 2，则x 1+x 2=—b a ，x 1·x 2=c a。

(1)已知一根求另一根及未知系数； (2)求与方程的根有关的代数式的值；(3)已知两根求作方程； (4)已知两数的和与积，求这两个数；(5)确定根的符号:( 1x 、2x 是方程两根)。

3、应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，一般把求作方程的二次项系数设为1，即以1x 、2x 为根的一元二次方程为0)(21212=++-x x x x x x ；求字母系数的值时，需使二次项系数a≠0，同时满足△≥0；求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和21x x +，•两根之积21x x 的代数式的形式，整体代入。

【知识要点】1. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 实数根.（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有 相等的实数根，即==21x x .（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根. 2． 一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x . 变形：=+2221x x ，=-21x x 。

2112x x x x +＝ 。

3．易错知识辨析：1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件. 2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：① 根的判别式042≥-ac b ；② 二次项系数0a ≠，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系. 一 、【典型示例】【例1】当k 为何值时，方程2610x x k -+-=，（1）两根相等；（2）有一根为0；（3）两根为倒数.【例2】已知关于x 的方程047)1(222=--+-+a a x a x ， （1）若方程有两个不相等的实数根，求a 的取值范围；（2）若方程的有两个实数根为1x 、2x ，且322221=+x x ，求a 的值。

