2020年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷(理科)(3月份)(有解析)

二〇二〇届全国高考模拟考试试卷理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，共12题，满分60分。

1．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（）A．1 B．2 C．3 D．42．曲线1y =()24y k x =-+有两个不同交点，实数k 的取值范围是（ ） A ．34k ≥B ．35412k -≤<- C ．512k >D ．53124k <≤ 3．21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为15，则n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．已知方程()()2440x i x ai a R ++++=∈有实根b ，且z a bi =+，则复数z 等于（ ）A ．22i -B ．22i +C ．22i -+D ．22i --5．已知平面α⊥平面β，直线m 满足m α⊄，则“m αP ”是“m β⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．若等比数列{}n a 的公比为q ，则关于,x y 的二元一次方程组132421a x a y a x a y +=⎧⎨+=⎩的解的情况下列说法正确的是（ ）A ．对任意(0)q R q ∈≠，方程组都有唯一解B ．对任意(0)q R q ∈≠，方程组都无解C ．当且仅当12q =时，方程组有无穷多解D ．当且仅当12q =时，方程组无解 7．已知函数()221,0{121,02x x f x x x x +<=-+≥ ，方程()()()200f x af x b b -+=≠有六个不同的实数解，则3a b +的取值范围是（ ） A ．[]6,11B ．[]3,11C ．()6,11D ．()3,118．某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2018年8月20号从银行贷款a 元，为还清这笔贷款，该家长从2019年起每年的8月20号便去银行偿还相同的金额，计划恰好在贷款的m 年后还清，若银行按年利率为p 的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是（ ）A ．a mB ．11(1)(1)1m m ap p p ++++- C ．1(1)1m m ap p p ++-D ．(1)(1)1mm ap p p ++-9．设1()log (2)()n f n n n N ++=+∈，现把满足乘积(1)(2)()f f f n L 为整数的n 叫做“贺数”，则在区间(1,2015)内所有“贺数”的个数是（ ） A ．9B ．10C ．92D ．10210．如图梯形ABCD ，AB CD ∥且5AB =，24AD DC ==，E 在线段BC 上，0AC BD ⋅=u u u r u u u r，则AE DE ⋅u u u r u u u r的最小值为（ ）A ．1513B ．9513C ．15D ．1513-11.设是直角坐标平面上的任意点集，定义．若，则称点集“关于运算*对称”．给定点集，，，其中“关于运算 * 对称”的点集个数为（ ）A ．B ．C ．D ．12．若[0,]x π∈，则函数()cos sin f x x x =-的增区间为 （ ）A ．[0,]4πB ．[,]4ππC ．3[0,]4π D ．3[,]4ππ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（三）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．D 2．A 3．B 4．C 5．B 6．C 7．C8．C9．A10．B11．D12．D第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．214．2015．32016．9π三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．【答案】(1)2n a n =；(2)()1654209n nn S +-+=．【解析】(1)由题意得22228t t t t t -++==，所以2t =±，···········2分2t =时，12a =，公差2d =，所以2n a n =；···········4分2t =-时，16a =，公差2d =-，所以82n a n =-．···········6分(2)若数列{}n a 为递增数列，则2n a n =，所以2log 2n b n =，4n n b =，()()1214nn n a b n -=-⋅，···········8分所以()()231143454234214n nn S n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ，·········9分()()23414143454234214n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ，所以()23134242424214n n n S n +-=+⋅+⋅++⋅--⋅ ()()211414422143n n n -+-=+⨯---()1206543n n +---=，···········10分所以()1654209n nn S +-+=．···········12分18．【答案】（1）见解析；（2）4．【解析】（1）随机变量X 的可取值为0，1，2，3，4···········1分 (2) (3)分 (4) (5)分···········6分故随机变量X 的分布列为:X 01234P1708351835835170···········7分（2）随机变量X 服从超几何分布：()4428E x ⨯∴==，···········9分()1422E Y ∴=⨯=．···········11分()()224E X E Y ∴+=+=．···········12分19．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）在半圆柱中，1BB ⊥平面11PA B ，所以1BB PA ⊥．···········2分因为11A B 是上底面对应圆的直径，所以11PA PB ⊥．···········4分因为111PB BB B = ，1PB ⊂平面1PBB ，11BB PBB ⊂，所以1PA ⊥平面1PBB ．···········5分（2）以C 为坐标原点，以CA ，CB 为，y 轴，过C 作与平面ABC 垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系C xyz -．如图所示，设1CB =，则()1,0,0B ，()0,1,0A，(1A，(1B，(P ．···6分平面11PA B 的一个法向量()10,0,1=n ．···········8分设平面11CA B 的一个法向量()2,,x y z =n ，则1z =···········10分···········11分由图可知二面角11P A B C --为钝角，所以所求二面角的余弦值为．···········12分20．【答案】（1）2214y x +=；（2）答案见解析．【解析】（1）取(0,F '，连结PF '，设动圆的圆心为M ，∵两圆相内切，∴122OM FP =-，又12OM PF ='，∴4PF PF FF +=>=''，···········3分∴点P 的轨迹是以F ，F '为焦点的椭圆，其中24a =，2c =，∴2a =，c =，∴2221b a c =-=，∴C 的轨迹方程为2214y x +=．···········5分（2）当AB x ⊥轴时，有12x x =，12y y =-，由⊥m n ，得112y x =，又221114y x +=，∴122x =，1y =，∴111121222AOB S x y ∆=⨯⨯=⨯=．···········7分当AB 与轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+，()2224240k x kmx m +++-=，则12224kmx x k -+=+，212244m x x k -=+，···········9分由0⋅=m n ，得121240y y x x +=，∴()()121240kx m kx m x x +++=，整理得()()22121240k x x km x x m ++++=，···········10分∴2224m k =+，1221==，综上所述，AOB △的面积为定值．···········12分21．【答案】（1）见解析；（2）当1m <时，()g x 没有零点；1m =时，()g x 有一个零点；1m >时，()g x 有两个零点．【解析】（1）1m =时，()1e ln x f x x x -=-，()1'e ln 1x f x x -=--，········1分要证()f x 在()0+∞，上单调递增，只要证：()0f x '≥对0x >恒成立，令()1e x i x x -=-，则()1e 1x i x -'=-，当1x >时，()0i x '>，···········2分当1x <时，()0i x '<，故()i x 在()1-∞，上单调递减，在()1+∞，上单调递增，所以()()10i x i =≥，···········3分即1e x x -≥（当且仅当1x =时等号成立），令()()1ln 0j x x x x =-->当01x <<时，()'0j x <，当1x >时，()'0j x >，故()j x 在()0,1上单调递减，在()1+∞，上单调递增，所以()()10j x j =≥，即ln 1x x +≥（当且仅当1x =时取等号），()1e ln 1x f x x -'=--()ln 10x x -+≥≥（当且仅当1x =时等号成立），()f x 在()0+∞，上单调递增．···········5分（2）由()e ln x m g x x m -=--有，显然()g x '是增函数，令()00g x '=，00e e x m x =，00ln m x x =+，则(]00,x x ∈时，()0g x '≤，[)0,x x ∈+∞时，()0g x '≥，∴()g x 在(]00,x 上是减函数，在[)0,x +∞上是增函数，∴()g x ···········7分①当1m =时，01x =，()()=10g x g =极小值，()g x 有一个零点1；···········8分②当1m <时，001x <<02ln 0x <，001x <<，所以()0g x >0，()g x 没有零点；···········9分③当1m >时，01x >，()01010g x <--=，又()eee e e 0mmm mmg m m -----=+-=>，又对于函数e 1x y x =--，'e 10x y =-≥时0x ≥，∴当0x >时，1010y >--=，即e 1x x >+，∴()23e ln3m g m m m =-->21ln3m m m +--=1ln ln3m m +--，令()1ln ln3t m m m =+--，则()11'1m t m m m-=-=，∵1m >，∴()'0t m >，∴()()12ln30t m t >=->，∴()30g m >，又0e 1m x -<<，000333ln m x x x =+>，∴()g x 有两个零点，综上，当1m <时，()g x 没有零点；1m =时，()g x 有一个零点；1m >时，()g x 有两个零点．···········12分请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

2020年高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若z(1+i)=i−2(i为虚数单位)，则z.等于()A. −12+32i B. −12−32i C. −1+3i D. −1−3i2.设集合M={x|x2<36}，N={2,4，6，8}，则M∩N=()A. {2,4}B. {4,6}C. {2,6}D. {2,4，6}3.设S n为等差数列{a n}的前n项和，若2a4+a10+a12=22，则S14=()A. 56B. 66C. 77D. 784.“勾股圆方图”是我国古代数学家赵爽设计的一幅用来证明勾股定理的图案，如图所示.在“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形.若直角三角形中较小的锐角满足，则从图中随机取一点，此点落在阴影部分的概率是A. B. C. D.5.函数f(x)=ln|x|+|sinx|(−π⩽x⩽π且x≠0)的图象大致是()．A. B.C. D.6.要从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，若按性别依此比例分层抽样且某男生担任队长，则不同的抽样方法数是()A. C93C52B. C103C52C. A103A52D. C104C527. 如图是一个三棱锥的三视图，其俯视图是正三角形，主视图与左视图都是直角三角形．则这个三棱锥的外接球的表面积是( )A. 19πB. 28πC. 67πD. 76π8. 已知F 1，F 2是椭圆x 216+y 212=1的左、右焦点，直线l 过点F 2与椭圆交于A 、B 两点，且|AB|=7，则△ABF 1的周长为( )A. 10B. 12C. 16D. 39. 已知函数f(x)=|x 2−4|−3x +m 恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A. (−6,6)∪(254,+∞) B. (254,+∞) C. (−∞,−254)∪(−6,6)D. (−254,+∞)10. 已知A 、M 、B 三点共线，m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数t 的值为( )．