福建师大附中高二数学上学期期末试卷 理(含解析)

福建省福州市福建师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合1{ln 1},2x M x x N x x +⎧⎫=<=<⎨⎬⎩⎭，则M N ⋂=（ ） A ．{1}x x > B ．{1e}x x << C ．{e}x x < D ．∅2．下列说法中，错误的是（ ） A ．若0,0a b c d >><<，则一定有a b c d > B ．若22a bc c>，则a b > C ．若0,0b a m >>>，则a m ab m b+>+ D ．若,a b c d ><，则a c b d ->-3．已知a ∈R ，则“01a <<”是“函数()225f x ax x =--在()1,1-内单调递减”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若0, 0 223a b ab a b >>++=，，则2+a b 的最小值是 （ ）A B ．1C ．2D ．25．()52x x y -+的展开式中52x y 的系数为（ ） A ．10-B ．10C ．30-D ．306．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能（六艺）：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，则“射”与“数”之间最多间隔一艺的不同排课方法总数有（ ） A ．432种B ．486种C ．504种D ．540种7．已知()2cos221x x f x ax x =+++，若π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则π3f ⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．18．从装有a 个红球和b 个蓝球的袋中(a ，b 均不小于2)，每次不放回地随机摸出一球.记“第一次摸球时摸到红球”为1A ，“第一次摸球时摸到蓝球”为2A ；“第二次摸球时摸到红球”为1B ，“第二次摸球时摸到蓝球”为2B ，则下列说法错误的是（ ）A ．()1a PB a b=+B ．()()11211P B A P B A +=∣∣C ．()()121P B P B +=D ．()()21121P B A P B A +=∣∣二、多选题9．下列函数中最小值为6的是（ ） A ．9ln ln y x x=+B ．36sin 2sin y x x =+C ．233xxy -=+D．2y =10．已知由样本数据点集合(){,|1,2,,}i i x y i n =L ，求得的回归直线方程为 1.5.5ˆ0yx =+，且3x =，现发现两个数据点()1.3,2.1和()4.7,7.9误差较大，剔除后重新求得的回归直线l 的斜率为1.2，则（ ）A ．变量x 与y 具有负相关关系B ．剔除后y 不变C ．剔除后的回归方程为 1.2.4ˆ1yx =+ D ．剔除后相应于样本点()2,3.75的残差为0.0511．设函数()f x 的定义域为(),1f x -R 为奇函数，()1f x +为偶函数，当()1,1x ∈-时，()21f x x =-+，则下列结论正确的是（ ） A ．7324f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()7f x +为奇函数C ．()f x 在()6,8上为减函数D ．方程()lg 0f x x +=仅有6个实数解12．已知数列{an }满足11a =，21n nn a a a +=+，则（ ） A ．{an }是递增数列 B ．n a n ≥ C ．202120222a ≤D ．121111111n a a a ++⋅⋅⋅+<+++三、填空题13．若()626012621x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则0246a a a a +++=.14．在一次投篮游戏中，每人投蓝3次，每投中一次记10分，没有投中扣5分，某人每次投中目标的概率为23，则此人恰好投中2次的概率为，得分的方差为．15．现在有5人通过3个不同的闸机进站乘车，每个闸机每次只能过1人，要求每个闸机都要有入经过，则有种不同的进站方式（用数字作答）16．已知函数()2e ,0,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，2()2g x x x =-+（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())g f x m =恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则12322x x x -+的最大值为.四、解答题17．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足2n n S n a +=，*n ∈N . (1)求证：数列{}1n a +是等比数列；(2)若12n n n n b a a +=⋅，记n T 为数列{}n b 的前n 项和，求满足不等式1314n T <的n 的最大值.18．已知函数()sin xf x x=. (1)求曲线()y f x =在πx =处的切线方程； (2)当(]0,πx ∈时，求函数()f x 的最小值.19．甲、乙两支队伍进行某项比赛，赛制分为两种，一种是五局三胜制，另一种是三局两胜制.根据以往数据，在决胜局（在五局三胜制中指的是第五局比赛，在三局两胜制中指的是第三局比赛）中，甲、乙两队获胜的概率均为0.5；而在非决胜局中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4.(1)若采用五局三胜制，直到比赛结束，共进行了ξ局比赛，求随机变量ξ的分布列，并指出进行几局比赛的可能性最大；(2)如果你是甲队的领队，你希望举办方采用五局三胜制还是三局两胜制?20．某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了100名学生一个月（30天）完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表：(1)由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本的平均数（每组数据取区间的中间值），且 6.1σ=，若全校有3000名学生，求参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数（精确到1）；(2)调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在（15，30]的学生中有30名男生，天数在[0，15]的学生中有20名男生，学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动超过15天的学生授予“运动达人”称号.请填写下面列联表：并依据小概率值0.05α=的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联.如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响.附：参考数据：()0.6827P X μσμσ-≤≤+=；()220.9545P X μσμσ-≤≤+=；()330.9973P X μσμσ-≤≤+=.()()()()()()22n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++21．经观测，长江中某鱼类的产卵数y 与温度x 有关，现将收集到的温度i x 和产卵数()1,2,,10i y i =L 的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表.表中11ln ,10i i i i i t z y z z ====∑(1)根据散点图判断，,y a bx y n =+=+21e c x y c =哪一个适宜作为y 与x 之间的回归方程模型并求出y 关于x 回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）(2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有8个鱼卵，其中“死卵”有3个．现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望.附：对于一组数据()()()1122,,,,,n n u v u v u v L ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121,niii nii u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑.22．已知函数()ln 1f x x x =-+，()0,x ∈+∞，()3g x x ax =-.（1）求()f x 的最大值；（2）若对()10,x ∀∈+∞，总存在[]21,2x ∈使得()()12f x g x ≤成立，求a 的取值范围； （3）证明不等式121nnnn e n n n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+<⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.。

福建师大附中2017-2018学年高二上学期期末考试（理）一、选择题（每小题5分，共65分；在给出的A,B,C,D 四个选项中，只有一项符合题目要 求）1.向量),1,2(y x a --=，),1,,1(--=x b 若a ∥b ，则y x +=（ ） A ．-2 B ．0 C ．1 D ．22．若双曲线22221x y a b-=)0,0(>>b a ）A. 2y x =±B. y =C. 12y x =± D. y x = 3．下列命题中是真命题的是（ ）①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题; ②“正多边形都相似”的逆命题; ③“若m>0，则x 2＋x －m=0有实根”的逆否命题; ④“29x =，则3x =”的否命题. A ．①②③④ B ．①③④ C ．②③④ D ．①④ 4.若1>k ，则关于y x ,的方程1)-1222-=+k y x k （表示的曲线是( )A.焦点在x 轴上的椭圆B.焦点在y 轴上的椭圆C. 焦点在x 轴上的双曲线D.焦点在y 轴上的双曲线5.与圆1)3(:221=++y x C 外切，且与圆93-x :C 222=+y ）（外切的动圆圆心P 的轨迹方程是（ ）A. )01822<=-x y x （ B . 1822=-y x C.)015422<=-x y x （ D. 15422=-y x6．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 中点，若=，=，=，则=（ ）A ．B ．C ．D ．7.设12,F F 是椭圆1649422=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且3:4:21=PF PF ，则21F PF ∆的面积为（ ）A.4B.6C.22D.248．正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在1A C 上运动（包括端点），则BP 与1AD 所成角的取值范围是（ ） A.,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. ,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.已知P 为抛物线y x 22=的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是)217,6(， 则|PA|+|PM|的最小值是（ ）A.221 B.10 C.219 D.8 10．给出以下命题：①若cos ＜，＞=﹣，则异面直线MN 与PQ 所成角的余弦值为﹣；②若平面α与β的法向量分别是与，则平面α⊥β；③已知A 、B 、C 三点不共线，点O 为平面ABC 外任意一点，若点M 满足，则点M ∈平面ABC ；④若向量、、是空间的一个基底，则向量、、也是空间的一个基底；则其中正确的命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411.过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点F(-c,0)作圆222a y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线cx y 42=于点P ，若是若E 是线段FP 中点，则双曲线的离心率为（ ）A.215+ B. 5+1 C.25D. 512．如图,正方体中，为底面上的动点，于，且，则点的轨迹是( )A. 线段B. 圆弧C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分13．在等腰梯形ABCD 中， //AB CD ，且2,1,2AB AD CD x ===，其中()0,1x ∈，以,A B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以,C D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，若对任意()0,1x ∈，不等式12t e e <+恒成立，则t 的最大值是（ ）A.B. C. 2 D. 二、填空题（每小题5分，共25分）14.直线l 与双曲线x 2﹣4y 2=4相交于A 、B 两点，若点P （4，1）为线段AB 的中点，则直 线l 的方程是 ． 15. 已知1:12p x ≤≤， ()():10q x a x a --->，若p ⌝是q ⌝的必要非充分条件，则a 的 取值范围为__________．16.某桥的桥洞呈抛物线形，桥下水面宽16m ，当水面上涨2m 时，水面宽变为12m ，此时 桥洞顶部距水面高度为_________米. 17.在直三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC 中，∠BAC=2π，AB=AC=AA 1=1，已知G 和E 分别为A 1B 1 和CC 1的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点），若GD ⊥EF ，则线 段DF 的长度的取值范围为____________.18．已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>，长轴AB 上的100等分点从左到右依次为点1M ，2M ，⋅⋅⋅，99M ，过i M （1i =，2，⋅⋅⋅，99）点作斜率为k （0k ≠） 的直线i l （1i =，2，⋅⋅⋅，99），依次交椭圆上半部分于点1P ，3P ，5P ，⋅⋅⋅，197P ，交椭 圆下半部分于点2P ，4P ，6P ，⋅⋅⋅，198P ，则198条直线1AP ，2AP ，⋅⋅⋅，198AP 的斜率乘 积为 ．三、解答题（要求写出过程，共60分） 19. (本小题满分8分)已知命题p :方程11222=-+m y x 表示焦点在y 轴的椭圆，命题q :关于x 的方程0422=+-m x x 没有实数根。

