根系关系及应用题

专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.已知关于x的方程mx2-2m-1x+m-2=0．1当m取何值时;方程有两个不相等的实数根；2若x1、x2为方程的两个不等实数根;且满足x12+x22-x1x2=2;求m的值．例2.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．1求证：此方程有两个不相等的实数根；2设此方程的两个根分别为x1;x2;其中x1＜x2．若2x1=x2+1;求m的值．例3．已知关于x的方程mx2+4-3mx+2m-8=0m＞0．1求证：方程有两个不相等的实数根；2设方程的两个根分别为x1、x2x1＜x2;若n=x2-x1-m;且点B m;n在x轴上;求m的值．.例4.已知关于x的一元二次方程：x2-2m+1x+m2+5=0有两个不相等的实数根．1求m的取值范围；2若原方程的两个实数根为x1、x2;且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2;求m的值．例5.已知关于x的方程x2-2k+1x+4k-=0．1求证：无论k取什么实数值;这个方程总有实数根；2能否找到一个实数k;使方程的两实数根互为相反数若能找到;求出k 的值；若不能;请说明理由．3当等腰三角形ABC的边长a=4;另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时;求△ABC的周长．训练1.已知关于x的方程mx2-m+2x+2=0m≠0．1求证：方程总有两个实数根；2已知方程有两个不相等的实数根α;β;满足+=1;求m的值．2.已知一元二次方程x2-2x+m=01若方程有两个实数根;求m的范围；2若方程的两个实数根为x1和x2;且x1+3x2=3;求m的值．3若方程的两个实数根为x1和x2;且x12-x22=0;求m的值．3.已知关于x的方程x2+m-3x-m2m-3=01证明：无论m为何值方程都有两个实数根；2是否存在正数m;使方程的两个实数根的平方和等于26 若存在;求出满足条件的正数m的值；若不存在;请说明理由．4.已知关于x的一元二次方程x2-6x-k2=0k为常数．1求证：方程有两个不相等的实数根；2设x1、x2为方程的两个实数根;且2x1+x2=14;试求出方程的两个实数根和k的值．5.已知关于x的方程x2-2k-3x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．1求k的取值范围；2若x1、x2满足|x1|+|x2|=2|x1x2|-3;求k的值．6.已知关于x的一元二次方程x2-m-2x+m-3=01求证：无论m取什么实数时;这个方程总有两个不相等的实数根；2如果方程的两个实数根为x1;x2;且2x1+x2=m+1;求m的值．7.已知关于x的一元二次方程a-1x2-5x+4a-2=0的一个根为x=3．1求a的值及方程的另一个根；2如果一个等腰三角形底和腰不相等的三边长都是这个方程的根;求这个三角形的周长．8.设x1;x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a-2=0的两实根;当a为何值时;x12+x22有最小值最小值是多少专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.解：1∵方程有两个不相等的实数根;例2.∴△=b2-4ac=-2m-12-4mm-2=4m+1＞0;例3.解得：m＞-;∵二次项系数≠0;∴m≠0;例4.∴当m＞-且m≠0时;方程有两个不相等的实数根；例5.2∵x1、x2为方程的两个不等实数根;例6.∴x1+x2=;x1x2=;例7.∴x12+x22-x1x2=x1+x22-3x1x2=2-=2;例8.解得：m1=+1;m2=-+1舍去；∴m=+1．例9.例10.解：1∵△=-4m2-44m2-9=36＞0;例11.∴此方程有两个不相等的实数根；例12.2∵x==2m±3;例13.∴x1=2m-3;x2=2m+3;例14.∵2x1=x2+1;∴22m-3=2m+3+1;例15.∴m=5．例16.例17.解：1∵△=4-3m2-4m2m-8;例18.=m2+8m+16=m+42例19.又∵m＞0∴m+42＞0即△＞0例20.∴方程有两个不相等的实数根；例21.2∵方程的两个根分别为x1、x2x1＜x2;例22.∴x1+x2=-;x1x2=;例23.n=x2-x1-m;且点B m;n在x轴上;例24.∴x2-x1-m=-m=-m=0; 例25.解得：m=-2;m=4;例26.∵m＞0;∴m=4．例27..解：1∵方程x2-2m+1x+m2+5=0有两个不相等的实数根;例28.∴△=-2m+12-4m2+5=8m-16＞0;解得：m＞2．例29.2∵原方程的两个实数根为x1、x2;例30.∴x1+x2=2m+1;x1x2=m2+5．例31.∵m＞2;例32.∴x1+x2=2m+1＞0;x1x2=m2+5＞0;例33.∴x1＞0、x2＞0．例34.∵x12+x22=-2x1x2=|x1|+|x2|+2x1x2;例35.∴4m+12-2m2+5=2m+1+2m2+5;即6m-18=0;例36.解得：m=3．例37.例38.证明：1∵△=2k+12-16k-=2k-32≥0;例39.∴方程总有实根；例40.解：2∵两实数根互为相反数;例41.∴x1+x2=2k+1=0;解得k=-0.5；例42.3①当b=c时;则△=0;例43.即2k-32=0;∴k=;例44.方程可化为x2-4x+4=0;∴x1=x2=2;而b=c=2;∴b+c=4=a不适合题意舍去；例45.②当b=a=4;则42-42k+1+4k-=0;例46.∴k=;例47.方程化为x2-6x+8=0;解得x1=4;x2=2;例48.∴c=2;C△ABC=10;例49.当c=a=4时;同理得b=2;∴C△ABC=10;例50.综上所述;△ABC的周长为10．例51.训练1.1证明：∵方程mx2-m+2x+2=0m≠0是一元二次方程;∴△=m+22-8m=m2+4m+4-8m=m2-4m+4=m-22≥0;∴方程总有两个实数根；2解：∵方程有两个不相等的实数根α;β;∴由根与系数的关系可得α+β=;αβ=;∵+=1;∴==1;解得m=0;∵m≠0;∴m无解．2.解：1∵方程x2-2x+m=0有两个实数根;∴△=-22-4m≥0;解得m≤1；2由两根关系可知;x1+x2=2;x1x2=m;解方程组;解得;∴m=x1x2=×=；3∵x12-x22=0;∴x1+x2x1-x2=0;∵x1+x2=2≠0;∴x1-x2=0;∴方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根;∴△=-22-4m=0;解得m=1．3.1证明：∵关于x的方程x2+m-3x-m2m-3=0的判别式△=m-32+4m2m-3=9m-12≥0;∴无论m为何值方程都有两个实数根；2解：设方程的两个实数根为x1、x2;则x1+x2=-m-3;x1×x2=-m2m-3;令x12+x22=26;得：x1+x22-2x1x2=m-32+2m2m-3=26;整理;得5m2-12m-17=0;解这个方程得;m=或m=-1;所以存在正数m=;使得方程的两个实数根的平方和等于26．4.1证明：在方程x2-6x-k2=0中;△=-62-4×1×-k2=4k2+36≥36;∴方程有两个不相等的实数根．2解：∵x1、x2为方程的两个实数根;∴x1+x2=6①;x1x2=-k2;∵2x1+x2=14②;联立①②成方程组;解之得：;∴x1x2=-k2=-16;∴k=±4．5.解：1∵原方程有两个不相等的实数根;∴△=-2k-32-4k2+1=4k2-12k+9-4k2-4=-12k+5＞0;解得：k＜；2∵k＜;∴x1+x2=2k-3＜0;又∵x1x2=k2+1＞0;∴x1＜0;x2＜0;∴|x1|+|x2|=-x1-x2=-x1+x2=-2k+3;∵|x1|+|x2|=2|x1x2|-3;∴-2k+3=2k2+2-3;即k2+k-2=0;∴k1=1;k2=-2;又∵k＜;∴k=-2．6.解：1∵△=m-22-4×m-3=m-32+3＞0;∴无论m取什么实数值;这个方程总有两个不相等的实数根；2解：x1+x2=m-2;2x1+x2=x1+x1+x2=m+1;∴x1=m+1+2-m=3;把x1代入方程有：9-3m-2+m-3=0解得m=．7.解：1将x=3代入方程中;得：9a-1-15+4a-2=0;解得：a=2;∴原方程为x2-5x+6=x-2x-3=0;解得：x1=2;x2=3．∴a的值为2;方程的另一个根为x=2．2结合1可知等腰三角形的腰可以为2或3;∴C=2+2+3=7或C=3+3+2=8．∴三角形的周长为8或7．8..解：∵△=2a2-4a2+4a-2≥0;∴又∵x1+x2=-2a;x1x2=a2+4a-2．∴x12+x22=x1+x22-2x1x2=2a-22-4．设y=2a-22-4;根据二次函数的性质．∵∴当时;x12+x22的值最小．此时;即最小值为．。

