高三数学命题及其关系2

高三数学命题及其关系试题答案及解析1.下列命题中是真命题的是（）A．，均有B．若为奇函数，则C．命题“”为真命题，命题“”为假命题，则命题“”为假命题D．是函数的极值点【答案】C【解析】当=0时，则=1-，对不成立，故A错；对B，为奇函数，则=，，故B不成立.对C，因为“”为真命题，则是假命题，又因为“”为假命题，则命题“”为假命题，故C 成立.考点:2.已知命题p：∀x∈(1，＋∞)，log2x<log3x；命题q：∃x∈(0，＋∞)，2－x＝lnx.则下列命题中为真命题的是()A．p∧q B．(p)∧q C．p∧(q)D．(p)∧(q)【答案】B【解析】函数y＝log2x与y＝log3x的图象如图(1)所示，函数y＝2－x与y＝lnx的图象如图(2)所示．如图可知，p假q真，故选B.3.已知函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R.(1)求证：若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；(2)判断(1)中命题的逆命题是否正确，并证明你的结论．【答案】（1）见解析（2）逆命题是真命题，见解析【解析】解：(1)由a＋b≥0，得a≥－b.由函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，得f(a)≥f(－b)，同理，f(b)≥f(－a)，所以f(a)＋f(b)≥f(－b)＋f(－a)，即f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．(2)对于(1)中命题的逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0，此逆命题为真命题．现用反证法证明如下：假设a＋b≥0不成立，则a＋b<0，a<－b，b<－a，根据f(x)的单调性，得f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，这与已知f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾，故a＋b<0不成立，即a＋b≥0成立，因此(1)中命题的逆命题是真命题．4.下列结论中正确的是(填上所有正确结论得序号)①对于函数，若，使得，则函数关于直线对称；②函数有2个零点；③若关于的不等式的解集为，则；④已知随机变量服从正态分布且，则；⑤等比数列的前项和为，已知，则【答案】③④⑤【解析】①中，，使得，只是表示在两个特殊值处的函数值相等，不一定关于直线对称，故①错；②中，当时，或，又因不在定义域范围内，所以函数有一个零点，为故②错；③中，因为关于的不等式的解集为，所以，为关于的方程，即两根，代入解得，故③正确；④中，，故④正确；⑤中，设等比数列公比为，，又，所以，化简得，因为，所以，故⑤正确；故答案为③④⑤【考点】命题的真假判断.5.已知c>0，设命题p：函数y＝c x为减函数．命题q：当x∈时，函数f(x)＝x＋>恒成立．如果p或q为真命题，p且q为假命题，求c的取值范围．【答案】【解析】解：由命题p为真知，0<c<1，由命题q为真知，2≤x＋≤，要使此式恒成立，需<2，即c>，若p或q为真命题，p且q为假命题，则p、q中必有一真一假，当p真q假时，c的取值范围是0<c≤；当p假q真时，c的取值范围是c≥1.综上可知，c的取值范围是.6.命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是________________________．【答案】若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数【解析】否命题既否定题设又否定结论．7.如果命题“綈(p∧q)”是真命题，则()A．命题p、q均为假命题B．命题p、q均为真命题C．命题p、q中至少有一个是真命题D．命题p、q中至多有一个是真命题【答案】D【解析】命题“綈(p∧q)”是真命题，则命题“p∧q”是假命题，则命题p、q中至多有一个是真命题，故选D．8.已知命题，使为偶函数；命题，则下列命题中为真命题的是（）A．B．C．D．【答案】Ｃ【解析】当时，函数是偶函数，故命题是真命题；，故命题是假命题，故选C．