福建师大附中2018-2019学年上学期期末考试高二数学（理科）试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．做图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.抛物线的准线方程为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将抛物线方程化成标准方程,计算准线,即可.【详解】,故准线方程,故选D.【点睛】本道题考查了抛物线的性质,关键掌握准线方程即可，难度较容易。

2.下列说法正确的是( )A. 命题“若，则”的逆否命题为真命题B. 命题“使得”的否定是：“均有”C. 命题“若且,则”的否命题为真命题D. 命题“若，则”的逆命题为真命题【答案】A【解析】【分析】将命题的否定写出来,判定真假,即可.【详解】A选项，分析可知当，能够推出为真命题，故逆否命题也是真命题，故正确；B选项，该命题的否定应该为“均有”，故错误；C选项，命题的否命题为:若,明显是假命题;D选项,命题的逆命题为:若,错误,故选A.【点睛】本道题考查了四种命题的关系以及真假判断,难度中等.3.设是直线的方向向量，是平面的法向量，则( )A. B. C. D. 或【答案】C【解析】【分析】计算,代入坐标,计算结果,即可.【详解】,所以这两个向量垂直,得出.【点睛】本道题考查了向量的数量积坐标运算,考查了向量垂直判定,难度较容易.4.“且”是“方程表示双曲线”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若方程表示双曲线，则，解得则当时推出“且” 是“方程表示双曲线”反之则推不出故“且” 是“方程表示双曲线”的必要不充分条件故选5.如图，在四面体中，是底面的重心，则等于( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】不断的利用向量的加法,用表示向量,即可.【详解】则,故选D.【点睛】本道题考查了向量的加减法,考查了平面向量基本定理,难度中等.6.设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于( )A. B. C. 6 D. 10【答案】C【解析】根据双曲线的定义，联立解得，由于，故为直角三角形，故面积为.7.已知椭圆的左右焦点,，是椭圆上的动点,则的最大值为( )A. 4B.C. 5D.【答案】B【解析】【分析】利用椭圆的参数方程设出椭圆上的点，利用平面向量的数量积公式求得的表达式为,然后根据二次函数的性质求解最值即可.【详解】椭圆左、右焦点分别为，，设，，，当时，的最大值为，故选B.【点睛】本题考查椭圆的简单性质、参数方程的应用,三角函数结合配方法求解最值,考查转化思想以及计算能力.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.8.已知直线过抛物线的焦点，交抛物线于点，交其准线于点，若 (其中位于之间)，且，则抛物线方程为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合抛物线的性质，反复运用三角形相似，即可得出答案。

2021-2022学年福建师范大学附属中学高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．直线l 经过点()0,1-和()1,0，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．23π B ．34π C ．3π D ．4π 【答案】D【分析】算出直线的斜率后可得其倾斜角. 【详解】设直线的斜率为k ，且倾斜角为α，则10101k --==-， 根据tan 1α=，而[)0,απ∈，故4πα=，故选D. 【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，属于基础题.2．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）.A ．1122-++a b cB ．1122a b c ++C ．1122a b c --+D ．1122a b c -+【答案】A【分析】根据空间向量线性运算的定义进行求解即可. 【详解】1111111111=()()2222BM BA AA A M a c A B A D a c a b a b c ++=-+++=-+++=-++，故选：A3．抛物线2y ax =的准线方程为 A ．4ay =-B ．14y a =-C ．4ax =-D ．14x a=-【答案】B【分析】先写出抛物线的标准方程，进而可得准线方程．【详解】由题得标准方程为21x y a =，则准线方程为14y a=-，故选B. 【点睛】本题考查抛物线的标准方程，属于基础题． 4．在数列{}n a 中，1112,2(2,*)n n a a n n N a -==-≥∈，则5a =（ ） A ．65B ．76C ．54D ．56【答案】A【分析】根据递推关系依次求出2345a a a a ，，，即可. 【详解】12a =，112n n a a -=-， ∴211322a a =-=，321423a a =-=，431524a a =-=，541625a a =-=. 故选：A.5．设12,F F 是双曲线22:13yC x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为（ ）A ．72B ．3C ．52D ．2【答案】B【分析】由12F F P 是以P 为直角直角三角形得到2212||||16PF PF +=，再利用双曲线的定义得到12||||2PF PF -=，联立即可得到12||||PF PF ，代入12F F P S =△121||||2PF PF 中计算即可.【详解】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)F F -， 则1,2a c ==，因为12122OP F F ==， 所以点P 在以12F F 为直径的圆上，即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形， 故2221212||||||PF PF F F +=，即2212||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==，所以2124||||PF PF =-=2212||||2PF PF +-12||||162PF PF =-12||||PF PF ，解得12||||6PF PF =，所以12F F P S =△121||||32PF PF = 故选：B【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题. 6．用数学归纳法证明1111"1"12331n n n n +++⋯>++++时，假设n k =时命题成立，则当1n k =+时，左端增加的项为（ ） A ．131k + B ．11311k k -++ C ．111323334k k k +++++D ．112323431k k k +-+++（）【答案】D【分析】求出n k =时，不等式的左边，再求出当1n k =+时，不等式的左边，得到当1n k =+时，即可推出不等式的左边比n k =时增加的项 .【详解】当n k =时，不等式左边等于1111,N 12331k k k k k ++++⋅⋅⋅+∈++++， 当1n k =+时，不等式左边等于11111,2343334k k k k k +++⋅⋅⋅+++++++ 当1n k =+时，不等式的左边比n k =时增加()11111123233341323431k k k k k k k ++-=+-+++++++. 故选：D7．在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ）． A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项 D ．无最大项，无最小项【答案】B【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.【详解】由题意可知，等差数列的公差511925151a a d --+===--， 则其通项公式为：()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-， 注意到123456701a a a a a a a <<<<<<=<<，且由50T <可知()06,i T i i N <≥∈， 由()117,ii i T a i i N T -=>≥∈可知数列{}n T 不存在最小项，由于1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=，故数列{}n T 中的正项只有有限项：263T =，46315945T =⨯=. 故数列{}n T 中存在最大项，且最大项为4T . 故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.8．已知,A B 为抛物线22(0)x py p =>上的两个动点，以AB 为直径的圆C 经过抛物线的焦点F ，且面积为2π，若过圆心C 作该抛物线准线l 的垂线CD ，垂足为D ，则||CD 的最大值为A ．2BCD ．12【答案】A【分析】由圆的面积可得AB =||||AF a BF b ==，，过点A 作AQ l ⊥于Q ，过点B 作BP l ⊥于P ，利用抛物线定义得AF AQ BF BP ==，，根据梯形中位线可知2CD AQ BP a b =+=+，利用均值不等式即可求出最大值.【详解】根据题意，222AB ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴AB =设||||AF a BF b ==，，过点A 作AQ l ⊥于Q ，过点B 作BP l ⊥于P ， 由抛物线定义，得AF AQ BF BP ==，，在梯形ABPQ 中， ∴2CD AQ BP a b =+=+， 由勾股定理得，228a b =+，∵2222282244a b a b ab CD ab++++⎛⎫==== ⎪⎝⎭2222424ab a b +++=， 所以2CD ≤（当且仅当a b =时，等号成立）.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，梯形的中位线，均值不等式，属于难题.二、多选题9．若方程22131x y t t-=--所表示的曲线为C ，则下列命题正确的是（ ）A ．若C 为椭圆，则13t <<B ．若C 为双曲线，则3t >或1t < C ．曲线C 可能是圆D ．若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则12t <<【答案】BC【解析】根据方程22131x y t t-=--所表示的曲线为C 的形状求出t 的取值范围，进而可判断各选项的正误.【详解】对于A 选项，若C 为椭圆，则301031t t t t ->⎧⎪-<⎨⎪-≠-⎩，解得132t t <<⎧⎨≠⎩，A 选项错误；对于B 选项，若C 为双曲线，则()()310t t --<，即()()130t t -->，解得1t <或3t >，B 选项正确；对于C 选项，若曲线C 为圆，则301031t t t t ->⎧⎪-<⎨⎪-=-⎩，解得2t =，C 选项正确；对于D 选项，若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则301013t t t t ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得23t <<，D 选项错误.故选：BC.10．等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选项正确的是（ ） A ．0d >B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为8【答案】ABD【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为753a a =，求得13a d =-，根据数列{}n a 是递增数列，得到A 、B 正确；再由前n 项和公式，结合二次函数和不等式的解法，即可求解．【详解】解：由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为753a a =，可得1163(4)a d a d +=+，解得13a d =-，又由等差数列{}n a 是递增数列，可知0d >，则10a <，故A 、B 正确；因为2217()2222n d d d dS n a n n n =+-=-，由7722dn d -=-=可知，当3n =或4时n S 最小，故C 错误，令27022n d d S n n =->，解得0n <或7n >，即0n S >时n 的最小值为8，故D 正确． 故选：ABD ．11．在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．点F 的轨迹是一条线段B ．1A F 与BE 是异面直线C ．1A F 与1DE 不可能平行 D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值【答案】ABD【分析】证明点F 是线段MN 上的动点可判断A 正确；利用异面直线定义可判断B ；1A F 与1D E 可能平行，可判断C 错误；F 到平面1AD E 的距离是定值，结合体积公式可判断D.【详解】对于A ，设平面1AD E 与直线BC 交于点G ，连接AG 、EG ，则G 为BC 的中点，分别取1B B 、11B C 的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，11//A M D E ，1A M ⊂/平面1D AE ，1D E ⊂平面1D AE ，1//A M ∴平面1D AE ．同理可得//MN 平面1D AE ，1A M 、MN 是平面1A MN 内的相交直线，∴平面1//A MN 平面1D AE ，由此结合1//A F 平面1D AE ，可得直线1A F ⊂平面1A MN ，即点F 是线段MN 上的动点．故A 正确；对于B ，平面1//A MN 平面1D AE ，BE 和平面1D AE 相交，1A F ∴与BE 是异面直线，故B 正确；对于C ，由A 知，平面1//A MN 平面1D AE ，1A F ∴与1D E 可能平行，故C 错误；对于D ，//MN EG ,//EG 1AD ，1//MN AD ∴，1AD ⊂平面1ABD ，MN ⊄平面1ABD ，则//MN 平面1ABD ，则点F 到平面1ABD 的距离等于点M (或点N )到平面1ABD 的距离. 设点M (或点N )到平面1ABD 的距离为d ，则11M ABD D ABM V V --=，即1111133△△ABD ABM S d S A D ⋅=⋅. 在正方体中，1ABD S，ABM S △，11A D 均为定值，所以d 为定值.点F 到平面1ABD 的距离为定值，又1ABD S 为定值，所以1F ABD -的体积为定值，故D正确； 故选：ABD12．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221x y x y +=+就是其中之一（如图）．下列说法正确的是（ ）A ．曲线C 的图象关于y 轴对称B ．曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C ．曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3D ．曲线C 2【答案】ABD【分析】利用题中给出的曲线的方程，通过将x 变换为x -，即可判断选项A ；通过方程，确定x 和y 的取值情况，即可判断选项B ；求出曲线C 所围成的面积，即可判断选项C ；利用基本不等式以及两点间距离公式进行分析求解，即可判断选项D ． 