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第二课时命题及其关系、充分条件与必要条件考纲要求：1.命题的四种形式(A) 2.充分条件、必要条件、充分必要条件(B)知识梳理：1．命题(1)命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．(2)四种命题及相互关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．2p⇒q且q pp q且q⇒pp⇔qp q且q p 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．()(2)“sin 45°＝1”是真命题．()(3)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则非q”．()(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．()(5)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(6)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．()(7)q不是p的必要条件时，成立．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√(6)√(7)√2．设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件．(用“充分”“必要”“充要”填空)提示：由题知p⇒q⇔s⇒t，又t⇒r，r⇒q，故p是t的充分条件，r是t的充要条件．答案：充分充要3．写出命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假性．解：(1)逆命题：若b2＝ac，则a，b，c成等比数列，假命题．(2)否命题：若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac，假命题．(3)逆否命题：若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列，真命题．4．在下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：x2＝3x＋4，q：x＝3x＋4；(2)p：x－3＝0，q：(x－3)(x－4)＝0；(3)p：b2－4ac≥0(a≠0)，q：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根．答案：(1)必要(2)充分(3)充要例题讲解：[典题1](1)命题“若a>b则a－1>b－1”的否命题是________．(2)命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是________．(3)下列命题中为真命题的是________．(填序号)①命题“若x>1，则x2>1”的否命题；②命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题；③命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题；④命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题．(4)已知：命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是________．(填序号)①否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”，是真命题；②逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题；③逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题；④逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题．解析：(1)根据否命题的定义可知，命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1”．(2)将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.(3)对于①，命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故①为假命题；对于②，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，分析可知②为真命题；对于③，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故③为假命题；对于④，命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故④为假命题．(4)由f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝e x－m≥0恒成立，∴m≤1.∴命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．答案：(1)若a≤b，则a－1≤b－1(2)若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0(3)②(4)④小结：(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．[典题2](1)设x∈R，则“1<x<2”是“|x－2|<1”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)(2)设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)(3)“a ＝2” 是“函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[2，＋∞)上为增函数”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：(1)|x －2|<1⇔1<x <3.