不确定线性系统新的稳定性准则

第

37卷　第

5期2009年

9月河南师范大学学报(自然科学版)

JournalofHenanNormalUniversity(

NaturalScience)　

Vol.37　

No.5

Sept.2009

文章编号

:1000-2367(

2009)

05-0011-03

不确定线性时滞系统新的鲁棒稳定性分析

陈永刚

,白春阳

(河南科技学院数学系

,河南新乡

453003)

摘　要

:

考虑了一类含有时变时滞的不确定线性系统的鲁棒稳定性问题

.基于新构造的

Lyapunov函数和自

由权矩阵方法

,得到了较小保守的时滞相关的稳定性准则

.数值例子说明了所得结果的有效性和较小保守性

.

关键词

:

线性系统

;稳定性

;时变时滞

;线性矩阵不等式

中图分类号

:

TP273文献标识码

:

A

在许多实际系统中

,时滞现象是经常存在的

.时滞的存在往往会导致系统的不稳定性和系统性能变差

,

因此在过去

20年内

,时滞系统的稳定性分析和控制综合问题受到很多学者关注[1-5]

.通过利用新的

Lya2

punov函数

,本文进一步考虑了含有不确定参数的线性时滞系统的鲁棒稳定性问题

.所构造的

Lyapunov函

数将充分利用系统状态

x(

t)

,x(

t-δ

1(

t))

,x(

t-h(

t))

,x(

t-δ

2(

t))和

x(

t-h)的信息

.而且为了减小可能

的保守性

,引入了自由权矩阵来表示

x(

t)

,x(

t-δ

1(

t)

,x(

t-h(

t))

,x(

t-δ

2(

t)和

x(

t-h)之间的关系

.

所得结果用线性矩阵不等式表示

,该结果能很好的用

Matlab中的

LMI工具箱求解

.最后

,两个数值例子

说明了所得的稳定性准则改进了文献

[4

-5

]中的结果

.

1　问题描述

考虑如下一类含有时变时滞的不确定线性系统

:

󰂻

x(

t)

=(

A+Δ

A)

x(

t)

+(

B+Δ

B)

x(

t-h(

t))

,t>0

;x(

s)

=φ

(

s)

,Π

s∈

[-h,0

],(1)

其中

x(

t)∈

Rn是系统状态向量

,A,B是具有相应维数的已知实常矩阵

,φ

(

t)是初始状态函数

,h(

t)是时变

时滞且满足

非线性控制系统的稳定性分析

1. 引言

非线性控制系统在工程领域中广泛应用，具有复杂性和不确定性。稳定性是评估非线性控制系统性能的关键指标。因此，稳定性分析是设计和评估非线性控制系统的重要环节。

2. 线性稳定性分析方法

在介绍非线性稳定性分析之前，我们首先回顾线性稳定性分析的方法。线性稳定性分析是基于系统的线性近似模型进行的。常用方法包括传递函数法、状态空间法和频域法。这些方法通常基于线性假设，因此在非线性系统中的适用性有限。

3. 动态稳定分析方法

为了从动态的角度描述非线性系统的稳定性，研究人员引入了基于动态系统理论的非线性稳定性分析方法。其中一个重要的方法是利用Lyapunov稳定性理论。

3.1 Lyapunov稳定性理论

Lyapunov稳定性理论是非线性稳定性分析中常用的工具。该理论基于Lyapunov函数，用于判断系统在平衡点附近的稳定性。根据Lyapunov稳定性理论，系统在平衡点附近是稳定的，如果存在一个连续可微的Lyapunov函数，满足两个条件：首先，该函数在平衡点处为零；其次，该函数在平衡点的邻域内严格单调递减。根据Lyapunov函数的特性，可以判断系统的稳定性。

3.2 构建Lyapunov函数

对于非线性系统，构建合适的Lyapunov函数是关键。常用的方法是基于系统的能量、输入输出信号或者状态空间方程。通过选择合适的Lyapunov函数形式，可以简化稳定性分析的过程。

4. 永续激励法 (ISS)

除了Lyapunov稳定性理论外，ISS也是非线性系统稳定性分析中常用的方法。永续激励法是基于输入输出稳定性的概念，通过分析系统输入输出间的关系来评估系统的稳定性。

5. 李亚普诺夫指数

在某些情况下，Lyapunov稳定性理论和ISS方法无法提供准确的稳定性分析结果。这时，可以通过计算系统的Liapunov指数来评估系统的稳定性。李亚普诺夫指数可以被视为非线性系统中线性稳定性的推广。

第３４卷第３期　

２０１３年６月　通化师范学院学报（自然科学）　

ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＴＯＮＧＨＵＡ　ＮＯＲＭＡＬ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　Ｖｏ１．３４　Ｎｏ３　