一元二次方程的根系关系一、 利用根系关系解决三角形问题 二、 韦达定理与直接应用三、 利用根系关系求代数式的值 四、 根的分布一、 利用根系关系解决三角形问题1.【易】已知a 、b 是方程2350x x -+=的两个正根，c 是方程29x =的正根，试判断以a 、b 、c 为边的三角形是否存在？并说明理由 【答案】不存在，理由：∵3a b c +==，与a b c +>矛盾2.【易】（眉山市2011年初中学业水平暨高中阶段教育学校招生考试）已知三角形的两边长是方2560x x -+=的两个根．则该三角形的周长L 的取值范围是（ ） A ．15L << B ．26L << C ．59L << D ．610L << 【答案】D3.【中】已知三角形的两边长分别是方程2320x x -+=的两根，第三边的长是方程22530x x -+=的根，求这个三角形的周长．【答案】924.【中】已知ABC ∆的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程22(23)320x k x k k -++++=的两个实数根，第三边BC 的长是5 ⑴k 为何值时，ABC △是以BC 为斜边的直角三角形； ⑵k 为何值时，ABC △是等腰三角形，并求ABC ∆的周长 【答案】⑴2k =⑵4k =时，周长为16；3k =时，周长为14二、 韦达定理与直接应用5. 【易】已知3x =-是关于x 的一元二次方程()21230k x kx -++=的一个根，则k 与另一根分别为（） A.2，1- B.1-，2 C.2-，1 D.1，2- 【答案】A6. 【易】已知方程()()23410x m x m ++++=的两根互为相反数，则m 的值是（）A.4B.4-C.1D.1- 【答案】B7. 【易】若方程20x x k ++=有两负根，则k 的取值范围是（）A.0k >B.0k <C.14k <D.104k <≤【答案】D8. 【易】若方程20x px q ++=的两根中，只有一个是0，那么（）A.0p q ==B.00p q ≠=，C.00p q =≠，D.不能确定 【答案】B9. 【易】方程22104p x px --+=的大根与小根之差等于（）A.1±B.221p -C.1【答案】C10.【易】1的一元二次方程是（） A.210x x ++= B.210x x +-= C.210x x -+= D.210x x --= 【答案】B11.【易】已知关于x 的一元二次方程220ax ax c ++=的一根12x =，则方程的另一根2_________x = 【答案】4-12.【易】（北大附中2010-2011学年度初二第二学期期末考试）已知方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-⋅的值为（ ） A ．7- B ．3- C ．7 D ．3 【答案】D13.【易】（上海中考）若1x ，2x 是一元二次方程2620x x --=的两个实数根，则12x x +的值是（ ） A ．6- B ．2- C ．6 D ．2 【答案】C14.【易】（2011年来宾市初中毕业升学统一考试试题）已知一元二次方程220x mx +-=的两个实数根分别是1x 、2x ，则12_________x x ⋅= 【答案】2-15.【易】（实验中学部2013月考）若3是关于方程250x x c -+=的一个根，则这个方程的另一个根是（ ） A ．2- B ．2 C ．5- D ．5 【答案】B16.【易】已知12,x x 为方程20x px q ++=的两根，且126x x +=，221220x x +=，求,p q 的值．【答案】6p =-，8q =．17.【易】已知关于x 的方程2130x x k -+=的两根α、β满足条件31αβ-=，求k 的值． 【解析】由一元二次方程根与系数的关系，得13αβ+=，与31αβ-=联列方程组，解得10α=，3β=．所以30k αβ==．【答案】3018.【易】设1x 、2x 是方程()222120x k x k -+++=的两个不同的实根，且()()12118x x ++=，则k 的值是___________．【解析】由根与系数的关系得()1221x x k +=+，2122x x k ⋅=+．且有()()224142840k k k ∆=+-+=->，即12k >． 所以()()12118x x ++=． 从而2230k k +-=， 解之得3k =-或1k =．又12k >，所以1k =． 【答案】1k =19. 【易】已知关于x 的方程22(23)30x k x k +-+-=有两个实数根1x ，2x ，且121211x x x x +=+，求k 值．【解析】∵方程22(23)30x k x k +-+-=有两个实数根1x ，2x ，∴2212212(23)4(3)21120(23)3k k k x x k x x k ⎧∆=---=-⎪+=--⎨⎪⋅=-⎩≥，由（1）得：74k ≤．∵121211x x x x +=+，∴121212x x x x x x ++=，120x x +=或121x x =当120x x +=时，320k -=，32k =，∵3724k =<，所以32k =符合题意．当121x x =时，231k -=，2k =±，∵74k ≤，∴2k =舍去．∴k 的值为32或2-．此题是已知方程两根满足的条件，求参数的取值．【答案】32或2-20. 【易】已知关于y 的方程220y ay a -+-=，分别写出下列情形中a 所满足的条件：⑴方程有两个正实数根；⑵方程两根异号．【解析】2(2)40a ∆=-+>，所以不论a 取何值，方程都有两个不等的实数根． ⑴由根与系数的关系可得020a a >⎧⎨->⎩，解得2a >；⑵两根异号积小于零，即20a -<，2a <．【答案】⑴2a >；⑵2a <21. 【易】已知关于x 的方程22290x mx m ++-=只有一个正根，求m 的取值范围．【解析】原方程可化为：2()9x m +=，解得13x m =--，23x m =-，显然12x x <， 根据题意可得：1200x x ⎧⎨>⎩≤，即3030m m --⎧⎨->⎩≤，解得33m -<≤．【答案】33m -<≤22. 【易】已知关于x 的方程22290x mx m ++-=至少有一个正根，求m 的取值范围．【解析】原方程可化为：2()9x m +=，解得13x m =--，23x m =-，显然12x x <，根据题意只需20x >，即30m -+>，即3m <．【答案】3m <23. 【易】已知关于x 的方程211300x x a -++=的两根都大于5，求a 的取值范围．【解析】设1x ，2x 是方程的两根，1212121212(5)(5)5()250301112141200x x x x x x x x a x x a --=-++>⎧⎪=+⎪⎨+=⎪⎪∆=--⎩≥，解得104a <≤． 【答案】104a <≤24. 【易】已知关于x 的方程24280x x m --+=的一个根大于1，另一个根小于1，求m的取值范围．【解析】设1x ，2x 是方程的两根，且11x >，21x <，即110x ->，210x -<，1212121212(1)(1)()10284164(28)0x x x x x x x x m x x m --=-++<⎧⎪=-+⎪⎨+=⎪⎪∆=+->⎩，解得52m >． 【答案】52m >25. 【易】关于x 的二次方程22(1)40(0)mx m x m ---=≠的两根一个比1大，另一个比1小，则m 的取值范围是______________．【解析】设方程有两个根为12,x x ，由韦达定理得12122(1)4,,m x x x x m m-+=⋅=- 又由已知，有121212(1)(1)0,()10x x x x x x --<-++<即故有2(1)410m m m ---+< ∴20mm+>，∴0m >或2m <- 【答案】0m >或2m <-26. 【易】实数k 为何值时，关于x 的一元二次方程2(23)(24)0x k x k --+-=．⑴有两个正根？⑵两根异号，且正根的绝对值较大？ ⑶一根大于3，一根小于3？【解析】[]2(23)(24)0(1)(24)0x k x k x x k --+-=⇒---=，故1x =或24x k =-⑴若两根均为正，则240k ->，故2k >；⑵若两根异号，且正根的绝对值较大，则0421k <-<，故322k <<； ⑶由13<可知，72432k k ->⇒>． 【答案】⑴2k >；⑵322k <<；⑶72k >27. 【易】已知二次方程2(23)100kx k x k +-+-=的两根都是负数，则k 的取值范围是____________．【解析】此方程丙实根为12,x x ，由已知得12120000k x x x x ≠⎧⎪∆⎪⎨+<⎪⎪>⎩≥ 即： 30(23)4(10)023100k k k k k k k k≠⎧⎪---⎪⎪-⎨-<⎪⎪->⎪⎩≥ 得：∴0928302010k k k k k k ≠⎧⎪⎪-⎪⎨⎪><⎪⎪<>⎩≥或或 即9028k -<≤或10k >．【答案】9028k -<≤或10k >28. 【易】关于x 的方程22410x kx +-=的一个根是2-，则方程的另一根是________；k =________．【答案】72，3-．29. 【易】已知关于x 的方程05)2(222=-+++m x m x 有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值。