由于{x |1<x <2}是{x |1<x <3}的真子集，所以“1<x <2”是“|x －2|<1”的充分不必要条件．(2)∵3a >3b >3，∴a >b >1，此时log a 3<log b 3正确；反之，若log a 3<log b 3，则不一定得到3a >3b >3，例如当a ＝12，b ＝13时，log a 3<log b 3成立，但推不出a >b >1.故“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件．(3)“a ＝2”⇒“函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[2，＋∞)上为增函数”，但反之不成立． 答案：(1)充分不必要 (2)充分不必要 (3)充分不必要小结：充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断．(2)集合法：根据p ，q 成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，常用的是逆否等价法．①非q 是非p 的充分不必要条件⇔p 是q 的充分不必要条件；②非q 是非p 的必要不充分条件⇔p 是q 的必要不充分条件；③非q 是非p 的充要条件⇔p 是q 的充要条件．练习1．设p ：1＜x ＜2，q ：2x ＞1，则p 是q 成立的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：由2x ＞1，得x ＞0，所以p ⇒q ，但q ⇒/p ，所以p 是q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要2．设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：当数列{a n }的首项a 1＜0时，若q ＞1，则数列{a n }是递减数列；当数列{a n }的首项a 1＜0时，要使数列{a n }为递增数列，则0＜q ＜1，所以“q ＞1”是“数列{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要[典题3](1)记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B .若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为________．(2)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为________．解析：(1)由x 2＋x －6<0，得－3<x <2，即A ＝(－3,2)，由x －a >0，得x >a ，即B ＝(a ，＋∞)， 若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则A ⊆B ，即a ≤－3.(2)由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．答案：(1)(－∞，－3] (2)[0,3][探究1] 本例(2)条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3，m ＝9， 即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．[探究2] 本例(2)条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且S P .∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m <－2，1＋m ≥10. ∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．注意：由充分条件、必要条件求参数．解决此类问题常将充分、必要条件问题转化为集合间的子集关系求解．但是，在求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的验证，不等式中的等号是否能够取得，决定着端点的取值．练习：已知p ：x >1或x <－3，q ：x >a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________． 解析：设P ＝{x |x >1或x <－3}，Q ＝{x |x >a }，因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ，，因此a ≥1.答案：[1，＋∞)总结：1．判断四种命题间关系的方法写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．2．充分、必要条件的判断方法(1)定义法：直接判断“若p 则q ”，“若q 则p ”的真假即可．(2)利用集合间的包含关系判断：设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}：若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；若AB ，则p 是q 的充分不必要条件，若A ＝B ，则p 是q的充要条件．注意： 1．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提．2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p 则q ”的形式．3．要注意“A 是B 的充分不必要条件”与“A 的充分不必要条件是B ”的区别． 课后作业：1．设m ∈R ，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是________． 解析：根据逆否命题的定义，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．答案：若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤02．