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高考数学复习 命题及其关系 编稿：张希勇 审稿：李霞【学习目标】1．了解命题、真命题、假命题的概念，能够指出一个命题的条件和结论；2．了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系，能判断四种命题的真假；3．能熟练判断命题的真假性.【要点梳理】 要点一、命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.要点诠释：1. 不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“2x >”，“2不一定大于3”.2. 只有能够判断真假的陈述句才是命题.祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、“π是有理数吗？”、“今天天气真好！”等.3. 语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键.一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可.命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性.要点二、命题的结构命题可以改写成“若p ，则q ”的形式，或“如果p ，那么q ”的形式.其中p 是命题的条件，q 是命题的结论.要点诠释：1. 一般地，命题“若p 则q ”中的p 为命题的条件q 为命题的结论.2. 有些问题中需要明确指出条件p 和q 各是什么，因此需要将命题改写为“若p 则q ”的形式.要点三、四种命题 原命题：“若p ，则q ”；逆命题：“若q ，则p ”；实质是将原命题的条件和结论互相交换位置；否命题：“若非p ，则非q ”，或“若p ⌝，则q ⌝”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定；逆否命题：“若非q ，则非p ”，或“若q ⌝，则p ⌝”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结论换位后再分别否定.要点诠释：对于一般的数学命题，要先将其改写为“若p ，则q ”的形式，然后才方便写出其他形式的命题.要点四、四种命题之间的关系四种命题之间的构成关系四种命题之间的真值关系要点诠释：（1）互为逆否命题的两个命题同真同假；（2）互为逆命题或互为否命题的两个命题的真假无必然联系.【典型例题】类型一：命题的概念例1.判断下列语句中哪些是命题，是命题的判断其是真命题还是假命题.（1）末位是0的整数能被5整除；（2）平行四边形的对角线相等且互相平分；（3）两直线平行，则斜率相等；（4）△ABC中，若∠A=∠B，则sinA=sinB；（5）余弦函数是周期函数吗？【思路点拨】依据命题的定义判断。
一、考点要求：内 容 要 求 A B C 常用逻辑用语命题的四种形式√ 必要条件、充分条件、充分必要条件 √ 简单的逻辑联结词 √ 全称量词与存在量词√二、知识要点：1、四种命题：①四种命题：原命题：若p 则q ；逆命题： 、否命题： 逆否命题： .②四种命题的关系：原命题为真，它的逆命题 、否命题 、逆否命题 ．原命题与它的逆否命题同 、否命题与逆命题同 ．③反证法：欲证“若p 则q ”为真命题，从否定其 出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而判定原命题为真，这样的方法称为反证法． 2、充要条件①充分条件：如果p q ⇒则p 叫做q 的 条件，q 叫做p 的 条件． ②必要条件：如果q p ⇒则p 叫做q 的 条件，q 叫做p 的 条件． ③充要条件：如果p q ⇒且q p ⇒则p 叫做q 的 条件．注：①p 是q 的充分不必要条件等价于 ②p 的充分不必要条件是q 等价于 ③p 是q 的必要不充分条件等价于 ②p 的必要不充分条件是q 等价于 3、全称量词与存在量词①全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示。
②存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示。
③全称命题：含有全称量词的命题。
“对∀x ∈M ，有p （x ）成立”简记成“∀x ∈M ，p （x ）”。
否定形式是 ④存在性命题：含有存在量词的命题。
“∃x ∈M ，有p （x ）成立” 简记成“∃x ∈M ，p （x ）”。
否定形式是 三、课前热身：1. 对原命题及其逆命题，否命题，逆否命题这四个命题而言，假命题的个数是____ __．2. 命题“若b a >，则122->ba”的否命题为__ ___ 3. 命题“0x ∃<，有20x >”的否定是 ．4.设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |xx －1<0，B ＝{x |0<x <3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的_ _条件．5. 已知条件p ：（x+1）2>4，条件q:x>a,且q p ⌝⌝是的充分而不必要条件，则a 的取值范围 是6.若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(1－a )x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围为______________．四、例题选讲：例1：已知0c >且1c ≠，设:p 函数(21)xy c c =-⋅在R 上为减函数，:q 不等式2(2)1x x c +->的解集为R .若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数c 的取值范围.例2：已知p ： |1－31-x |≤2，q ：:x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)，若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.例3：若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋2π，b ＝y 2－2z ＋3π，c ＝z 2－2x ＋6π．求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0．例4：设,OA OB 是不共线的向量，若(,)OP aOA bOB a b R =+∈，求三点,,A B P 共线的充要条件。