A. １２B. １３C. −１２D. −１３11. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点为F 1、F 2，渐近线为l 1，l 2，过点F 2且与l 1平行的直线交l 2于M ，若M 在以线段F 1 F 2为直径的圆上，则双曲线的离心率为( )A. 2B. √2C. √3D. √512. f(x)是定义在R 上的偶函数，当x <0时f(x)+x ⋅f′(x)<0，且f(−4)=0，则不等式xf(x)>0的解集为( )A. (−4,0)∪(4,+∞)B. (−4,0)∪(0,4)C. (−∞,−4)∪(4,+∞)D. (−∞,−4)∪(0,4)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设x ，y 满足约束条件{y −1≤0x −y −1≤0x +2y −2≥0，则z =x −2y 的最小值是______．14. 等比数列{a n }中，a 1+a 2=20，a 3+a 4=40，则a 5+a 6等于______ ． 15. (1)观察下列式子：1+122<32，1+122+132<53，，…，根据以上式子可以猜想：1+122+132+⋯+120162<______．(2)甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且a 、b ∈{0,1,2,…,9}.若|a −b|=1，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为______．(3)古代埃及数学中发现有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单分数和的形式.例如25=13+115，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人12，不够，每人13，余13，再将这13分成5份，每人得115，这样每人分得13+115.形如22n+1(n =2,3,4，…)的分数的分解：25=13+115，27=14+128，29=15+145，按此规律，22n+1=______(n =2,3,4，…)． (4)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足x 2f’(x)+1>0，f(1)=5，则不等式f(x)<1x +4的解集为______．16. 直线y =2x +1被圆x 2+y 2=1截得的弦长为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若a−c b−c =sinBsinA+sinC ．(1)求角A ；(Ⅱ)设m ⃗⃗⃗ =(sinB,cos2B)，n ⃗ =(2,1)，求m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 的最大值．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB =45°，PD ⊥平面ABCD ，AP ⊥BD ． (1)证明：BC ⊥平面PDB ；(2)若AB =√2,PB 与平面APD 所成角为45°，求二面角A −PC −B 的大小．19. 动点P 到定点F(0,1)的距离比它到直线y =−2的距离小1，设动点P 的轨迹为曲线C ，过点F的直线交曲线C 于A 、B 两个不同的点，过点A 、B 分别作曲线C 的切线，且二者相交于点M ． (Ⅰ)求曲线C 的方程； (Ⅱ)求证：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0；20. 某企业根据供销合同生产某种型号零件10万件，规定：零件长度(单位：毫米)在区间(99,101]内，则为一等品；若长度在(97,99]或(101,103]内，则为二等品；否则为不合格产品．现从生产出的零件中随机抽取100件作样本，其长度数据的频率分布直方图如图所示． (Ⅰ)试估计该样本的平均数；(Ⅱ)根据合同，企业生产的每件一等品可获利10元，每件二等品可获利8元，每件不合格产品亏损6元，若用样本估计总体，试估算该企业生产这批零件所获得的利润．21.已知函数f(x)=e x−ax，其中a∈R，e为自然对数的底数．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a>0时，求函数f(x)在[0,a]上的最大值．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =1+√22ty =2+√22t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ． (I)写出直线l 的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； (II)直线l 与曲线C 2交于A 、B 两点，求|AB|．23. 已知函数f(x)=|x −3|+|x −a|，a ∈R ．(1)当a =0时，解不等式f(x)>4；(2)若∃x ∈R ，使不等式|x −3|+|x −a|<4成立，求a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：由z(1+i)=i −2， 得z =i−21+i =(i−2)(1−i)(1+i)(1−i)=−1+3i 2=−12+32i ，则z .=−12−32i ． 故选：B ．由z(1+i)=i −2，得z =i−21+i ，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z 得答案． 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的求法，是基础题．2.答案：A解析：解：M ={x|−6<x <6}； ∴M ∩N ={2,4}． 故选：A ．可求出集合M ，然后进行交集的运算即可． 考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．3.答案：C解析：本题考查了等差数列的通项公式、求和公式及等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用等差数列的通项公式、求和公式及等差数列的性质即可得出． 解：∵2a 4+a 10+a 12=22，∴4a 1+26d =22， ∴2a 1+13d =11，∴a 7+a 8=2a 1+13d =11， 则S 14=14(a 1+a 14)2=7(a 7+a 8)=77．故选C ．4.答案：D解析：本题主要考查几何概型与数学文化的考查，根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积是解决本题的关键；设出大正方形的边长，结合cosα=45，分别求出小直角三角形的边长，得到小正方形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可；属于基础题．解：设大正方形边长为5，由cosα=45知α对边等于3，邻边等于4，∴小正方形的边长为1，面积等于S=1，则对应的概率P=125．故选D．5.答案：D解析：本题考查函数的奇偶性以及函数的导数的应用，函数的极值，考查转化思想以及计算能力．利用函数的奇偶性排除选项，通过函数的导数求解函数的极值点的个数，求出f(π)的值，推出结果即可．解：函数f(x)=ln|x|+|sinx|(−π≤x≤π且x≠0)是偶函数排除A．当x>0时，f(x)=lnx+sinx，可得：f′(x)=1x+cosx，令1x +cosx=0，作出y=1x与y=−cosx图象如图：可知两个函数有一个交点，就是函数有一个极值点．f(π)=lnπ>1，故选D．6.答案：A解析：解：∵从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，∴每个学生被抽到的概率是615=25，∵按性别依此比例分层抽样∴应抽男生25× 10=4，应抽女生25× 5=2，∵某男生担任队长，∴不同的抽样方法数是C93C52，故选A．由题意知从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，得到每个学生被抽到的概率是615，因为按性别依此比例分层抽样，做出男女各需抽的人数，某男生担任队长，所以只抽三个男生即可，写出结果．本题是一个分层抽样与排列组合问题的综合题，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．7.答案：B解析：解：三视图可知几何体是底面为正三角形，边长为：3，一条侧棱垂直底面正三角形的一个顶点的三棱锥，三棱锥的高为4，三棱锥补充为三棱柱，三棱柱与三棱锥的外接球是同一个外接球，由棱柱的底面边长为3，则底面半径为r=3×√33=√3，由棱柱的高为4，则球心距d=2，外接球的半径R=√r2+d2=√7，故这个三棱锥的外接球的表面积S=4πR2=28π，故选：B由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出其外接球的半径，代入球的表面积公式，可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．8.答案：C解析：本题考查椭圆的定义．椭圆的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．利用椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，并且|AF2|+|BF2|=|AB|，进而得到答案．解：椭圆x216+y212=1，可得a=4，根据题意结合椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|=2a=8，并且|BF1|+|BF2|=2a=8，又因为|AF2|+|BF2|=|AB|，所以△ABF1的周长为：|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=16．故选：C．9.答案：C解析：本题主要考查根的存在性的应用，利用一元二次函数的图象和性质，以及数形结合是解决本题的关键．由f(x)=0，得m=3x−|x2−4|，作出函数y=g(x)=3x−|x2−4|图象，利用数形结合即可得到结论．解：由f(x)=0，得m=3x−|x2−4|，设g(x)=3x−|x2−4|，当x≥2或x≤−2时，g(x)=3x−|x2−4|，g(x)=3x −x 2+4=−(x −32)2+254，当−2<x <2时，g(x)=3x −|x 2−4|，g(x)=3x +x 2−4=(x +32)2−254，作出y =g(x)=3x −|x 2−4|图象如图：要使函数f(x)=|x 2−4|−3x +m 恰有两个不同的零点，则m <−254或−6<m <6，即m ∈(−∞,−254)∪(−6,6)，故选：C10.答案：D解析：解：∵AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =t(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， 化为3(t +1)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 与m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 比较可得：{3(t +1)=m −3t =1，解得t=−13．故答案为：−13．利用向量的三角形法则和平面向量的基本定理即可得出．本题考查了向量的三角形法则和平面向量的基本定理，属于基础题．11.答案：A解析：解：不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=ba(x−c)，与y=−ba x联立，可得交点M(c2,−bc2a)，∵点M在以线段F1F2为直径的圆上，∴c24+b2c24a2=c2，∴b=√3a，∴c=√a2+b2=2a，∴e=ca=2．故选：A．已知得出过F且与双曲线C的一条渐近线平行的直线方程，与另一条渐近线方程联立即可解得交点M的坐标，代入以线段F1F2为直径的圆的方程，即可得出离心率e．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，熟练掌握双曲线的渐近线及离心率、直线的点斜式、圆的方程是解题的关键．12.答案：D解析：本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调性的关系对不等式进行判断．解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时f(x)+x⋅f′(x)<0，且f(−4)=0，所以ℎ(x)=xf(x)在x<0时单调递减，在x>0时递增，且ℎ(−4)=ℎ(4)=0，故选D.13.答案：−2解析：解：由x ，y 满足约束条件{y −1≤0x −y −1≤0x +2y −2≥0作出可行域如图，化目标函数z =x −2y 为y =12x −z 2．联立{y =1x +2y −2=0，解得：C(0,1)． 由图可知，当直线y =12x −z 2过C(0,1)时直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值，等于0−2×1=−2．故答案为：−2．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 14.答案：80解析：解：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 3+a 4=(a 1+a 2)⋅q 2，即40=20q 2,解得q 2=2，故a 5+a 6=(a 3+a 4)⋅q 2=40×2=80,故答案为：80．设等比数列{a n }的公比为q ，由a 3+a 4=(a 1+a 2)⋅q 2，可得q 2=2，而a 5+a 6=(a 3+a 4)⋅q 2，代入可得．本题考查等比数列的通项公式和公比的定义，属基础题．15.答案：(1)40312016；(2)950；(3)1n+1+1(n+1)(2n+1)；(4)(0,1)．