设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：特值法：当a ＝10，b ＝－1时，a ＋b ＞0，ab ＜0，故a ＋b ＞0ab ＞0；当a ＝ －2，b ＝－1时，ab ＞0，但a ＋b ＜0，所以ab ＞0a ＋b ＞0.故“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要 3．已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值范围是________． 解析：由|x －m |<1得m －1<x <1＋m ，又因为|x －m |<1的充分不必要条件是13<x <13，借助数轴，所以⎩⎨⎧m －1≤13，m ＋1≥12，解得－12≤m ≤43. 答案：⎣⎡⎦⎤－12，43 4．已知a ，b ，c ∈R ，命题“如果a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________． 解析：“a ＋b ＋c ＝3”的否定是“a ＋b ＋c ≠3”，“a 2＋b 2＋c 2≥3”的否定是“a 2＋b 2＋c 2<3”，故该命题的否命题是：如果a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3.答案：如果a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<35．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：cos 2α＝0等价于cos 2α－sin 2α＝0，即cos α＝±sin α.由cos α＝sin α可得到cos 2α＝0，反之不成立．答案：充分不必要6．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是________．(填序号)解析：只有一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行时，这两个平面才相互平行，所以①为假命题；②符合两个平面相互垂直的判定定理，所以②为真命题；垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以③为假命题；根据两个平面垂直的性质定理易知④为真命题．答案：②④7．已知α，β的终边在第一象限，则“α>β ”是“sin α＞sin β ”的________条件．解析：∵角α，β的终边在第一象限，∴当α＝π3＋2π，β＝π3时，满足α>β，但sin α＝ sin β，故sin α>sin β不成立，即充分性不成立；当α＝π3，β＝π6＋2π时，满足sin α>sin β，但α>β不成立，即必要性不成立，故“α>β ”是“sin α>sin β ”的既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要8．在斜三角形ABC 中，命题甲：A ＝π6，命题乙：cos B ≠12，则甲是乙的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：因为△ABC 为斜三角形，所以若A ＝π6，则B ≠π3且B ≠π2，所以cos B ≠12且 cos B ≠0；反之，若cos B ≠12，则B ≠π3，不妨取B ＝π6，A ＝π4，C ＝7π12，满足△ABC 为斜三角形．答案：充分不必要9．“a ≥3”是“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的________条件(在“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中选择填空)．解析：若“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题，等价于∀x ∈[1,2]，x 2≤a 为真命题，则a ≥4.则“a ≥3”是“a ≥4”的必要不充分条件．答案：必要不充分10．在下列三个结论中，正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①若A 是B 的必要不充分条件，则綈B 也是綈A 的必要不充分条件；②“⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件； ③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件．解析：易知①②正确．对于③，若x ＝－1，则x 2＝1，充分性不成立，故③错误． 答案：①②11．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3；又p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8.故实数m 的取值范围是[3,8)．答案：[3,8)12．有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，假命题．②原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题．③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，真命题．答案：②③13．设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：若函数f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数，则φ＝k π，k ∈Z ，所以由“φ＝0”，可以得到“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”，但由“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”，可以得到φ＝k π，k ∈Z ，因此“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的充分不必要条件．答案：充分不必要14．