高考数学模拟复习试卷试题模拟卷2334 3

2024年高考数学模拟试题与答案解析一、选择题1.设集合A={x|x=2k,k∈Z}，B={x|x=3k,k∈Z}，则A∩B={()}A.{x|x=6k,k∈Z}B.{x|x=2k,k∈Z}C.{x|x=3k,k∈Z}D.{x|x=k,k∈Z}【答案】B解析：集合A包含所有2的倍数，集合B包含所有3的倍数。

A ∩B表示同时属于A和B的元素，即同时是2和3的倍数的数，也就是6的倍数。

所以A∩B={x|x=6k,k∈Z}，故选B。

2.若函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=2，则c的值为()A.4B.3C.2D.1【答案】A解析：函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=-b/2a，即x=2。

根据对称轴的公式，得到-(-4)/(21)=2，解得c=4。

故选A。

3.已知等差数列的前n项和为Sn=n(a1+an)/2，若S3=18，S6-S3=24，则a4的值为()A.6B.8C.10D.12【答案】B解析：根据等差数列的前n项和公式，得到S3=3(a1+a3)/2=18，即a1+a3=12。

又因为S6-S3=24，得到a4+a5+a6=24。

由等差数列的性质，a3+a6=a4+a5。

将a3+a6替换为a4+a5，得到3a4+3a5=48，即a4+a5=16。

解方程组a1+a3=12和a4+a5=16，得到a4=8。

故选B。

二、填空题4.若|x-2|≤3，则|x+1|的取值范围是______【答案】-2≤x≤5解析：由|x-2|≤3，得到-3≤x-2≤3，即-1≤x≤5。

再由|x+1|的图像可知，当-3≤x≤5时，|x+1|的取值范围是-2≤x≤5。

5.已知函数f(x)=2x²-3x+1，求f(1/2)的值。

【答案】3/4解析：将x=1/2代入函数f(x)，得到f(1/2)=2(1/2)²-3(1/2)+1=2/4-3/2+1=3/4。

三、解答题6.（1）求证：对任意正整数n，都有n²+2n+1≥n+2。

高三数学模拟试题含答案第一题：计算题已知 a = 3，b = 5，c = 7，d = 9，请计算以下表达式的值，并给出计算过程。

1) x = a + b × c - d2) y = (a + b) × c - d3) z = a + (b × c - d)解答：1) x = 3 + 5 × 7 - 9 = 3 + 35 - 9 = 292) y = (3 + 5) × 7 - 9 = 8 × 7 - 9 = 56 - 9 = 473) z = 3 + (5 × 7 - 9) = 3 + (35 - 9) = 3 + 26 = 29第二题：选择题在下面的选项中，选择一个正确答案。

1) 二次函数 y = ax^2 + bx + c 的图像开口方向与参数 a 的关系是：A. a > 0，开口向上B. a > 0，开口向下C. a < 0，开口向上D. a < 0，开口向下解答：B. a > 0，开口向下第三题：解方程请求解以下方程，并给出解的步骤。

1) 2x - 5 = 3x + 12) x^2 - 4x + 3 = 0解答：1) 2x - 5 = 3x + 1移项得：2x - 3x = 1 + 5化简得：-x = 6解得：x = -62) x^2 - 4x + 3 = 0因为该方程无法直接分解成两个一次因式相乘的形式，因此使用求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a代入 a = 1，b = -4，c = 3，得：x = (-(-4) ± √((-4)^2 - 4 × 1 × 3)) / 2 × 1化简得：x = (4 ± √(16 - 12)) / 2计算得：x = (4 ± √4) / 2化简得：x = (4 ± 2) / 2分解得：x1 = (4 + 2) / 2 = 3x2 = (4 - 2) / 2 = 1因此方程的解为 x1 = 3，x2 = 1第四题：证明请证明勾股定理，即直角三角形中，直角边平方和等于斜边平方。

2023-2024学年上海市高考数学模拟试题（三模）一、填空题1．已知集合{}{}1,1,1,3,5A xx B =≤=-∣，则A B = __________.【正确答案】{}1,1-【分析】化简A ，根据交集运算得解.【详解】因为{}{}1[1,1],1,1,3,5A xx B =≤=-=-∣，所以{}1,1A B ⋂=-，故答案为.{}1,1-2．复数12i 3iz -=+的模为__________．【正确答案】2【分析】由复数的四则运算以及模长公式计算即可.【详解】()()()()12i 3i 12i 17i ,3i 3i 3i 102z z ----===∴=++-．故23．不等式301x x +≥-的解集为__________.【正确答案】(](),31,∞∞--⋃+【分析】将分式不等式等价转化为二次不等式组，求解即得.【详解】原不等式等价于()()31010x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩，解得3x ≤-或1x >,故答案为.(](),31,∞∞--⋃+4．已知幂函数()y f x =的图象过点1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()2f -=________【正确答案】18-【分析】设幂函数()f x x α=，将1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，求得3α=-，进而可得结果.【详解】设幂函数()f x x α=，因为幂函数()y f x =的图象过点1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以311822α-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得3α=-，所以()()()331,22,8f x x f --=-=-=-故答案为18-.本题主要考查幂函数的解析式，属于基础题.5．已知函数()2sin2f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期是__________．【正确答案】π【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，进而可得函数的最小正周期.【详解】()2sin2sin22sin 23f x x x x x x π⎛⎫=+==+ ⎪⎝⎭，故22T ππ==，故π．6．方程42log 17x x +=的解为_________．【正确答案】4x =【分析】设函数()42log x f x x =+，()0,x ∈+∞，由函数的单调性，结合特殊值，即可求得方程42log 17x x +=的解.【详解】设函数()42log x f x x =+，()0,x ∈+∞，由于函数42,log x y y x ==在()0,x ∈+∞上均为增函数，又()4442log 416117f =+=+=，故方程42log 17x x +=的解为4x =.故答案为.4x =7．81(x的展开式中含x 项的系数为______.【正确答案】28【分析】化简二项式定理展开式通项()()38218C 1k k k T x -+=⋅-⋅，求出k 值，代入即可.【详解】设展开式中第1k +项含x 项，则(()()83821881C C 1k k k k k k k T x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令3812k -=，解得6k =，代入得，()6678C 128T x x=⋅-⋅=故28.8．某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：党史学习时间（小时）7891011党员人数610987则该单位党员一周学习党史时间的第40百分位数是___．【正确答案】8.5/172【分析】根据百分位数的定义即可求出结果.【详解】党员人数一共有61098740++++=，4040%16⨯=，那么第40百分位数是第16和17个数的平均数，第16和17个数分别为8，9，所以第40百分位数是898.52+=，故8.59．若存在实数a，使得1x =是方程2()3x a x b +=+的解，但不是方程x a +则实数b 的取值范围是__________.【正确答案】()3,-+∞【分析】根据1x =是2()3x a x b +=+的解，不是x a +.【详解】由题意知，2(1)3a b +=+，且1a +≠()1a =-+，显然30b +≥，即3b ≥-，若3b =-，此时显然不满足题意，故()3,b ∞∈-+.故()3,-+∞10．随机变量()2N 105,19X，()2N 100,9Y ，若()()P X A P Y A ≤=≤，那么实数A 的值为__________.【正确答案】95.5【分析】由正态分布性质可得()105N 0,119X -，()100N 0,19Y -，由此可利用对称性构造方程求得结果.【详解】()2N 105,19X ，()2N 100,9Y ，()105N 0,119X -∴，()100N 0,19Y -，()()P X A P Y A ≤=≤ ，105100199A A --∴=，解得.95.5A =故答案为.95.511．已知曲线1C ：2y x =+与曲线2C ：22()4x a y -+=恰有两个公共点，则实数a 的取值范围为__________.【正确答案】(){}4,02-⋃【分析】根据2y x =+与22()4x a y -+=的位置关系分析可得.【详解】如图：2y x =+与x 轴焦点为()2,0A -，当点A 在圆2C 外，则2y x =+表示的两条射线与圆相切与2C 相切时恰有两个公共点，联立22()4x a y -+=得()222420x a x a +-+=，由()2242420a a ∆=--⨯⨯=，得2a =-±因2y x =+，所以2x ≥-，故2a =-+当点A 在圆2C 上，如图，此时2y x =+与22()4x a y -+=有3个或1个交点不符合题意，当点A 在圆2C 内，如图，此时2y x =+与22()4x a y -+=有2个交点符合题意，此时，22(2)04a --+<，得40a -<<综上a 的取值范围为.(){}4,0222-⋃-故答案为.(){}4,0222-⋃12．函数()y f x =是最小正周期为4的偶函数，且在[]2,0x ∈-时，()21f x x =+，若存在12,,,n x x x ⋯满足120n x x x ≤<<< ，且()()()()()()122312023n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=，则n n x +最小值为__________.【正确答案】1518.5【分析】根据题意，先求出函数一个周期的值域，要使n n x +取得最小值，尽可能多让()1,2,3,,i x i m = 取得最高点，且()()01,23f f ==-，再利用函数的周期性求解.【详解】解： 函数()y f x =是最小正周期为4的偶函数，且在[]2,0x ∈-时，()21,f x x =+∴函数的值域为[]3,1-，对任意(),,1,2,3,,i j x x i j m = ，都有()()min ()()4i j max f x f x f x f x -≤-=，要使n n x +取得最小值，尽可能多让()1,2,3,,i x i m = 取得最高点，且()()01,23f f ==-，()()()()()()12122310,2023n nn x x x f x f x f x f x f x f x -≤<<<-+-++-= ，n ∴的最小值估计值为20231506.754+=，故n 的最小值取507，相应的n x 最小值为1011.5，则n n x +的最小值为1518.5.故1518.5二、单选题13．设R λ∈，则“1λ=”是“直线()311x y λ+-=与直线()12x y λλ+-=平行”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据直线一般式中平行满足的关系即可求解.【详解】若直线()311x y λ+-=与直线()12x y λλ+-=平行，则()()3110λλλ---=，解得1λ=或3λ=-，经检验1λ=或3λ=-时两直线平行．故“1λ=”能得到“直线()311x y λ+-=与直线()12x y λλ+-=平行”，但是“直线()311x y λ+-=与直线()12x y λλ+-=平行”不能得到“1λ=”故选：A14．函数y ()y ()f x f x ==，的导函数的图象如图所示，则函数y ()f x =的图象可能是A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【详解】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数'()f x 的正负，得出原函数()f x 的单调区间．15．已知函数()21f x ax x a =+++为偶函数，则不等式()0f x >的解集为（）A ．∅B ．()()1,00,1-UC ．()1,1-D ．()(),11,-∞-⋃+∞【正确答案】B 【分析】先求得参数a 的值，再去求不等式()0f x >的解集【详解】因为()f x 为偶函数，所以()()11f f -=，即2a a a a++=+解之得1a =-，经检验符合题意.则()2f x x x=-+由20x x -+>，可得()()1,00,1x ∈-U 故()20f x x x =-+>的解集为()()1,00,1-U ，故选：B.16．已知*n ∈N ，集合πsin N,0k A k k n n ⎧⎫⎛⎫=∈≤≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∣，若集合A 恰有8个子集，则n 的可能值有几个（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】B【分析】根据子集个数可得集合元素个数，再由正弦函数性质即可确定n 的取值.【详解】由题意易知，π2ππsin0,sin ,sin ,,sin n n n n ，均是集合A 中的元素，又集合A 恰有8个子集，故集合A 只有三个元素，有πsin0sin sin πn n==，则结合诱导公式易知，n 可取的值是4或5.故选：B三、解答题17．已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，111a b ==，5435()a a a =-，5434()b b b =-．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：22*1()n n n S S S n N ++∈<；【正确答案】(1)n a n =，12n n b -=；(2)证明见解析【分析】（1）由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；（2）利用（1）的结论首先求得数列{}n a 的前n 项和，然后利用作差法证明即可.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，11a =，5435()a a a =-得，145=+a d d ，故1d =，于是1(1)n a n n =+-=；由11b =，5434()b b b =-得，4324()q q q =-，又等比数列公比0q ≠，得到2244(2)0q q q -+=-=，故2q =，于是12n n b -=.（2）由（1）得，(1)2n n n S +=，故2(1)(2)(3)4n n n n n n S S ++++=，2221(1)(2)4n n n S +++=，作差可得[]221(1)(2)(1)(2)(3)(1)(2)042n n n n n n n n n n n S S S ++++++=+-++--=<，即221n n n S S S ++<得证.18．如图，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，,90,222AB CD ADC PD CD AD AB ∠===== ∥.(1)求异面直线AB 与PC 所成角的大小；(2)求二面角B PC D --的余弦值.【正确答案】(1)π433【分析】（1）根据AB DC 可得异面直线所成的角，利用直角三角形求解即可；（2）以点D 为坐标原点，建立坐标系，再由向量法得出二面角B PC D --的余弦值.【详解】（1）由AB CD ，则异面直线AB 与PC 所成角即为PCD ∠，由题意知，PD ⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD ，故PD CD ⊥，所以tan 1PD PCD CD ∠==，即π4PCD ∠=，即异面直线AB 与PC 所成角为4π.（2）因为PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥，又PD DC ⊥，AD DC ⊥，所以以D 为原点，,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系：则()()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,2,0,0,0,2D A B C P ，则()()()()0,2,2,1,1,0,0,0,2,1,0,2PC BC DP PA =-=-==- ，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =r ，则2200n PC y z n BC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取1x =，得1,1y z ==，得()1,1,1n = ，取平面PDC 的法向量为()1,0,0DA = ，设二面角B PC D --的大小为θ，由图形知，θ为锐角，所以cos n DA n DAθ⋅== ，所以二面角B PC D --19．流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病.了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究.经过2分钟菌落的覆盖面积为248mm ，经过3分钟覆盖面积为264mm ，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积y （单位：2mm ）与经过时间x （单位：min ）的关系现有三个函数模型：①x y ka =0k >1a >，②log b y x =（1b >），③y q =（0p >）可供选择.（参考数据：lg20.301≈，lg30.477≈）(1)选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式；(2)在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过2300mm ？（结果保留到整数）【正确答案】(1)答案见解析；(2)至少经过9min 培养基中菌落的覆盖面积能超过2300mm .【分析】（1）根据题意，分析三个函数模型的增长速度快慢，选择x y ka =，并求出解析式；（2）根据题意，4273003x⎛⎫⨯> ⎪⎝⎭，求出x 的取值范围，进而得出结果.【详解】（1）因为x y ka =0k >1a >的增长速度越来越快，log b y x =（1b >）和y q =（0p >）的增长速度越来越慢，所以应选函数模型x y ka =0k >1a >.由题意得234864ka ka ⎧=⎨=⎩，解得4327a k ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以该函数模型为4273xy ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（0x ≥）；（2）由题意得4273003x ⎛⎫⨯> ⎪⎝⎭，即410039x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以43100log 9x >，又341001g100221g3220.4779log 8.3684921g2lg320.3010.4771g 3--⨯==≈≈-⨯-.所以至少经过9min 培养基中菌落的覆盖面积能超过2300mm .20．在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆22:143x y E +=的左､右焦点分别为1F ，2F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，直线1AF 与椭圆E 相交于另一点B.（1）求12AF F ∆的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与直线4x =相交于点Q ，求OP QP ⋅ 的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB 与MAB △的面积分别是1S ，2S ，若213S S =，求点M 的坐标.【正确答案】（1）6；（2）4-；（3）()2,0或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【分析】（1）由椭圆方程的性质可求12AF F ∆的周长；（2）设(),0P t ，求出直线AP 方程，解出Q 点坐标，计算OP QP ⋅ ，利用二次函数求出最下值；（3）由题意可知：M 到直线AB 距离2d 是O 到直线AB 距离1d 的3倍，求出2d 的值，则点M 的坐标为与直线AB 平行的直线和椭圆的交点，求出直线方程与椭圆联立可解出点M .【详解】解：（1）由椭圆方程可知.2,1a c ==所以12AF F △的周长为1212226AF AF F F a c =++=+；（2）由椭圆方程得31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(),0P t ，则直线AP 方程为()321y x t t=--，又4x =，所以直线AP 与4x =的交点为344,21t Q t -⎛⎫⋅ ⎪-⎝⎭，()22,0344,214(2)44t t t OP QP t t t t -⎛⎫--⋅= ⎪-⎝⎭⋅=⋅-=--≥- ，当2t =时，()min 4OP QP ⋅=- （3）若213S S =，设O 到直线AB 距离1d ，M 到直线AB 距离2d ，则2111322AB d AB d ⨯⨯=⨯⨯⨯，即213d d =，31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1(1,0)F -，可得直线AB 方程为()314y x =+，所以135d =，295d =.由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点，设平行于AB 的直线l 为340x y m -+=，与直线AB 的距离为95，求得6m =-或12，当6m =-时，直线l 为3460x y --=，联立方程：223460143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得27120y y +=，解得()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当12m =时，直线l 为34120x y -+=，联立方程：2234120143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：2724270y y ++=，∆<0此时方程无解.综上所述，M 点坐标为()2,0或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭.21．记()(),f x g x ''分别为函数()(),f x g x 的导函数.若存在，满足()()00f x g x =且()()00f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“兰亭点”.(1)证明：函数()f x x =与()222g x x x =+-不存在“兰亭点”；(2)若函数()21f x ax =-与()ln g x x =存在“兰亭点”，求实数a 的值；(3)已知函数()()2e ,x bf x x ag x x =-+=.对存在实数0a >，使函数()f x 与()g x 在区间()0,∞+内存在“兰亭点”，求实数b 的取值范围.【正确答案】(1)证明见解析(2)e2(3)()327,00,e ∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题中“兰亭点”的定义列两个方程，根据方程组无解证得结论；（2）同（1）根据“兰亭点”的定义列两个方程，解方程组可得a 的值；（3）通过构造函数以及结合“兰亭点”的定义列两个方程，再由方程组有解即可求得结果.【详解】（1）函数()()2,22f x x g x x x ==+-，则()()1,22f x g x x '='=+.由()()f x g x =且()()f x g x ⅱ=，得222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解，因此，()f x 与()g x 不存在“兰亭点”.（2）函数()()21,ln f x ax g x x =-=，则()()12,f x ax g x x''==.设0x 为()f x 与()g x 的“兰亭点”，由()0f x =()0g x 且()0f x '=()0g x '，得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎨=⎩，（*）得01ln 2x =-，即120e x -=，则2121e 22e a -==⎛⎫ ⎪⎝⎭.当e 2a =时，120e x -=满足方程组（*），即0x 为()f x 与()g x 的“兰亭点”.因此，a 的值为e 2.（3）()()()()2e 12,0x b x f x x g x x x -=-='≠'，函数()y f x =与()y g x =在区间()0,∞+内存在“兰亭点”，记为x t =，所以()22e e 12tt b t a t b t t t ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，解得()3233121e t t t a t t b t ⎧-=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩，由于0a >，解得01t <<或3t >，而()321e t t b t =-，所以()()2222330(1)1et t t t b t t '-+=>≠-，所以函数()321e t t b t =-在(0,1),(3,)∞+上为增函数，因为0=t 时0b =，1t →时，b →+∞，3t =时，327e b =-，t →+∞时，0b →，所以01t <<时，()0,b ∈+∞；3t >时，327,0e b ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.综上，实数b 的取值范围是()327,00,e ∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭.方法点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.。

2024年高考数学仿真模拟卷(三)（新高考专用）(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2023·北京模拟)已知集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}，则A ∪B=( ) A ．{x |－1≤x ≤1} B ．{x |0<x ≤1} C ．{x |0<x ≤2}D ．{x |－1≤x ≤2}2．(2023·宁波模拟)设i 为虚数单位，若复数z 满足z i ＝3－i1－i ，则z 的虚部为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．23．(2023·青岛模拟)若{a n }为等比数列，则“a 1<a 3<a 5”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．(2023·杭州模拟)已知平面向量a ＝(1,3)，|b |＝2，且|a －b |＝10，则(2a ＋b )·(a －b )等于( )A ．1B ．14 C.14 D.105．(2023·长春模拟)安排包括甲、乙在内的4名大学生去3所不同的学校支教，每名大学生只去一个学校，每个学校至少去1名，甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有( )A ．36种B ．30种C ．24种D ．12种 6．(2023·潮州模拟)过圆x 2＋y 2＝4上一点P 作圆O ：x 2＋y 2＝m 2(m >0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若∠APB ＝π3，则实数m 等于( )A.13B.12C ．1D ．2 7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 为其左焦点，直线y ＝kx (k >0)与椭圆C交于点A ，B ，且AF ⊥AB .若∠ABF ＝30°，则椭圆C 的离心率为( ) A.73 B.63 C.76 D.668．(2023·滨州模拟)设a ＝sin 14，b 4e －1，c ＝ln 54，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．b >c >aD ．c >b >a二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分)9．(2023·岳阳模拟)2022年11月28日，平江－益阳高速公路通车运营，湖南省交通运输厅统计了平益高速2023年1月22日至1月28日的高速公路车流量(单位：万车次)，并与2022年12月22日至12月28日比较，得到同比增长率-=⎛⎫ ⎪⎝⎭该月车流量上月同期车流量同比增长率上月同期车流量数据，绘制了如下统计图，则下列结论正确的是( )A ．2023年1月22日至1月28日的高速公路车流量的极差为25B ．2023年1月22日至1月28日的高速公路车流量的中位数为18C ．2023年1月22日至1月28日的高速公路车流量比2022年12月22日至12月28日高速公路车流量大的有4天D ．2022年12月25日的高速公路车流量小于20万车次10．(2023·襄阳模拟)A ，B 为随机事件，已知P (A )＝0.5，P (B )＝0.3，下列结论中正确的是( )A ．若A ，B 为互斥事件，则P (A ＋B )＝0.8 B ．若A ，B 为互斥事件，则P (A ＋B )＝0.8C ．若A ，B 是相互独立事件，P (A ＋B )＝0.65D ．若P (B |A )＝0.5，则P (B |A )＝0.111．(2023·厦门模拟)已知函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，g (x )为奇函数，且f (x )＋g (x )＝2，f (x )＋g (x －2)＝2，则( ) A ．f (0)＝0 B ．g (1)＝0 C.()1ni f i =∑＝0D.()1ni g i =∑＝012．(2023·黄山模拟)在棱长为2的正四面体ABCD 中，过点C 且与BD 平行的平面α分别与棱AB ，AD 交于点E ，F ，点Q 为线段CD 上的动点，则下列结论正确的是( ) A ．AC ⊥EFB ．当E ，Q 分别为线段AB ，CD 中点时，CF 与EQ 所成角的余弦值为66C ．线段EQ 的最小值为3D ．空间四边形BCFE 的周长的最小值为4＋3 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2023·淮北模拟)6x x ⎛⎝的展开式的常数项是________________．(用数字作答)14．(2023·哈尔滨模拟)在正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，上、下底面边长分别为32，42，该正四棱台的外接球的表面积为100π，则该正四棱台的高为________．15．(2023·淄博模拟)已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω>0)的零点是以π2为公差的等差数列．若f (x )在区间[0，m ]上单调递增，则m 的最大值为________． 16．(2023·蚌埠模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，点M在l 上，点A ，B 在C 上，若A ，B ，F 三点共线，且MF ⊥AB ，△MF A 的外接圆交l 于点M ，P ，△MFB 的外接圆交l 于点M ，Q ，则|MP |·|MQ ||AF |·|BF |＝________.四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2023·烟台模拟)已知△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，b cos C ＋3c sin B ＝a ＋c . (1)求角B 的大小；(2)若△ABC 为钝角三角形，且a －c ＝2，求△ABC 外接圆半径的取值范围．18．(12分)(2023·淄博模拟)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，过A 1，C 1，B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD －A 1C 1D1，且这个几何体的体积为10.(1)求棱A 1A 的长；(2)求平面A 1BC 1和平面BC 1D 夹角的余弦值．19．(12分)(2023·厦门模拟)移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．下图是2018－2022年移动物联网连接数W (单位：亿户)与年份代码t 的散点图，其中年份2018－2022对应的t 分别为1～5.(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数(精确到0.01)，并推断它们的相关程度；(2)①假设变量x 与变量Y 的n 对观测数据为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，两个变量满足一元线性回归模型⎩⎪⎨⎪⎧Y ＝bx ＋e ，E (e )＝0，D (e )＝σ2(随机误差e i ＝y i －bx i )．请推导：当随机误差平方和Q ＝21nii e=∑取得最小值时，参数b 的最小二乘估计；②令变量x ＝t －t ，y ＝w －w ，则变量x 与变量Y 满足一元线性回归模型⎩⎪⎨⎪⎧Y ＝bx ＋e ，E (e )＝0，D (e )＝σ2，利用①中结论求y 关于x 的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．附：样本相关系数()()()()12211niii n niii i t t w w r t t w w ===--=--∑∑∑，()521ii w w =-∑＝76.9，()()51ii i tt w w =--∑＝27.2，51i i w =∑＝60.8，769≈27.7.20．(12分)(2023·邵阳模拟)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 3＝5，S 9＝81，数列{b n }满足a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n b n ＝(n －1)·3n ＋1＋3. (1)求数列{a n }与数列{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，1a n a n ＋2，n 为偶数，求{c n }前2n 项和T 2n .21．(12分)(2023·广州模拟)已知圆F 1：x 2＋y 2＋4x ＝0，圆F 2：x 2＋y 2－4x －12＝0，一动圆与圆F 1和圆F 2同时内切． (1)求动圆圆心M 的轨迹方程；(2)设点M 的轨迹为曲线C ，两条互相垂直的直线l 1，l 2相交于点F 2，l 1交曲线C 于M ，N 两点，l 2交圆F 1于P ，Q 两点，求△PQM 与△PQN 的面积之和的取值范围．22．(12分)(2023·盐城模拟)已知函数f (x )＝e x －e a (a ＋ln x )． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调递增区间； (2)若f(x )≥0恒成立，求a 的取值范围．。

