人教版 第26章《二次函数》小结与复习(2)

第26章 二次函数全章总结提升◆本章总结归纳（一）知识框架（二）重点难点突破1．函数图象的理解与应用易错点：函数图象的意义认识不表，它的性质、特征与函数图象联系不上，不能达到数形互助；突破点：加强对函数图象中点的坐标的意义认识，分析各点的坐标，理解y 随x 的变化情况，从而达到能直接根据图象说出二次函数的有关性质。

（如：增减性、极值、对称轴等）理解,,a b c 的值对抛物线2y ax bx c =++的影响，提高解题效率 2.抛物线2y ax bx c =++的特征与,,a b c 符号：,,a b c 决定开口方向0,0,a a >⎧⎨<⎩开口向上;开口向下.,,a b c 与b 决定对称轴位置,,a b a b ⎧⎨⎩同号,在轴左侧;异号,在轴右侧.c 决定抛物线与y 轴交点的位置0,0,0,c c c >⎧⎪=⎨⎪<⎩交点在y 轴的正半轴上;交点在原点;交点在y 轴的负半轴上. 易错点：以上关系不清楚，导致做题盲目，出错。

突破点：数形结合，变式训练，特别是,,a b c 与b 一走决定对称轴位置的理解与判定。

3．解析式之间的转化与解析式的求法。

易错点：①将2y ax bx c =++化成顶点式224()24b ac b y a x a a -=++ ②用待定系数法求解时，不能根据不同条件恰当地选取解析式。

突破点：①强调配方的步骤、配方的规律，注意恒等变形与检验。

②比较不同形式的解析式的优劣，应用的环境，加强对顶点式、交点式的理解，并能正确运用。

4．抛物线的平移规律，表达式的变化。

易错点：抛物线的移动，对解析式变化理解不透，不同方向的移动，到底是加还是减判断不清。

突破点：抓住顶点坐标的变化，熟记平移规律，左加右减，上加下减。

5．抛物线与x 轴交点情况。

易错点：此类题综合性较大，对应关系不很明确，隐含条件较多，极易出错。

突破点：抛物线与x 轴交点横坐标就是相应一元二次方程的两根，把交点的个数转化为方程。

人教版数学九年级上学期《二次函数》章节知识点归纳总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：（1）一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数。

（2）这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠0，而b c ，可以为零．二次函数的定义域(x)是全体实数．2. 二次函数 2y ax bx c =++ 的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． （2）a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．3. 二次函数解析式的几种形式（1）一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0） （2）顶点式：y=a(x-h)2+k [抛物线的顶点P （ h ，k ）]（3）交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)[仅限于与x 轴有交点A （x 1，0）和 B （x 2，0）的抛物线]其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的两个根，a ≠0. x 1,x 2 = (-b ±ac 4b 2-)/2a在三种形式的互相转化中，有如下关系:h= -b / 2a ； k=(4ac-b 2) / 4a ； x 1,x 2 = (-b ±ac 4b 2-) / 2a说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)；(2) 当h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点；(3) 如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax2；如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax2+k4.抛物线的性质（1）.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线 x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

二次函数(复习)知识结构:具体知识点:一、二次函数概念：形如（a≠0,a,b,c为常数）的函数叫x的二次函数。

二、二次函数的图象关系：三、二次函数的特性：（填表）巩固练习：一、基础练习：①二次函数的定义：⑴．下列函数中，二次函数的是（）⑵．当k= 时，函数为二次函数。

②二次函数的图像与性质：二次函数y=-x2+6x+3的图象开口方向顶点坐标为_________对称轴为_________当x= 时函数有值，为。

当x 时，y的值随x的增大而增大。

它是由y=-x2向平移个单位得到的，再向平移个单位得到的．③抛物线与x轴的交点个数：抛物线与x轴的交点有个，抛物线与x轴的交点有个，抛物线y=x2+2x+1与x轴的交点有个。

总结：抛物线与x轴的交点个数由决定。

④抛物线的图象与a、b、c及b2-4ac的关系。

⑴如图是y=ax2+bx+c的图象，则a______0 b______0 c______0 b2-4ac________0⑵．二次函数与一次函数在同一直角坐标系中图象大致是（）总结：抛物线的图象与a、b、c及b2-4ac的关系是：a:开口方向；b：结合a看对称轴；c：与y轴交点坐标；b2-4ac：与x轴的交点个数。

⑤求函数解析式：⑴．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．A、已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）；B、已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0，1）；C、已知抛物线过点（—2，5），（4，5），且有最小值为y=3，求此函数关系式。

总结：（1）一般式：，给出三点坐标可利用此式来求．（2）顶点式：，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．。