高三数学命题及其关系试题答案及解析1.已知：关于的方程有两个不相等的负实根；：关于的不等式的解集为.若为真，为假，求实数的取值范围.【答案】【解析】根据为真，为假，可知p与q一真一假，可先求出两个命题分别为真的m的取值范围，然后再找出p与q一真一假对应的m的范围.试题解析：∵关于的方程有两个不相等的负实根∴，即∴：∵关于的不等式的解集为∴即∵为真，为假∴与的真值相反若，则即若，则即∴或∴实数的取值范围是【考点】命题及其真假，一元二次方程根的判定及不等式解法.2.已知命题对任意，总有；是的充分不必要条件则下列命题为真命题的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题设可知：是真命题，是假命题；所以，是假命题，是真命题；所以，是假命题，是假命题，是假命题，是真命题；故选D.【考点】1、指数函数的性质；2、充要条件；3、判断复合命题的真假.3.已知命题p：“∀x∈N*，x>”，命题p的否定为命题q，则q是“________”；q的真假为________(填“真”或“假”)．【答案】∃x0∈N*，x≤真【解析】q：∃x0∈N*，x≤，当x＝1时，x＝成立，故q为真．4.已知命题p：∃a∈R，曲线x2＋＝1为双曲线；命题q：x2－7x＋12<0的解集是{x|3<x<4}．给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧q”是假命题；③命题“p∨q”是真命题；④命题“p∨q”是假命题．其中正确的是________(填序号)．【答案】①②③④【解析】因为命题p和命题q都是真命题，所以命题“p∧q”是真命题，命题“p∧q”是假命题，命题“p∨q”是真命题，命题“p∨q”是假命题．5.下列判断错误的是( )A．“”是“”的充分不必要条件B．“对恒成立”的否定是“存在使得”C．若“”为假命题,则均为假命题D．若随机变量服从二项分布:～,则【答案】C【解析】对A：“”成立，则说明，所以必有“”，故为充分条件；反之，若“”，则.所以“”是“”的充分不必要条件.对B：全称命题：“”的否定为“”.所以“对恒成立”的否定是“存在使得”，成立.对C.当中有一个为假命题时，“”就为假命题.所以C不成立.对D.若随机变量服从二项分布:～，则，所以D正确.【考点】逻辑与命题.6.下列结论正确的是（）A．若向量a∥b，则存在唯一的实数使B．已知向量a，b为非零向量，则“a，b的夹角为钝角”的充要条件是“a b<0’’C．“若，则”的否命题为“若，则”D．若命题，则【答案】C【解析】对于命题，在为非零向量时，才为真命题，不正确；由于时，有可能的夹角为钝角或为，所以，不正确；否命题应是否定条件和结论，所以正确；存在性命题的否定是全称命题，同时否定结论，所以不正确．选．【考点】命题，充要条件，共线向量，存在性命题与全称命题．7.给出命题：已知实数a、b满足a＋b＝1，则ab≤.它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】∵a＋b＝1⇒1＝(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2≥4ab⇒ab≤.∴原命题为真，从而逆否命题为真；若ab≤，显然得不出a＋b＝1，故逆命题为假，因而否命题为假，选B.8.已知命题，命题，则（）A．命题是假命题B．命题是真命题C．命题是假命题D．命题是真命题【答案】B【解析】对命题，作出的图象可知其成立.对命题，由于时，，所以命题是假命题，由此可知B正确.【考点】逻辑与命题.9.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数,它的平方是有理数B．任意一个无理数,它的平方不是有理数C．存在一个有理数,它的平方是有理数D．存在一个无理数,它的平方不是有理数【答案】B【解析】根据命题的否定的定义,该命题的否定为“任意一个无理数,它的平方不是有理数”.故选B.10.已知命题：“是”的充分必要条件”；命题：“存在，使得”，下列命题正确的是（）A．命题“”是真命题B．命题“”是真命题C．命题“”是真命题D．命题“”是真命题【答案】B【解析】因为时，，由可得：，所以命题为假命题；因为当时，，所以命题为真命题.所以为真命题,故选B.【考点】1命题；2、充要条件；3、基本不等式.11.．给定命题:若，则；命题:已知非零向量则“”是“”的充要条件.则下列各命题中,假命题的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当，则命题是假命题，，故命题是真命题，所以是假命题．【考点】1、向量的运算；2、重要条件；3、复合命题的真假判断.12.已知命题，命题，则下列命题中为真命题的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴或，∴命题为假命题；∵，∴，即，∴命题为真命题；∴为真命题.【考点】1.高次不等式的解法；2.三角方程的解法；3.命题的真假；4.简单的逻辑连结词.13.有下列四种说法：①命题：“,使得”的否定是“,都有”；②已知随机变量服从正态分布，，则；③函数图像关于直线对称，且在区间上是增函数；④设实数，则满足：的概率为。
1.1 命题及其关系1.命题的构成――条件和结论定义：从构成来看，所有的命题都具由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成“若p，则q”或者“如果p，那么q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题结论．2．命题的分类――真命题、假命题的定义．真命题：如果由命题的条件P通过推理一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做真命题．假命题：如果由命题的条件P通过推理不一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做假命题．强调：(１)注意命题与假命题的区别．如：“作直线AB”．这本身不是命题．也更不是假命题．(２)命题是一个判断，判断的结果就有对错之分．因此就要引入真命题、假命题的的概念，强调真假命题的大前提，首先是命题。
