高一数学必修一函数与方程基础知识点及提高练习

高一数学必修一章节重点知识点1~4单元全文共5篇示例，供读者参考高一数学必修一章节重点知识点1~4单元篇1集合的运算运算类型交集并集补集定义域r定义域r值域＞0值域＞0在r上单调递增在r上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）函数图象都过定点（0，1）注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a，b]上，值域是或；（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；（3）对于指数函数，总有；二、对数函数（一）对数1.对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（—底数，—真数，—对数式）说明：○1 注意底数的限制，且；○2 ；○3 注意对数的书写格式.两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数；○2 自然对数：以无理数为底的对数的对数 .指数式与对数式的互化幂值真数＝n ＝b底数指数对数（二）对数的运算性质如果，且，，，那么：○1 ＋；○2 －；○3 .注意：换底公式：（，且；，且；）.利用换底公式推导下面的结论：（1）；（2） .（3）、重要的公式①、负数与零没有对数；②、，③、对数恒等式（二）对数函数1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。

如：，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数.○2 对数函数对底数的限制：，且 .2、对数函数的性质：a>时，开口方向向上，a0时，抛物线向上开口;当a1，且∈_.当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.此时，的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical)，这里叫做根指数(radicalexponent)，叫做被开方数(radicand).当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以合并成±(>0).由此可得：负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作。

高一必修一上册数学知识点一、整式与分式1. 整式整式是由有理数和代数符号通过加、减、乘、乘方运算得到的表达式。

整式可以是常数、单项式、多项式或零多项式。

例如： -2, 3xy, 2x^2 + 3y - 5, 02. 分式分式是由一个整式的分子和分母组成的表达式，其中分母不能为0。

分式可以是有理数、单项式的比、多项式的比或零多项式的比。

例如：3/4, (2x)/(3y), (x^2 + 1)/(x - 1)二、一次函数与二次函数1. 一次函数一次函数是指函数表达式为f(x) = ax + b的函数，其中a和b为常数，且a不为0。

一次函数的图像为一条直线，斜率为a，截距为b。

2. 二次函数二次函数是指函数表达式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c为常数，且a不为0。

二次函数的图像为开口向上或向下的抛物线。

三、函数的概念与初等函数1. 函数的概念函数是指对于集合A和集合B之间的关系f，如果对于A中的每个元素x，都存在唯一的B中的元素y与之对应，则称f为从A到B的函数，记作f: A → B。

函数可以表示为一种映射关系，将自变量x映射到因变量y上。

2. 初等函数初等函数是指由代数函数、三角函数、指数函数和对数函数所组成的函数。

常见的初等函数包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等。

四、平方根与解二次方程1. 平方根平方根是指一个数的平方等于该数的非负实数解。

例如，√4= 2，√9 = 3。

2. 解二次方程二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c为常数，且a不为0。

解二次方程可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法。

五、三角函数与解直角三角形1. 三角函数三角函数是指以一个锐角的两条直角边的比值为变量的函数。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