【考点】复合命题的真假判断.9.给出下列三个结论：（1）若命题为假命题，命题为假命题，则命题“”为假命题；（2）命题“若，则或”的否命题为“若，则或”；（3）命题“”的否定是“ ”.则以上结论正确的个数为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】∵命题为假命题，∴命题q是真命题，∴命题“”为真命题，所以第一个结论错误；命题“若，则或”的否命题为“若，则且”，所以第二个结论错误；命题“”的否定是“”，所以第三个结论错误；所以综上得：结论都错误.【考点】1.命题的真假；2.否命题；3.命题的否定.10.下列命题中的真命题是（）A．对于实数、b、c，若，则B．x2＞1是x＞1的充分而不必要条件C．，使得成立D．，成立【答案】C【解析】解：因为当时，，所以A项是假命题；因为由得：或；所以是的必要不充分条件，所以B项是假命题；因为，所以存在，使得成立.所以C项是真命题.当 ,等式两边均无意义,等式不成立,所以,D项是假命题.故选C.【考点】1、不等式的性质；2、充要条件；3、两角和与差的三角函数.11.若命题，；命题，. 则下面结论正确的是（）A．是假命题B．是真命题C．是假命题D．是真命题【答案】D【解析】由得，，所以，是真命题；又恒成立，所以，是真命题；因此，是真命题，故选．【考点】简单逻辑联结词，存在性命题，全称命题.12.在命题p的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，正确命题的个数记为f(p)，已知命题p：“若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，则a1b2－a2b1＝0”．那么f(p)＝________．【答案】2【解析】若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0与l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，则必有a1b2－a2b1＝0，但当a1b2－a2b1＝0时，直线l1与l2不一定平行，还有可能重合，因此命题p是真命题，但其逆命题是假命题，从而其否命题为假命题，逆否命题为真命题，所以在命题p的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，有2个正确命题，即f(p)＝2.13.若命题“存在实数x0，使x＋ax＋1<0”的否定是真命题，则实数a的取值范围为________．【答案】[－2，2]【解析】该命题的否定为“x∈R，x2＋ax＋1≥0”，则Δ＝a2－4≤0，－2≤a≤2.14.对于以下判断：（1）命题“已知”，若x2或y3，则x+y5”是真命题.（2）设f(x)的导函数为f'(x)，若f'(x0)＝0，则x是函数f(x)的极值点.（3）命题“,e x﹥0”的否定是：“,e x﹥0”.（4）对于函数f(x)，g(x)，f(x)g(x)恒成立的一个充分不必要的条件是f(x)min g(x)max.其中正确判断的个数是（）A．1B．2C．3D．0【答案】A【解析】对（1），原命题与逆否命题等价，原命题不易判断故考查该命题的逆否命题.因为若，则且是假命题，所以“已知”，若x2或y3，则x + y5”也是假命题.（1）错.（2）设f(x)的导函数为f' (x)，若f' (x0)＝0，x不一定是函数f(x)的极值点.比如，就不是的极值点.（2）错. （3）命题“,e x﹥0”的否定是：“,e x<0”.所以（3）错.（4）对于函数f(x)，g(x)，当f(x)min g(x)max时f(x)g(x)恒成立；f(x)g(x)恒成立时，不一定有f(x)min g(x)max，比如，.所以（4）正确.【考点】逻辑与命题.15.下列说法中正确的是（）A．“”是“”必要条件B．命题“，”的否定是“，”C．，使函数是奇函数D．设，是简单命题，若是真命题，则也是真命题【答案】B【解析】A．“”应该是“”充分条件.故A错.B．全称命题：“”的否定为“”.所以，命题“，”的否定是“，”，正确.C．不论为何值，函数都不可能是奇函数.故C错.D．若是真命题，那么中有可能一真一假，这样是假命题.所以D错.【考点】逻辑与命题.16.集合，，若命题，命题，且是必要不充分条件，求实数的取值范围。