【详解】解：对于A ，将x 换成x -，方程不变，所以图形关于y 轴对称，故A 正确； 对于B ，当0x =时，代入方程可得21y =，所以1y =±，即曲线经过点(0,1)-，(0,1)， 当0x >时，方程变为2210y xy x -+-=，所以224(1)0x x ∆=--≥，解得23(0,)3x ∈， 因为x 只能取整数1，当1x =时，20y y -=，解得0y =或1y =，即曲线经过点(1,0)，(1,1)， 根据对称性，可得曲线还经过(1,0)-，(1,1)-，故曲线一共经过6个整点，故B 正确； 对于C ，在x 轴上方图形的面积大于矩形的面积122⨯=，在x 轴下方图形的面积大于等腰直角三角形的面积12112⨯⨯=，因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于213+=，故C 错误；对于选项D ，当0x >时，由221x y xy +=+，可得222212x y x y xy ++-=≤，当且仅当x y =取等号，所以222x y +≤，所以222x y +≤，故曲线C 上y 轴右边的点到原点的距离不超过2，根据对称性可得，曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2，故D 正确. 故选：ABD ．三、填空题13．若直线l 过点(1,2)-，且在两坐标轴上截距相等，则直线l 的方程为_________． 【答案】2y x =-或1y x =--【分析】由题意可得直线l 的斜率存在，设直线l 为2(1)y k x +=-，然后分别求出直线在两坐标轴上的截距，再由截距相等列方程可求出k 的值，从而可求出直线l 的方程. 【详解】由题意可得直线l 的斜率存在，设直线l 为2(1)y k x +=-， 当0x =时，2y k =--， 当0y =时，21x k=+，因为直线l 在两坐标轴上截距相等， 所以212k k+=--，化简得2320k k ++=，解得1k =-或2k =-，所以直线l 为2(1)y x +=--或22(1)y x +=--， 即2y x =-或1y x =--， 故答案为：2y x =-或1y x =--14．已知在一个二面角的棱上有两点A B ，，线段AC BD ，分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱53452AB AB AC BD CD ====，，，，，则这个二面角的度数为__________． 【答案】90︒π2【分析】根据题意，二面角的大小可转化为,AC BD ，利用向量数量积的运算性质即可求解. 【详解】如图，设,AC BD θ=(0180θ︒≤≤︒)，则二面角的大小为θ， ∵CA AB ⊥，AB BD ⊥，∴0AC AB BD AB ⋅=⋅=，,180CA BD θ=︒-，∴22()CD CA AB BD =++()2222cos 180CA AB BD CA BD θ=+++-. ∴2222(52)354234(cos )θ=+++⨯⨯⨯-， ∴cos 0θ=，∴90θ=. 因此，所求二面角的度数为90°. 故答案为：90︒15．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作倾斜角为30的直线，与以坐标轴原点O 为圆心，椭圆半焦距为半径的圆交于点A （不同于点1F ），与椭圆C 在第一象限交于点B ，若()221212F A F F F B =+，则椭圆C 的离心率为__________．【分析】由()221212F A F F F B =+与12F AF ∠为直径所对的圆周角得出2F A 为线段1F B 的垂直平分线，再结合已知条件中的角与椭圆的定义得出122F F c =且22F B a =-，列式即可得出答案. 【详解】()221212F A F F F B =+， ∴点A 是线段1F B 的中点，12F AF ∠为直径所对的圆周角， 21F A F B ∴⊥，2F A ∴为线段1F B 的垂直平分线， 122F F F B ∴=，112F B F A =，过1F 的直线的倾斜角为30， 1230AF F ∴∠=， 2122F A F F ∴=，1F ，2F 为椭圆C 的焦点，122F F c ∴=，22F B c ∴=且2F A c =，1F A ∴==，1F B ∴=，点B 在椭圆C 上，122F B F B a ∴+=，22F B a ∴=-，22c a ∴=-，即c e a ==，四、双空题16．定义：记满足下列两个条件的有穷数列()12,,,2,3,4,n a a a n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅为n 阶“期待数列”.①1230n a a a a +++=⋅⋅⋅+；②1231n a a a a +++⋅⋅⋅+=.试写出一个3阶“期待数列”___________；若2021阶“期待数列”{}n a 是递增的等差数列，则2021a =___________. 【答案】12，0，12-（答案不唯一）11011 【分析】（1）根据新定义直接写出答案即可；（2）设出等差数列的公差，结合新定义得到数列{}n a 的通项公式，然后求解2021a 即可.【详解】（1）写出一个满足条件12312301a a a a a a ++=⎧⎨++=⎩的数列即可，如12，0，12-或12，14-，14-（答案不唯一）； (2)解法一：设等差数列()12321,,,,1k a a a a k +⋅⋅⋅≥为21k +阶“期待数列”，公差为d （0d >）， ∵123210k a a a a ++++⋅⋅⋅+=，∴()()1212102k k dk a +++=，∴10a kd +=， 即10k a +=，∴2k a d +=（等差数列通项公式的应用）， ∵0d >，10k a +=，∴232112k k k a a a +++++⋅⋅⋅+=（根据数列递增及10k a +=而得）， ∴()1122k k d kd -+=，即()11d k k =+， 由10k a +=得()101ka k k +=+，即111a k =-+， ∴()()()1111111n n a n k k k k k k=-+-=-+++， 令212021k +=，解得1010k =， ∴1101010111010n n a =-⨯，故202120211202110111101010111010101010111011a -=-==⨯⨯. 解法二：设等差数列{}n a 的公差为d ，则1232021120212020202102a a a a a d ⨯+++⋅⋅⋅+=+=， 即110100a d +=，即10110a =.由等差数列的性质，得12021220201011022a a a a a ++==⋅⋅⋅==. 因为数列{}n a 为递增数列，12320211a a a a +++⋅⋅⋅+=，所以123101012a a a a +++⋅⋅⋅+=-，即1101010091101022a d ⨯+=-，将110100a d +=代入，解得110111010d =⨯， 所以()20211011112021101101010101110101011a a d =+-=+⨯=⨯.故答案为：12，0，12-（答案不唯一）；11011五、解答题17．在“①1n n a a +>，2951a a =，4720a a +=；②5125S a =，23a =；③2n S n =”三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且___________，*n ∈N . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】条件选择见解析；（1）21n a n =-；（2）21n nT n =+. 【分析】（1）若选择①，根据等差数列的性质可知2920a a +=，联立方程，求2a 和9a ，再根据等差数列通项公式，列首项和公差的方程组，即可求得通项公式；若选择②，根据等差数列的通项公式和前n 项和公式，列式求首项和公式，即可求得通项公式；若选择③，利用数列n a 与n S 的关系，求数列的通项公式；（2）根据（1）的结果，利用裂项相消法求和.【详解】解：（1）若选择①， 由2951a a =与472920a a a a +=+=解得：29317a a =⎧⎨=⎩或29173a a =⎧⎨=⎩（由于1n n a a +>，舍去）设公差为d ，则21913817a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩ 所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =- 若选择②，设公差为d ，由5125S a =，得31525a a =；213a a d =+=则111253a d a a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =- 若选择③，因为11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 解得1,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =- （2）由题意得：()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭所以123n nT b b b b =+++⋅⋅⋅+111111111111233557212122121nn n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭ 18．如图，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，2PA AD AB ===，,M N 分别为AB ，PC 的中点．(1)求证：//MN 平面PAD ；(2)求PD 与平面PMC 所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； 3【分析】（1）取PD 的中点E ，连接AE ，NE ，证明四边形AMNE 为平行四边形，从而得//MN AE ，进而可证明//MN 平面PAD ；（2）由题意，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，对应的平面向量，求出平面PMC 的法向量，由向量的夹角公式代入求解.【详解】(1)取PD 的中点E ，连接AE ，NE ，∵N ，E 分别为PC ，PD 的中点，∴//NE CD 且12NE CD =，又M 为AB 的中点，底面ABCD 为矩形，∴//AM CD 且12AM CD =，∴//NE AM 且NE AM =，故四边形AMNE 为平行四边形，∴//MN AE ，又∵AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴//MN 平面PAD(2)由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，∵2PA AD AB ===，所以(2,2,0),(1,0,0),(0,0,2),(0,2,0)C M P D ，故(0,2,2),(2,2,2),(1,2,0)=-=-=PD PC MC ，设平面PMC 的法向量(,,)n x y z =，则02220200PC n x y z x y MC n ⎧⋅=+-=⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩，得(2,1,1)n =-，设PD 与平面PMC 所成角为θ，则223sin cos ,3226θ--===⋅PD n ，故PD 与平面PMC 所成角的正弦值为33. 19．已知数列{}n a 的首项127a =，且满足12(31n n na a n a +=∈+N ）． (1)求证：数列13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭n a 为等比数列；(2)若1231111na a a a +++⋯+＜100，求满足条件的最大正整数n ． 【答案】(1)证明见解析 (2)33n =【分析】（1）由已知递推公式得1111332+⎫⎛-=-⎪ ⎝⎭n n a a ，由此可得证；（2）由（1）得1132nn a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据等比数列的求和公式可求得1231111n a a a a +++⋯+，再令1()3992xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，得函数()f x 的单调性和(33)0,(34)0f f <>可得答案.【详解】(1)解：112311,312n n n n n na a a a a a +++=∴=+， 11113111,33222n n n n a a a a ++⎛⎫∴=+∴-=- ⎪⎝⎭， 又112171,3722a a =∴=-=，∴数列13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭n a 是以12为首项，12为公比的等比数列． (2)解：由（1）可知，11111113,32222n n nn n a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-==∴=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2123111111113132222nnn n n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++=++++=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 若1231111100na a a a ++++<，则1113100,39922n nn n ⎛⎫⎛⎫-+<∴-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令1()3992xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以()f x 在R 上单调递增，且333411(33)99990,(34)10299022f f ⎛⎫⎛⎫=--<=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以满足条件的最大正整数33n =．20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，其准线与x 轴交于点F '，过点F '的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，||2FF '=. （1）求抛物线C 的方程； （2）当1009F A F B ''⋅=时，求直线l 的方程. 【答案】（1）24y x =；（2）3430x y ++=或3430x y -+=.【分析】（1）由||2FF '=得出2p =，进而得出方程；（2）设直线l 的方程为1x my =-，并与抛物线方程联立，利用韦达定理求出12124,4.y y m y y +=⎧⎨=⎩，进而由数量积公式得出m ，从而得出直线l 的方程.【详解】（1）因为||2FF '=，所以2p =，所以所求抛物线C 的方程为24y x =； （2）点F '的坐标为(1,0)-，设直线l 的方程为1x my =-.221,4404,x my y my y x =-⎧⇒-+=⎨=⎩. 216160m ∆=->，解得1m <-或1m .