解析：(1)本题考查归纳推理的应用，根据已知不等式得到规律即可求解．)解：，，，则，故答案为40312016．(2)本题考查古典概型的概率计算，列出基本事件，代入古典概型的公式即可求解．解：总的基本事件共有10×10=100种，满足|a−b|=1，即取相邻的两个数共有9×2=18种，则概率为18100=950，故答案为950．(3)本题考查归纳推理的应用，根据所给的等式找出规律即可求解．解：25=13+13×5，3=5+12；2 7=14+14×7，4=7+12；2 9=15+15×9，5=9+12按此规律，22n+1=1n+1+1(n+1)(2n+1)(n=2,3,4，…)，故答案为1n+1+1(n+1)(2n+1)．(4)本题考查导数在函数单调性中的应用，根据不等式函数得到单调性即可求解．解：设g(x)=f(x)−1x ，则g′(x)=f′(x)+1x2=x2f′(x)+1x2>0，所以g(x)在单调递增，又g(1)=4，不等式可化为g(x)<g(1)，则0<x<1，故答案为(0,1)．16.答案：4√55 解析：解：如图，圆x 2+y 2=1的圆心O(0,0)，半径r =1，∵圆心O 到直线y =2x +1的距离：OD =|2×0−0+1|√5=√55， ∴BD =(√55)=2√55， ∴直线y =2x +1被圆x 2+y 2=1截得的弦长：|AB|=2|BD|=4√55． 故答案为：4√55． 利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由勾股定理求出弦长．本题考查圆的弦长的求法，是基础题，解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用．17.答案：解：(1)由a−c b−c =sinB sinA+sinC则a−c b−c =b a+c ，即a 2=b 2+c 2−bc ，由余弦定理，a 2=b 2+c 2−2bccosA ，得cosA =12， 由于A 为锐角，则A =π3；(II)m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =2sinB +cos2B ，=2sinB +1−2sin 2B=−2sin 2B +2sinB +1，B ∈(0,2π3)，令t =sinB ，则t ∈(0,1]．则m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−2t 2+2t +1=−2(t −12)2+32，t ∈(0,1]． ∴t =12时，m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 取得最大值32．解析：(1)由正弦定理将角化为边，再由余弦定理即可求得角A ；(II)由向量的数量积的坐标表示，结合二倍角公式及三角换元，由二次函数的最值求法，即可得到最大值．本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查平面向量的数量积的坐标表示，考查三角函数的求值，考查二次函数的值域问题，考查运算能力，属于中档题．18.答案：(1)证明：由PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，得PD ⊥BD ，又AP ⊥BD ，AP ∩PD =P ，AP ，PD ⊂平面APD ，所以BD ⊥平面APD ，又∵AD ⊂平面APD ，所以BD ⊥AD ，又AD//BC ，所以BC ⊥BD ，因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC ，又BD ∩PD =D ，BD ，PD ⊂平面PDB ，所以BC ⊥平面PDB ；(2)解：由(1)可知BD ⊥AD ，又AB =√2，∠DAB =45°，所以AD =BD =1，又BD ⊥平面APD ，所以DP 为BP 在平面APD 内的射影，故∠BPD =45°，所以PD =BD =1，以D 为坐标原点，DA ，DB ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则P(0,0，1)，A(1,0，0)，B(0,1，0)，C(−1,1，0)，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−1),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−1)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−1)，设m⃗⃗⃗ =(x,y,z)为平面APC 的法向量， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y −z =0m⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x −z =0，故m ⃗⃗⃗ =(1,2,1)， 设平面PCB 的法向量n⃗ =(a,b,c)， 则{n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a +b −c =0n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b −c =0，得n ⃗ =(0,1,1)， 故cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=2√3=√32， 因为二面角A −PC −B 为锐二面角，所以二面角A −PC −B 的大小为π6．解析：本题考查线面垂直的判定定理与性质定理，考查空间想象能力和运算能力，是中档题．(1)根据题意，先判断BD ⊥平面APD ，得到PD ⊥BC ，根据线面垂直的判定定理得出结论；(2)根据题意，以D 为坐标原点，DA ，DB ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面APC 和平面PCB 的法向量，进行求解即可．19.答案：解：(Ⅰ)由已知，动点P 在直线y =−2上方，条件可转化为动点P 到定点F(0,1)的距离等于它到直线y =−1的距离，∴动点P 的轨迹是以F(0,1)为焦点，直线y =−1为准线的抛物线故其方程为x 2=4y ；(Ⅱ)证明：设直线AB 的方程为y =kx +1，由{x 2=4y y =kx +1得：x 2−4kx −4=0， 设A(x A ,y A )，B(x B ,y B )，则x A +x B =4k ，x A x B =−4，由x 2=4y 得：y =14x 2，∴y′=12x ，∴直线AM 的方程为：y −14x A2=12x A (x −x A )① 直线BM 的方程为：y −14x B2=12x B (x −x B )② ①−②得：14(x B 2−x A 2)=12(x B 2−x A 2)，即x =x A +x B2=2k ， 将x =x A +x B2代入①得：y −14x A 2=12x A x B −x A 2=14x A x B −14x A 2， ∴y =14x A x B =−1，故M(2k,−1)，∴MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2k,−2)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x B −x A ,k(x B −x A ))，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2k(x B −x A )−2k(x B −x A )=0．解析：(Ⅰ)由题意可得条件可转化为动点P 到定点F(0,1)的距离等于它到直线y =−1距离，由抛物线的定义即可得到所求曲线方程；(Ⅱ)设直线AB 的方程为y =kx +1，代入抛物线的方程，运用韦达定理，求得y =14x 2的导数，可得切线的斜率和方程．联立方程组，求得交点M 的坐标，再由向量数量积的坐标表示，即可得证． 本题考查曲线方程的求法，注意运用抛物线的定义和方程，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和导数的几何意义，考查运算能力，属于中档题．20.答案：解：(Ⅰ)由频率分布直方图可得各组的频率分别为0.02，0.18，0.38，0.30，0.10，0.02．平均数估计值是96×0.02+98×0.18+100×0.38+102×0.30+104×0.10+106×0.02=100.68．(Ⅱ)由题意知，一等品的频率为0.38，二等品的频率为0.48，不合格产品的频率为0.14． 用样本估计总体，一等品约有3.8万件，二等品约有4.8万件，不合格产品约有1.4万件．故该企业生产这批零件预计可获利润3.8×10+4.8×8−1.4×6=68万元．解析：本题主要考查了频率分布直方图，着重考查了频率分布直方图的理解和频率计算公式等知识，属于基础题．(Ⅰ)平均数为频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和，计算即可；(Ⅱ)算出一等品、二等品、不合格产品的频率，进而求出产品的数量，即可算该企业生产这批零件所获得的利润；21.答案：解：f(x)的定义域是R ，(1)f′(x)=e x −a ，①a >0时，令f′(x)>0，解得：x >lna ，令f′(x)<0，解得：x <lna ，故f(x)在(−∞,lna)递减，在(lna,+∞)递增；②a ≤0时，f′(x)>0，f(x)在R 递增；综上所述，当a >0时，f(x)在(−∞,lna)递减，在(lna,+∞)递增；当a ≤0时，f(x)在R 递增；(2)由(1)知当a>0时，f(x)在(−∞,lna)递减，在(lna,+∞)递增；先比较a与ln a的大小，构造函数y=x−lnx，则y′=1−1x =x−1x，易得当x∈(0,1)时，y=x−lnx单调递减，当x∈(1,+∞)时，y=x−lnx单调递增，所以当x=1时，y=x−lnx有最小值，即y min=1，即x−lnx>0，所以a>lna，①lna≤0即0<a≤1时，f(x)在[0,a]递增，f(x)max=f(a)=e a−a2，②当a>1时，0<lna<a恒成立，f(x)在[0,lna)递减，在(lna,a]递增，f(0)=1，f(a)=e a−a2，令ℎ(x)=e x−x2−1(x>1)，则ℎ′(x)=e x−2x，令m(x)=e x−2x(x>1)，则m′(x)=e x−2>0，即ℎ′(x)=e x−2x在(1,+∞)上是单调递增的，所以ℎ′(x)>e−2>0，即ℎ(x)=e x−x2−1在(1,+∞)上是单调递增的，所以ℎ(x)>e−1−1=e−2>0，所以当a>1时，e a−a2>1，即f(x)max=f(a)=e a−a2，综上所述，当a>0时，函数f(x)在[0,a]上的最大值e a−a2．解析：本题考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，属于中档题．(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(2)通过讨论a的范围，构造函数，结合函数的单调性比较大小即可求出函数的最值即可．22.答案：解：(I)直线l的参数方程可化为普通方程为x−y+1=0，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ．曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2−4y =0，即x 2+(y −2)2=4；(II)设A 、B 两点所对应的参数分别为t A ，t B,将{x =1+√22t y =2+√22t(t 为参数)代入x 2+y 2−4y =0， 化简整理可得t 2+√2t −3=0，从而{t A +t B =−√2t A t B =−3, 故|AB|=√(t A +t B )2−4t A t B =√14．解析：本题考查参数方程和极坐标方程与普通方程的互化，考查参数方程的运用，属于中档题． (I)利用坐标互化的方法即可写出直线l 的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(II)利用参数的几何意义，即可求得|AB|．23.答案：(本小题满分10分)解：(1)由a =0，原不等式为|x −3|+|x|>4由绝对值的几何意义可得{x|x <−12或x >72} …(5分)(2)由∃x ∈R ，|x −3|+|x −a|<4成立，得(|x −3|+|x −a|)min <4，又|x −3|+|x −a|≥|x −3−(x −a)|=|a −3|∴|a −3|<4，解得−1<a <7…(10分)解析：(1)利用绝对值的几何意义，转化求解即可．(2)利用绝对值的几何意义，求出不等式的最小值，列出不等式，转化求解即可．本题考查绝对值不等式的解法，不等式恒成立条件的转化，考查计算能力．。