使函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x ≤1，log a x ，x >1在(－∞，＋∞)上是减函数的一个充分不必要条件是________．(填序号)①17≤a <13；②0<a <13；③17<a <13；④0<a <17. 解析：由f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数可得3a －1<0,0<a <1,7a －1≥0，即17≤a <13，所求应该是⎣⎡⎭⎫17，13的真子集，故③正确．答案：③ 15．在四边形ABCD 中，“存在λ∈R ，使得，”是“四边形ABCD 为平行四边形”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：若存在λ∈R ，使得，，则AB ∥CD ，AD ∥BC ，故四边形ABCD 为平行四边形．反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则存在λ＝1满足题意．答案：充要16．已知函数f (x )＝13x －1＋a (x ≠0)，则“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的________条件．(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填写)解析：若f (x )＝13x －1＋a 是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，即f (－x )＋f (x )＝0，∴13－x －1＋a ＋13x －1＋a ＝2a ＋3x 1－3x ＋13x －1＝0，即2a ＋3x －11－3x ＝0，∴2a －1＝0，即a ＝12，f (1)＝12＋12＝1.若f (1)＝1，即f (1)＝12＋a ＝1，解得a ＝12，代入得，f (－x )＝－f (x )，f (x )是奇函数．∴“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的充要条件．答案：充要17．若方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是________． 解析：方程x 2－mx ＋2m ＝0对应二次函数f (x )＝x 2－mx ＋2m ，若方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3，则f (3)<0，解得m >9，即方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是m >9.答案：m >918．已知p ：|x －a |<4；q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为________．解析：∵綈p 是綈q 的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件．对于p ，|x －a |<4，∴a －4<x <a ＋4，对于q,2<x <3，∴(2,3)(a －4，a ＋4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤2，a ＋4≥3(等号不能同时取到)， ∴－1≤a ≤6.答案：[－1,6]。
其次节命题及其关系、充分条件与必要条件1.命题p:“若x2<1,则x<1”的逆命题为q,则p与q的真假性为( )A.p真q真B.p真q假C.p假q真D.p假q假答案 D q:若x<1,则x2<1.由x2<1,解得-1<x<1,∴p假,当x<1时,x2<1不肯定成立,∴q假.故选D.2.“x<0”是“ln(x+1)<0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B ln(x+1)<0⇔0<x+1<1⇔-1<x<0⇒x<0;而x<0⇒/-1<x<0.故选B.3.“a=1”是“直线ax+y+1=0与直线(a+2)x-3y-2=0垂直”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案 B 直线ax+y+1=0与直线(a+2)x-3y-2=0垂直,所以a(a+2)+1×(-3)=0,解得a=1或a=-3,故“a=1”是“直线ax+y+1=0与直线(a+2)x-3y-2=0垂直”的充分不必要条件.4.(2024辽宁沈阳质检)命题“若x2+3x-4=0,则x=4”的逆否命题及其真假性为( )A.“若x=4,则x2+3x-4=0”,真命题B.“若x≠4,则x2+3x-4≠0”,真命题C.“若x≠4,则x2+3x-4≠0”,假命题D.“若x=4,则x2+3x-4=0”,假命题答案 C 依据逆否命题的定义可以解除A、D,因为x2+3x-4=0,所以x=-4或1,故原命题为假命题,即逆否命题为假命题.5.(2024江西南昌摸底调研)已知m,n为两个非零向量,则“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件<θ<π,则cosθ<0,则m·n<0成立;当θ=π答案 B 设m,n的夹角为θ,若m,n的夹角为钝角,则π2时,m·n=-|m|·|n|<0成立,但m,n的夹角不为钝角.故“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件,故选B.6.下列有关命题的说法正确的是( )A.命题“若xy=0,则x=0”的否命题为“若xy=0,则x ≠0”B.命题“若cosx=cosy,则x=y ”的逆否命题为真命题C.命题“a,b 都是有理数”的否定是“a,b 都不是有理数”D.“若x+y=0,则x,y 互为相反数”的逆命题为真命题答案 D A 中,命题的否命题为“若xy ≠0,则x ≠0”,选项A 不正确;B 中,命题“若cosx=cosy,则x=y ”为假命题,因此其逆否命题为假命题;对于C,命题“a,b 都是有理数”的否定是“a,b 不都是有理数”,所以C 错误;D 中命题为真命题.故选D.7.已知命题α:假如x<3,那么x<5;命题β:假如x ≥3,那么x ≥5;命题γ:假如x ≥5,那么x ≥3.