人教A版选修1-2教案：2.1合情推理与演绎推理(三)(含部分答案)

§2.1 合情推理与演绎推理（三）

【学情分析】：

合情推理（归纳推理和类比推理）的可靠性有待检验，在这种情形下，提出演绎推理就显得水到渠成了．通过演绎推理的学习，让学生对推理有了全新的认识，培养其言之有理、论证有据的习惯，加深对数学思维方法的认识．

【教学目标】：

（1）知识与技能：

了解演绎推理的含义、基本方法；正确地运用演绎推理、进行简单的推理．

（2）过程与方法：

体会运用“三段论”证明问题的方法、规范格式．

（3）情感态度与价值观：

培养学生言之有理、论证有据的习惯；加深对数学思维方法的认识；提高学生的数学思维能力．

【教学重点】：

正确地运用演绎推理进行简单的推理．

【教学难点】：

正确运用“三段论”证明问题．

【教学过程设计】：

教学环节 教 学 活 动 设计意图

一、复习：

合情推理 归纳推理：从特殊到一般

类比推理：从特殊到特殊

从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳．类比――提出猜想． 复习旧知识

二、

问题情境 观察与思考：（学生活动）

1．所有的金属都能导电，

铜是金属，

所以，铜能够导电．

2．一切奇数都不能被2整除，

（2100+1）是奇数，

所以，（2100+1）不能被2整除．

3．三角函数都是周期函数，

tan是三角函数，

所以，tan是周期函数．

提出问题：像这样的推理是合情推理吗？如果不是，它与合情推理有何不同（从推理形式上分析）？

创设问题情景，引入新知

三、

学生活动

1．所有的金属都能导电 ←————大前提

铜是金属， ←-----小前提

所以，铜能够导电 ←――结论

2．一切奇数都不能被2整除 ←————大前提

（2100+1）是奇数，←――小前提

所以，（2100+1）不能被2整除。 ←―――结论

3．三角函数都是周期函数， ←——大前提

tan是三角函数， ←――小前提

所以，tan是周期函数。←――结论

学生探索，

发现问题，

总结特征

四、

建构数学——概念形成 演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理（或逻辑推理）． 构建新知，

概念形成 注：

1．演绎推理是由一般到特殊的推理．（与合情推理的区别）

2．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

（1）大前提——已知的一般原理；

（2）小前提——所研究的特殊情况；

（3）结论——据一般原理，对特殊情况做出的判断．

三段论的基本格式：

大前提：M是P

小前提：S是M

结 论：S是P

3．用集合的观点来理解“三段论”推理：

若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P．

巩固新知，

加强认识

五、

数学运用 例1、把P78中的问题（2）、（5）恢复成完全三段论的形式．

解：（2）因为太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，（大前提）

而冥王星是太阳系的大行星， （小前提）

因此冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行． （结论）

（5）∵两直线平行，同旁内角互补， （大前提）

而∠A 、∠B是两条直线的同旁内角， （小前提）

∴∠A+∠B＝180°． （结论）

例2、如图；在锐角三角形ABC中，AD⊥BC， BE⊥AC， D，E是垂足，求证：AB的中点M到D、E的距离相等．

解：（1）因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，——大前提

在△ABC中，AD⊥BC，即∠ADB=90°，————小前提

所以△ABD是直角三角形————结论．

（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，————大前提

而DM是直角三角形ABD斜边AB上的中线，——小前提

所以DM=21AB．————结论

同理EM=AB．

所以DM=EM.

注：在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的.

思考：分析下面的推理：

因为指数函数xay是增函数，————大前提

而xy21是指数函数，————小前提

所以xy21是增函数. ————结论

（1）上面的推理形式正确吗？（2）推理的结论正确吗？

提示：推理形式正确，但大前提是错误的（因为指数函数xay（0＜a＜1＝是减函数＝，所以所得的结论是错误的. 1．运用新知；

2．板书解题详细步骤，规范学生的解题格式．

通过错例分析，加深理解 MEDCBA

例3、证明函数2()2fxxx在,1上是增函数.

板演：证明方法（定义法、导数法） → 指出：大前题、小前题、结论.