一、考点要求：内 容 要 求 A B C 常用逻辑用语命题的四种形式√ 必要条件、充分条件、充分必要条件 √ 简单的逻辑联结词 √ 全称量词与存在量词√二、知识要点：1、四种命题：①四种命题：原命题：若p 则q ；逆命题： 、否命题： 逆否命题： .②四种命题的关系：原命题为真，它的逆命题 、否命题 、逆否命题 ．原命题与它的逆否命题同 、否命题与逆命题同 ．③反证法：欲证“若p 则q ”为真命题，从否定其 出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而判定原命题为真，这样的方法称为反证法． 2、充要条件①充分条件：如果p q ⇒则p 叫做q 的 条件，q 叫做p 的 条件． ②必要条件：如果q p ⇒则p 叫做q 的 条件，q 叫做p 的 条件． ③充要条件：如果p q ⇒且q p ⇒则p 叫做q 的 条件．注：①p 是q 的充分不必要条件等价于 ②p 的充分不必要条件是q 等价于 ③p 是q 的必要不充分条件等价于 ②p 的必要不充分条件是q 等价于 3、全称量词与存在量词①全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示。

②存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示。

③全称命题：含有全称量词的命题。

“对∀x ∈M ，有p （x ）成立”简记成“∀x ∈M ，p （x ）”。

否定形式是 ④存在性命题：含有存在量词的命题。

“∃x ∈M ，有p （x ）成立” 简记成“∃x ∈M ，p （x ）”。

否定形式是 三、课前热身：1. 对原命题及其逆命题，否命题，逆否命题这四个命题而言，假命题的个数是____ __．2. 命题“若b a >，则122->ba”的否命题为__ ___ 3. 命题“0x ∃<，有20x >”的否定是 ．4.设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |xx －1<0，B ＝{x |0<x <3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的_ _条件．5. 已知条件p ：（x+1）2>4，条件q:x>a,且q p ⌝⌝是的充分而不必要条件，则a 的取值范围 是6.若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(1－a )x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围为______________．四、例题选讲：例1：已知0c >且1c ≠，设:p 函数(21)xy c c =-⋅在R 上为减函数，:q 不等式2(2)1x x c +->的解集为R .若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数c 的取值范围.例2：已知p ： |1－31-x |≤2，q ：:x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)，若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.例3：若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋2π，b ＝y 2－2z ＋3π，c ＝z 2－2x ＋6π．求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0．例4：设,OA OB 是不共线的向量，若(,)OP aOA bOB a b R =+∈，求三点,,A B P 共线的充要条件。

高三数学命题及其关系试题1.已知命题（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为命题的否定为，所以命题总有为，使得，选B.【考点】命题的否定2.命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x2≥0D．存在x∈R，使得x2＜0【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x 0∈R，使得x2＜0．故选D．3.对于命题p:∀x∈[0,+∞),(log32)x≤1,()A．是假命题,p:∃x∈[0,+∞),>1B．是假命题,p:∀x∈[0,+∞),(log32)x≥1C．是真命题,p:∃x∈[0,+∞), >1D．是真命题,p:∀x∈[0,+∞),(log32)x≥1【答案】C【解析】由于0<log32<1,所以当x≥0时,(log32)x≤1恒成立,所以该命题是真命题.且原命题是全称命题,否定应该为特称命题:∃x∈[0,+∞),>1.故选C.4.命题“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定是;它的否命题是.【答案】存在末位数字是0或5的整数不能被5整除末位数字不是0且不是5的整数不能被5整除【解析】如果把末位数字是0或5的整数集合记为M,则这个命题可以改写为“x∈M,x能被5整除”,因此这个命题的否定是“x∈M,x不能被5整除”,即“存在末位数字是0或5的整数不能被5整除”;这个命题的条件是“末位数是0或5的整数”,结论是“这样的数能被5整除”,故其否命题是“末位数字不是0且不是5的整数不能被5整除”.5.已知命题：如果，那么；命题：如果，那么；命题：如果，那么.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是 ( )①命题是命题的否命题，且命题是命题的逆命题.②命题是命题的逆命题，且命题是命题的否命题.③命题是命题的否命题，且命题是命题的逆否命题.A．①③；B．②；C．②③D．①②③【答案】A【解析】本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确，选A.【考点】四种命题.6.命题“，使得”的否定为（）A．，都有B．，都有C．，都有D．，都有【答案】D【解析】存在性命题的否定是全称命题，否定原结论. 命题“，使得”的否定为是：，都有，故选D.【考点】全称命题与存在性命题7.以下判断正确的是（）A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B．命题“”的否定是“”C．“”是“函数的最小正周期是”的必要不充分条件D．“”是“函数是偶函数”的充要条件【答案】D【解析】选项A是全称命题，不正确；选项B应该是少了等于，不正确；对于选项C,，周期是，当，则周期是，当周期是，则，所以应该是充要条件不正确；选项D正确，故选D.【考点】1.逻辑语言和充分必要条件；2.三角函数的周期.8.已知p：f(x)＝，且|f(a)|<2；q：集合A＝{x|x2＋(a＋2)x＋1＝0，x∈R}，且A≠Ø.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【答案】.【解析】由p为真命题得出a的取值范围，再由q为真命题得出a的取值范围，根据题意知，p、q一真一假，分类讨论解答.试题解析：若|f(a)|＝||<2成立，则－6<1－a<6，即当－5<a<7时p是真命题 3分若A≠Ø，则方程x2＋(a＋2)x＋1＝0有实数根，由Δ＝(a＋2)24≥0，解得a≤4，或a≥0，即当a≤4，或a≥0时q是真命题； 6分由于p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p与q一真一假，p真q假时，，∴4<a<0. 8分p假q真时，，∴a≤5或a≥7. 10分故知所求a的取值范围是． 12分【考点】命题及其关系、绝对值不等式的解法、一元二次方程解的情况.9.命题：对任意，的否定是( )A．：存在,B．：存在,C．：不存在,D．：对任意，【答案】A【解析】所给命题是全称性命题，它的否定是一个存在性命题，即存在，.【考点】全称命题的否定10.命题“存在实数，使”的否定为（）A．对任意实数，都有B．不存在实数，使C．对任意实数，都有D．存在实数，使【答案】A【解析】特称命题的否定为：对任意实数，都有，选.【考点】命题的否定.11.下列命题：（1）“若，则”的逆命题；（2）“全等三角形面积相等”的否命题；（3）“若，则的解集为R”的逆否命题；（4）“若为有理数，则为无理数”。

