线性时不变系统的不确定性分析

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天津大学硕士学位论文Ｙ８４８９８７

线性时不变系统的不确定性分析

ＡｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅＵｎｃｅｒｔａｉｎｔｙｆｏｒＬＴＩＳｙｓｔｅｍｓ

（申请硕士学位）

学科专业：控制理论与控制工程

研究生：肖朝霞

指导教师：王先来教授

天津大学电气与自动化工程学院

二零零五年一月摘要

本文主要工作是研究不确定系统的边界问题，对加／乘摄动描述不确定性，互质分解的方法描述不确定性，间隙度量的方法描述不确定性进行详细介绍，并对

互质分解的方法和间隙度量的方法描述不确定行进行了比较，利用这三种方法求

出了最大摄动边界。加／乘不确定性是将摄动表示成传函的形式，要求摄动系统和

标称系统有相同数目的闭右半平面的极点。互质分解的方法是利用标称系统和摄

动系统的互质分解形式进行最大摄动边界求解，不要求摄动系统和标称系统有相

同数目闭右半平面的极点，但利用该方法更简洁。间隙度量的方法是用来描述标

称对象的图空间和摄动对象的图空间之间的距离，这种方法既能描述稳定系统也能描述不稳定系统之间的距离。最大摄动范围的确定使求最优鲁棒控制器有了一

个明确的指标。

本文的第二个工作是对固定控制器稳定的被控对象所允许的的摄动范围进行了研究，给出了对摄动问题不同描述的固定控制器稳定的摄动对象所允许摄动边

界求法，并对各种方法进行了比较，指出了优缺点，还给出了相应的仿真结果。这可以应用到实际中，当设计好控制器后，即控制器固定时，可以知道被控对象

摄动在不超过固定控制器摄动边界时控制器参数不用调节。

最后仿真验证了本文结论的正确性和实用性。

关键词：不确定性标称模型摄动系统互质分解

加性／乘性摄动间隙度量

稳定边界Ａｂｓｔｒａｃｔ

ＴｈｅｍａｉｎｃｏｎｔｅｎｔｏｆｔｈｉｓＰａＤｅｒｉｓｔｏｓｔｕｄｙｔｈｅｓｔａｂｉｌｉｔｙｍａｒｇｉｎｏｆｕｎｃｅｒｔａｉｎｓｙｓｔｅｍｓ．Ｔｈｅｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙｂｙｔｈｅａｄｄｉｔｉｖｅ／ｍｕｌｆｉｐｌｉｃａｔｉｖｅｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ．ｔｈｅＣＣ。ｐｒｉｍｅｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎａｎｄｔｈｅｇａｐｍｅｔｒｉｃｈａｓｂｅｅｎｆｕｌｌｙｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ．ＴｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｇａＤｍｅｔｒｉｃａｎｄｃｏｐｒｉｍｅｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎｉＳａｌＳＯｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ．Ａｎｄｔｈｅｍａｘｉｍａｌｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｓｔａｂｉｌｉｔｙｍａｒｇｉｎｉｓｓｏｌｖｅｄｂｙｔｈｅｓｅｔｈｒｅｅｍｅｔｈｏｄｓ．Ｔｈｅａｄｄｉｔｉｖｅ／ｍｕｌｔｉｒ｝ｌｉｃａｔｉｖｅｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙｃａｒｌｂｅｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄｂｙｔｈｅｔｒａｉｌｓｆｅｒｆｕｎｃｔｉｏｎｆｏｌ＇ｉｎ、ａｎｄｉｔｒｅｑｕｉｒｅｓｔｈｅｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｐｌａｎｔａｎｄｔｈｅｎｏｍｉｎａｌｐｌａｎｔｈａｖｅｔｈｅｓａｍｅｎｕｍｂｅｒｏｆｃｌｏｓｅｄｆｉｇｈｔｐｌａｎｅｐｏｌｅｓ．Ｔｈｅｃｏｐｒｉｍｅｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎｕｓｅｔ１１ｅｃｏｐｒｉｍｅｆａｃｔｏｒｓｏｆｔｈｅｎｏｍｉｎａｌｐｌａｎｔａｎｄｔｈｅｃｏｐｒｉｍｅｆａｃｔｏｒｓｏｆｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｐｌａｎｔｔｏａｃｑｕｉｒｅｔｈｅｔｈｅｍａｘｉｍａｌｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｓｔａｂｉｌｉｔｙｍａｒｇｉｎ．Ｉｔｄｏｅｓｎ’ｔｒｅｑｕｉｒｅｔｈｅｎｏｍｉｎａｌｐｌａｎｔａｎｄｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｐｌａｎｔｈａｖｅｔｈｅｓａｍｅｎｕｍｂｅｒｏｆｃｌｏｓｅｄｒｉｇｈｔｐｌａｎｅｐｏｌｅｓ，ｂｕｔｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄｉＳｍｏｒｅｃｏｎｃｉｓｅ．ＴｈｅｍｅｔｒｉｃｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｇｒａｐｈｓｐａｃｅｏｆｔｈｅｎｏｍｉｎａｌｐｌａｎｔａｎｄｔｈｅｇｒａｐｈｓｐａｃｅｏｆｔｈｅｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｐｌａｎｔｉＳｄｅｓｃｒｉｂｅｄｂｙｔｈｅＧａｐｍｅｔｒｉｃ．ＴｈｉｓｍｅｔｈｏｄＣａｌｌｄｅｓｃｒｉｂｅｂｏｔｈｔｈｅｍｅｔｒｉｃｏｆｔｌｌｅｓｔａｂｌｅｐｌａｎｔｓａｎｄｔｈｅｍｅｔｒｉｃｏｆｔｈｅｕｎｓｔａｂｌｅｐｌａｎｔｓ．Ｔｈｅｍａｘｉｍａｌｐｅｒｔｍ＇ｂａｔｉｏｎｓｔａｂｉｌｉｔｙｍａｒｇｉｎｇｉｖｅｓａｓｐｅｃｉｆｉｃｉｎｄｅｘｔｏｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｏｐｔｉｍａｌｒｏｂｕｓｔｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ．ＴｈｅｓｅｃｏｎｄｃｏｎｔｅｎｔｏｆｔｈｉｓＰａＤｅｌ＂ｉＳｔｏｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｔｈｅｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｓｔａｂｉｌｉｔｙｍａｒｇｉｎｏｆｔｈｅｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｐｌａｎｔｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄｂｙｔｈｅｆｉｘｅｄｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ．Ｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｓｔａｂｉｌｉｔｙｍａｒｇｉｎｏｆｔｈｅｆｉｘｅｄｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｉｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄｗｈｅｎｔｈｅｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙｂｙｔｈｅａｄｄｉｔｉｖｅ／ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ，ｔｈｅｃｏｐｒｉｍｅｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ．Ａｎｄｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｍｅｔｈｏｄｓａｒｅｃｏｍｐａｒｅｄ．Ｔｈｉｓｃａｎｂｅａｐｐｌｉｅｄｉｎｔｏｐｒａｃｔｉｃｅ．ＷｈｅｎｔｈｅｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｉＳｄｅｓｉｇｎｅｄ，ｎａｍｅｌｙｗｈｅｎｔｈｅｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｉＳｆｉｘｅｄ，ｔｈｅｐａｒａｍｅｔｅｒｓｏｆｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｎｅｅｄｎ’ｔｂｅａｄｊｕｓｔｅｄｉｆｔｈｅｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｈａｖｅｎｏｔＳＵｒｐａｓｓｔｈｅｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｓｔａｂｉｌｉｔｙｍａｒｇｉｎｏｆｔｈｅｆｉｘｅｄＣＯｎｔｒｏｌｌｅｒ．Ｌａｓｔ，ｔｈｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓｈａｖｅｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｄｔｈｅｖａｌｉｄｉｔｙａｎｄｐｒａｃｔｉｃａｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｏｆｔｈｉｓｐａｐｅｒ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：

ＵｎｃｅｒｔａｉｎｔｙＮｏｍｉｎａｌＰｌａｎｔＰｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎＰｌａｎｔＣｃ）ｐｒｉｍｅｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ

Ａｄｄｉｔｉｖｅ／ＭｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅＰｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎＧａｐＭｅｔｒｉｃＳｔａｂｉｌｉｔｙ

