线性系统的稳定性分析
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第三章 线性系统的稳定性分析
3.1 概述
如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的。否则，系统不稳定。一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不可能付诸于工程实施的。因此，稳定性问题是系统控制理论研究的一个重要课题。对于线性系统而言，其响应总可以分解为零状态响应和零输入响应，因而人们习惯分别讨论这两种响应的稳定性，从而外部稳定性和内部稳定性的概念。
应用于线性定常系统的稳定性分析方法很多。然而，对于非线性系统和线性时变系统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至是不可能的。李雅普诺夫(A.M.
Lyapunov)稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。
本章首先介绍外部稳定性和内部稳定性的概念及其相互关系，然后介绍李雅普诺夫稳定性的概念及其判别方法，最后介绍线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析。
虽然在非线性系统的稳定性问题中，Lyapunov稳定性分析方法具有基础性的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，却并不是直截了当的。技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要。在本章中，对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。
3.2 外部稳定性与内部稳定性
3.2.1 外部稳定：
考虑一个线性因果系统，如果对一个有界输入u（t），即满足条件：
1()utk
的输入u（t），所产生的输出y（t）也是有界的，即使得下式成立：
2()ytk
则称此因果系统是外部稳定的，即BIBO（Bounded Input Bounded Output）稳定。
注意：在讨论外部稳定性的时候，我们必须要假定系统的初始条件为零，只有在这种假定下面，系统的输入—输出描述才是唯一的和有意义的。
系统外部稳定的判定准则
系统的BIBO稳定性可根据脉冲响应矩阵或者传递函数矩阵来进行判别。 a) 时变情况的判定准则
对于零初始条件的线性时变系统，设(,)Gt为脉冲响应矩阵，则系统BIBO稳定的充要条件是，存在一个有限常数k，使对于一切0[,),(,)ttGt的每一个元0(,)(1,2,.......;1,2,.....)(,)ijtijtgtiqjpgtdk有
即，(,)Gt是绝对可积的。
b) 定常情况下的判定准则：
对于零初始条件的线性定常系统，初始时刻t0=0,G(t)为脉冲响应矩阵，G(s)为传递函数矩阵，则系统BIBO稳定的充要条件是，存在一个有限常数k，G(t)的每一个元0()(1,2,.......;1,2,.....)()ijtijtgtiqjpgtdk有或者等价的：
当G(s)为真的有理分式函数矩阵时，G(s)的每一个传递函数g（s）的所有零极点都具有负实部。
对于一个定常线性系统)()()()()()(ttttttDuCxyBuAxx，其传递函数矩阵为：DBAICAIDBAICG)](Adj[)det(1)()(ˆ1ssss。因此，只要满足系统的全部特征根具有负实部根，则系统是BIBO稳定的。
3.2.2 内部稳定性
对于线性定常系统.XAXBuyCXDu＝＋，＝＋如果外部输入u（t）为0，初始状态x0为任意，且由x0引起的零输入响应t0;0)0（；；x满足：
limt0;0)0x0（；；x
则称系统实内部稳定的，或称为是渐进稳定的。
判定准则：
对于系统)()(ttAxx，其解为)0()(xxAtet。因此，对于上面所列的状态空间表达，它的渐进稳定的充分必要条件是矩阵A的所有特征值具有负实部。
3.2.3 内部稳定性和外部稳定性之间的关系
对线性定常系统的内部稳定和外部稳定的等价关系，得出如下结论：
1. 线性定常系统是内部稳定的，则其必为BIBO稳定的。
2. 线性定常系统是BIBO稳定的，不一定就是内部稳定的。
3. 线性定常系统是能控制和能观测的，则其内部稳定性和BIBO稳定是等价的。 内部
稳定 外部
稳定
图3.1 外部稳定与内部稳定的关系
3.3 Lyapunov意义下的稳定性问题
对于一个给定的控制系统，稳定性分析通常是最重要的。如果系统是线性定常的，那么有许多稳定性判据，如Routh-Hurwitz稳定性判据和Nyquist稳定性判据等可资利用。然而，如果系统是非线性的，或是线性时变的，则上述稳定性判据就将不再适用。
Lyapunov第二法（也称Lyapunov直接法）是确定非线性系统和线性时变系统的最一般的方法。反过来，这种方法也可适用于线性定常系统的稳定性分析。李雅普诺夫稳定分析法是确定时变系统和非线性系统的稳定性更一般的方法，这种方法可以在无需求解状态方程的条件下，确定系统的稳定性。
3.3.1 基本概念
a) 平衡状态
忽略输入后，非线性时变系统的状态方程：
),(txfx 为n维状态向量；t为时间变量；),(txf 为n维函数），其展开式为：
12(,,,,)iinxfxxxt ni,,1
如果对于所有t，满足
0),(txfxee