专题9 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系一、考纲要求1.掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理，并会灵活运用它们解决问题.2.不解方程判断一元二次方程的根的情况（两不等实根、两相等实根、无实根）；3.由根的情况，确定方程系数中字母的取值范围或取值；4.不解方程，求与方程两根有关代数式的值；5.应用根与系数的关系求作一个一元二次方程；6.根的判别式和根与系数的关系与其它知识的综合运用.二、知识梳理1.一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为24b ac =-Δ.（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根，即 21,240)2x b ac a=-≥.（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有 两个 相等的实数根，即122b x x a==-. （3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 没有 实数根.2．一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a⋅=. 三、要点精析易错知识辨析：（1）判断一元二次方程有无实根，就是判断b 2-4a c 的值，是大于0，等于0，还是小于0，b 2-4a c 主要应用于不解方程判定根的情况或根据一元二次方程根的情况确定字母系数的取值范围．在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要考虑二次项系数不为零这个限制条件.（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：① 根的判别式042≥-ac b ；② 二次项系数0a ≠，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.（3）认真审题，注意“有实数根”“有两个实数根”“有两个相等的实数根”“有两个不等的实数根”“无实数根”的区别.四、中考真题和试题精粹1.（2015•广东）若关于x 的方程2904x x a +-+=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 A. B. C.2a ＞ D.2a ＜ 【答案】C 【解析】试题解析：Δ＝1－4（94a -+）＞0，即1＋4a －9＞0，所以，2a ＞2.（2015上海，第10题4分）如果关于x 的一元二次方程x 2＋4x －m ＝0没有实数根，那么m 的取值范围是________． 【答案】m ＜-4 【解析】试题解析：Δ=16+4m ＜0，∴m ＜-43.(2015•湖南株洲，第8题3分)有两个一元二次方程：M ：20ax bx c ++=N ：20cx bx a ++=，其中0a c +=，以下列四个结论中，错误的是 ( )A ．如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数根；B ．如果方程M 有两根符号相同，那么方程N 的两根符号也相同；C ．如果5是方程M 的一个根，那么15是方程N 的一个根； D ．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是1x = 【答案】D 【解析】试题分析:本题是关于一元二次方程的判别式，及根与系数的关系： A ．∵M 有两个不相等的实数根,∴Δ＞0,即240b ac ->而此时N 的判别式Δ＝240b ac ->，故它也有两个不相等的实数根；B ．M 的两根符号相同：即120c x x a ⋅=>，而N 的两根之积＝ac＞0也大于0，故N 的两个根也是同号的. C ．如果5是M 的一个根，则有：2550a b c ++=①，我们只需要考虑将15代入N 方程看是否成立， 代入，得110255c b a ++=②，比较①与②，可知②式是由①式两边同时除以25得到，故②式成立. D ．由两个一元二次方程：M ：20ax bx c ++=N ：20cx bx a ++=，可知0a ¹， 0c ¹，又0a c +=，则0a c -?比较方程M 与N 可得22()()1 1a c x a c x x -=-==± 故可知，它们如果有根相同的根，则可以是1或－1 答案为：D4.（2015•四川成都，第8题3分）关于x 的一元二次方程0122=-+x kx 有两个不相等实数根，则k 的取值范围是（ ）A.1->kB.1-≥kC.0≠kD.1->k 且0≠k 【答案】D 【解析】试题解析：由一元二次方程定义，得0k ≠，然后由两个不相等的实数根，则0∆>. 即 224(1)01k k ∆=-⨯->⇒>-，所以1k >-且0k ≠，因此选择D.5.（2015•四川眉山，第8题3分）下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（ ）【答案】B 【解析】试题分析：根据一元二次方程根的判别式，分别计算Δ的值，进行判断即可． 试题解析：A 、Δ=0，方程有两个相等的实数根；B 、Δ=4+76=80＞0，方程有两个不相等的实数根；C 、Δ=﹣16＜0，方程没有实数根；D 、Δ=1﹣4=﹣3＜0，方程没有实数根． 故选：B ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c=0（a ≠0）的根的判别式Δ=b 2﹣4a c ：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 考点：根的判别式．6.（2015•广东省，第8题，3分）若关于x 的方程2904x x a +-+=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A.2a ≥B.2a ≤C.2a ＞D.2a ＜ 【答案】C 【解析】试题分析：∵关于x 的方程2904x x a +-+=有两个不相等的实数根， ∴291404a ⎛⎫∆=-+> ⎪⎝⎭－，即1＋4a －9＞0，解得2a ＞.故选C.考点：一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式.7.（2015•浙江金华，第5题3分）一元二次方程2x 4x 30+-=的两根为1x ，2x ，则12x x ⋅的值是( ) A. 4 B. -4 C. 3 D. -3 【答案】D.【解析】试题分析：∵一元二次方程2x 4x 30+-=的两根为1x ，2x ，∴123x x 31-⋅==-. 故选D.考点：一元二次方程根与系数的关系.8.（2015•四川南充，第10题3分）关于x 的一元二次方程2x 2mx 2n 0++=有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程2y 2ny 2m 0++=同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②()()22112m n -+-≥；③1221m n -≤-≤．其中正确结论的个数是（ ）（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 【答案】D 【解析】试题分析：根据题意，两个方程都有两个整数根且乘积为正，则x 1x 2=2n ＞0, y 1y 2=2m ＞0，解得n ＞0,m ＞0 又一元二次方程2x 2mx 2n 0++=的两根之和为-2m ，一元二次方程2y 2ny 2m 0++=的两根之和为-2n ， 所以两个方程的根都为负数，故①正确；根据题意，Δ1=4m 2-8n ≥0，Δ2=4n 2-8m ≥0，可得m 2-2n ≥0，Δ2=n 2-2m ≥0所以，()()2222112121m n m m n n -+-=-++-+=22222m m n n -+-+≥2，故②正确；由根与系数关系得2m-2n=y 1y 2+y 1+y 2=(y 1+1)(y 2+1)-1，由y 1和y 2都是负整数，得(y 1+1)(y 2+1) ≥0 所以，(y 1+1)(y 2+1)-1≥-1，即2m-2n ≥-1，同理可得2n-2m=x 1x 2+x 1+x 2=(x 1+1)(x 2+1)-1≥-1,即2m-2n ≤-1，故③正确 故选D考点：一元二次方程根与系数的关系.9. 已知关于x 的一元二次方程x 2+x +m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是（ ）A ．－2B ．0C ．1D ．2 【答案】A 【解析】试题分析：设方程的另一个实数根为x ，则根据一元二次方程要挟与系数的关系，得x ＋1=－1，解得x =－2. 故选A.【考点】一元二次方程要挟与系数的关系.10. 如果关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．k ＜B ．k ＜且k≠0C ．﹣≤k＜D ．﹣≤k＜且k≠0【答案】D 【解析】试题分析：由题意，根据一元二次方程二次项系数不为0定义知： k≠0；根据二次根式被开方数非负数的条件得：2k+1≥0；根据方程有两个不相等的实数根，得Δ=2k+1﹣4k ＞0.三者联立，解得﹣≤k＜且k≠0. 故选D.考点：一元二次方程定义和根的判别式，二次根式有意义的条件.11.(2015•江苏南昌，第11题3分)已知一元二次方程2430x x --=的两根为m ，n ，则22m mn n -+= . 【答案】25 【解析】试题分析：由一元二次方程根与系数关系得m ＋n=4，mn=﹣3，又()m mn n m n mn 2223-+=+-∴原式=()243325-?=.12.(2015•江苏南京，第12题3分)已知方程2x mx 30++=的一个根是1，则它的另一个根是_____ ，m= _________． 【答案】3，﹣4．2kx 10+=1212121212121212【解析】试题分析：设方程的另一个解是a ，则1+a =﹣m ，1×a =3，解得：m=﹣4，a =3．