2. 解直角三角形解直角三角形是指根据已知的某些角度或边长，利用三角函数的性质求解未知角度或边长的过程。

第2章一元二次函数、方程和不等式2.1 相等关系与不等关系2.1.2 基本不等式课后篇巩固提升必备知识基础练1.已知0<x<1,则当x (1-x )取最大值时,x 的值为( )A.13B.12C.14D.230<x<1,∴1-x>0.∴x (1-x )≤(x+1-x 2)2=14,当且仅当x=1-x ,即x=12时等号成立. 2.(多选题)下列不等式一定成立的是( )A.x 2+14>x (x>0)B.x+1x ≥2(x>0)C.x 2+18≥2|x|(x ∈R )D.1x 2+1>1(x ∈R )中,当x=12时,x 2+14=x ,所以A 不一定成立;B 中,当x>0时,x+1x ≥2,当且仅当x=1时等号成立,所以B 一定成立;C 中,不等式x 2+1-2|x|=(|x|-1)2≥0,即x 2+1≥2|x|恒成立,所以C 一定成立;D 中,因为x 2+1≥1,所以0<1x 2+1≤1,所以D 不成立. 3.已知t>0,则t 2-3t+1t 的最小值为 .1=t+1t -3≥2√t ·1t-3=-1,当且仅当t=1时等号成立. 4.设a>0,b>0,且不等式1a +1b +k a+b ≥0恒成立,求实数k 的最小值.解因为a>0,b>0,所以原不等式可化为k ≥-1a +1b (a+b ),所以k ≥-b a +a b -2.因为b a +a b ≥2,当且仅当a=b=1时等号成立.所以-b a +a b -2的最大值为-4.所以k ≥-4,即k 的最小值为-4. 5.已知a ,b ,c 为正数,求证:b+c -a a +c+a -b b +a+b -c c ≥3.=b a +c a -1+c b +a b -1+a c +b c -1=(b a +a b )+(c a +a c )+(c b +bc )-3. ∵a ,b ,c 为正数,∴b a +a b ≥2(当且仅当a=b 时等号成立);c a +a c≥2(当且仅当a=c 时等号成立); c b +b c≥2(当且仅当b=c 时等号成立). 从而(b a +a b )+(c a +a c )+(c b +b c )≥6(当且仅当a=b=c 时等号成立). ∴(b a +a b )+(c a +a c )+(c b +bc )-3≥3,即b+c -a a +c+a -b b +a+b -c c ≥3. 关键能力提升练6.(2021安徽宣城高一期末)已知a>0,b>0,若不等式1a +2b ≥m 2a+b 恒成立,则实数m 的最大值为 ( )A.10B .9C .8D .7a>0,b>0,则m ≤(1a +2b )(2a+b ),所以(1a +2b )(2a+b )=4+b a +4a b ≥4+2√b a ·4a b =8,当且仅当b a =4a b ,即b=2a 时等号成立,要使不等式恒成立,则m ≤8.即实数m 的最大值为8.故选C .7.(多选题)对于a>0,b>0,下列不等式正确的是( )A.√ab 2<1a +1b B .ab ≤a 2+b 22C .ab ≤(a+b 2)2D .(a+b 2)2≤a 2+b 22a=2>0,b=2>0时,1a +1b =1,√ab 2=1,√ab 2=1a +1b ,故A 不正确;显然B,C,D 均正确. 8.已知a>b>c ,则√(a -b )(b -c )与a -c 2的大小关系是 .√(a -b )(b -c )≤a -c 2 a>b>c ,∴a-b>0,b-c>0,∴a -c 2=(a -b )+(b -c )2≥√(a -b )(b -c ).当且仅当b=a+c 2时等号成立. 9.已知不等式(x+y )(1x +a y )≥9对任意正实数x ,y 恒成立,求正实数a 的最小值.(x+y )(1x +a y )=1+a+y x +ax y , 又x>0,y>0,a>0, ∴y x +ax y ≥2√y x ·ax y =2√a ,∴1+a+y x +ax y ≥1+a+2√a ,当且仅当y=√a x 时等号成立.∴要使(x+y )(1x +a y )≥9对任意正实数x ,y 恒成立,只需1+a+2√a ≥9恒成立即可. ∴(√a +1)2≥9,即√a +1≥3,∴a ≥4,故a 的最小值为4.学科素养创新练10.若a>0,b>0,且(a+b )√ab =1. (1)求ab 的最大值;(2)是否存在a ,b ,使得12a +13b 的值为√63?并说明理由.∵(a+b )√ab =1,∴a+b=√ab . ∵a>0,b>0,∴a+b ≥2√ab ,当且仅当a=b=√22时等号成立,∴√ab ≥2√ab ,∴ab ≤12,当且仅当a=b=√22时等号成立, ∴ab 的最大值为12.(2)不存在.理由如下, ∵a>0,b>0,∴12a +13b ≥2√12a ·13b =√6ab ≥2√33,当且仅当a=b=√22时等号成立.∵√63<2√33,∴不存在a,b使得12a+13b的值为√63.。