2020年高考模拟高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题1．设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，若z＝1﹣i，则（3+2）i＝（）A．﹣2﹣5i B．﹣2+5i C．2+5i D．2﹣5i2．已知集合M＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，N＝{x|x2﹣mx＜0}，若M∩N＝{x|0＜x＜1}，则m的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．23．已知等差数列{a n}中，S n为其前n项的和，S4＝24，S9＝99，则a7＝（）A．13B．14C．15D．164．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（）A．1﹣sin 2θB．C．1﹣sinθD．5．函数f（x）＝ln|x|+|sin x|（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．6．从6名女生3名男生中，选出3名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为（）A．45种B．120 种C．30种D．63种7．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积（）A．B．2C．4D．12π8．设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，A在x轴上方，且满足|AF1|＝3|F1B|，，则A点位于（）A．第一象限B．第二象限C．y轴上D．都有可能9．已知函数，函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的最大值为（）A．1+e B．4+e C．1﹣e D．1+2e10．O为△ABC内一点，且，若B，O，D三点共线，则t的值为（）A．B．C．D．11．已知F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交叉双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心的取值范围是（）A．（，+∞）B．（2，+∞）C．（，2）D．（1，2）12．定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f′（x），且当x＞0时，xf′（x）+2f（x）＜0．则（）A．B．9f（3）＞f（1）C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设x，y满足，则z＝2x+y的最小值为．14．在等比数列{a n}中，已知a2+a4＝8，a6+a8＝4，则a10+a12+a14+a16＝．15．“砥砺奋进的五年”，首都经济社会发展取得新成就．自2012年以来北京城乡居民收入稳步增长．随着扩大内需，促进消费等政策的出台，居民消费支出全面增长，消费结构持续优化升级，城乡居民人均可支配收人快速增长，人民生活品质不断提升．右图是北京市2012﹣2016年城乡居民人均可支配收人实际增速趋势图（例如2012年，北京城镇居民收人实际增速为7.3%，农村居民收人实际增速为8.2%）．从2012﹣2016五年中任选两年，则至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率为．16．在棱长为a的正方体内有一个和各面都相切的球，过正方体中两条互为异面直线的棱的中点作直线，则该直线被球面截在球内的弦长为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知，2sin x），＝（sin，，函数．（1）求函数f（x）的零点；（2）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（A）＝2，△ABC 的外接圆半径为，求△ABC周长的最大值．18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，EDBF是矩形，DE ＝a，平面EDBF⊥平面ABCD．（1）若a＝1，求证：AE⊥CF；（2）若二面角A﹣EF﹣B的余弦值为，求a的值．19．设动圆P（圆心为P）经过定点（0，2），被x轴截得的弦长为4，P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）直线l：y ＝x+m（m∈R）与曲线E交于不同的两点A、B，线段AB的垂直平分线与y轴交于点M，若tan∠AMB＝﹣2，求m的值．20．某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如表：M≥205质量指标值m m＜185185≤m＜205等级三等品二等品一等品从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如右的频率分布直方图：（1）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一等品至少要占全部产品50%”的规定？（2）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；（3）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X近似服从正态分布N（216，139），则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？21．已知函数f（x）＝x﹣2+ae x（e为自然对数的底数）（1）讨论f（x）的单调性；（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＞6．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为；在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为（1）若a＝1，求C与l交点的直角坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x﹣a|．（1）当a＝﹣2时，求不等式0＜f（x）≤3的解集；（2）若a≤0，∃x∈（0，+∞）使f（x）≤a2﹣3成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，若z＝1﹣i，则（3+2）i＝（）A．﹣2﹣5i B．﹣2+5i C．2+5i D．2﹣5i【分析】把z＝1﹣i代入（3+2）i，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z＝1﹣i，得（3+2）i＝（3+2+2i）i＝（5+2i）i＝﹣2+5i．故选：B．2．已知集合M＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，N＝{x|x2﹣mx＜0}，若M∩N＝{x|0＜x＜1}，则m的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．2【分析】可以求出M＝{x|﹣1＜x＜3}，从而可以根据M∩N＝{x|0＜x＜1}即可得出N＝{x|0＜x＜m}，从而得出m＝1．解：∵M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{x|x2﹣mx＜0}，M∩N＝{x|0＜x＜1}，∴N＝{x|0＜x＜m}，∴m＝1．故选：A．3．已知等差数列{a n}中，S n为其前n项的和，S4＝24，S9＝99，则a7＝（）A．13B．14C．15D．16【分析】由已知结合等差数列的求和公式可求d，a1，然后结合等差数列的通项公式即可求解．解：因为S4＝24，S9＝99，，解可得，a1＝3，d＝2则a7＝a1+6d＝15．故选：C．4．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（）A．1﹣sin 2θB．C．1﹣sinθD．【分析】分别求出小正方形的面积及大正方形的面积，然后根据几何概率的求解公式即可．解：由题意可知，小正方形的边长为2（cosθ﹣sinθ），面积S1＝4（cosθ﹣sinθ）2＝4（1﹣sin2θ），大正方形的面积S＝2×2＝4，故镖落在小正方形内的概率P＝（1﹣sin2θ）．故选：A．5．函数f（x）＝ln|x|+|sin x|（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】利用函数的奇偶性排除选项，通过函数的导数求解函数的极值点的个数，求出f（π）的值，推出结果即可．解：函数f（x）＝ln|x|+|sin x|（﹣π≤x≤π且x≠0）是偶函数排除A．当x＞0时，f（x）＝lnx+sin x，可得：f′（x）＝+cos x，令+cos x＝0，作出y＝与y＝﹣cos x图象如图：可知两个函数有一个交点，就是函数有一个极值点．f（π）＝lnπ＞1，故选：B．6．从6名女生3名男生中，选出3名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为（）A．45种B．120 种C．30种D．63种【分析】6名女生3名男生中，选出3名学生组成课外小组，根据分层抽样要求，应选出2名女生，1名男生．利用组合数的意义、乘法原理即可得出．解：6名女生3名男生中，选出3名学生组成课外小组，根据分层抽样要求，应选出2名女生，1名男生．∴不同的抽取方法数＝•＝45．故选：A．7．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积（）A．B．2C．4D．12π【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的表面积公式的应用求出结果．解：根据几何体的三视图，把几何体转换为：所以：该几何体的球心为O，R＝，．故选：D．8．设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，A在x轴上方，且满足|AF1|＝3|F1B|，，则A点位于（）A．第一象限B．第二象限C．y轴上D．都有可能【分析】设|BF2|＝k，题意开发其他的焦半径的值，再由余弦定理可得a与k的关系，进而可得|AF2|＝3k＝|AF1|，可得A在y轴上．解：设|BF1|＝k，则|AF1|＝3k由椭圆的定义可得：|AF2|＝2a﹣3k，|BF2|＝2a﹣k，|AB|＝4k，在△ABF2中，由余弦定理可得：|AB|2＝|AF2|2+|BF﹣2|AF2|•|BF2|cos∠AF2B，即16k2＝（2a﹣3k）2+（2a﹣k）2﹣2（2a﹣3k）（2a﹣k），整理可得a＝3k，所以|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k，F1A⊥F2A，即△AF1F2为等腰直角三角形，所以A在y轴上，故选：C．9．已知函数，函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的最大值为（）A．1+e B．4+e C．1﹣e D．1+2e【分析】作出函数f（x）的图象，结合题意，利用根与系数的关系利用函数的单调性得解．解：若函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点，则有a∈（1，e]，当x＞0时，f（x）＝x+﹣3≥2﹣3＝1，可得f（x）在x＞2递增，在0＜x＜2处递减，由f（x）＝，x≤0，x＜﹣1时，f（x）递减；﹣1＜x＜0时，f（x）递增，可得x＝﹣1处取得极小值1，作出f（x）的图象，以及直线y＝a，可得＝＝＝，即有x1+1+x2+1＝0，可得x1+x2＝﹣2，x3，x4是方程﹣3＝a的两根，即x2﹣（3+a）x+4＝0的两个根，∴x3+x4＝3+a，则x1+x2+x3+x4＝﹣2+3+a＝a+1≤e+1，故最大值为e+1，故选：A．10．O为△ABC内一点，且，若B，O，D三点共线，则t的值为（）A．B．C．D．【分析】根据即可得出，而根据B，O，D三点共线，可设，从而可得出，这样根据平面向量基本定理即可得出，解出t即可．解：由得，，∴，∵B，O，D三点共线，∴可设，且，∴，∴，解得．故选：D．11．已知F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交叉双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心的取值范围是（）A．（，+∞）B．（2，+∞）C．（，2）D．（1，2）【分析】确定M，F1，F2的坐标，进而由•＜0，结合a、b、c的关系可得关于ac的不等式，利用离心率的定义可得范围．解：设直线方程为y＝（x﹣c），与双曲线（a＞0，b＞0）联立，可得交点坐标为P（，﹣）∵F1（﹣c，0），F2（c，0），∴＝（﹣，），＝（，），由题意可得•＜0，即＜0，化简可得b2＜3a2，即c2﹣a2＜3a2，故可得c2＜4a2，c＜2a，可得e＝＜2，∵e＞1，∴1＜e＜2故选：D．12．定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f′（x），且当x＞0时，xf′（x）+2f（x）＜0．则（）A．B．9f（3）＞f（1）C．D．【分析】构造函数g（x）＝x2f（x），结合已知条件及导数与单调性关系可判断g（x）的单调性及奇偶性，从而可求解．解：令g（x）＝x2f（x），当x＞0时，xf′（x）+2f（x）＜0，则g′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）＝x[2f（x）+f′（x）]＜0即g（x）在（0，+∞）上单调递减，因为f（﹣x）＝f（x），所以g（﹣x）＝（﹣x）2f（﹣x）＝x2f（x）＝g（x）即g（x）为偶函数，根据偶函数的对称性可知，g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，g（e）＞g（3），所以＝，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设x，y满足，则z＝2x+y的最小值为﹣6．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由x，y满足作出可行域如图，化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过B（﹣2，﹣2）时直线在y轴上的截距最小，z最小z＝﹣2×2﹣2＝﹣6．故答案为：﹣6．14．在等比数列{a n}中，已知a2+a4＝8，a6+a8＝4，则a10+a12+a14+a16＝3．【分析】由已知结合等比数列的通项公式可求公比q，然后结合等比数列的性质即可求解．解：设等比数列的公比为q，则，解可得q4＝，所以a10+a12+a14+a16＝+（a6+a8）q8＝8×＝3．故答案为：3．15．“砥砺奋进的五年”，首都经济社会发展取得新成就．自2012年以来北京城乡居民收入稳步增长．随着扩大内需，促进消费等政策的出台，居民消费支出全面增长，消费结构持续优化升级，城乡居民人均可支配收人快速增长，人民生活品质不断提升．