2023年全国高考数学模拟试卷一、单选题1．设全集U={1 2 3 4 5 6 7 8} 集合S={1 3 5} T={3 6} 则∁U （S∁T ）等于（ ） A ．∁B ．{2 4 7 8}C ．{1 3 5 6}D ．{2 4 6 8}2．在四边形ABCD 中＝ ＋则四边形ABCD 一定是( )A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形3．已知复数 z =(2+i)(a +2i 3) 在复平面对应的点在第四象限 则实数 a 的取值范围是（ ） A ．(−∞,−1)B ．(4,+∞)C ．(−1,4)D ．[-1,4]4．在直三棱柱 ABC −A ′B ′C ′ 中 侧棱长为2 底面是边长为2的正三角形 则异面直线 AB ′ 与BC ′ 所成角的余弦值为（ ） A ．12B ．√33C ．14D ．√555．一个袋子中有5个大小相同的球 其中有3个黑球与2个红球 如果从中任取两个球 则恰好取到两个同色球的概率是（ ） A ．15B ．310C ．25D ．126．已知 f(x)=√3sin2020x +cos2020x 的最大值为A 若存在实数 x 1 x 2 使得对任意的实数x 总有 f(x 1)≤f(x)≤f(x 2) 成立 则 A|x 1−x 2| 的最小值为（ ）A ．π2020B ．π1010C ．π505D ．π40407．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数 其最小正周期为3 且x∁（-320）时 f(x)=log 2(-3x+1)则f(2011）=（ ） A ．4B ．2C ．-2D ．log 278．已知函数f(x)={1−x ，0≤x ≤1lnx ，x >1 若f(a)=f(b) 且a ≠b 则bf(a)+af(b)的最大值为（ ） A ．0 B ．(3−ln2)⋅ln2 C ．1D ．e二、多选题9．下列命题中正确的命题的是（）A．已知随机变量服从二项分布B(n，p)若E(x)=30D(x)=20则p=23；B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后方差恒不变；C．设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)若P(ξ>1)=p则P(−1<ξ≤0)=12−P；D．某人在10次射击中击中目标的次数为X X~B(10，0.8)则当x=8时概率最大．10．已知抛物线C：x2=4y的焦点为F准线为l P是抛物线C上第一象限的点|PF|=5直线PF 与抛物线C的另一个交点为Q 则下列选项正确的是（）A．点P的坐标为（4 4）B．|QF|=54C．S△OPQ=103D．过点M(x0，−1)作抛物线C的两条切线MA，MB其中A，B为切点则直线AB的方程为：x0x−2y+2=011．已知函数f(x)=e x g(x)=ln x2+12的图象与直线y=m分别交于A、B两点则（）A．|AB|的最小值为2+ln2B．∃m使得曲线f(x)在A处的切线平行于曲线g(x)在B处的切线C．函数f(x)−g(x)+m至少存在一个零点D．∃m使得曲线f(x)在点A处的切线也是曲线g(x)的切线12．已知正n边形的边长为a 内切圆的半径为r 外接圆的半径为R 则（）A．当n=4时R=√2a B．当n=6时r=√32aC．R=a2sinπ2n D．R+r=a2tanπ2n三、填空题13．某学校有教师300人男学生1500人女学生1200人现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为150人的样本进行某项调查则应抽取的女学生人数为．14．在（2x2﹣√x）6的展开式中含x7的项的系数是．15．函数f(x)=|2x−1|−2lnx的最小值为.16．定义max{a,b}={a,a≥bb,a<b已知函数f(x)=max{(12)x,12x−34}则f(x)最小值为不等式f(x)<2的解集为.四、解答题17．记S n为数列{a n}的前n项和.已知a n>06S n=a n2+3a n−4.（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=a n2+a n+12a n a n+1求数列{b n}的前n项和T n.18．已知数列{a n}的前n项和为S n a1=2n(a n+1−2a n)=4a n−a n+1.（1）证明：{a nn+1}为等比数列；（2）求S n.19．记△ABC的内角A B C的对边分别为a b c﹐已知sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)．（1）若A=2B求C；（2）证明：2a2=b2+c2.20．受突如其来的新冠疫情的影响全国各地学校都推迟2020年的春季开学某学校“停课不停学” 利用云课平台提供免费线上课程该学校为了解学生对线上课程的满意程度随机抽取了100名学生对该线上课程评分、其频率分布直方图如图.（1）求图中a的值；（2）求评分的中位数；（3）以频率当作概率若采用分层抽样的方法从样本评分在[60,70)和[90,100]内的学生中共抽取5人进行测试来检验他们的网课学习效果再从中选取2人进行跟踪分析求这2人中至少一人评分在[60,70)内的概率.21．已知椭圆与双曲线x 22−y2=1有相同的焦点坐标且点(√3,12)在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）设A、B分别是椭圆的左、右顶点动点M满足MB⊥AB垂足为B连接AM交椭圆于点P（异于A）则是否存在定点T使得以线段MP为直径的圆恒过直线BP与MT的交点Q若存在求出点T的坐标；若不存在请说明理由.22．已知函数f(x)=e x(x−2),g(x)=x−lnx.（1）求函数y=f(x)+g(x)的最小值；（2）设函数ℎ(x)=f(x)−ag(x)(a≠0)讨论函数ℎ(x)的零点个数.答案解析部分1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】D 9．【答案】B,C,D 10．【答案】A,B,D 11．【答案】A,B,D 12．【答案】B,D 13．【答案】60 14．【答案】240 15．【答案】116．【答案】14；(−1,112)17．【答案】（1）解：当 n =1 时 6S 1=a 12+3a 1−4 所以 a 1=4 或 −1 （不合 舍去）. 因为 6S n =a n 2+3a n −4① 所以当 n ⩾2 时 6S n−1=a n−12+3a n−1−4② 由①－②得 6a n =a n 2+3a n −a n−12−3a n−1所以 (a n +a n−1)(a n −a n−1−3)=0 . 又 a n >0 所以 a n −a n−1=3 .因此 {a n } 是首项为4 公差为3的等差数列. 故 a n =4+3(n −1)=3n +1 .（2）解：由（1）得 b n =(3n+1)2+(3n+4)2(3n+1)(3n+4)=2+33n+1−33n+4所以 T n =2+34−37+2+37−310+⋯+2+33n+1−33n+4=2n +(34−37+37−310+⋯+33n +1−33n +4)=2n +9n4(3n +4)18．【答案】（1）证明：∵n(a n+1−2a n )=4a n −a n+1∴na n+1−2na n =4a n −a n+1 即(n +1)a n+1=2⋅a n (n +2)∴a n+1n+2=2⋅a nn+1 故{a nn+1}为等比数列. （2）解：由（1）知 a nn+1=1×2n−1⇒a n =(n +1)⋅2n−1 S n =2×20+3×2+4×22⋅⋅⋅+(n +1)⋅2n−1 2S n =2×21+3×22+4×23⋅⋅⋅+(n +1)⋅2n∴−S n =2+2+22+⋯+2n−1−(n +1)⋅2n=2+2−2n−1×21−2−(n +1)⋅2n=−n ⋅2n∴S n =n ⋅2n19．【答案】（1）解：∵sinCsin(A −B)=sinBsin(C −A)且 A =2B∴sinCsinB =sinBsin(C −A) ∵sinB ＞0∴sinC =sin(C −A)∴C=C-A （舍）或C+（C-A ）=π 即：2C-A=π又∵A+B+C=π A=2B ∴C= 5π8（2）证明：由 sinCsin(A −B)=sinBsin(C −A) 可得sinC(sinAcosB −cosAsinB)=sinB(sinCcosA −cosCsinA) 再由正弦定理可得 accosB −bccosA =bccosA −abcosC 然后根据余弦定理可知12(a 2+c 2−b 2)−12(b 2+c 2−a 2)=12(b 2+c 2−a 2)−12(a 2+b 2−c 2) 化简得： 2a 2=b 2+c 2 故原等式成立．20．【答案】（1）解：由题意 (0.005+0.010+0.030+a +0.015)×10=1所以 a =0.040 ；（2）解：由频率分布直方图可得评分的中位数在 [80,90) 内 设评分的中位数为x则 (0.005+0.010+0.030)×10+0.040×(x −80)=0.5 解得 x =81.25 所以评分的中位数为81.25；（3）解：由题知评分在 [60,70) 和 [90,100] 内的频率分别为0.1和0.15 则抽取的5人中 评分在 [60,70) 内的为2人 评分在 [90,100] 的有3人记评分在 [90,100] 内的3位学生为a b c 评分在 [60,70) 内的2位学生为D E 则从5人中任选2人的所有可能结果为：(a,b) (a,c) (a,D) (a,E) (b,c) (b,D) (b,E) (c,D) (c,E) (D,E) 共10种；其中 这2人中至少一人评分在 [60,70) 内可能结果为：(a,D) (a,E) (b,D) (b,E) (c,D) (c,E) (D,E) 共7种；所以这2人中至少一人评分在 [60,70) 的概率 P =710.21．【答案】（1）解：因为双曲线 x 22−y 2=1 的焦点坐标为 (±√3,0)所以设所求的椭圆的方程为 x 2a 2+y 2b2=1 （ a >b >0 ）则 {a 2=b 2+33a 2+14b 2=1 解得 a 2=4,b 2=1 所以椭圆的标准方程是 x 24+y 2=1（2）解：设直线AP 的方程是 y =k(x +2) （ k ≠0 ）将其与 x 24+y 2=1 联立 消去y 得 (4k 2+1)x 2+16k 2x +16k 2−4=0 设 P(x 1,y 1)则 −2⋅x 1=16k 2−44k 2+1所以 x 1=2−8k 24k 2+1,y 1=4k 4k 2+1 所以 P(2−8k 24k 2+1,4k4k 2+1) 易知 M(2,4k)设存在点 T(x 0,y 0) 使得以MP 为直径的圆恒过直线BP 、MT 的交点Q ⇔MT ⊥BP ⇔4k−y 02−x 0⋅4k−16k2=−1 对于任意 k ≠0 成立 即 4k(1−x 0)+y 0=0 对于任意 k ≠0 成立 x 0=1,y 0=0 所以存在 T(1,0) 符合题意.22．【答案】（1）解：令 φ(x)=f(x)+g(x)φ′(x)=e x(x−1)+(1−1x)=(x−1)(e x+1x)令φ′(x)=0,x=1φ′(x)>0,x>1,φ′(x)<0,0<x<1所以φ(x)的单调递增区间是(1,+∞)单调递减区间是(0,1)所以x=1时φ(x)取得极小值也是最小值所以φ(x)min=φ(1)=1−e（2）解：g′(x)=1−1x=x−1x令g′(x)=0,x=1g′(x)<0,0<x<1,g′(x)>0,x>1 g(x)的递减区间是(0,1)递增区间是(1,+∞)所以g(x)的极小值为g(1)也是最小值g(x)≥g(1)=1>0.所以ℎ(x)=0⇔a=e x(x−2)x−lnx=s(x)因为s′(x)=e x(x−1)(x−lnx−1+2x)(x−lnx)2令k(x)=x−lnx−1+2x⇒k′(x)=(x+1)(x−2)x2令k′(x)=0,x=2k′(x)<0,0<x<2,k′(x)>0,x>2k(x)的递减区间是(0,2)递增区间是(2,+∞)所以k(x)的极小值为k(2)也是最小值所以k(x)≥k(2)=2−ln2>0所以s(x)的递减区间是(0,1)递增区间是(1,+∞)又因为x→0+,s(x)→0,x→+∞,s(x)→+∞且s(1)=−e 所以当a<−e时ℎ(x)有0个零点；当a=−e或a>0时ℎ(x)有1个零点；当−e<a<0时ℎ(x)有2个零点.。

2023-2024学年云南省区域联考高考数学模拟试题（三模）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若()i1i z a a =+∈-R 是纯虚数，则=a （）A.12-B.12C.1- D.1【正确答案】B【分析】化简复数z ，然后根据实部为0可得.【详解】因为i i(1+i)11i 1i (1i)(1+i)22z a a a =+=+=-+--是纯虚数，所以102a -=，得12a =.故选：B2.设集合{}2|4A x x x =∈≤N ，{|B x y ==，则R A B = ð（）A.[]1,2- B.[]0,2 C.{}0,1 D.{}0,1,2【正确答案】C【分析】利用不等式的解法化简集合A ，求解函数定义域求出集合B ，再利用集合的补集和交集运算即可得出结论．【详解】由24x x ≤，即240x x -≤，解得04x ≤≤，所以{}2|4{0,1,2,3,4}A x x x =∈≤=N ，又{|{|2}B x y x x ===≥，{|2}B x x ∴=<R ð，{0,1}A B ∴=R ð，故选：C ．3.近期，我国多地纷纷进入“甲流”高发期，某地A 、B 两所医院因发热就诊的患者中分别有37.25%、18%被确诊为“甲流”感染，且到A 医院就诊的发热患者人数是到B 医院的四倍.现从到这两所医院就诊的发热患者中任选一人，则此人未感染“甲流”的概率是（）A.0.785B.0.666C.0.592D.0.235【正确答案】B【分析】设到A 医院就诊的发热患者人数为4m ()0m >人，到B 医院就诊的发热患者人数为m 人，利用古典概型的概率公式计算可得.【详解】设到A 医院就诊的发热患者人数为4m ()0m >人，到B 医院就诊的发热患者人数为m 人，因为A 、B 两所医院因发热就诊的患者中分别有37.25%、18%被确诊为“甲流”感染，所以从到这两所医院就诊的发热患者中任选一人，则此人未感染“甲流”的概率()()137.25%4118%0.6664m m P m m-⨯+-==+.故选：B4.若向量()()1,2,3,4a b =-=- ，则a 在b上的投影向量为（）A.3344,2525⎛⎫-⎪⎝⎭B.3344,2525⎛⎫-⎪⎝⎭C.()33,44 D.25-【正确答案】A【分析】根据题意，结合a 在b上的投影向量为a b bbb⋅⋅ ，准确运算，即可求解.【详解】由向量()()1,2,3,4a b =-=- ，可得()()1,23,411a b ⋅=-⋅-=-且5a b ==，所以a 在b上的投影向量为()11133443,4(,)552525a b b bb⋅-⋅=⨯⨯-=-.故选：A.5.在3世纪，古希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线；当01e <<是地，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e >时，轨迹为双曲线.现有方程()2222144k x y x y x ++=+-+表示的曲线是双曲线，则k 的取值范围为（）A.10,5⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.()5,+∞ D.()0,5【正确答案】B=1>，即可求解.【详解】由方程()2222144k x y x y x++=+-+，可得()22221(2)k x y x y++=-+，显然0k>21y++=，==，=，可得动点(,)P x y到定点(2,0)和到定直线210x y++=，1>，解得15k>，即实数k的取值范围是1(,)5+∞.故选：B.6.如图，已知半径为r、母线长为l的圆锥SO的侧面展开图是半圆，在其内部作一个半径为0r、母线长为0l的内接圆柱PO（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆在圆锥的侧面上），若圆柱PO的侧面积与圆锥SO的侧面积之比为4，则0ll=（）A.433B.233C. D.【正确答案】A【分析】根据题意，求得2l r =，圆锥的高SO ==，进而得到002ππ4r l rl =，再由SPB SOA ∽，求得00)l r r =-，进而得到032l r =，即可求解.【详解】由圆锥SO 的侧面展开图是半圆，可得π2πl r =，即2l r =，所以圆锥的高SO ==，因为圆柱PO 的侧面积与圆锥SO 的侧面积之比为34，可得002ππ4r l rl =，所以2003384r l rl r ==，又由SPB SOA ∽r r =，所以00)l r r =-，代入上式，可得001,22r r l r ==，所以043332l l ==.故选：A.7.设函数()f x 在R 上的导数存在，且()()1xf x f x +>'，则当(),x a b ∈时，（）A.()()af b bf a <B.()()xf x b bf b x +<+C.()()xf x a af a x +<+D.()()af b bf a >【正确答案】B【分析】依题意令()()g x xf x x =-，求出函数的导函数，即可得到()g x 在R 上单调递增，即可判断.【详解】因为()()1xf x f x +>'，令()()g x xf x x =-，则()()()10g x f x xf x ''=+->，所以()g x 在R 上单调递增，当(),x a b ∈时，()()()g a g x g b <<，即()()()af a a xf x x bf b b -<-<-，所以()()xf x a af a x +>+且()()xf x b bf b x +<+.故选：B8.若ln1.5,tan 0.5,1a b c ===，则（）A.c a b>> B.b c a>> C.a b c>> D.c b a>>【正确答案】D【分析】构造函数()tan f x x x =-并利用其单调性得出tan 0.50.5>，再构造函数()()ln 1h x x x =+-并利用其单调性得出b a >；构造函数()πe 1tan 04x g x x x ⎛⎫=--≤<⎪⎝⎭通过单调性可得到c b >，从而得到结果.【详解】设()tan f x x x =-，01x <<，则()2110cos f x x'=->，即当(0,1)x ∈时，()0f x ¢>，∴()f x 在(0,1)上单调递增，∴()()00f x f >=，∴tan 0.50.50->，即tan 0.50.5>，设函数()()ln 1h x x x =+-，()0,x ∈+∞，则()1111x h x x x'=-=-++，当()0,x ∈+∞时，()0h x '<，所以()h x 在()0,∞+上单调递减，所以()()0.5ln1.50.500=-<=h h ，所以ln1.50.5<，所以ln1.5tan 0.5<，所以b a >；设函数()πe 1tan 04xg x x x ⎛⎫=--≤< ⎪⎝⎭，则()e cos cos sin π0cos 4--⎛⎫'=≤< ⎪⎝⎭x x x x g x x x ，令()e cos cos sin xh x x x x =--，()()()()sin cos e sin cos e 1cos sin x x h x x x x x x x =-++-=--'，当π04x <<时，()0h x '>，所以()h x 单调递增，而()00h =，所以()0h x ≥，又cos 0x >在π04x <<成立，所以()0g x '>，所以()g x 在π04x <<上单调递增，因为()00g =，所以102g ⎛⎫> ⎪⎝⎭1tan 0.5->，所以c b >，综上，c b a >>.故选：D.思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.为了解学生的身体状况，某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（）A.频率分布直方图中a 的值为0.02B.这100名学生中体重低于60千克的人数为80C.估计这100名学生体重的众数为57.5D.据此可以估计该校学生体重的75%分位数约为61.25【正确答案】ACD【分析】根据频率分布直方图中所有的小矩形的面积之和为1得到方程，求出a 的值，再根据频率分布直方图一一分析即可.【详解】对于A ：由()0.010.060.070.0451a ++++⨯=，解得0.02a =，故A 正确；对于B ：这100名学生中体重低于60千克的人数为()0.010.060.07510070++⨯⨯=人，故B 错误；对于C ：估计这100名学生体重的众数为556057.52+=，故C 正确；对于D ：由()0.010.060.0750.70.75++⨯=<，所以该校学生体重的75%分位数位于[)60,65内，设75%分位数为x ，则()0.7600.040.75x +-⨯=，解得61.25x =，故估计该校学生体重的75%分位数约为61.25，即D 正确；故选：ACD10.下列说法错误的是（）A.若直线a 不平行于平面α，a α⊄，则α内不存在与a 平行的直线B.若平面α⊥平面1α，平面α 平面1l α=，1l l ⊥，则11l α⊥C.设,,l m n 为直线，,m n 在平面α内，则“l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的充分不必要条件D.若平面α⊥平面1α，平面β⊥平面1β，则平面α与平面β所成的二面角和平面1α与平面1β所成的二面角相等或互补【正确答案】BD【分析】可根据线面平行的判定定理可判断A ；根据面面垂直的性质可判断B ；根据线面垂直的判定定理及性质可判断C ；根据11//αβ，αβ⊥时的特殊情况进行判断.【详解】选项A ，若存在直线，则由直线和平面平行的判定定理知直线a 与平面α平行，与条件相矛盾，故选项A 正确；选项B ，由面面垂直的性质可知，若1l ⊂平面α，则11l α⊥，但题目中不确定1l 位置，可能出现11l α⊂，故选项B 错误；选项C ，根据线面垂直的性质可知l α⊥，可得到l m ⊥且l n ⊥，故满足充分性；当直线,m n 不相交时，由线面垂直的判定定理知：l m ⊥且l n ⊥时，得不到l α⊥，故不满足必要性，故选项C 正确；选项D ，当11//αβ，αβ⊥时，可满足题设条件，此时平面α与平面β所成的二面角为90︒,平面1α与平面1β所成的二面角为0︒，故选项D 错误.故选：BD.11.在平面直角坐标系xOy 中，已知任意角θ以坐标原点O 为顶点，x 轴的非负半轴为始边，若终边经过点()00,P x y ，且()0OP r r =>，定义()00si cos 2y rθ=，称“()si cos θ”为“正余弦函数”.对于“正余弦函数()()si cos f x x =”，下列结论中正确的是（）A.将()f x 图象向右平移π3个单位长度，得到的图象关于原点对称B.()f x 在区间[]2π,2π-上的所有零点之和为2π3C.()f x 在区间π3π,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D.()f x 在区间()0,7π上有且仅有5个极大值点【正确答案】ABC【分析】根据三角函数的定义及“正余弦函数”的定义求出()f x 的解析式，在根据正弦函数的性质一一分析即可.【详解】因为0cos x r x =，0sin y r x =，所以()()00sin cos si cos 22y r x xf x x r r+===1πsin cos sin 223x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，对于A ：将()f x 图象向右平移π3个单位长度得到ππsin sin 33y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，sin y x =为奇函数，函数图象关于原点对称，故A 正确；对于B ：令()πsin 03f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即ππ,Z 3x k k +=∈，解得ππ,Z 3x k k =-+∈，又[]2π,2πx ∈-，所以4π3x =-或π3x =-或2π3x =或5π3x =，所以()f x 在区间[]2π,2π-上的所有零点之和为4ππ2π5π2π33333⎛⎫-+-++= ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ：由π3π,34x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π2π131,332πx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在π3π,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 正确；对于D ：由()0,7πx ∈，则ππ22π,333x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，令ππ2π,Z 32x k k +=+∈，解得π2π,Z 6x k k =+∈，所以()f x 在区间()0,7π上的极大值点有π6，13π6，25π6，37π6共4个，故D 错误；故选：ABC12.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则（）A.异面直线1DD 与1B F 所成角的正切值为13B.点P 为正方形1111D C B A 内一点，当//DP 平面1B EF 时，DP的最小值为4C.过点1D ，E ，F 的平面截正方体1111ABCD A B C D -22+D.当三棱锥1B BEF -的所有顶点都在球O 的表面上时，球O 的表面积为3π【正确答案】BC【分析】根据11//DD BB 可得1∠BB F 即为异面直线1DD 与1B F 所成的角，即可判断A ，作出截面，找到P 的轨迹，即可求出DP 的最小值，从而判断B ，作出截面，再利用空间向量确定点的位置，从而求出线段的长度，即可得到截面周长，从而判断C ，确定球心及半径，即可求出外接球的表面积，从而判断D.【详解】对于A 选项，11//DD BB ，∴在1Rt BB F 中1∠BB F 即为异面直线1DD 与1B F 所成的角，11112tan 12BF BB F B B ∴∠===，∴异面直线1DD 与1B F 所成的角的正切值为12．故A 错误；对于B 选项，取11A D 的中点11,M D C 的中点N ，取AD 的中点S ，连接MN ，DM ，1,,DN A S SF ，1111//,,//SF AB A B SF AB A B ==∴11A B FS 为平行四边形，11//SA B F ∴，1//A S DM ，1//MD B F ∴，同理可得1//DN B E ，又DM ⊄ 面1B EF ，1B F ⊂面1B EF ，DN ⊄面1B EF ，1B E ⊂面1B EF ，DM ∴//面1B EF ，//DN 面1B EF ，又DM DN D ⋂= ，DM DN ⊂,面DMN ，∴面//DMN 面1B EF ，又//DP 面1B EF ，P ∈面1111D C B A ，P ∴轨迹为线段MN ，∴在DMN 中，过D 作DP MN ⊥，此时DP 取得最小值，在1Rt DD M △中，112D M =，11=D D ，52DM ∴=，在1Rt DD N 中，112D N =，11=D D ，52DN ∴=，在1Rt MD N 中，112D N =，112D M =，22MN =∴，∴如图，在Rt DPN 中，223224MN DP DN ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．故B 项正确；对于C 选项，延长EF 交DA 的延长线于点G ，交DC 的延长线于点H ，连接1D H 交1CC 于点N ，连接1D G 交1AA 于点M ，再连接ME 、NF ，则过点1D ，E ，F 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面图形为五边形1D MEFN ，平面11//AA D D 平面11BB C C ，截面1D MEFN 与平面11AA D D 和平面11BB C C 分别交于1D M 与FN ，1//D M NF ∴，同理可得1//D N ME ，如图以D 为原点，分别以DA 、DC 、1DD方向为x 轴､y 轴､z 轴正方向建立空间直角坐标系D xyz -，设AM m =，CN n =，则()1,0,M m ，()0,1,N n ，11,,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,0,1D ，10,,2ME m ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ ，()10,1,1D N n =- ，()11,0,1D M m =- ，1,0,2NF n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1//D M NF ，1//D N ME ，即1//D M NF 且1//D N ME，()()112112m n n m ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪-=-⎪⎩，解得1313m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，13AM ∴=，13CN =，123A M ∴=，123C N =，∴在11Rt D A M 中，111D A =，123A M =，1133D M ∴=，同理：1133D N =，在Rt MAE △中，13AM =，12AE =，6ME ∴=，同理：6FN =在Rt EBF △中，12BE BF ==，22EF ∴=，11131322223622D M D N ME FN EF ∴++++=⨯+⨯+=+，即过点1D E F 、、的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面周长为22+．故C 正确；对于D 选项，如图所示，取EF 的中点1O ，则111O E O F O B ==，过1O 作11//OO BB ，且使得111122OO BB ==，则O 为三棱锥1B BEF -的外接球的球心，所以OE 为外接球的半径，在Rt EBF △中，22EF =，2222221183224EF R OE OO ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23π4π2S R ∴==球．故D 项错误，故选：BC ．关键点睛：解答本题的关键是结合空间中点、线、面的位置关系确定点的位置，从而求出线段最小值及截面周长.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若160S >，790a a +<，则当n S 取最小值时，n 的值为________.【正确答案】8【分析】根据等差数列求和公式及下标和性质得到80a <，90a >，即可判断.【详解】因为()()()1161691618016882a a a S a a a +==+=>+，所以890a a +>，又79820a a a +=<，所以90a >，则980d a a =->所以{}n a 为递增的等差数列，且12890a a a a <<<<<< ，所以()8min n S S =，即当n S 取最小值时，n 的值为8.故814.某产品的质量指标服从正态分布()250,N σ.质量指标介于47至53之间的产品为合格品，为使这种产品的合格率达到99.74%，则需调整生产技能，使得σ至多为________.（参考数据：若()2,X N μσ，则()30.9974X μσP -<≈）【正确答案】1【分析】根据题意以及正态曲线的特征可知，()()503,50347,53σσ-+⊆，然后列不等式组可解．【详解】依题可知，50μ=，又()30.9974X μσP -<≈，所以，要使合格率达到99.74%，则()()503,50347,53σσ-+⊆，所以5034750353σσ-≥⎧⎨+≤⎩，解得：1σ≤，故σ至多为1．故1．15.已知抛物线2x y =上有一点)P，过点P 作圆()2221x y +-=的两条切线分别交抛物线于,M N 两点（异于点P ），则直线MN 的斜率为________.【正确答案】【分析】表示出直线,PM PN 方程，根据与圆相切可得斜率关系，再联立直线MN 与抛物线方程得出坐标关系即可求出斜率.【详解】设221122(,),(,)M x x N x x ，直线PM 的方程为：13(y k x -=-，直线PN 的方程为：23(y k x -=-，因为直线,PM PN1==，所以2211220,0,k k -=-=所以12,k k是方程20k =的两根，所以12k k +=，由方程组123(y k x y x⎧-=⎪⎨=⎪⎩得：21130x k x -+-=，所以11,x k +=同理可得：22,x k +=所以直线MN的斜率为2221211221x x x x k k x x -=+=+-=-故答案为.16.设函数()e ,1xf x x ax a =+>-，若存在唯一整数0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是________.【正确答案】211,e e ⎛⎤--⎥⎝⎦【分析】由题意转化为存在唯一的整数0x 使得()0g x 在直线y ax =-的下方，求得()(1)e x g x x '=+，利用导数求得函数的单调区间和最小值()11eg -=-，以及()00g =和()222eg -=-，根据直线y ax =-恒经过原点(0,0)O ，结合图象，列出方程组，即可求解.【详解】由函数()e ,1xf x x ax a =+>-，设()e xg x x =和,1y ax a =->-因为存在唯一整数0x ，使得()00f x <，所以存在唯一的整数0x 使得()0g x 在直线y ax =-的下方，如图所示，因为()(1)e xg x x '=+，当1x <-时，()0g x '<；当1x >-时，()0g x '>，所以()g x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞单调递增，当=1x -时，()g x 取得极小值，也为最小值()()min 11eg x g =-=-，且当0x =时，()00g =，当2x =-时，()222e g -=-，又由直线y ax =-恒经过原点(0,0)O ，斜率为a -（其中1a >-），所以()11e a g >-=-且()2222e g a -=-≥，解得211e e a -<≤-，所以实数a 的取值范围是211,e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦.故211,e e ⎛⎤--⎥⎝⎦四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知数列{}n a 有递推关系*1784N ,343n n n n a a n a a +-⎛⎫=∈≠ ⎪-⎝⎭，16929a =，记(Z)n n a b k k =-∈，若数列{}n b 的递推式形如1nn n rb b pb q+=+（,,R p q r ∈且,0p r ≠），也即分子中不再含有常数项.（1）求实数k 的值；（2）证明：135n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求其首项和公比.【正确答案】（1）1-（2）证明见解析，首项为18，公比为14-【分析】（1）根据n n a b k =-以及17834n n n a a a +-=-推出21(73)3118334n n n k b k k b b k ++---=--，结合已知1nn n rb b pb q+=+，比较系数可求出结果；（2）由（1）得1,4,3,1k r p q =-===-，1431n n n b b b +=-，推出1135n b +-=113(45n b --，根据等比数列定义可证结论正确.【小问1详解】因为n n a b k =-，所以n n b a k =+，117834n n n n a b a k k a ++-=+=+-7()83()4n n b k k b k --=+--2778334334n n n b k kb k kb k --+--=--2(73)3118334n n k b k k b k +---=--，由已知得1nn n rb b pb q+=+，所以23118073334k k k r p k q ⎧---=⎪+=⎪⎨=⎪⎪--=⎩，解得1431k r p q =-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎩或83134k r p q ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪=⎪⎩，因为Z k ∈，所以1k =-.【小问2详解】由（1）知，1,4,3,1k r p q =-===-，1431n n n b b b +=-，11694012929b a k =+=-=，131131444n n n n b b b b +-==-，1135n b +-=31313113(44542045n n n b b b --=-+=--，因为1132931054058b -=-=≠，所以数列135n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，首项为18，公比为14-.18.已知函数()()2*12cos 2N 2f x x x ωωω=-+∈在4ππ,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且π5π412f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求()f x 的解析式；（2）若钝角ABC 的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且2a =，12A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，求ABC 周长的最大值.【正确答案】（1）()π2sin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（2）2+-【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，根据单调性求出ω的取值范围，再根据对称性求出ω的值，即可得到函数解析式；（2）首先求出A ，再利用余弦定理及基本不等式求出b c +的最大值，即可得解.【小问1详解】因为()212cos 22f x x x ωω=-+cos 1x x ωω=-+1π2sin cos 12sin 1226x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()f x 在4ππ,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，且*N ω∈，所以12π4ππ23ω⨯≥-，解得03ω<≤，又π5π412f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π5ππ41223x +==为()f x 的一条对称轴，所以ππππ,Z 362k k ω-=+∈，解得23,Z k k ω=+∈，所以2ω=，所以()π2sin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】因为π2sin 1126A f A ⎛⎫⎛⎫=-+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0πA <<，所以ππ5π666A -<-<，所以ππ63A -=或π2π63A -=，解得π2A =或5π6A =，因为ABC 为钝角三角形，所以5π6A =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，即224b c =++，即()((224222b c b c bc +⎛⎫+-=-≤ ⎪⎝⎭，当且仅当b c =时取等号，所以b c +≤-2b c a ++≤+，即ABC 周长的最大值为2+.19.某商场在周年庆活动期间为回馈新老顾客，采用抽奖的形式领取购物卡.该商场在一个纸箱里放15个小球（除颜色外其余均相同）：3个红球、5个黄球和7个白球，每个顾客不放回地从中拿3次，每次拿1个球，每拿到一个红球获得一张A 类购物卡，每拿到一个黄球获得一张B 类购物卡，每拿到一个白球获得一张C 类购物卡.（1）已知某顾客在3次中只有1次抽到白球的条件下，求至多有1次抽到红球的概率；（2）设拿到红球的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.【正确答案】（1）2528（2）分布列见解析，()273455E X =【分析】（1）利用条件概率及古典概型的概率公式计算可得；（2）依题意X 的可能取值为0，1，2，3，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.【小问1详解】设事件A ：在3次中只有1次拿到白球，事件B ：在3次中至多1次拿到红球，则事件AB ：在3次中只有1次拿到白球，其它两次至多1次拿到红球，所以()1278315C C 28C 65P A ==，()1111273575315C C C C C 5C 13P AB +==，所以()()()25|28P AB P B A P A ==.【小问2详解】依题意拿到红球的次数为X 的可能取值为0，1，2，3，所以()312315C 440C 91P X ===，()12312315C C 1981C 455P X ===，()21312315C C 362C 455P X ===，()33315C 13C 455P X ===，所以X 的分布列为：X0123P4491198455364551455所以()44198361273012391455455455455E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.20.如图，在三棱台111ABC A B C -中，1118,5,4BC AB AC B C CC =====，,M O 分别为11B C ，BC 的中点，侧面11BCC B 为等腰梯形.（1）证明：平面ABC ⊥平面AOM ；（2）记二面角1A BC C --的大小为π6，求直线1BB 与平面11AAC C 所成角的正弦值.【正确答案】（1）证明见解析（2）33737【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明BC ⊥平面AOM ，再根据面面垂直的判定定理可证结论成立；（2）在平面AOM 内，作ON OA ⊥，交AM 的延长线于N ，可证ON ⊥平面ABC ，以O 为原点，,,OB OA ON 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式可求出结果.【小问1详解】因为AB AC =，O 为BC 的中点，所以OA BC ⊥，因为侧面11BCC B 为等腰梯形，,M O 分别为11B C ，BC 的中点，所以OM BC ⊥，因为OA OM O ⋂=，,OA OM ⊂平面AOM ，所以BC ⊥平面AOM ，因为BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面AOM .【小问2详解】在平面AOM 内，作ON OA ⊥，交AM 的延长线于N ，因为平面ABC ⊥平面AOM ，ON ⊂平面AOM ，平面AOM 平面ABC OA =，所以ON ⊥平面ABC ，以O 为原点，,,OB OA ON 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系：因为OA BC ⊥，OM BC ⊥，OA ⊂平面ABC ，OM ⊂平面11BCC B ，所以AOM ∠是二面角1A BC C --的平面角，则π6AOM ∠=，π3MON ∠=，因为5AB AC ==，8BC =，所以3OA =，所以(0,3,0)A ，(4,0,0)B ，(4,0,0)C -，在等腰梯形11BCC B 中，8BC =，1114B C CC ==，所以16423OM =-=，31(0,,)22M，即M，1(C -，1B ，所以(1BB =- ，(4,3,0)CA =，1CC = ，设平面11AAC C 的一个法向量为(,,)n x y z =，则1430230n CA x y n CC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，取3x =，得4y =-，z =，(3,4,n =- ，所以直线1BB 与平面11AAC C 所成角的正弦值为11||||||n BB n BB ⋅⋅=37=.21.如图，已知椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的上、下顶点为()()0,1,0,1M N -，右顶点为P，离心率为2，直线x a =和y b =相交于点A ，过N 作直线交x 轴的正半轴于B 点，交椭圆于C 点，连接MC 交AP 于点D.（1）求Γ的方程；（2）求证.OB ADBP DP=【正确答案】（1）2214x y +=（2）证明见解析【分析】（1）依题意得到1b =、32c e a ==，从而求出a 、b ，即可得解；（2）依题意0NC k >，0MC k <，设直线:NC 11y k x =-，直线:MC 21y k x =+，联立直线方程求出C 点坐标，在根据C 在椭圆上得到1214k k =-，在分别求出OB BP 、AD DP ，结合1214k k =-化简即可得证.【小问1详解】依题意可得1b =，32c e a ==，又222c a b =-，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以Γ的方程为2214x y +=.【小问2详解】在椭圆2214x y +=中()0,1M ，()0,1N -，所以0NC k >，0MC k <，设直线:NC 11y k x =-（10k >），直线:MC 21y k x =+（20k <），因为直线NC 与直线MC 相交于点C ，由1211y k x y k x =-⎧⎨=+⎩，解得1212122x k k k k y k k ⎧=⎪-⎪⎨+⎪=⎪-⎩，所以1212122,k k C k k k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，又点C 在椭圆上，所以22121212214k k k k k k ⎛⎫⎪-⎛⎫+⎝⎭+= ⎪-⎝⎭，整理得1214k k =-，因为直线:NC 11y k x =-交x 轴正半轴于B 点，令0y =得11x k =，即11,0B k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又因为()2,0P ，所以11OB k =，112BP k =-，所以111111212OB k BPk k ==--，因为直线:MC 21y k x =+交AP 于点D ，令2x =得221y k =+，故()22,21D k +，又()2,1A ，所以()221212AD k k =-+=-，221DP k =+，所以22221AD k DP k -=+，又1214k k =-，所以1214k k =-，所以212221121211214OBAD k BPk k DP k -====-+⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以OB AD BP DP =.22.已知函数()2ln ,R ax xf x a x-=∈.（1）当1a =时，求()()g x xf x =的单调区间；（2）若()f x 有2个不同的零点()1212,x x x x <，求证.2212542x x a+>【正确答案】（1）单调递减区间为20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递增区间为2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭.（2）证明见解析【分析】（1）求出函数解析式，再利用导数求出函数的单调区间；（2）依题意可得2ln x a x =有2个不同的实数根，令()2ln xF x x=，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可得到a 的取值范围，再由211222ln ln x ax x ax ⎧=⎨=⎩，两式相除得222211ln ln x x x x =，令21x t x =，即可得到12ln ln 1t x t =-，222ln ln 1t tx t =-，将问题转化为关于t 的函数，即证1t >时()()2251ln 0241t t t -->+，构造函数，说明函数的单调性，即可得证.【小问1详解】当1a =时()2ln x x f x x-=，则()()2ln g x xf x x x ==-，定义域为()0,∞+，又())2111212x g x x x xx-+-'=-==，所以当02x <<时()0g x '<，即()g x单调递减，当2x >时()0g x '>，即()g x 单调递增，所以()g x 的单调递减区间为20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，单调递增区间为2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭.【小问2详解】证明：因为()f x 定义域为()0,∞+，则()f x 有2个不同的零点等价于2ln xa x=有2个不同的实数根，令()2ln x F x x =，()0,x ∈+∞，则()312ln xF x x-'=，所以当0x <<时()0F x '>，()F x单调递增，当x >()0F x '<，()F x 单调递减，所以()F x在x =处取得极大值即最大值，即()max 12eF x F==，又()10F =，当01x <<时()0F x <，当1x >时()0F x >，且x →+∞时()0F x →，所以121x x <<<，且10,2e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为1x ，2x 是方程2ln xa x =有2个不同的实数根，即211222ln ln x ax x ax ⎧=⎨=⎩，两式相除得222211ln ln x x x x =，令21x t x =，则1t >，221ln ln x t x =，所以12ln ln 1t x t =-，222ln ln 1t t x t =-，又211ln x x a =，222ln x x a =，因此要证2212542x x a +>，只需证明12ln 4ln 52x x a a a+>，又0a >，所以只需证明125ln 4ln 2x x +>，即证222ln 4ln 5112t t t t t +>--，因为1t >，所以即证()()2251ln 0241t t t -->+，令()()()()2251ln 1241t G t t t t -=->+，则()()()()()2242222216111617104141t t t t G t t t t t ---+'==>++，所以()G t 在()1,+∞上单调递增，则()()10G t G >=，即当1t >时()()2251ln 0241t t t -->+成立，命题得证.方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。

