二次函数中的动点问题

专题01 二次函数中的动点问题1、如图①，已知抛物线y ＝ax 2﹣4amx +3am 2（a 、m 为参数，且a ＞0，m ＞0）与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左边），与y 轴交于点C ．（1）求点B 的坐标（结果可以含参数m ）；（2）连接CA 、CB ，若C （0，3m ），求tan ∠ACB 的值；（3）如图①，在（2）的条件下，抛物线的对称轴为直线l ：x ＝2，点P 是抛物线上的一个动点，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P ，使△POF 成为以点P 为直角顶点的的等腰直角三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】（1）令y ＝0，则有ax 2﹣4amx +3am 2＝0，解得：x 1＝m ，x 2＝3m ， ①m ＞0，A 在B 的左边，①B （3m ，0）； （2）如图1，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为点D ，由（1）可知B （3m ，0），则△BOC 为等腰直角三角形，①OC ＝OB ＝3m ，①BC ＝m ，又①∠ABC ＝45°，①∠DAB ＝45°，①AD ＝BD ，①AB ＝2m ，①AD =，CD ＝m ，①tan ∠ACB ＝AD 1CD 2==；（3）①由题意知x ＝2为对称轴，①2m ＝2，即m ＝1， ①在（2）的条件下有（0，3m ），①3m ＝3am 2，解得m ＝1a，即a ＝1，①抛物线的解析式为y ＝x 2﹣4x +3， ①当P 在对称轴的左边，如图2，过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交l 于N ，①△OPF 是等腰直角三角形，且OP ＝PF ，易得△OMP ≌△PNF ，①OM ＝PN ，①P （m ，m 2﹣4m +3），则﹣m 2+4m ﹣3＝2﹣m ，解得：m①P ）； ①当P 在对称轴的右边，如图3，过P 作MN ⊥x 轴于N ，过F 作FM ⊥MN 于M ，同理得△ONP ≌△PMF ，①PN ＝FM ，则﹣m 2+4m ﹣3＝m ﹣2，解得：x 35；P 的坐标为（3122+）或（3122）；综上所述，点P ）或）或）或）2、如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =−(x −a )(x −4)(a <0)与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点.（1）若D 点坐标为(32,254)，求抛物线的解析式和点C 的坐标；（2）若点M 为抛物线对称轴上一点，且点M 的纵坐标为a ，点N 为抛物线在x 轴上方一点，若以C 、B 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形时，求a 的值；（3）直线y =2x +b 与（1）中的抛物线交于点D 、E （如图2），将（1）中的抛物线沿着该直线方向进行平移，平移后抛物线的顶点为D ′，与直线的另一个交点为E ，与x 轴的交点为B ′，在平移的过程中，求D ′E ′的长度；当∠E ′D ′B ′=90°时，求点B ′的坐标.【解析】（1）依题意得：254=−(32−a)(32−4),解得a =−1，①y =-（x +1）（x -4）或y =−x 2+3x +4,①C (0,4) （2）由题意可知A (a,0)、B (4,0)、C (0,−4a )，对称轴为直线x =a+42，则M (a+42,a)①MN//BC ，且MN =BC ，根据点的平移特征可知N (a−42,−3a)则−3a =−(a−42−a)⋅(a−42−4)，解得：a =−2±2√13（舍去正值）；①当BC 为对角线时，设N (x,y )，根据平行四边形的对角线互相平分可得{a+42+x =4a +y =−4a ，解得{x =4−a2y =−5a ， 则−5a =−(4−a 2−a)⋅(4−a 2−4),解得：a =6±2√213，①a 1=−2−2√13，a 2=6−2√213（3）联立{y =2x +134y =−x 2+3x +4 ,解得：{x 1=32y 1=254 (舍去)，{x 2=−12y 2=94 则DE =2√5，根据抛物线的平移规律，则平移后的线段D ′E ′始终等于2√5 设平移后的D ′(m,2m +134)，则E ′(m −2,2m −34)，平移后的抛物线解析式为：y =−(x −m )2+2m +134则D ′B ′：y =−12x +n 过(m,2m +134)，①y =−12x +52m +134，则B ′(5m +132,0)抛物线y =−(x −m )2+2m +134过B ′(5m +132,0),解得m 1=−32，m 2=−138①B 1′(−1,0)，B 2′(−138,0)（与D ′重合，舍去），①B ′(−1,0)3、如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝12x﹣3交于，B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）PD=|m²+4m|，①PD∥A O，则当PD=O A=3时，存在以O，A，P，D为顶点的平行四边形，即PD=|m²+4m|=3，即可求解．【解析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：16453b cc-+=-⎧⎨=-⎩，解得：923bc⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故抛物线的表达式为：y＝x2+92x﹣3；（2）存在，理由：同理直线AB的表达式为：y＝12x﹣3，设点P（m，m2+92m﹣3），点D（m，12m﹣3）（m＜0），则PD＝|m2+4m|，①PD∥A O，则当PD＝O A＝3时，存在以O，A，P，D为顶点的平行四边形，即PD＝|m2+4m|＝3，①当m2+4m＝3时，解得：m＝﹣（舍去正值），即m2+92m﹣3＝1﹣2，故点P（﹣21﹣2），①当m2+4m＝﹣3时，解得：m＝﹣1或﹣3，同理可得：点P（﹣1，﹣132）或（﹣3，﹣152）；综上，点P（﹣2，﹣1﹣2）或(﹣1，﹣132）或（﹣3，﹣152）．【小结】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式、平行四边形性质等，要注意分类讨论思想的运用．4、在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （-1，0），B （3，0），与y 轴交于点C （0，3），顶点为G ．（1）求抛物线和直线AC 的解析式；（2）如图1，设E （m ，0）为x 正半轴上的一个动点，若△CGE 和△CG O 的面积满足S △CGE =43S △CG O ，求点E 的坐标；（3）如图2，设点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右运动，运动时间为t s ，点M 为射线AC 上一动点，过点M 作MN ∥x 轴交抛物线对称轴右侧部分于点N ．试探究点P 在运动过程中，是否存在以P ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC 解析式．（2）△CGE 与△CG O 虽然有公共底边CG ，但高不好求，故把△CGE 构造在比较好求的三角形内计算．延长GC 交x 轴于点F ，则△FGE 与△FCE 的差即为△CGE ．（3）设M 的坐标（e ，3e ＋3），分别以M 、N 、P 为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e 表示相关线段并列方程求解，再根据e 与AP 的关系求t 的值． 【解析】（1）将点A （-1，0），B （3，0），点C （0，3）代入抛物线y =ax 2+bx +c 得，09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，①2y x 2x 3=-++，设直线AC 的解析式为y =kx +n ， 将点A （-1，0），点C （0，3）代入得：03k n n -+=⎧⎨=⎩，解得：k =3，n =3，①直线AC 的解析式为：y =3x +3（2）延长GC 交x 轴于点F ，过点G 作GH ⊥x 轴于点H ， ①2(1)4y x =--+，①G （1,4），GH =4，①11331222CGOG S OC x =⨯=⨯⨯=， 若S △CGE =43S △CG O ，则S △CGE =43S △CG O =43232⨯=， ①若点E 在x 轴的正半轴，设直线CG 为13y k x =+，将G （1,4）代入得134k +=，①11k =，①直线CG 的解析式为y =x +3，①当y =0时，x =-3，即F (-3,0)，又①E （m ,0），①EF =m -(-3)=m +3 ①CGEFGEFCE S SS=-=1122EF GH EF OC ⋅-⋅= 1()2EF GH OC ⋅-=1(3)(43)2m +⋅-=1(3)2m + ①1(3)22m +=，解得：m =1，①E 的坐标为（1,0）①若点E 在x 轴的负半轴上，则点E 到直线CG 的距离与点（1,0）到直线CG 的距离相等， 即点E 到点F 的距离等于点（1,0）到点F 的距离，①EF =-3-m =1-(-3)=4，①m =-7，即E （-7,0） 综上所述，点E 的坐标为：（1,0）或（-7,0）（3）存在以P ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形， 设M （e ,3e +3），e ＞-1，则33N M y y e ==+，①如图2，若∠MPN =90°，PM =PN ，过点M 作MQ ⊥x 轴于点Q ，过N 作NR ⊥x 轴于点R ， ①MN ∥x 轴，①MQ ＝NR ＝3e ＋3①Rt △MQP ≌Rt △NRP （HL ），①PQ ＝PR ，∠MPQ ＝∠NPR ＝45° ①MQ ＝PQ ＝PR ＝NR ＝3e ＋3①x N ＝x M ＋3e ＋3＋3e ＋3＝7e ＋6，即N （7e ＋6，3e ＋3）①N 在抛物线上，①−（7e ＋6）2＋2（7e ＋6）＋3＝3e ＋3，解得：11e =-（舍去），22449e =- ①AP ＝t ，O P ＝t −1，O P ＋O Q ＝PQ ，①t −1−e ＝3e ＋3，①t ＝4e ＋4＝10049，①如图3，若∠PMN＝90°，PM＝MN，①MN＝PM＝3e＋3①x N＝x M＋3e＋3＝4e＋3，即N（4e＋3，3e＋3）①−（4e＋3）2＋2（4e＋3）＋3＝3e＋3，解得：e1＝−1（舍去），e2＝3 16 -，①t＝AP＝e−（−1）＝31311616 -+=，①如图4，若∠PNM＝90°，PN＝MN，①MN＝PN＝3e＋3，N（4e＋3，3e＋3），解得：e＝3 16 -①t＝AP＝O A＋O P＝1＋4e＋3＝13 4综上所述，存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为10049或1316或134．【小结】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．5、如图，已知直线AB 与抛物线C ：y ＝ax 2+2x +c 相交于点A (﹣1，0)和点B (2，3)两点． (1)求抛物线C 函数表达式；(2)若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，当MAB △的面积最大时，求此时MAB △的面积S 及点M 的坐标．【解析】(1)由题意把点(﹣1，0)、(2，3)代入y ＝ax 2+2x +c ，得20443a c a c -+=⎧⎨++=⎩，解得1,3,a c =-⎧⎨=⎩，①此抛物线C 函数表达式为：y ＝﹣x 2+2x +3； (2)如图，过点M 作MH ⊥x 轴于H ，交直线AB 于K ，将点(﹣1，0)、(2，3)代入y ＝kx +b 中，得023k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得1,1,k b =⎧⎨=⎩，①y AB ＝x +1，设点M (x ，﹣x 2+2x +3)，则K (x ，x +1)， 则MK ＝﹣x 2+2x +3﹣(x +1)＝﹣x 2+x +2， ①S △MAB ＝S △AMK +S △BMK ＝12MK •(x M ﹣x A )+ 12MK •(x B ﹣x M )＝12MK •(x B ﹣x A )＝12×(-x 2+x +2)×3 ＝23127()228x --+， ①302-<，当x ＝12时，S △MAB 最大=278，此时21115()23224M y =-+⨯+=，①△MAB 的面积最大值是278，M (12，154)．6、如图，直线y ＝34x +a 与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，抛物线y ＝34x 2+bx +c 经过点A ，B ．点M（m ，0）为x 轴上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线分别交直线AB 及抛物线于点P ，N ． （1）填空：点B 的坐标为 ，抛物线的解析式为 ； （2）当点M 在线段OA 上运动时（不与点O ，A 重合）， ①当m 为何值时，线段PN 最大值，并求出PN 的最大值； ①求出使△BPN 为直角三角形时m 的值；（3）若抛物线上有且只有三个点N 到直线AB 的距离是h ，请直接写出此时由点O ，B ，N ，P 构成的四边形的面积．【解析】（1）把点A 坐标代入直线表达式y ＝34x +a ，解得：a ＝﹣3，则：直线表达式为：y ═34x ﹣3， 令x ＝0，则：y ＝﹣3，则点B 坐标为（0，﹣3），将点B 的坐标代入二次函数表达式得：c ＝﹣3，把点A 的坐标代入二次函数表达式得：34×16+4b ﹣3＝0， 解得：b ＝﹣94，故抛物线的解析式为：y ＝34x 2﹣94x ﹣3， （2）①①M （m ，0）在线段O A 上，且MN ⊥x 轴， ①点P （m ，34m ﹣3），N （m ，34m 2﹣94m ﹣3），①PN ＝34m ﹣3﹣（34m 2﹣94m ﹣3）＝﹣34（m ﹣2）2+3，①a ＝﹣34＜0，①抛物线开口向下，①当m ＝2时，PN 有最大值是3， ①当∠BNP ＝90°时，点N 的纵坐标为﹣3，把y ＝﹣3代入抛物线的表达式得：﹣3＝34m 2﹣94m ﹣3，解得：m ＝3或0（舍去m ＝0），①m ＝3； 当∠NBP ＝90°时，①BN ⊥AB ，两直线垂直，其k 值相乘为﹣1， 设：直线BN 的表达式为：y ＝﹣43x +n ，把点B 的坐标代入上式，解得：n ＝﹣3，则：直线BN 的表达式为：y ＝﹣43x ﹣3，将上式与抛物线的表达式联立并解得：m ＝119或0（舍去m ＝0），当∠BPN ＝90°时，不合题意舍去，故：使△BPN 为直角三角形时m 的值为3或43；（3）①O A ＝4，O B ＝3，在Rt △A O B 中，tan α＝43，则：c osα＝35，si n α＝45， ①PM ∥y 轴，①∠BPN ＝∠AB O ＝α，若抛物线上有且只有三个点N 到直线AB 的距离是h ，则只能出现：在AB 直线下方抛物线与过点N 的直线与抛物线有一个交点N ，在直线AB 上方的交点有两个． 当过点N 的直线与抛物线有一个交点N ，点M 的坐标为（m ，0），设：点N 坐标为：（m ，n ），则：n ＝34m 2﹣94m ﹣3，过点N 作AB 的平行线， 则点N 所在的直线表达式为：y ＝34x +b ，将点N 坐标代入，解得：过N 点直线表达式为：y ＝34x +（n ﹣34m ），将抛物线的表达式与上式联立并整理得：3x 2﹣12x ﹣12+3m ﹣4n ＝0，△＝144﹣3×4×（﹣12+3m ﹣4n ）＝0， 将n ＝34m 2﹣94m ﹣3代入上式并整理得：m 2﹣4m +4＝0，解得：m ＝2，则点N 的坐标为（2，﹣92）， 则：点P 坐标为（2，﹣32），则：PN ＝3，①O B ＝3，PN ∥O B ，①四边形O BNP 为平行四边形，则点O 到直线AB 的距离等于点N 到直线AB 的距离， 即：过点O 与AB 平行的直线与抛物线的交点为另外两个N 点，即：N ′、N ″， 直线O N 的表达式为：y ＝34x ，将该表达式与二次函数表达式联立并整理得：x 2﹣4x ﹣4＝0，解得：x ＝2±2√2，则点N ′、N ″的横坐标分别为2+2√2，2﹣2√2， 作NH ⊥AB 交直线AB 于点H ，则h ＝NH ＝NP si n α＝125，作N ′P ′⊥x 轴，交x 轴于点P ′，则：∠O N ′P ′＝α，O N ′＝OP ′sinα＝54（2+2√2）， S 四边形O BPN ＝BP •h ＝52×125＝6，则：S 四边形O BP ′N ′＝S △O P ′N ′+S △O BP ′＝6+6√2，同理：S 四边形O BN ″P ″＝6√2﹣6，故：点O ，B ，N ，P 构成的四边形的面积为：6或6+6√2或6√2﹣67、在平面直角坐标系xOy 中，直线1(0)y kx k =+≠经过点23A （，），与y 轴交于点B ，与抛物线2y ax bx a =++的对称轴交于点C m 2（，）．（1）求m 的值；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）11N x y （，）是线段AB 上一动点，过点N 作垂直于y 轴的直线与抛物线交于点22P x y （，），33Q x y （，）（点P 在点Q 的左侧）．若213x x x <<恒成立，结合函数的图象，求a 的取值范围． 【解析】（1）①()10y kx k =+≠ 经过点23A （，）， ①将点A 的坐标代入1y kx =+ ，即321k =+ ，得1k =．①直线1y x =+ 与抛物线2y ax bx a =++ 的对称轴交于点(,2)C m ， ①将点(,2)C m 代入1y x =+，得1m = ． (2)①抛物线2y ax bx a =++ 的对称轴为1x =， ①12ba-= ，即2b a =-． ①22y ax ax a =-+()21a x =-①抛物线的顶点坐标为()10， ． (3)当0a >时，如图，若拋物线过点01B （，） ，则1a = ． 结合函数图象可得01a << ． 当0a <时，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是01a <<．8、如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y＝13-x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段O B上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．（1）填空：b＝，c＝；（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）点M在抛物线上，且△A O M的面积与△A O C的面积相等，求出点M的坐标。