关于这三个命题之间的关系,下列说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题,且命题γ是命题β的逆命题;②命题α是命题β的逆命题,且命题γ是命题β的否命题;③命题β是命题α的否命题,且命题γ是命题α的逆否命题.A.①③B.②C.②③D.①②③答案 A 本题考查命题的四种形式,逆命题是把原命题中的条件和结论互换,否命题是把原命题的条件和结论都加以否定,逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换,故①正确,②错误,③正确.8.已知等差数列{a n }的公差为d,前n 项和为S n ,则“d>0”是“S 4+S 6>2S 5”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 C 解法一:S 4+S 6>2S 5等价于(S 6-S 5)+(S 4-S 5)>0,等价于a 6-a 5>0,等价于d>0.故选C.解法二:∵S n =na 1+12n(n-1)d,∴S 4+S 6-2S 5=4a 1+6d+6a 1+15d-2(5a 1+10d)=d,则S 4+S 6>2S 5等价于d>0.故选C. 9.设a,b ∈R,则“a>b ”是“a|a|>b|b|”的 条件.答案 充要解析 设f(x)=x|x|,则f(x)={x 2,x ≥0,-x 2,x <0,所以f(x)是R 上的增函数,所以“a>b ”是“a|a|>b|b|”的充要条件.10.原命题“设a 、b 、c ∈R,若a>b,则ac 2>bc 2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为 .答案 2解析 由题意可知原命题是假命题,所以其逆否命题是假命题;逆命题为“设a 、b 、c ∈R,若ac 2>bc 2,则a>b ”,该命题是真命题,所以否命题也是真命题.故真命题有2个11.已知p(x):x2+2x-m>0,若p(1)是假命题,p(2)是真命题,则实数m的取值范围是.答案[3,8)解析因为p(1)是假命题,所以1+2-m≤0,解得m≥3,又p(2)是真命题,所以4+4-m>0,解得m<8.故实数m 的取值范围是[3,8).12.(2024安徽合肥模拟)已知条件p:x∈A,且A={x|a-1<x<a+1},条件q:x∈B,且B={x|y=√x2-3x+2}.若p是q的充分条件,则实数a的取值范围是.答案{a|a≤0或a≥3}解析易得B={x|x≤1或x≥2},且A={x|a-1<x<a+1},因为p是q的充分条件,所以A⊆B,所以a+1≤1或a-1≥2,所以a≤0或a≥3.所以实数a的取值范围是{a|a≤0或a≥3}.13.写出命题“已知a,b∈R,若关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集,则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题,并推断它们的真假.解析(1)逆命题:已知a,b∈R,若a2≥4b,则关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集,为真命题.(2)否命题:已知a,b∈R,若关于x的不等式x2+ax+b≤0无实数解,则a2<4b,为真命题.(3)逆否命题:已知a,b∈R,若a2<4b,则关于x的不等式x2+ax+b≤0无实数解,为真命题.。
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否\要命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.突破点一命题及其关系抓牢双基自学回扣［基本知识］1. 命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题•其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.2. 四种命题及相互关系3. 四种命题的真假关系⑴若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.［基本能力］一、判断题(对的打，错的打“X” )⑴“x2+ 2x—8V0” 是命题.()(2) 一个命题非真即假.()(3) 四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.( )⑷命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.( )答案：(1)X (2)V (3) V (4) X二、填空题1•命题“若x2<4,则—2vx<2”的否命题为____________________ ，为________ (填“真”或“假”)命题.答案：若x2》4,贝U x> 2或x<—2真2. 设m € R，命题“若m>0，则方程x2+ x —m = 0有实根”的逆否命题是答案：若方程x2+ x—m= 0没有实根，贝U m w 03. 有下列几个命题：1 1⑴“若a>b,则a>b”的否命题；(2) “若x+ y= 0，则x, y互为相反数”的逆命题；(3) “若|x|<4，则—4VXV4”的逆否命题.其中真命题的序号是 __________ .1 1解析：⑴原命题的否命题为“若a< b,则-w二”，假命题；⑵原命题的逆命题为 a bx, y互为相反数，则x + y= 0”，真命题；(3)原命题为真命题，故逆否命题为真命题.答案：⑵(3)研透高考•深化提能［全析考法］考法一命题真假的判断•［例1］下面的命题中是真命题的是()2A. y= sin x的最小正周期为2 nB. 若方程ax2+ bx+ c= 0(a^ 0)的两根同号，则->0aC .如果M ? N，那么M U N = M—> —>D .在△ ABC中，若AB -BC >0，贝U B为锐角［解析］y= sin2x = 1 —；S 2, T =今=n,故A为假命题；当M ? N时，M U N 故C为假命题；在三角形ABC中，当瓦I BC >0时，向量云S与百？的夹角为锐角，为钝角，故D为假命题，故选 B.［答案］B［方法技巧］判断命题真假的思路方法(1) 判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识进行判断.