专题一：一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++两根的三种特殊情况 1.一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++的两根是互为相反数： 设方程两根为21x x ，，则⇔⎪⎩⎪⎨⎧=⇒==+≥∆0b 0a b -x x 021方程）（0a 0c bx ax 2≠=++的两根是互为相反数 例1：已知关于x 的一元二次方程()()010m 2x 9-m x 3-m 22=+++有两根互为相反数，求m 及两根。

2.一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++的两根是互为倒数：设方程两根为21x x ，，则⇔⎪⎩⎪⎨⎧=⇒==≥∆c a 1a c x x 021方程）（0a 0c bx ax 2≠=++的两根是互为倒数 例2：已知关于x 的一元二次方程()02-m 3x 3m x m 22=+++有两根互为倒数，求m 的值。

3.一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++必有一根为0：设方程两根为21x x ，，则⇔⎪⎩⎪⎨⎧=⇒==≥∆0c 0a c x x 021方程）（0a 0c bx ax 2≠=++必有一根为0 例3：已知关于x 的一元二次方程()()04-k x 32k -x 2k 22=+++有一根为0，求k 的值及方程的根。

专题二：利用一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++根的关系求待定系数及两根 例1：已知一元二次方程两根之和是4，两根之积为1，求这两根。

例2：已知关于x 的一元二次方程()05-m x 2m 2x 22=+++有两个实数根，且两根平方和比两根积大16，求m 的值。

例3：已知关于x 的一元二次方程0m 53x x 22=++的两根都小于1，求m 的取值范围。

例4：已知以斜边长为13的直角三角形的两条直角边长分别是一元二次方程()()02m 3x 1-m -x 2=++的两根，求直角三角形两直角边长。

专题三：利用一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++根系关系判断根的符号 （1）两根同号⇔⎪⎩⎪⎨⎧⇒>⇒>≥∆同号与c a 0a c 0x x 021 （2）两根异号⇔⎪⎩⎪⎨⎧⇒<⇒<>∆异号与c a 0a c 0x x 021 例：k 为何值时，方程()03k kx 2x 1-k 2=+++有一正根，有一负根，求k 的取值范围。