故答案为：3，﹣4． 考点：1．根与系数的关系；2．一元二次方程的解．13.（2015•甘肃武威，第16题3分）关于x 的方程k x 2﹣4x ﹣=0有实数根，则k 的取值范围是 ． 【答案】k≥﹣6． 【解析】试题分析：由于k 的取值不确定，故应分k=0（此时方程化简为一元一次方程）和k≠0（此时方程为二元一次方程）两种情况进行解答．试题解析：当k=0时，﹣4x ﹣=0，解得x =﹣，当k≠0时，方程k x 2﹣4x ﹣=0是一元二次方程，根据题意，可得Δ=16﹣4k×（﹣）≥0，解得k≥﹣6，k≠0， 综上k≥﹣6， 故答案为k≥﹣6．点评：本题考查的是根的判别式，注意掌握一元二次方程ax 2+bx +c=0（a ≠0）的根与Δ=b 2﹣4a c 有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．同时解答此题时要注意分k=0和k≠0两种情况进行讨论． 考点：根的判别式；一元一次方程的解．14.（2015•绵阳第17题，3分）关于m nm 2﹣n 2m ﹣2=0的一个根为2，则n 2+n ﹣2= ． 【答案】26 【解析】试题分析：先根据一元二次方程的解的定义得到﹣2n 2﹣2=0，两边除以2n 得n+1n，再利用完全平方公式变形得到原式=（n+1n）2﹣2，然后利用整体代入的方法计算．试题解析：把m=2代入7nm 2﹣n 2m ﹣2=0得4n ﹣2n 2﹣2=0，所以n+1n所以原式=（n+1n）2﹣2 =（2﹣2=26．故答案为：26．点评：本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了代数式的变形能力． 考点：一元二次方程的解．15.（2015•四川省内江市，第15题，5分）已知关于x 的方程x 2﹣6x +k=0的两根分别是x 1，x 2，且满足11x +21x =3，则k 的值是 ． 【答案】2 【解析】试题分析：找出一元二次方程的系数a ，b 及c 的值，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后利用完全平方公式变形后，将求出的两根之和与两根之积代入，即可求出所求式子的值．试题解析：∵3x 2+2x ﹣11=0的两个解分别为x 1、x 2，∴x 1+x 2=6，x 1x 2=k ，11x +21x =1212x x x x +=6k=3， 解得：k=2，故答案为：2．点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系，对所求的代数式进行正确的变形是解决本题的关键． 考点：根与系数的关系．16.（2015•四川泸州，第15题3分）设1x 、2x 是一元二次方程2510x x --=的两实数根，则2212x x +的值为 . 【答案】27 【解析】试题分析：首先根据根与系数的关系求出x 1+x 2=5，x 1x 2=﹣1，然后把x 12+x 22转化为x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2，最后整体代值计算．试题解析：∵x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣5x ﹣1=0的两实数根，∴x 1+x 2=5，x 1x 2=﹣1，∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=25+2=27，故答案为27．点评：本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程两根之和与两根之积与系数的关系，此题难度不大． 考点：根与系数的关系．17.（2015•四川成都，第25题4分）如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是 .（写出所有正确说法的序号）①方程220x x --=是倍根方程；②若(2)()0x mx n -+=是倍根方程，则22450m mn n ++=；③若点()p q ，在反比例函数2y x=的图像上，则关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程； ④若方程20ax bx c ++=是倍根方程，且相异两点(1)M t s +，，N(4)t s -，都在抛物线2y ax bx c =++上，则方程20ax bx c ++=的一个根为54. 【答案】②③ 【解析】试题分析：研究一元二次方程20ax bx c ++=是倍根方程的一般性结论，设其中一根为t ，则另一个根为2t ，因此222()(2)32ax bx c a x t x t ax atx t a ++=--=-+，所以有2902b ac -=；我们记292K b ac =-，即0K =时，方程20ax bx c ++=为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：对于①， 29102K b ac =-=，因此本选项错误； 对于②，2(2)20mx n m x n +--=，而29K (2)(2)02n m m n =---=⇒22450m mn n ++=，因此本选项正确；对于③，显然2pq =，而29K 302pq =-=，因此本选项正确； 对于④，由(1)M t s +，，N(4)t s -，知1455222b t t b a a ++--==⇒=- ， 由倍根方程的结论知2902b ac -=，从而有509c a =，所以方程变为 22150105094550093ax ax a x x x -+=⇒-+=⇒=，253x =，因此本选项错误.综上可知，正确的选项有：②③.18.（2015•江苏徐州，第13题3分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣﹣k=0有两个相等的实数根，则k 值为 ． 【答案】-3 【解析】试题分析：因为方程有两个相等的实数根，则Δ=（﹣）2+4k=0，解关于k 的方程即可．试题解析：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣﹣k=0有两个相等的实数根，∴Δ=0，即（﹣2﹣4×（﹣k ）=12+4k=0， 解得k=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查了一元二次方程根的判别式，当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．考点：根的判别式．.19.（2015•山东日照，第15题3分）如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2015= ．考点：根与系数的关系．.【答案】2026【解析】试题分析：由于m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，可知m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n=2，mn=﹣3，又n2=n+3，利用它们可以化简2n2﹣mn+2m+2015=2（n+3）﹣mn+2m+2015=2n+6﹣mn+2m+2015=2（m+n）﹣mn+2021，然后就可以求出所求的代数式的值．试题解析：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，所以m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=﹣3，又n2=n+3，则2n2﹣mn+2m+2015=2（n+3）﹣mn+2m+2015=2n+6﹣mn+2m+2015=2（m+n）﹣mn+2021=2×1﹣（﹣3）+2021=2+3+2021=2026．故答案为：2026．点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值．20.（2015•北京市，第14题，3分）关于x的一元二次方程ax2+bx+14=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=______，b=______．【答案】11a b =⎧⎨=⎩（答案不唯一） 【解析】试题分析：满足b 2=a ，a ≠0即可.点评：本题考查一元二次方程的基本概念.考点：一元二次方程21.(2015·贵州六盘水，第13题4分)已知x 1＝3是关于x 的一元二次方程042=+-c x x 的一个根，则方程的另一个根x 2是 ．【答案】1【解析】试题分析：根据根与系数的关系，由两根之和可以求出方程的另一个根．试题解析：设方程的另一个根是x 2，则3+x 2=4，解得x =1，故另一个根是1．故答案为1．点评：本题考查的是一元二次方程的解，根据根与系数的关系，由两根之和可以求出方程的另一个根．考点：根与系数的关系．.22.(2015·黑龙江绥化，第15题 分)若关于x 的一元二次方程ax 2+2x －1=0无解 ，则a 的取值范围是____________．【答案】a ＜﹣1．【解析】试题分析：根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a ≠0且Δ=22﹣4×a ×（﹣1）＜0，然后求出a 的取值范围．试题解析：∵关于x 的一元二次方程ax 2+2x ﹣1=0无解，∴a≠0且Δ=22﹣4×a×（﹣1）＜0，解得a＜﹣1，∴a的取值范围是a＜﹣1．故答案为：a＜﹣1．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2﹣4a c：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．考点：根的判别式；一元二次方程的定义．23.（2015湖南岳阳第12题4分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则m= ．【答案】9 4【解析】试题分析：根据题意可得Δ=0，据此求解即可．