(2) 当一个命题改写成“若p,则q”的形式之后，判断这个命题真假的方法：①若由p”经过逻辑推理，得出q”，则可判定“若P,则q”是真命题；②判定“若P,则q”是假命题，只需举一反例即可.考法二四种命题的关系•［例2］(1)(2019长春质监)命题“若x2<1,则—1VXV1 ”的逆否命题是()A .若x2> 1，则x> 1 或x w—12B.若—1<x<1，贝V x <12C .若x>1 或x< —1,贝U x >12D .若x > 1 或x<—1，贝U x》1(2)(2019广•东中山一中第一次统测)下列命题中为真命题的是()A .命题"若x>y,则x>|y|”的逆命题B. 命题“若x>1，则x2>1 ”的否命题C. 命题“若x= 1,则x2+ x —2= 0”的否命题D .命题“若x2>0 ,则x>1 ”的逆否命题［解析］(1)命题的形式是“若p,则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若綈q,则綈p”的形式，所以“若x2<1，则—1vxv1 ”的逆否命题是“若x> 1或x w —1, 则x2> 1”.故选D.⑵命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|,则x>y”，是真命题，故A正确；命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x w 1，则x2< 1”，是假命题，故B错误；命题“若x= 1,则x2+ x—2 = 0”的否命题为“若x工1，则x2+ x—2工0”，是假命题，故C错误；命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题为“若x w 1,则x2w 0”，是假命题，故D错误.选A.［答案］(1)D (2)A［方法技巧］四种命题的关系及真假判断(1) 判断关系时，先分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，注意四种命题间关系的相对性.(2) 命题真假的判断方法①直接判断法：若判断一个命题为真，需经过严格的推理证明；若说明为假，只需举一反例.②间接判断法：转化成等价命题，再判断.［集训冲关］1.［考法二］命题“若a= n，则tan a= 1”的逆否命题是()A .若a^f,则tan aM 14B.若a= ~7,则tan aM 14…nC .右tan aM 1，贝U aM4nD .若tan a丰 1,贝U a=T4解析：选C 否定原命题的结论作条件，否定原命题的条件作结论所得的命题为逆否命题，可知C正确.2. ［考法一、二］原命题为“若Z1, Z2互为共轭复数，则|Z i|=|Z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A .真，假，真B.假，假，真C .真，真，假D .假，假，假解析：选B 因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|Z i|= |Z2|,当z i= 1, Z2 = -1时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题为假，故否命题也为假.故选 B.+ 0, Ovxvl,3. ［考法一］定义“正对数”：ln x = 现有四个命题：IJn x, x> 1.①若a>0, b>0，贝V In+(a b) = bln+a ；②若a>0, b>0，贝V In (ab)= In a+ In b;③若a>0, b>0，贝U In +房In+a - In +b;④若a>0, b>0，贝V In (a+ b)< In a+ In b+ In 2.其中的真命题有 ________ (写出所有真命题的编号).解析：对于①，当a > 1时，a b> 1,则In (a b)= In a b= bIn a= bIn a;当0<a<1 时，0<a b<1，则In+(a b)= 0, bIn+a= 0,即In*(a b)= bIn^a，故①为真命题.同理讨论a, b在(0,+s)内的不同取值，可知③④为真命题.对于②，可取特殊值 a = e, b=1,e贝V In,ab) = 0, In*a + In*b= 1 + 0= 1，故②为假命题.综上可知，真命题有①③④.答案：①③④突破点二充分条件与必要条件抓牢双基•自学回扣［基本知识］1.充分条件与必要条件的概念2.一、判断题(对的打，错的打“X” )(1) 当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.()(2) 当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立.()(3) “ x= 1”是“ x2—3x+ 2 = 0”的必要不充分条件.()答案：⑴“(2)V (3) X二、填空题1. ______________________________ “x = 3”是“ x2=9”的条件(填“充分不必要”或“必要不充分” _______________ ).答案：充分不必要2. ab>0”是“ a>0, b>0” 的_______ 条件.答案：必要不充分3. xy= 1 是lg x+ lg y= 0 的________ 条件.解析：lg x + lg y= lg(xy) = 0,/• xy= 1 且x>0, y>0.所以“lg x + lg y= 0”成立，xy= 1必成立，反之无法得到x>0 , y>0.因此“xy= 1”是“lg x+ lg y= 0”的必要不充分条件.答案：必要不充分4. 设p, r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的____________ 条件，r是t的 ___________ 条件(用“充分不必要”“必要不充分” “充要”填空).解析：由题知p? q? s? t,又t? r, r? q,故p是t的充分不必要条件，r是t的充要条件.答案：充分不必要充要研透高考廉化提能［全析考法］考法一充分条件与必要条件的判断•［例1］(1)(2018北京高考)设a, b, c, d是非零实数，则“ ad= be”是“ a, b, c, d成等比数列”的()A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C .充分必要条件D.