变形率张量和涡量张量

9




A
B

( Ay Bz

Az B y )i
( Az Bx

Ax Bz )
j
( Ax By

Ay Bx )k
i jk
Ax Ay Az Bx By Bz
10
Stokes 公式（二维曲面积分与一维曲线积分 间的转换）
设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线， 的侧与 的正 向符合右手法则，P、Q、R在包含 在内的一个空间域内具
矢量代数：矢量向量积的正交分量表示：




A
B

( Ay Bz
Az By )iห้องสมุดไป่ตู้

( Az Bx

Ax Bz )
j

( Ax By

Ay Bx )k
i jk
Ax Ay Az
Bx By Bz
i j k jk i k i j i i j j k k 0
个刚体的转动，代表刚体上其它点的转动。

流体不同，某一流点在转动，并不代表其它流点也
在转动，或也在做同样的转动。即流体的各个流点可能在
同一时间做着不同的转动。必须逐点检验才知道整个流体
的旋转运动情况，即对于流体要指明哪一点或哪个区域有
旋。（流点与流点间可以有相对运动）
18
注意：
② 流体流线（迹线）是直线运动不代表流点没有旋转运动。 流体流线（迹线）是圆，不代表流点在做旋转运动。（流体在 做圆运动时，流点不但在绕圆点转动，而且又在自转时，才会 涡度不为零。流体在做直线运动，但流点有自转时，涡度也不 为零。

