二次函数的动点问题压轴题专题练习(含答案)

D
Q 从点 D(0， 2) 出发，沿 y 轴正方向以相同速度运动，当点 P 到达点 C 时，两点同时停止运
动，设运动的时间为 t 秒． （1）求 BAO 的度数．
（2）当点 P 在 AB 上运动时，△OPQ 的面积 S （平方单位）与时间 t （秒）之间的函数图 象为抛物线的一部分， （如图②） ，求点 P 的运动速度． （3）求（2）中面积 S 与时间 t 之间的函数关系式及面积 S 取最大值时点 P 的坐标． （4）如果点 P，Q 保持（2）中的速度不变，那么点 P 沿 AB 边运动时， OPQ 的大小随 着时间 t 的增大而增大；沿着 BC 边运动时， OPQ 的大小随着时间 t 的增大而减小，当点
b 3 19 即 S t 2 t 20 ． 2a 10 5
19 19 19 5 ，且 0 ≤ ≤ 10 ， 3 3 3 2 10
当 t
19 4 76 3 31 时， S 有最大值．此时 GP t ，OG 10 t ， 3 5 15 5 5
P 沿这两边运动时，使 OPQ 90 的点 P 有几个？请说明理由．
y C B Q D x O A （第 29 题图①） P 10 t O 5 （第 29 题图②） S 30
解: （1）∠BAO 60 ． （2）点 P 的运动速度为 2 个单位/秒． （3） P(10 t，3t ) （ 0 ≤ t ≤ 5 ）
3 100a 10b 20 28， a ， 3 19 10 S t 2 t 20 ． 63 10 5 25a 5b 20 . b 19 . 2 5
b 2a
19 19 19 19 5 ，且 0 ≤ ≤ 10 ， 当 t 时， S 有最大值． 3 3 3 3 2 10
b 4ac b 2 2 y ax bx c a 0 （抛物线 的顶点坐标是 ， ． 4a 2a
y D
s
28
C
A
P B
20
O
Q
E
图①
x
O
10
图②
t
[解] （1）作 BF y 轴于 F ．
A 0， 10 ，B 8， 4 ，
FB 8，FA 6 ． AB 10 ．
20 3 11.5 ，所以 OQ OM ，从而∠OPQ 90 ． 3 y 所以当点 P 在 AB 边上运动时，∠OPQ 90 的点 P 有 1 个． Q C M B 10 3 ( P) 17.8 ． ②同理当点 P 在 BC 边上运动时，可算得 OQ 12 H 3
由 △OPH ∽△OPM 得： OM
二次函数的动点问题压轴题专题练习
10 ， 4 ，顶点 C，D 在第一象 1. 如图①，正方形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为 0， 8，
0 出发， 限．点 P 从点 A 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点 Q 从点 E 4，
沿 x 轴正方向以相同速度运动．当点 P 到达点 C 时， P，Q 两点同时停止运动，设运动的 时间为 t 秒． （1）求正方形 ABCD 的边长． （2）当点 P 在 AB 边上运动时， △OPQ 的面积 S （平方单位）与时间 t （秒）之间的函数 图象为抛物线的一部分（如图②所示） ，求 P，Q 两点的运动速度． （3）求（2）中面积 S （平方单位）与时间 t （秒）的函数关系式及面积 S 取最大值时点 P 的坐标． （4）若点 P，Q 保持（2）中的速度不变，则点 P 沿着 AB 边运动时，∠OPQ 的大小随着 时间 t 的增大而增大；沿着 BC 边运动时，∠OPQ 的大小随着时间 t 的增大而减小．当点 P 沿着这两边运动时，使∠OPQ 90 的点 P 有 个．
此时 GP （4 ） 2 ．
76 31 76 31 ，OG ， 点 P 的坐标为 ， ． 15 5 15 5
2.如图①，Rt△ABC 中，B 90 ，CAB 30 ．它的顶点 A 的坐标为 (10， 0) ，顶点 B 的坐标为 (5， 5 3) ， AB 10 ，点 P 从点 A 出发，沿 A B C 的方向匀速运动，同时点
（2）由图②可知，点 P 从点 A 运动到点 B 用了 10 秒．又
AB 10， 10 10 1 ．
P，Q 两点的运动速度均为每秒 1 个单位．
（3）方法一：作 PG y 轴于 G ，则 PG ∥ BF ．
GA AP GA t ，即 ． FA AB 6 10wenku.baidu.com
1 1 3 3 3 S OQ OG t 4 10 t ． GA t ． OG 10 t ． OQ 4 t ， 2 2 5 5 5
1 9 121 ． S (2t 2)(10 t ) t 4 2 2
2
当 t
11 9 3 9 121 时， S 有最大值为 ，此时 P ， 2 2 ． 2 4
（4）当点 P 沿这两边运动时，∠OPQ 90 的点 P 有 2 个． ①当点 P 与点 A 重合时，∠OPQ 90 ，当点 P 运动到与点 B 重合时， OQ 的长是 12 单 位长度， 作 ∠OPM 90 交 y 轴于点 M ，作 PH y 轴于点 H ，
点 P 的坐标为
76 31 ， ． 15 5
1 63 ．设所求函数关系式为 OG OQ 2 2
过 点
方 法 二 ： 当 t 5 时 ， OG 7，OQ 9，S
S at 2 bt 20
．
抛
物
线
28， 10， 5，
63 2
，