既不充分也不必要条件11 交(2)(2018 天•津高考)设x € R，则“ x -寸V ；” 是“ x3V 1 ”的( )A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C•充要条件D.既不充分也不必要条件［解析］(1)a, b, e, d 是非零实数，若a<0, d<0, b>0, e>0，且ad= be,则a, b , e , d不成等比数列(可以假设a= —2, d=- 3, b= 2 , e= 3).若a , b , e , d成等比数列，贝U 由等比数列的性质可知ad= be.所以“ad= be”是“a , b , e , d成等比数列”的必要而不充分条件.1 1 ,(2)由X-2 V 2，得0 V X V 1,则0V x3v 1 ,1 1 3即“ x-2 V 2” ? “ x3V 1”；1 1由x3V 1 ,得X V 1,当x< 0 时，x- 1 > -,2 2即“ x3V 1 ”* “ x -1 V 2 ”.1 1 3所以“ x-1V 1”是“ x3V 1”的充分而不必要条件.2 2［答案］(1)B (2)A［方法技巧］充分、必要条件的判断方法考法二根据充分、必要条件求参数范围［例2］（2019大庆质检）已知p：x< 1+ m, q：|x—4|w 6.若p是q的必要不充分条件，则m的取值范围是（）A. （— m,—1］B. （— 8, 9］C. ［1,9］D. ［9,+m ）［解析］由|x—4|W 6，解得一2< x< 10,因为p是q的必要不充分条件，所以m+ 1> 10, 解得m> 9.故选D.［答案］D［方法技巧］根据充分、必要条件求参数范围的思路方法（1）解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式（组）求解.（2）求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.［集训冲关］1. ［考法一］已知m,n为两个非零向量，贝U"mnv0”是"m与n的夹角为钝角”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析：选B 设m, n的夹角为0,若才< 0v n,则cos 0<0,所以m n<0 ；若0= n则m n=—|m| |n|<0.故“ m n<0”是“ m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件.故选 B.2. ［考法一］已知a, B均为第一象限角，那么“a> g'是“ sin a>sin 的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析：选D a= 7n B=寸均为第一象限角，满足a> g但sin a= sin g因此不满足充3 3分性；a=—5n, 3=；均为第一象限角，满足sin a>sin g,但a< g因此不满足必要性.故3 6选D.3. ［考法二］设M为实数区间，a>0且1,若“ a € M”是“函数f（x）= log a|x—1|在（0,1）上单调递增”的充分不必要条件，则区间M可以是（）C • （0,1） D. 0, 1 2解析：选D 由函数f（x）= log a|x —1|在（0,1）上单调递增可知0<a<1，由题意及选项知区间M可以是0，1 .故选D.4.［考法二］已知p：（x—m）3>3（x—m）是q：x2+ 3x—4<0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为_____________ .解析：p对应的集合A= {x|x<m或x>m+ 3}, q对应的集合 B = {x| —4<x<1}.由p是q的必要不充分条件可知 B A,/• m> 1 或m+ 3< —4，即m> 1 或m< —7.答案：（—a, —7］U ［1 ,+^ ）［课时跟踪检测］2（2019合肥模拟）命题“若a2+ b2= 0,贝V a= 0且b= 0”的逆否命题是（）A .若a丰 0 或b z 0,贝U a2+ b2z 0B.若a2+ b2z 0，贝y a丰0 或b z 0C .若a = 0 或b= 0,贝U a2+ b2z 0D .若a2+ b2z 0，贝y a z 0 且b z 0解析：选A 原命题的逆否命题为“若a z0或b z 0，则a2+ b2z 0”.故选A.3（2018 天津高考）设x€ R,则“ x3 4>8” 是“ |x|>2”的（）A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析：选A 由x3> 8? x> 2? |x|> 2，反之不成立，故“x3>8”是“ |x|>2”的充分而不必要条件.解析：选A 因为y = 2 x 是增函数，又a>1，所以3 a >i ，所以3a >2a ；若3a >2a , 则/>1 = g ：，所以a>0，所以a>1 ”是3a >2a ”的充分不必要条件，故选 A.5.已知下列三个命题：① 若一个球的半径缩小到原来的 2,则其体积缩小到原来的 8 ② 若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③ 直线x + y + 1 = 0与圆x 2 + y 2= 1相切. 其中真命题的序号为( )A .①②③B .①②C .①③D .②③解析：选C对于命题①，设球的半径为 R ，则4 n R 3 = 1-u R 3,故体积缩小到原来的3 y 8 38,命题正确;对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确; 半径，所以直线与圆相切，命题正确.26. (2019咸阳模拟)已知p ： m =— 1, q ：直线x — y = 0与直线x + m y = 0互相垂直, 则p 是q 的()A •充分不必要条件B .必要不充分条件C •充要条件D •既不充分也不必要条件2 一 1解析：选A 由题意得直线 x + m 2y = 0的斜率是—1,所以 肓 =—1, m = ±. 所以p 是q 的充分不必要条件•故选A.7. (2019重庆调研)定义在R 上的可导函数f(x)，其导函数为f ' (x),则“ f ' (x)为偶函 数”是“ f(x)为奇函数”的()A •充分不必要条件B .必要不充分条件C •充要条件D •既不充分也不必要条件解析：选 B •/ f(x)为奇函数，••• f( — x) =— f(x).