的状态xe称为平衡状态（又称为平衡点）。如果系统是线性定常的，也就是说Axtxf),(，则当A为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态；当A为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。对于非线性系统，可有一个或多个平衡状态，这些状态对应于系统的常值解（对所有t，总存在exx）。
任意一个孤立的平衡状态（即彼此孤立的平衡状态）或给定运动)(tgx都可通过坐标变换，统一化为扰动方程),~(~~txfx之坐标原点，即0),0(tf或0ex。在本章中，除非特别申明，我们将仅讨论扰动方程关于原点(0ex)处之平衡状态的稳定性问题。这种“原点稳定性问题”由于使问题得到极大简化，而不会丧失一般性，从而为稳定性理论的建立奠定了坚实的基础，这是Lyapunov的一个重要贡献。 控制系统李雅普诺夫意义下的稳定性是关于平衡状态的稳定性，反映了系统在平衡状态附近的动态行为。鉴于线性系统只有一个平衡状态，平衡状态的稳定性能够表征整个系统的稳定性。对于具有多个平衡状态的非线性系统来说，由于各平衡状态的稳定性一般并不相同，故需逐个加以考虑，还需结合具体初始条件下的系统运动轨迹来考虑。
b) 李雅普诺夫稳定性
如果对于任意小的 > 0，均存在一个0),(0t，当初始状态满足exx0时，系统运动轨迹满足limextxtx),;(00，则称该平衡状态xe 是李雅普诺夫意义下稳定的。
设系统初始状态x0位于平衡状态xe为球心、半径为δ的闭球域()S内，如果系统稳定，则状态方程的解),;(00txtx在t的过程中，都位于以xe为球心，半径为ε的闭球域()S内。
c) 一致稳定性
通常δ与、t0 都有关。如果δ与t0 无关，则称平衡状态是一致稳定的。定常系统的δ与t0 无关，因此定常系统如果稳定，则一定是一致稳定的。
d) 渐进稳定性
系统的平衡状态不仅具有李雅普若夫意义下的稳定性，且有
00lim(;,)0etxtxtx
称此平衡状态是渐近稳定的。这时，从()S 出发的轨迹不仅不会超出()S，且当t时收剑于xe或其附近。
c) 大范围稳定性
当初始条件扩展至整个状态空间，且具有稳定性时，称此平衡状态是大范围稳定的，或全局稳定的。此时，，)(S，x。对于线性系统，如果它是渐近稳定的，必具有大范围稳定性，因为线性系统稳定性与初始条件无关。非线性系统的稳定性一般与初始条件的大小密切相关，通常只能在小范围内稳定。
d) 不稳定性
不论δ取得得多么小，只要在()S内有一条从x0 出发的轨迹跨出()S，则称此平衡状态是不稳定的。
实际上，渐近稳定性比纯稳定性更重要。考虑到非线性系统的渐近稳定性是一个局部概念，所以简单地确定渐近稳定性并不意味着系统能正常工作。通常有必要确定渐近稳定性的最大范围或吸引域。它是发生渐近稳定轨迹的那部分状态空间。换句话说，发生于吸引域内的每一个轨迹都是渐近稳定的。
在控制工程问题中，总希望系统具有大范围渐近稳定的特性。如果平衡状态不是大范围渐近稳定的，那么问题就转化为确定渐近稳定的最大范围或吸引域，这通常非常困难。然而，对所有的实际问题，如能确定一个足够大的渐近稳定的吸引域，以致扰动不会超过它就可以了。
图3.2 （a）稳定平衡状态及一条典型轨迹
（b）渐近稳定平衡状态及一条典型轨迹
（c）不稳定平衡状态及一条典型轨迹
图3.2（a）、(b)和(c)分别表示平衡状态及对应于稳定性、渐近稳定性和不稳定性的典型轨迹。在图3.2(a)、(b)和(c)中，域S（）制约着初始状态0x，而域S(）是起始于0x的轨迹的边界。
注意，由于上述定义不能详细地说明可容许初始条件的精确吸引域，因而除非S()对应于整个状态平面，否则这些定义只能应用于平衡状态的邻域。
此外，在图5.2（c）中，轨迹离开了S(），这说明平衡状态是不稳定的。然而却不能说明轨迹将趋于无穷远处，这是因为轨迹还可能趋于在S(）外的某个极限环（如果线性定常系统是不稳定的，则在不稳定平衡状态附近出发的轨迹将趋于无穷远。但在非线性系统中，这一结论并不一定正确）。
上述各定义的内容，对于理解本章介绍的线性和非线性系统的稳定性分析，是最低限度的要求。注意，这些定义不是确定平衡状态稳定性概念的唯一方法。实际上，在其他文献中还有另外的定义。
对于线性系统，渐近稳定等价于大范围渐近稳定。但对于非线性系统，一般只考虑吸引区为有限的定范围的渐近稳定。
最后指出，在经典控制理论中，我们已经学过稳定性概念，它与Lyapunov意义下的稳定性概念是有一定的区别的，例如，在经典控制理论中只有渐近稳定的系统才称为稳定的系统。在Lyapunov意义下是稳定的，但却不是渐近稳定的系统，则叫做不稳定系统。两者的区别与联系如下表所示。
经典控制理论(线性系统） 不稳定 (Re(s)>0) 临界情况 (Re(s)=0) 稳定 (Re(s)<0)
Lyapunov意义下 不稳定 稳定 渐近稳定
3.3.2 李雅普诺夫第一法
李雅普诺夫第一法是通过系统矩阵A的特征值来判断系统的稳定性的，其主要内容:
(1)用一次近似表达式表达状态方程，即.XAX，假如系统矩阵Ade全部特征值具有负实部，则系统在平衡点处是稳定的，而且稳定性与高阶导数无关。
（2）如果在一次近似式的系统矩阵A的特征值中至少有一个具有正实部时，无论高阶导数的情况如何，系统在平衡点处不稳定。
（3）如果在一次近似式的系统矩阵A的特征值中有零特征值，系统的稳定性要有高阶导数决定。当高阶导数为零时，系统处于临界稳定状态。
3.3.3 标量函数的正定性定义
正定性：标量函数()Vx在域S中对所有非零状态)0(x有0)(xV且0)0(V，称()Vx在域S内正定。如2221)(xxxV是正定的。
负定性：标量函数()Vx在域S中对所有非零x有0)(xV且0)0(V，称()Vx在域S内负定。如)()(2221xxxV是负定的。如果()Vx是负定的，-()Vx则一定是正定的。