数学高一必修一月考知识点在高一数学必修一课程中，学生们将接触到一系列的数学知识点。

这些知识点对于学生的学习和提高数学能力至关重要。

本文将为你详细介绍数学高一必修一月考的主要知识点。

一、代数基础知识1.1 定义域和值域：对于一个函数，其定义域是指函数的自变量的取值范围，值域则是函数所有可能的取值。

1.2 幂和根的运算：包括乘法法则、幂的加法法则、零指数的定义等。

1.3 分式的运算：涉及到分式的加减乘除、分子分母的因式分解等。

1.4 二次根式：包括二次根式的化简、乘法法则、分式的运算等。

二、平面几何2.1 直线方程与图像：学习直线的斜截式、截距式、两点式等表达方式，并能够根据方程绘制直线图像。

2.2 镜面对称与旋转：掌握平面上的镜面对称和旋转变换，了解如何绘制被变换后的图形。

2.3 三角形的性质：包括等腰三角形、直角三角形的性质、勾股定理等。

2.4 平行线与角的性质：学习平行线之间的对应角、同位角等性质。

三、立体几何3.1 立体图形的投影：学会绘制长方体、正方体、棱柱等图形的各种视图及其投影。

3.2 空间几何体的计算：涉及到各种几何体的表面积和体积的计算方法。

四、函数与方程4.1 一次函数：学习一次函数的性质，掌握其图像以及如何确定函数的解析式。

4.2 二次函数：深入研究二次函数的性质，如顶点、轴、对称轴等，并学习如何化简二次函数的解析式。

4.3 指数函数与对数函数：了解指数函数和对数函数的基本形式及其性质，学会用对数函数解决实际问题。

4.4 一元二次方程：学习如何求解一元二次方程，包括配方法以及公式法。

五、概率统计5.1 随机事件与样本空间：了解随机事件和样本空间的基本概念，学会用事件发生的概率进行分析。

5.2 事件概率：学习如何计算事件发生的概率，包括等可能概型和不等可能概型。

5.3 统计图表的制作与分析：学习制作和分析各种统计图表，包括条形图、折线图、饼图等。

本文介绍了高一数学必修一月考的主要知识点，涵盖了代数基础、平面几何、立体几何、函数与方程以及概率统计等方面。

高一上必修一第三章《函数》知识点梳理3.1.1函数及其表示方法学习目标：（1）在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域、值域；（3）通过具体问题情境总结共性，抽象出函数概念，积累从具体到抽象的活动经验，发展数学抽象的核心素养。

【重点】1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.【难点】1、求函数的定义域和值域回顾初中所学的函数，在情境与问题中感受高中函数表达方式与初中的不同。

一、函数的概念我们已经学习过一些函数的知识，例如已经总结出：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数.再例如，我们知道y=2x是正比例函数，y=-3x-1是一次函数，y=-2是反比例函数，y=x2+2x-3是二次函数，等等。

【情境与问题】（1）国家统计局的课题组公布，如果将2005年中国创新指数记为100，近些年来中国创新指数的情况如下表所示。

以y表示年度值，i表示中国创新指数的取值，则i是y的的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？（2）利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图，如下图所示。

医生在看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果（如根据两个峰值的间距来得出心率等）.初中实际上是用变量的观点和解析式来描述函数的，但从情境与问题中的两个实例可知，初中的方法有一定的局限性：情境与问题中的i是y的函数，v是t的函数，但是这两个函数与初中的函数有所不同，比如都很难用一个解析式表示，而且每个变量的取值范围也有了限制，等等。

高一数学必修1知识点归纳完整版高一数学必修1的知识点涵盖了集合、函数、指数与对数函数、三角函数等重要内容，这些知识点是高中数学学习的基础，对于后续数学知识的掌握具有重要意义。