大涡模拟中模型系数对方柱绕流的影响张童伟;聂欣;陶雪峰【摘要】采用大涡模拟中3种不同Smagorinsky系数的标准Smagorinsky-Lilly 模型和动态模型,对雷诺数为22000的三维方柱绕流进行数值研究.对计算结果中的特征变量进行了验证与分析;并对不同尺度的涡旋及其相互关系进行研究;同时对流场不同位置处和不同Smagorinsky系数对计算结果的影响及其准确性进行了对比分析.结果表明:不同Smagorinsky系数对流场中的大尺度涡旋以及斯特劳哈尔数的计算结果影响较小;小尺度涡旋的含能量随Smagorinsky值的减小而减小,且较小Smagorinsky系数的模型展现出的小尺度涡旋更多;不同模型的在方柱尾流区不同位置计算准确度存在差异.整体来看,动态模型相比于标准Smagorinsky-Lilly模型更为合适.【期刊名称】《杭州电子科技大学学报》【年(卷),期】2017(037)006【总页数】7页(P55-61)【关键词】大涡模拟;方柱绕流;Smagorinsky系数;动态模型;湍流能谱【作者】张童伟;聂欣;陶雪峰【作者单位】杭州电子科技大学机械工程学院 ,浙江杭州 310018;杭州电子科技大学机械工程学院 ,浙江杭州 310018;杭州电子科技大学机械工程学院 ,浙江杭州310018【正文语种】中文【中图分类】O353方柱绕流广泛存在于环境、海洋、水利、动力机械及建筑等诸多工程领域，其绕流涡旋脱落产生的振动对机械零部件、建筑和桥梁的稳定具有重要影响，涡旋升阻力在海洋方面也得到广泛应用，另外方柱后方的回流现象对泥沙以及污染物的输运起到重要作用.与此同时，由于方柱几何模型简单，且涉及到剪切层的转捩，流动的分离和附着，周期性的涡脱落等复杂的流动现象，因此被广泛应用于实验和数值模拟的研究[1-5].其中大涡模拟作为一种效率高且计算精准的模型被应用于绕流问题的研究.大涡模拟所用的亚格子模型中Smagorinsky系数一直是研究者们关注的对象.Smagorinsky系数Cs是对亚格子涡粘系数进行描述时引出的一个参数，它与过滤尺寸的乘积称为混合长度.对于Cs系数的确定方法，文献[6]根据经典的局部各向同性湍流理论，在Kolmogorov能谱惯性子区范围内，推导得出的Cs取值范围在0.17～0.21之间；文献[7]通过对一些学者的研究结果进行总结，得出Cs取值范围在0.19～0.24之间；而根据文献[8]对渠道湍流的大涡研究表明，较大的Cs值产生的耗散也大，特别是在近壁区表现得更明显，因此对于内流问题，其建议Cs值在0.1左右较合适；文献[9]采用3种不同的Cs系数来模拟渠道湍流问题，与直接数值模拟DNS的结果比较表明，Cs=0.065时计算结果更准确.近年来的研究表明，Cs不是一个常数，即使对于特定的流动，它也是一个与物理模型和数值计算紧密相关的值，需要在使用中不断调整才能得到合适的结果.而对于绕流问题，文献[10]在进行绕流大涡模拟时采用的Cs值为0.07；文献[11]取Cs为0.12进行计算.而关于Cs系数对三维方柱绕流模拟结果的影响，还没有较为系统的研究.本文采用不同Cs系数下的标准Smagorinsky-Lilly模型和动态模型对三维方柱绕流进行大涡模拟，计算结果与文献[3-4]的结果进行了对比.研究了方柱下游流场的时均速度、湍流特性及3D流动状态，对比分析了不同Cs系数下Smagorinsky-Lilly模型的差异，同时验证了动态模型在湍流中计算的准确性，对方柱绕流的流动特性进行分析，为湍流问题研究模型的选择和实际工程应用提供有价值的参考. 运用大涡模拟(Large Eddy Simulation，LES)方法，对连续性和不可压缩流动的Navier-Stokes方程进行滤波，得到如下的控制方程：其中，和分别表示过滤后的时均速度分量和压力，ρ为密度，为运动粘度，τij为亚格子应力，亚格子应力是过滤掉的小尺度脉动和可解尺度湍流间的动量输运.要实现大涡数值模拟，必须构造亚格子应力的封闭模式.其中以Boussinesq假设为基础的计算公式如下：其中，为应变率张量，vt为涡粘系数，由于涡粘模型计算平稳且鲁棒性较好，因此得到广泛的应用.本文的研究分别采用标准Smagorinsky-Lilly模型和动态模型对vt进行定义.1.2.1 标准Smagorinsky-Lilly模型标准Smagorinsky-Lilly模型最早是由J. S. Smagorinsky于1963年基于普朗特混合长度模式的原理而提出的[12]，将涡粘系数写成以下形式：其中，为应变率张量，Ls为网格的混合长度，在FLUENT中Ls=min(kd,CSΔ)，k 为Von Karman常数，取0.42；d为与近壁面的距离；Cs为Smagorinsky系数，Δ为网格尺寸决定的过滤尺度.Cs系数的确定方法和实际的流动状态、网格精度等多个因素有关，本文中，Cs分别取0.04，0.12和0.18，对3种系数下的模型进行计算和比较.1.2.2 动态Smagorinsky-Lilly模型动态Smagorinsky-Lilly模型是D. K. Lilly于1992年基于Germano等式提出的动态确定Smagorinsky系数的方法，简称动态模型DCs[13-14].将Germano等式用Smagorinsky模式代入得到：采用最小误差法来解决超定问题，对结果进行系统平均得：其中，Mij和Lij分别为二次过滤后新增的应变率张量和亚格子应力.这样的Smagorinsky系数是根据运动解析尺度提供的信息动态计算的，实际计算结果表明，此方法得到的涡粘系数有相当好的适应性，特别是它的近壁涡粘系数这与湍流脉动近壁渐进行为相吻合[15].本文算例以高雷诺数下的方柱绕流为研究对象，采用不同的Smagorinsky系数及动态模型对其进行大涡模拟，计算结果与相关文献的结果进行对比验证.计算区域为20.5D×14D×4D(D为方柱直径)，其中方柱上游4.5D，下游15D，如图1所示.入口速度U=0.535 m/s，均匀流动，出口条件为自由流动，四周表面均设为对称边界条件.工作介质为水(密度ρ=998.2kg/m3，动力粘度μ=1.005×10-3Pa·s)，方柱的绕流雷诺数Re=ρUD/μ=22 000.根据大涡模拟的物理原则，模型第一层网格的y+应小于1.因此，在粘性底层(y+<5)之内，设置了3～5层网格，根据最终计算的收敛结果，壁面处第一层网格y+在0.5～0.9之间.流域截面的网格形态如图2所示，所有模型的网格总数均为320万.采用FLUENT14.0作为求解器，有限体积法离散控制方程，对于压力与速度的耦合采用SIMPLE算法，时间项采用二阶隐式差分，压力项采用二阶迎风格式进行离散，对流和扩散项采用二阶中心差分格式.根据网格尺度和速度尺度设定时间步长，保证每一次迭代都在一个网格范围内[16]，此处Δt设置为1×10-3 s，每个子步迭代8次后达到所设定的残差值(1×10-3).本算例使用曙光5 000计算机(单节点32核)并行计算.先进行稳态分析，获得较合适的初场后进行瞬态计算，在取样前计算10个的流动周期(以D/U作为一个流动周期)，取样后再计算10个以上的流动周期(约为30个涡旋脱落周期)，以获得稳定的统计平均结果.其中标准Smagorinsky-Lilly模型的计算时间为140 h，动态模型的计算时间为180 h，由于此模型需要进行二次过滤且在计算过程中不断改变Cs的值，因此需要消耗更多的计算资源，约为标准模型的1.3倍.不同Cs系数和模型下，方柱绕流特征变量的模拟结果与相关文献对比如表1所示，包括时均且展现平均的阻力系数Cd，回流区长度L/D，斯特劳哈尔数St=fD/U，f为通过对升力系数随时间的变化量进行快速傅里叶变换求得的涡旋频率.从表1可以看出，所有模型的Cd值和实验结果相比都偏大，与前人的研究结果相似，而DCs模型和Cs=0.04时的压力系数值与实验值更接近，其余模型的Cd值随着Cs系数的增加而变大.对于回流区长度的预测，不同的研究者得出的结果有较大差异[1]，本文的计算结果与实验值更接近，其中Cs=0.04时的计算结果和实验值对比差异最小，这与阻力系数的值有一定的对应关系.由于亚格子模型只是对小涡进行建模计算，而对涡旋频率起主导作用的大涡在不同Cs系数下的求解方法相同，因此不同模型的绕流St数计算结果基本相同.图3为不同Cs系数和模型下，方柱后方中心线处时均速度u和湍动能K的分布情况.由于在相同网格精度的情况下，亚格子模型的过滤尺度Δ相同，由Cs与Δ的乘积所构成的混合长度值LS不同，使得亚格子的涡粘系数值随Cs值的增大而增大，而较大的涡粘系数会使得流动耗散偏大.因此，在方柱附近位置流动为层流向湍流过渡的区域，应变率张量大而湍流耗散较小[13]，较小的Cs值更适合对回流区长度及阻力系数等参数的预测，同时DCs模型在此种流动状态处会自动减小模型系数来修正流动行为[17].从图3中可以看出，Cs=0.04时方柱附近的时均速度与实验值最接近，DCs模型的计算结果也较为精准.由于同时，从回流区最低速度的大小和位置可以看出，不同模型最低速度都位于方柱后方0.85D的距离处，而DCs和Cs=0.04时的最小值分别为-0.098 m/s和-0.009 m/s，与实验值偏差更小.