1.如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -，，(20)B -，，(08)E ，．（1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式； （2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C D ，两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．[解] （1）点(40)A -，，点(20)B -，，点(08)E ，关于原点的对称点分别为(40)D ，，(20)C ，，(08)F -，．设抛物线2C 的解析式是2(0)y ax bx c a =++≠，则16404208a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，，．解得168a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，．所以所求抛物线的解析式是268y x x =-+-．（2）由（1）可计算得点(31)(31)M N --，，，． 过点N 作NH AD ⊥，垂足为H ．当运动到时刻t 时，282AD OD t ==-，12NH t =+．根据中心对称的性质OA OD OM ON ==，，所以四边形MDNA 是平行四边形． 所以2ADN S S =△．所以，四边形MDNA 的面积2(82)(12)4148S t t t t =-+=-++． 因为运动至点A 与点D 重合为止，据题意可知04t <≤．所以，所求关系式是24148S t t =-++，t 的取值范围是04t <≤．（3）781444S t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，（04t <≤）． 所以74t =时，S 有最大值814． 提示：也可用顶点坐标公式来求．（4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形．由（2）知四边形MDNA 是平行四边形，对角线是ADMN ，，所以当AD MN =时四边形MDNA 是矩形．所以OD ON =．所以2222OD ON OH NH ==+．所以22420t t +-=．解之得1222t t =，（舍）． 所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时2t =．[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。

二次函数动点问题类型一、求解动点坐标问题：1.已知二次函数的图像经过特定点，求该点的坐标。

例如，已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像过点(2,5)，求a、b、c的值。

解：由于(2,5)是曲线上的一点，所以满足曲线上的点的坐标满足函数的定义关系式，即：y=ax^2+bx+c代入已知点的坐标，得到：5=4a+2b+c再结合二次函数的性质，无论a、b、c取何值，都可以确定一个二次函数，因此需要再提供其他的条件才能完全确定a、b、c的值。

2.已知二次函数的顶点坐标，求顶点坐标与对称轴的方程。

例如，已知二次函数y=ax^2+bx+c的顶点坐标为(2,3)，求对称轴的方程和a、b、c的值。

解：根据二次函数的性质，二次函数的顶点坐标位于对称轴上，所以对称轴的方程可以通过已知的顶点坐标得到。

对称轴的方程为x=顶点的横坐标，即x=2然后，再结合二次函数顶点坐标的性质，即顶点坐标(2,3)满足a*(2^2)+b*2+c=3，代入这个关系式，可以求解出a、b、c的值。

3.已知二次函数的零点，求函数的表达式。

例如，已知二次函数y=ax^2+bx+c的零点为x=1和x=3，求函数的表达式。

解：已知x=1和x=3是函数的零点，代入函数的定义关系式，得到a*(1^2)+b*1+c=0和a*(3^2)+b*3+c=0。

进一步整理就可以得到一个由a、b、c构成的方程组，解这个方程组就可以确定a、b、c的值，从而得到二次函数的表达式。

二、研究动点运动规律问题：1.如何通过二次函数的图像研究点的运动规律？二次函数可以表示一个抛物线的图像，通过分析二次函数的各项系数可以得到抛物线的开口方向、顶点坐标等信息，从而研究点的运动规律。

例如，当二次函数的a大于0时，抛物线开口向上，顶点坐标为最低点，点的运动趋势是从下往上；当二次函数的a小于0时，抛物线开口向下，顶点坐标为最高点，点的运动趋势是从上往下。

2.如何通过已知条件研究点的运动规律？已知的条件可以包括点的初始位置、速度、加速度等信息，将这些信息转化成数学问题，从而得到二次函数的各项系数，进而通过研究二次函数的图像研究点的运动规律。