2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。

2023-2024学年安徽省合肥市高三下学期高考数学模拟试题（三模）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合301x A x x ⎧⎫-=∈≤⎨⎬+⎩⎭Z ，{}2,B y y x x A ==∈，则集合A B ⋃的非空真子集的个数为（）A.14B.15C.30D.62【正确答案】D【分析】解集合A 中的不等式，得到集合A ，由集合B 中元素的条件得到集合B ，再求集合A B ⋃，由集合中元素的个数，判断非空真子集的个数.【详解】不等式301x x -≤+解得13x -<≤，由x ∈Z ，得集合{}0,1,2,3A =，则集合{}0,1,4,9B =，所以集合{}0,1,2,3,4,9A B ⋃=，集合A B ⋃中有6个元素，所以集合A B ⋃的非空真子集的个数为62262-=．故选：D ．2.已知复数z满足1i =1iz +（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【正确答案】D【分析】根据复数的除法、模长运算化简复数z ，再结合复数的几何意义即可得答案.【详解】由)112i i =1i2z +=+得))12i i 21i 2i22z ++===--，∴复数z 在复平面内对应的点为21,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，∴复数z 在复平面内对应的点所在的象限为第四象限．故选：D ．3.给出下列四个命题，其中正确命题为（）A.“0x ∀>，21x x +>”的否定是“00x ∃>，2001x x +<”B.“αβ>”是“sin sin αβ>”的必要不充分条件C.α∃，β∈R ，使得()sin sin sin αβαβ+=+D.“a b >”是“22a b >”的充分不必要条件【正确答案】C【分析】利用全称量词命题的否定判断A ；利用充分条件、必要条件的定义判断BD ；判断存在量词命题的真假判断C 作答.【详解】对于A ，“0x ∀>，21x x +>”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，该命题的否定为00x ∃>，2001x x +≤，A 错误；对于B ，“若sin sin αβ>，则αβ>”是假命题，如π5πsin sin 36>，而π5π36<，B 错误；对于C ，取0αβ==，则()sin sin 0sin 0sin 0sin sin αβαβ+==+=+，C 正确；对于D ，因为函数2x y =是R 上的增函数，则“a b >”是“22a b >”的充要条件，D 错误．故选：C4.如图，用M ，1A ，2A 三类不同的元件连接成一个系统，当M 正常工作且1A ，2A 至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知M ，1A ，2A 正常工作的概率依次是12，34，34，已知在系统正常工作的前提下，则只有M 和1A 正常工作的概率是（）A.59B.34C.15D.19【正确答案】C【分析】利用独立事件的乘法公式求得系统正常工作和只有M 和1A 正常工作的概率，再利用条件概率公式求解即可.【详解】设事件A 为系统正常工作，事件B 为只有M 和1A 正常工作，因为并联元件1A 、2A 能正常工作的概率为33151114416⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1151521632P A =⨯=，又()()1333124432P AB P B ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以()()()15P AB P B A P A ==．即只有M 和1A 正常工作的概率为15.故选：C ．5.以边长为2的等边三角形ABC 每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P 为弧AC 上的一点，且π6PBC ∠=，则BP CP ⋅ 的值为（）A.4-B.4C.4-D.4+【正确答案】C【分析】如图所示，以B 为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示计算即可.【详解】如图所示，以B 为坐标原点，直线BC 为x 轴，过点B 且垂直于BC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则()0,0B ，()2,0C ，由π6PBC ∠=，得)P ，所以)BP = ，)2,1CP =-，所以)2114BP CP ⋅=-+⨯=- ．故选：C.6.已知函数()213cos sin 2222x x x f x =-+，则下列结论正确的有（）A.()f x 的最小正周期为2πB.直线π3x =-是()f x 图像的一条对称轴C.()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D.若()f x 在区间π,2m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，则π3m ≥【正确答案】D【分析】利用倍角公式和辅助角公式，化简函数解析式，根据函数解析式研究最小正周期、对称轴、单调区间和最值.【详解】()2131cos 1π3cos sin sin sin 22222226x x x x f x x x -⎛⎫=-+=-+=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为π，A 错误；因为πππ366-+=-，ππ1sin 1362f ⎛⎫⎛⎫-=-=-≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以直线π6x =-不是()f x 图像的一条对称轴，B 错误；当π02x <<时，ππ2π663x <+<，而函数sin y x =在π2π,63⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，C 错误；当π2x m -≤≤时，πππ366x m -≤+≤+，因为()f x 在区间π,2m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，即πsin 16x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，所以ππ62m +≥，解得π3m ≥，D 正确．故选：D ．7.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于点()2,0对称，当[]0,2x ∈时，()f x =()()20f x k x --=的所有根的和为6，则实数k 的取值范围是（）A.26,412⎛⎫⋃-∞- ⎪ ⎪⎪⎪⎩⎭⎝⎭ B.62,124⎛⎫⋃-∞- ⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎝⎭C.,412⎧⎫⎛⎫⎪⎪-⋃+∞ ⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎝⎭D.26,412⎧⎛⎫⎪-⋃-+∞ ⎪⎨ ⎪⎪⎪⎩⎭⎝⎭【正确答案】A【分析】数形结合思想，方程()()20f x k x --=的根转化为()y f x =和()2y k x =-的图象的公共点的横坐标，根据直线与圆的位置关系求解.【详解】方程()()20f x k x --=的根转化为()y f x =和()2y k x =-的图象的公共点的横坐标，因为两个图象均关于点()2,0对称，要使所有根的和为6，则两个图象有且只有3个公共点．因为[]0,2x ∈时，()f x =所以22(1)1x y -+=，所以图象为圆的一部分，作出()y f x =和()2y k x =-的图象如图所示．当0k >时，只需直线()2y k x =-与圆()2251x y -+=相切，1=，可得24k =；当0k <时，只需直线()2y k x =-与圆22(3)1x y ++=相离，1>，解得得612k<-或12k >（舍）．故k的取值范围是,412⎛⎫⋃-∞- ⎪ ⎪⎪⎪⎩⎭⎝⎭．故选：A ．8.已知函数()()e 1,xf x m x n m n =---∈R ，若()1f x ≥-对任意的x ∈R 恒成立，则mn 的最大值是（）A.2e - B.2e -- C.1e - D.1e --【正确答案】B【分析】讨论0m ≤，0m >，利用导数得出()ln 1m m mn +≥，构造函数()()ln 1h m m m =+，由导数得出()min h m ，进而得出mn 的最大值.【详解】()e 1xf x m x n =---，()e 1xf x m '=-，当0m ≤时，()0f x '<恒成立，则()f x 单调递减，()01f m n =--，显然()1f x ≥-不恒成立；当0m >时，(),ln x m ∈-∞-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；()ln ,x m ∈-+∞时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增，∴()()min ln ln f x f m m n =-=-，∵()1f x ≥-恒成立，∴ln 10m n -+≥，∴()ln 1m m mn +≥，令()()ln 1h m m m =+，0m >，()ln 2h m m '=+，()20,e m -∈时，()0h m ¢<；()2e ,m -∈+∞时，()0h m ¢>.()h m 在区间()20,e -上单调递减，在区间()2e ,-+∞上单调递增，∴()()22min e eh m h --==-，即mn 的最大值是2e --.故选：B ．关键点睛：解决本题的关键在于，将不等式的恒成立问题转化为最值问题得出()ln 1m m mn +≥，再由导数得出()min h m mn ≥.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为n ，按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出频率分布直方图如图所示．其中，成绩落在区间[)50,60内的人数为16．则下列结论正确的是（）A.图中0.016x =B.样本容量1000n =C.估计该市全体学生成绩的平均分为70.6分D.该市要对成绩前25%的学生授予“优秀学生”称号，则授予“优秀学生”称号的学生考试成绩大约至少为77.25分【正确答案】ACD【分析】根据频率之和等于1，即可判断A ；根据频率，频数和样本容量之间的关系即可判断B ；根据频率分布直方图平均数的求解方法即可判断C ；根据题意算出25%分位数，即可判断D ．【详解】对于A ，因为()0.0300.0400.0100.004101x ++++⨯=，解得0.016x =，故A 正确；对于B ，因为成绩落在区间[)50,60内的人数为16，所以样本容量161000.01610n ==⨯，故B 错误；对于C，学生成绩平均分为0.01610550.03010650.04010750.01010850.004109570.6⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故C 正确；对于D ，因为()()100.0040.010800.0400.25x ⨯++-⨯=，解得77.25x =，所以大约成绩至少为77.25的学生能得到此称号，故D 正确．故选：ACD ．10.已知正实数,,a b c 满足2240a ab b c -+-=，当cab取最小值时，下列说法正确的是（）A.2a b =B.24=c bC.216a b c +-的最大值为1 D.216a b c+-的最小值为12【正确答案】AC【分析】由224c a ab b =-+，代入cab用基本不等式求得最小值，得结论2a b =判断A ，此处条件代入已知得26c b =可判断B ，判断AB 过程中两个结论代入216a b c+-后利用二次函数性质求得最值判断CD ．【详解】∵正实数,,a b c 满足2240a ab b c -+-=，∴2244113c a ab b a b ab ab b a -+==+-≥-=，当且仅当4a b b a =，即2a b =时等号成立，A 正确；2a b =时，2222(2)246c b b b b =-+=，B 错；2222161161211)16a b c b b b b b b +-=+-=-+=--+（，11b =，即1b =时，216a b c+-的最大值1，C 正确D 错误．故选：AC ．11.已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，M 为棱1CC 上的动点，AM ⊥平面α，则下列说法正确的是（）A.若N 为1DD 中点，当AM MN +最小时，1212CM CC =-B.当点M 与点1C 重合时，若平面α截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大C.直线AB 与平面α所成角的余弦值的取值范围为26,23⎣⎦D.当点M 与点C 重合时，四面体11AMD B 内切球表面积为16π3【正确答案】ACD【分析】对于A ，由展开图求解；对于B ，取特殊位置判断；对于C ，由空间向量求解；对于D ，由正四面体的性质可求内切球半径，可得内切球的表面积，．【详解】对于A ，矩形11ACC A 与正方形11CC D D展开成一个平面，如图所示，若AM MN +最小，则A 、M 、N 三点共线，因为11//CC DD ，所以2MC AC DN AD ===(1222MC DN CC ==，即1222122MC CC ==-，故A 正确；对于B ，当点M 与点1C 重合时，连接1A D 、BD 、1A B 、AC 、1AC，如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1BD CC ⊥，又因为BD AC ⊥，且1AC CC C = ，1,AC CC ⊂平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，又1AC ⊂平面1ACC ，所以1BD AC ⊥，同理可证11A D AC ⊥，因为1A D BD D ⋂=，1,A D BD ⊂平面1A BD ，所以1AC ⊥平面1A BD ，易知1A BD是边长为的等边三角形，其面积为(1234A BD S =⨯=△，周长为3=；设E 、F 、Q 、N ，G ，H 分别为11A D ，11A B 、1BB ，BC ，CD ，1DD 的中点，易知六边形EFQNGH是边长为的正六边形，且平面//EFQNGH 平面1A BD ，正六边形EFQNGH的周长为，面积为(2364⨯⨯=，则1A BD 的面积小于正六边形EFQNGH 的面积，它们的周长相等，即B 错误；对于C ，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则()4,0,0A ，()4,4,0B ，设()()0,4,04M a a ≤≤，因为AM ⊥平面α，所以AM是平面α的一个法向量，且()4,4,AM a =- ，()0,4,0AB = ，故32cos ,,32AM AB ==⎣⎦ ，所以直线AB 与平面α所成角的正弦值的取值范围为,32⎣⎦，则直线AB 与平面α所成角的余弦值的取值范围为,23⎣⎦，故C 正确；对于D ，当点M 与点C 重合时，四面体11AMD B 即为11ACD B 为正四面体，棱长AC =，由正四面体的性质可得，其内切球半径6123343r =⨯=，所以表面积为216π4π3r =，故D 正确．故选：ACD ．12.已知抛物线2:2C x y =的焦点为F ，准线为l ，A 、B 是C 上异于点O 的两点（O 为坐标原点）则下列说法正确的是（）A.若A 、F 、B 三点共线，则AB 的最小值为2B.若32AF =，则AOF 的面积为24C.若OA OB ⊥，则直线AB 过定点()2,0D.若60AFB ∠=，过AB 的中点D 作DE l ⊥于点E ，则ABDE的最小值为1【正确答案】ABD【分析】设出直线AB 的方程，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理、焦半径公式以及基本不等式可求得AB 的最小值，可判断A 选项；求出点A 的横坐标的绝对值，利用三角形的面积公式可判断B 选项；设直线AB 的方程为y kx b =+，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理以及0OA OB ⋅=求出b 的值，求出直线AB 所过定点的坐标，可判断C 选项；利用抛物线的定义以及基本不等式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，易知抛物线C 的焦点为10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当直线AB 与y 轴重合时，直线AB 与抛物线C 只有一个公共点，不合乎题意，设直线AB 的方程为12y kx =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立2122y kx x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩可得2210x kx --=，2440k ∆=+>，由韦达定理可得122x x k +=，121x x =-，则221212144x x y y ==，易知10y >，20y >，所以，12112AB y y =++≥+=，当且仅当1212y y ==时，等号成立，故AB 的最小值为2，A 对；对于B 选项，设点()11,A x y ，11322AF y =+=，可得11y =，所以，21122x y ==，则1x =，所以，11112224AOF S OF x =⋅=⨯=△，B 对；对于C 选项，易知AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y kx b =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，由于直线AB 不过原点，所以，0b ≠，联立22y kx bx y=+⎧⎨=⎩可得2220x kx b --=，2480k b ∆=+>，由韦达定理可得122x x b =-，所以，22212124x x y y b ==，因为OA OB ⊥，则2121220OA OB x x y y b b ⋅=+=-+=，解得2b =，所以，直线AB 的方程为2y kx =+，故直线AB 过定点()0,2，C 错；对于D 选项，过点A 作1AA l ⊥于点1A ，过点B 作1BB l ⊥于点1B ，设AF m =，BF n =，所以1122AA BB m nDE ++==，因为()2222222cos 3AB m n mn AFB m n mn m n mn=+-∠=+-=+-()()2222342m n m n m n DE ++⎛⎫≥+-== ⎪⎝⎭，所以AB DE ≥，则ABDE的最小值为1，当且仅当m n =时，等号成立，D对．故选：ABD ．方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()24,2,1log ,2x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩的值域是______．【正确答案】[)2,+∞【分析】根据分段函数结合常见函数的取值情况即可求得函数的值域.【详解】当2x ≤时，满足()42f x x =-+≥；当2x >时，由()21log 2f x x =+>，所以函数()f x 的值域为[)2,+∞．故[)2,+∞．14.某企业五一放假4天，安排甲、乙、丙、丁四人值班，每人只值班一天．已知甲不安排在第一天，乙不安排在最后一天，则不同的安排种数为______．【正确答案】14【分析】根据特殊元素法进行安排即可.【详解】①若甲安排在最后一天，则不同的安排数为33A 6=；②若甲不安排在最后一天，则不同的安排数为112222A A A 8=．综上，不同的安排种数为14．故答案为.1415.过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>右焦点F 的直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为点A ，O 为坐标原点，若OAF ∠的角平分线与x 轴交于点M ，且点M 到OA 与AF 的距离都为3b，则双曲线C 的离心率为______．【分析】如图设点A 在第一象限，根据点到直线的距离公式可得F 到渐近线by x a=的距离为b ，得OA a =，由题意得四边形MTAN 为正方形，有3tan 3bMN bAOF b ON a a ∠===-，整理可得2b a =，即可求解.【详解】由题意得，双曲线的渐近线为0bx ay ±=，(c,0)F ，如图，设点A 在第一象限，则点F 到渐近线by x a=的距离为AF d b ===，所以OA a ===，过点M 分别作MN OA ⊥于点N ，MT AF ⊥于点T ，又FA OA ⊥于A ，所以四边形MTAN 为正方形，得3b NA MN ==，所以3bON OA NA a =-=-，又3tan 3bMN b AOF b ON a a ∠===-，所以33a ba =-，得2b a =，则22225c a b a =+=，所以5c a =，故5ce a==，即双曲线的离心率为5.故答案为.516.已知四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的球面上，ADC △是边长为2的等边三角形，ADC △外接圆的圆心为O '．若四面体ABCD 的体积最大时，π3BAO ∠'=，则球O 的半径为______；若213AB BC ==，点E 为AC 的中点，且2π3BED ∠=，则球O 的表面积为______．【正确答案】①.43②.19π3【分析】先确定ADC △的外接圆半径，若四面体ABCD 的体积最大时，结合直角三角形的边角关系即可求得此时球O 的半径；若213AB BC ==，根据四面体的线面关系确定外接球球心O 的位置，求解半径大小，即可得此时球O 的表面积.【详解】设ACD 的外接圆的半径R ，由题可得2πsin 3ACR =，解得233R =；若四面体ABCD 的体积最大时，则点B 在过O 和O '的直径上，且,B O '在O 的两侧，在ACD 中，233AO R =='，又π3BAO ∠'=，所以πtan 23BO AO =⨯'='，设球O 的半径为r ，则在Rt AO O '△中，()2222323r r ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，解得43r =；如图，取AC 的中点E ，连接DE 并延长DE 交圆O '于点F ．连接,BE BF ，由2π3BED ∠=得，则2πππ33BEF ∠=-=．33223EF R AD =-⨯=．在ABE 中，223BE AB AE =-=，所以在BEF △中，由余弦定理得2222cos 1BF EF BE EF BE BEF =+-⋅∠=，可得BF EF ⊥，结合图形可得BF ⊥圆O '．连接OO '，过点O 作BF 的垂线，垂足为点G ，连接BO ，四面体ABCD 外接球的半径2222r GO BG OO O D ''=+=+解得1122OO BG BF '===，所以球O 的半径2212192123r ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭四面体ABCD 外接球的表面积为19π3．故43；19π3.四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 3b aA A c+=．（1）求角C ；（2）设BC 的中点为D ，且3AD =，求2+a b 的取值范围．【正确答案】（1）π3C =（2）(23,43【分析】（1）已知等式，由正弦定理和两角和的正弦公式化简，可求角C ；（2）设CAD θ∠=，由正弦定理，把2+a b 表示成θ的三角函数，利用三角函数的性质求取值范围.【小问1详解】ABC中，cos b a A A c +=，由正弦定理得sin sin cos sin B AA A C++=．所以sin cos sin sin sin C A A C B A +=+，即()sin cos sin sin sin sin cos sin cos sin C A A C A C A A C C A A +=++=++，sin sin cos sin A C A C A =+；又()0,πA ∈，则sin 0A ≠，所以cos 1C C -=，则有π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为()0,πC ∈，则ππ66C -=，即π3C =；【小问2详解】设CAD θ∠=，则ACD 中，由π3C =可知2π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由正弦定理及AD =可得2π2πsin sinsin 33CD AC AD θθ===⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2sin CD θ=，2π2sin 3AC θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以2ππ24sin 4sin 6sin 36a b θθθθθ⎛⎫⎛⎫+=+-=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由2π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可知，ππ5π,666θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，π1sin ,162θ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以(2a b +∈．即2+a b的取值范围(.18.在数列{}n a 中，10a =，且对任意的*n ∈N ，都有12nn n a a +-=．在等差数列{}n b 中，前n 项和为n S ，12b =，35228b S +=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设()*22nn n b c n a =∈+N ，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【正确答案】（1）22nn a =-，1n b n =+；（2）737994n nn T +=-⨯【分析】（1）由递推关系12n n n a a +-=，可用累加法即可求得22nn a =-，再对12b =，35228b S +=化简解得1d =，从而可得{}n b 的通项公式；（2）由知（1）结论即可求得14n n n c +=，利用错位相减法、等比数列的前n 项和公式即可得出结论.【小问1详解】由12nn n a a +-=得2n ≥时，()()21121122222n n n n n a a a a a a --=+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+=-．又10a =，满足22n n a =-，所以22nn a =-．设等差数列{}n b 的公差为d ，则()35111542225714282b S b d b d b d ⨯+=+++=+=，解得1d =，所以1n b n =+；【小问2详解】2124n n n n b n c a +==+，223414444n n n T 3+=+++⋅⋅⋅+①，231123144444n n n n n T ++=++⋅⋅⋅++②①-②得231111132111111164414444442414n n n n n n n T ++-⨯++=+++⋅⋅⋅+-=+-111141117372316441234n n n n n +++++⎛⎫=+--=- ⎪⨯⎝⎭所以737994n nn T +=-⨯．19.2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．卡塔尔世界杯后，某校为了激发学生对足球的兴趣，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，统计得出的数据如下表：喜欢足球不喜欢足球合计男生50女生25合计（1）根据所给数据完成上表，试根据小概率值0.001α=的独立性检验，分析该校学生喜欢足球与性别是否有关．（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球，已知男生进球的概率为34，女生进球的概率为13，每人踢球一次，假设各人踢球相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望．附：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++，a b c d n+++=．α0.0500.0100.001 xα 3.841 6.63510.828【正确答案】（1）表格见解析，该校学生喜欢篮球与性别有关；（2）分布列见解析，数学期望为11 6.【分析】（1）根据题意中的数据分析，补充列联表，利用卡方公式计算，结合独立性检验的思想即可下结论；（2）3人进球总次数ξ的所有可能取值为0，1，2，3．利用独立事件的乘法公式求出对应的概率，得出分布列，结合求数学期望公式计算即可求解.【小问1详解】因为随机抽取了男、女同学各100名进行调查，男生不喜欢篮球的有50人，女生喜欢篮球的有25人，所以男生喜欢篮球的有50人，女生不喜欢篮球的有75人.22⨯列联表如下：喜欢篮球不喜欢篮球合计男生5050100女生2575100合计75125200零假设为0H：该校学生喜欢篮球与性别无关．根据列联表中的数据，经计算得到()220.0012005075502513.310.82810010075125x χ⨯⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯，∴根据小概率值0.001α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为该校学生喜欢篮球与性别有关．【小问2详解】3人进球总次数ξ的所有可能取值为0，1，2，3．()212104324P ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()21231211131C 4433448P ξ⎛⎫==⋅⋅⨯+⨯= ⎪⎝⎭，()2121313212C 443432P ξ⎛⎫==⋅⋅⋅+⨯= ⎪⎝⎭，()231334316P ξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭．∴ξ的分布列如下：ξ0123P124134812316∴ξ的数学期望：()1131311012324482166E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．20.如图，在三棱锥-P ABC 中，ABC 为直角三角形，90ACB ∠=︒，PAC △的边长为4的等边三角形，4PB =，BC =．（1）求证：平面PAB ⊥平面ABC ；（2）求二面角A PB C --的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析（2）91【分析】（1）通过等腰三角形性质、中位线的性质、勾股定理，证明PE ⊥平面ABC ，可证平面PAB ⊥平面ABC ．（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求二面角的余弦值.【小问1详解】（方法一）证明：如图，分别取AC ，AB 的中点D ，E ，连接PD ，DE ，PE ，则//DE BC ．因为90ACB ∠=︒，BC =，所以DE AC ⊥，DE =因为PAC △是边长为4的等边三角形，所以PD AC ⊥，PD =，在ACB △中，(22222428AB AC BC =+=+=，AB =因为PA PB =，点E 为AB 的中点，所以PE AB ⊥，3PE =，在PDE △中，有222PD PE ED =+，所以PE ED ⊥，ED AB E ⋂=，,ED AB ⊂平面ABC ，所以PE ⊥平面ABC ，因为PE ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面ABC ．（方法二）证明：如图，分别取AC ，AB 的中点D ，E ，连接PD ，PE ，DE ，则DE BC ∥．因为90ACB ∠=︒，所以BC AC ⊥，AC DE ⊥，PAC △是等边三角形，则PD AC ⊥，由PD DE D =I ，,PD DE ⊂平面PDE ，所以AC ⊥平面PDE ，又PE ⊂平面PDE ，所以AC PE ⊥，因为PA PB =，点E 为AB 的中点，所以PE AB ⊥，又AC AB A ⋂=，,AC AB ⊂平面ABC ，则有PE ⊥平面ABC ，因为PE ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面ABC ．【小问2详解】以点C 为原点，直线CA ，CB 分别为x ，y 轴，过点C 且与PE 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则()0,0,0C ，()0,3,0B ，()4,0,0A ，()3,0E ，()3,3P ，()4,3,0AB =-，()0,23,0CB =，()3,3CP = ，()0,0,3PE =-．设平面PBC 的一个法向量为()111,,m x y z =r，则1111302330m CB m CP x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，取13x =，得110,2y z ==-，则()3,0,2m =- ．设平面PAB 的一个法向量为()222,,n x y z =r ，则22243030n AB x y n PE z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取23x =，得222,0y z ==，则)3,2,0n =．设二面角A PB C --的平面角为θ，所以333273cos cos ,91137m n θ===⋅．21.如图，椭圆()222:10416x y b bΓ+=<<的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A ，B ，C 分别为椭圆Γ的左、右顶点和上顶点，O 为坐标原点，过点1F 的直线l 交椭圆Γ于E ，F 两点，线段2EF 的中点为10,2⎛⎫⎪⎝⎭．点P 是Γ上在第一象限内的动点，直线AP 与直线BC 相交于点Q ，直线CP 与x 轴相交于点M．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设OCQ △的面积为1S ，OCM 的面积为2S ，求12S S ⋅的值．【正确答案】（1）221164x y +=（2）16【分析】（1）根据题意，利用待定系数法即可求出结果；（2）由题可知()4,0B ，()0,2C ，所以直线BC 的方程的截距式为142x y+=，即为240x y +-=．设直线AP 的斜率为k ，点P 的坐标为(),P P x y ，则AP 的方程为()4y k x =+，并与椭圆方程221164x y +=联立方程组解得2241614P k x k -=+，2814Pk y k =+，从而表达出点P 坐标，同理可得出M x ，Q x 的值，继而求得12S S ⋅的值．【小问1详解】因为线段2EF 的中点为10,2⎛⎫⎪⎝⎭在y 轴上，O 为12F F 的中点，所以1EF y ∥轴，即EF x ⊥轴，设(),1E c -，(),1F c --，222a b c =+，代入椭圆Γ的方程得，221116c b+=，又222216c a b b =-=-，所以22161116b b -+=，即2211116b b-+=，所以22116b b =，解得24b =，所以椭圆Γ的方程为221164x y +=．【小问2详解】由题意可得()4,0B ，()0,2C ，所以直线BC 的方程的截距式为142x y+=，即为240x y +-=．设直线AP 的斜率为k ，点P 的坐标为(),P P x y ，则AP 的方程为()4y k x =+，联立()221,1644,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2222143264160k x k x k +++-=，所以()226416414P k x k --=+，即2241614P k x k-=+，()28414P P k y k x k =+=+．所以2224168,1414k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭102k ⎛⎫<< ⎪⎝⎭．直线CP 的方程为22P P y y x x -=+，设点M ，Q 的坐标分别为(),0M x ，(),Q Q x y ，在22P P y y x x -=+中，令0y =得()4122212P M P k x x y k+-==--．解()240,4,x y y k x +-=⎧⎨=+⎩得()41212Q k x k -=+．所以()()12412412161212k k S S k k-+⋅=⋅=+-．关键点睛：本题第二问的关键是采取设线法，AP 的方程为()4y k x =+，并与椭圆方程221164x y +=联立方程组，解得P x ，P y 是关键；本题考查了椭圆的标准方程以及椭圆中三角形面积的问题，属于较难题.22.若对任意的实数k ，b ，函数()y f x kx b =++与直线y kx b =+总相切，则称函数()f x 为“恒切函数”．（1）判断函数()3f x x =是否为“恒切函数”；（2）若函数()()1e 1e 2x x f x x m =--+是“恒切函数”，求证：108m -<≤．【正确答案】（1）是“恒切函数”；（2）证明见解析.【分析】（1）设函数()f x 的切点为()00,x y ，分析“恒切函数”的性质可得()()0000f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，对于函数()3f x x =，则有3020030x x ⎧=⎨=⎩，解可得00x =，即可得出结论.（2）设函数()f x 的切点为()00,x y ，分析可得()000001e 1e 22e 2x x x m x x ⎧=---⎪⎨⎪=+⎩ ，设2e 2x x =+，考查2e 2x x =+的解，综合即可得答案.【小问1详解】根据题意，若函数()3f x x =为“恒切函数”，切点为()00,x y ，则()()0000,,f x kx b kx b f x k k ⎧++=+⎪⎨+=⎪⎩' 即()()0000f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，对于函数()3f x x =，()23f x x '=，所以30200,30,x x ⎧=⎨=⎩解得00x =．因此，函数()3f x x =是“恒切函数”；【小问2详解】根据题意，函数()()1e 1e 2xx f x x m =--+是“恒切函数”，设切点为()00,x y ，由()()1e 1e 2x x f x x m =--+，可得()()12e 2e 2x x f x x '=--，则有()()0000001e 1e 0,212e 2e 0,2x x x x x m x ⎧--+=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩ 即()000001e 1e ,22e 2,x x x m x x ⎧=---⎪⎨⎪=+⎩ 考查方程2e 2x x =+的解，设()2e 2x g x x =--，因为()2e 1x g x '=-，令()0g x '=，得ln 2x =-．当(),ln 2x ∈-∞-时，()0g x '<；当()ln 2,x ∈-+∞时，()0g x '>．所以，函数()y g x =的单调递减区间为(),ln 2-∞-，单调递增区间为()ln 2,-+∞．所以()()min ln 2ln 210g x g =-=-<．（i ）当(),ln 2x ∞∈--时，因为()2220e g -=>，()2110eg -=-<，所以，函数()y g x =在区间(),ln 2-∞-上存在唯一零点()02,1x ∈--．又因为()()()002000011111e 1e 21,028888x x m x x x x ⎛⎫=---=+=+-∈- ⎪⎝⎭；（ii ）当()ln 2,x ∈-+∞时，因为()00g =，所以函数()y g x =在区间()ln 2,-+∞上有唯一零点，则0m =，综上所述，108m -<≤．本题考查利用导数分析函数的切线以及函数的单调性，关键是理解“恒切函数”的定义，属于较难题.。

