二次函数动点问题解答方法技巧分析

函数解题思路方法总结:

⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;

⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax ²+bx+c=0中a,b,c 的符号,或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置,要数形结合;

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求与已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标、

⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式ax ²+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就就是所含字母x 的二次函数;下面以a ＞0时为例,揭示二次函数、二次三项式与一元二次方程之间的内在联系:

二、 抛物线上动点

5、(湖北十堰市)如图①, 已知抛物线32++=bx ax y (a ≠0)与x 轴交于点A (1,0)与点B (－3,0),与y 轴交于点C . (1) 求抛物线的解析式;

(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ,问在对称轴上就是否存在点P ,使△CMP 为等腰三角形？若存在,请直接写出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由. (3) 如图②,若点E 为第二象限抛物线上一动点,连接BE 、CE ,求四边形BOCE 面积的最大值,并求此时E 点的坐标.

注意:第(2)问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时,以C为圆心CM为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P,②M为顶点时,以M为圆心MC为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P,③P为顶点时,线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。

第(3)问方法一,先写出面积函数关系式,再求最大值(涉及二次函数最值); 方法二,先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标(涉及简单二元二次方程组),再求面积。

①特殊四边形为背景;

②点动带线动得出动三角形;

③探究动三角形问题(相似、等腰三角形、面积函数关系式);

④求直线、抛物线解析式;

⑤探究存在性问题时,先画出图形,再根据图形性质探究答案。

二次函数的动态问题(动点)

1、如图,已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次就是(40)A -，,(20)B -，,(08)E ，. (1)求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式;

(2)设抛物线1C 的顶点为M ,抛物线2C 与x 轴分别交于C D ，两点(点C 在点D 的左侧),顶点为N ,四边形MDNA 的面积为S .若点A ,点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动;与此同时,点M ,点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动,直到点A 与点D 重合为止.求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式,并写出自变量t 的取值范围;

(3)当t 为何值时,四边形MDNA 的面积S 有最大值,并求出此最大值;

(4)在运动过程中,四边形MDNA 能否形成矩形？若能,求出此时t 的值;若不能,请说明理由. [解] (1)点(40)A -，,点(20)B -，,点(08)E ，关于原点的对称点分别为(40)D ，,(20)C ，,(08)F -，. 设抛物线2C 的解析式就是

2(0)y ax bx c a =++≠,

则16404208a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，，．解得168a b c =-⎧⎪

=⎨⎪=-⎩

，，． 所以所求抛物线的解析式就是2

68y x x =-+-. (2)由(1)可计算得点(31)(31)M N --，，，.

过点N 作NH AD ⊥,垂足为H .

当运动到时刻t 时,282AD OD t ==-,12NH t =+. 根据中心对称的性质OA OD OM ON ==，,所以四边形MDNA 就是平行四边形. 所以2ADN S S =△.

所以,四边形MDNA 的面积2

(82)(12)4148S t t t t =-+=-++. 因为运动至点A 与点D 重合为止,据题意可知04t <≤.

所以,所求关系式就是2

4148S t t =-++,t 的取值范围就是04t <≤.

(3)781444S t ⎛⎫=--

+ ⎪⎝

⎭,(04t <≤).所以74t =时,S 有最大值814

. 提示:也可用顶点坐标公式来求.

(4)在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形.

由(2)知四边形MDNA 就是平行四边形,对角线就是AD MN ，,所以当AD MN =时四边形

MDNA 就是矩形.

所以OD ON =.所以2222OD ON OH NH ==+. 所以22420t t +-=.

解之得1222t t =-=，(舍). 所以在运动过程中四边形MDNA 可以形成矩形,

此时2t =

.

[点评]本题以二次函数为背景,结合动态问题、存在性问题、最值问题,就是一道较传统的压轴题,能力要求较高。

2、 (06福建龙岩卷)如图,已知抛物线2

34y x bx c =-++与坐标轴交于A B C ，，三点,点A 的横坐标为1-,过点(03)C ，的直线3

34y x t

=-+与x 轴交于点Q ,点P 就是线段BC 上的

一个动点,PH OB ⊥于点H .若5PB t =,且01t <<.

(1)确定b c ，的值:__________b c ==，;

(2)写出点B Q P ，，的坐标(其中Q P ，用含t 的式子表示):

(______)(______)(______)B Q P ，，，，，;

(3)依点P 的变化,就是否存在t 的值,使PQB △为等腰三角形？若存在,求出所有t 的值;若不

存在,说明理由. [解] (1)9

4

b =

3c = (2)(40)B ， (40)Q t ， (443)P t t -， (3)存在t 的值,有以下三种情况 ①当PQ PB =时

PH OB ⊥Q ,则GH HB =

4444t t t ∴--= 1

3

t ∴=

②当PB QB =时,得445t t -= 4

9

t ∴=

③当PQ QB =时,如图解法一:过Q 作QD BP ⊥,又

则522BP BD t ==又BDQ BOC △∽△ BD BQ BO BC ∴

=54424t

t -∴=32

t ∴=

解法二:作Rt OBC △斜边中线OE 则522

BC OE BE BE ===，,此时OEB PQB △∽△