【中考压轴题专题突破】二次函数中的动点问题1.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,其中点B 在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OBvOC）是方程x2 -10x+16= 0的两个根，且A点坐标为（-6, 0）.（1）求此二次函数的表达式；（2）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF // AC交BC 于点F,连接CE,设AE的长为m, △ CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；2.如图是二次函数y= ( x+m) 2+k的图象，其顶点坐标为M (1, -4).(1)求出图象与x轴的交点A, B的坐标；(2)在二次函数的图象上是否存在点P,使S APAB=—S；AMAB?若存在，求出P点的坐标，4若不存在，请说明理由；(3)点C在x轴上一动点，以BC为边作正方形BCDE ,正方形BCDE还有一个顶点(除点B外)在抛物线上，请写出满足条件的点E的坐标；(4)将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b与此图象至少有三个公共点时，请直接写出b的取值范围是 .即圄2 邺3.如图，二次函数图象的顶点为坐标系原点O,且经过点A (3, 3), 一次函数的图象经过点A和点B (6, 0).(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)如果一次函数图象与y轴相交于点C,点D在线段AC上，与y轴平行的直线DE 与二次函数图象相交于点巳/ CDO = / OED ,求点D的坐标；(3)当点D在直线AC上的一个动点时，以点O、C、D、E为顶点的四边形能成为平行四边形吗？请说明理由.4.如图，二次函数y=ax2+bx+c (a^0)的图象与x轴交于A (- 3, 0)、B (1, 0 与y轴相交点C (0,近).(1)求该二次函数解析式；(2)连接AC、BC,点M、N分别是线段AB、BC上的动点，且始终满足BM = 接MN.①将4BMN沿MN翻折，B点能恰好落在AC边上的P处吗？若能，请判断四边形的形状并求出PN的长；若不能，请说明理由.②将^ BMN沿MN翻折，B点能恰好落在此抛物线上吗？若能，请直接写出此时于MN的对称点Q的坐标；若不能，请说明理由.两点,BN,连BMPNB点关5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=』!x2-2F3x-代与x轴交于A、B两点（点3 3（1）判断△ ABC的形状，并说明理由;（2）如图（1）,点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点p作Y轴的平行线交X轴于点E.当△ PBC面积的最大值时，点F为线段BC 一点（不与点BC重合），连接EF,动点G从点E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到点F,再沿FC以每秒2工3个单位的速度运动到点C后停止，当点F的坐标| 3是多少时，点G在整个运动过程中用时最少？（3）如图2,将4ACO沿射线CB方向以每秒个单位的速度平移，记平移后的△ ACO 为AA l C l O l连接AA1,直线AA1交抛物线与点M,设平移的时间为t秒，当^ AMC 1为等腰三角形时，求t的值.6.如图，二次函数y=—x2+bx- -的图象与x轴交于点A (-3, 0)和点B,以AB为边在2 2x轴上方作正方形ABCD ,点P是x轴上一动点，连接DP ,过点P作DP的垂线与y轴交于点E.(1)b=;点D的坐标：;(2)线段AO上是否存在点P (点P不与A、。

函数解题思路方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标.需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax ²+bx+c=0中a,b,c 的符号.或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置.要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称.可利用这一性质.求和已知一点对称的点坐标.或已知与x 轴的一个交点坐标.可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式.二次三项式ax ²+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例.揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：动点问题题型方法归纳总结动态几何特点----问题背景是特殊图形.考查问题也是特殊图形.所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中.特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点.近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍.解题方法、关键给以点拨。

二、 抛物线上动点5、（湖北十堰市）如图①. 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1.0)和点B (－3.0).与y 轴交于点C ．(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M .问在对称轴上是否存在点P.使△CMP为等腰三角形？若存在.请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在.请说明理由．(3) 如图②.若点E为第二象限抛物线上一动点.连接BE、CE.求四边形BOCE面积的最大值.并求此时E点的坐标．注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时.以C为圆心CM为半径画弧.与对称轴交点即为所求点P.②M为顶点时.以M为圆心MC为半径画弧.与对称轴交点即为所求点P.③P为顶点时.线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。

二次函数中的动点问题二次函数是高中数学课程中比较重要的一种函数类型，它的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线，可以用来表达很多实际问题中的关系。

其中，二次函数中的动点问题是一个常见的问题，主要涉及到了抛物线上某点的运动轨迹，对于此类问题的讨论可以帮助我们深入理解二次函数以及抛物线的特点和应用。

一、动点问题的形式通过一个具体的例子来展示二次函数中的动点问题。

设有一根长60m、重量为100N的弹性绳悬挂于两个点P、Q 之间，弹性绳呈现一个U形。

现有一质量为m的物体从点P 处自由下落，然后受到弹性绳的支撑反弹，反弹高度为h，再落回原点P处。

此时，假设物体在下落或反弹的任意时刻都在弹性绳的中垂线上，我们可以通过求出物体在任意时刻的高度求解出反弹的高度h与物体的质量m的关系。

初步分析这个问题，可以列出物体所在的位置函数，即h(t)。

我们假设物体下落时时间t=0s，其高度为0m，则有：h(t) = at^2 + bt其中，a和b都是常数，t是时间。

物体在弹性绳上下运动，向下运动的时候速度会不断加快，直到反弹的时候速度为0，然后速度逐渐加快，到达下落的时候又达到最大值。

因此，可以得出物体的速度函数v(t)：v(t) = 2at + b而物体的位置函数是速度函数的积分，因此可以解出：h(t) = at^2 + bt + c其中，c是一个常数，其值等于物体下落的初速度的平方除以2g（g为重力加速度，约为9.8m/s^2）。

由于物体在任意时刻都在弹性绳中垂线上，因此可以确定物体的运动轨迹为抛物线。

在上述问题中，我们可以确定抛物线的顶点V的坐标为（30，hmax），其中hmax即为物体下落时的最大高度。

二、动点问题的解法对于二次函数中的动点问题，主要通过求出抛物线的顶点来解决。

通过求解出顶点的坐标、抛物线的开口方向和方程等，可以确定抛物线的形状和运动轨迹，进而判断动点的位置、速度和加速度等物理量。

具体来说，解决二次函数动点问题的步骤如下：1. 确定抛物线的形状和开口方向。

二次函数动点问题二次函数是数学中的一个重要概念，也有很多实际应用。

在二次函数中，我们经常会遇到一种问题，即动点问题。

该问题要求我们根据给定的二次函数，确定函数图像上某个动点的坐标。

问题描述在二次函数动点问题中，我们通常会给出二次函数的方程和一个动点的初始位置。

我们需要通过计算，确定动点在函数图像上的位置。

具体来说，我们要求解动点的横坐标和纵坐标。

解决方法为了解决二次函数动点问题，我们可以采用以下步骤：1. 首先，我们需要根据二次函数的方程，确定函数的具体形式。

二次函数的一般形式为 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a$、$b$、$c$ 为已知常数。