六、

小结与反思 1．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

（1）大前提——已知的一般原理；

（2）小前提——所研究的特殊情况；

（3）结论——据一般原理，对特殊情况做出的判断．

三段论的基本格式为：

大前提：M是P

小前提：S是M

结 论：S是P

2．合情推理与演绎推理的区别和联系：

（1）推理形式不同（归纳是由特殊到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理）；

（2）合情推理为演绎推理提供方向和思路；演绎推理验证合情推理的正确性．

对比分析，

提高认识

【练习与测试】：

1．下面的推理过程中，划线部分是（ ）．

因为指数函数xay是减函数，而xy2是指数函数，所以xy2是减函数.

A．大前提 B．小前提 C．结论 D．以上都不是

2．小偷对警察作如下解释：是我的录象机，我就能打开它．看，我把它打开了，所以它是我的录象机．请问这一推理错在哪里？（ ）

A．大前提 B．小前提 C．结论 D．以上都不是

3．因为相似三角形面积相等，而△ABC与△A1B1C1面积相等，所以△ABC与△A1B1C1相似.上述推理显然不对，这是因为（

）．

A．大前提错误 B．小前提错误 C．结论错误 D．推理形式错误

4．请判断下面的证明，发生错误的是（ ）．

∵一个平面内的一条直线和另一个平面内的两条直线平行，则着两个平面平行，

又∵直线l平面，直线m平面，直线n平面，且l∥m，

∴∥.

A．大前提错误 B．小前提错误 C．结论错误 D．以上都错误

5．函数Rxxfy为奇函数，22,211fxfxff，则5f（ ）．

A．0 B．1 C．25 D．5

6．下面给出一段证明：

∵直线l平面，

又∵∥，

∴l∥.

这段证明的大前提是 ．

7．如图，下面给出一段“三段论”式的证明，写出这段证明的大前提和结论．

∵

．（大前提）

又∵PA⊥BC，AB⊥BC， PA∩AB=A． （小前提）

∴ ．（结论） CBAP

8．用“三段论”证明：通项公式为dncan的数列na是等差数列.

9．用“三段论”证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C，则AB=DC．

10．将课本第89页例6的证明改成用“三段论”书写．

11．证明函数f(x)=－x2+2x在［1，+∞］上是减函数．

12．设a＞0,b＞0,a+b=1,求证：8111abba．

参考答案

1～5：BADAC

6．两个平行平面中一个平面的任意一条直线平行于另一个平面

7．如果一条直线和某一平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就和该平面垂直； BC⊥平面PAB

8．证：如果数列na满足：daann1（常数），那么数列na是等差数列 （大前提）

∵数列na中有ddncndcaann)()1(1（常数）， （小前提）

∴通项公式为dncan的数列是等差数列． （结论）

9．证：过点D作DE∥AB，交BC于点E．

∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （大前提）

又∵四边形ABED中DE∥AB，AD∥BE， （小前提）

∴四边形ABED是平行四边形． （结论）

∵平行四边形的对边相等． （大前提）

又∵四边形ABED是平行四边形， （小前提）

∴AB＝DE． （结论）

∵两直线平行，同位角相等． （大前提）

又∵AB∥DE， （小前提）

∴∠DEC＝∠B． （结论）

∵两个角若分别和第三个角相等，那么这两个角相等． （大前提）

又∵∠B＝∠C，∠DEC＝∠B （小前提）

∴∠DEC＝∠C． （结论）

∵三角形中等角对等边． （大前提）

又∵△DEC中有∠DEC＝∠C， （小前提）

∴DE＝DC． （结论）

∵两条线段若分别和第三条相等，那么这两线段相等． （大前提）

又∵AB＝DE，DE＝DC （小前提）

∴AB=DC． （结论）

10．证：函数)(xfy若满足：在给定区间内任取自变量的两个值x1、x2，若x1＜x2，则有

)(1xf＜)(2xf，则)(xfy在该给定区间内是增函数． （大前提）

任取x1、x2∈（－∞，1］，且x1＜x2，则

f(x1)－f(x2)＝（－x12+2x1）－（－x22+2x2）＝（x2－x1）（x1+x2－2）

又∵x1＜x2≤1，∴x2－x1＞0，x1+x2＜2，即x1+x2－2＜0，

∴f(x1)－f(x2)＝（x1－x2）（2－（x1+x2））＜0，即f(x1) ＜f(x2) ． （小前提）

∴函数f(x)=－x2+2x在［1，+∞］上是减函数． （结论）

11．证：任取x1、x2∈［1，+∞］，且x1＜x2，则