一、基本知识原理设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x1 ，x2 ，则有根与系数的关系：x1 +x2 = -(b/a)；x1 x2 =c/a ；根与方程的关系：ax12+bx1+c=0 ，ax22+bx2+c=0 。

二、解题方法与策略对于中考数学中这种常见填空题型，出题方式一般是，条件中直接告诉方程有两个根，但通常不会告诉这两个根的具体值，就算你用求根公式可以解出根的具体值，看起来非常繁琐，也不利于求解。

所以，对于这种题目我们的解题方法与策略是：（1）运用根与系数的关系，先求出方程两个根的和与积；（2）对方程进行适当变形，使二次项转化为一次项或常数；或对所求代数表达式进行适当的变形，使其变为含有两根的和或积的形式；（3）代入两个根的和与积，或者代入根与方程的关系，进行计算，问题便迎刃而解。

三、例题详解例1、已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2020＝0的两个根，则a2+2b﹣3的值等于解：由题意可知：a2﹣2a＝2020，（对方程进行适当的变形，使高次项转化为一次项或常数）由根与系数的关系可知：a+b＝2，（根据方程求出两个根的和）∴原式＝a2﹣2a+2a+2b﹣3 （对所求代数表达式进行适当的变形，使表达式中含有两根之和的形式；）＝2020+2（a+b）﹣3＝2020+2×2﹣3＝2021例2、一个直角三角形的两条直角边的长度恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是.例4、已知关于x的方程x2-4x+k-1=0的两根之差等于6，那么k ．解：设方程的两根为a、b，∴a+b=4 , ab = k-1（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab = 42 -4(k-1)=36解得：k=-4例5、设m、n是一元二次方程x2-2018x+1=0的两个实数根，则代数式2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 的值为（）解：由已知得m+n = 2018 , mn=1（先求出方程两个根的和与积）m2+n2 =(m+n)2 -2mn = 20182 -2 （利用和与积化简高次项为常数）∴2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 （对所求代数表达式进行适当的变形）= 2017(m2+n2) + n2 -2018n-2017×20182= 2017( 20182 -2)-1-2017×20182= -4035。