2. 接下来，我们需要确定动点的初始位置。

动点通常以坐标的形式给出，例如 $(x_0, y_0)$。

我们将动点的初始位置代入二次函数的方程，得到动点的纵坐标 $y_0$。

3. 然后，我们需要计算动点的横坐标。

根据函数图像的对称性，动点的横坐标为二次函数的顶点的横坐标。

顶点的横坐标可以通过以下公式计算：$x_v = -\frac{b}{2a}$。

4. 最后，我们可以得到动点在函数图像上的位置。

动点的横坐标为 $x_v$，纵坐标为 $y_0$。

实例演示以下是一个示例，演示了如何解决二次函数动点问题：已知二次函数的方程为 $y = x^2 + 2x + 1$，动点的初始位置为$(2, y_0)$。

我们可以按照以下步骤求解动点的位置：1. 将动点的横坐标代入二次函数的方程，得到动点的纵坐标：$y_0 = 2^2 + 2 \cdot 2 + 1 = 9$。

2. 计算二次函数的顶点的横坐标：$x_v = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$。

3. 动点的位置为 $(x_v, y_0) = (-1, 9)$。

通过以上计算，我们得到了动点在函数图像上的位置。

结论二次函数动点问题是一个常见的数学问题。

通过确定二次函数的形式和动点的初始位置，我们可以计算出动点在函数图像上的位置。

二次函数动点问题
“二次函数动点问题”是数学中常用的一种问题，它可以用来求解在二次函数图像上的某些特殊点的位置。

它也叫做动点理论，有时也会简称为DPT（Dynamic Point Theory）。

二次函数动点问题的关键思想是，我们可以通过分析一个二次函数的表达式和曲线的形状，来确定它的某些特殊点的位置。

这样就能够同时求出二次函数的极大值、极小值以及它的拐点。

具体来说，二次函数动点问题就是要求解一个二次函数在特定曲线上的某些特殊点的位置。

对于一个二次函数，可以用它的二次项的系数a来决定曲线的形状，如果a>0，曲线会变得曲折，如果a<0，曲线会变得平滑等。

而拐点的位置则可以用它的一次项的系数b来确定，即拐点的横坐标为-b/2a。

此外，我们还可以使用一些其他方法来求解这类问题，比如可以使用微分来求出极值、拐点，也可以使用一元函数的性质来直接求解。

总之，二次函数动点问题是一个比较重要的数学问题，它可以用来求解一个二次函数在特定曲线上的某些特殊点的位置。

我们可以使用微分或一元函数的性质来求
解，也可以根据二次函数的表达式和曲线的形状来确定特定点的位置。

中考二次函数动点(Dian)问题(含答案)1.如(Ru)图(Tu)①，正(Zheng)方形的(De)顶点的坐标(Biao)分别为，顶(Ding)点在(Zai)第一象限．点从点出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动．当点P到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒．（1）求正方形ABCD的边长．（2）当点P在边上运动时，的面积（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P Q，两点的运动速度．（3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积S取最大值时点P 的坐标．（4）若点P Q，保持（2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，的大小随着时间t的增大而增大；沿着边运动时，OPQ∠的大小随着时间t的增大而减小．当点P沿着这两边运动时，使的点P有个．（抛物线的顶点坐标是．[解] （1）作轴于．，．．（2）由图②可知，点P从点A运动到点用了10秒．又．两点的运动速度均为每秒1个单位．（3）方法一：作轴于，则．，即．．． ，．即(Ji)．，且(Qie)，当(Dang)时(Shi)，S 有最(Zui)大值．此(Ci)时， ∴点(Dian)P 的坐(Zuo)标为．（8分）方法二：当时，．设所求函数关系式为．抛物线过点，．19195323210b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，且190103≤≤， ∴当193t =时，S 有最大值．此时，∴点P 的坐标为7631155⎛⎫⎪⎝⎭，．（4）．[点(Dian)评(Ping)]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试(Shi)题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。

． 2. 如(Ru)图(Tu)①，中(Zhong)，，．它的(De)顶点A 的坐(Zuo)标为，顶点B 的坐标为，，点P 从点A 出发，沿的方向匀速运动，同时点Q 从点出发，沿轴正方向以相同速度运动，当点P 到达点C 时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒． （1）求的度数．（2）当点P 在AB 上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点P 的运动速度．（3）求（2）中面积S 与时间t 之间的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标． （4）如果点P Q ，保持（2）中的速度不变，那么点P 沿AB 边运动时，的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小，当点P 沿这两边运动时，使的点P 有几个？请说明理由．解: （1）．（2）点P 的运动速度为2个单位/秒． （3）（）．∴当时，S 有最大值为，此时．（4）当点P 沿这两边运动时，90OPQ =∠的点P 有2个． ①当点P 与点A 重合时，， 当点P 运动到与点B 重合时，的长是12单位长度， 作交y 轴于点，作轴于点，由得：，所以，从而． 所以当点P 在AB 边上运动时，90OPQ =∠的点P 有1个． ②同理当点P 在BC 边上运动时，可算得．而构成直角时交y 轴于，，所以，从而90OPQ =∠的点P 也有1个．所以当(Dang)点P 沿这两边运动(Dong)时，90OPQ =∠的(De)点P 有(You)2个(Ge)．3. （本(Ben)题满分(Fen)14分(Fen)）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点.（1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为，求四边形的面积；（3）有两动点、同时从点出发，其中点D 以每秒个单位长度的速度沿折线按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒个单位长度的速度沿折线按O →C →A 的路线运动，当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发秒时，的面积为S .①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在∥，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；③设是②中函数S 的最大值，那么0S = .解：（1）令，则； 令则．∴．∵二次函数的图象过点()04C ，， ∴可设二次函数的关系式为 又∵该函数图象过点．∴解之，得，．∴所求二次函数的关系式为（2）∵438342++-=x x y =∴顶(Ding)点M 的坐标(Biao)为过(Guo)点M 作(Zuo)MF轴(Zhou)于F ∴=∴四边(Bian)形AOCM 的面(Mian)积为(Wei)10 （3）①不存在DE ∥OC∵若DE ∥OC ，则点D ，E 应分别在线段OA ，CA 上，此时，在中，． 设点E 的坐标为∴，∴ ∵，∴∴∵38=t >2，不满足12t <<．∴不存在DE OC ∥．②根据题意得D ，E 两点相遇的时间为（秒）现分情况讨论如下： ⅰ）当时，；ⅱ）当时，设点E 的坐标为∴，∴∴ⅲ）当2 <<时，设点E 的坐标为，类似ⅱ可得设点D 的坐标为∴，∴∴=③47.关(Guan)于x的(De)二次函数以(Yi)y轴为(Wei)对称轴，且与y 轴(Zhou)的交点在x轴(Zhou)上方．（1）求此抛物线的解析式(Shi)，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；（2）设(She)A是y轴右侧抛物线上的一个动点，过点A作AB垂直于x轴于点B，再过点A作x轴的平行线交抛物线于点，过点D作垂直于x轴于点C，得到矩形ABCD．设矩形ABCD的周长为，点A的横坐标为x，试求l关于x的函数关系式；（3）当点A在y轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．参考资料：抛物线的顶点坐标是2424b ac ba a⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，对称轴是直线．解：（1）据题意得：，．当时，．当时，．又抛物线与y轴的交点在x轴上方，．∴抛物线的解析式为：．函数的草图如图所示．（只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致形状正确即可）（2）解：令，得．不时，，，．当时，， ．．关于x 的函数关系是： 当02x <<时，；当2x >时，．（3）解法一：当02x <<时，令，得．解(Jie)得（舍(She)），或．将(Jiang)13x =-+代(Dai)入2244l x x =-++， 得(De)．当(Dang)2x >时(Shi)，令，得(De)．解得（舍），或．将13x =+代入2244l x x =+-，得．综上，矩形ABCD 能成为正方形，且当时正方形的周长为；当时，正方形的周长为．解法二：当02x <<时，同“解法一”可得13x =-+． ∴正方形的周长． 当2x >时，同“解法一”可得13x =+．∴正方形的周长．综上，矩形ABCD 能成为正方形，且当31x =-时正方形的周长为838-；当31x =+时，正方形的周长为838+．解法三：点A 在y 轴右侧的抛物线上，，且点A 的坐标为．令，则．∴，①或②由①解得13x =--（舍），或13x =-+； 由②解得13x =-（舍），或13x =+． 又，∴当13x =-+838l =；当13x =838l =．综上，矩形ABCD 能成为正方形，且当31x =时正方形的周长为838；当31x =时，正方形的周长为838．5.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB <OC ）是方程x 2－10x ＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝－2．（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．解：（1）解方程x 2－10x ＋16＝0得x 1＝2，x 2＝8∵点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，且OB ＜OC ∴点B 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，8） 又∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝－2 ∴由抛物线的对称性可得点A 的坐标为（－6，0）（2）∵点(Dian)C （0，8）在(Zai)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的(De)图象上 ∴c ＝8，将(Jiang)A （－6，0）、B （2，0）代入(Ru)表达式，得⎩⎨⎧0＝36a －6b ＋80＝4a ＋2b ＋8解(Jie)得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23b ＝－83∴所求抛物线的表达式(Shi)为y ＝－23x 2－83x ＋8（3）依(Yi)题意，AE ＝m ，则BE ＝8－m ， ∵OA ＝6，OC ＝8，∴AC ＝10 ∵EF ∥AC ∴△BEF ∽△BAC ∴EF AC ＝BE AB 即EF 10＝8－m8 ∴EF ＝40－5m 4过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，则sin ∠FEG ＝sin ∠CAB ＝45∴FG EF ＝45 ∴FG ＝45·40－5m 4＝8－m ∴S ＝S △BCE －S △BFE ＝12（8－m ）×8－12（8－m ）（8－m ）＝12（8－m ）（8－8＋m ）＝12（8－m ）m ＝－12m 2＋4m 自变量m 的取值范围是0＜m ＜8（4）存在．理由：∵S ＝－12m 2＋4m ＝－12（m －4）2＋8 且－12＜0，∴当m ＝4时，S 有最大值，S 最大值＝8∵m ＝4，∴点E 的坐标为（－2，0） ∴△BCE 为等腰三角形．6.（14分）如图：抛物线经过A （-3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点. （1） 求抛物线的解析式.（2）已知AD = AB （D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ+MC 的值最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