试题解析：∵方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，∴Δ=9﹣4m=0，解得：m= 94．故答案为：94．点评：本题考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根．考点：根的判别式．24.（2015湖南邵阳第16题3分）关于x的方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m= ．【答案】-1【解析】试题分析：根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m的值即可．试题解析：∵关于x的方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，∴Δ=0，∴22﹣4×1×（﹣m ）=0，解得m=﹣1．故答案为；﹣1．点评：本题考查了一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．考点：根的判别式．25.（2015湖北荆州第14题3分）若m ，n 是方程x 2+x ﹣1=0的两个实数根，则m 2+2m+n 的值为 ．【答案】0【解析】试题分析：由题意m 为已知方程的解，把x =m 代入方程求出m 2+m 的值，利用根与系数的关系求出m+n 的值，原式变形后代入计算即可求出值．试题解析：∵m，n 是方程x 2+x ﹣1=0的两个实数根，∴m+n=﹣1，m 2+m=1，则原式=（m 2+m ）+（m+n ）=1﹣1=0，故答案为：0点评：此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．26.（2015年广东梅州9分）已知关于x 的方程.（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求的值及方程的另一根.【答案】（1）a ＜3；（2）-3.2220x x a ++-=a a【解析】试题分析：（1）由方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式大于0得到关于a 的不等级式，解之即可.（2）当该方程的一个根为1时，代入方程即可求得a 的值，从而得到方程，解之即得另一根.试题解析：（1）∵关于x 的方程有两个不相等的实数根，224(2)03a a ∴∆=-->∴<.（2）∵该方程的一个根为1，∴1+2+a -2=0，解得a =-1.∴原方程为x 2+2x -3=0，解得x 1=-1，x 2=-3∴a =-1，方程的另一根为-3.考点：一元二次方程的根和根的判别式；解一元二次方程和一元一次不等级式.27.（2015•江苏泰州，第18题8分）已知：关于x 的方程22210x mx m ++-=.（1）不解方程：判断方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m 的值.【答案】(1) 方程x 2+2m x +m 2－1=0有两个不相等的实数根；(2) m=－4或m=－2．【解析】试题分析：（1）找出方程a 、b 及c 的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断；（2）将x =3代入已知方程中，列出关于系数m 的新方程，通过解新方程即可求得m 的值.试题解析：（1）∵a =1，b =2m ，c=m 2－1，∵Δ=b 2－4a c=（2m ）2－4×1×（m2－1）=4＞0，∴方程x 2+2m x +m2－1=0有两个不相等的实数根；（2）∵x 2+2m x +m2－1=0有一个根是3，∴32+2m×3+m 2－1=0， 2220x x a ++-=解得:m=－4或m=－2．考点：1.根的判别式；2.一元二次方程的解.28.（2015·湖北省孝感市，第22题10分）已知关于x 的一元二次方程：0)3(2=---m x m x ．（1）试判断原方程根的情况；（4分）（2）若抛物线m x m x y ---=)3(2与x 轴交于)0 ()0 (21，，，x B x A 两点，则A ，B 两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由． （友情提示：21x x AB -=）（6分）【答案】（1）原方程有两个不等实数根；（2）存在最小值，是【解析】试题分析：（1）根据根的判别式，可得答案；（2）根据根与系数的关系，可得A 、B 间的距离，根据二次函数的性质，可得答案．试题解析：（1）Δ=[﹣（m ﹣3）]2﹣4（﹣m ）=m 2﹣2m+9=（m ﹣1）2+8，∵（m ﹣1）2≥0，∴Δ=（m ﹣1）2+8＞0，∴原方程有两个不等实数根；（2）存在，由题意知x 1，x 2是原方程的两根，∴x 1+x 2=m ﹣3，x 1•x 2=﹣m ．∵AB=|x 1﹣x 2，∴AB 2=（x 1﹣x 2）2=（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2=（m ﹣3）2﹣4（﹣m ）=（m ﹣1）2+8，∴当m=1时，AB 2有最小值8，∴AB 有最小值，即点评：本题考查了抛物线与x 轴的交点，利用了根的判别式，根据根与系数的关系，利用完全平方公式得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质．考点：抛物线与x 轴的交点；根的判别式．29.(2015山东青岛)关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求的取值范围【答案】m ＞－ 【解析】试题分析：根据一元二次方程根的判别式可得：当方程有两个不相等的实数根，则Δ=－4a c ＞0，从而得出m 的不等式，然后进行求解.试题解析：由题知，解得， 答：的取值范围是 考点：一元二次方程根的判别式. 30.（2015湖北荆州第24题12分）已知关于x 的方程k x 2+（2k+1）x +2=0．（1）求证：无论k 取任何实数时，方程总有实数根；（2）当抛物线y =k x 2+（2k+1）x +2图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为正整数时，若P （a ，y 1），Q （1，y 2）是此抛物线上的两点，且y 1＞y 2，请结合函数图象确定实数a 的取值范围；（3）已知抛物线y =k x 2+（2k+1）x +2恒过定点，求出定点坐标．【答案】（1）见解析；（2）实数a 的取值范围；（3）【解析】试题分析：（1）分类讨论：该方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况．当该方程为一元二次方程时，根的判别式Δ≥0，方程总有实数根；（2）通过解k x 2+（2k+1）x +2=0得到k=1，由此得到该抛物线解析式为y =x 2+3x +2，结合图象回答问题．（3）根据题意得到k x 2+（2k+1）x +2﹣y =0恒成立，由此列出关于x 、y 的方程组，通过解方程组求得该定点坐标． x 0322=-+m x x m 982b 9)(2432＞m -⨯⨯-=∆89-＞m m 89-＞m试题解析：（1）证明：①当k=0时，方程为x +2=0，所以x =﹣2，方程有实数根，②当k≠0时，∵Δ=（2k+1）2﹣4k×2=（2k ﹣1）2≥0，即Δ≥0，∴无论k 取任何实数时，方程总有实数根；（2）试题解析：令y =0，则k x 2+（2k+1）x +2=0， 解关于x 的一元二次方程，得x 1=﹣2，x 2=1k-， ∵二次函数的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为正整数，∴k=1．∴该抛物线解析式为y =x 2+3x +2，．由图象得到：当y 1＞y 2时，a ＞1或a ＜﹣3．（3）依题意得k x 2+（2k+1）x +2﹣y =0恒成立，即k （x 2+2x ）+x ﹣y +2=0恒成立，则，解得或．所以该抛物线恒过定点（0，2）、（﹣2，0）．点评：本题考查了抛物线与x 轴的交点与判别式的关系及二次函数图象上点的坐标特征，解答（1）题时要注意分类讨论．考点：抛物线与x 轴的交点；根的判别式；二次函数图象上点的坐标特征．31.（2015年江苏泰州8分）已知：关于的方程.x 01222=-++m mx x（1）不解方程：判断方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求的值.【答案】（1）方程有两个不相等的实数根.（2）-2或-4.【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程根的判别式的情况即可判断方程根的情况.（2）根据方程根的意义，将x =3代入关于x 的方程得到关于m 的一元二次方程，解之即可.试题解析：（1）∵Δ=(2m)2-4(m 2-1)=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根.（2）∵方程有一个根为3，∴9+6m+m 2-1=0，m 2+6m+8=0，即(m+2)(m+4)=0.解得m 1=-2，m 2=-4.考点：一元二次方程根的判别式；一元二次方程的根；解一元二次方程.32.（2015•四川南充，第20题8分）（8分）已知关于x 的一元二次方程()()214x x p --=，p 为实数． （1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）p 为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）【答案】（1）见解析；（2）p=0，2，－2.【解析】试题分析：（1）计算一元二次方程根的判别式，证明0D >即可证明方程有两个不相等的实数根.（2）根据方程有整数解得出p 的值.试题解析：（1）方程化简，得22540x x p -+-= ()()22544p D =---= 2940p +>∴方程有两个不相等的实数根． m（2）p的值为0,2，-2时，方程有整数解. 考点：一元二次方程根的判别式.。