而在远离方柱的位置，由于涡旋的脱落和破碎，湍流耗散较大，此时较大的Cs 值更适合此种流动状态.因此对比不同模型在方柱后方较远处的速度恢复值可以发现，Cs=0.18时计算结果与实验值更为接近.从图3明显可以看出，在X/D=1.5的位置存在一个峰值，而此位置为两侧涡旋交替产生的区域，因此速度脉动大.同时，在方柱背面的回流区，由于靠近壁面处的流体以沿壁面的纵向流动为主，在层流底层中由壁面效应而猝发的卷吸涡使得此处速度脉动值较大[18]，因此该处的湍动能值也有一个明显的峰值，而Cs=0.18时得到的湍流粘度较大，在此处峰值也更为明显，这与文献[2]和[11]在其他问题的研究中提出的观点类似.综合分析表1中的统计值可以得出，方柱后方较大的速度脉动和较低速度恢复值使得其回流区长度偏小而阻力系数值偏大，从DCs和Cs取0.04和0.12中也可以得到相对应的结论，此结论与文献[2]提出的观点一致.总之，对于较高雷诺数下方柱绕流的大涡模拟，Cs=0.04时对方柱后方回流区速度场及阻力系数的预测更准确，而较远处的速度恢复值在Cs=0.18时与实验值更吻合，因此，对于局部位置或流动状态较为单一的问题(如渠道流动，管内流动等)进行研究，合理地选择Cs系数对计算结果的精确性至关重要.而对于方柱绕流这种不同位置流动状态差异较大的问题，标准Smagorinsky-Lilly模型很难做到对整个流场的各个位置进行精准预测，此时动态模型更合适.对于涡旋结构的描述，有研究者通过流线、应变率张量、压力和涡量等不同的方法来表征[5]，这些量的基本思想都是基于涡旋结构的伽利略不变性且存在涡核.本研究通过Q准则数[19]对方柱的绕流涡旋进行描述,其中Q准则数表示速度梯度张量的二次不变量(Q=),Ω和S分别表示速度梯度的对称张量和反对称张量，因此可以看出Q>0的区域表示转动速率超过应变速率，即该区域涡旋结构明显.图4分别为Cs取0.04和0.18及DCs模型在同一时刻(t=30 s)3D形态的Q准则数分布情况，其中Q=150(以涡量值为标度).可以明显观察到方柱后方形成的马蹄涡，沿着流向不断破碎最终形成单一的流向涡，不同模型描述出的小尺度涡存在一些差异，但大尺度的涡旋基本相同，这与大涡模拟方法的本质是相关的.其中，Cs=0.04和DCs 模型在方柱附近区域的展现出的小尺度涡旋更多，由于固壁的存在使得亚格子尺度与可解尺度间的能量交换发生变化，小尺度的涡容易受到抑制[20]，因此合理的亚格子模型或模型系数对其有较大影响，而Cs=0.18时计算的耗散偏大是导致方柱附近模拟出现偏差的主要原因，从而影响到回流区及阻力系数等参数的预测.在湍流动能输运过程中，大涡占湍动能的绝大部分，因此对数坐标下湍流能谱的含能量主要集中在小波数附近，而小涡占湍动能耗散的绝大部分，在含能区与耗散区之间湍动能通过惯性子区将能量逐级传递下去，此时的湍流能谱函数基本满足波数k的-5/3幂次律[21].特征波数与涡旋尺度及含能量的关系如表2所示，从表2可以看出，大尺度涡旋(小k)在方柱附近位置的含能量最高，随着脱体涡旋的不断发展和破碎，远离方柱的位置，大涡的含能量降低，而小涡整体的含能量增加.由于较小的Cs系数得到的亚格子湍流耗散更小，同时对小尺度涡旋的描述更细致(数量更多)，单个涡旋的含能量也会降低，方柱中心线上不同位置的湍流能谱分布情况如图5所示，可以看出小尺度涡的含能量随着Cs系数的减小而减小.而DCs模型的小尺度涡旋含能量在方柱附近位置(X/D=0.5～2.0处)与Cs=0.04相近，在远离方柱位置(X/D=5.0～7.0处)与Cs=0.18相近，这也是DCs模型整体计算结果较为准确的一个重要因素.本文通过对大涡模拟中3种不同模型系数Cs的Smagorinsky-Lilly及动态模型对方柱绕流计算结果的影响进行分析得出，不同Smagorinsky系数Cs对流场中的大尺度涡旋以及斯特劳哈尔数St的计算结果影响较小.在流场不同位置出，不同模型对小尺度涡旋及整体计算结果的准确性存在差异.对于方柱绕流这种涡旋尺度与强度变化较大且雷诺数较高的绕流问题，动态模型相比于标准Smagorinsky-Lilly 模型更为合适.因此，在今后类似绕流问题的大涡模拟计算中，本文的研究为模型以及模型参数值的选择提供了参考.【相关文献】[1] RODI W, FERZIGER J H, BREUER M, et al. Status of large eddy simulation: results of a workshop[J]. Journal of Fluids Engineering,1997,119(2):248-262.[2] SOHANKER A, DAVIDSON L, NORBERG L. Large eddy simulation of flow past a square cylinder: comparison of different subgrid scale models[J]. Journal of Fluids Engineering,1999,122(1):39-47.[3] LYN DA, EINAV S, RODI W, et al. A laser Doppler velocimetry study of ensemble averaged characteristics of the turbulent near wake of a square cylinder[J]. Journal of Fluid Mechanics,1995,304:285-319.[4] TRIAS FX, GOROBETS A, OLIVA A. Turbulent flow around a square cylinder at Reynolds number 22,000: A DNS study[J]. Computers & Fluids,2015,123:87-98.[5] ELKHOURY M. Assessment of turbulence models for the simulation of turbulent flows past bluff bodies[J]. Journal of Wind Engineering & Industrial Aerodynamics,2016,154:10-20.[6] LILLY D K. Representation of small scale turbulence in numerical simulation experiments[J]. Proceedings of IBM Scientific Computing Symposium on Environmental Sciences,1967:195-210.[7] ROGALLO R S, MOIN P. Numerical simulation of turbulent flows[J]. Annual Review of Fluid Mechanics,1984,16(1):99-137.[8] DEARDORFF J W. A numerical study of three-dimensional turbulent channel flow at large Reynolds numbers[J]. Journal of Fluid Mechanics,1970,41(2):453-480.[9] UDDIN M, MALLIK M S I. Large eddy simulation of turbulent channel flow using smagorinsky model and effects of smagorinsky constants[J]. British Journal of Mathematics & Computer Science,2015,7(5):375-390.[10] DOOLAN C J. Large eddy simulation of the near wake of a circular cylinder at sub-critical Reynolds number[J]. Engineering Applications of Computational Fluid Mechanics,2014,4(4):496-510.[11] MURAKAMI S. Overview of turbulence models applied in CWE-1997[J]. Journal of Wind Engineering & Industrial Aerodynamics,1998,74:1-24.[12] SMAGORINSKY J S. 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The local structure of turbulence in an incompressible viscous fluid for very large Reynolds numbers[J]. Proceedings of the Royal Society of London,1941,1890(1890):9-13.。