人教版九年级数学下二次函数知识点总结✧ 相关概念及定义二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． ✧ 二次函数各种形式之间的变换二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.✧ 二次函数解析式的表示方法一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. ✧ 二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.几种特殊的二次函数的图像特征如下：抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,与函数图像的关系a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．a越大开口越小在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． （1）a,b 同号在左，异号在右（2）当对称轴为x=1时2a+b=0当对称轴为x=-1的时候2a-b=0 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 注意当x=1的时候y=a+b+c 当x=-1的时候y=a-b+c 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． ✧ 求抛物线的顶点、对称轴的方法公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线ab x 2-=.配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用待定系数法求二次函数的解析式一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. 顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.✧ 直线与抛物线的交点y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).抛物线与x 轴的交点:二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组 2y kx n y ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；关于原点对称 2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 关于顶点对称2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．✧ 二次函数图象的平移平移步骤：将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．✧ 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。

人教版数学第26章《二次函数》小结与复习（3）教学目标：1．使学生掌握二次函数模型的建立，并能运用二次函数的知识解决实际问题。

2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，获得用数学方法解决实际问题的经验，感受数学模型、思想在实际问题中的应用价值。

重点难点：重点：利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思。

难点：将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策。

教学过程：一、例题精析，引导学法，指导建模1．何时获得最大利润问题。

例：重庆市某区地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，区政府对该花木产品每投资x万元，所获利润为P=－150(x－30)2＋10万元，为了响应我国西部大开发的宏伟决策，区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元，若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通，公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x万元可获利润Q=－4950(50－x)2＋1945(50－x)＋308万元。

(1)若不进行开发，求10年所获利润最大值是多少?(2)若按此规划开发，求10年所获利润的最大值是多少?(3)根据(1)、(2)计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法。

学生活动：投影给出题目后，让学生先自主分析，小组进行讨论。

教师活动：在学生分析、讨论过程中，对学生进行学法引导，引导学生先了解二次函数的基本性质，并学会从实际问题中抽象出二次函数的模型，借助二次函数的性质来解决这类实际应用题。

教师精析：(1)若不开发此产品，按原来的投资方式，由P=－150(x－30)2＋10知道，只需从50万元专款中拿出30万元投资，每年即可获最大利润10万元，则10年的最大利润为M1＝10×10=100万元。

第26章 《二次函数》小结与复习（2）教学目标：会用待定系数法求二次函数的解析式，能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质，能较熟练地利用函数的性质解决函数与圆、三角形、四边形以及方程等知识相结合的综合题。

重点难点：重点；用待定系数法求函数的解析式、运用配方法确定二次函数的特征。

难点：会运用二次函数知识解决有关综合问题。

教学过程：一、例题精析，强化练习，剖析知识点用待定系数法确定二次函数解析式．例：根据下列条件，求出二次函数的解析式。

(1)抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 经过点(0，1)，(1，3)，(－1，1)三点。

(2)抛物线顶点P(－1，－8)，且过点A(0，－6)。

(3)已知二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象过(3，0)，(2，－3)两点，并且以x ＝1为对称轴。

(4)已知二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象经过一次函数y ＝－3/2x ＋3的图象与x 轴、y 轴的交点；且过(1，1)，求这个二次函数解析式，并把它化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式。

教师归纳：二次函数解析式常用的有三种形式：(1)一般式：y ＝ax2＋bx ＋c (a ≠0)(2)顶点式：y ＝a(x －h)2＋k (a ≠0)(3)两根式：y ＝a(x －x1)(x －x2) (a ≠0)当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y ＝ax2＋bx ＋c 形式。

当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y ＝a(x －h)2＋k 形式。

当已知抛物线与x 轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式y ＝a(x －x1)(x －x2) 强化练习：已知二次函数的图象过点A(1，0)和B(2，1)，且与y 轴交点纵坐标为m 。

(1)若m 为定值，求此二次函数的解析式；(2)若二次函数的图象与x 轴还有异于点A 的另一个交点，求m 的取值范围。

二、知识点串联，综合应用例：如图，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 过点A(－1，0)，且经过直线y ＝x －3与坐标轴的两个交点B 、C 。

【人教版】初中数学九年级知识点总结26二次函数【人教版】初中数学九年级知识点总结：26二次函数【人教版】初中数学九年级知识点总结:26二次函数【按】二次函数知识很更易与纳米技术其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。

因此，以二次函数知识为主的综合性是中考的热点考题，往往以大题为形式出现．教职员在讲解本章内容时应著重注重培养学生数形结合的思想和独立思考问题的能力。

一、目标与要求1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的，体会方程与函数之间的联系。

2．理解二次函数与x轴交角的个数与一元二次方程的一元二次方程根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等四个的实数和没有实根。

3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标。

4.掌握把抛物线yax2平移至ya(xh)2+k的规律；5.会画出ya(xh)2+k这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质。

二、知识框架三、重点、难点1．探索关系具体症结中的数量关系和变化规律．2．结合数学方法具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关本体论概念．3．会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．4．会运用配方式确定二次函数图象的顶点、开口方向和旋转轴．5．会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．6．须要通过对现实情境的分析，确定二次函数的公式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．四、知识点、概念总结1.二次函数：一般的，形如y=ax+bx+c（a≠0）的函数叫二次函数。

自变量（通常为x）和因变量（通常为y）。

右边是整式，且自变量的前三位次数是2。

注意，“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。

未知数只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），变量可在一定范围内任一任意取值。

在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或多项式也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义虽然有所不同。