高三数学（理）集体备课记录实施教学过程一、考点知识自主梳理1．四种命题及相互关系2．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的条件，同时q是p的条件；(2)如果p⇒q，但q p，则p是q的条件；(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的条件；(4)如果q⇒p，且p q，则p是q的条件；(5)如果p q，且q p，则p是q的条件．思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．( )(2)命题“α＝π4，则tan α＝1”的否命题是“若α＝π4，则tanα≠1”．( )(3)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．( )(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )(5)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．( )二、考点题型自主探究题型一命题及其关系例1 (1)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数“的逆否命题是( )A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数 B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数 D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A．真，假，真 B．假，假，真 C．真，真，假D．假，假，假思维升华(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．题型二充分必要条件的判定例2 (1)设正数a，b都是不等于1，则“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的( ) A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件(2)一次函数y＝－mnx＋1n的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )A．m>1，且n<1 B．mn<0 C．m>0，且n<0 D．m<0，且n<0思维升华充要条件的三种判断方法：(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．题型三充分必要条件的应用例3 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．引申探究1．本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．2．本例条件不变，若x∈綈P是x∈綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．思维升华充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．三、课时小结思想方法应用1．等价转化思想在充要条件中的应用典例(1)已知p：(a－1)2≤1，q：∀x∈R，ax2－ax＋1≥0，则p是q成立的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件(2)已知条件p：x2＋2x－3>0；条件q：x>a，且¬q的一个充分不必要条件是¬p，则a的取值范围是( )A．[1，＋∞) B．(－∞，1] C．[－1，＋∞) D．(－∞，－3]温馨提醒(1)本题用到的等价转化①将¬p，¬q之间的关系转化成p，q之间的关系．②将条件之间的关系转化成集合之间的关系．(2)对一些复杂、生疏的问题，利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题，在解题中经常用到．方法与技巧1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．2．充要条件的几种判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．(2)等价法：即利用A⇒B与綈B⇒綈A；B⇒A与綈A⇒綈B；A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}：若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A B，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件．失误与防范1．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提．2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式．3．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言．四、课后作业《练出高分》P270。