右图是北京市2012﹣2016年城乡居民人均可支配收人实际增速趋势图（例如2012年，北京城镇居民收人实际增速为7.3%，农村居民收人实际增速为8.2%）．从2012﹣2016五年中任选两年，则至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率为．【分析】设至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超7%为事件B，这五年中任选两年，利用列举法能出至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率．解：设至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超7%为事件B，这五年中任选两年，有（2012，2013），（2012，2014），（2012，2015），（2012，2016），（2013，2014），（2013，2015），（2013，2016），（2014，2015），（2014，2016），（2015，2016）共10种情况，其中至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超过7%的为前9种情况，所以至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率P（B）＝，故答案为：．16．在棱长为a的正方体内有一个和各面都相切的球，过正方体中两条互为异面直线的棱的中点作直线，则该直线被球面截在球内的弦长为．【分析】由题意画出图形，利用直线与圆的位置关系及垂径定理求解．解：如图，M，N是正方体中两条互为异面直线的棱的中点，直线MN与球O的表面交于E，F两点，连接MO，并延长交于P，则P为对棱的中点，取EF的中点G，则OG∥PN，且OG＝＝．在Rt△OGE中，OE＝，则EF＝2EG＝2．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知，2sin x），＝（sin，，函数．（1）求函数f（x）的零点；（2）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（A）＝2，△ABC 的外接圆半径为，求△ABC周长的最大值．【分析】（1）根据向量数量积的定义求出f（x），结合零点的定义进行求解即可．（2）根据条件先求出A和a的大小，结合余弦定理，以及基本不等式的性质进行转化求解即可．解：（1）f（x）＝＝2cos x sin（x﹣）+2sin x cos（x﹣）＝2sin（2x﹣），由f（x）＝0得2x﹣＝kπ，k∈Z，得x＝+，即函数的零点为x＝+，k∈Z．（2）∵f（A）＝2，∴f（A）＝2sin（2A﹣）＝2，得sin（2A﹣）＝1，即2A﹣＝2kπ+，即A＝kπ+，在三角形中，当k＝0时，A＝，满足条件，∵△ABC的外接圆半径为，∴＝2，即a＝2×＝3，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc≥＝（b+c）2﹣（b+c）2＝（b+c）2，即（b+c）2≤4×9＝36，即b+c≤6当且仅当b＝c时取等号，则a+b+c≤9，即三角形周长的最大值为9．18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，EDBF是矩形，DE ＝a，平面EDBF⊥平面ABCD．（1）若a＝1，求证：AE⊥CF；（2）若二面角A﹣EF﹣B的余弦值为，求a的值．【分析】（1）根据勾股定理判断AD⊥BD，AE⊥EF，AE⊥EC，得到AE⊥平面EFC，最后得出结论；（2）以D为原点，DA，DB，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AEF 和平面DEFB的法向量，利用夹角公式列方程，求出a．解：（1）连接AC，在三角形ABD中AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，由余弦定理得BD＝，AD2+BD2＝AB2，故AD⊥BD，EDBF是矩形，DE＝1，平面EDBF⊥平面ABCD，故BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，则AF＝，AE2+EF2＝AF2，故AE⊥EF，由AC＝，EC＝，AE＝，得AE2+EC2＝AC2，故AE⊥EC，EC∩EF＝E，所以AE⊥平面EFC，FC⊂平面EFC，所以AE⊥FC；（2）以D为原点，DA，DB，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），E（0，0，a），F（0，），，设平面AEF的法向量为，由，得，平面DEFB的法向量为，由cos＜＞＝，得a＝．19．设动圆P（圆心为P）经过定点（0，2），被x轴截得的弦长为4，P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）直线l：y＝x+m（m∈R）与曲线E交于不同的两点A、B，线段AB的垂直平分线与y轴交于点M，若tan∠AMB＝﹣2，求m的值．【分析】（1）设动圆P的圆心为（x，y），半径为r，根据题意列出方程组化简即可得到曲线E的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点坐标C（x3，y3），M（0，y0），联立直线l与抛物线方程，利用韦达定理求出C的坐标为（2，4+m），利用弦长公式求出|AB|＝4，所以|AC|＝2，又y0＝6+m，所以|MC|＝，再利用二倍角的正切公式求出tan，所以tan∠AMC＝＝＝，即可解出m的值．解：（1）设动圆P的圆心为（x，y），半径为r，被x轴截得的弦长为|AB|，依题意得：，化简整理得：x2＝4y，∴曲线E的方程为：x2＝4y；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点坐标C（x3，y3），M（0，y0），联立方程，整理得：，∴△＝16×2+4×4m＝32+16m＞0，∴m＞﹣2，∴，x1x2＝﹣4m，，∴，y3＝4+m，∴线段AB的中点C的坐标为（2，4+m），又|AB|＝＝＝4，∴|AC|＝2，又AB的垂直平分线方程为：y﹣（4+m）＝﹣，∴y0＝6+m，∴|MC|＝，∵CM垂直平分AB，∴∠AMB＝2∠AMC，又tan∠AMB＝＝﹣2，解得tan或﹣（舍去），∴在Rt△AMC中，tan∠AMC＝＝＝，∴m＝0，满足m＞﹣2，∴m的值为0．20．某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如表：M≥205质量指标值m m＜185185≤m＜205等级三等品二等品一等品从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如右的频率分布直方图：（1）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一等品至少要占全部产品50%”的规定？（2）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；（3）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X近似服从正态分布N（216，139），则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？【分析】（1）根据抽样调查数据，求得一等品所占比例的估计值为0.375，由于该估计值小于0.5，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一等品至少要占全部产品50%”的规定；（2）由直方图知，一、二、三等品的频率，求得在样本中用分层抽样的方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，然后利用古典概型概率计算公式求解；（3）求出“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值，再由“质量提升月”活动后，产品质量指标值X近似满足X～N（216，139），得质量指标的均值约为216，作差得答案．解：（1）根据抽样调查数据，一等品所占比例的估计值为0.260+0.090+0.025＝0.375．由于该估计值小于0.5，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一等品至少要占全部产品50%”的规定；（2）由直方图知，一、二、三等品的频率分别为：0.375，0.5，0.125．故在样本中用分层抽样的方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，再从这8件产品中抽取4件，一、二、三等品都有的情形由2种．①一等品2件，二等品1件，三等品1件．②一等品1件，二等品2件，三等品1件．P＝；（3）“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为：170×0.025+180×0.1+190×0.2+200×0.3+210×0.26+220×0.09+230×0.025＝200.4．“质量提升月”活动后，产品质量指标值X近似满足X～N（216，139），即质量指标的均值约为216．所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了15.6．21．已知函数f（x）＝x﹣2+ae x（e为自然对数的底数）（1）讨论f（x）的单调性；（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＞6．【分析】（1）对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论确定导数符号，即可求解函数单调性；（2）由零点存在的条件，结合函数的性质，把所要证明的不等式转换为函数的单调性与大小关系的比较．解：（1）f′（x）＝1+ae x，当a≥0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上单调递增，当a＜0时，令f′（x）＝0可得x＝ln（﹣），故函数的单调递增区间为（﹣），单调递减区间（ln（﹣），+∞），（2）证明：由f（x）＝0可得a＝，设g（x）＝，则，当x＜3时，g′（x）＜0，函数单调递减，当x＞3时，g′（x）＞0，函数单调递增，当x＝3时，g（x）取得最小值g（3）＝﹣，当x＞时，g（x）＜0，当x＜2时，g（x）＞0，不妨设x1＜x2，则x1∈（2，3），x2∈（3，+∞），所以6﹣x1＞3，且g（x）在（3，+∞）上单调递增，要证x1+x2＞6，只要证x2＞6﹣x1＞3，故只要证g（x2）＞g（6﹣x1），因为g（x1）＝g（x2）＝a，只要证g（x1））＞g（6﹣x1），即，即证（x1﹣4）+x﹣2＜0，令h（x）＝e2x﹣6（x﹣4）+x﹣2，2＜x＜3，则h′（x）＝e2x﹣6（2x﹣7）+1，令m（x）＝h′（x），则m′（x）＝4e2x﹣6（x﹣3）＜0，所以m（x）在（2，3）上单调及，h′（x）＞h′（3）＝0，故h（x）在（2，3）上单调递增，h（x）＜h（3）＝0，即e2x﹣6（x﹣4）+x﹣2＜0，从而：x1+x2＞6．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为；在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为（1）若a＝1，求C与l交点的直角坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a．【分析】（1）求出曲线C的普通方程和当a＝1时，直线l的普通方程，列方程组能求出C与l的交点的直角坐标．（2）直线l的普通方程是x+y﹣1﹣a＝0，C上的点（2cos θ，sin θ）到l的距离为，由此利用C上的点到l的距离的最大值为，能求出a．解：（1）∵曲线C的极坐标方程为，∴曲线C的普通方程为，∵直线l的参数方程为，∴当a＝1时，直线l的普通方程为x+y﹣2＝0．由解得或从而C与l的交点的直角坐标是．（2）直线l的普通方程是x+y﹣1﹣a＝0，故C上的点（2cos θ，sin θ）到l的距离为，当a≥﹣1时，d的最大值为．由题设得，所以当a＜﹣1时，d的最大值为.由题设得，所以．综上，．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x﹣a|．（1）当a＝﹣2时，求不等式0＜f（x）≤3的解集；（2）若a≤0，∃x∈（0，+∞）使f（x）≤a2﹣3成立，求a的取值范围．【分析】（1）当a＝﹣2时，利用绝对值不等式得f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|≤|（x﹣1）﹣（x+2）|＝3，即f（x）≤3的解集为R；再由f（x）＞0，得|x﹣1|＞|x+2|，解之，即可得到不等式0＜f（x）≤3的解集；（2）当a≤0，x∈（0，+∞）时，可求得f（x）＝|x﹣1|﹣x+a的最小值为f（1）＝a﹣1，解不等式a2﹣3≥a﹣1即可得到答案．解：（1）当a＝﹣2时，因为f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|≤|（x﹣1）﹣（x+2）＝3，|所以f（x）≤3的解集为R；由f（x）＞0，得|x﹣1|＞|x+2|，解得x＜﹣，故不等式0＜f（x）≤3的解集为（﹣∞，﹣）；（2）当a≤0，x∈（0，+∞）时，f（x）＝|x﹣1|﹣x+a＝，则f（x）min＝f（1）＝a﹣1，故a2﹣3≥a﹣1，解得：a≥2或a≤﹣1，又a≤0，所以a≤﹣1．所以a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．。