设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12124,4.y y m y y +=⎧⎨=⎩ 所以12121211()2x x my my m y y +=-+-=+-，则2124242+=⋅-=-x x m m m212121212(1)(1)()1x x my my m y y m y y =--=-++， 2124411=-⋅+=x x m m m所以11221212(1,)(1,)(1)(1)F A F B x y x y x x y y ''⋅=+⋅+=+++ 则1212121F A F B x x x x y y ''⋅=++++，221421444F A F B m m ''⋅=+-++=+ 又1009F A F B ''⋅=，所以2100449m +=，得43m =±，满足0∆>. 所以直线l 的方程为413x y =-或413x y =--. 即所求直线l 的方程为3430x y ++=或3430x y -+=.【点睛】关键点睛：解决本题二的关键在于联立直线和抛物线方程，由韦达定理求出12124,4.y y m y y +=⎧⎨=⎩，最后由数量积公式得出m . 21．市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式：①等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；②等额本息：每月的还款额均相同．银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（如2020年7月7日贷款到账，则2020年8月7日首次还款）．已知该笔贷款年限为20年，月利率为0.4%．（1）若小张采取等额本金的还款方式，已知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，试计算该笔贷款的总利息．（2）若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半．已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张申请该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）． 参考数据：2401.0042.61≈．（3）对比两种还款方式，从经济利益的角度考虑，小张应选择哪种还款方式． 【答案】（1）289200（元） ；（2）小张申请该笔贷款能够获批 ；（3）小张应选择等额本金的还款方式．【分析】（1）由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，即可由等差数列的前n 项和公式求得其还款总额，减去本金即为还款的利息；（2）根据题意，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，设小张每月还款额为x 元，由等比数列求和公式及参考数据，即可求得其还款额，与收入的一半比较即可判断；（3）计算出等额本息还款方式时所付出的总利息，两个利息比较即可判断. 【详解】（1）由题意可知，等额本金还款方式中， 每月的还款额构成等差数列，记为{}n a ， 用n S 表示数列{}n a 的前n 项和， 则14900a =，2402510a =， 则()240240490025108892002S +==，故小张的该笔贷款的总利息为889200600000289200-=（元）．（2）设小张每月还款额为x 元，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列， 则()()()()223924010.00410.00410.00460000010.004x x x x +++++++=⨯+，所以2402401 1.004600000 1.0041 1.004x ⎛⎫-=⨯ ⎪-⎝⎭，即240240600000 1.0040.004600000 2.610.00438911.0041 2.611x ⨯⨯⨯⨯=≈≈--， 因为138911000050002<⨯=，所以小张该笔贷款能够获批.（3）小张采取等额本息贷款方式的总利息为 3891240600000333840⨯-=（元），因为333840289200>，所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择等额本金的还款方式．22．设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围. 【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ))12,83⎡⎣.【详解】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆定义求方程；（Ⅱ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值．试题解析：（Ⅰ）因为，，故，所以，故. 又圆的标准方程为，从而，所以. 由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）.（Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，，.由得.则，.所以.过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以.故四边形的面积.可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为(12,83.当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.综上，四边形面积的取值范围为.【解析】圆锥曲线综合问题【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、求最值、求参数取值范围等几部分组成.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.。

福建省师大附中2008-2009学年度上学期高二期末考试卷（满分：150分，时间：120分钟）说明：试卷分第1卷和第2卷，请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷第1卷共100分一、选择题：（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求）1、 命题 若厶ABC 不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是（**）A 、 若厶ABC 是等腰三角形，则它的任何两个内角都相等 ”B 、 若厶ABC 任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形” C 、 若厶ABC 有两个内角相等，则它是等腰三角形”D 、 若厶ABC 不是等腰三角形，则三角形存在两个相等的内角”2、 如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是（** ）A 、（0, + g ）B （0, 2）C 、（1, + g ）D 、（0, 1）53、中心在坐标原点，离心率为-的双曲线的焦点在 y 轴上,则它的渐近线方程是 （**）37、在下列命题中：①若向量 a 、b 平行，则向量a 、b 所在的直线平行；②若直线 a 、b 是 异面直线，则直线 a 、b 的方向向量一定不共面；③若 a 、b 、c 三向量两两共面，则 a 、b 、 c 三向量一定也共面；④已知三向量 a 、b 、c ,则空间任意一个向量 p 总可以唯一表示为 p =xa + yb + zc.其中正确数学选修2— 1 （理）命题人：林 芬 审核人：江 泽5 4A 、 y xB 、 y x454、已知a , b 均为单位向量，它们的夹角为A 、 ，7B 、 •: ；1043 C 、 yx 3D 、 y x 460那么|a+3b|等于（** )C 、 .13D 、45、在同一坐标系中，方程2爲 1与ax by 2 0（a b 0）的曲线大致是（** ）b6、若方程cos2丄1,sin[0,2 ）表示双曲线，则的取值范围是（*** ）3 2,2 33C 、(0,-)(三)D 、(-,)(三,2 )~2a命题的个数为（** ）A 、08、正方体 ABCD — A 1B 1CD 的棱长为 为（** ）8x ，过点A （2, 0）作倾斜角为一的直线I ,若I 与抛物线交于 B 、C 两3三、解答题：（本大题共4题，满分40分，每题10分） 13、（本题满分10分）2已知命题p ：方程x + mx+ 1 = 0有两个不相等的实根；2q :不等式4x + 4（m- 2）x+ 1 > 0的解集为R ； 若p V q 为真，p A q 为假，求实数 m 的取值范围。

福建师大附中2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（理科）(解析版)一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知抛物线y=ax 2（a ＞0）的焦点到准线距离为1，则a=（ ）A ．4B ．2C ．D ．2．双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）A ．B ．2C ．D ．13．方程（t 为参数）表示的曲线是（ ）A ．双曲线B ．双曲线的上支C ．双曲线的下支D ．圆4．已知0＜θ＜，则双曲线与C 2：﹣=1的（ ）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等5．若正数x ，y 满足xy 2=4，则x +2y 的最小值是（ ）A ．3B ．C ．4D ．6．下列命题：其中正确命题的个数是（ ） （1）“若a ≤b ，则am 2≤bm 2”的逆命题； （2）“全等三角形面积相等”的否命题；（3）“若a ＞1，则关于x 的不等式ax 2≥0的解集为R”的逆否命题； （4）“命题“p ∨q 为假”是命题“p ∧q 为假”的充分不必要条件” A ．1B ．2C ．3D ．47．设F1、F2是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=﹣上一点，△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则C的离心率为（）A．B．C．D．8．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3 C．D．29．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．10．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C．D．11．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．812．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．[，1）D．[，1）二、填空题：本大题有6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷的相应位置.13．设x∈Z，集合A是奇数集，集B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B；则命题p的否定是．14．过抛物线x2=8y焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点M的纵坐标为4，则|AB|=．15．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为．16．已知F是双曲线的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为．17．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为米．18．△ABC的顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是．三、解答题：本大题有5题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19．（12分）已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线=1的离心率e∈（）．若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．20．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点Q（1，2），P是动点，且△POQ的三边所在直线的斜率满足+=．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）过点F（1，0）作倾斜角为60°的直线L，交曲线C于A，B两点，求△AOB 的面积．21．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的顶点B到左焦点F1的距离为2，离心率e=．（1）求椭圆C的方程；（2）若点A为椭圆C的右頂点，过点A作互相垂直的两条射线，与椭圆C分別交于不同的两点M，N（M，N不与左、右顶点重合），试判断直线MN是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），M为C1上的动点，P点满足=2，点P的轨迹为曲线C2．（Ⅰ）求C2的普通方程；（Ⅱ）设点（x，y）在曲线C2上，求x+2y的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．（12分）已知函数f（x）=|x+1|．（I）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；（Ⅱ）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．2016-2017学年福建师大附中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知抛物线y=ax 2（a ＞0）的焦点到准线距离为1，则a=（ ）A ．4B ．2C ．D ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线y=ax 2（a ＞0）化为，可得．再利用抛物线y=ax 2（a ＞0）的焦点到准线的距离为1，即可得出结论．【解答】解：抛物线方程化为，∴，∴焦点到准线距离为，∴，故选D ．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）A ．B ．2C ．D ．1【考点】双曲线的简单性质．【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．【解答】解：由题得：其焦点坐标为（﹣4，0），（4，0），渐近线方程为y=±x所以焦点到其渐近线的距离d==2．故选：A【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．3．方程（t为参数）表示的曲线是（）A．双曲线B．双曲线的上支C．双曲线的下支D．圆【考点】参数方程化成普通方程．【分析】方程（t为参数），消去参数，即可得出表示的曲线．【解答】解：（t为参数），可得x+y=2•2t，y﹣x=2•2﹣t，∴（x+y）（y﹣x）=4（y＞x＞0），即y2﹣x2=4（y＞x＞0），∴方程（t为参数）表示的曲线是双曲线的上支，故选B．