以下是高一数学必修1知识点的详细归纳：首先，集合的概念和运算是数学的基础。

我们需要掌握集合的定义、表示方法以及集合之间的关系，如子集、交集、并集和补集等。

集合的运算包括交集、并集、差集和补集的计算方法，这些运算在解决数学问题时经常用到。

其次，函数是数学中的核心概念之一。

在高一数学中，我们学习了函数的定义、性质、图像和应用。

函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性和最值等，这些都是分析函数行为的重要工具。

函数的图像可以帮助我们直观地理解函数的性质和变化趋势。

接着，指数与对数函数是高中数学中的重要内容。

指数函数和对数函数的定义、性质和图像是必须掌握的。

指数函数的增长速度和对数函数的衰减特性在实际问题中有着广泛的应用，例如在金融、物理和生物学等领域。

此外，三角函数是解决几何和物理问题中不可或缺的工具。

我们学习了正弦、余弦和正切函数的定义、性质、图像和应用。

三角函数的周期性、奇偶性和最值等性质对于解决实际问题非常重要。

同时，三角恒等变换和三角函数的和差化积、积化和差公式也是必须掌握的知识点。

最后，解析几何是高一数学中的另一个重要部分。

我们学习了直线的方程、圆的方程以及点与直线、直线与直线、直线与圆的位置关系。

这些知识点在解决几何问题时非常有用，例如计算距离、角度和面积等。

通过以上对高一数学必修1知识点的归纳，可以看出这些知识点构成了高中数学学习的基础框架。

掌握这些知识点对于提高数学思维能力和解决实际问题具有重要作用。

因此，同学们应该重视这些基础知识的学习，为后续的数学学习打下坚实的基础。

必修1第一章集合与函数基础知识点整理第1讲 §1。

1。

1 集合的含义与表示¤知识要点：1。

把一些元素组成的总体叫作集合(set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种:列举法，即把集合的元素一一列举出来,并用花括号“｛ ｝”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈},既要关注代表元素x ,也要把握其属性()P x ，适用于无限集.3。

通常用大写拉丁字母,,,A B C ⋅⋅⋅表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R 。

4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to )，分别用符号∈、∉表示，例如3N ∈,2N -∉.¤例题精讲：【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合:（1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合； （2）大于2且小于7的整数。

解：（1）用描述法表示为：2{|(23)0}x R x x x ∈--=； 用列举法表示为{0,1,3}-.(2）用描述法表示为:{|27}x Z x ∈<<； 用列举法表示为{3,4,5,6}.【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈,{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有： 17 A ； －5 A ； 17 B 。

解：由3217k +=,解得5k Z =∈，所以17A ∈;由325k +=-，解得73k Z =∉，所以5A -∉;由6117m -=，解得3m Z =∈，所以17B ∈。

【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2, P 13 A 组题4） （1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； (2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （3)反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合。