普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数(三)本试卷共6页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合(){}2ln 330A x x x =-->，集合{}231,B x x U R =->=，则()U C A B ⋂=A. ()2,+∞B. []2,4C. (]1,3D. (]2,42.设i 为虚数单位，给出下面四个命题：1:342p i i +>+；()()22:42p a a i a R -++∈为纯虚数的充要条件为2a =；()()23:112p z i i =++共轭复数对应的点为第三象限内的点； 41:2i p z i +=+的虚部为15i . 其中真命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．43.某同学从家到学校途经两个红绿灯，从家到学校预计走到第一个红绿灯路口遇到红灯的概率为0.75，两个红绿灯路口都遇到红灯的概率为0.60，则在第一个路口遇到红灯的前提下，第二个路口也遇到红灯的概率为A ．0.85B ．0.80C ．0.60D ．0.564．已知函数()f x =的值域为A ，且,a b A ∈，直线()()2212x y x a y b +=-+-=与圆有交点的概率为 A ．18B ．38C.78D.145．一条渐近线的方程为43y x =的双曲线与抛物线2:8C y x =的一个交点为A ，已知AF =(F 为抛物线C 的焦点)，则双曲线的标准方程为A ．2211832x y -=B ．2213218y x -= C ．221916x y -=D ．2291805y x -= 6．如图，弧田由圆弧和其所对弦围成，《九章算术》中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一”，即弧田面积12=(弦×矢+矢2)．公式中“弦”指圆弧所对的线段，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述的经验公式计算弧田面积与实际面积存在误差，则圆心角为3π，弦长为1的弧田的实际面积与经验公式算得的面积的差为 A ．138-B ．31168π+- C ．123623π+- D ．53325-7．已知()()32210012100223nn x dx x x a a x a x a x =+-=+++⋅⋅⋅+⎰，且，则12310012102310a a a a a a a a +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+的值为 A ．823B ．845C ．965-D ．8778．已知函数()()sin 2cos 2,0,66f x x x x f x k ππ⎛⎫⎡⎤=++∈= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当时，有两个不同的根12,x x ，则()12f x x k ++的取值范围为A ．)1,3⎡⎣B ．)3,23⎡⎣C ．33,12⎛⎫+ ⎪ ⎪⎭D ．)3,2⎡⎣ 9.运行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A ．2018201722⨯- B ．2018201822⨯+ C. 2019201822⨯-D ．2019201722⨯+10．已知直线()()21350m x m y m +++--=过定点A ，该点也在抛物线()220x py p =>上，若抛物线与圆()()()222:120C x y rr -+-=>有公共点P ，且抛物线在P 点处的切线与圆C 也相切，则圆C 上的点到抛物线的准线的距离的最小值为 A ．35-B. 33-C ．3D ．32-11．已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 A ．2143π B ．1273πC.1153π D ．1243π12．已知函数()f x 的导函数为()'fx ，且满足()32123f x x ax bx =+++，()()''24f x f x +=-，若函数()6ln 2f x x x ≥+恒成立，则实数b 的取值范围为A ．[)64ln3,++∞B ．[)5ln5,++∞ C.[)66ln6,++∞ D ．[)4ln 2,++∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

备战2020高考全真模拟卷3数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|06}M x x =≤≤，{|232}x N x =≤，则M N ⋃=（ ） A ．(,6]-∞ B ．(,5]-∞ C ．[0,6] D ．[0,5]【答案】A 【解析】分析：根据指数函数求解集合N ，再根据集合的交集运算，即可得到结果.详解：由题意，集合{|06},{|232}{|5}xM x x N x x x =≤≤=≤=≤，所以{|6}(,6]M N x x ⋃=≤=-∞，故选A.点睛：本题主要考查了集合的运算，其中正确求解集合N 是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.2．若复数z 满足(34)43i z i -=+，则z 的虚部为（ ） A ．-4 B ．45-C ．4i -D ．45i -【答案】B【分析】先根据已知求出复数z,再求z 及其虚部得解. 【详解】 由题得55(34)5(34)3434(34)(34)255i i iz i i i +++====--+， 所以3455z i =-， 所以z 的虚部为45-.故选B 【点睛】本题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的计算和共轭复数的概念，考查复数的虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.3．在ABC ∆中，1=3AD DC u u u r u u u r ，P 是直线BD 上的一点，若12AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r，则m =（ ）A ．4-B ．1-C ．1D ．4【答案】B 【解析】 【分析】先根据条件化以,AB AD u u u r u u u r为基底向量，再根据平面向量共线定理推论确定参数. 【详解】114222AP mAB AC mAB AD mAB AD =+=+⨯=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rQ ，又B P D 、、三点共线，所以21+=m ，得1m =-. 故选：B 【点睛】本题考查平面向量共线定理推论，考查基本分析求解能力，属基础题. 4．已知，，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B试题分析：由题意，，所以，，，故选B ．考点：对数的运算，换底公式．5．在ABC V 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且222a b c ab +-==则ABC V 的面积为( )A B ．34C D ．32【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理化简a 2＋b 2－c 2＝ab C ＝60°，即得△ABC 的面积. 【详解】依题意得cos C ＝222122a b c ab +-=，所以C ＝60°，因此△ABC 的面积等于12absin C ＝12＝34， 故答案为B 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.6．下表是考生甲、乙、丙填写的第一批A 段3个平行志愿，而且均服从调剂，如果3人之前批次均未被录取，且3所学校天津大学、中山大学、厦门大学分别差1人、2人、2人未招满.已知平行志愿的录取规则是“分数优先，遵循志愿”，即按照分数从高到低的位次依次检索考生的院校志愿、、A B C ，按照下面程序框图录取.执行如图的程序框图，则考生甲、乙、丙被录取院校分别是( )A ．天津大学、中山大学、中山大学B ．中山大学、天津大学、中山大学C ．天津大学、厦门大学、中山大学D ．中山大学、天津大学、厦门大学【答案】B 【解析】乙的分最高，第一志愿是天津在，所以被天津大学录走。

绝密★启用前|铭师堂试题2020高考模拟数学试题（全国Ⅲ卷）—理科（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）第I 卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B ＝{x ∈Z |x 2﹣1<0}，则A ∩（∁A B ）＝（ ） A ．{﹣2，-1，1，2，3} B ．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} C ．{﹣2，2，3}D ．{﹣1，0，1}2．若复数z 满足（1+i ）z ＝|√3−i |，则z ＝（ ） A ．√2iB ．−√2iC ．1﹣iD ．√2−√2i3．(1+2x 2)(x −1x )6的展开式中，含x 2的项的系数是（ ） A ．﹣40B ．﹣25C ．25D ．554．在△ABC 中，B =2π3，AB ＝3，E 为AB 的中点，S △BCE =3√38，则AC 等于（ ） A ．√13 B ．√10C ．√7D ．35．已知函数y =asinxx在点M （π，0）处的切线−1πx +b =y ，则（ ）A ．a ＝﹣1，b ＝1B ．a ＝﹣1，b ＝﹣1C ．a ＝1，b ＝1D ．a ＝1，b ＝﹣1 6．函数f(x)=2x 2+3xx的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数f(x)=Asin(ωx +ϕ)(A ＞0，ω＞0，|ϕ|＜π)的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）A ．函数的图象关于点(−π，0)对称 B ．函数的图象关于直线x =−π6对称 C ．函数f （2x ）的最小正周期为π D ．当π6≤x ≤7π6时，函数f （x ）的图象与直线y ＝2围成的封闭图形面积为2π8．一位老师有两个推理能力很强的学生甲和乙，他告诉学生他手里拿着与以下扑克牌中的一张相同的牌：黑桃：3，5，Q ，K 红心：7，8，Q 梅花：3，8，J ，Q 方块：2，7，9老师只给甲同学说这张牌的数字（或字母），只给乙同学说这张牌的花色，接着老师让这两个同学猜这是张什么牌：甲同学说：我不知道这是张什么牌，乙同学说：我也不知道这是张什么牌． 甲同学说：现在我们知道了． 则这张牌是（ ） A ．梅花3B ．方块7C ．红心7D ．黑桃Q9．已知三棱锥D ﹣ABC 的四个顶点在球O 的球面上，若AB ＝AC ＝BC ＝DB ＝DC ＝1，当三棱锥D ﹣ABC 的体积取到最大值时，球O 的表面积为（ ） A ．5π3B ．2πC ．5πD ．20π310．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题﹣﹣“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x 2+y 2≤1，若将军从点A （2，0）处出发，河岸线所在直线方程为x +y ＝3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A ．√10−1 B ．2√2−1 C ．2√2 D ．√1011．过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于B ，点Q 是圆x 2+y 2＝a 2上的动点．若FB →=2FA →，|BQ |的最大值为9，则此双曲线的方程为（ ） A ．x 24−y 212=1 B ．x 24−y 216=1 C ．x 29−y 227=1D ．x 29−y 236=112．已知函数f （x ）={|log 2x|，x ＞0x 2+4x +1，x ≤0，若函数F （x ）＝f （x ）﹣b 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），则x 4x 3−x 1x 32+x 2x 324的取值范围是（ ）A ．（2，+∞）B ．[2，174)C ．(2，174]D ．[2，+∞）第II 卷二、非选择题:本卷包括填空题和解答题两部分。