考点02 命题及其关系、充分条件和必要条件【考纲要求】理解必要条件、充分条件与充要条件的意义． 【命题规律】考查充分条件与必要条件的题型一般以选择题或填空题的形式出现，以集合、函数、数列、三角函数、不等式及立体几何中的线面关系为载体，难度一般不大． 【典型高考试题变式】（一）充分条件与必要条件的判定例1．（2021全国甲卷理7）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则 （ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B【分析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【解析】由题，当数列为2,4,8,---时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，∴甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，∴甲是乙的必要条件，故选B ．【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．【变式1】【2018年北京卷文】设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的A ． 充分而不必要条件B ． 必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 分析：证明“”“成等比数列”只需举出反例即可，论证“成等比数列”“”可利用等比数列的性质.【名师点睛】充分条件、必要条件的判断方法：①定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．②等价法：利用p ⇒q 与⌝q ⇒⌝p ，q ⇒p 与⌝p ⇒⌝q ，p ⇔q与⌝q ⇔⌝p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．③集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 【变式2】【变式1中的条件与结论换位】设a,b,c,d 是非零实数，则“a,b,c,d 成等比数列”是“ad=bc ”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由a,b,c,d 成等比数列可得ad=bc ，当时，a,b,c,d 不是等比数列，所以“a,b,c,d成等比数列”是“ad=bc ”的充分而不必要条件，故选A.例2．（2021年高考天津卷2）已知a ∈R ，则“6>a ”是“362>a ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解．【解析】由题意，若6a >，则236a >，故充分性成立；若236a >，则6a >或6a <-，推不出6a >，必要性不成立；∴“6a >”是“236a >”的充分不必要条件，故选A ． 【名师点睛】充分条件与必要条件的两个特征：①对称性：若p 是q 的充分条件，则q 是p 的必要条件，即“p ⇒q ”⇔“q ⇐p ”．②传递性：若p 是q 的充分(必要)条件，q 是r 的充分(必要)条件，则p 是r 的充分(必要)条件，即“p ⇒q 且q ⇒r ”⇒“p ⇒r ”(“p ⇐q 且q ⇐r ”⇒“p ⇐r ”)． 【变式1】【改变例题的条件】设，则“24x >”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件 【答案】C【解析】由242x x >⇔>或2x <-，所以“24x >”是“||2x >”的充分必要条件，故选C. （二）充分条件与必要条件的运用例3．【2019·全国Ⅱ卷】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件；由面面平行的性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件，故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行，故选B ．【变式1】【改变例题中的问法】设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】//m β不能推出//αβ，而//αβ，//m β⇒，∴“//m β”是“//αβ”的必要不充分条件，故选B ． 例4.【2011全国卷】下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是( ) A ．1a b >+ B ．1a b >- C ．22a b > D ．33a b > 【答案】A【解析】由1a b >+，得a b >；反之不成立，故选A.【名师点津】命题p 是q 的必要不充分条件⇔p q ⇒且q p ⇒；命题p 的必要不充分条件是q ⇔q p ⇒且p q ⇒. 这两种说法有区别，不能混淆.【变式1】【改变例题中的问法】下面四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是( ) A ．1a b >+ B ．1a b >- C ．22a b > D ．33a b > 【答案】B【解析】由a b >，可得1a b >-；反之不成立，故选B.【变式2】【改变例题中的条件、问法】下面四个条件中，使33a b >成立的充要的条件是( ) A ．1a b >+ B ．a b <C ．22a b >D ．a b > 【答案】C【解析】由a b >，可得33a b >；反之也成立，故选C. （三）新定义问题例5.【2011湖北卷】若实数a ，b 满足0,0,0a b ab ≥≥=且，则称a 与b 互补，记()22,a b a b a b ϕ=+-，那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件 【答案】C【名师点津】紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．【变式1】【2010年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】记实数1x ，2x ，……n x 中的最大数为max {}12,,......n x x x ，最小数为min {}12,,......n x x x 。