【点评】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查学生的计算能力，比较基础．4．已知0＜θ＜，则双曲线与C2：﹣=1的（）A．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的标准方程求出双曲线的几何性质同，即可得出正确答案．【解答】解：双曲线的实轴长为2cosθ，虚轴长2sinθ，焦距2，离心率，双曲线的实轴长为2sinθ，虚轴长2sinθtanθ，焦距2tanθ，离心率，故它们的离心率相同．故选D．【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等，属于基础题．5．若正数x，y满足xy2=4，则x+2y的最小值是（）A．3B．C．4D．【考点】基本不等式．【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正数x，y满足xy2=4，∴x=．则x+2y=+2y=+y+y=，当且仅当y=，x=2时取等号．∴x+2y的最小值是，故选：A．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．下列命题：其中正确命题的个数是（）（1）“若a≤b，则am2≤bm2”的逆命题；（2）“全等三角形面积相等”的否命题；（3）“若a＞1，则关于x的不等式ax2≥0的解集为R”的逆否命题；（4）“命题“p∨q为假”是命题“p∧q为假”的充分不必要条件”A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）原命题的逆命题为：“若am2≤bm2，则a≤b”，当m=0时不正确；（2）原命题的否命题为：“不全等三角形面积不相等”，即可判断出正误；（3）由于原命题正确，因此其逆否命题也正确；（4）“命题“p∨q为假”⇒命题“p∧q为假”，反之可能不成立，例如p与q中有一个为真，则p∨q为真，即可判断出正误．【解答】解：（1）“若a≤b，则am2≤bm2”的逆命题为：“若am2≤bm2，则a≤b”，当m=0时不正确；（2）“全等三角形面积相等”的否命题为：“不全等三角形面积不相等”，不正确；（3）“若a＞1，则关于x的不等式ax2≥0的解集为R”正确，因此其逆否命题也正确；（4）“命题“p∨q为假”⇒命题“p∧q为假”，反之可能不成立，例如p与q中有一个为真，则p∨q为真．∴“命题“p∨q为假”是命题“p∧q为假”的充分不必要条件”，正确．综上可知：正确的命题只有（3）（4）．故选：B．【点评】本题考查了简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．设F1、F2是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=﹣上一点，△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，得|PF1|=|F1F2|且∠PF1F2=120°，设交x轴于点M，可得|PF1|=2|F1M|，由此建立关于a、c的等式，解之即可求得椭圆E的离心率．【解答】解：设交x轴于点M，∵△F1PF2是底角为30°的等腰三角形∴∠PF1F2=120°，|PF1|=|F2F1|，且|PF1|=2|F1M|．∵P为直线上一点，∴2（﹣c+）=2c，解之得3a=4c∴椭圆E的离心率为e==故选：C【点评】本题给出与椭圆有关的等腰三角形，在已知三角形形状的情况下求椭圆的离心率．着重考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．8．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3 C．D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴不妨设直线PF的斜率为﹣=﹣2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．9．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的标准方程．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选D．【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．10．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定y0的取值范围．【解答】解：由题意，=（﹣x0，﹣y0）•（﹣﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．【点评】本题考查向量的数量积公式，考查双曲线方程，考查学生的计算能力，比较基础．11．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】圆与圆锥曲线的综合；抛物线的简单性质．【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4，|AM|=2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，x A==，|OD|=|OA|，=+5，解得：p=4．C的焦点到准线的距离为：4．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力．转化思想的应用．12．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．[，1）D．[，1）【考点】椭圆的简单性质．【分析】作出简图，则＞，则e=．【解答】解：由题意，如图若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，由∠APO＞45°，即sin∠APO＞sin45°，即＞，则e=，故选A．【点评】本题考查了椭圆的基本性质应用，属于基础题．二、填空题：本大题有6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷的相应位置.13．设x∈Z，集合A是奇数集，集B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B；则命题p的否定是¬p：∃x∈A，2x∉B．【考点】命题的否定．【分析】“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题．【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，∴命题p：∀x∈A，2x∈B 的否定是：¬p：∃x∈A，2x∉B；故答案为：¬p：∃x∈A，2x∉B；【点评】本小题主要考查命题的否定、命题的否定的应用等基础知识．属于基础题．命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．14．过抛物线x2=8y焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点M的纵坐标为4，则|AB|=12．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用线段AB中点M的纵坐标为4，通过y1+y2+p 求解即可．【解答】解：抛物线x2=8y焦点F（0，2），过抛物线x2=8y焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点M的纵坐标为4，可得y1+y2=8．则|AB|=y1+y2+p=8+4=12，故答案为：12；【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．15．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线方程为x2﹣y2=1，可得焦距F1F2=2，因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．再结合双曲线的定义，得到|PF1|﹣|PF2|=±2，最后联解、配方，可得（|PF1|+|PF2|）2=12，从而得到|PF1|+|PF2|的值为．【解答】解：∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．∵双曲线方程为x2﹣y2=1，∴a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得F1F2=2∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8又∵P为双曲线x2﹣y2=1上一点，∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）2=4因此（|PF1|+|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2=12∴|PF1|+|PF2|的值为故答案为：【点评】本题根据已知双曲线上对两个焦点的张角为直角的两条焦半径，求它们长度的和，着重考查了双曲线的基本概念与简单性质，属于基础题．16．已知F是双曲线的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为9．【考点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；双曲线的应用．【分析】根据A点在双曲线的两支之间，根据双曲线的定义求得a，进而根据PA|+|PF′|≥|AF′|=5两式相加求得答案．【解答】解：∵A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′（4，0），∴由双曲线性质|PF|﹣|PF′|=2a=4而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5两式相加得|PF|+|PA|≥9，当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立．故答案为9．【点评】本题主要考查了双曲线的定义，考查了学生对双曲线定义的灵活运用．17．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为2米．【考点】抛物线的应用．【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，故水面宽为2m．故答案为：2．【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．18．△ABC的顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是﹣=1（x＞3）．【考点】轨迹方程．【分析】根据图可得：|CA|﹣|CB|为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得．【解答】解：如图，△ABC与圆的切点分别为E、F、G，则有|AE|=|AG|=8，|BF|=|BG|=2，|CE|=|CF|，所以|CA|﹣|CB|=8﹣2=6．根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为﹣=1（x＞3）．故答案为：﹣=1（x＞3）．【点评】本题考查轨迹方程，利用的是定义法，定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．三、解答题：本大题有5题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19．（12分）（2008秋•泰州期末）已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线=1的离心率e∈（）．若p或q 为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．【考点】椭圆的简单性质；复合命题的真假；双曲线的简单性质．【分析】由p真与q真分别求得m的范围，利用复合命题的真假判断即可求得符合题意的实数m的取值范围．【解答】解：p真，则有9﹣m＞2m＞0，即0＜m＜3…2分q真，则有m＞0，且e2=1+=1+∈（，2），即＜m＜5…4分若p或q为真命题，p且q为假命题，则p、q一真一假．①若p真、q假，则0＜m＜3，且m≥5或m≤，即0＜m≤；…6分②若p假、q真，则m≥3或m≤0，且＜m＜5，即3≤m＜5…8分故实数m的取值范围为0＜m≤或3≤m＜5…10分【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，考查复合命题的真假判断，考查集合的交补运算，属于中档题．20．（10分）（2016秋•马尾区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点Q（1，2），P是动点，且△POQ的三边所在直线的斜率满足+=．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）过点F（1，0）作倾斜角为60°的直线L，交曲线C于A，B两点，求△AOB 的面积．【考点】轨迹方程．【分析】（1）由+=，得，即可求点P的轨迹C的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），过F倾斜角为60°的直线L：y=（x﹣1），与抛物线方程联立得：y2﹣y﹣4=0，利用韦达定理，即可求△AOB的面积．【解答】解：（1）设点P的坐标为P（x，y），则k OP=，k OQ=2，k PQ=，由+=，得．整理得点P的轨迹的方程为：y2=4x（y≠0，y≠2）；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），过F倾斜角为60°的直线L：y=（x﹣1），与抛物线方程联立得：y2﹣y﹣4=0，则y1+y2=，y1y2=﹣4，∴S==．【点评】本题考查斜率的计算，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．21．（14分）（2016秋•马尾区校级期末）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的顶点B到左焦点F1的距离为2，离心率e=．（1）求椭圆C的方程；（2）若点A为椭圆C的右頂点，过点A作互相垂直的两条射线，与椭圆C分別交于不同的两点M，N（M，N不与左、右顶点重合），试判断直线MN是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知列出关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b的值，则椭圆方程可求；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），当直线MN的斜率不存在时，△MNA为等腰直角三角形，求出M的坐标，可得直线MN过点；当直线的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+m，联立直线方程和椭圆方程，得（1+k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由判别式大于0可得4k2﹣m2+1＞0，再由AM⊥AN，且椭圆的右顶点A为（2，0），由向量数量积为0解得m=﹣2k或，然后分类求得直线MN的方程得答案．