r ez r ez
θ
P
σ Rω
a
σ Rθ
r r r pn = σ RR eR + σ Rθ eθ r 3µU r = − p0 eR + ez 2a
x
ω
y
z
σ RR
P
r 2π π r 2 3µU r r F = ∫ ∫ pn a sin θ dθ dω = 4π a 2 ez = 6πµUaez 2a 0 0
u = ay , v = w = 0 试求:
r
sij
aij s ijδ x j 和旋转速度 a ij δ x j
r r r i j k r r 1) ∇ × u = ∂ / ∂x ∂ / ∂y ∂ / ∂z = −ak ay 0 0
2)
0 a / 2 0 sij = a / 2 0 0 0 0 0
r + dr ,θ +
dθ dz ,z+ 2 2
dθ dz r ,θ + , z + 2 2
}dθ dz
dr
dθ
r+
dr dz ,θ + dθ , z + 2 2 dr ,θ , z + 2 2 r+ dz ]dzdr
r
θ
x
r+
r r r +{[(σ zr er + σ zθ eθ + σ zz ez )r ] r r r −[(σ zr er + σ zθ eθ + σ zz ez )r ]
θ
σ Rω
a
σ Rθ
ω
又解 :
y
x
r r F = ez ∫ (σ RR cosθ − σ Rθ sin θ ) 2π a sin θ a dθ