(2)log am b n＝nm log a b；(3)log a b·log b a＝1；(4)log a b·log b c·log c d＝log a d.7．对数函数的概念一般地，把函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．8．对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象性质定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0函数值的变化当0＜x＜1时，y＜0当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0当x＞1时，y＜0单调性是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数9.反函数对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)与指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)互为反函数.例1如图所示，曲线是对数函数y＝log a x的图象，已知a取3，43，35，110，则相应于c1，c2，c3，c4的a值依次为()A.3，43，35，110 B.3，43，110，35C.43，3，35，110 D.43，3，110，35解 (1)函数的零点是使函数值为0的自变量的值，所以函数f (x )＝x 2－2x 的零点为0和2，故(1)错．(2)虽然f (1)＝0，但1∉[2,5]，即1不在函数f (x )＝x －1的定义域内，所以函数在定义域[2,5]内无零点，故(2)错．要点二 判断函数零点所在区间例2 在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫－14，0 B.⎝⎛⎭⎫0，14 C.⎝⎛⎭⎫14，12 D.⎝⎛⎭⎫12，34 答案 C解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫14＝4e －2＜0， f (12)＝e －1＞0，∴f ⎝⎛⎭⎫14·f ⎝⎛⎭⎫12＜0， ∴零点在⎝⎛⎭⎫14，12上．规律方法 1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象．2．要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用 ，若f (x )图象在[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )＜0，则f (x )在(a ，b )上必有零点，若f (a )·f (b )＞0，则f (x )在(a ，b )上不一定没有零点． 跟踪演练2 函数f (x )＝e x ＋x －2所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2) 答案 C解析 ∵f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0， f (1)＝e 1＋1－2＝e －1＞0，∴f (0)·f (1)＜0， ∴f (x )在(0,1)内有零点．要点三 判断函数零点的个数例3 判断函数f (x )＝ln x ＋x 2－3的零点的个数．解 方法一 函数对应的方程为ln x ＋x 2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y ＝ln x 与y ＝3－x 2的图象交点个数．在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y ＝3－x 2与y ＝ln x 的图象只有一个交点．从而ln x ＋x 2－3＝0有一个根， 即函数y ＝ln x ＋x 2－3有一个零点． 方法二 由于f (1)＝ln 1＋12－3＝－2＜0， f (2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0，∴f (1)·f (2)＜0，又f (x )＝ln x ＋x 2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f (x )在(1,2)上必有零点， 又f (x )在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．规律方法 判断函数零点个数的方法主要有：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由f (x )＝g (x )－h (x )＝0，得g (x )＝h (x )，在同一坐标系下作出y 1＝g (x )和y 2＝h (x )的图象，利用图象判定方程根的个数；(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数． 跟踪演练3 函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 令f (x )＝2x |log 0.5x |－1＝0， 可得|log 0.5x |＝⎝⎛⎭⎫12x.设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点． 1．函数y ＝4x －2的零点是( ) A ．2 B ．(－2,0) C.⎝⎛⎭⎫12，0 D.12 答案 D解析 令y ＝4x －2＝0，得x ＝12.∴函数y ＝4x －2的零点为12.2．对于函数f (x )，若f (－1)·f (3)＜0，则( ) A ．方程f (x )＝0一定有实数解 B ．方程f (x )＝0一定无实数解 C ．方程f (x )＝0一定有两实根 D ．方程f (x )＝0可能无实数解 答案 D解析 ∵函数f (x )的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f (－1)·f (3)＜0，但未必函数y ＝f (x )在(－1,3)上有实数解．3．函数y ＝lg x －9x 的零点所在的大致区间是( )A ．(6,7)B ．(7,8)C．(8,9) D．(9,10)答案 D解析因为f(9)＝lg 9－1＜0，f(10)＝lg 10－910＝1－910＞0，所以f(9)·f(10)＜0，所以y＝lg x－9x在区间(9,10)上有零点，故选D.4．方程2x－x2＝0的解的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析在同一坐标系画出函数y＝2x，及y＝x2的图象，可看出两图象有三个交点，故2x－x2＝0的解的个数为3. 5．函数f(x)＝x2－2x＋a有两个不同零点，则实数a的范围是________．答案(－∞，1)解析由题意可知，方程x2－2x＋a＝0有两个不同解，故Δ＝4－4a＞0，即a＜1.【新方法、新技巧练习与巩固】一、基础达标1．下列图象表示的函数中没有零点的是()答案 A解析B，C，D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点．2．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点个数是()A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.3．