第1页（共8页）第2页（共8页） 理 科 数 学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z 满足()21i 4i z +=，则复数z 的共轭复数z =（ ） A ．2 B ．2- C ．2i - D ．2i2．已知命题:p x ∀∈R ，2230x x -+≥；命题:q 若22a b <，则a b <，下列命题为假命题的 是（ ）A ．p q ∨B ．()p q ∨⌝C ．p q ⌝∨D ．()p q ⌝∨⌝3．已知3na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中7x 的系数为（ ）A ．20B ．30C ．40D ．504．中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起其因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达了目的地，问此人第三天走的路程里数为（ ）A ．192B ．48C ．24D ．885．ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若sin A ，sin B ，sin C 成等比数列， 且2c a =，则sin B 的值为（ ） A ．34 B ．74 C ．1 D ．33 6．执行如图的程序框图，若输出的6n =，则输入整数p 的最大值是（ ） A ．15 B ．16 C ．31 D ．32 7．已知变量x ，y 具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若y 关于x 的线性回归 方程为$1.31y x =-，则m 的值为（ ） x 1 2 3 4 y 0．1 1．8 m 4 A ．3．1 B ．2．9 C ．2 D ．3 8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，直线3y x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，且AF BF ⊥，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．212- B ．21- C ．312- D ．31- 9．如图，在ABC △中，AD AB ⊥，3DC BD =u u u r u u u r ，2AD =u u u r ，则AC AD ⋅u u u r u u u r 的值为（ ） A ．3 B ．8 C ．12 D ．16第3页（共8页） 第4页（共8页）10．通过大数据分析，每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量X ，且()23000,50X N :．则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过3100的概率为（ ）（参考数据：若()2,X N μσ:，有()0.6826P X μσμσ-<≤+=，()220.9544P X μσμσ-<≤+=，()330.9974P X μσμσ-<≤+=）A ．0．0456B ．0．6826C ．0．9987D ．0．977211．在水平地面上的不同两点处栽有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P 的轨迹可能是（ ）①直线；②圆；③椭圆；④抛物线．A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②④12．已知(){}0P f αα==，(){}0Q g ββ==，若存在P α∈，Q β∈，使得n αβ-<，则称函数()f x 与()g x 互为“n 距零点函数”．若()()2020log 1f x x =-与()2xg x x ae =-（e 为自然对数的底数）互为“1距零点函数”，则实数a 的取值范围为（ ）A ．214,e e ⎛⎤⎥⎝⎦ B ．214,e e ⎛⎤⎥⎝⎦ C ．242,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3242,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．31d x x -⎰的值为______．14．已知函数cos y x =与()πsin 202y x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，它们的图象有一个横坐标为6π的交点，则ϕ的值是______．15．一个圆上有8个点，每两点连一条线段．若其中任意三条线段在圆内不共点，则所有线段在圆内的交点个数为______（用数字回答）．16．已知π,,0,2αβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且222cos cos cos 2αβγ++=，则cos cos cos sin sin sin αβγαβγ++++的最小值为______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知圆柱1OO 底面半径为1，高为π，ABCD 是圆柱的一个轴截面，动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．将轴截面ABCD 绕着轴1OO 逆时针旋转()0πθθ<<后，边11B C 与曲线Γ相交于点P ． （1）求曲线Γ的长度； （2）当π2θ=时，求点1C 到平面APB 的距离． 18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a >，2211n n n S a S λ++=-，其中λ为常数． （1）证明：12n n S S λ+=+； （2）是否存在实数λ，使得数列{}n a 为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，请说明理由．第5页（共8页）第6页（共8页） 19．（12分）如图，过抛物线()220y px p =>上一点()1,2P ，作两条直线分别交抛物线于()11A x y ,，()22B x y ,，当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时：（1）求12y y +的值；（2）若直线AB 在y 轴上的截距[]1,3b ∈-时，求ABP △面积ABP S △的最大值．20．（12分）为响应“文化强国建设”号召，并增加学生们对古典文学的学习兴趣，雅礼中学计划建设一个古典文学熏陶室．为了解学生阅读需求，随机抽取200名学生做统计调查．统计显示，男生喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女生喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人．（1）能否在犯错误的概率不超过0．25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？（2）为引导学生积极参与阅读古典文学书籍，语文教研组计划牵头举办雅礼教育集团古典文学阅读交流会．经过综合考虑与对比，语文教研组已经从这200人中筛选出了5名男生代表和4名女生代表，其中有3名男生代表和2名女生代表喜欢古典文学．现从这9名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加交流会，记ξ为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求ξ的分布列及数学期望E ξ． 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据： ()20P K k > 0．50 0．40 0．25 0．15 0．10 0．05 0k 0．455 0．708 1．323 2．072 2．706 3．84121．（12分）已知函数()ln 1f x x x ax =++，a ∈R ． （1）当0x >时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （2）当n ∈*N 时，证明：22231ln 2ln ln 2421n n n n n n +<+++<++L ． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 已知直线l 的参数方程为13x t y t =-+⎧⎨=-⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为1cos 2tan x y ϕϕ⎧=⎪⎨⎪=⎩（ϕ为参数）． （1）求曲线C 的右顶点到直线l 的距离； （2）若点P 的坐标为()1,1，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求PA PB ⋅的值． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 （1）已知a ，b ，c 都是正实数，证明：2b a c a b c b ++≥+； （2）已知a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正实数，且满足不等式组：222222496a b c x y z ax by cz ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩， 求a b c x y z ++++的值．第1页（共12页） 第2页（共12页） 理 科 数 学（一）答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】将式子()21i 4i z +=化简，可得()24i4i 22i 1i z ===+， 根据共轭复数定义可知2z =，故选A ．2．【答案】C【解析】命题:p x ∀∈R ，2230x x -+≥，因为()2120x -+≥，所以命题p 为真命题，命题:q 若22a b <，则a b <，当1a =，4b =-时不等式不成立，所以命题q 为假命题，由复合命题真假判断可知p q ∨为真命题；()p q ∨⌝为真命题；p q ⌝∨为假命题；()p q ⌝∨⌝为真命题，综上可知，C 为假命题，故选C ．3．【答案】C【解析】因为3na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中各项的二项式系数之和为32，则232n =，解得5n =， 所以二项式为53a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 因为53a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式各项系数和为243，令1x =，代入可得()5512433a ==+，解得2a =， 所以二项式为532x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则该二项式展开式的通项为()531541552C 2C rrr r r r r T x xx --+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭， 所以当展开式为7x 时，即1547r x x -=，解得2r =，则展开式的系数为2252C 41040⋅=⨯=，故选C ．4．【答案】B【解析】由题意可知此人行走的里程数为等比数列，设第一天行走的路程为m ，且等比数列的公比为12q =， 则由等比数列的前n 项和公式()111n n a q S q -=-，代入可得6112378112m ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-，解得192m =， 根据等比数列的通项公式11n n a a q -=代入可得231192482a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，故选B ． 5．【答案】B 【解析】因为sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，则2sin sin sin B A C =⋅， 由正弦定理sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c B R =，代入可得2b ac =， 又因为2c a =，代入余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 代入化简可得2223cos 24b a c B ac +-==， 因为0πB <<，所以sin 0B >，而由同角三角函数关系式，可知sin 4B ===， 故选B ． 6．【答案】C 【解析】根据程序框图可知，1n =，0S =， 则11021S -=+=，2n =；21123S -=+=，3n =； 31327S -=+=，4n =；417215S -=+=，5n =； 5115231S -=+=，6n =， 此时应输出6n =，需31p <不成立， 因而整数p 的最大值为31，故选C ． 7．【答案】A 【解析】由表可知1234 2.54x +++==，0.1 1.84 5.944m m y ++++==， 根据回归方程的性质可知，线性回归方程会经过样本的平均数点，第3页（共12页）第4页（共12页） y 关于x 的线性回归方程为$1.31y x =-，则满足5.9 1.3 2.514m +=⨯-，解方程求得 3.1m =， 故选A ． 8．【答案】D 【解析】由222213xy a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消y 可得22222(3)a b x a b +=，解得223abx a b =±+，分别代入2233ab y a b =±+，22223,33ab ab A a b a b ⎛⎫∴ ⎪ ⎪++⎝⎭，22223,33ab ab B a b a b ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭，22223,33ab ab AF c a b a b ⎛⎫∴=--- ⎪ ⎪++⎝⎭u u u r ，22223,33ab ab BF c a b a b ⎛⎫=-+⎪ ⎪++⎝⎭u u u r ，AF BF ⊥Q ，2222222223033a b a b AF BF c a b a b ∴⋅=--=++u u u r u u u r ，2222243a b c a b ∴=+，(*)把222b a c =-代入(*)式并整理得22422244()a c c a a c -=-，两边同除以4a 并整理得42840e e -+=，解得2423e =-，31e ∴=-，故选D ． 9．【答案】D【解析】根据题意，由AD AB ⊥可建立如下图所示的平面直角坐标系：过C 作CE AD ⊥交x 轴于E ，设AB a =，因为3DC BD =u u u r u u u r ，2AD =u u u r ，则由BAD CED :△△，所以3CE a =，6DE =，所以()8,3C a -，所以()8,3AC a =-u u u r ，()2,0AD =u u u r ，则()()8,32,016AC AD a ⋅=-⋅=u u u r u u u r ，故选D ．10．【答案】D 【解析】每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量X ，且()23000,50X N :， 根据3σ原则可知，30001003000100X -<≤+，则()0.9544P X =， 由正态分布的对称性可知()0.9544300031000.47722P X <≤==， 则()31000.47720.50.9772P X ≤=+=，故选D ． 11．