一元二次方程的判别式与根系关系【知识精讲】1.一元二次方程的根的判别式（1）根的判别式：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 是否有实根，由符号确定，因此我们把 叫做一元二次方程的根的判别式，并用△表示，即（2）一元二次方程根的情况与判别式的关系：△>0⇔方程有 的实数根；△=0方程有 的实数根；△<0方程 实数根；△≥⇔方程 实数根.注：①使用前应先将方程化为一般形式；②使用此性质要保证方程为一元二次方程，即0≠a ；③性质顺用、逆用均可；④不解方程，可判断根的情况；⑤根据方程的情况，可确定方程中字母系数的值或取值范围；⑥在函数图像的交点问题中可以判断交点的个数；2.根系关系（韦达定理）（1）对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根,,21x x 有ac x x a b x x =•=+2121,- （2）推论：如果方程02=++q px x 的两根是,,21x x 那么q x x x x =•=+2121,-p（3）常用变形：+=+2122122212-)(x x x x x x 21212214-)()-(x x x x x x += 注：①使用次性质要保证一元二次方程有两根，即0≠a 和△0≥；②不解方程，可计算代数式的值③根据两根之间的关系，可求方程中字母系数的值④与根的判别式一起使用，可确定根的符号问题【典型例题精讲】【例1】是否存在这样的非负数m ，使得关于x 的一元二次方程01-91-3(2-2=+m x m mx ）有两不相等的实数根，若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由。