根据表格中的数据，可以断定函数f(x)＝e x－x－2的一个零点所在的区间是()x －1012 3e x0.371 2.727.3920.09x＋21234 5A.(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2,3) 答案 C解析 由上表可知f (1)＝2.72－3＜0， f (2)＝7.39－4＞0，∴f (1)·f (2)＜0，∴f (x )在区间(1,2)上存在零点． 4．函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点所在的区间为( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5) 答案 B解析 f (1)＝ln 1＋2－6＝－4＜0， f (2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2＜0，f (3)＝ln 3＋6－6＝ln 3＞0，所以f (2)·f (3)＜0，则函数f (x )的零点所在的区间为(2,3)． 5．方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为( ) A ．(0,2) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 答案 C解析 令f (x )＝log 3x ＋x －3，则f (2)＝log 32＋2－3＝log 323＜0，f (3)＝log 33＋3－3＝1＞0，那么方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为(2,3)．6．已知函数f (x )为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于________． 答案 0解析 ∵奇函数的图象关于原点对称，∴若f (x )有三个零点，则其和必为0. 7．判断函数f (x )＝log 2x －x ＋2的零点的个数． 解 令f (x )＝0，即log 2x －x ＋2＝0， 即log 2x ＝x －2. 令y 1＝log 2x ，y 2＝x －2.画出两个函数的大致图象，如图所示，有两个不同的交点．所以函数f (x )＝log 2x －x ＋2有两个零点． 二、能力提升8．若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( ) A ．(a ，b )和(b ，c )内 B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内 答案 A解析 ∵f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋ (x －c )(x －a )，∴f (a )＝(a －b )(a －c )，f (b )＝(b －c )(b －a )， f (c )＝(c －a )(c －b )，∵a ＜b ＜c ，∴f (a )＞0，f (b )＜0，f (c )＞0， ∴f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内．9．若函数f (x )＝ax 2－x －1仅有一个零点，则a ＝__________. 答案 0或－14解析 a ＝0时，f (x )只有一个零点－1， a ≠0时，由Δ＝1＋4a ＝0，得a ＝－14.10．设x 0是方程ln x ＋x ＝4的解，且x 0∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 答案 2解析 令f (x )＝ln x ＋x －4， 且f (x )在(0，＋∞)上递增， ∵f (2)＝ln 2＋2－4＜0， f (3)＝ln 3－1＞0.∴f (x )在(2,3)内有解，∴k ＝2.11．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，x ∈[－1,4]． (1)画出函数y ＝f (x )的图象，并写出其值域；(2)当m 为何值时，函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1,4]上有两个零点？ 解 (1)依题意：f (x )＝(x －1)2－4，x ∈[－1,4]，其图象如图所示．由图可知，函数f (x )的值域为[－4,5]．(2)∵函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1,4]上有两个零点．∴方程f (x )＝－m 在x ∈[－1,4]上有两相异的实数根，即函数y ＝f (x )与y ＝－m 的图象有两个交点． 由(1)所作图象可知，－4＜－m ≤0，∴0≤m ＜4.∴当0≤m ＜4时，函数y ＝f (x )与y ＝－m 的图象有两个交点，故当0≤m ＜4时，函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1,4]上有两个零点． 三、探究与创新12．已知二次函数f (x )满足：f (0)＝3；f (x ＋1)＝f (x )＋2x . (1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝f (|x |)＋m (m ∈R )，若函数g (x )有4个零点，求实数m 的范围． 解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵f (0)＝3， ∴c ＝3，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3.f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋3＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋(a ＋b ＋3)， f (x )＋2x ＝ax 2＋(b ＋2)x ＋3， ∵f (x ＋1)＝f (x )＋2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋2，a ＋b ＋3＝3，解得a ＝1，b ＝－1， ∴f (x )＝x 2－x ＋3.(2)由(1)，得g (x )＝x 2－|x |＋3＋m ，在平面直角坐标系中，画出函数g (x )的图象，如图所示，由于函数g (x )有4个零点，则函数g (x )的图象与x 轴有4个交点． 由图象得⎩⎪⎨⎪⎧3＋m ＞0，114＋m ＜0，解得－3＜m ＜－114，即实数m 的范围是⎝⎛⎭⎫－3，－114. 13．已知二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4 ，求下列条件下，实数a 的取值范围． (1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1； (3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内． 解 (1)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得 ⎩⎪⎨⎪⎧(－2a )2－16≥0，f (1)＝5－2a ＞0，a ＞1.解得2≤a ＜52.(2)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，。