【答案】A 【解析】当两根电线杆的高度相等时， 因为在水平地面上视它们上端仰角相等，所以由垂直平分线的定义可知， 点P 的轨迹为两根电线底部连线的垂直平分线，即轨迹为一条直线， 当两根电线的高度不同时，如下图所示： 在地面上以B 为原点，以BD 所在直线为y 轴， 设AB n =，(),CD m n m =>，BD a =，()0,D a =，(),P x y ， 由题意可知，APB CPD ∠=∠，即tan tan APB CPD ∠=∠， 所以满足n m PB PD =，即n PD m PB ⨯=⨯， 由两点间距离公式，代入可得()2222n x y a m x y +-=+ 化简可得()()22222222220n m x n m y an y n a -+--+=，()n m >， 即22222222220an n a x y y n m n m +-+=--， 二次项的系数相同，且满足()222222222222222224440an n a a n m D E F n m n m n m ⎛⎫+-=--⨯=> ⎪ ⎪--⎝⎭-， 所以此时动点P 的轨迹为圆， 综上可知，点P 的轨迹可能是直线，也可能是圆．故选A ． 12．【答案】B第5页（共12页）第6页（共12页） 【解析】因为()f x 与()g x 互为“1距零点函数”，且当()()2020log 10f x x =-=时，2x =， 设()20x g x x ae =-=的解为0x ， 由定义n αβ-<可知，021x -<，解得013x <<，而当()20x g x x ae =-=时，02x x a e =，令()()020001,3,x x h x x e =∈，则()()02000021,3,x x x h x x e -'=∈，令()00h x '=，解得02x =或00x =（舍），所以当012x <<时，()00h x '>，()0200x xh x e =单调递增且()11he =，当023x <<时，()00h x '<，()020x x h x e =单调递减且()393h e =，所以()()02max 42h x h e ==，即()0214,h x e e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则214,a e e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】52【解析】将定积分根据积分区间及绝对值函数， 写成分段函数形式为()()3130011d 1d 1d x x x x x x -=-+-⎰⎰⎰， 根据微积分基本定理可得()()3130011d 1d 1d x x x x x x -=-+-⎰⎰⎰21230212111133112211222x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯--⨯- ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎦221115133112222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故答案为52． 14．【答案】π3 【解析】因为函数cos y x =与()sin 2y x ϕ=+有一个交点的横坐标为6π， 则ππcos sin 266ϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，即πsin 32ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 由正弦函数的图像与性质可知ππ2π33k ϕ+=+或π2π2π,33k k ϕ+=+∈Z ， 因为π02ϕ<<，所以当0k =时，代入可求得2πππ333ϕ=-=，故答案为π3． 15．【答案】70 【解析】由题意可知，平面内任意两点连线可形成直线，而两条直线有一个交点， 即平面内4个点的连线有1个交点，所以交点个数为48C 70=，故答案为70． 16．【解析】由题意知222sin sin sin 1αβγ++=， 则2222sin sin 1sin cos αβγγ+=-=， 2222sin sin 1sin cos αγββ+=-=， 2222sin sin 1sin cos βγαα+=-=， 因为π,,0,2αβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则222sin sin sin sin αβαβ⋅≤+， 不等式两边同时加22sin sin αβ+，可得()()222sin sin 2sin sin αβαβ+≤+， 开平方可得sin sin αβγ+≤=，同理sin sin βγα+≤=，sin sin γαβ+≤=，相加可得2sin 2sin 2sin αβγαβγ++≤，第7页（共12页）第8页（共12页） 化简得cos cos cos 2sin sin sin αβγαβγ++≥++，故答案为2．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）2π；（2）22ππ4π4++．【解析】（1）曲线Γ的长度为矩形的对角线长度．其中矩形的宽为圆柱的高，长为底面的半圆长， 其中πAD =，底面的半圆长为1π21π2⨯⨯⨯=，∴Γ的长为2π．（2）当π2θ=时，建立如图所示的空间直角坐标系：则有()0,1,0A -、()0,1,0B 、1,0,2πP ⎛⎫- ⎪⎝⎭、()11,0,πC -，所以()0,2,0AB =u u u r 、1,1,π2AP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r 、()11,0,πOC =-u u u u r．设平面APB 的法向量为(),,x y z =n ，则00AB AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n ，代入可得π202y x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，令2z =，得()π,0,2=n ，所以点1C 到平面APB 的距离为2122πππ4π4π4OC d ⋅+===++uu u u rn n ．18．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，1λ=，详见解析．【解析】（1）11n n n a S S ++=-Q ，2211n n n S a S λ++=-，()2211n n n n S S S S λ++∴=--，()1120n n n S S S λ++∴--=，0n a >Q ，10n S +∴>，120n n S S λ+∴--=，12n n S S λ+∴=+． （2）12n n S S λ+=+Q ，()122n n S S n λ-=+≥， 相减得()122n n a a n +=≥，{}n a ∴从第二项起成等比数列， 212S S λ=+Q ，即2112a a a λ+=+，210a λ∴=+>，得1λ>-， ()1,112,2n n a n λ=⎧⎪∴=⎨+≥⎪⎩， 若使{}n a 是等比数列，则2132a a a =， ()()2211λλ∴+=+，1λ∴=-（舍）或1λ=经检验得符合题意． 19．【答案】（1）4-；（2）3239． 【解析】（1）由抛物线过点，得， 设直线PA 的斜率为，直线PB 的斜率为， 由PA 、PB 倾斜角互补可知PA PB k k =-，即12122211y y x x --=---， 将，代入得． （2）设直线AB 的斜率为，由， 得， 由（1）得，将其代入上式得． 因此，设直线AB 的方程为，由，消去y 得， 由，得，这时，， 2121211()4421AB x x x x b =++-=+第9页（共12页） 第10页（共12页）又点P 到直线AB 的距离为， 所以23114212(1)(3)222ABP b S AB d b b b -=⋅=⋅+⋅=+-△，令，则由，令，得或．当时，，所以单调递增；当时，，所以单调递减，故的最大值为，故面积的最大值为1323239f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（附：， 当且仅当时取等号，此求解方法亦得分）20．【答案】（1）能，具体见解析；（2）分布列见解析，145E ξ=．【解析】（1）根据所给条件，制作列联表如下：男生 女生 总计喜欢阅读古典文学 64 36 100不喜欢阅读古典文学 56 44 100总计 120 80 200所以2K 的观测值22()200(64445636)4()()()()120801001003n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===++++⨯⨯⨯，因为2K 的观测值41.3233k =>，由所给临界值表可知，能够在犯错误的概率不超过0．25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关．（2）设参加交流会的5人中喜欢古典文学的男生代表m 人，女生代表n 人，则m n ξ=+，根据已知条件可得1,2,3,4,5ξ=，1223223254C C C 1(1)(1,0)C C 20P P m n ξ=====⋅=； 1212112322322232324455C C C C C C C 3(2)(1,1)(2,0)C C C C 10P P m n P m n ξ====+===⋅+⋅=； (3)(1,2)(2,1)(3,0)P P m n P m n P m n ξ====+==+== 12210321123232232223232323445425C C C C C C C C C C 7C C C C C C 15=⋅+⋅+⋅=； 2103211322322232344525C C C C C C C 1(4)(2,2)(3,1)C C C C 6P P m n P m n ξ====+===⋅+⋅=； 0322323245C C C 1(5)(3,2)C C 60P P m n ξ=====⋅=， 所以ξ的分布列是： ξ 1 2 3 4 5 p 120 310 715 16 160 所以1123452010156605E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 21．【答案】（1）[1,)-+∞；（2）证明见解析． 【解析】（1）由()0f x ≥，得ln 10x x ax ++≥(0)x >， 整理得1ln a x x -≤+恒成立，即min 1ln a x x ⎛⎫-≤+ ⎪⎝⎭． 令()1ln F x x x =+，则()22111x F x x x x -'=-=， ∴函数()F x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，∴函数()1ln F x x x =+的最小值为()11F =，∴1a -≤，即1a ≥-，∴a 的取值范围是[)1,-+∞． （2）∵24n n +为数列()()112n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭的前n 项和，1n n +为数列()11n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和． ∴只需证明()()211ln 12n n n n +<++()11n n <+即可．第11页（共12页） 第12页（共12页） 由（1），当1a =-时，有ln 10x x x -+≥，即1ln 1x x ≥-， 令11n x n +=>，即得1ln 11n n n n +>-+11n =+， ∴()()2211111ln 11212n n n n n n n +⎛⎫>>=- ⎪+++++⎝⎭， 现证明()211ln 1n n n n +<+，即<==．()* 现证明12ln (1)x x x x <->，构造函数()()12ln 1G x x x x x =--≥，则()222122110x x G x x x x -+'=+-=≥．∴函数()G x 在[)1,-+∞上是增函数，即()()10G x G ≥=． ∴当1x >时，有()0G x >，即12ln x x x <-成立．令x =，则()*式成立．综上，得()()211ln 12n n n n +<++()11n n <+．对数列()()112n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭，21ln n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭，()11n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭分别求前n 项和， 得223ln 2ln 242nn <++21ln 1n nn n ++⋅⋅⋅+<+．22．【答案】（1）2；（2）23．【解析】（1）直线l 的普通方程为20x y +-=，曲线C 的普通方程为2214y x -=， 曲线C 为双曲线，其右顶点为()1,0，利用点到直线距离公式可知2d ==．（2）将直线l的标准参数方程改为121x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2214y x -=，化简可得2320t --=，设一元二次方程的两根为1t ，2t ，故1223PA PB t t ⋅==． 23．【答案】（1）证明见解析；（2）23． 【解析】（1）由三元基本不等式知112b a c b a b c a b c b a b c b +++=++-≥=++， 当且仅当b a b c a b c b +==+时取等号． （2）由三元柯西不等式知()()()2222222a b c x y z ax by cz ++++≥++， 结合方程组可知不等式当a b c x y z ==时取等号， 所以设(0)a b c k k x y z ===>，即a kx =，b ky =，c kz =， 所以()2222222a b c k x y z ++=++，即249k =，解得23k =， 从而23a b c k x y z ++==++．。