线性时不变系统的稳定性分析

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浅谈线性时不变系统的判断

作者：***

来源：《数码设计》2019年第04期

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摘要：对线性时不变系统的认识和掌握是学好《信号与系统》这门核心专业的基础和关键。本文探讨如何判断一个系统是否为线性时不变系统。

关键词：线性；时不變；系统；判断

中图分类号：TP13 文献标识码：A 文章编号：1672-9129（2019）04-0039-02

Anstract： Understanding and mastering linear time-invariant systems is the foundation and key

to learn the core specialty of Signal and Systems. This paper discusses how to judge whether a system

is a linear time-invariant system.

Key words： linear； time-invariant； system； judgment

引言：

线性系统是指具有线性特性的系统。时不变系统是指一个系统的输出响应与输入激励的关系不随输入激励作用于系统的时间不同而改变，简而言之，构成系统的参数不会随时间的变化而变化。[1-2]

1 线性时不变系统的判断依据

3 结束语

对于时不变的概念和判断初学者比较容易理解和判断，只要能确定构成系统的元件参数不随时间变化而变化，即可断定该系统为时不变系统。对于线性系统，有的初学者对为什么要同时满足比例性和可加性提出了质疑或困惑，因为比例性即为输入激励乘上一个系数，输出响应也乘上相同的系数进行变化，又因为乘法可以转换为加进行运算，他们认为满足可加性的系统也都会满足比例性。[5]那么，在判断一个系统是否为线性系统时，为什么还要加上是否满足比例性（齐次性）这一条件？有什么样的系统只满足可加性而不满足比例性，又有什么样的系统只满足比例性而不满足可加性呢？笔者在此举两个例子加以说明。例如 满足可加性但不满足比例性， 满足比例性但不满足可加性。这说明可加性与比例性具有相对的独立性，一个线性系统必须同时满足这两个性质，这两个条件是一个系统成为线性系统的充要条件。此外系统的线性与时不变性是相互独立的两条性质，没有必然联系。

实验六 离散线性时不变系统分析

一、 实验目的

1. 掌握离散LSI系统的单位序列响应、单位阶跃响应和任意激励下响应的MATLAB求解方法。

2. 掌握离散LSI系统的频域分析方法；

3. 掌握离散LSI系统的复频域分析方法；

4. 掌握离散LSI系统的零极点分布与系统特性的关系。

二、实验原理及方法

1. 离散LSI系统的时域分析

描述一个N阶线性时不变离散时间系统的数学模型是线性常系统差分方程，N阶LSI离散系统的差分方程一般形式为

)()(00inxbknyaMiiNkk （6.1）

也可用系统函数来表示

12001212120()()()()()1MiMiiMNNkNkkbzbbzbzbzYzbzHzXzazazazazaz （6.2）

系统函数()Hz反映了系统响应和激励间的关系。一旦上式中ka，ib的数据确定了，系统的性质也就确定了。特别注意0a必须进行归一化处理，即01a。

对于复杂信号激励下的线性系统，可以将激励信号在时域中分解为单位序列或单位阶跃序列的线性叠加，把这些单元激励信号分别加于系统求其响应，然后把这些响应叠加，即可得到复杂信号作用于系统的零状态响应。因此，求解系统的单位序列响应和单位阶跃响应尤为重要。由图6-1可以看出一个离散LSI系统响应与激励的关系。

()hn()Hz()xn()Xz()()()YzXzHz()()*()ynxnhn

图6-1 离散LSI系统响应与激励的关系

(1) 单位序列响应（单位响应）

单位响应()hn是指离散LSI系统在单位序列()n激励下的零状态响应，因此()hn满足线性常系数差分方程(6.1)及零初始状态，即

00()()NMkikiahnkbni， (1)(2)0hh (6.3)

第２４卷第６期　２００６年ｌ２月　青海大学学报（自然科学版）　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｑｉｎｇｈａｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒｅ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　ｖ０１．２４　Ｎｏ．６　

Ｄｅｃ．　

线性时不变电路的稳定性分析　

牛燕炜　，杨永科２　

（１．青海民族学院计算机系，青海西宁８１０００７；２．黄河上游水电开发有限责任公司，青海黄南８１１９００）　

摘要：文中对不合受控源、含有受控源、运放等二阶及二阶以上电路的稳定性用劳思一赫维茨　

判据进行了分析判定，归纳出了分析ＬＴＩ电路稳定性的方法，并得出了具有一定参考价值的结　

论。　关键词：线性时不变；电路稳定性；网络函数；劳思一赫维茨判据　

中图分类号：ＴＭ１３１　文献标识码：Ａ　文章编号：１００６—８９９６（２００６）０６—００５２—０５　

Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｌｉｎｅａｒ　ｔｉｍｅ　ｉｎｖａｒｉａｎｔ　ｃｉｒｃｕｉｔ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　