3．定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．小结：(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题：(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题．强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。
4．四种命题的形式原命题：若P，则q．则：逆命题：若q，则P．否命题：若￢P，则￢q．（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示p的否定；即不是p；非p）逆否命题：若￢q，则￢P．5．①原命题为真，它的逆命题不一定为真。
2023年高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语第2节命题及其关系、充分条件与必要条件考试要求 1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.1.命题可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题，其中判断为真的语句叫作真命题，判断为假的语句叫作假命题.2.四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.3.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒/pp是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p1.否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论.2.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A 且A⇒/B)两者的不同.3.充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2)若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.(3)若A＝B，则p是q的充要条件.4.p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题.()(2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.()(3)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.()(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.()答案(1)×(2)√(3)√(4)√解析(1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.2.(2021·浙江卷)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析由a·c＝b·c可得(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件.3.(2021·全国甲卷)等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n.设甲：q＞0，乙：{S n}是递增数列，则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B解析当a1＜0，q＞1时，a n＝a1q n－1＜0，此时数列{S n}递减，所以甲不是乙的充分条件.当数列{S n}递增时，有S n＋1－S n＝a n＋1＝a1q n＞0，若a1＞0，则q n＞0(n∈N+)，即q＞0；若a1＜0，则q n＜0(n∈N+)，不存在，所以甲是乙的必要条件.综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件.4.(易错题)命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是________________.答案若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠05.(易错题)若“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为________.答案3解析由x2－x－6>0，解得x<－2或x>3.因为“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，所以{x|x>a}是{x|x<－2或x>3}的真子集，即a≥3，故a的最小值为3.6.已知命题“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为________.答案2解析由x≥0，y≥0⇒xy≥0，∴原命题成立，则逆否命题也成立.由xy≥0⇒/x≥0，y≥0，如x＝－1，y＝－2，∴原命题的逆命题不成立，则原命题的否命题也不成立.考点一命题及其关系1.已知命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列说法正确的是()A.否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”B.逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”C.逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”D.逆否命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”答案B解析由四种命题关系易知B正确.2.给出以下命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③若ab是正整数，则a，b都是正整数；④若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递减.其中为真命题的是________(写出所有真命题的序号).