Ｊｕｎ．２０１３　

不确定中立型系统的时滞相关稳定性　

任建功　

（广东培正学院基础部，广东广州５１０８３０）　

时滞现象广泛的存在于许多实际动力系统中，　

系统的不稳定或很差往往是由于时滞现象的存在，　

从而对时滞系统的研究具有重要的理论和实际意　

义．有许多的文献¨　对中立型系统的稳定性进行　

了广泛深人的研究，尤其是系统的稳定性问题，成为　

了研究的关键，并且取得了很大的进步　．而中立　

型时滞系统稳定性主要又是围绕时滞稳定性判断方　

法以及降低系统的保守性来开展．　

本文主要研究带有参数的不确定中立型系统的　

时滞相关稳定性的判断方法，构造Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数，　

引入一个自由权矩阵　Ｊ，得到了具有较低保守性的　

不确定中立型系统时滞相关稳定性判断依据，该判　

据降低了系统的保守性．　

１　描述问题　

对于下面的不确定时滞中立型系统　

ｆ　（￡）一Ｃ　（ｔ—ｈ）＝（Ａ＋△Ａ（　））　（ｔ）＋　

｛（　＋ａＢ（‘））　（￡一ｈ），　＞０　（１）　

（ｔ）＝西（ｔ），ｔ∈［一ｈ，０］　

其中　（　）Ｅ　Ｒ　是状态向量，矩阵Ａ，８，Ｃ∈　是　

合适维数的常数矩阵，　

［△Ａ（ｔ）ＡＢ（ｔ）］＝ＤＦ（￡）［Ｅ　Ｅ６］，　

Ｄ，Ｅ　，Ｅ　是具有合适维数的常数矩阵，而Ｆ（￡）为未　

知的时变矩阵，且满足　

Ｆ　（　）Ｆ（　）　，，Ｖ　ｔ＞０．　引理１¨　对具有适当维数的任意矩阵Ｑ＝　

ＱＴ，Ｅ，Ｈ对所有满足Ｆ　（￡）Ｆ（ｔ）≤，自勺矩阵Ｆ（ｔ），矩　

阵不等式　

Ｑ＋胛（ｔ）Ｅ＋Ｅ　Ｆ　（ｔ）矿＜０　

的充分必要条件是对任意的常数　＜０，都有下述　

矩阵不等式成立　

Ｑ＋　一　ＨＨ　＋　Ｅ　Ｅ＜０．　

引理２　。　对于任意对称正定矩阵Ｑ∈Ｒ　，　

当有７＞０时，向量函数∞：［一　，０］　Ｒ　有下列积　

分，那么　

ｆ∞　（卢）Ｑｗ（ｆ１）　

第３２卷第４期　２０１１年ｌ２月　渤海大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｂｏｈａｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖｏｌ｜３２．Ｎｏ．４　Ｄｅｃ．２０１１　对带有区问时滞的不确定系统的稳定性分析　孙静　，于　博　，苏亚坤　，陈　兵　（１．渤海大学数理学院，辽宁锦州１２１０１３；２．青岛大学复杂性科学研究所，山东青岛２６６０７１）　摘　要：研究了带有区间时滞的不确定系统的稳定性问题。文中通过构造恰当的Ｌｙａｐｕｎｏｖ　泛函，利用自由权矩阵等方法，以线性矩阵不等式的形式给出了稳定性的最终结论。　关键词：线性矩阵不等式（ＬＭＩ）；自由权矩阵；不确定系统；时滞；稳定性　中图分类号：０２３１．１　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７３—０５６９（２０１１）０４—０３０４—０５　０　引言　在控制系统中，时滞¨Ｉ２　是普遍存在的现象。在过去的几十年里，众多学者对线性时滞系统的稳定或　镇定问题进行了研究，例如文献［３—６］研究了线性时变系统的稳定性问题；文献［７］研究了不确定系统的　稳定性问题；文献［８—９］研究了不确定系统的镇定问题；文献［１０—１２］研究了带有区问时滞的线性系统　的鲁棒稳定性和日　控制问题；文献［１３］研究了具有混合时滞的不确定中立系统的鲁棒稳定性问题，文献　［１４］研究了带有区间时滞的线性系统的稳定性问题等等。本文在以上文献的基础上近一步研究了带有　不确定性的区间时滞系统的稳定性问题，将其理论结果进一步扩大，并同样以线性矩阵不等式的形式给出　了最终结论　１　问题描述　考虑下面带有区间时滞的不确定线性系统：　（ｔ）＝（Ａ＋△　（ｔ））　（ｔ）＋（Ａ　＋△　ｄ（ｔ））　（ｔ—ｄ（ｔ）），ｔ＞０　（１）　（ｔ）＝咖（ｔ），ｔ　［一ｈ２，０］　（２）　其中　（ｔ）∈Ｒ　表示状态向量，Ａ，Ａ　是已知的具有适当维数的参数矩阵△Ａ（ｔ），△Ａ　（ｔ）表示系统的不确　定量，满足　△Ａ（ｔ）＝ＤＦ（ｔ）Ｅ１，△Ａｄ（ｔ）＝ＤＦ（ｔ）Ｅ２　（３）　其中Ｄ，　。，　是具有适当维数的实值矩阵，Ｆ（ｔ）是未知矩阵，具有性质：Ｉｌ　Ｆ（ｔ）Ｉｌ≤１。　（　）∈Ｃｏ表示初　值函数，时滞ｄ（ｔ）是时变的连续函数，且满足　ｈ１≤ｄ（ｔ）≤ｈ２，ｄ（　）≤　（４）　其中０≤　１＜ｈ２，　是常数。　引理１．１Ｉ　８）　假设Ｑ，Ｈ，Ｅ，Ｒ是具有适当维数的实矩阵，其中Ｑ＝Ｑ　，Ｒ＝Ｒ　＞０，且对所有的Ｆ满足　ＦＦ　≤Ｒ，则　Ｑ＋ＨＦＥ＋Ｅ　Ｆ　Ｈ　＜０．　成立，当且仅当存在　＞０，使得　收稿日期：２０１１—１０—１６．　基金项目：辽宁省自然科学基金项目（Ｎｏ：６１０７４００８）．