【拓展练习】1.关于x 的方程01)2(2-)1-(22=++x m x m 有实根，求m 的取值范围。

2.求证不论m 取何值时，若关于x 的方程02)5(22=++++m x m x 恒有两个不相等的实根。

3.已知关于x 的方程042-)1(222=+++k kx x k ，求证：次方程没有实根。

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解（基础）【学习目标】1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】知识点一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆ （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程()002≠=++a c bx ax 中，（1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0；（2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0；（3）方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0.要点诠释：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ac b 42-≥0. 知识点二、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21.注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-；②12121211x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+；④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-；⑥12()()x k x k ++21212()x x k x x k =+++；⑦2212121212||()()4x x x x x x x x -=-=+-；⑧22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==； ⑨2212121212()()4x x x x x x x x -=±-=±+-； ⑩22212121212||||(||||)+2||x x x x x x x x +=+=+2121212()22||x x x x x x =+-+．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则 ①当△≥0且120x x >时，两根同号．当△≥0且120x x >，120x x +>时，两根同为正数；当△≥0且120x x >，120x x +<时，两根同为负数． ②当△＞0且120x x <时，两根异号．当△＞0且120x x <，120x x +>时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且120x x <，120x x +<时，两根异号且负根的绝对值较大．要点诠释：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根a b +，则必有一根a b -（a ，b 为有理数）．【典型例题】类型一、一元二次方程根的判别式的应用1．（2016•丽水）下列一元二次方程没有实数根的是（ ） A ．x 2+2x +1=0B ．x 2+x +2=0C ．x 2﹣1=0D ．x 2﹣2x ﹣1=0【思路点拨】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断． 【答案】B ． 【解析】解：A 、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误； B 、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；C 、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；D 、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误； 故选：B ．【总结升华】本题主要考查一元二次方程根的情况，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 举一反三：【高清ID 号：388522 关联的位置名称（播放点名称）：判别含字母系数的方程根的情况---例2（1）】 【变式】不解方程，判别方程根的情况：2210x ax a -++= .【答案】无实根.2．（2015•本溪）关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．【思路点拨】此题要考虑两方面：判别式要大于0，二次项系数不等于0. 【答案】k ＜2且k≠1；【解析】解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根， ∴k ﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k ﹣1）＞0，解得：k ＜2且k ≠1．故答案为：k ＜2且k≠1．【总结升华】不能忽略二次项系数不为0这一条件. 举一反三：【高清ID 号：388522 关联的位置名称（播放点名称）：证明根的情况---例3】【变式】m 为任意实数，试说明关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.【答案】∵Δ=[-(m-1)]2-4×[-3(m+3）]=m 2+10m+37=(m+5)2+12＞0，∴关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用3．已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求另一个根及k 的值． 【思路点拨】根据方程解的意义，将x ＝2代入原方程，可求k 的值，再由根与系数的关系求出方程的另外一个根． 【答案与解析】方法一：设方程另外一个根为x 1，则由一元二次方程根与系数的关系，得125k x +=-，1625x =-，从而解得：135x =-，k ＝-7． 方法二：将x ＝2代入方程，得5×22+2k -6＝0，从而k ＝-7．设另外一根为x 1，则由一元二次方程根与系数的关系，得1725x +=，从而135x =-， 故方程的另一根为35-，k 的值为-7．【总结升华】根据一元二次方程根与系数的关系12bx x a+=-，12cx x a=易得另一根及k 的值． 举一反三：【高清课堂：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系（二）---例2】 【变式】已知方程220x x c -+=的一个根是3，求它的另一根及c 的值． 【答案】另一根为-1；c 的值为-3．4．（2015•咸宁）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0． （1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根； （2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．【答案与解析】 解：（1）△=（m+2）2﹣8m =m 2﹣4m+4 =（m ﹣2）2，∵不论m 为何值时，（m ﹣2）2≥0， ∴△≥0，∴方程总有实数根；（2）解方程得，x=，x1=2m，x2=1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m=1或2，m=2不合题意，∴m=1．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，此外要掌握整数根的意义及正确求解适合条件的整数根．附录资料：弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解（基础）【学习目标】1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题；2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；3. 能准确计算组合图形的面积.【要点梳理】要点一、弧长公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)要点诠释：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.要点二、扇形面积公式1.扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.2.扇形面积公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：n°的圆心角所对的扇形面积公式：要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.要点三、圆锥的侧面积和全面积连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的母线长为，底面半径为r ，侧面展开图中的扇形圆心角为n °，则圆锥的侧面积2360l S rl ππ=扇n =， 圆锥的全面积.要点诠释：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.【典型例题】类型一、弧长和扇形的有关计算1．如图（1），AB 切⊙O 于点B ，OA=23，AB=3，弦B C∥OA，则劣弧BC 的弧长为（ ）． A ．33π B ．32πC ．πD ．32π图（1） 【答案】A.【解析】连结OB 、OC ，如图（2）则0OBA ∠︒＝9，OB=3，0A ∠︒＝3，0AOB ∠︒＝6， 由弦BC ∥OA 得60OBC AOB ∠∠=︒＝， 所以△OBC 为等边三角形，0BOC ∠︒＝6. 则劣弧BC 的弧长为6033=1803ππ，故选A. 图（2） 【总结升华】主要考查弧长公式：.举一反三：【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)CBAO【答案】R=40mm，n=110∴的长==≈76.8(mm)因此，管道的展直长度约为76.8mm．【高清ID号：359387 高清课程名称：弧长扇形圆柱圆锥关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】2．如图，⊙O的半径等于1，弦AB和半径OC互相平分于点M.求扇形OACB 的面积（结果保留π）【答案与解析】∵弦AB和半径OC互相平分，∴OC⊥AB，OM=MC=OC=OA．∴∠B=∠A=30°，∴∠AOB=120°∴S扇形=．【总结升华】运用了垂径定理的推论，考查扇形面积计算公式.举一反三：【高清ID号：359387 高清课程名称：弧长扇形圆柱圆锥关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】【变式】如图（1），在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（）．A．449-π B．849-π C．489-π D．889-π图（1）AEB F P【答案】连结AD，则AD⊥BC，△ABC的面积是：BC•AD=×4×2=4，∠A=2∠EPF=80°．则扇形EAF的面积是：2 8028=. 3609ππ⨯故阴影部分的面积=△ABC的面积-扇形EAF的面积=84-9π．图（2）故选B．类型二、圆锥面积的计算3．（2014秋•广东期末）如图，一个圆锥的高为cm，侧面展开图是半圆，求：（1）圆锥的底面半径r与母线R之比；（2）圆锥的全面积．【思路点拨】（1）设出圆锥的底面半径及圆锥的母线长，利用底面周长等于圆锥的弧长得到圆锥的母线与底面的半径之比即可；（2）首先求得圆锥的底面半径和圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面积的计算方法求得其侧面积即可．【答案与解析】解：（1）由题意可知∴，R=2r（3分）r：R=r：2r=1：2；（2）在Rt△AOC中，∵R2=r2+h2∴，4r2=r2+27r2=9，r=±3∵r＞0∴r=3，R=6.∴S侧=πRr=18π（cm2）（cm2）∴S全=S侧+S底=18π+9π=27π（cm2）．【总结升华】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记有关的公式．类型三、组合图形面积的计算4．（2015•槐荫区三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠CDB=30°，CD=2，求图中阴影部分的面积．【答案与解析】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=．∵∠CDB=30°，∴∠COE=60°，在Rt△OEC中，OC==2，∵CE=DE，∠COE=∠DBE=60°∴Rt△COE≌Rt△DBE，∴S阴影=S扇形OBC=π×OC2=π×4=π．【总结升华】本题考查了垂径定理，扇形的面积等，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积．。

