2.4一元二次方程根系关系的专题

根系关系及应用题题型一：根与系数关系一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）若21,x x 是关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根，则方程的两个根21,x x 和系数c b a ,,有如下关系：ac x x a b x x =⋅-=+2121,. 【例1】 不解方程，求下列方程两根的积与和．⑴25100x x --= ⑵22710x x ++= ⑶23125x x -=+ ⑷()137x x x -=+【例2】 已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．⑴求实数m 的取值范围；⑵当22120x x -=时，求m 的值．【例3】 已知一元二次方程2(1)230m x mx m +++-=有两个不相等的实数根，并且这两个根又不互为相反数. ⑴ 求m 的取值范围；⑵ 当m 在取值范围内取最小偶数时，方程的两根为12,x x ，求2123(14)x x -的值.【探究对象】根系关系的进一步应用 【探究方式】在做含参一元二次方程根系关系的问题时，先考虑二次项系数不为0→再判断∆→然后根据题意看是否有两根的特殊关系（如例3，已知中强调两根不互为相反数，则根据根系关系能够得出0m ≠）．在这里主要探讨一下根的正负性问题： 利用根与系数的关系，我们可以不直接求方程2++=0ax bx c 的根，而知其根的正、负性． 在2=40b ac ∆-≥的条件下，我们有如下结论：①当<0c a时，方程的两根必一正一负．若0ba -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若<0ba-，则此方程的正根小于负根的绝对值．①当>0c a时，方程的两根同正或同负．若>0b a -，则此方程的两根均为正根；若<0b a -，则此方程的两根均为负根．【探究1】已知关于x 的一元二次方程x 2－2ax +a 2－9=0 （1）a 为何值时，方程有两个正根？（2）a 为何值时，方程有一正根、一负根？【探究2】已知关于x 的一元二次方程（m +2）x 2+2mx +232m -=0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）若 362m <<，试判断方程两个实数根的符号，并证明你的结论．【探究3】已知方程22430x x k -+-=，k 为实数且k ≠0，证明：此方程有两个实数根，其中一根大于1，另一根小于1．题型二：一元二次方程的应用题列一元二次方程解应用题的时候，要注意检验得到的根是否符合题意．【引例】 ⑴某汽车销售公司2019年盈利1500万元， 2020年盈利2160万元，且从2019年到2020年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）．A ．()2150012160x += B ．2150015002160x x += C ．215002160x = D ．()()215001150012160x x +++=⑵某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为 ． （3）某厂一月份生产产品50台，计划二、三月份共生产产品120台，设 二、三月份平均每月增长率为x ，根据题意，可列出方程为（ ） A ．50（1+x ）2=60 B ．50（1+x ）2=120C ．50+50（1+x ）+50（1+x ）2=120D ．50（1+x ）+50（1+x ）2=120【例4】 某商品进价为40元的衬衫按50元售出时.每月能卖500件.这种衬衫每涨价1元，其销售量减少10件.如果商场计划每月赚8000元利润.售价应定为多少?练习1.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。