零方程模型：C-S模型，由Cebeci-Smith给出；B-L模型，由Baldwin-Lomax 给出。

一方程模型：来源由两种，一种从经验和量纲分析出发，针对简单流动逐步发展起来，如Spalart-Allmaras(S-A)模型；另一种由二方程模型简化而来，如Baldwin-Barth(B-B)模型。

二方程模型：应用比较广泛的两方程模型有Jones与Launder提出的标准k-e 模型，以及k-omega模型。

另外还有雷诺应力模型。

6湍流模型选取的准则：流体是否可压、建立特殊的可行的问题、精度的要求、计算机的能力、时间的限制。

为了选择最好的模型，你需要了解不同条件的适用范围和限制。

FLUENT软件中提供以下湍流模型：1Spalart-Allmaras 模型；2k-ε模型；3k-ω模型；4 雷诺应力模型（RSM）；5 大涡模拟模型（LES）。

1 Spalart-Allmaras模型应用范围：Spalart-Allmaras模型是设计用于航空领域的，主要是墙壁束缚（wall-bounded）流动，而且已经显示出很好的效果。

在透平机械中的应用也愈加广泛。

在湍流模型中利用Boussinesq 逼近，中心问题是怎样计算漩涡粘度。

这个模型被Spalart-Allmaras提出，用来解决因湍流动粘滞率而修改的数量方程。

模型评价：Spalart-Allmaras模型是相对简单的单方程模型，只需求解湍流粘性的输运方程，不需要求解当地剪切层厚度的长度尺度；由于没有考虑长度尺度的变化，这对一些流动尺度变换比较大的流动问题不太适合；比如平板射流问题，从有壁面影响流动突然变化到自由剪切流，流场尺度变化明显等问题。

Spalart-Allmaras模型中的输运变量在近壁处的梯度要比k-ε中的小，这使得该模型对网格粗糙带来数值误差不太敏感。

Spalart-Allmaras模型不能断定它适用于所有的复杂的工程流体。

例如不能依靠它去预测均匀衰退，各向同性湍流。