答案①解析①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②的否命题为“不全等三角形的面积不相等”，但不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③若ab是正整数，则a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故③为假命题；④构造函数f(x)＝x，g(x)＝－x，则f(x)－g(x)＝2x，显然f(x)－g(x)单调递增，故④为假命题.综上①为真命题.3.能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________________.答案f(x)＝sin x，x∈[0，2](答案不唯一，再如f(x)x＝0，0<x≤2)解析根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0，2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f(x)min＝f(0).感悟提升 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.2.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.3.根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断.考点二充分条件与必要条件的判定例1(1)(2020·浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2020·北京卷)已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sinα＝sinβ”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案(1)B(2)C解析(1)由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交.由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m⊂α，所以m，n，l在同一平面内.故选B.(2)若存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ，则当k＝2n(n∈Z)，α＝2nπ＋β，有sinα＝sin(2nπ＋β)＝sinβ；当k＝2n＋1(n∈Z)，α＝(2n＋1)π－β，有sinα＝sin[(2n＋1)π－β]＝sinβ.若sinα＝sinβ，则α＝2kπ＋β或α＝2kπ＋π－β(k∈Z)，即α＝kπ＋(－1)kβ(k∈Z).故选C.感悟提升充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.训练1(1)(2022·长春质检)已知m，n是平面α内两条不同的直线，则“直线l⊥m 且l⊥n”是“l⊥α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案(1)B(2)A解析(1)若m与n不相交，则由“直线l⊥m且l⊥n”不能推出“l⊥α”，若l⊥α，则l垂直于面内任何一条直线，故选B.(2)若a>2，b>2，则a＋b>4，ab>4成立.当a＝1，b＝5时，满足a＋b>4，ab>4，但不满足a>2，b>2，∴a＋b>4，ab>4⇒/a>2，b>2，故答案为A.考点三充分、必要条件的应用例2(经典母题)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求实数m的取值范围.解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P.1－m≥－2，1＋m≤10，解得m≤3.又∵S为非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0.综上，m 的取值范围是[0，3].迁移设p ：P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，q ：非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，且非p 是非q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.解由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}.∵非p 是非q 的必要不充分条件，p 是q 的充分不必要条件.∴p ⇒q 且q ⇒/p ，即P S .－m ≤－2，＋m >10－m <－2，＋m ≥10，∴m ≥9，又因为S 为非空集合，所以1－m ≤1＋m ，解得m ≥0，综上，实数m 的取值范围是[9，＋∞).感悟提升1.根据充分、必要条件求解参数取值范围需抓住“两”关键(1)把充分、必要条件转化为集合之间的关系.(2)根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.2.解题时要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.训练2(1)使2x ≥1成立的一个充分不必要条件是()A.1<x <3B.0<x <2C.x <2D.0<x ≤2(2)若关于x 的不等式|x －1|<a 成立的充分不必要条件是0<x <4，则实数a 的取值范围是________.答案(1)B(2)[3，＋∞)解析(1)由2x≥1得0<x ≤2，依题意由选项组成的集合是(0，2]的真子集，故选B.(2)|x －1|<a ⇒1－a <x <1＋a ，因为不等式|x －1|<a 成立的充分不必要条件是0<x <4，所以(0，4)(1－a ，1＋a )，－a ≤0，＋a >4－a <0，＋a ≥4，解得a ≥3.1.设a ∈R ，则“a ＞1”是“a 2＞a ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析由a 2＞a ，得a 2－a ＞0，解得a ＞1或a ＜0，∴“a ＞1”是“a 2＞a ”的充分不必要条件.2.(2021·全国百校联考)已知命题p ：“任意a >0，且a ≠1，函数y ＝1＋log a (x －1)的图像过点P ”的逆否命题为真，则P 点坐标为()A.(2，1)B.(1，1)C.(1，2)D.