一元二次方程方程根与系数关系
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。

方程的根是使方程成立的x值。

在这篇文章中，我们将探讨一元二次方程的根与系数之间的关系。

首先，我们来看一元二次方程的根的求解公式，x = (-b ± √(b^2 4ac)) / (2a)。

这个公式告诉我们，方程的根取决于方程的系数a、b和c。

1. 系数a的影响：
当a>0时，抛物线开口向上，方程有两个实根或没有实根。

当a<0时，抛物线开口向下，方程有两个实根。

2. 系数b的影响：
系数b影响方程的根的位置，它决定了根的和与积的关系。

当b>0时，两个根的和为负值，两个根的积为正值。

当b<0时，两个根的和为正值，两个根的积为正值。

3. 系数c的影响：
系数c决定了方程的常数项，它影响方程的根的大小。

当c>0时，两个根都是负数。

当c<0时，两个根一个是正数，一个是负数。

通过分析上述关系，我们可以看出，方程的根与系数之间存在着一定的关联。

系数a决定了抛物线的开口方向，系数b决定了根的和与积的关系，系数c决定了根的大小。

因此，我们可以通过观察方程的系数来初步判断方程的根的性质。

总之，一元二次方程的根与系数之间存在着密切的关系，通过对系数的分析，我们可以初步了解方程根的性质。

这种关系不仅有助于我们更好地理解方程的性质，也为我们解决实际问题中的应用提供了一定的指导。

21.2 解一元二次方程第5课时教学内容21.2.4 一元二次方程根与系数的关系．教学目标1．了解一元二次方程根与系数的关系，能进行简单应用．2．掌握不解方程，应用根与系数关系解题的方法．3．了解根与系数系关系的推导过程，在元二次方程根与系数关系的探究过程中，感受由特殊到一般地认识事物的规律．教学重点应用根与系数关系解决问题．教学难点根系关系的推导过程．教学过程一、导入新课师：一元二次方程的一般形式是什么？生：方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．师：你知道它的求根公式吗？生：求根公式是x＝a acb b24 2-±-．过渡：方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式x＝a acb b24 2-±-，不仅表示可以由方程的系数a，b，c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系，那么一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？复习一元二次方程的一般形式及求根公式，使学生明确求根公式是方程的根与系数之间的一种关系，从而导入新课的教学．二、新课教学1．思考1．从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0（x1，x2为已知数）的两根为x1和x2，将方程化为x2＋p x＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？教师引导学生进行思考、讨论，明晰解题思路和过程．把方程(x－x1)(x－x2)＝0的左边展开，化成一般形式，得方程x2－(x1＋x2) x＋x1x2＝0．这个方程的二次项系数为1，一次项系数p＝－(x1＋x2)，常数项q＝x1x2．于是，上述方程的两个根的和、积与系数分别有如下关系：(x1＋x2)＝－p，x1x2＝q．2．思考2．一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系？根据求根公式可知，x1＝a acb b24 2-+-，x2＝a acb b24 2---．由此可得x 1＋x 2＝a ac b b 242-+-＋aac b b 242---＝a b 22-＝－a b ， x 1x 2＝a ac b b 242-+-·aac b b 242---＝2224)4()(a ac b b ---＝a c ． 因此，方程的两个根x 1，x 2和系数a 、b 、c 有如下关系：x 1＋x 2＝－a b ，x 1x 2＝ac ． 这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．三、巩固练习根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x 1，x 2的和与积：（1）x 2－6x －15＝0； （2）3x 2＋7x －9＝0；（3）5x －1＝4x 2．教师让学生独立计算．教师在学生计算时要让学生注意以下问题：一是可能会出现先求出一元二次方程的根，再求两根之和、两根之积的情况；二是要把方程化为一元二次方程的一般形式再求两根和与积．三是不要把两根之和与积的关系搞混．四、课堂小结今天你学习了什么，有什么收获？五、布置作业习题21.2 第7题．板书设计：21.2.4 一元二次方程根与系数的关系一般的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，二次项系数a 未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系？方程的两个根x 1，x 2和系数a 、b 、c 有如下关系：x 1＋x 2＝－a b ，x 1x 2＝ac ． 这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比教学反思：。

九年级（上）数学 第二章 《一元二次方程》根系关系第1课时 根的判别式与根系关系【知识要点】1. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式为△= .（1）b 2-4ac ＞0⇔一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有两个 实数根，即x 1,2= .（2）b 2-4ac=0⇔一元二次方程有 相等的实数根，即x 1=x 2= .（3）b 2-4ac ＜0⇔一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根. 2． 一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有两根分别为x 1，x 2那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= . 3．易错知识辨析：（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：① 根的判别式b 2-4ac ≥0；② 二次项系数a ≠0，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.【例题分析】例一.当k 为何值时，方程2610x x k -+-=，（1）两根相等；（2）有一根为0；（3）两根互为倒数.例二．若关于x 的一元二次方程x 2-2(2-k)x+k 2+12=0有实数根α、β． (1) 求实数k 的取值范围； (2)设t=kβα+，求t 的最小值．例三.关于x 的方程kx 2+(k+2)x+4k=0有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围。