「. [f( — x)] = [— f(x)] =— f ' (x), ••• f ' (— x)= f ' (x) ,即卩 f ' (x)为偶函数；反之，若 f ' (x)为偶函数，如 f ' (x)= 3x 2, f(x)=对于命题③, 圆x 2+ / = *的圆心(0,0)到直线x + y + 1 = 0的距离d =吩等于圆的1x3+ 1满足条件，但f(x)不是奇函数，所以“ f'(X)为偶函数”是“ f(x)为奇函数”的必要不充分条件.故选B.8. (2019抚州七校联考)A, B, C三个学生参加了一次考试，A, B的得分均为70分，C的得分为65分.已知命题p：若及格分低于70分，贝U A，B，C都没有及格.则下列四个命题中为p的逆否命题的是()A .若及格分不低于70分，则A, B, C都及格B.若A, B, C都及格，则及格分不低于70分C .若A, B, C至少有一人及格，则及格分不低于70分D •若A, B, C至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选C 根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A, B,C 至少有一人及格,则及格分不低于70 分.故选C.9. (2019济南模拟)原命题：“ a, b为两个实数，若a + b>2,则a, b中至少有一个不小于1”,下列说法错误的是( )A. 逆命题为：a, b为两个实数，若a, b中至少有一个不小于1，则a+b>2,为假命题B. 否命题为：a, b为两个实数，若a + b<2，则a, b都小于1,为假命题C .逆否命题为：a, b为两个实数，若a, b都小于1,则a + b<2，为真命题D. a, b为两个实数，“a+ b》2”是“a, b中至少有一个不小于1”的必要不充分条件解析：选D 原命题：a, b为两个实数，若a+ b> 2，则a, b中至少有一个不小于1; 逆命题：a, b为两个实数，若a, b中至少有一个不小于1，则a+ b> 2；否命题：a, b为两个实数，若a + b<2，则a, b都小于1；逆否命题：a, b为两个实数，若a, b都小于1, 则a+ b<2.逆否命题显然为真，故原命题也为真；若a= 1.2, b= 0.5，则a+ b> 2不成立，逆命题为假命题，所以否命题为假命题. 所以“ a+ b>2”是“a, b中至少有一个不小于1 ” 的充分不必要条件.故选D.10. 已知：p：x> k, q：(x+ 1)(2 —x)<0，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是( )A. [2,+s )B. (2,+^ )C. [1 ,+^ )D. (— a, —1]解析：选B 由q：(x + 1)(2 —x)<0，得x< —1或x>2，又p是q的充分不必要条件，所以k>2，即实数k的取值范围是(2, + a)，故选B.11. 在原命题“若A U B工B，则A A B M A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________ .解析：逆命题为“若A A B M A，贝U A U B M B” ；否命题为“若A U B= B,贝U A A B = A” ；逆否命题为“若A A B = A,贝U A U B= B”.全为真命题.答案：412.已知命题"若 m — ivxvm + 1,贝U 1<x<2”的逆命题为真命题，则 m 的取值范围是 解由已知得，若1<x<2成立, 则m — 1<xvm + 1也成立.m —1<1, K m < 2. m + 1 > 2.答案：[1,2]13.条件p ： 1 — x<0，条件q ： x>a ,若p 是q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围是 解析：p ： x>1，若p 是q 的充分不必要条件，则p ? q ,但q ' p ,也就是说，p 对应的集合是q 对应的集合的真子集，所以 a<1.答案：(—3 1) 14. (2019湖南十校联考)已知数列｛a n ｝的前n 项和S n = Aq n + B(q M 0),则“ A =— B ” 是“数列｛a n ｝为等比数列”的 ____________ 条件.解析：若A = B = 0，贝y S n = 0,数列｛a n ｝不是等比数列.2 3如果｛a n ｝是等比数列，由 a 1= S 1 = Aq + B ,得 a 2= S 2 — a 1= Aq — Aq , a 3= S 3 — S 2= Aq —Aq 2,.a 1a 3= a 2,从而可得 A =— B ,故“A =— B ”是“数列｛a n ｝为等比数列”的必要不充分条件.答案：必要不充分15. (2019湖南长郡中学模拟)已知函数f(x)= 4sin 2 ；+ x - 2.3遇 2x — 1, p ： n< x < 才, q ： |f(x)— m|<2，若p 是q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围. =4sin ( 2x — n ) + 1.当毛 寸，n 2x —J 4 2 6 3 3 则 f w sin 2x —n w 1，所以 f(x)€ [3,5]. 当 |f(x) — m|<2 时，f(x) € (m — 2, m + 2). 又p 是q 的充分不必要条件，了m — 2<3,所以 所以3<m<5.|m + 2>5,解：化简解析式,=2sin 2x — 2 3cos 2x + 11 — cos 得 f(x) = 4^ --------- cos 2x — 1即实数m的取值范围为（3,5）.3. 下列命题中为真命题的是（）A. mx2+ 2x—1 = 0是一元二次方程B. 抛物线y= ax2+ 2x—1与x轴至少有一个交点C .互相包含的两个集合相等D.空集是任何集合的真子集解析：选C A中，当m = 0时，是一元一次方程，故是假命题；B中，当△= 4+ 4a<0, 即a< —1时，抛物线与x轴无交点，故是假命题；C是真命题；D中，空集不是本身的真子集，故是假命题.4. （2019 •肥调研）a>1 ”是“3>2a”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件。