第三章 函数的概念与性质章节复习一、本章知识结构二、本章重难点概念知识点1、函数及三要素（定义域、对应法则、值域） 一、函数的概念2、区间一般区间、特殊区间、 端点大小关系、开闭区间 1、函数概念中强调三性：“任意性”、“存在性”、“唯一性”； 2、定义域、值域的结果写成集合或区间形式； 3、对应关系包括一对一、多对一。

一、判断对应法则或图象是否是一个函数（非空性、任意性x 、唯一确定性y ）二、判断两个函数是否是相同函数（定义域、对应法则） 三、求函数定义域(写成集合或区间形式)3、分段函数概念、表示方式、定义域、值域、图象4、复合函数（定义域、值域） 二、函数的表示法5、函数的单调性、单调区间 1、三种表示方法：解析法、列表法、图像法； 2、列表法表示的函数图象是一些孤立的点，函数图象呈现形式主要有2种：连续的曲线或孤立的点； 3、画函数图象方法：描点法（列表、描点、连线）6、函数的最大值、最小值7、函数的奇偶性8、幂函数（概念、图象、性质）三、题型1、求一般函数的定义域(写成集合或区间形式)函数类型定义域举例①整式函数R f(x)=x2+2x+3②分式函数分母不为0 f(x)=1 2x+3③偶次根式函数根号中式子≥0f(x)=√x2+2x−3④奇次根式函数R f(x)=√x2+2x+33⑤绝对值函数R f(x)=|x2+2x+3|⑥0次幂函数底数不为0 f(x)=(x2+2x−3)0⑦对数函数真数大于0 f(x)=log2(2x−3)⑧实际问题考虑实际意义正方形周长公式f(x)=4x(x>0)多个使函数有意义的条件用花括号连接，写成不等式组。

2、求复合函数的定义域①已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域；②已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域；③已知f(g(x))的定义域，求f(g(x))的定义域；④已知f(g(x))的定义域，求F(x)=f(g(x))+f(ℎ(x))的定义域关键：定义域是指自变量x的值相同对应法则f下的整体变量取值范围相同（空间不变原理）3、求简单函数的值域(写成集合或区间形式)函数类型定义域值域一次函数R R二次函数Ra>0时，[4ac−b24a,+∞)a<0时，(-∞,4ac−b24a]配方、画图、找最高点和最低点反比例函数(−∞,0)∪(0,+∞)(−∞,0)∪(0,+∞)分式函数分母不为0 配凑法（利用基本不等式求解）4、求函数的解析式①待定系数法②换元法/配凑法③方程组法/消元法 ④赋值法最后一定要考虑定义域，定义域不是R 一定要写出来5、函数单调性的判断、证明及应用 单调递增单调递减函数f(x)在区间D 上为增函数，x 1,x 2∈D ，且x 1≠x 2，则函数f(x)在区间D 上为减函数，x 1,x 2∈D ，且x 1≠x 2，则① x 1<x 2⟺f (x 1)<f(x 2) ① x 1<x 2⟺f (x 1)>f(x 2) ② (x 1−x 2)[f (x 1)−f(x 2)]>0 ② (x 1−x 2)[f (x 1)−f(x 2)]<0 ③f (x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0 ③f (x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0④ x 1f (x 1)+x 2f (x 2)>x 1f (x 2)+x 2f (x 1) ④ x 1f (x 1)+x 2f (x 2)<x 1f (x 2)+x 2f (x 1) 即x 与f(x)的变化趋势相同， 自变量增量与函数值增量同号。

第4章幂函数、指数函数和对数函数4.3 对数函数4.3.1 对数的概念课后篇巩固提升必备知识基础练1.方程2log 3x =14的解是( )A.19B.√3C.√33D.92log 3x =14=2-2,∴log 3x=-2, ∴x=3-2=19.2.(多选题)(2021湖南邵阳十一中高一期末)下列结论正确的是( )A.log 24=2B .2.10.5>2.1-1.8C .3log 32=2D .-log 55=124=2,故A 正确;根据函数y=2.1x 是增函数可知2.10.5>2.1-1.8,故B 正确;根据指对恒等式可知3log 32=2,故C 正确;-log 55=-1,故D 不正确.故选ABC .3.(2021北京大兴高一期末)813+log 122等于( )A.0B .1C .2D .3813=23×13=2.设lo g 122=x ,则(12)x =2,即2-x =2,则-x=1,x=-1,即lo g 122=-1.故813+lo g 122=2-1=1.故选B . 4.若a>0,a 2=49,则lo g 23a= .a 2=49且a>0,∴a=23,∴lo g 2323=1.5.解答下列各题.(1)计算:log 2164;log 3.12(log 1515).(2)已知log 4x=-32,log 3(log 2y )=1,求xy 的值.因为2-6=164,所以log 2164=-6. log 3.12(log 1515)=log 3.121=0.(2)因为log 4x=-32,所以x=4-32=2-3=18.因为log 3(log 2y )=1,所以log 2y=3. 所以y=23=8.所以xy=18×8=1.6.求下列各式的值:(1)lo g 1162;(2)log 7√493;(3)log 2(log 93).设lo g 1162=x ,则(116)x=2,即2-4x =2, ∴-4x=1,x=-14,即lo g 1162=-14.(2)设log 7√493=x ,则7x =√493=723. ∴x=23,即log 7√493=23.(3)设log 93=x ,则 9x =3,即32x =3, ∴x=12.设log 212=y ,则2y =12=2-1, ∴y=-1.∴log 2(log 93)=-1.关键能力提升练7.若log a 3=m ,log a 5=n (a>0且a ≠1),则a 2m+n 的值是( )A.15B.75C.45D.225log a 3=m ,得a m =3,由log a 5=n ,得a n =5,则a 2m+n =(a m )2·a n =32×5=45.8.已知f (x 6)=log 2x ,则f (8)=( )A.43B .8C .18D .12x 6=8,则x 2=2,因为x>0,所以x=√2,故f (8)=log 2√2.设log 2√2=y ,则2y =√2,即2y =212,则y=12,故f (8)=12.9.(多选题)(2021福建泉州高一期末)下列函数与y=x 相等的是( )A.y=√x 33B .y=√x 2C .y=log 77xD .y=7log 7xy=√x 33=x 的定义域为R ,故与y=x 相等;函数y=√x 2=|x|≥0,与y=x 对应关系不同,故不是同一个函数;函数y=log 77x =x ,且定义域为R ,对应关系相同,故与y=x 相等;y=7log 7x =x 的定义域为(0,+∞),与函数y=x 的定义域不相同,故不是同一个函数.故选AC .10.已知f (x )={1+log 2(2-x ),x <1,2x -1,x ≥1,则f (-2)+f (2)的值为( ) A.6B .5C .4D .3f (-2)+f (2)=(1+log 24)+2=5,故选B .11.已知lo g 12(log 2x )=lo g 13(log 3y )=1,则x ,y 的大小关系是( )A.x<yB.x=yC.x>yD.不确定lo g 12(log 2x )=1,所以log 2x=12.所以x=212=√2.又因为lo g 13(log 3y )=1,所以log 3y=13.所以y=313=√33. 因为√2=√236=√86<√96=√326=√33,所以x<y.故选A . 12.21+12·log 25的值等于 .√51+12log 25=2×212log 25=2×(2log 25)12=2×512=2√5. 13.已知log a b=log b a (a>0,a ≠1,b>0,b ≠1),求证:a=b 或ab=1.log a b=log b a=k ,则b=a k ,a=b k ,因此b=(b k )k =b k 2.因为b>0,b ≠1,所以k 2=1,即k=±1.当k=1时,a=b ;当k=-1时,a=b -1=1b ,即ab=1.综上可知a=b 或ab=1.学科素养创新练14.已知二次函数f (x )=(log 3a )x 2+2x+4log 3a (a>0)的最大值是3,求a 的值.f (x )有最大值,所以log 3a<0.又f (x )max =16log 32a -44log 3a =4log 32a -1log 3a =3,所以4lo g 32a-3log 3a-1=0.所以log 3a=1或log 3a=-14.因为log 3a<0,所以log 3a=-14.所以a=3-14.。