(2)是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由【实践练习】1．已知α、β是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足111αβ+=-，则m 的值是（ ）Ａ．3或1- Ｂ．3 Ｃ．1 Ｄ．3-或12．若关于x 的一元二次方程02.2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m<l B ．m>－1 C ．m>l D ．m<－13.设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ）A ．2006B ．2007C ．2008D ．20094.设x 1、x 2是方程3x 2＋4x －5＝0的两根,则=+2111x x ，.x 12＋x 22＝ ，(x 1＋1)(x 2＋1)= ________，(x 1－x 2)2＝_______，221212x x x x += 。

21.2.4 一元二次方程根与系数的的关系的教学设计丰润区新军屯镇中学 杨晗知识与技能:掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。

过程与方法:经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。

情感态度与价值观:培养学生在数学中发现问题探究问题的能力教学重点:一元二次方程的根与系数的关系及运用。

教学难点:定理的发现及运用教学准备:课本,课时练教学过程一、创设情境,导入新课1.一元二次方程的一般形式是什么?()200ax bx c a ++=≠2.一元二次方程的求根公式是什么?)240x b ac =-≥ 3.一元二次方程的的解的情况怎样确定？2>0 4=0 <0b ac ∆⎧⎪∆=-∆⎨⎪∆⎩方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程无实数根二、合作学习，探求新知【问题】解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x 1+x 2，x 1·x 2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？【探究】一般地，对于关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 用求根公式求出它的两个根x 1、x 2 ，由一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式知x 1=a ac b b 242-+-，x 2=aac b b 242---， 能得出以下结果： x 1＋x 2=ab -，即：两根之和等于 x 1•x 2=a c ，即：两根之积等于 特殊的：若一元二次方程2x +px +q =0的两根为1x 、2x ，则：x 1＋x 2== -p x 1•x 2= q例1求下列方程的两根之和与两根之积.（1）2x -6x -15=0 （2）32x +7x -9=0（3）5x -1= 42x三、新知应用，巩固所学巩固训练1.下列方程两根的和与两根的积各是多少(不解方程）（1）x 2-3x+1=0 （2）3x 2-2x=2⒉已知方程()2210x m x m -++=的两根之和与两根之积相等，那么m 的值为（ ） A.1 B.-1C. 2D. -2 ⒊方程220x ax b -+=的两根和为4，积为 -3，则a= ，b= 。

一元二次方程的根与系数的关系知识点嘿，小伙伴们！今天咱来聊聊一元二次方程的根与系数的关系，这可有意思啦！
比如说方程$x^2 - 5x + 6 = 0$，它的两个根是$2$和$3$。

那根与系
数有啥关系呢？嘿嘿，它们之间的关系可神奇啦！
咱先来看，如果一个一元二次方程是$ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq
0$），那两根之和$x_1 + x_2$就等于$-\frac{b}{a}$呀！就像上面那个例子，$a=1$，$b=-5$，那两根之和$2+3$不就等于$-\frac{-5}{1}=5$嘛，神奇吧！比如再举个例子，方程$x^2 + 3x - 4 = 0$，根据这个关系，两根之和不就得$-3$嘛。

然后呢，两根之积$x_1 x_2$就等于$\frac{c}{a}$呀！还是上面那例子，$c=6$，$a=1$，那两根之积$2 \times 3$不就是$\frac{6}{1}=6$嘛！像方程$2x^2 - 5x - 3 = 0$，两根之积就应该是$-\frac{3}{2}$呀。

这关系多奇妙呀，就好像是方程里隐藏的小秘密！小伙伴们，你们说是不是很有趣呢？
我的观点结论就是：一元二次方程的根与系数的关系真的太神奇啦，能让我们更深入地理解方程，快好好去探索发现吧！。