课时提升练(二)命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1．(2023·东北四市联考)以下命题中真命题是( )A．“a>b”是“a2>b2”的充分条件B．“a>b”是“a2>b2”的必要条件C．“a>b”是“ac2>bc2”的必要条件D．“a>b”是“|a|>|b|”的充要条件【解析】C中，当c2＝0时，由a>b ac2>bc2；反过来，由ac2>bc2⇒a>b，故“a>b”是“ac2>bc2”的必要条件．【答案】 C2．命题“假设a，b，c成等比数列，那么b2＝ac”的逆否命题是( )A．“假设a，b，c成等比数列，那么b2≠ac”B．“假设a，b，c不成等比数列，那么b2≠ac”C．“假设b2＝ac，那么a，b，c成等比数列”D．“假设b2≠ac，那么a，b，c不成等比数列”【解析】根据原命题与其逆否命题的关系知，命题“假设a，b，c成等比数列，那么b2＝ac”的逆否命题为“假设b2≠ac，那么a，b，c不成等比数列”．【答案】 D3.(2023·长沙模拟)设A，B为两个互不相同的集合，命题p：x∈A∩B，命题q：x∈A 或x∈B，那么┑q是┑p的( )A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件【解析】由题意p⇒q，故┑q⇒┑p；而q p，故┑p┑q，所以┑q是┑p的充分不必要条件．【答案】 B4．有以下四个命题：①“假设x＋y＝0，那么x，y互为相反数”的逆否命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“假设q≤1，那么x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中的真命题为( )A．①②B．②③C．①③D．③④【解析】“假设x＋y＝0，那么x，y互为相反数”为真命题，那么逆否命题也为真；“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等”，该否命题为假命题；假设q≤1⇒4－4q≥0，即Δ＝4－4q≥0，那么x2＋2x＋q＝0有实根，所以原命题为真命题，故其逆否命题也为真；“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题为“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，该逆命题为假命题．应选C.【答案】 C5．(2023·重庆模拟)假设p是q的必要条件，s是q的充分条件，那么以下推理一定正确的选项是( )A．┑p⇔┑s B．p⇔sC．┑p⇒┑s D．┑s⇒┑p【解析】由题意得q⇒p，且s⇒q，故s⇒p，所以┑p⇒┑s.【答案】 C6．(2023·深圳高级中学高三月考)命题：①假设“p且q”为假命题，那么p，q均为假命题；②命题“假设x≥2且y≥3，那么x＋y≥5”的否命题为“假设x<2且y<3，那么x＋y<5”；③在△ABC中，“A>45°”是“sin A>22”的充要条件；④命题“∃x0∈R，使得e x0≤0”是真命题．其中正确命题的个数是( )A．3 B．2C．1 D．0【解析】假设“p且q”为假命题，那么p，q至少有一个为假命题，①错；②中命题的否命题为：“假设x<2或y<3，那么x＋y<5”，②错；③中当A＝150°时，sin A<22，③错；由指数函数的性质，可知∀x∈R，e x>0，故④错．【答案】 D7．(2023·天津高考)设a，b∈R，那么“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解析】当b＜0时，显然有a＞b⇔a|a|＞b|b|；当b＝0时，显然有a＞b⇔a|a|＞b|b|；当b＞0时，a＞b有|a|＞|b|，所以a＞b⇔a|a|＞b|b|.综上可知a＞b⇔a|a|＞b|b|，应选C.【答案】 C8．(2023·甘肃诊断)以下选项中，p是q的必要不充分条件的是( ) A．p：x＝1，q：x2＝xB．p：A∩B＝A，q：∁U B⊆∁U AC．p：x>a2＋b2，q：x>2abD．p：a＋c>b＋d，q：a>b且c>d【解析】A中，x＝1⇒x2＝x，x2＝x⇒x＝0或x＝1 x＝1，故p是q的充分不必要条件；B中，由A∩B＝A得A⊆B，所以∁U B⊆∁U A.反之，假设∁U B⊆∁U A，那么A⊆B，那么A∩B ＝A，故p是q的充要条件；C中，因为a2＋b2≥2ab，由x>a2＋b2得x>2ab.反之不成立，如a＝0，b＝2，x＝1，那么有x>2ab，但x＝1<4＝a2＋b2，故p是q的充分不必要条件；D中，取a＝－1，b＝1，c＝0，d＝－3，满足a＋c>b＋d，但a<b，c>d.反之，由同向不等式可加性得a>b，c>d⇒a＋c>b＋d，故p是q的必要不充分条件．综上所述，应选D.【答案】 D9．(2023·福建高考)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，那么“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】 将直线l 的方程化为一般式得kx －y ＋1＝0，所以圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心到该直线的距离d ＝1k 2＋1.又弦长为21－1k 2＋1＝2|k |k 2＋1，所以S △OAB ＝12·1k 2＋1·2|k |k 2＋1＝|k |k 2＋1＝12，解得k ＝±1.因此可知“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分而不必要条件，应选A.【答案】 A10．已知集合A ＝{x |x ＞5}，集合B ＝{x |x ＞a }，假设命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件，那么实数a 的取值范围是( )A ．a ＜5B ．a ≤5C ．a ＞5D ．a ≥5【解析】 由题意可知A B ，又A ＝{x |x ＞5}，B ＝{x |x ＞a }，如下图，由图可知a ＜5.【答案】 A11．(2023·上海高考)钱大姐常说“廉价没好货”，她这句话的意思是：“不廉价”是“好货”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件【解析】 根据等价命题，廉价⇒没好货，等价于，好货⇒不廉价，应选B. 【答案】 B12．(2023·湖北高考)设U 为全集，A ，B 是集合，那么“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的( )A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件【解析】 假设存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，那么可以推出A ∩B ＝∅；假设A ∩B ＝∅，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件． 【答案】 C 二、填空题13．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，那么“a ＝3”是“A ⊆B ”的________条件． 【解析】 a ＝3⇒A ⊆B ，A ⊆B ⇒a ＝2或3，因此“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件． 【答案】 充分不必要14．在命题p 的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，真命题的个数记为f (p )，已知命题p ：“假设两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0，l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，那么a 1b 2－a 2b 1＝0”．那么f (p )＝________.【解析】 命题p 为真命题，其逆否命题也为真命题；命题p 的逆命题为假命题，其否命题也为假命题．【答案】 215．假设命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，那么实数a 的取值范围是________． 【解析】 由题意得，ax 2－2ax －3≤0，当a ＝0时，有－3≤0，成立；当a ≠0时，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，即－3≤a <0，综上知－3≤a ≤0.【答案】 [－3,0]16．已知命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －10≤0，命题q ：1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0，假设q 是p 的必要而不充分条件，那么m 的取值范围为________．【解析】 命题p ：－2≤x ≤10，由q 是p 的必要不充分条件知， {x |－2≤x ≤10}{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞01－m ≤－21＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞01－m ＜－21＋m ≥10，∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)． 【答案】 [9，＋∞)。