ＮＩＵ　Ｙａｎ—ｗｅｉ　，ＹＡＮＧ　Ｙｏｎｇ．ｋｄ　

（１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ，Ｑｉｎｇｈａｉ　Ｎａｔｉｏｎａｌｉｔｉｅｓｃ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｘｉｎｉｎｇ　８１０００７，Ｃｈｉｎａ；　

２．Ｈｕａｎｇｈｅ　Ｈｙｄｒｏｐｏｗｅｒ　Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ　Ｃｏ　Ｉｔｄ，Ｈｕａｎｇｎａｎ　８１１９００，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，Ｒｏｕｔｈ—Ｈｕｒｗｉｔｚ　Ｃｒｉｔｅｒｉｏｒ　ｉｓ　ａｐｐｌｉｅｄ　ｔｏ　ｆｕｌｆｉｌ　ｓｙｎｔｈｅｓｉｚｅｄ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ａｎｄ　ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ　０ｆｔｈｅ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｓｅｃｏｎｄ　ｏｒｄｅｒ　ｏｒ　ｈｉｇｈｅｒ　ｏｒｄｅｒ　ｃｉｒｃｕｉｔ　ｗｉｔｈ　ｏｐｅｒａｔｉｏｎ　ａｍｐｌｉｆｉｅｒ　ａｎｄ　ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄ　ｓｏｕｌ￣ｅ　ｏｒ　

ｗｉｔｈｏｕｔ　ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄ　ｓｏｕｒｃｅ．Ａ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ＬＴＩ　ｃｉｒｃｕｉｔ　ｉｓ　ｇｏｔ　ａｎｄ　ｓｏｍｅ　ｕｓｅｆｕｌ　ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ　

随机过程的线性时不变性

随机过程是概率论中的一个重要概念，它描述了一系列随机事件的演化规律。而线性时不变性则是随机过程的一个重要性质，它在多个领域中都有广泛的应用。本文将着重介绍随机过程的线性时不变性，包括定义、性质、应用等方面。

一、定义

随机过程的线性时不变性是指在时间上平移或者缩放随机过程，其统计性质保持不变。具体而言，设X(t)为一个随机过程，若对于任意时间T，任意实数a和b，都有aX(t-T) + b具有与X(t)相同的统计性质，那么称X(t)具有线性时不变性。

二、性质

1. 均值和方差不变性：设X(t)具有线性时不变性，那么它的均值E[X(t)]和方差Var[X(t)]在时间平移或缩放下保持不变。

证明：由于均值和方差的定义都是对于随机变量的期望，因此只需证明E[aX(t-T)+b] = E[X(t)]和Var[aX(t-T)+b] = Var[X(t)]即可。根据线性时不变性的定义，有E[aX(t-T)+b] = aE[X(t-T)] + b，Var[aX(t-T)+b] =

a^2Var[X(t-T)]，由于X(t)具有相同的均值和方差，因此E[X(t)] =

E[X(t-T)]，Var[X(t)] = Var[X(t-T)]。

2. 相关性不变性：设X(t)具有线性时不变性，并且X(t)与X(t-T)的相关系数为ρ，则aX(t-T)+b与X(t)的相关系数也为ρ。 证明：设Y1 = X(t)与Y2 = X(t-T)，由相关系数的性质，有ρ =

Cov(Y1, Y2) / (σ(Y1)σ(Y2))，其中Cov(Y1, Y2)为Y1与Y2的协方差，σ(Y1)和σ(Y2)分别为Y1和Y2的标准差。根据线性时不变性的定义，有Y1 = X(t)，Y2 = X(t-T)，则aY2 + b = aX(t-T) + b，则Cov(Y1, aY2 +

b) = Cov(X(t), aX(t-T)+b) = aρ(σ(X(t))σ(X(t-T))，同时有σ(Y1) = σ(X(t))，σ(Y2) = σ(X(t-T))，因此ρ' = Cov(Y1, aY2 + b) / (σ(Y1)σ(aY2+b)) = aρ。