【参考教案】《合情推理》(人教A版)

2019-2020学年苏教版选修2-2 合情推理 教案

教学重点：

了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理．

教学难点：

用归纳进行推理，做出猜想．

教学过程：

一、创设情境

从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．

任何推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么．下面我们来看3个推理案例：

案例1 前提 当0n＝时， 21111nn－＋＝； 当1n＝时，21111nn－＋＝；

当2n＝时，21113nn－＋＝； 当3n＝时，21117nn－＋＝；

当4n＝时，21123nn－＋＝； 当5n＝时，21131nn－＋＝．

11，11，13，17，23， 31都是质数．

结论 对于所有的自然数n，211nn－＋的值都是质数．

案例2 前提 矩形的对角线的平方等于长、宽的平方和．

结论 长方体的对角线的平方等于长、宽、高的平方和．

案例3 前提 所有的金属都能导电，铜是金属．

结论 铜能导电．

三个推理案例的共同点是它们都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是在推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可以分为合情推理与演绎推理．

二、构建新知

在案例1中，由“对自然数n的几个特殊值，211nn－＋都是质数”，推出“对所有自然数n，211nn－＋都是质数．”我们再看几个类似的推理实例： 1．蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的．

因为蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所以我们猜想所有的爬行动物都是用肺呼吸的．

2．三角形的内角和是180，凸四边形的内角和是360，凸五边形的内角和是540．

归纳推理的一般步骤：

（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；

（2）提出带有规律性的结论，即猜想；

§2.1.1合情推理第1课时归纳推理

教学目标：

1．了解归纳推理的概念和归纳推理的作用，掌握归纳推理的一般步骤，能利用归纳进行一些简单的推理；

2．通过本节内容的学习，包括欣赏一些伟大猜想产生的过程，体会并认识如何利用归纳推理去猜测和发现一些新事实，得出新结论，探索和提供解决一些问题的思路和方向的作用；

3．增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度。

教学重点：归纳推理及方法的总结；

教学难点：归纳推理的含义及其具体应用．

教学过程设计

（一）、情景引入，激发兴趣。

【教师引入】 追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠 — “歌德巴赫猜想”。

世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。

这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但验格的数学证明尚待数学家的努力。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（99）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。

2.1.1合情推理

项目 内容

课题 2.1.1合情推理 修改与创新

教学目标 1 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，

2 能利用归纳进行简单的推理，

3 体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.

教学重、

难点 重点：能利用归纳和类比进行简单的推理.

难点：用归纳和类比进行推理，作出猜想.

教学准备 直尺、粉笔

教学过程 一、新课引入：

1. 哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7,

12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……,

100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和. 1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想. 1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”.

2. 费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对020213F，121215F，2222117F，32321257F，4242165537F的观察，发现其结果都是素数，于是提出猜想：对所有的自然数n，任何形如221nnF的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉，发现5252142949672976416700417F不是素数，推翻费马猜想.

3. 四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用 1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.

二、讲授新课：

摘 要 合情推理是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（选修1—2）中第二章《推理与证明》第一节中的内容。文章对该内容第一课时的教学内容，目标，过程设计等作了较详细的阐述，对初涉该内容的教学者有一定的指导意义。

关键词 推理；归纳；类比

一、教学内容与内容解析

（1）内容合情推理的含义，能利用归纳和类比等方法进行简单的推理。

（2）内容解析本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（选修1—2）中第二章《推理与证明》第一节的第一课时。因为归纳推理和类比推理统称为合情推理，所以本人认为应该把纳推理和类比推理都介绍给学生，整个课题才算完整。

推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。一般包括合情推理和演绎推理, 本节课所要学习的合情推理是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理。可见归纳和类比是合情推理常用的思维方法。了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等方法进行简单的推理，这既是重点也是难点。

虽然由合情推理获得的结论，仅仅是一种猜想，并不一定正确，还有待证明，但是在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。

二、教学目标与目标解析

目标

（1）结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义；

（2）能利用归纳和类比的方法进行简单的合情推理；

（3）认识合情推理在数学发现中的作用，提高学习兴趣，感受 数学的人文价值，体会到数学学习的美感。

目标解析

我们要建立一种数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。让学生通过欣赏“一叶知秋”产生的过程，借助学生已有生活常识，形成推理的直观认识；使学生对推理有初步认识，体验数学的一种基本思维过程，经历人们学习和生活中经常使用的思维活动。

教学时要紧密地结合学生熟悉的已学过的数学实例和生活实例，从浅显易懂的例子入手，大量运用数学家的故事激励学生，通过本节课要激发爱国主义热情，让学生体会到数学学习的美感。