一元二次方程的判别式与根系关系模块一 一元二次方程的判别式1．定义：在一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0中，只有当系数a 、b 、c 满足条件△≥b ac 2=-40时才有实数根．这里b ac 2-4叫做一元二次方程根的判别式，记作△．2．判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0的根的情况由△b ac 2=-4确定．设一元二次方程为()ax bx c a 2++=0≠0，其根的判别式为：△b ac 2=-4，则①△>0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个不相等的实数根,x 12．②△=0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个相等的实数根bx x a12==-2．③△<0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0没有实数根．特殊的：（1）若a ，b ，c 为有理数，且△为完全平方式，则方程的解为有理根；（2）若△为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根． 模块二 一元二次方程的根与系数关系 1．韦达定理：如果()ax bx c a 2++=0≠0的两根是x 1，x 2，则b x x a 12+=-，cx x a12=．（使用前提：△≥0）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设x 1，x 2是方程x px q 2++=0的两个根，则x x p 12+=-，x x q 12=． 2．韦达定理的逆定理：如果有两个数x 1，x 2满足b x x a 12+=-，cx x a12=，那么x 1，x 2必定是()ax bx c a 2++=0≠0的两个根．特别地，以两个数x 1、x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是()x x x x x x 21212-++=0．3．韦达定理与根的符号关系：在△≥b ac 2=-40的条件下，我们有如下结论：（1）当ca <0时，方程的两根必一正一负．①若≥b a -0，则此方程的正根不小于负根的绝对值；②若ba -<0，则此方程的正根小于负根的绝对值．（2）当ca >0时，方程的两根同正或同负．①若b a ->0，则此方程的两根均为正根；②若ba -<0，则此方程的两根均为负根．注意：（1）若ac <0，则方程()ax bx c a 2++=0≠0必有实数根．（2）若ac >0，方程()ax bx c a 2++=0≠0不一定有实数根．模块一 一元二次方程的判别式例1、（1）不解方程，直接判断下列方程的解的情况：①x x 27--1=0 ②()x x 29=43-1③x x 2+7+15=0 ④()mx m x 2-+1+=02（m 为常数）（2）已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程()()a b x cx a b 2++2++=0的根的情况是（ ） A ．没有实数根 B ．可能有且只有一个实数根 C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【解析】（1）①△>0，有两个不等实根；②△=0，有两个相等实根； ③△<0，无实根；④△m 2=+1>0，方程有两个不等实根．（2）由题()()()()△c a b a b c c a b 22=2-4+=4++--∵a b c ++>0，c a b --<0，故方程没有实根．选A ．【点评】这道题（1）主要考察判别式与根的关系，属于特别基础的题，锻炼孩子们的思维，（2）结合三角形三边关系来考察一元二次方程的判别式和根的个数的关系．例2、（1）若关于x 的一元二次方程()k x x 21-1+-=04有实根，则k 的取值范围为______．（2）关于x的一元二次方程()k x 21-2--1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围______． （3）当a 、b 为何值时，方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根？ 【解析】（1）≥k 0且≠k 1；（2）≤k -1<2且k 1≠2，由题意，得()()k k k k 4+1+41-2>0⎧⎪+1≥0⎨⎪1-2≠0⎩，解得≤k -1<2且k 1≠2；（3）要使关于x 的一元二次方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根，则必有△≥0，即()()≥a a ab b 22241+-43+4+4+20，得()()a b a 22+2+-1≤0．又因为()()a b a 22+2+-1≥0，所以()()a b a 22+2+-1=0，得a =1，b 1=-2．【点评】这道题（1）（2）主要是结合一元二次方程的定义和判别式与根的关系的考察，（3）把判别式和平方的非负性结合起来考查．例3、已知关于x 的一元二次方程()a x ax 213-1-+=04有两个相等的实数根，求代数式a a a 21-2+1+的值．【解析】由题，一元二次方程()a x ax 213-1-+=04有两个相等的实数根，所以a a 2-3+1=0．所以有a a a 2-2+1=，a a 2+1=3．代入a a a21-2+1+，得a a a a a a a a a 2211+13-2+1+=+===3．【点评】这道题主要是考察判别式与代数式的结合，难度不大．例4、在等腰△ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，已知a =3，b 和c 是关于x 的方程x mx m 21++2-=02的两个实数根，求△ABC 的周长．【解析】当b c =时，方程有两个相等的实数根，则=△m m 21⎛⎫-42-=0 ⎪2⎝⎭，∴m 1=-4，m 2=2．若m =-4，原方程化为x x 2-4+4=0， 则x x 12==2，即b c ==2，∴△ABC 的周长为2+2+3=7．若m =2，原方程化为x x 2+2+1=0， 则x x 12==-1，不合题意．当a b =或a c =时，x =3是方程的一个根，则m m 19+3+2-=02，则m 22=-5，原方程化为x x 22221-+=055，解得x 1=3，x 27=5，∴ABC △的周长为7373+3+=55．综上所述，ABC △的周长为7或375．【点评】这道题主要考察学生们的分类讨论能力，应对多种情况是要理清思路．模块二 一元二次方程的根与系数的关系 例5、（1）已知一元二次方程ax ax c 2+2+=0的一根x 1=2，则方程的另一根______x 2=．（2）已知x 1，x 2是方程x x 2-3+1=0的两个实数根，则：①x x 2212+；②()()x x 12-2⋅-2；③x x x x 221122+⋅+；④x x x x 2112+；⑤x x 12-；⑥x x 2212-；⑦x x 1211-． 【解析】（1）-4；（2）()x x x x x x 2222121212+=+-2⋅=3-2⨯1=7，()()()x x x x x x 121212-2⋅-2=⋅-2++4=1-2⨯3+4=-1，()x x x x x x x x 22211221212+⋅+=+-⋅=9-1=8，x x x x x x x x 2221211212+7+===7⋅1，()()x x x x x x 222121212-=+-4⋅=3-4⨯1=5，∴x x 12-=∴()()(x x x x x x 22121212-=+-=3⨯=x x x x x x 21121211--=== 【点评】第三小题，主要是考察韦达定理的灵活运用，包含了各种变形情况．例6、（1）已知关于x 的方程()x k x k 22+2-3+-3=0有两个实数根x 1，x 2，且x x x x 121211+=+，求k 值． （2）已知x 1，x 2是方程ax ax a 24-4++4=0的两实根，是否能适当选取a 的值，使得()()x x x x 1221-2-2的值等于54． 【解析】（1）∵方程()x k x k 22+2-3+-3=0有两个实数根x 1，x 2，∴()()△≥k k k 22=2-3-4-3=21-120得：≤k 74．由韦达定理得，()x x k x x k 12212+=-2-3⎧⎪⎨⋅=-3⎪⎩． ∵x x x x 121211+=+，∴x x x x x x 121212++=，x x 12+=0或x x 12=1，当x x 12+=0时，k 3-2=0，k 3=2，∵k 37=<24，所以k 3=2符合题意．当x x 12=1时，k 2-3=1，k =±2，∵k 7≤4，∴k =2舍去．∴k 的值为32或-2．（2）显然a ≠0由()△a a a 2=16-16+4≥0得a <0，由韦达定理知x x 12+=1，a x x a12+4=4，所以()()()()()a x x x x x x x x x x x x a 2221221121212129+4-2-2=5-2+=9-2+=-24a a+36=4 若有()(),x x x x 12215-2-2=4则a a +365=44，∴a =9，这与0a <矛盾，故不存在a ，使()()x x x x 12215-2⋅-2=4．【点评】这道题主要锻炼孩子们的过程，以及有两个实根，解出来别忘了限制条件，这种类型的题比较常见，一定不要忽视∆的限定条件以及用韦达定理可得到的限定条件．例6、（1）若m ，n 是方程x x 2+-1=0的两个实数根，则m m n 2+2+-1的值为________．（2）已知a ，b 是方程x x 2+2-5=0的两个实数根，则a ab a b 2-+3+的值为__________．（3）已知m 、n 是方程x x 2+2016+7=0的两个根，则()()m m n n 22+2015+6+2017+8= ________． 【解析】（1）∵m ，n 是方程x x 2+-1=0的两个实数根，∴m n +=-1，m m 2+-1=0，则原式()()m m m n 2=+-1++=-1=-1，（2）∵a 是方程x x 2+2-5=0的实数根，∴a a 2+2-5=0，∴a a 2=5-2，∴a ab a b a ab a b a b ab 2-+3+=5-2-+3+=+-+5， ∵a ，b 是方程x x 2+2-5=0的两个实数根，∴a b +=-2，ab =-5，∴a ab a b 2-+3+=-2+5+5=8． 故答案为8．（3）∵m 、n 是方程x x 2+2016+7=0的两个根，∴m n +=-2016，mn =7；∴m m 2+2016+7=0，n n 2+2016+7=0，()()()()m m n n m m m n n n 2222+2015+6+2017+8=+2016+7--1+2016+7++1 ()()()()m n mn m n =-+1+1=-+++1=-7-2016+1=2008故答案是：2008．【点评】这道题主要考查韦达定理根系关系的应用，进一步强化孩子对于韦达定理应用的理解．例7、（1）已知一元二次方程()ax a x a 2+3-2+-1=0的两根都是负数，则k 的取值范围是_________． （2）已知二次方程342x x k 2-+-=0的两根都是非负数，则k 的取值范围是__________．【解析】（1）此方程两实根为,x x 12，由已知得a x x x x 1212≠0⎧⎪∆0⎪⎨+<0⎪⎪>0⎩≥，∴()()a a a a a a a a2≠0⎧⎪3-24-10⎪⎪2-3⎨<0⎪⎪-1⎪>0⎩-≥,即a 91<8≤．（2）此方程两实根为,x x 12，由已知得≥x x x x 1212∆≥0⎧⎪+≥0⎨⎪0⎩，得：∴2()43()k k ⎧⎪-4-⨯-2≥0⎪4⎪>0⎨3⎪-2⎪≥0⎪3⎩即k 102≤≤3．【点评】这道题主要考查韦达定理和判别式结合不等式组的形式去判定根的具体情况，这类题是比较常见一类题，要将这种不等的思想传授给孩子． 课后作业 1．已知关于x 的一元二次方程()()k x k x 22-1+2+1+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为_____________．A ．k 1≥4B ．k 1>4且≠k 1 C ．k 1<4且≠k 1 D ．k 1≥4且≠k 1【解析】B ．2．已知关于x 的一元二次方程x m 2-=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围__________． 3．关于x 的方程()()m x m x 22-4+2+1+1=0有实根，则m 的取值范围__________．【解析】2．由题意可知，原方程的判别式(m m m 21∆=+4=1+3>0⇒>-3．又≥≤m m 1-0⇒1，故≤m 1-<13．3．题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分0m 2-4=和m 2-4≠0，两种情形讨论：当m 2-4=0即m =±2时，()m 2+1≠0，方程为一元一次方程，总有实根； 当m 2-4≠0即m ≠±2时，方程有根的条件是： [()]()≥m m m 22=2+1-4-4=8+20∆0，解得m 5≥-2．∴当m 5≥-2且m ≠±2时，方程有实根．综上所述：当m 5≥-2时，方程有实根．4．已知关于x 的方程()x k x k 2-+1+2-2=0． （1）求证：无论k 为何值，方程总有实根；（2）若等腰ABC △，底边a =3，另两边b 、c 恰好是此方程的两根，求ABC △的周长． 【解析】（1）()()()≥△k k k 22=+1-42-2=-30，∴无论k 为何值，方程总有实根．（2）当a =3为底，b ，c 为腰时，b c =，∴方程有两个相等的实根，∴∆=0，即()k 2-3=0，k =3，此时方程为x x 2-4+4=0，解x x 12==2，∴ABC △的周长为3+2+2=7，当a =3为腰，则方程有一根为3，将x =3代入方程，得k =4，方程为x x 2-5+6=0，解得x 1=2，x 2=3，∴ABC △的周长为2+3+3=8，综上所述，ABC △的周长为7或8．5．关于x 的方程x kx 22+=10的一个根是-2，则方程的另一根是_______；k =________．6．已知a ，b ，c 为正数，若二次方程ax bx c 2++=0有两个实数根，那么方程a x b x c 2222++=0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的正实数根 B ．有两个异号的实数根 C ．有两个不相等的负实数根 D ．不一定有实数根7．设α，β是一元二次方程x x 2+3-7=0的两个根，则ααβ2+4+=________．【解析】5．设另一根为x ，由根与系数的关系可建立关于x 和k 的方程组，解之即得．x 5=2，k =-1． 6．a x b x c 2222++=0的()()D b a c b ac b ac 42222=-4=+2-2， ∵二次方程ax bx c 2++=0有两个实数根， ∴≥b ac 2-40， ∴b ac 2-2>0，∴()()△b a c b ac b ac 42222=-4=+2-2>0∴方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正． 故有两个负根．故选C ．7．∵α，β是一元二次方程x x 2+3-7=0的两个根， ∴αβ+=-3，αα2+3-7=0，∴αα2+3=7，∴ααβαααβ22+4+=+3++=7-3=4，故答案为：4．8．已知关于x 的方程()x m x m 22+2+2+-5=0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值．【解析】有实数根，则∆≥0，且x x x x 221212+-=16，联立解得m 的值．依题意有：()2()3()()x x m x x m x x x x m m 12212121222+=-2+2⎧⎪=-5⎪⎨+-=16⎪⎪∆=4+2-4-5≥0⎩，解得：m =-1或m =-15且m 9≥-4， ∴ m =-1．。