2018年04月28日187****6232 的初中数学组卷一•解答题(共5小题)1 •如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A (- 1, 0),点B (3, 0)和点C (0, 3).(1)求抛物线的解析式和顶点E的坐标；(2)点C是否在以BE为直径的圆上请说明理由；(3)点Q是抛物线对称轴上一动点，点R是抛物线上一动点，是否存在点Q、R,使以Q、R、C、B为顶点的四边形是平行四边形若存在，直接写出点Q、R2•如图，已知抛物线y=af+bx+c过点A (- 3, 0)，B (-2, 3)，C (0, 3)，其顶点为D.(1)求抛物线的解析式；(2)设点M (1, m),当MB+MD的值最小时，求m的值；(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△ APC的面积的最大值；(4)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N, E为直线AC上任意一点，过点E 作EF// ND交抛物线于点F,以N, D, E, F为顶点的四边形能否为平行四边形若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由.3•如图，抛物线y=X2 - 2x- 3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线I与抛物线交于A, C两点，其中点C的横坐标为2 .（1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点（P与A，C不重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于点丘，求厶ACE H积的最大值；（3）若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D,直线AC与y轴交于点Q,点M为直线PE上一动点，则在x轴上是否存在一点N,使四边形DMNQ 的周长最小若存在，求出这个最小值及点M ,N的坐标；若不存在，请说明理由.（4）点H是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F,使A、C、F、H四个点为顶点的四边形是平行四边形如果存在，请直接写出所有满足条件的F点坐标；如4. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x-3与x轴交于点A,与y轴交于点C.抛物线y=x2+bx+c经过A, C两点，且与x轴交于另一点B （点B在点A右侧）. （1）求抛物线的解析式及点B坐标；(2)若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F,交抛物线于点E.求ME长的最大值；(3)试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P,使以M， F，B，P为顶点的四边形是平行四边形若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.5. 如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴，点C在y轴正半轴，OA=4, OC=3抛物线经过O，A两点且顶点在BC边上，与直线AC交于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的2018年04月28日187****6232 的初中数学组卷参考答案与试题解析一•解答题(共5小题)1 •如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A (- 1, 0),点B (3, 0)和点C (0, 3).(1)求抛物线的解析式和顶点E的坐标；(2)点C是否在以BE为直径的圆上请说明理由；(3)点Q是抛物线对称轴上一动点，点R是抛物线上一动点，是否存在点Q、R,使以Q、R、C、B为顶点的四边形是平行四边形若存在，直接写出点Q、R【分析】(1)将A(- 1, 0)、B(3, 0)、C(0, 3)三点坐标代入抛物线y=af+bx+c 中，列方程组求a、b、c的值即可；(2) 根据勾股定理的逆定理可得：/ BCE=90,可得结论；(3) 分两种情况：①以BC为边时，如图1, R在对称轴的右侧时，BC// RQ四边形CQRB是平行四边形，根据平移规律先得R的横坐标为4,代入抛物线的解析式可得R (4,- 5),由平移规律可得Q (1,- 2)；如图2, R在对称轴的左侧，RC// BQ,四边形CRQB是平行四边形，同理可得点Q、R的坐标.②以BC为对角线时，如图3,同理根据平移规律可得结论.r a-b>+e=O【解答】解：(1)由题意，得：二0,c=3 kTt解得：，22 ,3i匸二故这个抛物线的解析式为y= - X2+2X+3,y= -X2+2X+3=-(X- 1) 2+4,•••顶点 E (1, 4);(2) 点C在以BE为直径的圆上，理由是：•- C( 0, 3), B (3, 0), E( 1 , 4),••• BG=32+32=18, C底=12+12=2, B民(3- 1) 2+42=20,••• B G+C E=B W,•••/ BCE=90,•••点C在以BE为直径的圆上；(3) 存在，分两种情况：①以BC为边时，如图1, R在对称轴的右侧时，BC// RQ,四边形CQRB是平行四边形, 由C到B的平移规律可知：Q的横坐标为1,则R的横坐标为4,当X=4时，y=-X2+2X+3=- 42+2X 4+3= - 16+8+3=- 5,•- R( 4 , - 5),•- Q (1 , - 2);如图2, R在对称轴的左侧,RC// BQ ,四边形CRQB是平行四边形, 由C到B的平移规律可知：Q的横坐标为1,则R的横坐标为-2 ,当X=- 2 时，y=-X2+2X+3=- 4+2X( - 2) +3=-5 ,•- R(-2, - 5),•- Q (1, - 8);②以BC为对角线时，如图3 ,由C和Q的平移规律可得：R的横坐标为2 ,当X=2时，y=- 4+4+3=3,•- R( 2 , 3),根据R到B的平移规律可得：Q (1, 0);综上所述，R (4,- 5), Q (1,- 2)或R (-2, - 5), Q (1,- 8)或R (2, 3), Q (1, 0).【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，圆周角定理, 勾股定理的应用，平行四边形的判定等，分类讨论的思想是( 3)的关键.2•如图，已知抛物线y=af+bx+c过点A (- 3, 0), B (-2, 3), C (0, 3),其顶点为D.(1)求抛物线的解析式；(2)设点M (1, m),当MB+MD的值最小时，求m的值；(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△ APC的面积的最大值；(4)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N, E为直线AC上任意一点，过点E 作EF// ND交抛物线于点F,以N, D, E, F为顶点的四边形能否为平行四边形若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由.【分析】(1)根据待定系数法，可得答案;(2)利用轴对称求最短路径的知识，找到 B 点关于直线x=1的对称点B',连接 B'D, B'D 与直线x=1的交点即是点M 的位置，继而求出m 的值.(3) 根据平行于y 轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减去较小的纵坐标， 可得PE 的长，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得 答案；(4) 设出点E 的，分情况讨论，①当点E 在线段AC 上时，点F 在点E 上方，② 当点E 在线段AC (或CA )延长线上时，点F 在点E 下方，根据平行四边形的性 质，可得关于x 的方程，继而求出点E 的坐标.【解答】解：(1)将A ，B, C 点的坐标代入解析式，得9a-3b+c — 0I ■- ■ - ■ 1， c=3解得心-2，t c=3抛物线的解析式为y=- x 2 - 2x+3(2) 配方，得y=-(x+1) 2+4,顶点D 的坐标为(-1, 4)作B 点关于直线x=1的对称点B',则 B' (4, 3)，由(1)得 D (- 1 可求出直线DB 的函数关系式为y 当M (1, m )在直线DB 上时，MN+MD 的值最小, 贝U m=-£x 1 + 严=¥ .5 5 5(圍1(3)作PE±x轴交AC于E点，如图2AC的解析式为y=x+3,设P (m, - m2- 2m+3), E (m, m+3),PE=- m2- 2m+3-( m+3) =- m2- 3m& APC^PE|X A|=—(-m2- 3m) x 3=-当口=-3时，厶APC的面积的最大值是2(4)由(1)、(2)得 D (- 1, 4), N(-1, 2)点E在直线AC上，设E (x, x+3),①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F(x，- x2-2x+3)，•••EF=DN•••- x2- 2x+3-( x+3) =4 - 2=2,解得，x=- 2或x=- 1 (舍去)，则点E的坐标为：(-2, 1).