高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1.了解平面向量基本定理及其意义．2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示．3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【热点题型】题型一 平面向量基本定理的应用例1 (1)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ等于( )A.15B.25C.35D.45(2)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案 (1)D (2)311解析 (1)因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →， 所以AB →＝85AN →－45AM →， 所以λ＋μ＝45. (2)设BP →＝kBN →，k ∈R. 因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k(AN →－AB →)＝AB →＋k(14AC →－AB →)＝(1－k)AB →＋k 4AC →， 且AP →＝mAB →＋211AC →，所以1－k ＝m ，k 4＝211， 解得k ＝811，m ＝311. 【提分秘籍】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【举一反三】已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是( ) A.23B.43 C ．－3D ．0题型二平面向量的坐标运算例2 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ， (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ； (3)求M 、N 的坐标及向量MN →的坐标．解 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M(0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ， ∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)．∴MN →＝(9，－18)． 【提分秘籍】向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．【举一反三】(1)已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( ) A ．(－2，－1) B ．(－2,1) C ．(－1,0) D ．(－1,2)(2)已知A(7,1)、B(1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝________.题型三向量共线的坐标表示例3 (1)已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m)，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________.(2)(·陕西)设0<θ<π2，向量a ＝(sin2θ，cosθ)，b ＝(cosθ，1)，若a ∥b ，则tanθ＝________.【提分秘籍】(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a ∥b 的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a ∥b(b≠0)，则a ＝λb.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．【举一反三】(1)已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D 的坐标为________．(2)△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若p ＝(a ＋c ，b)，q ＝(b －a ，c －a)，且p ∥q ，则角C ＝________.答案 (1)(2,4) (2)60°解析 (1)∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，∴DC →＝2AB →. 设点D 的坐标为(x ，y)，则DC →＝(4,2)－(x ，y)＝(4－x,2－y)， AB →＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)． (2)因为p ∥q ，则(a ＋c)(c －a)－b(b －a)＝0， 所以a2＋b2－c2＝ab ， 所以a2＋b2－c22ab ＝12， 结合余弦定理知， cosC ＝12，又0°<C<180°， 所以C ＝60°. 【高考风向标】1.【高考新课标1，文2】已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =( ) （A ）(7,4)--（B ）(7,4)（C ）(1,4)-（D ）(1,4) 【答案】A【解析】∵AB OB OA =-=（3,1），∴BC =AC AB -=(7,4)，故选A.1．（·重庆卷） 已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b)⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92 B ．0 C ．3 D.152 【答案】C【解析】∵2a －3b ＝2(k ，3)－3(1，4)＝(2k －3，－6)，又(2a －3b)⊥c ，∴(2k －3)×2＋(－6)＝0，解得k ＝3.2．（·福建卷） 在下列向量组中，可以把向量a ＝(3，2)表示出来的是( ) A ．e1＝(0，0)，e2＝(1，2) B ．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2) C ．e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D ．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3) 【答案】B【解析】由向量共线定理，选项A ，C ，D 中的向量组是共线向量，不能作为基底；而选项B 中的向量组不共线，可以作为基底，故选B.3．（·山东卷） 已知向量a ＝(m ，cos 2x)，b ＝(sin 2x ，n)，函数f(x)＝a·b ，且y ＝f(x)的图像过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2.(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f(x)的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g(x)的图像，若y ＝g(x)图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g(x)的单调递增区间．【解析】(1)由题意知，f(x)＝＝msin 2x ＋ncos 2x.因为y ＝f(x)的图像过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2， 所以⎩⎨⎧3＝msin π6＋ncos π6，－2＝msin 4π3＋ncos 4π3，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f(x)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.由题意知，g(x)＝f(x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ＋π6.设y ＝g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0，2)． 由题意知，x20＋1＝1，所以x0＝0， 即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)． 将其代入y ＝g(x)得，sin ⎝⎛⎭⎫2φ＋π6＝1.因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此，g(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x.由2kπ－π≤2x≤2kπ，k ∈Z 得kπ－π2≤x≤kπ，k ∈Z ， 所以函数y ＝g(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤kπ－π2，kπ，k ∈Z.4．（·陕西卷） 设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________． 【答案】12【解析】因为向量a ∥b ，所以sin 2θ－cos θ·cos θ＝0，又cos θ≠0，所以2sin θ＝cos θ，故tan θ＝12. 5．（·陕西卷） 在直角坐标系xOy 中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x ，y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若PA →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R)，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．(2)∵OP →＝mAB →＋nAC →， ∴(x ，y)＝(m ＋2n ，2m ＋n)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减得，m －n ＝y －x ，令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B(2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1. 6．（·安徽卷） 在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P|OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是( )A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 3 【答案】D【解析】由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，可得点A ，B 在圆x2＋y2＝4上且∠AOB ＝60°，在平面直角坐标系中，设A(2，0)，B(1，3)，设P(x ，y)，则(x ，y)＝λ(2，0)＋μ(1，3)，由此得x ＝2λ＋μ，y ＝3μ，解得μ＝y 3，λ＝12x －12 3y ，由于|λ|＋|μ|≤1， 所以12x －12 3y ＋13y≤1，即|3x －y|＋|2y|≤2 3.①⎩⎨⎧3x －y≥0，y≥0，3x ＋y≤2 3或②⎩⎨⎧3x －y≥0，y<0，3x －3y≤2 3或 ③⎩⎨⎧3x －y<0，y≥0，－3x ＋3y≤23或④⎩⎨⎧3x －y<0，y<0，－3x －y≤2 3.上述四个不等式组在平面直角坐标系中表示的区域如图阴影部分所示，所以所求区域的面积是4 3.7．（·湖南卷） 已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b|＝1，则|c|的取值范围是( )A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．1，2＋2 【答案】A【解析】由题可知a·b ＝0，则a ⊥b ，又|a|＝|b|＝1，且|c －a －b|＝1，不妨令c ＝(x ，y)，a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，则(x －1)2＋(y －1)2＝1，又|c|＝x2＋y2，故根据几何关系可知|c|max ＝12＋12＋1＝1＋2，|c|min ＝12＋12－1＝2－1，故选A.8．（·北京卷） 向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝________．图1－3 【答案】4【解析】以向量a 和b 的交点为原点，水平方向和竖直方向分别为x 轴和y 轴建立直角坐标系，则a ＝(－1，1)，b ＝(6，2)，c ＝(－1，－3)，则⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.9．（·辽宁卷） 已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35【答案】A【解析】∵AB →＝(3，－4)，∴与AB →方向相同的单位向量为AB →|AB →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45，故选A. 10．（·天津卷） 在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．【答案】1211．（·新课标全国卷Ⅱ] 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________．【答案】2【解析】如图，建立直角坐标系，则AE →＝(1，2)，BD →＝(－2，2)，AE →·BD →＝2.12．（·重庆卷） 如图1－9所示，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A′两点，|AA′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P′，过P ，P′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外，若PQ ⊥P′Q ，求圆Q 的标准方程．图1－9【解析】(1)由题意知点A(－c ，2)在椭圆上，则（－c ）2a2＋22b2＝1，从而e2＋4b2＝1. 由e ＝22得b2＝41－e2＝8，从而a2＝b21－e2＝16.故该椭圆的标准方程为x216＋y28＝1.13．（·重庆卷） 在平面上，AB1→⊥AB2→，|OB1|＝|OB2→|＝1，AP →＝AB1→＋AB2→.若|OP →|＜12，则|OA →|的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，52 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，72 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，2 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤72，2【答案】D【高考押题】1．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量A B →同方向的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45D.⎝⎛⎭⎫－45，35 答案 A解析 A B →＝O B →－O A →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与A B →同方向的单位向量为A B →|A B →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45.2．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21) 答案 B解析 BC →＝3PC →＝3(2PQ →－PA →) ＝6PQ →－3PA →＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb)∥c ，则λ等于( ) A.14B.12C ．1D ．2 答案 B解析 ∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)， 且(a ＋λb)∥c ，∴1＋λ3＝24，∴λ＝12，故选B.4．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 B5.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2PA →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14 答案 A解析 由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2PA →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x＝23，y ＝13.6．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b) (ab≠0)共线，则1a ＋1b 的值为________． 答案 12解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)， 依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0， 即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12.7．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．答案 k≠18．已知A(－3,0)，B(0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值为________．答案 1解析 由题意知OA →＝(－3,0)，OB →＝(0，3)， 则OC →＝(－3λ，3)，由∠AOC ＝30°知，以x 轴的非负半轴为始边，OC 为终边的一个角为150°， ∴tan150°＝3－3λ，即－33＝－33λ，∴λ＝1.9．已知A(1,1)、B(3，－1)、C(a ，b)． (1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式； (2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解 (1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)． ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →∥AC →， ∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2. (2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－3， ∴点C 的坐标为(5，－3)．10．已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问： (1)t 为何值时，P 在x 轴上？在y 轴上？在第三象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形，若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法． 【重点知识梳理】1．求数列的前n 项和的方法 (1)公式法①等差数列的前n 项和公式 Sn ＝n （a1＋an ） 2 ＝na1＋n （n －1）2d ． ②等比数列的前n 项和公式 (ⅰ)当q ＝1时，Sn ＝na1；(ⅱ)当q≠1时，Sn ＝a1（1－qn ）1－q ＝a1－anq1－q .(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．(6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an ＝ (－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 2．常见的裂项公式 (1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1. (2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n.【高频考点突破】 考点一 分组转化法求和【例1】设数列{an}满足a1＝2，a2＋a4＝8，且对任意n ∈N*，函数f(x)＝(an －an ＋1＋an ＋2)x ＋an ＋1cos x －an ＋2sin x 满足f′⎝⎛⎭⎫π2＝0. (1)求数列{an} 的通项公式；(2)若bn ＝2⎝⎛⎭⎫an ＋12an ，求数列{bn}的前n 项和Sn.规律方法 常见可以使用公式求和的数列：(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解；(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时，分别使用等差数列或等比数列的求和公式．【变式探究】在等差数列{an}中，已知公差d ＝2，a2是a1与a4的等比中项． (1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn ＝a n （n ＋1）2，记Tn ＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋(－1)nbn ，求Tn.考点二 错位相减法求和【例2】 (·江西卷)已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n ∈N*)满足anbn ＋1－an ＋1bn ＋2bn ＋1bn ＝0.(1)令cn ＝anbn ，求数列{cn}的通项公式； (2)若bn ＝3n －1，求数列{an}的前n 项和Sn.【规律方法】(1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn －qSn”的表达式．【变式探究】数列{an}满足a1＝1，nan ＋1＝(n ＋1)an ＋n(n ＋1)，n ∈N*.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫an n 是等差数列；(2)设bn ＝3n·an ，求数列{bn}的前n 项和Sn.考点三 裂项相消法求和【例3】正项数列{an}的前n 项和Sn 满足：S2n －(n2＋n －1)Sn －(n2＋n)＝0. (1)求数列{an}的通项公式an ；(2)令bn ＝n ＋1（n ＋2）2a2n，数列{bn}的前n 项和为Tn ，证明：对于任意的n ∈N*，都有Tn ＜564.规律方法利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．【变式探究】 (·山东卷)已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(－1)n－14nanan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.【真题感悟】【高考福建，文17】等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【答案】（Ⅰ）2n a n =+；（Ⅱ）2101．【高考北京，文16】（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 【答案】（I ）22n a n =+；（II ）6b 与数列{}n a 的第63项相等.【高考安徽，文18】已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）12n n a -=（Ⅱ） 112221n n ++--【高考山东，文19】已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n naa +⎧⎫⎨⎬•⎩⎭的前n 项和为21nn +. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()12n an n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（I ）2 1.n a n =- (II) 14(31)4.9n n n T ++-⋅=【高考重庆，文16】已知等差数列{}n a满足3a=2，前3项和3S=9 2 .(Ⅰ)求{}n a的通项公式，(Ⅱ)设等比数列{}n b满足1b=1a，4b=15a，求{}n b前n项和n T.【答案】（Ⅰ）+1=2nna，（Ⅱ）21nnT.1．（·江西卷）已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.(1)令cn＝anbn，求数列{cn}的通项公式；(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.2．（·全国卷）等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1anan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.3．（·山东卷）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(－1)n－14nanan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.4．（·江西卷）正项数列{an}的前n项和Sn满足：S2n－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝n＋1（n＋2）2a2n ，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<564.5．（·湖南卷）设Sn 为数列{an}的前n 项和，Sn ＝(－1)nan －12n ，n ∈N*，则 (1)a3＝________；(2)S1＋S2＋…＋S100＝________．6．（·山东卷）设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且S4＝4S2，a2n ＝2an ＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}的前n 项和为Tn ，且Tn ＋an ＋12n ＝λ(λ为常数)，令cn ＝b2n(n ∈N*)，求数列{cn}的前n 项和Rn.【押题专练】1．等差数列{an}的通项公式为an ＝2n ＋1，其前n 项和为Sn ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫Sn n 的前10项的和为 ()A ．120B ．70C ．75D ．100【答案】C2．已知函数f(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧n2 （当n 为奇数时），－n2（当n 为偶数时），且an ＝f(n)＋f(n ＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于()A ．0B ．100C ．－100D ．10 200【答案】B3．数列a1＋2，…，ak ＋2k ，…，a10＋20共有十项，且其和为240，则a1＋…＋ak ＋…＋a10的值为()A ．31B ．120C ．130D ．185【答案】C4．已知数列{an}满足a1＝1，an ＋1·an ＝2n(n ∈N*)，则S2 016＝() A ．22 016－1B ．3·21 008－3C ．3·21 008－1D ．3·21 007－2【答案】B5．已知数列{an}：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若bn ＝1anan ＋1，那么数列{bn}的前n 项和Sn 为()A.n n ＋1B.4n n ＋1C.3n n ＋1D.5n n ＋1【答案】B6．数列{an}满足an ＋an ＋1＝12(n ∈N*)，且a1＝1，Sn 是数列{an}的前n 项和，则S21＝() A.212B ．6C ．10D ．11【答案】B7．已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且an ＝f(n)＋f(n ＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝ ()A ．－100B ．0C ．100D ．10 200【答案】A8．设f(x)＝4x 4x ＋2，利用倒序相加法，可求得f ⎝⎛⎭⎫111＋f ⎝⎛⎭⎫211＋…＋f ⎝⎛⎭⎫1011的值为________．【答案】59．在等差数列{an}中，a1>0，a10·a11<0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是________．【答案】6010．在数列{an}中，a1＝1，an ＋1＝(－1)n(an ＋1)，记Sn 为{an}的前n 项和，则S2 013＝________．【答案】－1 00511．等比数列{an}的前n 项和Sn ＝2n －1， 则a21＋a22＋…＋a2n ＝________．【答案】13(4n －1)12．已知数列{an}的前n 项和是Sn ，且Sn ＋12an ＝1(n ∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn ＝log 13(1－Sn ＋1)(n ∈N*)，令Tn ＝1b1b2＋1b2b3＋…＋1bnbn ＋1，求Tn.13．在等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表中的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求数列{bn}的前n项和Sn.高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515- B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。

全国高考数学模拟试卷(4套)一、选择题（共30题，每题2分，共60分）1. 已知函数 $ f(x) = x^2 4x + 3 $，则下列哪个选项是正确的？A. $ f(x) $ 在 $ x = 2 $ 处取得最小值B. $ f(x) $ 在 $ x = 2 $ 处取得最大值C. $ f(x) $ 在 $ x = 2 $ 处取得极值D. $ f(x) $ 在 $ x = 2 $ 处无极值2. 若 $ \log_2 8 = x $，则 $ x $ 的值为多少？A. 3B. 4C. 5D. 63. 已知等差数列 $ \{a_n\} $，若 $ a_1 = 3 $，$ a_3 = 9 $，则 $ a_5 $ 的值为多少？A. 12B. 15C. 18D. 214. 若 $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $，则下列哪个选项是正确的？A. $ \sin x $ 和 $ \cos x $ 必须同时为正B. $ \sin x $ 和 $ \cos x $ 必须同时为负C. $ \sin x $ 和 $ \cos x $ 一正一负D. $ \sin x $ 和 $ \cos x $ 可以同时为零5. 若 $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $，则下列哪个选项是正确的？A. $ a + c = b + d $B. $ ad = bc $C. $ a c = b d $D. $ \frac{a}{c} = \frac{b}{d} $6. 已知 $ a $、$ b $、$ c $ 是等边三角形的三边长，则下列哪个选项是正确的？A. $ a^2 + b^2 = c^2 $B. $ a^2 + c^2 = b^2 $C. $ b^2 + c^2 = a^2 $D. $ a = b = c $7. 若 $ \frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1 $，则下列哪个选项是正确的？A. 该方程表示椭圆B. 该方程表示双曲线C. 该方程表示抛物线D. 该方程表示圆8. 已知 $ \sqrt{3} $ 是方程 $ x^2 2x + 1 = 0 $ 的根，则该方程的另一根为多少？A. $ 1 \sqrt{3} $B. $ 1 + \sqrt{3} $C. $ 2 \sqrt{3} $D. $ 2 + \sqrt{3} $9. 若 $ a $、$ b $、$ c $ 是三角形的三边长，且 $ a^2 +b^2 = c^2 $，则下列哪个选项是正确的？A. 该三角形是等腰三角形B. 该三角形是等边三角形C. 该三角形是直角三角形D. 该三角形是钝角三角形10. 若 $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z} $，则下列哪个选项是正确的？A. $ x + y = z $B. $ xy = z $C. $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = z $D. $ x + y + z = 0 $二、填空题（共10题，每题2分，共20分）11. 已知 $ f(x) = 2x + 1 $，若 $ f(3) = 7 $，则 $ f(1)$ 的值为______。

全国高考数学模拟试卷（4套）试卷一：基础能力测试一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数 $ f(x) = \sqrt{3x 1} $ 在区间 $[0, 2]$ 上有定义，则 $ x $ 的取值范围是：A. $[0, 1]$B. $[0, 2]$C. $[1, 2]$D. $[1, 3]$2. 已知集合 $ A = \{x | x^2 3x + 2 = 0\} $，则集合 $ A $ 的元素个数是：A. 1B. 2C. 3D. 43. 若 $ a, b $ 是方程 $ x^2 4x + 3 = 0 $ 的两个根，则$ a + b $ 的值是：A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知函数 $ f(x) = 2x^3 3x^2 + x $，则 $ f'(1) $ 的值是：A. 2B. 3C. 4D. 55. 若 $ \log_2 8 = x $，则 $ x $ 的值是：A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知等差数列 $ \{a_n\} $ 的首项 $ a_1 = 2 $，公差 $ d = 3 $，则第10项 $ a_{10} $ 的值是：A. 29B. 30C. 31D. 327. 若 $ \sin 45^\circ = x $，则 $ x $ 的值是：A. $ \frac{\sqrt{2}}{2} $B. $ \frac{\sqrt{3}}{2} $C. $ \frac{1}{2} $D. $ \frac{1}{\sqrt{2}} $8. 已知函数 $ f(x) = \frac{1}{x} $，则 $ f^{1}(x) $ 的表达式是：A. $ x $B. $ \frac{1}{x} $C. $ x $D. $ \frac{1}{x} $9. 若 $ a^2 = b^2 $，则 $ a $ 和 $ b $ 的关系是：A. $ a = b $B. $ a = b $C. $ a = b $ 或 $ a = b $D. $ a $ 和 $ b $ 无关10. 已知等比数列 $ \{a_n\} $ 的首项 $ a_1 = 1 $，公比 $ q = 2 $，则第5项 $ a_5 $ 的值是：A. 8B. 16C. 32D. 64二、填空题（每题5分，共20分）1. 若 $ x^2 5x + 6 = 0 $，则 $ x $ 的值是 ________。