根与系数关系专练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知α，β方程x 2+3x ﹣8＝0的两个实数根，则为x 1、x 2，则α2+β2的值为（ ） A ．﹣7 B ．25 C ．17 D ．1【答案】B 【分析】根据韦达定理可得α＋β＝-3，αβ＝-8，再根据完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：∵α，β方程x 2+3x ﹣8＝0的两个实数根， ∴α＋β＝-3，αβ＝-8，∴α2+β2=（α＋β）2-2αβ＝9+16=25， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根时，则x 1＋x 2＝−b a，x 1x 2＝c a ．2．一元二次方程240x kx +-=的一个根是1x =-，则另一个根是（ ） A ．4 B ．-1 C ．-3 D ．-2【答案】A 【分析】设方程的另一个根为m ，由根与系数的关系即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为m ， 则有m ×（-1）=-4， 解得：m =4． 故选：A ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，牢记两根之积等于ca是解题的关键．3．已知,m n 是方程2310x x +-=的两根，则24m m n ++的值为（ ）A ．2-B ．2C ．3-D ．4【答案】A 【分析】,m n 是方程2310x x +-=的两根,则有2310m m +-=，3m n +=-，将原式变形代入求解即可． 【详解】解：∵,m n 是方程2310x x +-=的两根 ∴2310m m +-=，3m n +=- ∴231m m +=∴22+4+=3=132m m n m m m n +++-=- 故选：A 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及方程解的定义，根据所对应的代数式进行适当的变形是解题关键．4．若x 1，x 2是一元二次方程x 2+x ﹣1＝0的两根，则x 12﹣2017x 1﹣2018x 2的值为（ ） A ．2020 B ．2019 C ．2018 D ．2017【答案】B 【分析】根据一元二次方程的解的定义可得21110x x +-=，根与系数的关系求得12x x +1=-，代入求解即可． 【详解】x1，x 2是一元二次方程x 2+x ﹣1＝0的两根，∴21110x x +-=，12x x +1=-，()()2111220181201812019x x x x ∴=+-+=-⨯-=原式．故选B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键． 5．已知实数a ，b 满足a ≠b ，且a 2－4a ＝b 2－4b ＝2，则a 2＋b 2的值为（ ） A ．16 B ．20 C ．25 D ．30【答案】B 【分析】根据题意可得则,a b 为2x 4x 2-=的两根，进而根据一元二次方程根与系数的关系以及完全平方公式的变形求值即可． 【详解】242a a -=，242b b -=，则,a b 为2x 4x 2-=的两根 2420x x --=， 4,2a b ab ∴+==-，()222216420a b a b ab ∴+=+-=+=，故选B 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，理解,a b 为2x 4x 2-=的两根是解题的关键．6．等腰三角形三边长分别为a 、b 、4，且a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x +k +2＝0的两根，则k 的值为（ ） A ．30 B ．34或30C ．36或30D ．34【答案】D 【分析】分三种情况讨论，①当a =4时，②当b =4时，③当a=b 时；结合一元二次方程根与系数的关系即可求解； 【详解】解：当4a =时，440448b -=<<+=时，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x k -++=的两根， 412b ∴+=， 8b ∴=不符合；当4b =时，440448a -=<<+=，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x k -++=的两根， 412a ∴+=，8a ∴=不符合；当a b =时，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x k -++=的两根， 1222a b ∴==， 6a b ∴==，236k ab ∴+==，34k ∴=； 故选D ． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合一元二次方程根与系数的关系和三角形三边关系进行解题是关键． 7．方程2x 2+（k +1）x －6=0的两根和是－2，则k 的值是（ ） A ．k =3 B ．k =－ 3 C ．k =0 D ．k =1【答案】A 【分析】设方程22(1)60x k x ++-=的两根分别为1x ，2x ，则由题意得12122k x x ++=-=-，解方程即可． 【详解】解：设方程22(1)60x k x ++-=的两根分别为1x ，2x ， ∵方程22(1)60x k x ++-=的两根之和是-2， ∴12122k x x ++=-=-， ∴3k =， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 8．点(),A a b 在反比例函数9y x=上的点图象上，且a ，b 是关于的一元二次方程260x x m -+=的两根，则点A 坐标是（ ）A ．（1，9）B ．92,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．（3，3）D ．（-3，-3）【答案】C 【分析】根据点(),A a b 在反比例函数9y x=上的点图象上，可得9ab = ，再利用一元二次方程根与系数的关系，可得ab m =，从而得到9m = ，然后解出方程，即可求解． 【详解】解：∵点(),A a b 在反比例函数9y x=上的点图象上， ∴9ab = ，∵a ，b 是关于的一元二次方程260x x m -+=的两根， ∴ab m =， ∴9m = ，∴方程260x x m -+=为2690x x -+=， 解得：123x x == ， 即3a b == ， ∴点A 坐标是()3,3 ． 故选：C 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．二、填空题9．设a ，b 是方程x 2＋x ﹣2021＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为____． 【答案】2020 【分析】由于a 2＋2a ＋b ＝（a 2＋a ）＋（a ＋b ），故根据方程的解的意义，求得（a 2＋a ）的值，由根与系数的关系得到（a ＋b ）的值，即可求解． 【详解】解：∵a ，b 是方程x 2＋x −2021＝0的两个实数根， ∴a 2＋a −2021＝0，即a 2＋a ＝2021，a ＋b ＝ba-＝−1，∴a 2＋2a ＋b ＝a 2＋a ＋a ＋b ＝2021−1＝2020， 故答案为：2020． 【点睛】本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形．10．若方程x 2﹣3x +1＝0的两根是x 1，x 2，则x 1（1+x 2）+x 2的值为___． 【答案】4 【分析】根据根与系数的关系可得出x 1+x 2＝3、x 1x 2＝1，将其代入x 1（1+x 2）+x 2＝（x 1+x 2）+x 1x 2中即可求出结论． 【详解】解：∵方程x 2﹣3x +1＝0的两根是x 1，x 2， ∴x 1+x 2＝3，x 1x 2＝1，∴x 1（1+x 2）+x 2＝x 1+x 1x 2+x 2＝（x 1+x 2）+x 1x 2＝3+1＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-b a、两根之积等于ca 是解题的关键．11．设a ，b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两个实数根，则（a +1）（b +1）的值为_______． 【答案】-2021 【分析】首先根据一元二次方程根与系数的关系得出1,2021a b ab +=-=-，然后整体代入求解即可． 【详解】∵a ，b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两个实数根， 1,2021a b ab ∴+=-=-，()()()()1112021112021a b ab a b ∴++=+++=-+-+=-，故答案为：-2021． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握一元二次方程根与系数的关系是关键．12．已知方程3x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别是x 1和x 2，则x 1+x 2﹣x 1x 2的值为_________． 【答案】23【分析】根据一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系可得x 1+x 2＝13，x 1x 2＝13-，再将它们代入x 1+x 2﹣x 1x 2，计算即可． 【详解】解：∵方程3x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别是x 1和x 2，∴x 1+x 2＝13，x 1x 2＝13-，∴x 1+x 2﹣x 1x 2＝13﹣1()3-＝23．故答案为：23．【点睛】本题考查了根与系数的关系：x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2＝﹣b a，x 1•x 2＝ca ．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．也考查了一元二次方程的解的定义．13．设x 1，x 2是方程2x 2+3x ﹣4＝0的两个实数根，则4x 12+4x 1﹣2x 2的值为 ______． 【答案】11 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到2x 12＝﹣3x 1+4，则4x 12+4x 1﹣2x 2化为﹣2（x 1+x 2）+8，再根据根与系数的关系得到x 1+x 2＝﹣32，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵x 1是方程2x 2+3x ﹣4＝0的根， ∴2x 12+3x 1﹣4＝0， ∴2x 12＝﹣3x 1+4，∴4x 12+4x 1﹣2x 2＝2（﹣3x 1+4）+4x 1﹣2x 2＝﹣2（x 1+x 2）+8， ∵x 1，x 2是方程2x 2+3x ﹣4＝0的两个实数根， ∴x 1+x 2＝﹣32，∴4x 12+4x 1﹣2x 2＝﹣2（x 1+x 2）+8＝﹣2×（﹣32）+8＝11．故答案为:11． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根，则12bx x a +=-，12c x x a=．14．设α、β是方程x 2+2x ﹣2021＝0的两根，则α2+3α+β的值为______． 【答案】2019 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到α2+2α-2021=0，则α2+2α=2021，于是α2+3α+β可化为2021+α+β，再利用根与系数的关系得到α+β=-2，然后利用整体代入的方法计算求解即可． 【详解】解：根据题意知，α2+2α﹣2021＝0，即α2+2α＝2021． 又∵α+β＝﹣2．所以α2+3α+β＝α2+2α+（α+β）＝2021﹣2＝2019． 故答案是：2019． 【点睛】此题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，1212,b cx x x x a a+=-=，也考查了一元二次方程的解．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解以及根与系数的关系．三、解答题15．已知关于x 的方程240x x m -+=的一个根为2+ （1）求m 的值及方程的另一个根； （2）设方程的两个根为1x ，2x ，求20212022121x xx +的值．【答案】（1）m =1，（2）4 【分析】（1）设方程的另一个根为a ，则由根与系数的关系得：a ，（a =m ，求出即可．（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到x 1+x 2=4，x 1•x 2=1，根据积的乘方把原式变形，代入计算即可． 【详解】解：（1）设方程的另一个根为a ，则由根与系数的关系得：a ，（a =m ，解得：a m =1，即m =1，方程的另一个根为 （2）x 1，x 2是方程x 2-4x +1=0的两个根， 则x 1+x 2=4，x 1•x 2=1，∴x 12021x 22022+x 1=（x 1x 2）2021x 2+x 1=x 2+x 1=4． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的应用，x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=ba -，x 1x 2=c a ，反过来也成立．16．已知关于x 的方程221(2)04x m x m --+=有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由．【答案】（1）m ＜1；（2）不存在；理由见解析． 【分析】（1）由题意根的判别式大于0即可求解；（2）根据互为相反数的两数和等于0得方程，求解并判断即可． 【详解】解：（1）∵关于x 的方程221(2)04x m x m --+=有两个不相等的实数根，∴Δ=（m -2）2-2144m ⨯ ＞0即：4-4m ＞0 m ＜1（2）由题意，x 1+x 2=()214m ---=4m -8， 若方程两实数根互为相反数，则4m -8=0， 解得，m =2， 因为m ＜1，所以m =2时，原方程没有实数根，所以不存在实数，使方程两实数根互为相反数． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系．（2）易错，只关注求m 的值而忽略m 的范围．17．定义：若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两个实数根为12,x x （12x x <），分别以12,x x 为横坐标和纵坐标得到点M （12,x x ），则称点M 为该一元二次方程的奇特点． （1）若方程为x 2=3x ，写出该一元二次方程的奇特点M 的坐标；（2）若关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +1）x +2m ＝0（m ＜0）的奇特点为M ，过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m 的值； （3）是否存在b ，c ，使得不论k （k ≠0）为何值，关于x 的一元二次方程x 2+bx +c ＝0的奇特点M 始终在直线y ＝3kx ﹣2（k ﹣2）上，若存在请算出b ，c 的值，若不存在请说明理由．【答案】（1）()0,3 ；（2）12m =- ；（3）存在，148,33b c ==【分析】（1）先解出一元二次方程，再根据奇特点M 的定义，即可求解；（2）先解出一元二次方程，再根据奇特点M 的定义，可得奇特点M 的坐标为()2,1m ，再由过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，可得到关于m 的方程，解出即可；（3）将直线解析式变形，可得直线过定点2,43⎛⎫⎪⎝⎭，从而得到一元二次方程x 2+bx +c ＝0的两个根为122,43x x == ，即可求解．【详解】解：（1）23x x = ，整理得： 230x x -=，即()30x x -=，解得：120,3x x == ， ∴奇特点M 的坐标为()0,3 ； （2）x 2﹣（2m +1）x +2m ＝0， ∴()()210x m x --= ， 解得：122,1x m x == ， ∵m ＜0， ∴21m < ，∴奇特点M 的坐标为()2,1m ，∵过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形， ∴21m -= ，解得：12m =- ；（3）存在，理由如下：∵()()322324y kx k k x =--=-+ ，∴当320x -= ，即23x =时，4y = ， ∴直线y ＝3kx ﹣2（k ﹣2）过定点2,43⎛⎫⎪⎝⎭ ，∵一元二次方程x 2+bx +c ＝0的奇特点M 始终在直线y ＝3kx ﹣2（k ﹣2）上，一元二次方程x 2+bx +c ＝0的两个根为122,43x x == ， ∴224,433b c +=-⨯= ， 解得：148,33b c == ． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正方形的性质，一次函数的性质，理解新定义是解题的关键．18．已知方程2x ﹣（m ﹣3）x ﹣3m ＝0有一个根为4，求它的另一个根．【答案】﹣3【分析】直接把4代入方程即可求得m 的值，然后利用根与系数关系求另一个根即可．【详解】解：把4代入已知方程得：24﹣4（m ﹣3）﹣3m ＝0，解得m ＝4，∴两根之积为﹣3m ＝﹣12，∴另一个根为：﹣12÷4＝﹣3．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数关系定理，熟练掌握根与系数关系定理是解题的关键．19．利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：（1）(31)10x x --=； （2）(25)(1)7x x x ++=+．【答案】（1）1213x x +=，1213x x =-；（2）123x x +=-，121x x =-． 【分析】将原式整理为一元二次方程一般式，然后根据根与系数的关系：1212,b c x x x x a a+=-⋅=，求解即可．【详解】解：（1）原式整理为：2310x x --=，∴3,1,1a b c ==-=-， ∴1213b x x a +=-=，1213c x x a ⋅==-； （2）原式整理为：2310x x +-=，∴1,3,1a b c ===-， ∴123b x x a +=-=-，121c x x a⋅==-． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．20．求下列方程两个根的和与积：（1）25100x x --=； （2）22710x x ++=；（3）23125x x -=+； （4）(1)37x x x -=+．【答案】（1）125x x +=，x x ⋅=-1210；（2）1272x x +=-，1212x x ⋅=；（3）1223x x +=，122x x ⋅=-；（4）124x x +=，x x ⋅=-127 【分析】（1）直接根据根与系数的关系求解；（2）直接根据根与系数的关系求解；（3）先把方程化为一般式为23260x x --=，然后根据根与系数的关系求解； （4）先把方程化为一般式为2470x x --=，然后根据根与系数的关系求解．【详解】解：（1）设方程的两根为1x ，2x ，则125x x +=，x x ⋅=-1210 ．（2）设方程的两根为1x ，2x ，则1272x x +=-，1212x x ⋅=． （3）原方程化为23260x x --=，设方程的两根为1x ，2x ，则1223x x +=，122x x ⋅=-． （4）原方程化为2470x x --=，设方程的两根为1x ，2x ，则124x x +=，x x ⋅=-127．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1＋x 2＝−b a，x 1x 2＝c a ． 21．根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根12,x x 的和与积： （1）26150x x --=（2）23790x x +-=（3）2514x x -=【答案】（1）12126,15x x x x +==-；（2）12127,33x x x x +=-=-；（3）121251,44x x x x +== 【分析】（1）根据如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根为，1x 和2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a=进行求解即可得到答案； （2）根据如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根为，1x 和2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a=进行求解即可得到答案； （3）根据如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根为，1x 和2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a=进行求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵26150x x --=，∴1a =，6b =-，15c =-， ∴126b x x a +=-=，1215c x x a==-； （2）∵23790x x +-=，∴3a =，7b =，9c =-， ∴1273b x x a +=-=-，123c x x a==-； （3）∵2514x x -=，即24510x x -+=∴4a =，5b =-，1c =， ∴1254b x x a +=-=，1214c x x a ==． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根于系数的关系．22．已知1x ，2x 是一元二次方程22210x x m -++=的两个实数根．（1）求实数m 的取值范围；（2）如果1x ，2x 满足不等式2121246()x x x x +>+，且m 为整数，求m 的值．【答案】（1）12m；（2）1-或0 【分析】（1）由题意得一元二次方程判别式Δ≥0，进而求解．（2）由根与系数的关系用含m 的代数式表示12x x +与12x x ⋅，进而求解．【详解】解：（1）方程22210x x m -++=有两个实数根，∴Δ0，即2(2)42(1)0m --⨯+， 解得12m ， ∴实数m 的取值范围是12m； （2）1x ，2x 是一元二次方程22210x x m -++=的两个实数根，121x x ∴+=，121(1)2x x m ⋅=+，2121246()x x x x +>+，2146(1)12m ∴+⨯+>， 解得2m >-， 12m 且m 为整数， m ∴的值为1-或0．【点睛】本题考查一元二次的判别式及根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程根的情况与Δ的关系，掌握12b x x a +=-，12c x x a=． 23．已知关于x 的方程 (k 2+1)x 2+(2k 2+1)x +k 2−1=0．（1）证明：无论k 取何值，方程都有两个不相等的实数根；（2）是否存在实数k ，使方程两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值，如不存在，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）不存在符合条件的实数k ，理由见解析【分析】（1）根据方程各项的系数结合根的判别式即可得出Δ=4k 2+5＞0，由此可得出无论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程(k 2+1)x 2+(2k 2+1)x +k 2−1=0的两根分别为x 1、x 2，利用根与系数的关系结合x 1、x 2互为相反数，可得出关于k 的方程，解之即可求出k 值，再由（1）中k 的取值范围，即可得出不存在符合条件的k 值．【详解】（1）证明：Δ=(2k 2+1)2-4×(k 2+1)×(k 2-1) =4k 4+4k 2+1-4k 4+4=4k 2+5，∴k 2+1＞0，4k 2+5＞0，∴无论k 为何值，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）不存在符合条件的实数k ，理由如下：设方程(k 2+1)x 2+(2k 2+1)x +k 2−1=0的两根分别为x 1、x 2，由根与系数关系得：x 1+x 2=-22211k k ++． ∵x 1、x 2互为相反数，∴x 1+x 2=0，即-222101k k +=+， ∵k 2≥0，∴2k 2+1≥1，∴不存在符合条件的k 值．【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义、相反数以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据非负数的性质得到根的判别式Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）根据根与系数的关系结合x 1、x 2互为相反数，求出k 值．24．关于x 的方程2210x x k -++=的两个实数根是1x ，2x ．（1）求k 的取值范围；（2）若k 为整数，且满足12124x x x x +-<，求k 的值．【答案】（1）0k ≤；（2）2k =-，1-，0【分析】（1）根据“方程2210x x k -++=有两个实数根，”可得0∆≥，即可求解；（2）根据“k 为整数，且满足12124x x x x +-<，”可得3k >-，结合（1）0k ≤，即可求解．【详解】解：（1）∵方程2210x x k -++=有两个实数根，∴0∆≥，即()244410b ac k -=-+≥，解得0k ≤；（2）∵122x x +=，121x x k =+，∴214k --<，由（1）0k ≤，可得30k -<≤，∵k 为整数，∴2k =-，1-，0．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的判别式24b ac ∆=-，根与系数的关系12b x x a+=-，12c x x a =是解题的关键．。