②当点E在线段AC(或CA)延长线上时，点F在点E下方，则F(x，- x2- 2x+3), •••EF=DN• ( x+3)- (- x2- 2x+3) =2,解得x= 或x=~2即点E的坐标为：(2 2综上可得满足条件的点E为E (-2, 1)或：(I", ；)或(2 ).【点评】本题考查了二次函数的综合题，解(1)的关键是待定系数法，解(2) 利用轴对称求最短路径；解(3)的关键是利用三角形的面积得出二次函数；解(4) 的关键是平行四边形的性质得出关于x的方程，要分类讨论，以防遗漏.3•如图，抛物线y=x2- 2x-3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，直线I 与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2 .(1)求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式；(2)P是线段AC上的一个动点(P与A，C不重合)，过P点作y轴的平行线交抛物线于点丘，求厶ACE H积的最大值；(3)若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D,直线AC与y轴交于点Q,点M为直线PE上一动点，则在x轴上是否存在一点N,使四边形DMNQ 的周长最小若存在，求出这个最小值及点M ,N的坐标；若不存在，请说明理由.(4)点H是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F,使A、C、F、H四个点为顶点的四边形是平行四边形如果存在，请直接写出所有满足条件的F点坐标；如【分析】(1)令抛物线y=x2- 2x- 3=0，求出x的值，即可求A，B两点的坐标，根据两点式求出直线AC的函数表达式；(2)设P点的横坐标为x (- Kx<2)，求出P、E的坐标，用x表示出线段PE 的长，求出PE的最大值，进而求出△ ACE的面积最大值；(3)根据D点关于PE的对称点为点C (2，- 3)，点Q (0，- 1)点关于x轴的对称点为M (0，1)，则四边形DMNQ的周长最小，求出直线CM的解析式为y=-2x+1,进而求出最小值和点M， N的坐标；(4)结合图形，分两类进行讨论，① CF平行x轴，如图1,此时可以求出F点两个坐标；②CF不平行x轴，如题中的图2，此时可以求出F点的两个坐标. 【解答】解：(1)令y=0，解得x i = - 1或X2=3,••• A (- 1, 0), B (3, 0);将C点的横坐标x=2代入y=x2- 2x- 3得y=- 3,•-C( 2,- 3),•••直线AC的函数解析式是y=-x- 1,(2)设P点的横坐标为x (- Kx<2),则P、E 的坐标分别为：P (x,- x- 1), E (x, x2-2x- 3),I P 点在E点的上方，PE= (- x- 1)-( x2-2x- 3) =- X2+X+2,.••当x丄时，PE 的最大值」,2 4△ ACE的面积最大值丄PE[2-( - 1) ]—PE」,2 2 8(3) D点关于PE的对称点为点C( 2, - 3),点Q (0, - 1)点关于x轴的对称点为K (0 , 1),连接CK交直线PE于M点,交x轴于N点,可求直线CK的解析式为y=- 2x+1 , 此时四边形DMNQ的周长最小,最小值=|CM|+QD=2 !,+2,求得M (1, - 1) , N (订,0).(4) 存在如图1,若AF// CH,此时的D和H点重合,CD=2,则AF=2,再根据 |HA|=|CF| ,求出 F 4 （4—衙，0）, Q ）.综上所述，满足条件的F 点坐标为F i (1, 0), F 2 (- 3, 0) , F3如护,°), F 4 (4-一 , 0).【点评】本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握 对称的知识和分类讨论解决问题的思路，此题难度较大.4. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y=-3x -3与x 轴交于点A ,与y 轴交于 点C .抛物线y=x 2+bx+c 经过A , C 两点，且与x 轴交于另一点B (点B 在点A 右 侧).(1) 求抛物线的解析式及点B 坐标；(2) 若点M 是线段BC 上一动点，过点M 的直线EF 平行y 轴交x 轴于点F ,交抛物如图2,根据点A 和F 的坐标中点和点 C 和点H 的坐标中点相同,线于点E.求ME长的最大值；(3)试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P,使以M， F，B，P为顶点的四边形是平行四边形若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.【分析】(1)先根据直线的解析式求出A、C两点的坐标，然后将A、C的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式.进而可根据抛物线的解析式求出B 点的坐标.(2)ME的长实际是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于ME的长和F点横坐标的函数关系式，可根据函数的性质来求出ME的最大值.(3)根据(2)的结果可确定出F，M的坐标，要使以M， F，B，P为顶点的四边形是平行四边形，必须满足的条件是MP// =BF,那么只需将M点的坐标向左或向右平移BF长个单位即可得出P点的坐标，然后将得出的P点坐标代入抛物线的解析式中，即可判断出是否存在符合条件的P点.【解答】解：(1)当y=0时，-3x- 3=0, x=- 1•-A (- 1, 0)当x=0 时，y=- 3,•-C( 0,- 3),抛物线的解析式是：y=f - 2x- 3.当y=0 时，x2- 2x- 3=0,解得：X1=— 1 , x2=3••• B (3, 0).(2)由(1)知 B (3, 0), C (0,- 3)直线 BC 的解析式是：y=x -3, 设 M (x , x -3) (0<x < 3),贝U E (x , x 2- 2x - 3)••• ME= (x - 3)-( x 2- 2x - 3) =- x 2+3x=-( x -丄)2丄；.••当x 』时，ME 的最大值为—. 2 4(3)答：不存在.•皿亡，BF =O B- OFj 设在抛物线x 轴下方存在点P ,使以P 、M 、F 、B 为顶点的四边形是平行四边形, 贝U BP// MF , BF// PM .• P i (0,- 一)或 P 2 (3,• P 2不在抛物线上.综上所述：在x 轴下方抛物线上不存在点P ,使以P 、M 、F 、B 为顶点的四边形 是平行四边形.【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定和性 质等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法. (2)中弄清线段ME 长度的函数意义是解题的关键. 5. 如图，矩形OABC 在平面直角坐标系中，点 A 在x 轴正半轴，点C 在y 轴正 半轴，OA=4, OC=3抛物线经过O , A 两点且顶点在BC 边上，与直线AC 交于 点D .(1) 求抛物线的解析式；由(2)知ME 取最大值时ME J , E4 15T 当 P i (0, 2 • P i 不在抛物线上. )时，由(1)知 y=“ - 2x - 3=- 3工-当 P 2 (3, )时，由(1)知 y=« - 2x - 3=0工-(2) 求点D的坐标；(3) 若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A, D, M , N为顶点的-2)2+3,将A(4, 0)坐标代入q求出a即可解决问题；(2)求出直线AC的解析式，利用方程组确定交点坐标即可;(3) 分两种情况考虑：①当点M在x轴上方时，如答图1所示；②当点M在x轴下方时，如答图2所示；分别利用待定系数法即可解决问题；【解答】解：(1)设抛物线顶点为E,根据题意OA=4, OC=3得：E (2，3)，设抛物线解析式为y=a (x- 2) 2+3,将A (4, 0)坐标代入得：0=4a+3,即a=-二，4则抛物线解析式为y=-[ (x-2) 2+3二-二/+3x;(2)设直线AC解析式为y=kx+b (〜0), 将A (4, 0)与C (0, 3)代入得: f 4Hb=0仏犬，解得：4,故直线AC解析式为y=-[x+3,与抛物线解析式联立得:3y=〒+3y=a (x（3）存在，分两种情况考虑：①当点M 在x 轴上方时，如答图1所示: B/ o M 3 —h四边形ADMN 为平行四边形，DM // AN, DM=AN,由对称性得到 M （3,号），即DM=2，故AN=2,•-N i （2，0），N 2 （6，0）;②当点M 在x 轴下方时，如答图2所示:/o\「 ■ 1 迟A 、\过点D 作DQ 丄x 轴于点Q ,过点M 作MP 丄x 轴于点P ,可得△ ADQ ^^ NMP ， ••• MP=DQ 卑,NP=AQ=34将y M =-寸代入抛物线解析式得：-亍=-亍x 2+3x ,解得：X M =2 -.厂或 X M =2+：：厂 i ,X N =X M - 3=-F F - 1 或曲 i — 1, K=1则点D 坐标为（二N3 (-屮1, o), N4( -1, o).综上所述，满足条件的点N有四个：N i (2, 0), N2 (6, 0), N3 (-W - 1, 0), N4 (衙-1, 0).【点评】此题考查了二次函数综合题、待定系数法确定抛物线解析式，一次函数与二次函数的交点，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.。