2023-2024学年安徽省高考数学仿真模拟试题卷（三模）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数0z ≠，则“1z =”是“1R z z +∈”的（）条件.A.充分不必要B.必要不充分C 充要 D.既不充分也不必要【正确答案】A【分析】当1z ==时，即221a b +=，12R z a z+=∈，充分性；取2z =，则15R 2z z +=∈，2z =，不必要，得到答案.【详解】设i z a b =+，,R a b ∈，当1z ==时，即221a b +=，2211i i i 2R i a b z a b a b a z a b a b-+=++=++=∈++，充分性；取2z =，则15R 2z z +=∈，2z =，不必要性.综上所述：“1z =”是“1R z z +∈”的充分不必要条件.故选：A2.若函数sin cos y a x b x =+（其中,a b R ∈，且,0a b >）可化为)y x ϕ=-，则ϕ应满足条件（）A.tan ba ϕ=B.cos ϕ=C.tan a bϕ=D.sin ϕ=【正确答案】C【分析】先逆用两角和的正弦公式进行化简，再结合诱导公式，得到22k πϕθπ-=+，进而求得tan a bϕ=.【详解】sin cos y a x b x=+x x ⎫=+⎪⎭)x θ=+，其中tan baθ=，函数sin cos y a x b x =+（其中,a b R ∈，且,0a b >）可化为)y x ϕ=-，∴()sin()cos x x θϕ+=-，即sin()sin 2x x πθϕ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，∴22k πϕθπ-=+()k Z ∈，∴()tan tan 22k πϕθπ⎛⎫-=+⎪⎝⎭，即cot tan ϕθ=，∴1tan tan a b ϕθ==，故选：C.本题考查了两角和的正弦公式以及诱导公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，需熟记公式，属于基础题.3.某种品牌手机的电池使用寿命X （单位：年）服从正态分布()()24,0N σσ>，且使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为（）A.0.9B.0.7C.0.3D.0.1【正确答案】D【分析】根据正态分布的对称性求解即可.【详解】由题得：()20.9P x ≥=，故()20.1P x <=，因为6242+=，所以根据对称性得.()()620.1P x P x ≥=<=故选：D.4.中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗，斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意为粮食满园、称心如意、十全十美．下图为一种婚庆升斗的规格，把该升斗看作一个正四棱台，忽略其壁厚，则该升斗的容积约为（）39.6,1L 1000cm ≈=，参考公式：(13V S S h 下上棱台=++⋅）A.1.5LB.2.4LC.5.0LD.7.1L【正确答案】B【分析】由勾股定理算出高h ，即可由公式求体积.【详解】由题意，正四棱台中，设棱台的高为h ，则22222202112239236711.591.752224h 骣骣琪琪琪=-=-==琪琪琪桫桫桫，故(223120112371.2cm 2.4L 3V 棱台=⨯+≈≈.故选：B5.已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A ，B 如图所示.其中()()()()12,6,4,8,n n A n B n A B Ω===⋃=则事件A 与事件B （）A.是互斥事件，不是独立事件B.不是互斥事件，是独立事件C.既是互斥事件，也是独立事件D.既不是互斥事件，也不是独立事件【正确答案】B【分析】由()4n A B = 可判断事件是否为互斥事件，由()()()P AB P A P B =可判断事件是否为独立事件.【详解】因为()12,()6,()4,()8n n A n B n A B Ω==== ，所以()2n A B = ，()4n A B = ，()8n B =，所以事件A 与事件B 不是互斥事件，所以()41123P AB ==，()()68112123P A P B =⨯=，所以()()()P AB P A P B =，所以事件A 与事件B 是独立事件.故选：B.6.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =--，且函数()1f x +是偶函数，当[]1,0x ∈-时，()21f x x =-，则20235f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.925B.1625C.3425D.4125【正确答案】C【分析】由函数(1)f x +是偶函数，可得函数()f x 的图像关于直线1x =对称，从而有()(2)f x f x -=+，再结合()2()f x f x =--可得函数()f x 的周期为4，然后利用周期和()2()f x f x =--将20235化到[]1,0-上即可求解.【详解】因为函数(1)f x +是偶函数，所以(1)(1)f x f x -=+，所以()(2)f x f x -=+，因为()2()f x f x =--，所以()(2)2f x f x ++=，所以(2)(4)2f x f x +++=，所以()(4)f x f x =+，所以函数()f x 的周期为4，所以33()(101204)()53525f f f =⨯+=，因为233334()2(21()55525f f ⎡⎤=--=---=⎢⎥⎣⎦，所以202334525f ⎛⎫=⎪⎝⎭.故选：C.7.已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的两条弦AB CD ，相交于点P （点P 在第一象限），且AB x ⊥轴，CD y ⊥轴.若:::1:3:1:5PA PB PC PD =，则椭圆E 的离心率为（）A.5B.105C.5D.5【正确答案】B【分析】设(),,P m n PA t =，进而得,,,A B C D 的坐标，进而根据对称性得()()3,,2,2A t t C t t ，再代入椭圆方程整理得2235b a =，最后求解离心率即可.【详解】解：设(),,P m n PA t =，则()(),,,3A m n t B m n t +-，()(),,5,C m t n D m t n +-，由题知,A B 关于x 轴对称，,C D 关于y 轴对称，所以30n t n t ++-=，50m t m t ++-=，即n t =，2m t =，所以()()3,,2,2C t t A t t ，所以2222222291441t t a b t t a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即22229144a b a b +=+，所以2253a b=，即2235b a =，所以椭圆E的离心率为5e ===.故选：B8.已知0a b >>，1ab =，设2ab x =，2log ()y a b =+，1z a b=+，则log 2x x ，log 2y y ，log 2z z 的大小关系为（）A.log 2log 2log 2x y z x y z >>B.log 2log 2log 2y z x y z x >>C.log 2log 2log 2x z y x z y >>D.log 2log 2log 2y x z y x z>>【正确答案】B【分析】由已知0a b >>，1ab =，可得1=a b，且a ＞1＞b ＞0，不难判断x ，y ，z 的大小关系01x y z <<<<，再根据对数运算法则及对数函数性质可得大小关系.【详解】∵a ＞b ＞0，1ab =，∴可得1=a b ，且a ＞1＞b ＞0，∴11222a ab x a ==<⋅，222log ()log log 21y a b =+>==，122z a a a a b=+=+=>，又()()22log (1)z y a a b f a a -=-+=＞，()120f a a b'=-+＞，()f a 单调递增，()()212log (1)0f a f b =-+>＞，∴z y -＞0，∴01x y z <<<<，∵log 2=log 21x x x +，log 2log 21y y y =+，log 2=log 2+1z z z ，根据对数函数性质可得log 2log 2log 2x z y <<，∴log 2log 2log 2y z x y z x >>．故选B ．本题考查对数函数的性质及运算定律，涉及基本不等式和不等式性质的应用，属于综合题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在9x⎛+ ⎝的展开式中，下列结论正确的是（）A.第6项和第7项的二项式系数相等B.奇数项的二项式系数和为256C.常数项为84D.有理项有2项【正确答案】BC【分析】根据二项式展开式的特征，即可结合选项逐一求解.【详解】9x⎛⎝的展开式中共有10项，由二项式系数的性质可得展开式中的第5项和第6项的二项式系数相等，故A 错误；由已知可得二项式系数之和为92，且展开式中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，所以奇数项的二项式系数和为82256=，故B 正确；展开式的通项为139922199C C ,09,N rr r r rr T x x x r r ---+⎛⎫==≤≤∈ ⎪⎝⎭，令3902r -=，解得6r =．故常数项为6399C C 84==，故C 正确；有理项中x 的指数为整数，故0r =，2，4，6，8，故有理项有5项，故D 错误．故选：BC10.下列说法正确的是（）A.若直线a 不平行于平面α，a α⊄，则α内不存在与a 平行的直线B.若一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β，则αβ∥C.设l ，m ，n 为直线，m ，n 在平面α内，则“lα⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的充要条件D.若平面α⊥平面1α，平面β⊥平面1β，则平面α与平面β所成的二面角和平面1α与平面1β所成的二面角相等或互补【正确答案】AB【分析】对于选项ABC ，可根据线面平行的判定定理，面面平行的判定定理和线面垂直的判定定理进行判定；对于选项D ，可在长方体中寻找特殊平面进行排除.【详解】选项A ，若存在直线，则由直线和平面平行的判定定理知直线a 与平面α平行，与条件相矛盾，故选项A 正确；选项B ，由面面平行的判定定理可知选项B 正确；选项C ，当直线,m n 不相交时，由线面垂直的判定定理知：l m ⊥且l n ⊥时，得不到l α⊥，故选项C 错误；选项D ，当11//αβ，αβ⊥时，可满足题设条件，此时平面α与平面β所成的二面角为90︒,平面1α与平面1β所成的二面角为0︒，故选项D 错误.故选：AB11.定义在R 上的函数()()π2sin N 3f x x ωω*⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭满足在区间ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭内恰有两个零点和一个极值点，则下列说法不正确．．．的是（）A.()f x 的最小正周期为π2B.将()f x 的图象向右平移π3个单位长度后关于原点对称C.()f x 图象的一个对称中心为π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()f x 在区间π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增【正确答案】ABC【分析】根据题意可求出ω的值，从而可得到()f x 的解析式，再根据解析式逐项分析即可．【详解】依题可知π23T T <<，于是36ω<<，于是πππ0263ππ3ππ632ωω⎧-≤-+<⎪⎪⎨⎪<+≤⎪⎩，∴45ω<≤，又N ω*∈，∴5ω=，∴()π2sin 53f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，由2π2π==5T ω，则()f x 的最小正周期为25π，故A 错误；对于B ，因为ππ4π4π2π2sin 52sin 52sin 52π2sin 533333x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以将()f x 的图象向右平移π3个单位长度后得()2π2sin 53g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()2π02sin 3g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()g x 不关于原点对称，故B 错误；对于C ，由π7π2sin 166f ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭不是()f x 图象的一个对称中心，故C 错误；对于D ，由π,06x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则πππ5,323x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故D 正确．故选：ABC ．12.平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)M -，(2,0)N ，动点P 满足||||5PM PN ⋅=，则下列结论正确的是（）A.点P 的横坐标的取值范围是⎡⎣B.OP 的取值范围是[]1,3C.PMN 面积的最大值为52D.PM PN +的取值范围是⎡⎤⎣⎦【正确答案】BC【分析】设出点P 的坐标，列出方程并化简整理，放缩解不等式判断A ；利用几何意义并结合求函数值域判断B ；利用三角形面积公式计算判断C ；取点计算判断D 作答.【详解】设点(,)P x y ，依题意，2222[(2)][(2)]25x y x y ++-+=，对于A ，2222222225[(2)][(2)](2)(2)(4)x y x y x x x =++-+≥+-=-，当且仅当0y =时取等号，解不等式22(4)25x -≤得：33x -≤≤，即点P 的横坐标的取值范围是[3,3]-，A 错误；对于B ，2222[(4)4][(4)4]25x y x x y x +++++-=，则224x y ++=显然209x ≤≤，因此||[1,3]OP ==，B 正确；对于C ，PMN 的面积115||||sin ||||222S PM PN MPN PM PN =∠≤=，当且仅当90MPN ∠= 时取等号，当90MPN ∠= 时，点P 在以线段MN 为直径的圆224x y +=上，由222244x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩解得39454x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩，所以PMN 面积的最大值为52，C 正确；对于D ，因为点(3,0)在动点P 的轨迹上，当点P 为此点时，516PM PN +=+=，D 错误.故选：BC易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()()()()1,2,3,4,2,2,3,5A B C D --，则AB 在CD上的投影为______.【正确答案】2105【分析】先求AB ，CD，再求AB ，CD ，AB CD ⋅ ，利用向量夹角余弦公式求夹角，再由投影向量的模长公式求解.【详解】因为()()()()1,2,3,4,2,2,3,5A B C D --，所以()2,2AB =，()1,3CD =- ，所以AB ==，CD == ，264AB CD ⋅=-+= ，设向量AB 与CD 的夹角为θ，5cos 5|||AB CD AB CD θ⋅===，那么AB 在CD上的投影为5210cos 55AB θ==|故答案为.514.已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为20π的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为__________．【正确答案】10π【分析】先求出半径，根据条件列出圆柱底面半径和母线的关系，即可得到侧面积表达式，然后用基本不等式即可求解最大值.【详解】解：设球的半径为R ，圆柱的底面半径为r ，母线为l ，由题意可知，24π20πR R =⇒=，又圆柱的两个底面的圆周都在球面上，则满足22252l r R ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，而圆柱的侧面积2πS rl =，0l >，因为22222l l r r lr ⎛⎫+≥⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当2l r =，即102r =，l =时等号成立，所以5lr ≤，2π10πS rl =≤，故10π15.已知实数a b c d ,,,成等比数列，且函数()ln 2y x x =+-，当x b =时取到极大值c ，则ad 等于______.【正确答案】1-【分析】通过导函数，求出极值，再利用等比数列的性质，即可求解.【详解】令()()ln 2f x x x =+-，则函数()()ln 2f x x x =+-的定义域为()2,-+∞，导函数11()122x f x x x --'=-=++，当()2,1x ∈--时，()0f x '>，函数()f x 在()2,1--上单调递增，当()1,x ∈-+∞时，()0f x '<，函数()f x 在()1,-+∞上单调递减，所以当=1x -时，函数()ln 2y x x =+-取极大值，极大值为1，所以1,1b c =-=，故bc 1=-，又a b c d ,,,成等比数列，所以1ad bc ==-，故答案为.1-16.如图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻（上、下相邻或左、右相邻）的开关改变状态.若从这十六个开关中随机选两个不同的开关先后各按1次（例如：先按()1,1，再按()4,4），则()2,3和()4,1的最终状态都未发生改变的概率为______.()1,1()1,2()1,3()1,4()2,1()2,2()2,3()2,4()3,1()3,2()3,3()3,4()4,1()4,2()4,3()4,4【正确答案】41120【分析】根据开关阵列的性质，结合古典概型的概率公式进行求解即可.【详解】要使得()2,3的状态发生改变，则需要按()1,3，()2,2，()2,3，()2,4，()3,3这五个开关中的一个，要使得()4,1的状态发生改变，则需要按()3,1，()4,1，()4,2这三个开关中的一个，所以要使得()2,3和()4,1的最终状态都未发生改变，则需按其他八个开关中的两个或()1,3，()2,2，()2,3，()2,4，()3,3中的两个或()3,1，()4,1，()4,2中的两个，故所求概率为222853216A A A 41A 120++=.故41120关键点睛：根据开关阵列的判断出：要使得()2,3和()4,1的最终状态都未发生改变，则需按其他八个开关中的两个或()1,3，()2,2，()2,3，()2,4，()3,3中的两个或()3,1，()4,1，()4,2中的两个，是解题的关键.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知{}n a 为等差数列，且11a =，()6423a a a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：()*12na nb n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，{}n b 的前n 项和为n S ，求127128n S ≤成立的n 的最大值.【正确答案】（1）n a n =（2）7【分析】（1）代入公式求出公差即可求通项公式；（2）代入等比数列的前n 项和公式即可.【小问1详解】设数列{}n a 的公差为：d ，()6423a a a =-，11a =∴()111533a d a d a d +=+--，∴1d =.∴()1111n a a n d n n =+-=+-=，即n a n =.【小问2详解】()*12na nb n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，nan =，∴12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴数列{}n b 为等比数列，所以11112211212n n nS ⎛⎫- ⎪⎝⎭==--由127128nS ≤，即112712128n -≤，化简得：111282n ≤，解得17n ≤≤，()*n ∈N ，所以，要使127128nS ≤成立的n 的最大值为：7.18.已知函数()()sin 0,π2,0f x M x M ϕωϕω⎛⎫>>⎭<⎪⎝＝＋）的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若()2cos cos a c B b C -=，求2f A ⎛⎫ ⎪⎝⎭的取值范围.【正确答案】（1）()π26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）1,12⎛⎤⎥⎝⎦.【分析】（1）利用最大值和最小值，求出M ，通过函数的周期求出ω，由经过π,16⎛⎫⎪⎝⎭，求出φ，即可求出()f x 的解析式；（2）利用()2cos cos a c B b C －＝，结合正弦定理，求出cos B ，利用函数的解析式2f A ⎛⎫ ⎪⎝⎭的表达式，通过A 的范围求出函数的取值范围.【小问1详解】由图象知函数()f x 的最大值为1，最小值为1-，所以1M =由图象知函数()f x 的周期5ππ4π126T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以ω2=，将点π,16⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式得πsin φ13⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为πφ2<，所以πφ6=，所以()π26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】由()2cos cos a c B b C -=得：()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，所以()2sin cos sin A B B C =+，2sin cos sin A B A =，因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B =，π3B =，2π3A C +=，由（1）πsin 26A f A ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又2π03A <<，ππ5π666A <+<，所以π1sin 62A ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以1,122A f ⎛⎫⎛⎤∈⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦.所以2f A ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围为1,12⎛⎤⎥⎝⎦.19.如图，已知多面体EABCDF 的底面ABCD 是边长为2的正方形，EA ⊥底面ABCD ，//FD EA ，且112FD EA ==.（1）记线段BC 的中点为K ，在平面ABCD 内过点K 作一条直线与平面ECF 平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明；（2）求直线EB 与平面ECF 所成角的正弦值.【正确答案】（1）答案见解析（2）6【分析】（1）根据线面平行性质定理，可得所作直线必平行面ABCD 与面ECF 的交线，因此先作两平面交线，再在平面ABCD 内作交线的平行线.（2）建立空间直角坐标系，求直线EB 的方向向量和平面ECF 的法向量，利用向量夹角公式求直线EB 与平面ECF 所成角的正弦值.【小问1详解】延长,AD EF ，设其交点为N ，连接CN ，则CN 为平面ABCD 与平面ECF 的交线，取线段CD 的中点M ，连接KM ，直线KM 即为所求．证明如下：延长,AD EF ，设其交点为N ，连接CN ，则CN 为平面ABCD 与平面ECF 的交线，因为//FD EA ，所以FDA EAN ∽，又12FD EA =，所以12ND NA =，所以ND DA BC ==，又//ND BC ，所以四边形BCND 为平行四边形，所以//CN BD ，取CD 的中点M ，连接KM ，∵,K M 分别为,BC CD 的中点，∴//KM BD ，∴//KM CN ．∵CN ⊂平面EFC ，KM ⊄平面EFC ，∴//KM 平面EFC．【小问2详解】以点A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图.由已知可得()()()()()0,0,0,0,0,2,2,0,0,2,2,0,0,2,1A E B C F ，所以()()()2,2,2,2,0,2,0,2,1EC EB EF =-=-=-，设平面ECF 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0.n EC n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得020x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，取1y =得，1,2x z ==，平面ECF 的一个法向量(1,1,2)n =.设直线EB 与平面ECF 所成的角为θ，则3sin cos ,6E EB n E B B n nθ⋅====⋅.所以直线EB 与平面ECF所成角的正弦值为6.20.放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数i x 与该机场飞往A 地航班放行准点率i y （1210i =L ，，，）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.xyt1021ii x=∑101iii x y=∑1021ii t=∑101iii t y=∑2017.580.4 1.5.0.227.71226.8其中()ln 2012i i t x =-，101110i i t t ==∑（1）根据散点图判断，y bx a =+与()ln 2012y c x d =-+哪一个适宜作为该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于年份数x 的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A 地的航班放行准点率.（2）已知2023年该机场飞往A 地､B 地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A 地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B 地及其他地区（不包含A 、B 两地）航班放行准点率的估计值分别为80%和75%，试解决以下问题：（i ）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；（ii ）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A 地、B 地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由.附：（1）对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()112211ˆnni ii i i i n ni ii i u u vv u vnu v u u unu β====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆv u αβ=-参考数据：ln10 2.30≈，ln11 2.40≈，ln12 2.48≈.【正确答案】（1）()ln 2012y c x d =-+适宜，预测2023年该机场飞往A 地的航班放行准点率84%（2）（i ）0.778；（ii ）可判断该航班飞往其他地区的可能性最大，理由见解析【分析】（1）根据线性回归方程的计算公式，选择合适的模型计算即可；（2）利用全概率公式和条件概率公式，即可根据概率判断可能性最大的情况.【小问1详解】由散点图判断()ln 2012y c x d =-+适宜作为该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于年份数x 的经验回归方程类型.令()ln 2012t x =-，先建立y 关于t 的线性回归方程.由于101102212101226.8101.580.4ˆ427.7101.510i iii i t y t yctt =--=--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ804415744...dy ct =-=-⨯=，该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于t 的线性回归方程为ˆ4744.yt =+，因此y 关于年份数x 的回归方程为()ˆ4ln 201274.4yx =-+所以当2023x =时，该机场飞往A 地航班放行准点率y 的预报值为()ˆ4ln 202320127444ln11744424074484....y=-+=+≈⨯+=.所以2023年该机场飞往A 地航班放行准点率y 的预报值为84%.【小问2详解】设1A =“该航班飞往A 地”，2A =“该航班飞往B 地”，3A =“该航班飞往其他地区”，C =“该航班准点放行”，则()10.2P A =，()20.2P A =，()30.6P A =，()10.84P C A =，()20.8P C A =，()30.75P C A =.（i ）由全概率公式得，()()()()()()()112232P C P A P C A P A P C A P A P C A =++0.840.20.80.20.750.60.778=⨯+⨯+⨯=，所以该航班准点放行的概率为0.778.（ii ）()()()()()()11110.20.840.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===，()()()()()()22220.20.80.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===，()()()()()()33330.60.750.778P A P C A P A C P A C P C ⨯===，因为0.60.750.20.840.20.8⨯>⨯>⨯，所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大.21.已知双曲线C ：()22221,0x y a b a b-=>，直线1l ：2y x =+线C 仅有一个公共点.（1）求双曲线C 的方程（2）设双曲线C 的左顶点为A ，直线2l 平行于1l ，且交双曲线C 于M ，N 两点，求证：AMN 的垂心在双曲线C 上.【正确答案】（1）2211616x y -=（2）证明见解析【分析】（1可得a b =，再联立直线与双曲线利用判别式可得C 的方程；（2）设2l 方程，及M N ，的坐标，由过A 引MN 的垂线交C 于另一点H ，可得点H 为2016,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.再证AN MH ⊥即可.【小问1详解】因为双曲线C 2222a b a+=，即22a b =，所以双曲线C 的方程为222x y a -=，联立直线1l 与双曲线C 的方程2222y x x y a⎧=+⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得(2222x x a -+=，即))2216480a +++=，因为1l 与双曲线C 仅有一个公共点，所以()22164480a ∆=-+=，解得216a =,故双曲线C 的方程为2211616x y -=.【小问2详解】设(2:2l y x m m =+≠，()11,M x y ，()22,N x y 则M N 、满足222,16,y x m x y =+⎧⎨-=⎩消去y 得2234160x mx m +++=，所以1243x x m +=-，212163m x x +=，如图所示，过A 引MN 的垂线交C 于另一点H ，则AH 的方程为122y x =--.代入2216x y -=得238800x x --=，即4x =-（舍去）或203x =.所以点H 为2016,33⎛⎫-⎪⎝⎭.所以()()()()()()21122122116322162320320443AN MHy y x m x m x m k k x x x x ⎛⎫+ ⎪++++⎝⎭==-+⎛⎫+- ⎪⎝⎭()()()2222212122212122241683163212632316312328016163280m m m m x x x m x x x m m x x x x x m m x +-++++++++==++--+---，22221632611632644m m x m m x -++==----+所以MH AN ⊥，故H 为AMN 的垂心，得证.关键点睛：本题考察直线与圆锥曲线的位置关系，属于压轴题.先求AMN 一条垂线与双曲线的交点H ，再证另两条过交点H 的直线互相垂直，由此得证，其中化简斜率关系是关键，用到了转化及整体消元的思想.22.已知()21ln 22f x a x x x =+-（R a ∈且0a ≠），()cos sin g x x x x =+．（1）求()g x 在[],ππ-上的最小值；（2）如果对任意的[]1,x ππ∈-，存在21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()212f x ag x x -≤成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】（1）-1（2）()1,00,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）对()g x 求导，因为()g x 为偶函数，求出()g x 在()0,x π∈的单调性，即可求出[],ππ-上的最小值；（2）由（1）知，()g x 在[],ππ-上的最小值为1-，所以21,x e e⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()221f x a x --≤成立，即()222221ln 2a x x x x --≥成立，即2222212ln x x a x x --≥，设()212ln x xx x xϕ-=-，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即只需()min a x ϕ≥即可．【小问1详解】()sin sin cos cos g x x x x x x x '=-++=，显然()g x 为偶函数，当0x >时，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x x >，()0g x '>，∴()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增；,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x x <，()0g x '<，∴()g x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；()01g =，22g ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1g π=-，∴()g x 在()0,π上的最小值为1-．由偶函数图象的对称性可知()g x 在(),ππ-上的最小值为1-．【小问2详解】先证ln 1≤-x x ，设()ln 1h x x x =-+，则()111x h x x x-'=-=，令()001h x x '>⇒<<，令()01h x x '⇒，∴()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减．()()10h x h ≤=故ln 1≤-x x ①恒成立．由题意可得21,x e e ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()221f x a x --≤成立，即()222221ln 2a x x x x --≥成立．由①可知22ln 10x x ->≥，参变分离得2222212ln x x a x x --≥，设()212ln x x x x xϕ-=-，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即只需()min a x ϕ≥即可．()()()()()()2221111ln 1ln 122'ln ln x x x x x x x x x x x x x x x ϕ-⎛⎫⎛⎫----⋅--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==--由①知ln 1≤-x x 得ln 1x x -≥-，∴1114ln 111202222xx x x x x --++-+=-=>≥令()'01x x e ϕ>⇒<<，令()1'01x x eϕ<⇒<<，∴()x ϕ在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,e 上单调递增．∴()()min 112x ϕϕ==-，∴12a ≥-，又已知0a ≠故a 的取值范围为()1,00,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．。