题型切片（两个）对应题目题型目标根与系数关系例1；例2；例3；例7；演练1；演练2；演练3；一元二次方程的应用题例4；例5；例6；演练4；演练5．一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）若21,xx是关于x的一元二次方程)0(02≠=++acbxax的两个根，则方程的两个根21,xx和系数cba,,有如下关系：acxxabxx=⋅-=+2121,.思路导航题型切片知识互联网一元二次方程根系关系及应用题题型一：根与系数关系【引例】 先阅读，再填空解题：⑴方程x 2－x －12＝0 的根是：x 1＝3-，x 2＝4，则x 1＋x 2＝1，x 1·x 2＝12-；⑵方程2x 2－7x ＋3＝0的根是：x 1＝12，x 2＝3，则x 1＋x 2＝72，x 1·x 2＝32；⑶方程x 2－3x ＋1＝0的根是：x 1＝ ， x 2＝ ． 则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ； ⑷根据以上⑴⑵⑶你能否猜出：如果关于x 的一元二次方程mx 2＋nx ＋p ＝0（m ≠0且m 、n 、p 为常数）的两根为x 1、x 2，那么x 1＋x 2、x 1·x 2与系数m 、n 、p 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由．⑸在⑶的条件下，求下列各式的值：①221221x x x x +；②221211x x + （十一学校期末） 【解析】 ⑶35+，35-；3，1；⑷1212n px x x x m m+=-=，； ⑸①()2212211212==31=3x x x x x x x x ++⨯②()()2221212122222212*********====71x x x x x x x x x x x x +-+-+【例1】 不解方程，求下列方程两根的积与和．⑴25100x x --= ⑵22710x x ++=⑶23125x x -=+ ⑷()137x x x -=+例题精讲典题精练【例2】 已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．⑴求实数m 的取值范围；⑵当22120x x -=时，求m 的值．【例3】 已知一元二次方程2(1)230m x mx m +++-=有两个不相等的实数根，并且这两个根又不互为相反数. ⑴ 求m 的取值范围；⑵ 当m 在取值范围内取最小偶数时，方程的两根为12,x x ，求2123(14)x x -的值.列一元二次方程解应用题的时候，要注意检验得到的根是否符合题意．【引例】 ⑴某汽车销售公司2009年盈利1500万元， 2011年盈利2160万元，且从2009年到2011年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）． （西城期末）A ．()2150012160x += B ．2150015002160x x += C ．215002160x = D ．()()215001150012160x x +++=⑵某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为 ． (台州中考)【解析】 ⑴A ；⑵100)1(1202=-x ．例题精讲思路导航题型二：一元二次方程的应用题【例4】 某商品进价为40元的衬衫按50元售出时.每月能卖500件.这种衬衫每涨价1元，其销售量减少10件.如果商场计划每月赚8000元利润.售价应定为多少?【例5】 如图①，要设计一幅宽20cm ，长30cm 的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2:3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？20cm 30cm图①图②30cm20cm ABCD分析：由横、竖彩条的宽度比为2:3，可设每个横彩条的宽为2x ，则每个竖彩条的宽为3x ．为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到矩形ABCD ． 结合以上分析完成填空：⑴ 如图②，用含x 的代数式表示：AB =____________________________cm ；AD =____________________________cm ； 矩形ABCD 的面积为_____________cm 2；⑵ 列出方程并完成本题解答．【例6】 如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面．请观察下列图形并解答有关问题：⑴ 在第n 个图中，每一横行共有 块瓷砖，每一竖列共有 块瓷砖；（均用含n 的代数式表示）典题精练⑵设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与⑴中的行列的函数关系式；（不要求写自变量n的取值范围）⑶按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；⑷若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题⑶中，共需花多少元钱购买瓷砖？⑸是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算说明理由．...n=3n=2n=1【例7】关于x的方程20x px q++=的两根和为1s，两根的平方和为2s，两根的立方和为3s，试求321s ps qs++的值．知识模块一根与系数的关系巩固练习【练习1】⑴方程2520x x-+=的两个解分别为1x、2x，则1212x x x x+-⋅的值为（）A．7-B．3-C．7 D．3⑵设1x，2x是一元二次方程2320x x--=的两个实数根，则2211223x x x x++的值为__________________．【练习2】已知α，β是一元二次方程210x x+-=的两个根，求5325αβ+的值．真题赏析复习巩固【练习3】 已知关于x 的方程()2120x k x k -+++=的两个实数根的平方和等于6，求k 的值．题型二 一元二次方程的应用问题 巩固练习【练习4】 某市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少．【练习5】 一条长64m 的铁丝被剪成两段，每段均折成一个正方形，若两个正方形的面积和等于2160cm ，求这两个正方形的边长，。