【解答】解：（1）由题意可知：，解得：，故椭圆的标准方程为；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），当直线MN的斜率不存在时，MN⊥x轴，△MNA为等腰直角三角形，∴|y1|=|2﹣x1|，又，M，N不与左、右顶点重合，解得，此时，直线MN过点；当直线的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+m，由方程组，得（1+k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=（8km）2﹣4（1+k2）（4m2﹣4）＞0，整理得4k2﹣m2+1＞0，．由已知AM⊥AN，且椭圆的右顶点A为（2，0），∴，，即，整理得5m2+16km+12k2=0，解得m=﹣2k或，均满足△=4k2﹣m2+1＞0成立．当m=﹣2k时，直线l的方程y=kx﹣2k过顶点（2，0），与题意矛盾舍去．当时，直线l的方程，过定点，故直线过定点，且定点是．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，考查计算能力，是中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（12分）（2016秋•马尾区校级期末）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），M为C1上的动点，P点满足=2，点P的轨迹为曲线C2．（Ⅰ）求C2的普通方程；（Ⅱ）设点（x，y）在曲线C2上，求x+2y的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程；轨迹方程．【分析】（Ⅰ）设点的坐标为p（x，y），根据题意，用x、y表示出点M的坐标，然后根据M是C1上的动点，代入求出C2的参数方程即可；（Ⅱ）令x=3cosθ，y=2sinθ，则x+2y=3cosθ+4sinθ=5（）=5sin （θ+φ）即可，【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），则由条件知M（）．由于M点在C1上，所以，即，消去参数α得即C2的普通方程为（Ⅱ）由椭圆的参数方程可得x=3cosθ，y=2sinθ，则x+2y=3cosθ+4sinθ=5（）=5sin（θ+φ），其中tanφ=．∴x+2y的取值范围是[﹣5，5]．【点评】本题考查轨迹方程的求解，及参数方程的应用，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]23．（12分）（2016•福建模拟）已知函数f（x）=|x+1|．（I）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；（Ⅱ）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（I）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由题意可得|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，化简f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]为|a+1|•（|b|﹣1|）＞0，从而证得不等式成立．【解答】解：（I）不等式f（x）＜|2x+1|﹣1，即|x+1|＜|2x+1|﹣1，∴①，或②，或③．解①求得x＜﹣1；解②求得x∈∅；解③求得x＞1．故要求的不等式的解集M={x|x＜﹣1或x＞1}．（Ⅱ）证明：设a，b∈M，∴|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，则f（ab）=|ab+1|，f（a）﹣f（﹣b）=|a+1|﹣|﹣b+1|．∴f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]=f（ab）+f（﹣b）﹣f（a）=|ab+1|+|1﹣b|﹣|a+1| =|ab+1|+|b﹣1|﹣|a+1|≥|ab+1+b﹣1|﹣|a+1|=|b（a+1）|﹣|a+1|=|b|•|a+1|﹣|a+1|=|a+1|•（|b|﹣1|）＞0，故f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）成立．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，属于中档题．。

福建省福州市师范大学附属中学2022年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的极值点的个数 ( )A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C略2. 已知：，则下列关系一定成立的是（）A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线C．C，A，D三点共线 D．B，C，D三点共线参考答案：C3. 已知满足在上恒成立，且，则A. B.C. D.参考答案：B略4. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为（）A．B．2πC．3πD．4π参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由已知中的三视图，我们可以确定该几何体为圆锥，根据正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，求出圆锥的底面半径和母线长，代入圆锥侧面积公式，即可得到答案．【解答】解：由已知中三视图可得该几何体为一个圆锥又由正视图与侧视图都是边长为2的正三角形故底面半径R=1，母线长l=2则这个几何体的侧面积S=πRl=2π故选B【点评】本题考查的知识点是由三视图求面积，其中根据已知中的三视图判断出几何体的形状及圆锥的底面半径和母线长是解答本题的关键．5. 复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限参考答案：B6. 已知函数，若对任意两个不等的正实数都有恒成立，则的取值范围是A． B． C．D．参考答案：D略7. 直线的倾斜角和斜率分别是（）A． B． C．，不存在 D．，不存在参考答案：C8. 求曲线y=x2与y=x所围成图形的面积，其中正确的是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】69：定积分的简单应用．【分析】画出图象确定所求区域，用定积分即可求解．【解答】解：如图所示S=S△ABO﹣S曲边梯形ABO，故选：B．【点评】用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，本题属于基本运算．9. 已知F1、F2是双曲线的左、右焦点，点A是双曲线C的右顶点，点P在过点A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线C 的离心率为( )A. B.2 C.3 D.4参考答案：B10. 设且，则（）A．B．C．D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 把圆的参数方程化成普通方程是______________________．参考答案：12. 第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按如下的方式构造图形，图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个，第n个图形包含个“福娃迎迎”，则＝_____．（答案用含n的解析式表示）参考答案：【分析】本题可根据题意及图写出前4个算式的表达式，然后观察规律可得及，即可算出结果．【详解】由题意及图，可发现规律：通过已知的这四个算式的规律，可得：，，通过上面两个算式，可得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中结合图形与题干的理解，先写出前面的简单项，发现规律并归纳是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．13. 已知正三棱锥S－ABC的侧棱长为2，底面边长为1，则侧棱SA与底面ABC所成角的余弦值等于参考答案：14. 函数是幂函数，且当时，f(x)是增函数，则m=__________．参考答案：2由函数是幂函数，且当时，f(x)是增函数可知，,解得：故答案为：15. 若的三顶点是A(a,a+1), B(a-1,2a),C (1,3)且的内部及边界所有点均在表示的区域内，则a的取值范围为_______▲_____.参考答案：16. 将全体正整数排列成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第16行从左向右的第3个数为．参考答案：123略17. 等轴双曲线的一个焦点是，则其标准方程为▲参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

福建省师大附中2010-2011学年高二上学期期末考试数学（理科）试卷（满分：150分，时间：120分钟）说明：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，请将答案填写在答案卷上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共100分一、选择题：（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1、准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（ *** ）A.x y 22-=B.x y 42-=C.x y 22=D.x y 42= 2、已知命题x x R x p sin ,:>∈∀，则p 的否定形式为( *** ) A ．x x R x p sin ,:<∈∃⌝ B ．x x R x p sin ,:≤∈∀⌝ C ．x x R x p sin ,:≤∈∃⌝ D ．x x R x p sin ,:<∈∀⌝ 3、两个非零向量的模相等是这两个向量相等的（ *** ） A ．充分不必要条件. B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、若双曲线2214x y m-=的焦距为6, 则m 的值等于（ *** ） A ．32 B ．8 C ．5 D ． 5-5、在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 中点，若PA a =，PB b =，PC c =，则BE =（ *** ） A.111222a b c -+ B.111222a b c -- C.131222a b c -+ D.113222a b c -+6、如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ *** ） A ．1715 B ．21C ．178D ．237、过抛物线 y 2 = 8x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1, y 1）B （x 2, y 2）两点，如果21x x +=6，那么AB ＝ （ *** ）A ．6B ．8C ．9D ．108、已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则12||||PF PF =（ *** ）A ．2B ．4C ． 6D ．89、椭圆221259x y +=上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点， 则ON 等于（ *** ）A ．2B ．4C ．6D ．3210、方程)022≠+==ab b ax y ay x （与的图像只可能是下图中（ *** ）二、填空题：（每小题5分，共15分）11、已知向量(1,0,1)a =-，(1,2,3),bk R =∈，且()ka b -与b 垂直，则k 等于*****.12、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是,它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为 ****** .13、以下四个命题中：①“若对所有满足22a b =的,a b ，都有a b =”的否命题；②若直线l 的方向向量为=(1,1-,2),平面α的法向量为=(-2,0,1), 则l ∥α.③曲线192522=+y x 与曲线125922=-+-k y k x （0﹤k ﹤9）有相同的焦点； ④,,,A B M N 是空间四点，若,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，那么,,,A B M N 四点共面；其中真命题的序号为*****.三、解答题：（本大题共3题，共35分） 14、（本小题10分）某隧道的横段面是由一段抛物线及矩形的三边组成的，尺寸如图所示。

福建师大附中2019-2020学年上学期期末考试高二数学试卷第Ⅰ卷（选择题，共70分）一、单项选择题：每小题5分，共50分.在每小题给出的选项中，只有一个选项是正确的.1.已知空间向量()1,2,31a λμ=+-r ，()6,2,0b λ=r 共线，则实数λ的值是（ ）A. -3B. 2C. -3或2D. 3或-2【答案】C【解析】【分析】由向量共线定理求解． 【详解】由题意存在实数k ，使得a kb =r r ，即(1,2,31)(6,2,0)k λμλ+-=，∴1622310k k λλμ+=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得21213k λμ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩或31313k λμ⎧⎪=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩． 故选：C.【点睛】本题考查空间向量共线，掌握空间向量共线定理是解题基础．2.设()f x 是可导函数，且()()000lim2x f x f x x x ∆→--∆=∆，则()0f x '=（ ） A. 2B. -1C. 1D. -2 【答案】A【解析】【分析】根据导数的定义求解．【详解】()()()0000000[()]lim lim ()2x x f x f x x f x x f x f x x x∆→∆→--∆+-∆-'===∆-∆．故选：A.【点睛】本题考查导数的定义，()()0000()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，注意极限中形式的一致性． 3.正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1DD 的中点，O 是底面ABCD 的中心，P 是棱11A B 上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角是（ ） A. 4π B. 3π C. 2π D. 与P 点的位置有关【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解．【详解】如图，以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则(2,0,0),(0,0,1),(1,1,0)A M O ，设(2,,2)P m ，(2,0,1),(1,1,2)AM OP m =-=-u u u u r u u u r ，∴210(1)120AM OP m ⋅=-⨯+⨯-+⨯=u u u u r u u u r ，∴AM OP ⊥u u u u r u u u r ，即AM OP ⊥．