2023-2024学年全国高考专题数学高考模拟考试总分：135 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知集合，，则 A.B.C.D.2.设复数，那么在复平面内复数对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 某班科技兴趣小组研究在学校的图书馆顶上安装太阳能板的发电量问题，要测量顶部的面积，将图书馆看成是一个长方体与一个等底的正四棱锥组合而成，经测量长方体的底面正方形的的边长为米，高为米，当正四棱锥的顶点在阳光照射下的影子恰好落在底面正方形的对角线的延长线上时，测的光线与底面夹角为，正四棱锥顶点的影子到长方体下底面最近顶点的距离为米，则图书馆顶部的面积大约为()平方米（注）A.A ={−2,−1,0,1,2}B ={x |−1<x ≤2}A ∩B =(){−1,0,1}{1,2}{0,1,2}{0,1}3z −126930∘11.8:≈1.4,≈1.7,≈15.22–√3–√233−−−√990B.C.D.4. 化简的结果是（ ）A.B.C.D.5. 在如图所示的正方形中随机投掷个点，则落入阴影外部（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）附：若，则，．A.B.C.D.6. 已知是双曲线的左焦点，过作圆的切线交双曲线的右支于点，过点作一轴的垂线，垂足为．若，则的渐近线方程为( )A.B.C.D.7. 在边长为的等边三角形中，若，则 A.B.8907906901−2sin(π−2)cos(π+2)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√sin 2+cos 2sin 2−cos 2cos 2−sin 2−sin 2−cos 210000C N(0,1)X ∼N(μ,)σ2P(μ−δ<X ≤μ+δ)=0.6826P(μ−2δ<X ≤μ+2δ)=0.95443413119327186587F C :−=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 2F O :+=x 2y 2a 2C A A H |AF|=2|AH|C y =±x 12y =±x 2–√2y =±x2–√y =±x3–√2ABC =,=AE →13AC →BF →FC →⋅=(BE →AF →)−23−438C.D.8. 已知定义在上的函数在上单调递减，且是偶函数，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是 A.B.C.D.10. 有关独立性检验的四个命题，其中正确的是( )A.两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明两个变量有关系成立的可能性就越大B.对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，“与有关系”的可信程度越小C.从独立性检验可知：有的把握认为秃顶与患心脏病有关，我们说某人秃顶，那么他有的可能患有心脏病D.从独立性检验可知：有的把握认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过的前提下认为吸烟与患肺癌有关11. 对于函数＝，下列选项中错误的是 （ ）A.在上递增B.的图象关于原点对称C.的最小正周期为D.的最大值为−83−2R f(x)[1,+∞)f(x +1)f(m +2)≥f(x −1)x ∈[−1,0]m [−3,1][−4,2](−∞,−3]∪[1,+∞)(−∞,−4)∪[2,+∞)a b ()2×2X Y K 2k k X Y 95%95%99%1%f(x)sin 2x f(x)(,)π4π2f(x)f(x)2πf(x)212. 已知是定义域为的函数的导函数，如图是函数的图象，则下列关于函数性质说法正确的是( )A.单调递增区间是，B.是极小值C.单调递减区间是，D.是极小值卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 为定义在上的奇函数，当时，，为的导函数，则＝________．14. 求值：________ 15. 椭圆的焦点，，为椭圆上的一点，当时，的面积是________.16. 已知数列的前项和为，且，若 成立，则的最小值为________.四、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 11 分 ，共计55分 ） 17. 给定三个条件：①，，成等比数列，②，③，从上述三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．问题：设公差不为零的等差数列的前项和为，且，________.求数列的通项；若，数列的前项和，求证：.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜，因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展．市从该地区小学生中随机抽取容量为的样本，其中因近视佩戴眼镜的有人（其中佩戴角膜塑形镜的人(x)f ′R f(x)y =x (x)f ′f(x)(−∞,−3)(0,3)f(−3)(−∞,−3)(3,+∞)f(3)f(x)R x ≤0f(x)=−−x −−−√x 2f (x)′f(x)f (1)+f(1)′1−2+4−⋯+(−2=C 12019C 22019)2019C 20192019+=1x 236y 29F 1F 2P P ⊥P F 1F 2△P F 1F 2{}b n n S n =−1S n 2n >b n 22018n a 2a 4a 8=5S 4a 2(n +1)=n a n a n+1{}a n n S n =6S 3(1){}a n (2)=b n 1a n a n+2{}b n n K n <K n 34A 100246中，名是男生，名是女生）（1）若从样本中选一位学生，那么该同学是戴角膜塑形镜的近视者概率是多大？（2）从这名戴角膜塑形镜的学生中，选出个人，求其中男生至少一人的概率． 19. 的内角，，的对边分别是，，，且．求角的大小；若，，为边上一点，，求的值． 20. 如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且＝＝＝．（1）求证：平面（2）求棱与所成的角的大小；（3）在线段上确定一点，使，并求出二面角的平面角的余弦值． 21. 设()，曲线在点（）处的切线垂直于轴．求的值； 求函数的极值．2463△ABC A B C a b c a −c sin B =b cos C 3–√3–√(1)B (2)a =3c =2D BC CD =DB 15sin ∠BDA ABC −A 1B 1C 1AB ⊥AC A 1ABC B AB AC B A 12⊥A 1C 1ABA 1B 1AA 1BC B 1C 1P AP =14−−√P −AB −A 1f(x)=a ln x −x +4a ∈R y =f(x)1,f(1)y (1)a (2)f(x)参考答案与试题解析2023-2024学年全国高考专题数学高考模拟一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】根据交集的定义，计算即可．【解答】集合，，则．2.【答案】C【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】C【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积A ={−2,−1,0,1,2}B ={x |−1<x ≤2}A ∩B ={0,1,2}利用几何体特征建立关系式求解即可.【解答】解： 如图，底面正方形的边长为，则 ，，在 中，，，而， 在 中， ，那么，图书馆顶部的面积 ，故选.4.【答案】A【考点】二倍角的三角函数【解析】利用诱导公式变形，化为两数和的平方，开方得答案．【解答】＝＝．5.26OE ==13≈18.2262–√22–√∴BO =BE +OE =30Rt △ABO AO =tan ⋅BO =10≈1730∘3–√∴AD =AO −OD =17−9=8CD ==13262∴Rt △ACD AC ==≈15.2C +A D 2D 2−−−−−−−−−−√233−−−√=FG ⋅AC S △AFG 12S =4=4××26×15.2=790.4S △AFG 12C =1−2sin(π−2)cos(π+2)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√1−2sin 2⋅(−cos2)−−−−−−−−−−−−−−−−√=si 2+2sin 2⋅cos 2+co 2n 2s 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√(sin 2+cos 2)2−−−−−−−−−−−−√|sin 2+cos 2|sin 2+cos 2D【考点】正态分布的密度曲线【解析】求出，即可得出落入阴影外部（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值．【解答】解：由题意，∴落入阴影部分点的个数的估计值为，∴落入阴影外部（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为．故选：．6.【答案】D【考点】直线与双曲线的位置关系直线与圆的位置关系双曲线的简单几何性质相似三角形的应用【解析】作图，作，可得，根据三角形的相似性可知，即，，再根据,即可得到，结合,得到，进而得解双曲线的渐近线方程.【解答】解：如图，作，垂足为，P(0<X ≤1)=×0.6826=0.341312C N(0,1)P(0<X ≤1)=×0.6826=0.34131210000×0.3413=3413C N(0,1)10000−3413=6587D OQ ⊥AF |OQ|=a Rt △FQO ∼Rt △FHA =OQ OF AH AF =OQ OF 12|OQ|=a,|OF|=c c =2a =−b 2c 2a 2=b a 3–√OQ ⊥AF Q因为圆的半径为,所以,因为，，由三角形的相似性可知，所以,因为，所以，因为，，所以，即，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故选.7.【答案】D【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】由题意画出图形，把用表示，则可求．【解答】如图，，，O a |OQ|=a AH ⊥FH OQ ⊥AF Rt △FQO ∼Rt △FHA =OQ OF AH AF |AF|=2|AH|=OQ OF 12|OQ|=a |OF|=c =a c 12c =2a =−b 2c 2a 2=b a 3–√y =±x 3–√D BE →AF →AB →AC →⋅BE →AF →=−=−BE →AE →AB →13AC →AB →=(+)AF →12AB →AC →=(−)⋅(+)→→1→→1→→∴．8.【答案】A【考点】抽象函数及其应用【解析】根据题意，由为偶函数，则有，所以的图象关于直线对称，结合函数的单调性可得，解可得的取值范围，即可得答案．【解答】根据题意，是偶函数，则，所以的图象关于直线对称，又由函数在上单调递减，由可得，即恒成立，又由，则，则有：，解可得；即的取值范围为；二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,B,C,D【考点】由基本不等式证明不等关系【解析】．由判断；．由判断；．由判断；．由判断．【解答】因为所以，所以，故正确；⋅=(−)⋅(+)BE →AF →13AC →AB →12AB →AC →=⋅+−−⋅=×−×−×2×2×=−216AC →AB →16AC →212AB →212AB →AC →162212221312f(x +1)f(−x +1)=f(x +1)f(x)x =1f(m +2)≥f(x −1)⇒|(m +2)−1|≤|(x −1)−1|m f(x +1)f(−x +1)=f(x +1)f(x)x =1f(x)[1,+∞)f(m +2)≥f(x −1)|(m +2)−1|≤|(x −1)−1||m +1|≤|x −2|x ∈[−1,0]2≤|x −2|≤3|m +1|≤2−3≤m ≤1m [−3,1]A a +b =2≥2ab −−√B =a +b +2≤2(a +b)(+)a −√b √2ab −−√C +=−2ab a 2b 2(a +b)2D +=(+)(a +b)=1+(+)1a 1b 121a 1b 12b a a ba >0b >0,a +b =2a +b =2≥2ab −−√≤1ab −−√A =a +b +2≤2(a +b)=42因为，所以，故正确；因为，故正确；因为，故正确．故选：10.【答案】A,B,D【考点】独立性检验【解析】此题暂无解析【解答】解：，由独立性检验的相关公式可得两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明两个变量有关系成立的可能性就越大，故正确；，对分类变量与的随机变量的观测值来说，越大，“与有关系”的可信程度越大，越小，“与有关系”的可信程度越小，故正确；，从独立性检验可知：有的把握认为秃顶与患心脏病有关时，我们说某人秃顶，那么他有的可能与患有心脏病有关，故错误；，从独立性检验可知：有的把握认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过的前提下认为吸烟与患肺癌有关，故正确.故选.11.【答案】A,C,D【考点】正弦函数的单调性三角函数的周期性【解析】利用正弦函数的图象和性质求解即可．【解答】对于，令，可得，，可得错误；对于，因为＝是奇函数，所以＝也是奇函数，函数的图象关于原点对称，正确；对于，，可得错误；=a +b +2≤2(a +b)=4(+)a −√b √2ab −−√+≤2a −√b √B +=−2ab ≥4−2=2a 2b 2(a +b)2C +=(+)(a +b)=1+(+)≥1+×2=21a 1b 121a 1b 12b a a b 12D ABCD A 2×2B X Y K 2k k X Y k X Y C 95%95%D 99%1%ABD A 2kπ−≤2x ≤2kπ+π2π2kπ−≤x ≤kπ+π4π4k ∈Z B y sin x y sin 2x C T ==π2π2对于，＝，可得错误．12.【答案】B,C【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】利用函数图象得出的正负情况，进而得到函数的单调性情况，由此判断选项得出答案．【解答】解：由图象可知，当时，；当时，，∴函数在，上递减；在上递增，∴是极小值；是极大值；故选项，正确，选项，错误．故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意，设，则，结合函数的奇偶性与解析式可得＝，求出函数的导数，进而计算与的值，即可得答案．【解答】根据题意，设，则，则，又由为定义在上的奇函数，则＝＝，则＝，则有＝＝，＝，D f(x)max 1f'(x)f(x)x ∈(−∞,−3)∪(3,+∞)(x)<0f ′x ∈(−3,0)∪(0,3)(x)>0f ′f(x)(−∞,−3)(3,+∞)(−3,3)f(−3)f(3)B C A D BC 32x ≥0−x ≤0f(x)−x 2x −√f(1)f'(1)x ≥0−x ≤0f(−x)=−(−x =−x −√)2x −√x 2f(x)R f(x)−f(−x)−x 2x −√f'(x)2x −12x−√f(1)1−10f'(1)2−=1232故，故答案为：．14.【答案】【考点】二项式定理及相关概念【解析】由题意利用二项式定理、二项式展开式的通项公式，求得要求式子的值．【解答】解：.故答案为：15.【答案】【考点】椭圆的定义椭圆的简单几何性质【解析】根据椭圆的定义和勾股定理建立关于、的方程组，平方相减即可求出，结合直角三角形的面积公式，可得的面积，得到本题答案．【解答】解：∵椭圆方程为：，∴，，可得，即，，设，，由，得，则有，，又，则，得，则，即，f (1)+f(1)=′3232−11−2+4−⋯+(−2=(1−2C 12019C 22019)2019C 20192019)2019=−1−1.9m n |P |⋅|P |=8F 1F 2ΔPF 1F 2S =|P |⋅|P |12F 1F 2+=1x 236y 29=36a 2=9b 2=−=27c 2a 2b 2a =6c =33–√|P |=m F 1|P |=n F 2P ⊥P F 1F 2∠P =F 1F 290∘m +n =2a =12+=4=108m 2n 2c 2=++2mn (m +n)2m 2n 2144=108+2mn 2mn =36mn =18|P |⋅|P |=18F 1F 2的面积.故答案为：.16.【答案】【考点】数列与不等式的综合数列递推式【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴当时，，∴；当时，，∴，∴.综上，.又，∴，∴，∴的最小值为.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 11 分 ，共计55分 ）17.【答案】解：设等差数列的公差为．选条件①：∵，，，成等比数列，∴△PF 1F 2S =|P |⋅|P |=×18=912F 1F 21292020=−1S n 2n n =1=−1S 121=1b 1n ≥2=−1S n−12n−1−=−1−(−1)S n S n−12n 2n−1=(n ≥2)b n 2n−1=b n 2n−1>b n 22018>2n−122018n >2019n 20202020(1){}a n d (d ≠0)=6S 3a 2a 4a 8{=3+3d =6，S 3a 1=(+d)(+7d)，(+3d)a 12a 1a 1解得∴数列的通项．选条件②：∵，，∴解得∴数列的通项．选条件③：∵，，∴解得∴数列的通项．，∴．【考点】等差数列的性质等差数列的通项公式等差数列的前n 项和等比中项数列的求和数列与不等式的综合【解析】无无【解答】解：设等差数列的公差为．选条件①：∵，，，成等比数列，∴{=1，a 1d =1，{}a n =n a n =6S 3=5S 4a 2{=3+3d =6，S 3a 14+6d =5(+d)，a 1a 1{=1，a 1d =1，{}a n =n a n =6S 3(n +1)=n a n a n+1{=3+3d =6，S 3a 1(n +1)[+(n −1)d]=n (+nd)，a 1a 1{=1，a 1d =1，{}a n =n a n (2)∵===(−)b n 1a n a n+21n(n +2)121n 1n +2=(1−+−+⋯+−)K n 121312141n 1n +2=(1+−−)12121n +11n +2=(−)<12322n +3(n +1)(n +2)34(1){}a n d (d ≠0)=6S 3a 2a4a 8{=3+3d =6，S 3a 1=(+d)(+7d)，(+3d)a 12a 1a 1解得∴数列的通项．选条件②：∵，，∴解得∴数列的通项．选条件③：∵，，∴解得∴数列的通项．，∴．18.【答案】因为样本容量为，佩戴角膜塑形镜的人，若从样本中选一位学生，那么该同学是戴角膜塑形镜的近视者概率＝．两名男生用，表示，，，表示，记“选个人，其中男生至少一人”为事件，总事件有，，，，，，，，，，，满足条件的有，，，，，，，，，则＝＝．【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.{=1，a 1d =1，{}a n =n a n =6S 3=5S 4a 2{=3+3d =6，S 3a 14+6d =5(+d)，a 1a 1{=1，a 1d =1，{}a n =n a n =6S 3(n +1)=n a n a n+1{=3+3d =6，S 3a 1(n +1)[+(n −1)d]=n (+nd)，a 1a 1{=1，a 1d =1，{}a n =n a n (2)∵===(−)b n 1a n a n+21n(n +2)121n 1n +2=(1−+−+⋯+−)K n 121312141n 1n +2=(1+−−)12121n +11n +2=(−)<12322n +3(n +1)(n +2)341006P a b 6348A ab1ab2ab5a13a23a34b13b23b34124234ab1ab2ab8a13a23a34b13b23b34P(A)【答案】解：因为，所以，即得，，则有，又因为，所以．因为，由可得，．在中，．所以．在中，由正弦定理得，，即．所以．【考点】正弦定理余弦定理解三角形【解析】无无【解答】解：因为，所以，即得，，则有，又因为，所以．因为，由可得，．在中，．所以．在中，由正弦定理得，，即．(1)a −c sin B =b cos C 3–√3–√sin(B +C)−sin C sin B =sin B cos C 3–√3–√cos B sin C =sin C sin B 3–√sin C ≠0tan B =3–√B ∈(0,π)B =π3(2)a =3CD =DB 15DB =52△ABD A =+−2××2cos =D 2()5222252π3214AD =21−−√2△ABD =AB sin ∠BDA AD sin B =2sin ∠BDA 21−−√2sin π3sin ∠BDA =27–√7(1)a −c sin B =b cos C 3–√3–√sin(B +C)−sin C sin B =sin B cos C 3–√3–√cos B sin C =sin C sin B 3–√sin C ≠0tan B =3–√B ∈(0,π)B =π3(2)a =3CD =DB 15DB =52△ABD A =+−2××2cos =D 2()5222252π3214AD =21−−√2△ABD =AB sin ∠BDA AD sin B =2sin ∠BDA 21−−√2sin π3所以．20.【答案】证明：因为 三棱柱中，，所以因为顶点在底面上的射影恰为点，所以所以所以平面如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，所以，．所以，故与棱所成的角是． 设，则．于是，解得则为棱的中点，其坐标为． 设，则令＝故 而平面的法向量，则故二面角的平面角的余弦值是．【考点】二面角的平面角及求法直线与平面垂直sin ∠BDA =27–√7ABC −A 1B 1C 1AB ⊥AC ⊥A 1C 1A 1B 1A 1ABC B B ⊥ACA 1B ⊥A 1A 1C 1⊥A 1C 1ABA 1B 1A C(2,0,0)B(0,2,0)(0,2,2)A 1(0,4,2)B 1=(0,2,2)AA 1→==(2,−2,0)BC →B 1C 1→cos <,>==−AA 1→BC →⋅AA 1→BC →||||AA 1→BC →12AA 1BC π3=λ=(2λ,−2λ,0)P B 1→B 1C 1→P(2λ,4−2λ,2)AP ==4++4λ2(4−2λ)2−−−−−−−−−−−−−−−−√14−−√λ=12P B 1C 1P(1,3,2)=(x,y,z)n 1→{ x +3y +2z =02y =0z 1=(−2,0,1)n 1→ABA 1=(1,0,0)n 2→|cos <,>|=||=n 1→n 2→⋅n 1→n 2→||||n 1→n 2→25–√5P −AB −A 125–√5直线与平面所成的角【解析】（1）证明：因为 三棱柱中，，得到，因为顶点在底面上的射影恰为点，得到，利用线面垂直的判断定理得到证明．（2）建立空间直角坐标系，求出，，利用向量的数量积公式求出棱与所成的角的大小；（3）利用已知条件求出的坐标，求出平面的法向量为，而平面的法向量，利用向量的数量积公式求出二面角的平面角的余弦值．【解答】证明：因为 三棱柱中，，所以因为顶点在底面上的射影恰为点，所以所以所以平面如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，所以，．所以，故与棱所成的角是． 设，则．于是，解得则为棱的中点，其坐标为． 设，则令＝故 而平面的法向量，则故二面角的平面角的余弦值是． ABC −A 1B 1C 1AB ⊥AC ⊥A 1C 1A 1B 1A 1ABC B B ⊥AC A 1=(0,2,2)AA 1→==(2,−2,0)BC →B 1C 1→AA 1BC AP =14−−√p P −AB −A 1n 1→ABA 1=(1,0,0)n 2→P −AB −A 1ABC −A 1B 1C 1AB ⊥AC ⊥A 1C 1A 1B 1A 1ABC B B ⊥ACA 1B ⊥A 1A 1C 1⊥A 1C 1ABA 1B 1A C(2,0,0)B(0,2,0)(0,2,2)A 1(0,4,2)B 1=(0,2,2)AA 1→==(2,−2,0)BC →B 1C 1→cos <,>==−AA 1→BC →⋅AA 1→BC →||||AA 1→BC →12AA 1BC π3=λ=(2λ,−2λ,0)P B 1→B 1C 1→P(2λ,4−2λ,2)AP ==4++4λ2(4−2λ)2−−−−−−−−−−−−−−−−√14−−√λ=12P B 1C 1P(1,3,2)=(x,y,z)n 1→{ x +3y +2z =02y =0z 1=(−2,0,1)n 1→ABA 1=(1,0,0)n 2→|cos <,>|=||=n 1→n 2→⋅n 1→n 2→||||n 1→n 2→25–√5P −AB −A 125–√521.【答案】解：∵，∴.由于曲线在点（）处的切线垂直于轴，故该切线斜率为，即，∴.由知，，.令，解得，故在上为增函数；令，解得，故在上为减函数；故在处取得极大值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的极值【解析】求导函数，利用曲线在点（）处的切线垂直于轴，可得，从而可求的值；由知，，，确定函数的单调性，即可求得函数的极值．【解答】解：∵，∴.由于曲线在点（）处的切线垂直于轴，故该切线斜率为，即，∴.由知，，.令，解得，故在上为增函数；令，解得，故在上为减函数；故在处取得极大值．(1)f(x)=a ln x −x +4f'(x)=−1a x y =f(x)1,f(1)y 0f'(1)=a −1=0a =1(2)(1)f(x)=ln x −x +4(x >0)f'(x)=−1=1x 1−x x f'(x)>00<x <1f(x)(0,1)f'(x)<0x >1f(x)(1,+∞)f(x)x =1f(1)=3(1)y =f(x)1,f(1)y f'(1)=0a (2)(1)f(x)=ln x −x +4(x >0)f'(x)=−1=1x 1−x x f(x)(1)f(x)=a ln x −x +4f'(x)=−1a x y =f(x)1,f(1)y 0f'(1)=a −1=0a =1(2)(1)f(x)=ln x −x +4(x >0)f'(x)=−1=1x 1−x x f'(x)>00<x <1f(x)(0,1)f'(x)<0x >1f(x)(1,+∞)f(x)x =1f(1)=3。