第108课时 命题及其关系、充要条件一、要点梳理1、四种命题及其关系2、充分条件、必要条件、充分必要条件的概念二、基础练习1、(重庆文) 设x 是实数，则“x ＞0”是“|x |＞0”的 。

2、(重庆理) 设m,n 是整数，则“m,n 均为偶数”是“m+n 是偶数”的 。

3、(湖北文) 若集合{1,2,3,4},{05,},P Q x x x R ==<<∈则“x R ∈”是“x Q ∈”的 。

4、(北京文)“双曲线的方程为221916x y -=”是“双曲线的准线方程为95x =±”的 。

5、“a=1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的 。

6、(广东文) 命题“若函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数，则log 20a <”的逆否命题是 。

7、(辽宁理) 圆221x y +=与直线2y kx =+没有公共点的充要条件是 。

8、(山东文)给出命题：若函数()y f x =是幂函数，则函数()y f x =的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 。

9、(陕西)“1a =”是“对任意的正数x ，21a x x+≥”的 。

10、(陕西) 关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题： ①若a b =a c ，则=b c ．②若(1)(26)k ==-，，，a b ，∥a b ，则3k =-． ③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为60．其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）。

11、(上海文) 给定空间中的直线l 及平面α．条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的 。

12、(全国2) 平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件① ；充要条件② ．（写出你认为正确的两个充要条件）三、例题分析13、试探求使得关于x 的方程2210ax x ++=（R a ∈）至少有一个负实根的充要条件。