∴直线OP 与直线AM 所成的角为2π． 故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题关键是建立空间直角坐标系，用空间向量法求解．4.已知正四面体D ABC -的各棱长为1，点E 是AB 的中点，则EC AD ⋅u u u r u u u r 的值为（ ）A. 14B. 14- D. 4-【答案】A【解析】【分析】把EC uuu r 表示为AC AE -u u u r u u u r，然后再求数量积．【详解】由题意，四面体D ABC -是正四面体，每个面都是正三角形， ∴EC AD ⋅u u u r u u u r ()AC AE AD AC AD AE AD =-⋅=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1111cos601cos6024=⨯⨯︒-⨯⨯︒=． 故选：A.【点睛】本题考查向量的数量积，解题关键是把EC uuu r 表示为AC AE -u u u r u u u r ，然后计算即可．5.在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则1AB 与平面11ABC D 所成角的正弦值为（ ）B. 25 D. 12【答案】B【解析】【分析】做出线面角，在直角三角形中解角的正弦值.【详解】做11B H BC ⊥于H 点，连接AH ，因为1AB CB ⊥面，1AB B H ∴⊥，又因为111,B H BC BC AB B ⊥⋂=，111B H ABC D ∴⊥面，根据线面角的定义得到1B AH ∠为所求角，在11BB C V 中，1111,2,BB B C ==由等面积法得到1B H=1AB ，线面角的正弦值为：112.5HB AB = 故答案为B.【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，线面角的求法．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．6.函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：函数f （x ）=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称，因为22(2)8,081f e e =-<-<，所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时，4x y x e '=-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数，当0(,2)x x ∈时，()f x 为增函数．故选D【此处有视频，请去附件查看】7.若函数()()sin x f x ex a =+在[]0,π上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()+∞B. ()1,+∞C. )⎡+∞⎣D. [)1,+∞ 【答案】D【解析】分析】 ()0f x '≥在[]0,π恒成立，再转化为求函数最值．【详解】()(sin cos ))]4x x f x e x a x e x a π'=++=++，由题意)]04x e x a π++≥在[0,]x π∈恒成立，即)4a x π≥+在[0,]x π∈恒成立， [0,]x π∈时，5[,]444x πππ+∈，sin()[42x π+∈-，所以)14x π≤+≤， 所以1a ≥．故选：D. 【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，函数在区间[]0,π上单调递增，转化为()f x '0≥在区间[]0,π上恒成立，不等式恒成立又可转化为求函数最值．本题对学生的转化与化归能力有一定的要求． 8.在空间直角坐标系O xyz -中，四面体ABCD 的顶点坐标分别是()0,0,2A ，()2,2,0B ，()1,2,1C ，()2,2,2D .则点B 到面ACD 的距离是（ ）A. 3B. 3C. 3D. 3【答案】A【解析】【分析】求出平面ACD 的一个法向量n r ，再求出BD u u u r 在n r 方向上的投影的绝对值即可．【详解】由题意(2,2,0),(1,0,1),(0,0,2)AD CD BD ===u u u r u u u r u u u r,设平面ACD 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则 2200n AD x y n CD x z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩u u u v v u u u v v ，取1x =，则(1,1,1)n =--r ，∴BD n n⋅==u u u r r r ，即B 到平面ACD． 故选：A.【点睛】本题考查用空间向量法求点到平面的距离．设n r是平面α的一个法向量，Q 是平面α内任一点，则P 到平面α的距离是PQ n n⋅u u u r r r ． 9.已知函数()22,02,0x x x a x f x ae x a x ⎧++<=⎨--≥⎩恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. (][),01,-∞⋃+∞B. (](),01,-∞+∞UC. (]{},01-∞UD. (],0-∞【答案】C【解析】【分析】分别讨论0x <时，2()2f x x x a =++的零点个数，0x ≥时，()2x f x ae x a =--的零点个数，综合后可得结论．【详解】0x ≥时，()2x f x ae x a =--，()1x f x ae '=-， (0)f a =-，当0a ≤，()0f x '≤，()f x 递减，(0)0f a =-≥，(ln 2)ln 20f =-<，因此()f x 在[0,)+∞上有且只有一个零点．当1a ≥时，()0f x '≥，()f x 递增，(0)0f a =-<，(ln 4)2ln 40f a =->，因此在()f x 在[0,)+∞上有且只有一个零点，01a <<时，，1()1()x x f x ae a e a '=-=-，1(ln )0f a '=，1[0,ln )x a ∈时，()f x 递减，1(ln ,)x a∈+∞时，()f x 递增，(0)0f a =-<， x →+∞时，2x ae x a --→+∞，()f x 在[0,)+∞上有一个零点， ∴a R ∈，()f x 在[0,)+∞上有一个零点，0x <时，22()2(1)1f x x x a x a =++=++-，若0a ≤或1a =，()f x 有一个零点，若1a >，()f x 无零点，若01a <<，()f x 有两个零点． 因此满足题意的a 的取值范围是 (,0]{1}-∞U故选：C.【点睛】本题考查函数的零点个数，对分段函数来讲要分段讨论，对于复杂的函数一般可通过导数研究函数的单调性与最值，结合零点存在定理确定零点个数．10.已知()f x 是定义在,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的偶函数，且当02x π<<时，有()()'cos sin 0f x x f x x +>，则不等式()2cos 3f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（ ） A. ,0,233πππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U B. ,0,332πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C. ,00,33ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U D. ,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】 构造新函数()()cos f x g x x=，确定它的单调性后结合偶函数性质可解题中不等式． 【详解】设()()cos f x g x x =，则2()cos ()sin ()cos f x x f x x g x x '+'=， ∵当02x π<<时，有()()'cos sin 0f x x f x x +>，∴()0g x '>，∴()g x 在(0,)2π上单调递增．又()f x 是定义在,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的偶函数，∴()g x 也是定义在,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的偶函数（因为()()()()cos()cos f x f x g x g x x x--===-）， 不等式()2cos 3f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭可化为()()3cos cos 3f f x x ππ<，即()()3g x g π<，()()3g x g π< ∴03x π<<，03x π-<<或03x π<<． 故选：C. 【点睛】本题考查用导数解不等式，解题关键是构造新函数()()cos f x g x x=，确定它的奇偶性和单调性． 二、多项选择题：每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.11.定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）A. -3是()f x 的一个极小值点；B. -2和-1都是()f x 的极大值点；C. ()f x 的单调递增区间是()3,-+∞；D. ()f x 单调递减区间是(),3-∞-．【答案】ACD【解析】【分析】由导函数与单调性、极值的关系判断．【详解】当3x <-时，()0f x '<，(3,)x ∈-+∞时()0f x '≥，∴3-是极小值点，无极大值点，增区间是()3,-+∞，减区间是(),3-∞-．故选：ACD.【点睛】本题考查导数与函数单调性、极值的关系，一定要注意极值点两侧导数的符号相反． 12.定义在R 的函数()f x ，已知()000x x ≠是它的极大值点，则以下结论正确的是（ ）A. 0x -是()f x -的一个极大值点B. 0x -是()f x -的一个极小值点C. 0x 是()f x -的一个极大值点D. 0x -是()f x --的一个极小值点【答案】AD【解析】【分析】的由()f x '确定()f x -的导数的性质，从而可确定()f x -的性质．再根据()y f x =-与()y f x =的图象关于x 轴对称作答．【详解】()000x x ≠是()f x 的极大值点，就是存在正数m ，使得在00(,)x m x -上，()0f x '>，在00(,)x x m +上，()0f x '<．设()()g x f x =-，()()g x f x ''=--，当00x x x m -<<-+时，00x m x x -<-<，()0f x '->，()0g x '<，同理00x m x x --<<-时，()0g x '>，∴0x -是()f x -的一个极大值点，从而0x -是()f x --的一个极小值点，0x 是()f x -的一个极小值点．不能判定0x -是不是()f x -的极值点．故选：AD.【点睛】本题考查导数与函数单调性、极值的关系，一定要注意极值点两侧导数的符号相反． 13.设()30,x ax b a b R ++=∈，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是（ ） A. 3a =-，2b =B. 3a =-，3b =-C. 3a =-，2b >D. 1a =，2b =【答案】BCD【解析】【分析】 把各选项代入函数式检验，能求出实根的解出实根，不能求出实根的用函数的性质判断．详解】记3()f x x ax b =++， 3a =-，2b =时，32()32(1)(2)0f x x x x x =-+=-+=，1x =或2x =-，不满足题意； 3a =-，3b =-时，3()33f x x x =--，2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-， ()f x 在(,1)-∞-和(1,)+∞是递增，在(1,1)-上递减，而()(1)10f x f =-=-<极大值，()f x 只有一个零点，即()0f x =只有一个实根， 同理3a =-，2b >时，()f x 在(,1)-∞-和(1,)+∞是递增，在(1,1)-上递减，而()(1)20f x f b ==->极小值，()f x 只有一个零点，即()0f x =只有一个实根，1a =，2b =时，32()2(1)(2)0f x x x x x x =++=+-+=，只有一个实根1-，故选：BCD.【点睛】本题考查方程实根个数问题，对于方程根无法解出的情况可以通过研究函数的极值与单调性确定函数零点即方程根的个数．14.如图，矩形ABCD 中，22AB AD ==，E 为边AB 的中点.将ADE ∆沿直线DE 翻折成1A DE ∆（点1A 不落在底面BCDE 内).若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，以下命题正确的是（ ）A. 四棱锥1A BCDE -体积最大值为4B. 线段BM 长度是定值；C. //MB 平面1A DE 一定成立；D. 存在某个位置，使1DE A C ⊥；【答案】ABC【解析】【分析】 平面1A DE ⊥平面BCDE 时，1A 到平面BCDE 的距离最大，求出这个最大值，即能求出最大体积知A 是否正确，取CD 中点N ，连接,MN BN ，可得145MNB A DE ∠=∠=︒，平面//BMN 平面1A DE ，从而可得B 、C 是否正确，对D ，假设有1DE A C ⊥，推导出矛盾结论，说明D 错误．【详解】ADE ∆是等腰直角三角形，A 到DE 1A DE ⊥平面BCDE 时，1A 到平面BCDE 的距离最大为2，又13211122BCDE S =⨯-⨯⨯=，∴133224V =⨯⨯=最大．A 正确； 取CD 中点N ，连接,MN BN ，∵M 是1A C 的中点，∴1//MN A D ，而MN ⊄平面1A DE ，DE ⊂平面1A DE ，∴//MN 平面1A DE ，由DN 与EB 平行且相等得DNBE 是平行四边形，//BN DE ，同理得//BN 平面1A DE ，而BN MN N ⋂=，∴平面//BMN 平面1A DE ，BM ⊂平面BMN ，∴//MB 平面1A DE ，C 正确，在上述过程中得145MNB A DE ∠=∠=︒，又11122BN DE MN A D ====，∴BM ==为定值，B 正确；假设存在某个位置，使1DE A C ⊥，取DE 中点O ，连接1,A O CO ，显然1AO DE ⊥，而111A O A C A =I ，∴DE ⊥平面1A OC ，OC ⊂平面1A OC ，∴ DE OC ⊥，则CE CD =，但CE =2CD =，不可能相等，所以不可能有1DE A C ⊥．D 错．故选：ABC.【点睛】本题考查空间折叠问题，考查空间线面的位置关系，解题时对体积，平行、垂直都要有充分的认识．对一个命题说明它为假时可以通过反证法证明．第Ⅱ卷（非选择题，共80分）三、填空题：每小题5分，共20分.15.已知函数()()2'35f x f x x =+，则()'1f =______.【答案】3【解析】【分析】先求出导函数()f x '，令3x =，求出(3)f '后再求'(1)f ．