(2，2)答案A解析由逆否命题与原命题同真同假，可知命题p 为真命题，由对数函数性质可知，函数y ＝1＋log a (x －1)的图像过定点(2，1)，所以点P 的坐标为(2，1).3.已知命题p ：若a <1，则a 2<1，下列说法正确的是()A.命题p 是真命题B.命题p 的逆命题是真命题C.命题p 的否命题是“若a <1，则a 2≥1”D.命题p 的逆否命题是“若a 2≥1，则a <1”答案B解析p ：若a <1，则a 2<1；如a ＝－2，则(－2)2>1，∴p 为假命题，A 不正确；命题p 的逆命题：若a 2<1，则a <1为真命题，B 正确；命题p的否命题：若a≥1，则a2≥1，C显然不正确；命题p的逆否命题：若a2≥1，则a≥1，D显然不正确.4.王昌龄的《从军行》中的两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，从中可知“攻破楼兰”是“返回家乡”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定“攻破楼兰”，故选B.5.命题若“x2＋y2＝0，则x＝y＝0”的否命题为()A.若x2＋y2＝0，则x，y中至少有一个不为0B.若x2＋y2≠0，则x，y中至少有一个不为0C.若x2＋y2≠0，则x，y都不为0D.若x2＋y2＝0，则x，y都不为0答案B解析否命题既否定条件又否定结论.6.(2022·郑州质检)对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4答案B解析①ac＝bc⇔a＝b或c＝0，∴①为假命题；②a＋5是无理数⇔a是无理数，∴②为真命题；③0>－2推不出02>(－2)2，∴③为假命题；④a<5⇒/a<3，但a<3⇒a<5，∴④为真命题.7.(2021·贵阳模拟)设函数f(x)＝e x2－3x，则使f(x)<1成立的一个充分不必要条件是()A.0<x<1B.0<x<4C.0<x<3D.3<x<4答案A解析f(x)<1⇔e x2－3x<1⇔x2－3x<0，解得0<x<3.又“0<x<1”可以推出“0<x<3”，但“0<x<3”不能推出“0<x<1”.故“0<x<1”是“f(x)<1”的充分不必要条件.8.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且非q的一个充分不必要条件是非p，则a的取值范围是()A.[1，＋∞)B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]答案A解析由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由非q的一个充分不必要条件是非p，可知非p是非q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1. 9.设a，b是两个平面向量，则“a＝b”是“|a|＝|b|”的________条件.答案充分不必要解析a＝b⇒|a|＝|b|，|a|＝|b|⇒/a＝b.10.(2021·河南名校联考)设命题p：x>4；命题q：x2－5x＋4≥0，那么p是q的________________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”).答案充分不必要解析由x2－5x＋4≥0得x≤1或x≥4，可知{x|x>4}是{x|x≤1或x≥4}的真子集，∴p是q的充分不必要条件.11.已知不等式|x－m|<1成立的一个充分不必要条件是13<x<12，则m的取值范围是________.答案－1 2，43解析解不等式|x－m|<1，得m－1<x<m＋1.(m－1，m＋1)，－1≤13，＋1≥12且等号不同时成立，解得－12≤m≤43.12.(2022·西安调研)已知p(x)：x2＋2x－m>0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为______.答案[3，8)解析∵p(1)是假命题，∴1＋2－m≤0.又∵p(2)是真命题，∴4＋4－m>0，＋2－m≤0，＋4－m>0，∴3≤m<8，∴实数m的取值范围为[3，8).13.(2021·景德镇模拟)对于任意实数x，〈x〉表示不小于x的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析令x＝1.8，y＝0.9，满足|x－y|<1，但〈1.8〉＝2，〈0.9〉＝1，〈x〉≠〈y〉，可知充分性不成立.当〈x〉＝〈y〉时，设〈x〉＝x＋m，〈y〉＝y＋n，m，n∈[0，1)，则|x－y|＝|n－m|<1，可知必要性成立.所以“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的必要不充分条件.14.(2020·上海卷)p：存在a∈R且a≠0，对任意的x∈R，均有f(x＋a)<f(x)＋f(a)恒成立.已知q1：f(x)单调递减，且f(x)>0恒成立；q2：f(x)单调递增，存在x0<0使得f(x0)＝0.则下列说法正确的是()A.q1，q2都是p的充分条件B.只有q1是p的充分条件C.只有q2是p的充分条件D.q1，q2都不是p的充分条件答案A解析若q1成立，当a>0时，x＋a>x，因为f(x)单调递减，且f(x)>0恒成立，所以f(a)>0，所以f(x＋a)<f(x)<f(x)＋f(a)恒成立，所以p成立，所以q1是p的充分条件；若q2成立，当a＝x0<0时，x＋a＝x＋x0<x，f(a)＝f(x0)＝0，因为函数f(x)单调递增，所以f(x＋a)＝f(x＋x0)<f(x)＝f(x)＋f(a)，所以p成立，所以q2是p的充分条件.综上可知，q1，q2都是p的充分条件，故选A.15.能说明“若a>b，则1a <1b”为假命题的一组a，b的值依次为________.答案a＝1，b＝－1(答案不唯一，只需a>0，b<0)解析若a>b，则1a<1b为真命题，则1a－1b＝b－aab<0，∵a>b，∴b－a<0，则ab>0.故当a>0，b<0时，均能说明“若a>b，则1a<1b”为假命题.16.已知集合A＝{y|y＝x2－32x＋1，0≤x≤2}，B＝{x|x＋m2≥2}，p：x∈A，q：x∈B，p是q的充分条件，则实数m的取值范围是________________.答案－∞，－54∪54，＋∞解析由y＝x2－32x＋1＋716，0≤x≤2，得716≤y≤2，∴A＝716，2.又由题意知A⊆B，∴2－m2≤716，∴m2≥2516.∴m≥54或m≤－54.。