2023年普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真模拟卷✽一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则的子集共有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 8个2.已知复数，i 为虚数单位，则( )A. 1B.C.D.3.在中，记，，则( )A. B. C. D.4.已知函数，则的单调递增区间为( )A. B. C. D.5.如图，已知正四棱锥的底面边长和高分别为2和1，若点E是棱PD的中点，则异面直线PA 与CE所成角的余弦值为( )A. B. C. D.6.某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线均生产5 nm规格的芯片，现有25块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为5块，10块，10块，若甲、乙、丙生产该芯片的次品率分别为，，，则从这25块芯片中任取一块芯片，是正品的概率为( )A. B. C. D.7.已知若存在，使不等式有解，则实数m的取值范围为( )A. B.C. D.8.已知a ，b ，，且，，，其中e 是自然对数的底数，则( )A.B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.空气质量指数大小分为五级，指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大，指数范围分别对应“优”“良”“轻度污染”“中度污染”“重污染”五个等级．如图是某市连续14天的空气质量指数趋势图，下面说法正确的是( )A. 这14天中有5天空气质量指数为“轻度污染”B. 从2日到5日空气质量越来越好C. 这14天中空气质量的中位数是D. 连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日10.密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“”，478密位写成“”．若，则角可取的值用密位制表示可能是( )A.B.C.D.11.已知点A ，B 分别是双曲线C ：的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记PA 、PB 的斜率分别为、，则下列说法正确的是( )A. 双曲线C 的离心率为B. 双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为1C.为定值D. 存在点P ，使得12.已知，，若关于x的方程有四个不同的实数根，则满足上述条件的a值可以为( )A. B. C. D. 1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024届山东省枣庄市高三下学期高考数学仿真模拟联考试题（三模）本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则（ ）{}20A x x =+>∣{}220B x x x =--<∣A B = A ．B ．C ．D ．{21}xx -<<∣{22}x x -<<∣{11}x x -<<∣{12}xx -<<∣2．已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ）22:14y x C m -=2y x =m =A ．1B ．2C ．8D ．163．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，αx ππcos ,sin 33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭则（ ）πcos 6α⎛⎫-=⎪⎝⎭A ．0B ．CD 124．对数螺线广泛应用于科技领域．某种对数螺线可以用表达，其中为正实数，πe ϕρα=α是极角，是极径．若每增加个单位，则变为原来的（ ）ϕρϕπ2ρA ．倍B ．倍C ．倍D ．倍13e 12e π2e πe 5．己知平面向量，则在上的投影向量为（ ）(1,1),(2,0)a b =-= a bA ．B ．C ．D ．(1,0)-(1,0)(6．已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．4π6π8π10π7．已知复数，若同时满足和，则为（ ）1212,,z z z z ≠12,z z ||1z =|1||i |z z -=-12z z -A ．1B C ．2D ．8．在中，，为内一点，，，ABC 1202ACB BC AC ∠=︒=，D ABC AD CD ⊥120BDC ∠=︒则（ ）tan ACD ∠=A ．BCD 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知两个变量y 与x 对应关系如下表：x 12345y5m8910.5若y 与x 满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（ ）ˆ125 4.25yx =+．A ．y 与x 正相关B ．7m =C ．样本数据y 的第60百分位数为8D ．各组数据的残差和为010．若函数，则（ ）()()()2ln 1ln 1f x x x x =+--+A ．的图象关于对称B ．在上单调递增()f x ()0,0()f x ⎛ ⎝C ．D ．有两个零点()f x ()f x 11．已知正方体的棱长为2，点M ，N 分别为棱的中点，点P 为四1111ABCD A B C D -1,DD DC 边形（含边界）内一动点，且，则（ ）1111D C B A 2MP =A ．平面B ．点P 1A B ∥AMNC ．存在点P ，使得平面D ．点P 到平面MP ⊥AMNAMN 三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12．写出函数图象的一条对称轴方程．()sin cos 1f x x x =+13．某人上楼梯，每步上1阶的概率为，每步上2阶的概率为，设该人从第1阶台阶出3414发，到达第3阶台阶的概率为 ．14．设为平面上两点，定义、已知点P 为抛物线()()1122,,,A x y B x y 1212(,)d A B x x y y =-+-上一动点，点的最小值为2，则 ；若斜率为2:2(0)C x py p =>(3,0),(,)Q d P Q p =的直线l 过点Q ，点M 是直线l 上一动点，则的最小值为．32(,)d P M 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．如图，四棱台的底面为菱形，，点为1111ABCD A B C D -14,3,60AB DD BAD ==∠=︒E中点，BC 11,D E BC D E ⊥=(1)证明：平面；1DD ⊥ABCD (2)若，求平面与平面夹角的余弦值．112A D =11A C E ABCD 16．已知椭圆的左，右焦点分别为，椭圆E 的离心率为，椭2222:1(0)x y E a b a b +=>>12,F F 12圆E 上的点到右焦点的最小距离为1．(1)求椭圆E 的方程；(2)若过右焦点的直线l 与椭圆E 交于B ，C 两点，E 的右顶点记为A ，，求直线l 2F 1//AB CF 的方程．17．在一个袋子中有若干红球和白球（除颜色外均相同），袋中红球数占总球数的比例为．p (1)若有放回摸球，摸到红球时停止．在第次没有摸到红球的条件下，求第3次也没有摸到2红球的概率；(2)某同学不知道比例，为估计的值，设计了如下两种方案：p p 方案一：从袋中进行有放回摸球，摸出红球或摸球次停止．5方案二：从袋中进行有放回摸球次．5分别求两个方案红球出现频率的数学期望，并以数学期望为依据，分析哪个方案估计的值p 更合理．18．已知函数，为的导数2()e x f x ax x =--()f x '()f x (1)讨论的单调性；()f x '(2)若是的极大值点，求的取值范围；0x =()f x a (3)若，证明：．π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 1cos 1ee ln(sin cos )1θθθθ--++<19．若数列的各项均为正数，对任意，有，则称数列为“对数凹性”{}n a *N n ∈212n n n a a a ++≥{}n a 数列．(1)已知数列1，3，2，4和数列1，2，4，3，2，判断它们是否为“对数凹性”数列，并说明理由；(2)若函数有三个零点，其中．231234()f x b b x b x b x =+++0(1,2,3,4)i b i >=证明：数列为“对数凹性”数列；1234,,,b b b b (3)若数列的各项均为正数，，记的前n 项和为，，对任意三个不{}n c 21c c >{}n c n S 1n nW S n =相等正整数p ，q ，r ，存在常数t ，使得．()()()r p q p q W q r W r p W t-+-+-=证明：数列为“对数凹性”数列．{}n S1．D【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得.B 【详解】由，即，解得，220x x --<()()120x x +-<12x -<<所以，{}{}21220|B x x x x x <-=-=<-<∣又，所以.{}{}202A x x x x =+>=>-∣∣{}12A B x x =-<< ∣故选：D 2．A【分析】利用双曲线方程先含参表示渐近线方程，待定系数计算即可.【详解】依题意，得，0m >令，即的渐近线方程为，2204y x y m -=⇒=C y x =.21m =⇒=故选：A 3．D【分析】根据三角函数的定义求出，，再由两角差的余弦公式计算可得.sin αcos α【详解】因为，即，ππcos ,sin 33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭12P ⎛ ⎝即角的终边经过点，所以，α12P ⎛⎝sin α=1cos 2α=所以.πππ11cos cos cos sin sin 66622ααα⎛⎫-=+==⎪⎝⎭故选：D 4．B 【分析】设所对应的极径为，所对应的极径为，根据所给表达式及指数幂0ϕ0ρ10π2ϕϕ=+1ρ的运算法则计算可得.【详解】设所对应的极径为，则，0ϕ0ρ0π0e ϕρα=则所对应的极径为，所以，10π2ϕϕ=+0π2π1eϕρα+=0000ππ222π1πππ1e e ee ϕϕϕϕραρα++-===故每增加个单位，则变为原来的倍.ϕπ2ρ12e 故选：B 5．A【分析】根据已知条件分别求出和，然后按照平面向量的投影向量公式计算即可得解.a b ⋅ b【详解】，(1,1),(2,0)a b =-=，,2a b ⋅=- 2b =在上的投影向量为.a b()()22,01,04a b b b b⋅-⋅==-故选：A.6．C【分析】利用圆柱及球的特征计算即可.【详解】由题意可知该球为圆柱的外切球，所以球心为圆柱的中心，设球半径为，r 则，故该球的表面积为.r ==24π8πr =故选：C 7．C 【分析】设，根据和求出交点坐标，即可求出，再()i ,R z x y x y =+∈||1z =|1||i |z z -=-12,z z 计算其模即可.【详解】设，则，，()i ,R z x y x y =+∈()11iz x y -=-+()i 1iz x y -=+-由和，||1z =|1||i |z z -=-所以且，221x y +=()()222211x y y x -+=-+即且，解得或221x y +=x y =xy ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以、（或、），1z =2z =1z =2z =则（或），21z z ⎛⎫-=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭21z z -=所以.122z z -==故选：C 8．B【分析】在中，设，，即可表示出，，再在中利Rt ADC ACD θ∠=AC x =CB CD BCD △，再由两角差的正弦公式及同角三角函数的基本关系将弦化cos sin(60)x θθ=-︒切，即可得解.【详解】在中，设，令，Rt ADC ACD θ∠=π02θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭AC x =()0x >则，，2CB x =cos CD x θ=在中，可得，，BCD △120BCD θ∠=︒-60CBD θ∠=-︒由正弦定理，sin sin BC CDCDB CBD =∠∠cos sin(60)x θθ=-︒所以，=可得．tan θ=tan ACD ∠=故选：B ．关键点点睛：本题解答关键是找到角之间的关系，从而通过设元、转化到中利用正弦BCD △定理得到关系式.9．AD【分析】利用相关性的定义及线性回归直线可判定A ，根据样本中心点在回归方程上可判定B ，利用百分位数的计算可判定C ，利用回归方程计算预测值可得残差即可判定D.【详解】由回归直线方程知：，所以y 与x 正相关，即A 正确；1.250>由表格数据及回归方程易知，即B 错误；32.53, 1.253 4.257.55mx y m +==⨯+=⇒=易知，所以样本数据y 的第60百分位数为，即C 错误；560%3⨯=898.52+=由回归直线方程知时对应的预测值分别为，1,2,3,4,5x = 5.5,6.75,8,9.25,.5ˆ10y=对应残差分别为，显然残差之和为0，即D 正确.0.5,0.75,0,0.25,0--故选：AD 10．AC【分析】首先求出函数的定义域，即可判断奇偶性，从而判断A ，利用导数说明函数的单调性，即可判断B 、C ，求出极小值即可判断D.【详解】对于函数，令，解得或，()()()2ln 1ln 1f x x x x =+--+10100x x x +>⎧⎪->⎨⎪≠⎩10x -<<01x <<所以函数的定义域为，()()1,00,1-U 又，()()()()()()22ln 1ln 1ln 1ln 1f x x x x x f x x x ⎡⎤-=--+-=-+--+=-⎢⎣⎦所以为奇函数，函数图象关于对称，故A 正确；()f x ()0,0又()22221121122211111f x x x x x x x x x---'=--=+-=-+-+--，222222222(1)24(1)(1)x x x x x x x ----==--当时，，即在上单调递减，故B 错误；x ⎛∈ ⎝()0f x'<()f x ⎛ ⎝当时，，即在上单调递增，x ⎫∈⎪⎪⎭()0f x ¢>()f x ⎫⎪⎪⎭根据奇函数的对称性可知在上单调递增，在上单调递减，()fx 1,⎛- ⎝⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以C 正确；()fx又，(()ln 30f x f ==++>极小值且当趋近于1时，趋近于无穷大，当趋近于0时，趋近于无穷大，x ()f x x ()f x 所以在上无零点，根据对称性可知在上无零点，()f x ()0,1()f x ()1,0-故无零点，故D 错误．()f x 故选：AC ．11．ABD【分析】利用线线平行的性质可判定A ，利用空间轨迹结合弧长公式可判定B ，建立空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系及点面距离可判定C 、D.【详解】对于A ，在正方体中易知，1111//,////MN CD CD A B NM A B ⇒又平面，平面，所以平面，即A 正确；1⊄A B AMN MN ⊂AMN 1A B ∥AMN 对于B ，因为点P 为四边形（含边界）内一动点，且，，1111DC B A 2MP=11MD =则P 点轨迹为以1DP==1D 部分，所以点P 的轨迹长度为，故B正确；12π4⨯=对于C ，建立如图所示空间直角坐标系，则，()()())π2,0,0,0,0,1,0,1,0,,20,2A M N Pθθθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭所以，()())2,0,1,2,1,0,,1AM AN MPθθ=-=-=若存在点P ，使得面，则，MP ⊥AMN 100AM MP AN MP θθθ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩解之得sin θθ==即不存在点P ，使得面，故C 错误；MP ⊥AMN 对于D ，设平面的一个法向量为，则，AMN (),,n x y z =2020AM n x z AN n x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 取，即，12x y z =⇒==()1,2,2n =则点P 到平面的距离AMN，1πtan ,0,22n MP d n ϕϕ⋅⎫⎛⎫====∈ ⎪⎪⎝⎭⎭ 显然时取得最大值D 正确.π2θϕ+=max d =故选：ABD思路点睛：对于B ，利用定点定距离结合空间轨迹即可解决，对于C 、D 因为动点不方便利用几何法处理，可以利用空间直角坐标系，由空间向量研究空间位置关系及点面距离计算即可.12．（答案不唯一）π4x =【分析】利用二倍角公式及三角函数的图象与性质计算即可.【详解】易知，所以，1()sin 212f x x =+()()πππ2πZ Z 242k x k k x k =+∈⇒=+∈不妨取，则.0k =π4x =故（答案不唯一）π4x =13．1316【分析】先分①②两种方法，再由独立事件的乘法公式计算即可.【详解】到达第3台阶的方法有两种：第一种： 每步上一个台阶，上两步，则概率为；第二种： 3394416⨯=只上一步且上两个台阶，则概率为，14所以到达第3阶台阶的概率为，911316416+=故答案为.131614． 232【分析】利用定义结合二次函数求最值计算即可得第一空，过作并构造直角三角形，P //PN x 根据的定义化折为直，结合直线与抛物线的位置关系计算即可.(,)d P M 【详解】设，则，2,2m P m p ⎛⎫ ⎪⎝⎭()()2221,30332222m m p d P Q m m m p p p p =-+-≥-+=-+-，即，时取得最小值；322p⇒-=2p =p m =易知，，联立有，39:22l y x =-2:4C x y =26180x x -+=显然无解，即直线与抛物线无交点，如下图所示，过作交l 于N ，过作，P //PN x M ME PN ⊥则（重合时取得等号），(,)d P M PE EM PE EN PN=+≥+=,M N 设，则，所以，2,4n P n ⎛⎫ ⎪⎝⎭223,64n n N ⎛⎫+⎪⎝⎭()22133336622n PN n n =-+=-+≥故2，32思路点睛：对于曼哈顿距离的新定义问题可以利用化折为直的思想，数形结合再根据二次函数的性质计算最值即可.15．(1)证明见解析【分析】（1）连接、，即可证明平面，从而得到，再由勾股定DE DB BC ⊥1D DE 1BC DD ⊥理逆定理得到，即可证明平面；1DD DE ⊥1DD ⊥ABCD （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）连接、，DE DB 因为四边形为菱形，ABCD 60BAD ∠=所以是边长为的正三角形，BDC 4因为为中点，所以，E BC DE BC ⊥DE =又因为，平面，所以平面，11,D E BC D E DE E ⊥⋂=1,D E DE ⊂1D DE BC ⊥1D DE 又平面，1DD ⊂1D DE 所以，1BC DD ⊥又，，1D E =13DD =DE =所以，所以，22211DD DE D E +=1DD DE ⊥又因为平面，,,DE BC E DE BC =⊂ ABCD 所以平面.1DD ⊥ABCD（2）因为直线两两垂直，以为原点，所在直线为轴，轴，1,,DA DE DD D 1,,DA DE DD x y 轴建立空间直角坐标系，z则，()()()()()10,0,0,4,0,0,0,,2,,2,0,3D A E C A -所以()()1111,2,2A C AC EA ==-=-设平面的一个法向量为，11A C E (),,n x y z = 则，即，11130230n A C x n EA x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩43y x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩令，得，所以，3x=4y z ==()4n =由题意知，是平面的一个法向量，()0,0,1m =ABCD 设平面与平面的夹角为，11A C E ABCD θ则，cos m n m n θ⋅===⋅ 所以平面与平面11A C E ABCD 16．(1)22143x y +=(2)或10x y -=10x y -=【分析】（1）利用椭圆焦半径公式及性质计算即可；（2）设直线l 方程，B 、C 坐标，根据平行关系得出两点纵坐标关系，联立椭圆方程结合韦达定理解方程即可.【详解】（1）设焦距为，由椭圆对称性不妨设椭圆上一点，2c ()()000,0P x y a x ≥≥易知，则()2,0F c2PF==，00c c x a a x a a ==-=-显然时，0x a =2min PF a c=-由题意得解得222121c a a c a b c⎧=⎪⎪⎨-=⎪⎪=+⎩2,1,a c b ===所以椭圆的方程为；C 22143x y +=（2）设，()()1122,,,C x y B x y 因为，所以AB //1CF 1122::2:1CF AB F F F A ==所以①122y y =-设直线的方程为，联立得，整理得，l 1x my =+221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()2234690m y my ++-=由韦达定理得，()122122634934m y y m y y m ⎧+=-⎪+⎪⎨=-⎪+⎪⎩把①式代入上式得，得，222226349234m y m y m ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪-=-⎪-+⎩()()22222236923434m y m m==++解得，m =所以直线的方程为：或.l 10x y -=10x y -=17．(1)1p -(2)答案见解析【分析】（1）设事件“第2次没有摸到红球”，事件“第3次也没有摸到红球”，根据条A =B =件概率公式计算可得；（2）记“方案一”中红球出现的频率用随机变量表示，的可能取值为，求X X 11110,,,,,15432出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望，“方案二”中红球出现的频率用随机变量表示，Y 则，由二项分布的概率公式得到分布列，即可求出期望，再判断即可.()55,Y B p ~【详解】（1）设事件“第2次没有摸到红球”，事件“第3次也没有摸到红球”，A =B =则，，()()21P A p =-()()31P B p =-所以；()()()()()32(1)|1(1)P AB P B p P B A p P A P A p -====--（2）“方案一”中红球出现的频率用随机变量表示，X 则的可能取值为：，X 11110,,,,,15432且，，，()()501P X p ==-()4115P X p p ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()3114P X p p⎛⎫==- ⎪⎝⎭，，，()2113P X p p ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()112P X p p⎛⎫==- ⎪⎝⎭()1P X p ==所以的分布列为：X X151413121P5(1)p -4(1)p p-3(1)p p-2(1)p p-()1p p-p则()()()354211110(1)(1)1(1)115432E X p p p p p p p p p p=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯，()4321(1)(1)(1)5432p pp p p p p p p----=++++“方案二”中红球出现的频率用随机变量表示，因为，Y ()55,Y B p ~所以的分布列为：，5Y ()555C (1),0,1,2,3,4,5k kk P Y k p p k -==-=即的分布列为：Y Y152535451P5(1)p -45(1)p p-3210(1)p p -3210(1)p p -()451p p -5p 所以，则，()55E Y p=()E Y p=因为，，所以“方案二”估计的值更合理.()E X p>()E Y p=p 18．(1)答案见解析(2)12a >(3)证明见解析【分析】（1）令，求出导函数，再分和两种情况讨论，分别求出函数()()g x f x '=0a ≤0a >的单调区间；（2）结合（1）分、、、四种情况讨论，判断的单调性，即0a ≤102a <<12a =12a >()f x 可确定极值点，从而得解；（3）利用分析法可得只需证，，只需证对任意sin 12eln sin sin θθθ-+<cos 12e ln cos cos θθθ-+<，有，结合（2）只需证明，构造函数，10x -<<()2e ln 1(1)x x x ++<+()ln 1(10)x x x +<-<<利用导数证明即可.【详解】（1）由题知，()e 21x f x ax =--'令，则，()()21x g x f x ax =-'=-e ()e 2x g x a'=-当时，在区间单调递增，0a ≤()()0,g x f x ''>(),-∞+∞当时，令，解得，0a >()0g x '=ln2=x a 当时，，当时，，(),ln2x a ∞∈-()0g x '<()ln2,x a ∈+∞()0g x '>所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，()f x '(),ln2a -∞()ln2,a +∞综上所述，当时，在区间上单调递增；0a ≤()f x '(),-∞+∞当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.0a >()f x '(),ln2a -∞()ln2,a +∞（2）当时，，0a ≤()00f '=由（1）知，当时，在上单调递减；(),0x ∈-∞()()0,f x f x '<(),0∞-当时，在上单调递增；()0,x ∈+∞()()0,f x f x '>()0,∞+所以是函数的极小值点，不符合题意；0x =()f x当时，，且，102a <<ln20a <()00f '=由（1）知，当时，在上单调递减；()ln2,0x a ∈()()0,f x f x '<()ln2,0a 当时，在上单调递增；()0,x ∈+∞()()0,f x f x '>()0,∞+所以是函数的极小值点，不符合题意；0x =()f x 当时，，则当时，在上单调递增，12a =ln20a =(),x ∈-∞+∞()()0,f x f x '≥(),-∞+∞所以无极值点，不合题意；()f x 当时，，且；12a >ln20a >()00f '=当时，在上单调递增；(),0x ∈-∞()()0,f x f x '>(),0∞-当时，在上单调递减；()0,ln2∈x a ()()0,f x f x '<()0,ln2a 所以是函数的极大值点，符合题意；0x =()f x 综上所述，的取值范围是.a 12a >（3）要证，()sin 1cos 1e e ln sin cos 1θθθθ--++<只要证，()()sin 1cos 122e e ln sin ln cos sin cos θθθθθθ--+++<+只要证，，sin 12e ln sin sin θθθ-+<cos 12e ln cos cos θθθ-+<因为，则，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()sin 0,1,cos 0,1θθ∈∈所以只要证对任意，有，01x <<12e ln x x x -+<只要证对任意，有（※），10x -<<()2e ln 1(1)x x x ++<+因为由（2）知：当时，若，则，1a =0x <()()01f x f <=所以，即①，2e 1x x x --<2e 1x x x <++令函数，则，()()ln 1(10)h x x x x =+--<<()1111x h x x x -'=-=++所以当时，所以在单调递增；10x -<<()0h x '>()h x ()1,0-则，即，()()00h x h <=()ln 1(10)x x x +<-<<由①②得，+()22e ln 121(1)x x x x x ++<++=+所以（※）成立，所以成立.()sin 1cos 1e e ln sin cos 1θθθθ--++<方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.19．(1)只有1，2，4，3，2是“对数凹性”数列，理由见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用“对数凹性”数列的定义计算即可；（2）利用导数研究三次函数的性质结合零点个数相同及“对数凹性”数列的定义()1,f f x x ⎛⎫⎪⎝⎭计算即可；（3）将互换计算可得，令，可证明是等差数列，结合等差数列得通,p q 0=t 1,2p q =={}n W 项公式可知，利用及的关系可得，并判定()11n W c n d=+-1n nW S n =,n n S c ()121n c c d n =+-为单调递增的等差数列，根据等差数列求和公式计算结合基本不等式放{}n c ()2124n n n S S S ++-缩证明其大于0即可.【详解】（1）根据“对数凹性”数列的定义可知数列1，3，2，4中不成立，2234≥⨯所以数列1，3，2，4不是“对数凹性”数列；而数列1，2，4，3，2中均成立，所以数列1，2，4，3，2是“对数凹性”数列；222214423342⎧≥⨯⎪≥⨯⎨⎪≥⨯⎩（2）根据题意及三次函数的性质易知有两个不等实数根，2234()23f x b b x b x =++'所以，221324324Δ44303b b b b b b =-⨯>⇒>又，所以，0(1,2,3,4)i b i >=2324243b b b b b >>显然，即不是的零点，()1000x f b =⇒=>0x =()f x 又，2312341111f b b b b x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭令，则也有三个零点，1t x =()231234f t b b t b t b t =+++即有三个零点，32123431b x b x b x b f x x +++⎛⎫=⎪⎝⎭则有三个零点，()321234g x b x b x b x b =+++所以有两个零点，()212332g x b x b x b =++'所以同上有，22221321313Δ44303b b b b b b b b =-⨯>⇒>>故数列为“对数凹性”数列1234,,,b b b b （3）将互换得：，所以，,p q ()()()r q p t q p W p vr W r q W t=-+-+-=-0=t 令，得，1,2p q ==()()(2210r W r W r W -+-+-=所以，故数列是等差数列，()()()()12121211r W r W r W W r W W =-+-=+--{}n W 记，所以，221211022S c c d W W c -=-=-=>()()2111112n c c W c n c n d -⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭所以，()21n n S nW dn c d n==+-又因为，所以，11,1,2n n n c n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩()121n c c d n =+-所以，所以为单调递增的等差数列，120n n c c d +-=>{}n c 所以.()11210,2,2n n n n n n n n c c c c c c c S ++++>>+==所以()()()()()22212111124(1)2n n n n n n S S S n c c n n c c c c ++++-=++-+++()()()()22112211(1)22n n n c c c c n c c n n ++⎡⎤+++>++-+⎢⎥⎣⎦()()222112112(1)22n n c c c n c c n n ++++⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭()()()2221111(1)2n n n c c n n c c ++=++-++()()2211(1)2n n n n c c +⎡⎤=+-++⎣⎦()2110n c c +=+>所以，数列是“对数凹性”数列212n n n S S S ++≥{}n S 思路点睛：第二问根据定义及三次函数的性质、判别式先判定，再判定2324243b b b b b >>零点个数相同，再次利用导函数零点个数及判别式判定即可；第()1,f f x x ⎛⎫⎪⎝⎭2213133b b b b b >>三问根据条件将互换得，利用赋值法证明是等差数列，再根据及,p q 0=t {}n W 1n n W S n =的关系可得从而判定其为单调递增数列，根据等差数列求和公式计算,n n S c n c 结合基本不等式放缩证明其大于0即可.()2124n n n S S S ++-。

2024年高考数学全真模拟试题一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1、已知集合 A ＝｛x ｜ x² 3x ＋ 2 ＝ 0}，B ＝｛1, 2}，则A ∩ B ＝（）A ｛1}B ｛2}C ｛1, 2}D ∅2、复数 z ＝（1 ＋ i）（2 i），则｜z| ＝（）A 2B 5C 10D 2 23、已知向量 a ＝（1，2），b ＝（2，－1），则 a·b ＝（）A 0B 3C 4D 54、函数 f(x) ＝ sin(2x ＋π/3)的最小正周期为（）A πB 2πC π/2D 4π5、若直线 l₁：x ＋ 2y 3 ＝ 0 与直线 l₂：2x my ＋ 1 ＝ 0 平行，则 m ＝（）A －4B －1C 1D 46、已知等差数列{aₙ}的前 n 项和为 Sₙ，若 a₁＝ 1，d ＝ 2，则S₅＝（）A 25B 20C 15D 107、从 5 名男生和 3 名女生中选出 3 人参加某项活动，至少有 1 名女生的选法有（）A 80 种B 70 种C 65 种D 60 种8、抛物线 y²＝ 8x 的焦点到准线的距离为（）A 2B 4C 8D 169、已知函数 f(x) ＝ x³ 3x ＋ 1，则函数 f(x) 的单调递增区间是（）A （∞，－1）和（1，＋∞）B （－1，1）C （∞，－1）D （1，＋∞）10、若函数 f(x) ＝logₐx（a ＞ 0 且a ≠ 1）在区间2，4上的最大值与最小值之差为 1，则 a ＝（）A 2B 4C 1/2D 1/411、若圆 C：x²＋ y² 2x 4y ＋ 1 ＝ 0 关于直线 l：ax ＋ by 1 ＝ 0（a ＞ 0，b ＞ 0）对称，则 1/a ＋ 2/b 的最小值为（）A 4B 6C 8D 1012、已知函数 f(x) ＝2sin(ωx ＋φ)（ω ＞ 0，｜φ| ＜π/2）的图象过点（0，1），且在区间（π/12，5π/12）上单调递减，则ω 的最大值为（）A 11B 9C 7D 5二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13、曲线 y ＝ x³ 3x²＋ 1 在点（1，－1）处的切线方程为________。

2023年高考数学模拟试题(三)参考答案 一㊁选择题1.C 提示:因为1-iz =2+i ,所以z =2+i 1-i =(2+i )(1+i )(1-i )(1+i )=12+32i ,所以z =12-32i㊂2.D 提示:因为A =x |-2<x <5 ,B =1,3,5, ,所以A ɘB =1,3 ㊂3.D 提示:因为a =l o g 20.4<l o g 21=0,b =20.6>20=1,0<c =0.82<1,所以a <c <b ㊂4.B 提示:抛物线y 2=2p x p >0 的焦点为p 2,0,在双曲线x 2-y 2=p 中,c 2=2p ,c =2p ,焦点为(2p ,0),(-2p ,),所以p 2=2p ,解得p =0(舍)或p =8㊂5.C 提示:基本事件总数为C 24㊃A 33=36, 甲,乙没有被分配到同一个会议中心 的对立事件是 甲,乙被分配到同一个会议中心 ,因为 甲,乙被分配到同一个会议中心包含的基本事件数为C 22㊃A 33=6,所以 甲,乙没有被分配到同一个会议中心 的概率为1-636=56㊂6.B 提示:因为øA C B =120ʎ,A B =3,所以әA B C 的外接圆的半径r =32s i n 120ʎ=1,所以三棱锥O A B C 的高h =32-r 2=22㊂在әAB C 中,由余弦定理得A B 2=A C 2+B C 2-2A C ㊃B C c o s 120ʎ,即3=(A C +B C )2-A C ㊃B C ,所以A C ㊃B C=A C +B C2-3=1,所以S әA B C =12A C ㊃BC s i n 120ʎ=34,所以V 三棱锥O -A B C =13S әA B C ㊃h =66㊂7.B 提示:过滤第1次污染物的含量减少20%,则为1.2(1-0.2);过滤第2次污染物的含量减少20%,则为1.2(1-0.2)2;过滤第3次污染物的含量减少20%,则为1.2(1-0.2)3; ;过滤第n 次污染物的含量减少20%,则为1.2(1-0.2)n㊂要求废气中该污染物的含量不能超过0.2m g/c m 3,则1.2(1-0.2)nɤ0.2,即54nȡ6,所以l g 54 nȡl g 6,即n l g 108 ȡlg 2+l g 3,即n (1-3l g 2)ȡl g 3+l g 2,即n ȡl g 3+l g 21-3l g 2,因为l g 2ʈ0.3,l g 3ʈ0.477,所以n ȡ7.77,因为n ɪN *,所以过滤次数n 至少为8㊂8.B 提示:因为øC =90ʎ,A B =6,所以C A ң㊃C B ң=0,|C A ң+C B ң|=|C A ң-C B ң|=|B A ң|=6,所以P A ң㊃P B ң=P C ң+C Aң㊃P C ң+C Bң =P C ң2+P C ң(C A ң+C B ң)+C A ң㊃C B ң=4+P C ң(C A ң+C B ң),所以当P C ң与C A ң+C B ң的方向相同时,P C ң(C A ң+C B ң)取得最大值2ˑ6=12,所以P A ң㊃P B ң的最大值为16㊂9.C 提示:用收入减去支出,求得每月收益(万元),如表1所示:表1月份123456789101112收益203020103030604030305030所以7月收益最高,A 选项说法正确;4月收益最低,B 选项说法正确;后6个月收益比前6个月收益增长240-140=100(万元),C 选项说法错误;1~6月总收益140万元,7~12月总收益240万元,所以前6个月收益低于后6个月收益,D 选项说法正确㊂10.A 提示:已知函数f x=s i n x ㊃s i n x +π3-14=s i nx㊃12s i n x +32c o s x-14=12si n 2x -π6,因为x ɪm ,n ,所以2x -π6ɪ2m -π6,2n -π6,又因为值域为-12,14 ,即-12ɤ12s i n 2x -π6 ɤ14,所以-1ɤs i n 2x -π6 ɤ12㊂所以2n -π6-2m -π6 m a x=2n -2m m a x=π6--7π6 =4π3,所以n -m m a x=2π3;2n -π6-2m -π6 m i n=2n -2m m i n=π6--π2 =2π3,所以n -m m i n=π3㊂所以n -m ɪπ3,2π3 ,所以n -m 的值不可能为3π4㊁5π6和11π12㊂11.B 提示:由双曲线x 2a 2-y2b2=1(a >0,b >0)的右顶点A (a ,0),双曲线的渐近线方程为y =ʃb a x ,不妨取y =bax ,若存在过N (3a ,0)的直线与双曲线的渐近线交于一点M ,使得әA MN 是以M 为直角顶点的直角三角形,即以A N 为直径的圆与渐近线相交或相切,即b ㊃2aa 2+b2ɤa ,即a 2ȡ3b 2,即a 2ȡ3(c 2-a 2),解得1<e ɤ233,所以离心率存在最大值233㊂图112.D 提示:如图1,在正方体A B C D A 1B 1C 1D 1中,连接A 1B ,C D 1,因为N ,P 分别是C C 1,C 1D 1的中点,所以C D 1ʊP N ,又因为C D 1ʊA 1B ,所以A 1B ʊP N ,所以A 1,B ,N ,P 四点共面,即当Q 与A 1重合时,B ,N ,P ,Q 四点共面,故选项A 正确;连接P Q ,A 1C 1,当Q 是D 1A 1的中点时,P Q ʊA 1C 1,因为A 1C 1ʊMN ,所以P Q ʊMN ,因为P Q ⊄平面B MN ,MN ⊂平面B MN ,所以P Q ʊ平面M B N ,故选项B 正确;连接D 1M ,D 1N ,D 1B ,因为D 1M ʊB N ,所以V 三棱锥P M B N =V 三棱锥M P B N =V 三棱锥D P B N =V 三棱锥B D P N =13ˑ12ˑ1ˑ1ˑ2=13,故选项C 正确;分别取B B 1,D D 1的中点为E ,F ,构造长方体M A D F E B C N ,则经过C ,M ,B ,N 四点的球即为长方体M A D F E B C N 的外接球,设所求外接球的直径为2R ,则长方体M A D F E B C N 的体对角线即为所求球的直径,即2R2=A B 2+B C 2+C N 2=4+4+1=9所以经过C ,M ,B ,N 四点的球的表面积为4πR 2=9π,故选项D 错误㊂二、填空题13.45 提示:因为展开式中只有第6项的二项式系数最大,所以共有11项,则n =10,则x -1x2n 的通项公式为T r +1=C r10㊃x10-r-1x 2r=C r 10x10-r2-2r -1r㊂由10-r 2-2r =0,得r =2,即常数项为C 210ˑ(-1)2=45㊂14.8,+ɕ 提示:因为x +2y =2x+1y +7,所以x +2y -7=2x +1y,所以(x +2y -7)㊃(x +2y )=2x +1y㊃(x +2y )=4+4y x +x y ȡ4+24=8,当且仅当x =2y =4,即x =4,y =2时,等号成立,设t =x +2y ,则t (t -7)ȡ8,即t 2-7t -8ȡ0,解得t ȡ8,或t ɤ-1(舍),所以x +2y 的取值范围为8,+ɕ ㊂15.-79提示:由正弦定理得3c o s C ㊃(s i n A c o s C +s i n C c o s A )+s i n B =0,即3c o s C s i n (A +C )+s i n B =0,即3c o s C ㊃s i n B +s i n B =0,因为s i n B ʂ0,所以c o s C =-13,所以s i n π2-2C=c o s 2C =2c o s 2C -1=-79㊂16.e ,+ɕ 提示:令F x =f (x )+f (-x ),则F -x =F x ,所以F x 为偶函数㊂由题意可知,当x >0时,F (x )有两个零点㊂当x >0时,-x <0,f (-x )=e x-2k x +k ,F (x )=e x (x -1)+e x-2k x +k =x e x -2k x +k ㊂由F (x )=0得x e x =2k x -k ,即y =x e x与y =2k x -k 在(0,+ɕ)内有两个交点,直线y =2k x -k 恒过点12,0,函数y =x e x 的导数y '=(x +1)e x>0在(0,+ɕ)上恒成立,所以函数y =x e x在0,+ɕ 上单调递增,作出函数y =x e x与图2直线的大致图像,如图2所示,若y =xe x与直线y =2k x -k 相切,设切点为t ,e t,则切线斜率为t +1 e t ,切线方程为y -t e t=(t +1)e t(x -t ),因为切线过点12,0,所以-t e t=(t +1)e t12-t ,解得t =1,或t =-12(舍),故切线的斜率为2k =2e,即k =e ,所以当k >e 时,直线与曲线有两个交点㊂综上所述,实数k 的取值范围为(e ,+ɕ)㊂三、解答题17.(1)由题知b 1+b 2+b 3=7b 1,则1+q +q 2=7,因为q >0,所以q =2,因为等差数列a n的前三项和为12,所以3a 2=12,所以b 2=a 2=4,所以2b 1=4,则b 1=2,所以a 1=2,d =2,所以a n =2n ,b n =2n㊂(2)由题知c n的前20项和S 20=(a 1+a 3+ +a 19)+(b 2+b 4+ +b 20)=(2+6+ +38)+(2+4+ +210)=10(2+38)2+2(1-210)1-2=2246㊂18.(1)在әB A D 中,A B =2,A D =1,øB A D =60ʎ,由余弦定理得B D 2=A B 2+A D 2-2A B ㊃A D ㊃c o s øB A D =3,所以B D=3,所以A B 2=A D 2+B D 2,所以A D ʅB D ,所以B D ʅBC ㊂又B B 1ʅ面A B CD ,所以B B 1ʅB D ㊂因为B B 1ɘB C =B ,所以B Dʅ面B B 1C 1C ㊂又B E ⊂面B B 1C 1C ,所以B D ʅB 1E ㊂(2)因为D D 1ʅ面A B C D ,A D ʅB D ,所以以D 为坐标原点,D A ,D B ,D D 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图3所示的图3空间直角坐标系D x y z ,则D (0,0,0),B 1(0,3,2),E (-1,3,1),F12,32,0,所以D B 1ң=(0,3,2),D E ң=(-1,3,1),D F ң=12,32,0㊂设平面B 1D E 的一个法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),则n 1㊃D B 1ң=3y 1+2z 1=0,n 1㊃D E ң=-x 1+3y 1+z 1=0,令z 1=3,得n 1=-3,-2,3㊂设平面F D E 的一个法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2),则n 2㊃D F ң=12x 2+32y 2=0,n 2㊃D E ң=-x 2+3y 2+z 2=0,令y 2=1,得n 2=-3,1,-23㊂所以c o s <n 1,n 2>=n 1㊃n 2|n 1||n 2|=-5410=-108㊂所以二面角B 1-D E -F 的正弦值为1--1082=368㊂19.(1)由题意可得x =1+2+3+4+55=3,y=9+11+14+26+205=16,所以ðni =1(x i-x )(y i -y )=(-2)ˑ(-7)+(-1)ˑ(-5)+0ˑ(-2)+1ˑ10+2ˑ4=37,ðni =1(x i-x )2ðni =1(y i -y )2=[(-2)2+(-1)2+0+1+22]ˑ[(-7)2+(-5)2+(-2)2+102+42]=1940,所以r =371940ʈ0.84,故科技创新和市场开发后的收益y 与科技创新和市场开发的总投入x 具有较强的相关性㊂(2)由题中表格及参考公式可得K 2=10045ˑ20-25ˑ10255ˑ45ˑ70ˑ30ʈ8.129>6.635,故有99%的把握认为消费者满意程度与性别有关㊂(3)易知9人中满意的有5人,不满意的有4人,由题意可知,X 的所有可能取值为0,1,2,3,4㊂P (x =0)=C 44C 49=1126;P (x =1)=C 15C 34C 49=1063;P (x =2)=C 25C 24C 49=1021;P (x =3)=C 35C 14C 49=2063;P (x =4)=C 45C 49=5126㊂所以X 的分布列为表2:表2X 01234P11261063102120635126故E X =0ˑ1126+1ˑ1063+2ˑ1021+3ˑ2063+4ˑ5126=209㊂20.(1)由题意知c =2㊂设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2,则x 21a 2+y 21b 2=1,x 22a2+y 22b 2=1,两式相减得x 21-x 22a 2+y 21-y22b2=0,即(x 1+x 2)(x 1-x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1-y 2)b2=0,即(y 1+y 2)(y 1-y 2)(x 1+x 2)(x 1-x 2)=-b 2a 2,所以-b2a2=-13,即a 2=3b 2,而a 2-b 2=4,所以a 2=6,b 2=2㊂所以椭圆C 的方程为x 26+y22=1㊂(2)当直线m 的斜率存在时,设直线m :y =k (x +2),设M x 3,y 3 ,N x 4,y 4,联立y =k (x +2),x 26+y 22=1,消去y 整理得3k 2+1x 2+12k 2x +12k 2-6=0,则x 3+x 4=-12k 23k 2+1,x 3x 4=12k 2-63k 2+1㊂所以MN =1+k2x 3-x 4=1+k2(x 3+x 4)2-4x 3x 4=26(1+k 2)3k 2+1㊂点O 到直线m 的距离为d =2k1+k2㊂由O M ң㊃O N ң=463t a n øM O N,得|O M ң|㊃|O N ң|c o s øM O N =46c o s øM O N 3s i n øM O N㊂所以|O M ң|㊃|O N ң|s i n øM O N =463,所以S әM O N =263㊂因为S әM O N =12MN d =6(1+k 2)3k 2+1㊃2k1+k 2,所以6(1+k 2)3k 2+1㊃2k 1+k2=263,解得k =ʃ33,所以直线m :y =ʃ33(x +2)㊂当直线m 的斜率不存在时,直线m 的方程为x =-2,此时S әM O N =263,满足题意㊂综上可得,直线m 的方程为x ʃ3y +2=0,或x =-2㊂21.(1)由题知函数f x的定义域为0,+ɕ ,令f 'x =e -1x =0,得x =1e㊂当x ɪ0,1e时,f'x <0;当x ɪ1e ,+ɕ 时,f'x >0㊂所以f x 在0,1e 上单调递减,在1e,+ɕ 上单调递增㊂①当0<t <1e 时,显然t +1>1e,所以f (x )在t ,1e上单调递减,在1e ,t +1 上单调递增,此时f x m i n=f 1e =2;②当t ȡ1e时,f x 在t ,t +1 上单调递增,故f x m i n =f (t )=e t -l n t ㊂综上可得,当0<t <1e时,f x m i n =2;当t ȡ1e时,f x m i n =e t -l n t ㊂(2)先证当x >0时,e xȡe x ㊂令h x =e x -e x ,则h 'x=e x-e ,由h '(x )=0,得x =1㊂当x ɪ(0,1)时,h 'x <0;当x ɪ(1,+ɕ)时,h 'x >0㊂故h x 在(0,1)上单调递减,在1,+ɕ 上单调递增㊂所以h (x )m i n =h (1)=0,所以e xȡe x ㊂当x >0时,要证x f x <g (x ),即证e x 2-x l n x <x e x+1e,结合e x ȡe x ,若e x 2-x l n x ɤe x 2+1e成立,则原不等式成立㊂由e x 2-x l n x ɤe x 2+1e ⇒-x l n x ɤ1e⇒x l n x ȡ-1e㊂令m (x )=x l n x ,则m 'x =l n x +1,由m '(x )=0,得x =1e ㊂当x ɪ0,1e时,m 'x <0;当x ɪ1e ,+ɕ时,m 'x >0㊂故m x在0,1e上单调递减,在1e,+ɕ 上单调递增㊂所以m x m i n =m 1e =-1e ,即x l n x ȡ-1e㊂因为e xȡe x 与x l n x ȡ-1e取等号的条件不一致,故当x >0时,e x 2-x l n x <x e x+1e恒成立,即当x >0时,x f x <g (x )㊂22.(1)将曲线C 1,C 2的极坐标方程ρ=2s i n θ,ρc o s θ-π4=2化为直角坐标方程分别为x 2+y -1 2=1,x +y -2=0,得交点坐标为(0,2),(1,1),所以曲线C 1,C 2的交点的极坐标为2,π2 ,2,π4㊂(2)把直线l的参数方程x =-2+32t ,y =12t ,代入x 2+y -1 2=1,化简整理得t 2-(23+1)t +4=0,则t 1t 2=4,所以P A ㊃P B =4㊂23.(1)若a =1,则f x =x +1+x -1>2㊂当x ȡ1时,x +1+x -1>2,即x >1,可得x >1;当-1ɤx <1时,x +1+1-x >2,无解;当x <-1时,-x -1-x +1>2,即x <-1,可得x <-1㊂综上可得,不等式f (x )>2的解集为-ɕ,-1 ɣ1,+ɕ ㊂(2)对任意实数x ɪ2,3 ,都有f x ȡ2x -3成立,即a x +1+(x -1)ȡ2x -3成立,即a x +1ȡx -2成立,即a x +1ȡx -2,或a x +1ɤ2-x 成立,即a ȡ1-3x ,或a ɤ1x -1成立,所以a ȡ1-3xm a x,或a ɤ1x-1m i n㊂因为函数y =1-3x在2,3 上单调递增,y =1x-1在[2,3]上单调递减,所以y =1-3x 在2,3 上的最大值为0,y =1x-1在2,3 上的最小值为-23㊂故a ȡ0,或a ɤ-23,即实数a 的取值范围为-ɕ,-23ɣ0,+ɕ ㊂(责任编辑 王福华)。