_ Q_ G_P_ O二次函数中的动点问题 三角形的存在性问题一、技巧提炼1、利用待定系数法求抛物线解析式的常用形式（1）、【一般式】已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为 ，然后解三元方程组求解； （2）、【顶点式】已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为 求解； 2、二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴是否有交点，可以用方程ax 2+bx+c = 0是否有根的情况进行判定；判别式ac b 42-=∆ 二次函数与x 轴的交点情况一元二次方程根的情况△ ＞ 0 与x 轴 交点 方程有 的实数根△ ＜ 0 与x 轴 交点 实数根 △ ＝ 0与x 轴 交点方程有 的实数根3、抛物线上有两个点为A （x 1，y ），B （x 2，y ） (1)对称轴是直线2x 21x x +=(2)两点之间距离公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：221221)()(y y x x PQ -+-=练一练：已知A （0，5）和B （－2，3），则AB ＝ 。

4、 常见考察形式1）已知A （1,0），B （0，2），请在下面的平面直角坐标系 坐标轴上找一点C ，使△ABC 是等腰三角形； 总结：两圆一线方法规律:平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；2）已知A （-2,0），B （1，3），请在平面直角坐标系中坐标轴 上找一点C ，使△ABC 是直角三角形；总结： 两线一圆方法规律{平面直角坐标系中已知一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆； 5、求三角形的面积：（1）直接用面积公式计算；（2）割补法；（3）铅垂高法； 如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线， 外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的 这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）． 我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =12ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。

函数解题思路方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;⑵ 求二次函数的最大(小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax ²+bx+c=0中a ，b ，c 的符号,或由二次函数中a,b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合;⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标。

⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax ²+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:动点问题题型方法归纳总结动态几何特点-——-问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中,特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

)动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨.二、 抛物线上动点5、（湖北十堰市)如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0）和点B (－3,0），与y 轴交于点C ．(1) 求抛物线的解析式；（2） 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ,使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3） 如图②,若点E 为第二象限抛物线上一动点,连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标—---①C为顶点时,以C为圆心CM 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时,以M为圆心MC为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时,线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P.第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。