一元二次方程的根的性质一元二次方程是数学中常见且重要的方程形式，其一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b和c为给定的实数，且a ≠ 0。

解一元二次方程的过程中，我们可以发现一些根的性质，对于解方程以及理解方程的含义有着重要的帮助。

本文将从根的判别式、根的个数以及根与系数的关系等几个方面来论述一元二次方程的根的性质。

一、根的判别式在解一元二次方程时，我们可以通过判别式Δ = b² - 4ac来判断方程的根的情况。

根据判别式的值，我们可以将根的情况分为三种：1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。

这意味着方程表示的曲线与x轴在两个不同的点处相交，且有两个实数解。

2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。

这意味着方程表示的曲线与x轴在同一个点相切，且有两个相等的实数解。

3. 当Δ < 0时，方程没有实数根，而是有两个共轭复数根。

这意味着方程表示的曲线与x轴没有交点，且方程没有实数解。

通过根的判别式，我们可以更好地理解一元二次方程的解的特点与性质，对解题有着重要的指导意义。

二、根的个数与系数的关系在一元二次方程中，根的个数与方程的系数之间存在着一定的关系。

根据这个关系，我们可以推导出一元二次方程根的性质。

1. 当a ≠ 0时，如果方程有两个不相等的实数根x₁和x₂，则有以下关系成立：- x₁ + x₂ = -b/a- x₁ * x₂ = c/a这意味着方程的根与系数之间具有一定的线性关系，可以通过根的和与积来确定方程的系数的值。

2. 当方程有两个相等的实数根x₁=x₂时，即Δ = 0时，有以下关系成立：- x₁ + x₂ = -b/a- x₁ * x₂ = c/a这说明方程的两个根相等，也可以通过根的和与积来确定方程的系数的值。

综上所述，一元二次方程的根的性质包括根的判别式、根的个数与系数的关系等。

通过了解这些性质，我们可以更好地理解并解决一元二次方程相关的问题。

一元二次方程根的判别式及根系关系一.根的判别式的应用【基本常识】若方程20(0)ax bx c a ++=≠,24b ac =-Δ（1）△＞0, （2）△=0 （3） △＜0,【典范应用】1.不解方程,断定方程根的情形例1,断定下列方程根的情形（1）2312x x += （2）220x mx m -+-=（m 为常数） 演习1.求证方程()222412x m x m m --=+必定有两个不相等的实根 例2.依据m 的取值,断定关于x 的方程()228180mx m x m +-+=的根的情形演习2.已知方程2680x x m +-+=没有实数根求证：方程()22210x m x m -+++=有两个不相等的实根2.已知方程根的情形,求方程式中待定系数的值（取值规模） 例3.若关于x 的方程()222110m x m x --+=有两个实数根 求知足前提的最大整数m 的值演习3.若关于x 的方程()()2212210m x m x -+++=有实根求m 的取值规模留意：应用△时,必须在0a ≠的前提下进行二.根与系数的关系的应用【基本常识】若方程20(0)ax bx c a ++=≠,当△≥0时,方程有两根：1x =2x = ,则12x x += ;12x x = ;若10x =,则 ;若12,x x 互为相反数,则 ;若12,x x 互为倒数,则 ;若11x =,则 ;若11x =-,则【典范应用】1.已知方程的一根,求另一根及待定系数的值例4.已知方程250x kx -+=有一个根是2,求另一根及k 的值演习 4.已知方程230x x m ++=的一个根是另一个根的2倍,求m 的值及两根2.不解方程,求关于根的代数式的值例5.已知,m n 是方程227x x +=的两根,求下列各式的值（1）22m n +, （2）m n - （3）22331m m n n ++++（4）2234m n n ++演习5.若实数,a b 知足2850a a -+=,2850b b -+=,且a b ≠,求1111b a a b --+--的值3.已知方程两根知足某种关系,肯定方程中待定系数的值例6.已知关于x 的方程()241210x k x k +++-=（1）求证：此方程必定有两个不等实根（2）若12,x x 是方程的两根且()()122223x x k --=-,求k 的值演习6.已知关于x 的方程230x x k +-=的两根为12,x x ,且()221212149x x x x +++= 求k 的值例7.已知关于x 的方程2230x mx m -+=的两根为12,x x ,且()21216x x -=,假如关于x 的另一个方程22690x mx m -+-= 的两根都在12,x x 之间,求m 的值演习7.已知关于x 的方程()2121402x k x k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭,若等腰△ABC的边a =4,另双方的长,b c 恰为这个方程的两根,求△ABC 的周长。