学习必备欢迎下载一元二次方程的根系关系[ 教学目标 ]1、知识目标：掌握一元二次方程根与系数的关系，并会根据条件和根与系数的关系不解方程确定相关的方程和未知的系数值。

2、过程与方法目标：经历探索根系关系的过程，理解方程思想和整体变换思想.3、情感目标：[ 知识要点 ]对于一元二次方程ax2bx c0(a0)若方程有实数根x1， x2时，则 x x b c且 x x12a 12a特别对于方程 x2px q0 ，若有两个实根、时，则p ，q【例 1】关于x的方程2x2kx410的一个根是－2，则方程的另一根是； k ＝.分析：设另一根为 x1，由根与系数的关系可建立关于x1和k的方程组，解之即得。

答案：5，－ 1 2【例 2】已知方程x23x 10 的根为x1，x2，求下列各式的值（ 1）x12x22（2）x13x23（ 3）( x1x2)2（ 4）x2x1（ 5）x1x2（ 6）( x12)( x22) x1x2【例 3】求做一个一元二次方程，使它的两个根为2332和2332。

【例 4】已知：a27a 1 0 ， b27b 10，求a b的值。

b a【例 5】已知关于 x 的方程2x22mx m 20 ，求m为和值时（1）方程有两实根一正、一负；（2）方程两根均为正。

【例 6】已知：一元二次方程mx2( m 1)x 1 0 有有理数根。

求整数m 的值【例 7】已知：方程x2(a 6) x a 0 的两个根都是整数，求 a 的值【例8】已知关于x的方程x22( m2) x m 250有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m的值。

分析：有实数根，则△≥0，且x12x22x1 x216 ，联立解得 m 的值。

略解：依题意有：x1x22(m2)x1 x2m25x12x22x1 x2164(m2) 24(m 25)0由①②③解得： m1或 m15，又由④可知 m ≥9 4∴ m 15 舍去，故 m1探索与创新：【问题一】已知 x1、 x2是关于 x 的一元二次方程4x 24(m1) x m 20 的两个非零实数根，问： x1与 x2能否同号？若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。

第十二讲一元二次方程的根系关系一、直接应用【韦达定理】若1x 、2x 是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的两个根，则方程的两个根1x 、2x 和系数a 、b 、c[证明]使用求根公式，有：1b x a -=，22b x a --=故122222b bb b x x a a a a-+---+=+==-()22124b ac c x x --⋅==【示例】1x 、2x 是方程2560x x -+=的两个根，则12x x +=5，12x x ⋅=6。

1x 、2x 是方程22310x x -+=的两个根，则12x x += 1.5，12x x ⋅=0.5。

1x 、2x 是方程2810x x -++=的两个根，则12x x +=8，12x x ⋅=-1。

【题型】[已知一根，求另一根]已知5、a 是方程250x mx -+=的两个根，则a =_____，m =_____。

解：由韦达定理，得：555a m a +=⎧⎨=⎩，解得：16a m =⎧⎨=⎩。

[对称式]利用韦达定理求诸如：12x x +、12x x ⋅、2212x x +、221212x x x x +、1211x x +、2112x x x x +已知1x 、2x 是方程2310x x -+=的两个根，则2112x x x x +=_____。

解：由韦达定理，得：121231x x x x +=⎧⎨=⎩，故222221121212121212()232171x x x x x x x x x x x x x x ++--⨯+====[根据根系关系求参数的值或范围]已知1x 、2x 是方程22210x kx k ++-=的两个根，且()()12110x x ++=，则k =_____。

解：22(2)4(1)40k k ∆=-⨯-=>，故k 可以取任意值，由韦达定理，得：1221221x x k x x k +=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，故()()2121212111121x x x x x x k k ++=+++=--+，由题意，得：21210k k --+=，解得：0k =或2[补充题1]已知1x 、2x 是关于x 的方程()()23x x m --=的两个实数根，(1)求m 的取值范围；(2)若121210x x x x --+=，求m 的值。

根与系数关系知识讲解及练习TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，则 说明：（1）定理成立的条件0∆≥（2）注意公式重12bx x a+=-的负号与b 的符号的区别根系关系的几大用处① 验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根； ②例如：已知方程x 2-5x+6＝0，下列是它两根的是（ ）A ． 3，-2 B. -2, 3 C. -2，-3 D. 3, 2③ 求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于x 1和x 2的代数式的值，如；④⑤ 求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式. ⑥⑦ 求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.（后三种为主） （1）计算代数式的值例 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---= (2)121212112220072007x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=- (4) 22212121212||()()4(2)4(2007)22008x x x x x x x x -=-=+-=---= 说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-， 2121212||()4x x x x x x -=+-，2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。

根与系数的关系知识点及综合应用一、一元二次方程根与系数的关系（1） 若方程02=++c bx ax (a ≠0)的两个实数根是x 1，x 2，则x 1+x 2= -a b ，x 1x 2=a c（2） 若一个方程的两个根为x 1,，x 2，那么这个一元二次方程为()[]021212=+++x x x x x x a (a ≠0) 二、根与系数的关系的应用：（1）验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；（2）判别一元二次方程两根的符号。

例1：不解方程，判别方程两根的符号。

分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。

因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定 或的正负情况。

解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0∴方程有两个不相等的实数根。

设方程的两个根为， ∵＜0∴原方程有两个异号的实数根。

说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。

（3）求根及未知数字母系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数字母系数.例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。

分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。

解法一：把代入原方程，得：即解得当时，原方程均可化为：，解得：∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。

解法二：设方程的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得：，∵，∴把代入，可得：∴把代入，可得：，即解得∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。

说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。