【详解】由题意()2(3)5f x f x ''=+，(3)2(3)35f f ''=⨯+，(3)1f '=-，即()25f x x '=-+， ∴(1)253f '=-+=．故答案为：3.【点睛】本题考查导数的运算，属于基础题．16.过原点与曲线2x y e =相切的直线方程为______.【答案】2y ex =【解析】【分析】设切点坐标，写出切线方程，由切线过原点，再求出切点坐标，从而得切线方程【详解】设切点为00(,)P x y ，由于2x y e '=，∴ 切线斜率为02x k e =，切线方程为00022()x x y e e x x -=-，∵切线过原点，∴00022x x e x e -=-．01x =，所以切线方程为22(1)y e e x -=-，即2y ex =．故答案为：2y ex =．【点睛】本题考查导数的几何意义．求过某点的切线，应先设切点坐标，由导数的几何意义写出切线方程，代入所过点的坐标求出切点坐标，从而得出切线方程．17.若函数()33=-f x x x 在区间()1,a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是______. 【答案】(1,0)-【解析】【分析】先求()f x 的极小值点，()f x 的极小值点在区间(1,)a a -上，由此可得a 的范围．【详解】2()333(1)(1)f x x x x '=-=--+，当1x <-或1x >时，()0f x '<，当11x -<<时，()0f x '>，∴1x =-是函数()f x 的极小值点．∵函数()33=-f x x x 在区间()1,a a -上有最小值，即为极小值． ∴11a a -<-<，解得10a -<<．故答案为：(1,0)-．【点睛】本题考查导数与最值的关系．连续函数在(,)a b 的最小值就是极小值，最大值就是极大值．但在[,]a b 是的最值不一定是极值．18.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是______，该几何体的外接球半径为______.【答案】 (1).(2). 【解析】【分析】由正视图知三棱锥两个面垂直，如图平面ABD ⊥平面CBD ，H 是BD 中点，则1AH =，BH DH ==这样体积易求，然后寻找ABD ∆和CBD ∆的外心，由三角形的外心找到三棱锥外接球球心．【详解】由正视图，知平面ABD ⊥平面CBD ，如图，H 是BD 中点，则1AH =为三棱锥A BCD -的高，BH DH ==1CH AH ==，112CBD S ∆=⨯=113ABCD V ==分别延长,CH AH 至,M N ，使1HM HN ==，则可得,M N 分别是,ABD CBD ∆∆的外心，作OM ⊥平面ABD ，作ON ⊥平面CBD ，,OM ON 交于点O （这两条直线都在平面ACH 内，因此它们相交，也可作//,//OM CH ON AH 得结论），则O 为三棱锥A BCD -外接球球心．OMHN 是正方形，1OM HN ==，OA =故答案为：3【点睛】本题考查三视图，考查棱锥的体积及棱锥的外接球．解题关键是由正视图得出三棱锥中的线面间的位置关系及线段长度．难点是寻找外接球球心．掌握如下结论就容易找到球心：多面体的外接球球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上．四、解答题：5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.已知函数()2f x ax blnx =+在1x =处有极值12． （1）求a,b 的值；（2）求()f x 的单调区间．【答案】(1)12a =,1b =-．(2) 单调减区间是()0,1,单调增区间是()1,+∞． 【解析】【分析】 （1）先对函数求导，得到()2b f x ax x '=+，再由题意，列出方程组，求解，即可得出结果； （2）由（1）的结果，得到()212f x x lnx =-，对其求导，解对应的不等式，即可得出单调区间. 【详解】解：（1）()'2.b f x ax x =+Q 又()f x 在1x =处有极值12, ()()112'10f f ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩即1220a a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得12a =,1b =-． （2）由（1）可知()212f x x lnx =-,其定义域是()0,∞+, ()()()111'x x f x x x x+-=-=． 由()'0f x <得01x <<；由()'0f x >,得1x >．∴函数()y f x =的单调减区间是()0,1,单调增区间是()1,+∞． ,【点睛】本题主要考查由函数极值求参数，以及导数的方法求单调区间的问题，通常需要对函数求导，利用导数的方法求解即可，属于常考题型.20.如图，三棱柱ADE BCG -中，四边形ABCD 是矩形，F 是EG 的中点，EA AB ⊥，1AD AE EF ===，平面ABGE ⊥平面ABCD ．（1）求证：AF ⊥平面FBC ；（2）求锐二面角B FC D --的平面角的大小．【答案】（1）见解析（2）3π 【解析】【分析】（1）先由已知面面垂直证明BC ⊥平面ABGE ，得BC AF ⊥，再在矩形ABGE 中由勾股定理逆定理证明AF BF ⊥，从而可得线面垂直；（2）由（1）知AD ，AB ，AE 两两垂直，以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量，用向量法求二面角．【详解】解：（1）证明：∵平面ABGE ⊥平面ABCD ，平面ABGE I 平面ABCD AB =，又由四边形ABCD 是矩形知，BC AB ⊥，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面ABGE ，∵AF ⊂平面ABGE ，∴BC AF ⊥．在AFB ∆中，AF BF ==2AB =，∴222AF BF AB +=，即AF BF ⊥，又BF BC B ⋂=，∴AF ⊥平面FBC ．（2）由（1）知AD ，AB ，AE 两两垂直，分别以AD ，AB ，AE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0D ，()1,2,0C ，()0,0,1E ，()0,2,0B ，()0,1,1F ，∴()1,0,1DE =-u u u r ，()0,2,0DC =u u u r ，设()1,,n x y z =u r 为平面CDEF 的法向量，则1100n DC n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u v ，即200y x z =⎧⎨-+=⎩， 令1x =，得1z =，即()11,0,1n =u r ，取()20,1,1n AF ==u u r u u u r 为平面BCF 的一个法向量， ∴1212121cos ,2n n n n n n ⋅==u r u u r u r u u r u r u u r ， ∴锐二面角B FC D --的平面角的大小是3π．【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查向量法求二面角．掌握证明线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理是解答本题的关键．在求空间角时，一般都是建立空间直角坐标系，用空间向量法求角．21.如图，有一块半径为20米，圆心角23AOB π∠=的扇形展示台，展示台分成了四个区域：三角形OCD ，弓形CMD ，扇形AOC 和扇形BOD （其中AOC BOD ∠=∠）.某次菊花展依次在这四个区域摆放：泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜、朱砂红霜.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是：泥金香50元/米2，紫龙卧雪30元/米2，朱砂红霜40元/米2.（1）设COD θ∠=，试建立日效益总量y 关于θ的函数关系式；（2）试探求θ为何值时，日效益总量达到最大值.【答案】（1）y 160004000sin 20003πθθ=+⋅-，其中，203πθ<<.（2）当3πθ=时，日效益总量可取得最大值.【解析】【分析】 （1）利用扇形面积公式可求出四个区域的面积，从而可计算出日收益．（2）利用导数可求得日收益的最大值．【详解】（1）依题意得，23232AOC πθπθ-∠==-，则 22112040220sin 502322y πθθ⎛⎫=⋅-⋅⋅+⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭22112020sin 3022θθ⎛⎫+⋅⋅-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ 1600010000sin 60006000sin 32πθθθθ⎛⎫=⋅-+⋅+- ⎪⎝⎭ 160004000sin 20003πθθ=+⋅-，其中，203πθ<<. （2）'4000cos 2000y θ=⋅-， 令'0y =，得3πθ=， 当π0θ3<<，'0y >，当233ππθ<<时，'0y <， 所以，3πθ=是函数的极大值点，且唯一； 从而当3πθ=时，日效益总量可取得最大值. 【点睛】本题考查三角函数模型的应用，考查导数在实际问题中的应用．解题关键是根据题意列式，求出函数表达式，然后再利用导数知识可求得最大值．22.在如图所示的六面体中，面ABCD 是边长为2的正方形，面ABEF 是直角梯形，90FAB ∠=o ）//AF BE ）24BE AF ==.（Ⅰ）求证：AC //平面DEF ）（Ⅱ）若二面角E AB D --为60o ，求直线CE 和平面DEF 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析.(2) . 【解析】试题分析：（1）连接,AC BD 相交于点O ,取DE 的中点为G ,连接,FG OG ，易证四边形AOGF 是平行四边形，从而可得结论；（2）以C 为坐标原点,CB 为x 轴、CD 为y 轴、CE 为z 轴建立空间直角坐标系.则()()((0,0.0,0,2,0,,C D E F ,计算法向量，根据公式sin cos ,CE n θ=u u u r r 即可求出. 试题解析：(1):连接,AC BD 相交于点O ,取DE 的中点为G ,连接,FG OG .ABCD Q 是正方形,O ∴是BD 的中点,1,2OG BE OG BE ∴=P , 又因为1//,2AF BE AF BE =,所以OG AF P 且OG AF =, 所以四边形AOGF 是平行四边形,//AC FG ∴,又因为FG ⊂平面,DEF AC ⊄平面DEFAC//∴平面DEF(2)ABCD ∴是正方形,ABEF 是直角梯形,FAB 90∠=︒,DA AB,FA AB ∴⊥⊥4AD AF ∴⋂=,AB ⊥平面AFD ,同理可得AB ⊥平面EBC .又AB ⊂Q 平面ABCD ,所以平面AFD ⊥平面ABCD ,又因为二面角E AB D --为60°，所以60,2 4.2FAD EBC BE AF BC ∠=∠=︒===,由余弦定理得EC =,所以EC BC ⊥，因为AB ⊥半面EBC ，EC AB ∴⊥,所以EC ⊥平面ABCD ,以C 为坐标原点,CB 为x 轴、CD 为y 轴、CE 为z 轴建立空间直角坐标系.则()()((0,0.0,0,2,0,,C D E F ,所以(((,,CE DF F ==u u u r u u u r设平面DEF 的一个法向量为(),,n x y z =r, 则00n DF n EF ⎧⋅=⎪⎨=⎪⎩n u u u r r u u u r r即020x x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩令z =33x y =-⎧⎨=⎩，所以(n =-r设直线CE 和平面DEF 所成角为θ，则sin cos ,7CE n θ===u u u r r23.已知函数()()1ln 1f x a x =+，()32g x x x =-+. （1）当1a =时，试讨论方程()()21f x k k R =-∈的解的个数；（2）若曲线()()211y f x e x e =-<<-和()()0y g x x =<上分别存在点A ，B ，使得AOB ∆是以原点O 为直角顶点的直角三角形，且斜边AB 的中点在y 轴上，求实数a 的取值范围.【答案】（1）见解析（2）2,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）求出导函数()f x '，由导函数确定函数的单调性，作出函数的大致图象，通过图象确定方程()()21f x k k R =-∈解的个数；,（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由1202x x +=，21x x =-，32211y x x =+，题意说明12120OA OB x x y y ⋅=+=u u u r u u u r ，代入得()()()321111110ln 1x x x x a x -+⋅+=+，化简后有()11110ln 1x a x +-=+，从而()111ln 1x a x +=+，只要求得()()1ln 1x h x x +=+（211e x e -<<-）的值域即得a 的范围． 【详解】（1）当1a =，()()1ln 1f x x =+，()()()()()2211011ln 1ln '1x x x x x f --++==++； 又()f x 的定义域为()()1,00,-+∞U ；当1x >-时，()'0f x <恒成立.所以，()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+也单调递减，图象如图所示.因此，当210k -=即1k =±时，方程无解；当210k -≠即1k ≠±时，方程有唯一解.（2）设()11,A x y ，()()1111ln 1f x a y x ==+，()22,B x y ，()()3222220y g x x x x ==-+<， 则1202x x +=，21x x =-，∴32211y x x =+. ()11,OA x y =u u u r ，()22,OB x y =u u u r ，由题意，12120OA OB x x y y ⋅=+=u u u r u u u r ，即()()()321111110ln 1x x x x a x -+⋅+=+，∴()2111110ln 1x x a x ⎡⎤+-+=⎢⎥+⎣⎦， ∵2111e x e -<<-，∴()11110ln 1x a x +-=+， 则()111ln 1x a x +=+. 设()()1ln 1x h x x +=+，则()()()2ln 11'ln 1x h x x +-=+， ∵211e x e -<<-，∴()'0h x >，即函数()()1ln 1x h x x +=+在()211e x e -<<-上为增函数， 则()()221111ln 11ln 11e e a e e -+-+<<-+-+， 即22e e a <<. ∴实数a 的取值范围是2,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查用导数研究方程根的个数，求函数值域问题．解题关键是问题的转化．方程根的个数可通过函数图象与直线的交点个数来研究，而题中第（2）个问题，通过,A B 两点的关系，转化为()()()321111110ln 1x x x x a x -+⋅+=+，即()11110ln 1x a x +-=+有解，然后再转化为求函数值域．本题对学生的转化与化归能力要求较高，对运算求解能力要求较高．。