Ｍａｒｇｉｎ独创性声明

本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的

研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得盘洼盘茔或其他教育机构的学位或证

书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中

作了明确的说明并表示了谢意。

学位论文作者虢翻暇签字髋彬年／月他日

学位论文版权使用授权书

本学位论文作者完全了解基鲞盘堂有关保留、使用学位论文的规定。

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（保密的学位论文在解密后适用本授权说明）

学位论文作者签名导师繇纱兰，髦

签字日期：卯移年，月／口日

签字日期砂ｊ啤ｆ月侈日第一章绪论

第一章绪论

本章首先介绍了本论文选题的背景和意义，然后对鲁棒控制中求摄动对象范

围的Ｈ。方法和间隙度量方法进行介绍，最后对论文的主要工作、创新点和内容

安排作了说明。

１．１问题产生的背景和意义

自动控制的目的是设计一个控制装置使得被控对象以预期的目标运行，绝大

部分自动控制系统都是基于反馈理论来进行设计的。经典控制理论系统设计通常需要已知被控对象的精确模型，（包括模型结构和所含参数值）。现代控制理论是

经典控制理论的发展，是以状态空间为基础的，但是它对数学模型的要求更加精

确。然而，在实际问题中，由于被控对象的复杂性，我们难以得到其精确的数学

模型。通常情况下，系统模型的建立遵循如下程序：１．实际的物理系统；２．理想

的物理模型ｊ３．理想的数学模型ｊ４．简化的数学模型。最后我们得到的一般是用

低阶的线性模型来代替高阶的非线性模型。这样，系统建模势必会引入一定程度的不确定性。还有，在控制系统运行过程中，也会出现由于环境变化，元件老化，

及测量误差等过程引起的系统参数不确定性。另外，系统不确定性也可能来自外

界扰动的多样性，例如，控制系统中传感器的噪声和外部扰动分别来自系统本身和系统所处的环境，它们往往是一类未知的扰动信号。这样不确定性必然会对系

统的稳定性及稳态性能造成影响，分析在存在不确定性的情况下，系统的稳定性

及稳态性能便成为必需要解决的问题。这里的稳定性分析是指设计的控制器除了

能稳定简化后建立的数学模型，即标称模型，还能稳定在一定摄动范围内的摄动系统。本文对这个可允许的摄动范围大小进行了分析，分为标称模型可允许的最

大摄动范围分析和控制器固定（控制器已知）时被控对象可允许的摄动范围分析

两种。对标称模型可允许的最大摄动范围的分析，可以给设计人员在设计控制器时一个设计的定量指标：而对固定控制器稳定的摄动对象可允许的摄动范围分

析，可以让设计人员在设计好控制器后，知道摄动在什么范围内，控制器不用调

节仍可稳定摄动对象，具有一定深度的理论意义和应用价值。

１．２Ｈ。鲁棒控制与间隙度量

鲁棒控制理论所要研究的问题不外乎两大方面，即分析和综合。在分析方面

要研究的问题是：当系统存在各种不确定性及外加干扰时，系统性能变化的分析，

包括系统的动态性能与稳定性等。在综合方面要研究的是：采用什么控制结构、

用什么设计方法可保证控制系统具有更强的鲁棒性，包括如何对付系统中存在的第一章绪论

不确定性和外来干扰的影响。分析和综合当然是相互影响和依存的，但也各有特

点。研究鲁棒控制的方法很多，各有特色，近年来发展的较为深入和完善的主要

有两大潮流。一是以分柝系统性能特别是稳定性为基础的系统鲁棒性分析和设计，其中包括ｖＬＫｈ撕ｔｏｎｏｖｌ９７８年提出的Ｈｕｒｗｉｔｚ多项式四项定理及后来发展

起来的棱边定理等Ⅲ，ＪＣＤｏｙｌｅ等人发展起来的结构奇异值分析方法【２］，ＶＭ

Ｐｏｐｏｖ稳定性判据的应用【３］，等等。另一是以某种性能指标的优化为设计依据的

控制理论，其中当然首推ＧＺａｍｅｓ【４１１９８１年开创的Ｈ。控制理论，这理论目前己

发展得较成熟，形成了一整套完整的理论体系。在过去的二十多年中，出现了许

多优秀的方法，例如基于Ｙｏｕｌａ参数化与模型匹配理论的Ｎｅｖａｎｌｉｎｎａ．－Ｐｉｃｋ插值方

法【５】：１９８７年发展起来得２－－Ｒｉｃｃａｔｉ方程方法ｆ６］，事实上灵敏度极小化问题、鲁棒

镇定问题、混合灵敏度优化问题、模型匹配问题等均可统一于标准Ｈ。控制问题

的框架上，还有后来发展起来的线性矩阵不等式（ＬＭＩ）方法【７】等等。这些方法都

可以很方便的处理Ｈ。控制问题。总之Ｈ。控制理论无论是从涵盖面还是从理论

方法上均己形成了一个丰富的体系。

间隙度量是一种不同与范数度量的系统度量概念，有着较为广泛而直观的优

点。间隙度量的概念最早是由抽象数学中发展出来的，１９３５年Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ提出两

个集合之间的距离概念，接着Ｎｅｗｂｕｒｇｈ提出一个对于运算元的拓扑，企图去描

绘两运算元之间有多接近。１９４７年俄国人Ｋｒｅｉｎ和Ｋｒａｓｏｓｅｌｓｋｉ正式提出间隙度

量这个名词。后来Ｂｅｒｋｓｏｎ建立了Ｎｅｗｂｕｒｇｈ提出的度量方式与间隙度量之间的恒等关系吼１９８０年Ｚａｍｅｓ［９］和Ｅ１．．Ｓａｋｋ删１０１首先将间隙度量引入控制系统中，