高三数学高考模拟试题及答案第一部分选择题1. 已知函数 $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$，则 $f(x)$ 的极限为（）A. $\dfrac{1}{2}$B. $-2$C. $+\infty$D. $-\infty$2. 如图，对数函数 $y=\log_{\frac{1}{2}}(x-1)$ 的图像经过两点 $P(4,3)$，$Q(8,y)$。

则 $y=$（）A. 3B. 5C. 6D. 73. 在 $\triangle ABC$ 中，$AB=3$，$BC=\dfrac{5}{2}$，$\angle C=90^\circ$，$D$ 为 $BC$ 的中点，$E$ 为 $AC$ 上一点，$BE$ 延长线交 $AD$ 于点 $F$。

则 $EF=$（）A. $\dfrac{5}{3}$B. $\dfrac{25}{24}$C. $\dfrac{7}{4}$D. $\dfrac{17}{8}$4. 已知函数 $f(x)=\dfrac{2\sin x+\cos x}{\sin x-2\cos x}$，则$f\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=$（）A. $1+f(x)$B. $1-f(x)$C. $f(x)-1$D. $-1-f(x)$5. 已知 $x>2$，$\log_2{(2x-3)}+\log_2{(x+1)}=4$，则 $x=$（）A. 3B. 5C. 7D. 9答案：1. D2. B3. B4. A5. C第二部分简答题1. 证明 $x+y\geqslant 2\sqrt{xy}$ 为二次函数 $y=\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2-\dfrac{y^2}{4}$ 的非负性。

2. 已知 $a^2+b^2=1$，求 $\dfrac{5a+12b}{13}$ 的最大值。

3. 在动态规划中，解决问题的一般步骤是什么？4. 概率统计中，什么是贝叶斯公式？其应用场景有哪些？5. 对于某个事件的先验概率为 $p(A)$，我们观测到了该事件发生，且得到了一个新的条件概率，那么它的后验概率为什么？答案：1. 将二次函数化为顶点式 $y=\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2-\dfrac{y^2}{4}$，则$y\geqslant 0$。

安徽省2024届新高考数学预测模拟卷（三）一、单选题1．集合M={1,2,3,4,5}的子集的个数是A ．15B ．16C ．31D ．32 2．若复数3i 2ia ++是纯虚数，则实数a =（ ） A ．32- B ．32 C ．23- D ．233．“φ=π”是“曲线y=sin(2x ＋φ)过坐标原点的”A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度=器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知数据如图（注意：单位cm ），则平地降雪厚度的近似值为（ ）A ．91cm 12B ．31cm 4C ．95cm 12D ．97cm 125．某单位计划从5人中选4人值班，每人值班一天，其中第一、二天各安排一人，第三天安排两人，则安排方法数为（ ）A ．30B ．60C ．120D ．1806．已知双曲线：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2c ，直线)y x c +与双曲线的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则双曲线的离心率为（ ）ABC ．2 D17．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，① BM 与 ED 平行；② CN 与 BE 是异面直线；③ CN 与 BM 成 60o 角；④ DM 与 BN 垂直．以上四个结论中，正确结论的序号是（ ）A ．①②③B ．②④C ．③④D ．①③④8．设n A ，n B 分别为等比数列{}n a ，{}n b 的前n 项和．若23n n n n A a B b+=+（a ，b 为常数），则74a b =（ ）A ．12881B ．12780C ．3227D ．2726二、多选题9．下列命题正确的是（ ）A ．若,AB 两组成对数据的样本相关系数分别为0.97,0.99A B r r ==-，则A 组数据比B 组数据的相关性较强B ．若样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅的方差为2，则数据12621,21,,21x x x --⋅⋅⋅-的方差为8C ．已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数D ．某人解答5个问题，答对题数为X ，若()5,0.6X B :，则()3E X =10．已知函数()sin(3)22f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（ ）A ．函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3π D ．函数()f x 的图象关于5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称 11．已知函数()e sin (R)x f x a x a ∈=+，则下列说法中正确的有（ ）A ．当 2a =-时，()f x 在0x =处的切线方程为2y x =--B ．当1a =时，()f x 在3(,)22ππ-上恰有2个零点 C ．当0a <时，()f x 在3(,)22ππ--上单调递减 D ．当0a >时，()0f x ≥在3(,)22ππ-上恒成立三、填空题12．已知,a b r r 为单位向量，且a b ⋅r r =0，若2c a =r r ，则cos ,a c <>=r r .13．设1F ，2F 分别是椭圆C ：2212516x y +=的左、右焦点，点M 为椭圆C 上一点且在第一象限，若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为．14．设严格递增的整数数列1a ，2a ，…，20a 满足11a =，2040a =.设f 为12a a +，23a a +，…，1920a a +这19个数中被3整除的项的个数，则f 的最大值为，使得f 取到最大值的数列{}n a 的个数为.四、解答题15．记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，分别以,,a b c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知123S S S C +-. (1)求ABC V 的面积；(2)若sin sin A B =c .16．如图，在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，MB =MD =(1)证明：AB ⊥平面ADM ；(2)若23DC AB =u u u r u u u r ，2BE EM =u u u r u u u u r ，求直线CE 与平面BDM 所成角的正弦值． 17．为发展体育运动增强学生体质，甲乙两班各选3名同学进行乒乓球单打比赛，3场比赛每人参加一场比赛，各场比赛互不影响，每场比赛胜者本班获得相应积分，负者班级积分为0.据统计可知甲班3名参赛学生的情况如下表：(1)求甲班至少获胜2场的概率；(2)记甲班获得积分为X ，求X 的分布列与数学期望．18．已知函数()()ln 22f x x x =+-+，()e ln x g x a x a =-+.(1)求函数()f x 的极值；(2)请在下列①②中选择一个作答（注意：若选两个分别作答则按选①给分）.①若()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；②若关于x 的方程()()f x g x =有两个实根，求实数a 的取值范围.19．对于无穷数列{}n c ，若对任意*,m n ∈N ，且m n ≠，存在*k ∈N ，使得m n k c c c +=成立，则称{}n c 为“G 数列”.(1)若数列 b n 的通项公式为2n b n =，试判断数列 b n 是否为“G 数列”，并说明理由；(2)已知数列 a n 为等差数列，①若 a n 是“G 数列”，*128,a a =∈N ，且21a a >，求2a 所有可能的取值；②若对任意*n ∈N ，存在*k ∈N ，使得k n a S =成立，求证：数列 a n 为“G 数列”.。

高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.【重点知识梳理】1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax ＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.【高频考点突破】考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域例1、(1)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，x ＋3y≥4，3x ＋y≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73B.37C.43D.34(2)如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．【特别提醒】二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法： 直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．【变式探究】(1)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于4，则a 的值为( )A ．－5B ．3C ．5D ．7(2)如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式________．考点二 求线性目标函数的最值例2 (1)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≤x ，x ＋y≤1，y≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)(·课标全国Ⅱ)已知a>0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x ＋y≤3，y≥a x －3，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________.【特别提醒】线性规划问题的解题步骤：(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线； (2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．【变式探究】 (1)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x≤2，y≤2，x ≤2y给定．若M(x ，y)为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为( )A ．3B ．4C ．32D ．42(2)(·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2C.12D ．－12 考点三 线性规划的实际应用例3、某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？【特别提醒】解线性规划应用问题的一般步骤： (1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答．【变式探究】 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是________万元．变式四 求非线性目标函数的最值例4、(1)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，则yx 的最大值为________．(2)已知O 是坐标原点，点A(1,0)，若点M(x ，y)为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥2，x≤1，y≤2上的一个动点，则|OA →＋OM →|的最小值是________．【特别提醒】常见代数式的几何意义有 (1)x2＋y2表示点(x ，y)与原点(0,0)的距离； (2)x －a 2＋y －b 2表示点(x ，y)与点(a ，b)之间的距离；(3)yx 表示点(x ，y)与原点(0,0)连线的斜率； (4)y －b x －a表示点(x ，y)与点(a ，b)连线的斜率． 【变式探究】(1)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x －2y ＋3≥0，y≥x 所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2是与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称的区域，对于Ω1中的任意一点A 与Ω2中的任意一点B ，|AB|的最小值等于( )A.285B ．4C.125D ．2(2)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y －18≤0，2x －y≥0，x ＋y －3≥0，若直线kx －y ＋2＝0经过该可行域，则k 的最大值为________．考点五、利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值 例5、变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x≥1，(1)设z ＝yx ，求z 的最小值； (2)设z ＝x2＋y2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x2＋y2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．【方法与技巧】1．平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)．2．求最值：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．3．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．4．利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题． 【真题感悟】1.【高考重庆，文10】若不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为（）(A)3 (B) 1 (C)43(D)3 2.【高考四川，文9】设实数x ，y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值为( )(A)252 (B)492(C)12 (D)14 3.【高考广东，文4】若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．24.【高考新课标1，文15】若x,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z=3x+y 的最大值为．5.【高考陕西，文11】某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元.4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元6.【高考湖南，文4】若变量x y ，满足约束条件111x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值为( )A 、1-B 、0C 、1D 、22z x y =-1-7.【高考福建，文10】变量,x y 满足约束条件02200x y x y mx y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，若2z x y =-的最大值为2，则实数m 等于（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．28.【高考安徽，文5】已知x ，y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则y x z +-=2的最大值是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）5 （D ）19.【高考山东，文12】 若,x y 满足约束条件13,1y x x y y -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则3z x y =+的最大值为 .10.【高考浙江，文14】已知实数x ，y 满足221x y +≤，则2463x y x y +-+--的最大值是．11．（·安徽卷）x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为()A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－112．（·北京卷）若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为() A ．2 B ．－2 C.12 D ．－1213．（·福建卷）若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．14．（·广东卷）若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≤x ，x ＋y≤1，y≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝()A ．5B ．6C ．7D ．815．（·湖南卷）若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≤x ，x ＋y≤4，y≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.16．（·全国卷）设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥0，x ＋2y≤3，x －2y≤1，则z ＝x ＋4y 的最大值为________．17．（·新课标全国卷Ⅰ] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，x －2y≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p1：∀(x ，y)∈D ，x ＋2y ≥－2， p2：∃(x ，y)∈D ，x ＋2y≥2， p3：∀(x ，y)∈D ，x ＋2y≤3， p4：∃(x ，y)∈D ，x ＋2y≤－1. 其中的真命题是() A ．p2，p3 B ．p1，p2 C ．p1，p4 D ．p1，p318．（·新课标全国卷Ⅱ] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为()A ．10B ．8C ．3D ．219．（·山东卷）已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by(a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值25时，a2＋b2的最小值为()A. 5B. 4C. 5D. 220．（·陕西卷）在直角坐标系xOy 中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x ，y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若PA →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R)，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．21．（·天津卷）设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为()A ．2B ．3C ．4D ．522．（·浙江卷）当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x≥1时，1≤ax ＋y≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．23．(高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为()A ．2B ．1C ．－13D ．－1224．(高考全国新课标卷Ⅱ)已知a>0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x ＋y≤3，y≥a x －3.若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝()A.14B.12 C ．1D ．225．（·安徽卷）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P|OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是()A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 326．（·北京卷）设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，求得m 的取值范围是()A.⎝⎛⎭⎫－∞，43B.⎝⎛⎭⎫－∞，13C.⎝⎛⎭⎫－∞，－23D.⎝⎛⎭⎫－∞，－5327．（·广东卷）给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y≥4，x ＋y≤4，x≥0，令点集T ＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z ，(x0，y0)是z ＝x ＋y 在D上取值最大值或最小值的点}．则T 中的点共确定________条不同的直线．28．（·湖南卷）若变量x ，y 满足结束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≤2x ，x ＋y≤1，y≥－1，则x ＋2y 的最大值是()A ．－52B ．0 C.53 D.5229．（·江苏卷）抛物线y ＝x2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x ，y)是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．30．（·陕西卷）若点(x ，y)位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为________．31．（·天津卷）设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为()A ．－7B ．－4C ．1D ．232．（·浙江卷）设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________．【押题专练】1．不等式x －2y ＞0表示的平面区域是( )．2．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5>0，2x ＋y －7>0，x≥0，y≥0.若x ，y 为整数，则3x ＋4y 的最小值是( )．A ．14B ．16C ．17D ．19 3．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y≥a ，0≤x≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是 ( )． A ．(－∞，5) B ．[7，＋∞)C ．[5,7)D ．(－∞，5)∪[7，＋∞)4．设实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －10≤0，x －2y ＋8≥0，x≥0，y≥0，若目标函数z ＝ax ＋by(a ＞0，b ＞0)的最大值为12，则2a ＋3b 的最小值为( )． A.256B.83C.113D ．45．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，y≤a a>1，x －y≤0，若目标函数z ＝x ＋y 取得最大值4，则实数a 的值为 ( )．A ．4B ．3C ．2 D.326．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )．A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，x ＋3y －3≥0，则z ＝3x －y 的最小值为________．8．若x ，y 满足约束条件⎝ ⎛ x≥0，x ＋2y≥3，2x ＋y≤3，则x －y 的取值范围是________．9．设实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，则yx 的最大值是________．10．设m>1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≥x ，y≤mx ，x ＋y≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为________．11．设集合A ＝{(x ，y)|x ，y,1－x －y 是三角形的三边长}． (1)求出x ，y 所满足的不等式； (2)画出点(x ，y)所在的平面区域．12．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y≥0，x≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x 、y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？13．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，x －y≥－1，2x －y≤2，(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值．(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．14．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P 甲，P 乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x ，y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x ，y 为何值时，z ＝xP 甲＋yP 乙最大，最大值是多少？项目 用量 产品 工人(名)资金(万元)甲 4 20 乙85高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】 1.理解等比数列的概念．2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式．3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4.了解等比数列与指数函数的关系． 【热点题型】题型一 等比数列基本量的运算例1 (1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn 为其前n 项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( )A.152B.314C.334D.172(2)在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝________. 答案 (1)B (2)4或－4(2)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a1q3－a1q ＝6，a1q4－a1＝15，两式相除，得q 1＋q2＝25，即2q2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12.所以⎩⎪⎨⎪⎧a1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a1＝－16，q ＝12.故a3＝4或a3＝－4.【提分秘籍】等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n ，q ，an ，Sn ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．【举一反三】(1)已知正项数列{an}为等比数列，且5a2是a4与3a3的等差中项，若a2＝2，则该数列的前5项的和为( )A.3312B ．31C.314D ．以上都不正确(2)设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn 为其前n 项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．答案 (1)B (2)－12(2)因为等差数列{an}的前n 项和为 Sn ＝na1＋n n －12d ， 所以S1，S2，S4分别为a1,2a1－1,4a1－6. 因为S1，S2，S4成等比数列，所以(2a1－1)2＝a1·(4a1－6)，解方程得a1＝－12. 题型二 等比数列的性质及应用例2、(1)在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝________. (2)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n 项和为Sn ，若S10S5＝3132，则公比q ＝________. 答案 (1)51 (2)－12解析 (1)由a6a10＋a3a5＝41及a6a10＝a28，a3a5＝a24，得a24＋a28＝41.因为a4a8＝5，所以(a4＋a8)2＝a24＋2a4a8＋a28＝41＋2×5＝51. 又an>0，所以a4＋a8＝51. (2)由S10S5＝3132，a1＝－1知公比q≠1， 则可得S10－S5S5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5， 故q5＝－132，q ＝－12. 【提分秘籍】(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则am·an ＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．【举一反三】(1)设等比数列{an}的前n 项和为Sn ，若S6∶S3＝1∶2，则S9∶S3＝________.(2)在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，则a41a42a43a44＝________. (3)设数列{an}、{bn}都是正项等比数列，Sn 、Tn 分别为数列{lgan}与{lgbn}的前n 项和，且SnTn ＝n2n ＋1，则logb5a5＝________. 答案 (1)3∶4 (2)1024 (3)919解析 (1)由等比数列的性质：S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，于是(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)， 将S6＝12S3代入得S9S3＝34.(2)方法一 a1a2a3a4＝a1·a1q·a1q2·a1q3 ＝a41·q6＝1，①a13a14a15a16＝a1q12·a1q13·a 1q14·a1q15 ＝a41·q54＝8，②②÷①：a41·q54a41·q6＝q48＝8⇒q16＝2， 又a41a42a43a44＝a1q40·a1q41·a1q42·a1q43＝a41·q166＝a41·q6·q160 ＝(a41·q6)·(q16)10＝1·210＝1024.方法二 由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为p ， 设T1＝a1·a2·a3·a4＝1， T4＝a13·a14·a15·a16＝8， ∴T4＝T1·p3＝1·p3＝8⇒p ＝2. ∴T11＝a41·a42·a43·a44 ＝T1·p10＝210＝1024.(3)由题意知S9T9＝lg a1·a2·…·a9lg b1·b2·…·b9 ＝lga95lgb95＝lga5lgb5 ＝logb5a5＝919.题型三等比数列的判定与证明例3、已知数列{an}的前n 项和为Sn ，且an ＋Sn ＝n. (1)设cn ＝an －1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式．【提分秘籍】(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证． 【举一反三】设数列{an}的前n 项和为Sn ，已知a1＝1，Sn ＋1＝4an ＋2. (1)设bn ＝an ＋1－2an ，证明：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式．【高考风向标】【高考广东，文13】若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中526a =+526c =-，则b =． 【答案】1【解析】因为三个正数a ，b ，c 成等比数列，所以(25265261b ac ==+-=，因为0b >，所以1b =，所以答案应填：1．【高考新课标1，文13】数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n =. 【答案】6【解析】∵112,2n n a a a +==，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴2(12)12612n n S -==-，∴264n =，∴n=6. 1．（·重庆卷）对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )A ．a1，a3，a9成等比数列B ．a2，a3，a6成等比数列C ．a2，a4，a8成等比数列D ．a3，a6，a9，成等比数列 【答案】D【解析】因为在等比数列中an ，a2n ，a3n ，…也成等比数列，所以a3，a6，a9成等比数列． 2．（·安徽卷）数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.【答案】1【解析】 因为数列{an}是等差数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5也成等差数列．又 a1＋1，a3＋3，a5＋5构为公比为q 的等比数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5为常数列，故q ＝1.3．（·广东卷）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________．【答案】504．（·全国卷） 等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【答案】C【解析】设数列{an}的首项为a1，公比为q ，根据题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧a1q3＝2，a1q4＝5，解得⎩⎨⎧a1＝16125，q ＝52，所以an ＝a1qn －1＝16125×⎝⎛⎭⎫52n －1＝2×⎝⎛⎭⎫52n －4，所以lg an ＝lg 2＋(n －4)lg 52，所以前8项的和为8lg 2＋(－3－2－1＋0＋1＋2＋3＋4)lg 52＝8lg 2＋4lg 52＝4lg ⎝⎛⎭⎫4×52＝4. 5．（·湖北卷） 已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式．(2)记Sn 为数列{an}的前n 项和，是否存在正整数n ，使得Sn>60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．【解析】(1)设数列{an}的公差为d ，依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得d2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4.当d ＝0时，an ＝2；当d ＝4时，an ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{an}的通项公式为an ＝2或an ＝4n －2.6．（·新课标全国卷Ⅱ）已知数列{an}满足a1＝1，an ＋1＝3an ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫an ＋12是等比数列，并求{an}的通项公式； (2)证明1a1＋1a2＋…＋1an ＜32.【解析】(1)由an ＋1＝3an ＋1得an ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫an ＋12. 又a1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫an ＋12是首项为32，公比为3的等比数列，所以an ＋12＝3n 2，因此数列{an}的通项公式为an ＝3n －12.(2)证明：由(1)知1an ＝23n －1. 因为当n≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1，即1an ＝23n －1≤13n －1. 于是1a1＋1a2＋…＋1an ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝⎛⎭⎫1－13n <32. 所以1a1＋1a2＋…＋1an <32.7．（·山东卷） 已知等差数列{an}的公差为2，前n 项和为Sn ，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn ＝(－1)n －14n anan ＋1，求数列{bn}的前n 项和Tn. 【解析】 (1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋2×12×2＝2a1＋2，S4＝4a1＋4×32×2＝4a1＋12，由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1，所以an ＝2n －1.(2)由题意可知，bn ＝(－1)n －14n anan ＋1＝(－1)n －14n （2n －1）（2n ＋1）＝(－1)n －1⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1. 当n 为偶数时，Tn ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…＋⎝⎛12n －3＋⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1.当n 为奇数时，Tn ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…－⎝⎛⎭⎫12n －3＋12n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1 ＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以Tn ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n 2n ＋1，n 为偶数.⎝ ⎛⎭⎪⎫或Tn ＝2n ＋1＋（－1）n －12n ＋1 8.（·陕西卷）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C)；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．9．（·天津卷）设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn 为其前n 项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．【答案】－12【解析】∵S2＝2a1－1，S4＝4a1＋4×32×(－1)＝4a1－6，S1，S2，S4成等比数列，∴(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，解得a1＝－12.10．（·天津卷）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合A ＝{x|x ＝x1＋x2q ＋…＋xnqn －1，xi ∈M ，i ＝1，2，…，n}．(1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A.(2)设s ，t ∈A ，s ＝a1＋a2q ＋…＋anqn －1，t ＝b1＋b2q ＋…＋bnqn －1，其中ai ，bi ∈M ，i ＝1，2，…，n.证明：若an<bn ，则s<t.【高考押题】1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )A ．a1，a3，a9成等比数列B ．a2，a3，a6成等比数列C ．a2，a4，a8成等比数列D ．a3，a6，a9成等比数列答案 D解析 设等比数列的公比为q ，因为a6a3＝a9a6＝q3，即a26＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列．故选D.2．等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于( )A ．6B ．5C ．4D ．3答案 C解析 数列{lgan}的前8项和S8＝lga1＋lga2＋…＋lga8＝lg(a1·a2·…·a8)＝lg(a1·a8)4＝lg(a4·a5)4＝lg(2×5)4＝4.3．等比数列{an}的前n 项和为Sn ，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1等于( )A.13B ．－13C.19D ．－19答案 C解析设等比数列{an}的公比为q，由S3＝a2＋10a1得a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，即a3＝9a1，q2＝9，又a5＝a1q4＝9，所以a1＝1 9.4．一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是()A．13B．12C．11D．10答案B解析设该等比数列为{an}，其前n项的积为Tn，则由已知得a1·a2·a3＝3，an－2·an－1·an＝9，(a1·an)3＝3×9＝33，∴a1·an＝3，又Tn＝a1·a2·…·an－1·an，Tn＝an·an－1·…·a2·a1，∴T2n＝(a1·an)n，即7292＝3n，∴n＝12.5．设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于() A．150B．－200C．150或－200D．400或－50答案A6．等比数列{an}中，Sn表示前n项和，a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q为________．答案3解析由a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1得a4－a3＝2(S3－S2)＝2a3，∴a4＝3a3，∴q ＝a4a3＝3.7．等比数列{an}的前n 项和为Sn ，公比不为1.若a1＝1，则对任意的n ∈N*，都有an ＋2＋an ＋1－2an ＝0，则S5＝________.答案 11解析 利用“特殊值”法，确定公比．由题意知a3＋a2－2a1＝0，设公比为q ，则a1(q2＋q －2)＝0.由q2＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)，则S5＝a11－q51－q＝1－－253＝11. 8．设等比数列{an}的各项均为正数，其前n 项和为Sn ，若a1＝1，a3＝4，Sk ＝63，则k ＝________. 答案 6解析 设等比数列{an}公比为q ，由已知a1＝1，a3＝4，得q2＝a3a1＝4.又{an}的各项均为正数，∴q ＝2.而Sk ＝1－2k 1－2＝63， ∴2k －1＝63，解得k ＝6.9．已知等差数列{an}满足a2＝2，a5＝8.(1)求{an}的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列{bn}中，b1＝1，b2＋b3＝a4，求{bn}的前n 项和Tn.解 (1)设等差数列{an}的公差为d ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a1＋d ＝2，a1＋4d ＝8.∴a1＝0，d ＝2. ∴an ＝a1＋(n －1)d ＝2n －2.(2)设等比数列{bn}的公比为q ，则由已知得q ＋q2＝a4，∵a4＝6，∴q ＝2或q ＝－3.∵等比数列{bn}的各项均为正数，∴q ＝2.∴{bn}的前n 项和Tn ＝b11－qn 1－q ＝1×1－2n 1－2＝2n －1.10．已知数列{an}的前n 项和为Sn ，且Sn ＝4an －3(n ∈N*)．(1)证明：数列{an}是等比数列；(2)若数列{bn}满足bn ＋1＝an ＋bn(n ∈N*)，且b1＝2，求数列{bn}的通项公式．(1)证明 依题意Sn ＝4an －3(n ∈N*)，n ＝1时，a1＝4a1－3，解得a1＝1.因为Sn ＝4an －3，则Sn －1＝4an －1－3(n≥2)，所以当n≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝4an －4an －1，整理得an ＝43an －1.又a1＝1≠0，所以{an}是首项为1，公比为43的等比数列．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515-B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。