应力状态分析、广胡、强度理论小班辅导精简

u u ud 1 2 2 2 [ 1 2 3 2 ( 1 2 2 3 3 1 )] 2E
（5-11）
9、已知某点平面应力状态如图， 1和2为主应力， 则下列关系正确的是（ ） A. 1+2>x+y C. 1+2<x+y B. 1+2=x+y D. 1-2>x-y
2( 90 ) 90 0 0 x sin sin 2 ;

+45
x 45- ” ”= -45
45 0 0 x sin 2( 45 ) cos 2 ,

x y 1 1 1 tan 2 2 x
剪应力极值面与主平面相交成45°:
1 0

4
3.三向应力状态 一点处的最大切应力
max
1 3
2
其作用面与1 、3所在主平 面夹角各成45°。 对于有一对主平面的特殊空间应力状态，只要建立xy坐 标系使xy平面平行于该主平面，关于平面应力状态求斜 截面上应力，求主应力、主平面方位角, 以及求切应力 极值、切应力极值作用平面方位角的公式仍然适用。
十.已知受扭圆轴表面K点任意两个互成45度方向的线应 变’、’’，求扭矩m。（材料E、，直径d均已知） y
m
+90


m

y
’= ’ x
解：记’=，那么’’=-45； 建立xy坐标系，则z= x=y=0，x= 。 0 0 x sin 2 sin 2 ,
1.3主平面、主应力 单元体上切应力为零的平面称为主平面，主平面上的正 应力称为主应力。 过受力构件内任一点总有三对相互垂直的主平面。相应 的主应力用1、 2 和 3来表示，它们按代数值的大小 顺序排列，即 1 2 3 1是最大主应力， 3是最小主应力，它们分别是过一点 的所有截面上正应力中的最大值和最小值。
45 0 0 x sin 2( 45 ) cos 2 .

十.已知’、’’ 、 E、 、 d，求扭矩m。 y+45 y m
+90


m

’ ’= x

x 45- ” ”= -45
y P x=-20 r y=80
76
O x
y 1 80 1 8Байду номын сангаас 1 tan 1 180 tan II 20 20 2 20 2 52 71.2 11.2 1 180 76 104 40 x 180 tan 1 4 2 2 2 40 52 (与 max 对应)。
2
3 1
1 2 2 u ( 1 2 3 ) 6E
（5-9）
1 3
2 1 ud [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] 6E
5.3 畸变[jī biàn]能密度
5.4 应变能密度
（5-10）
z
(5-5)
4.2 主应力与主应变间的关系
2 1 3
3 1
1 1 1 2 3 E 1 2 2 3 1 E 1 3 3 1 2 E
5. 体积应变和形变应变 5.1 体积应变
y
一、内容提要 1.应力状态的概念 1.1一点的应力状态 通过受力构件的一点的各个 截面上的应力情况的集合，称 为该点的应力状态。
y
yz
zy
z
yx
xy
zx
x xz
x
z
1.2一点的应力状态的表示方法——单元体 研究受力构件内一点处的应力状态，可以围绕该点取一 个无限小的正六面体，即单元体。若单元体各个面上的 应力已知或已计算出，则通过该点的其他任意方位截面 上的应力就可用解析法或图解法确定。
单位：MPa
y 20 40 x 40
∴1=11.2 MPa, 2 =0 MPa, 3 =-71.2 MPa
x=-40 , y =-20 , x =-40；1=11.2 , 2 =0 , 3 =-71.2
2.主平面方向角0
2 x 1 1 0 tan 2 x y 1 1 2 ( 40) tan 2 40 ( 20)
60 60 60 60 60 60 60 60 C 60
A
B
五. 判断下列单元体属于何种应力状态
60 60 60 60 60 60 60 60
A
B
C 60
max x y x y min 2 2
纯剪切
2 xy
2
单向拉伸
y
y x
y
2
x x
x
1
四. 绘出单元体各平面上应力。
1
45°
2. H m F P2 P1
P
四. 绘出单元体各平面上应力。
1
45°
/2 /2 /2
P
2. H m F
P2 P1
N + W
H
F
N-W

H

F
N+W
N-W
五. 判断下列单元体属于何种应力状态
1.4应力状态的分类 （1）单向应力状态，只有一个主应力不为零，另两个主 应力均为零； （2）二向应力状态，两个主应力不为零，另一个为零； （3）三向应力状态，三个主应力都不为零。 单向应力状态又称简单应力状态，二向、三向应力状态 称为复杂应力状态。
2 1 3 2 2 3 1 1 2 1 1 1

(5-6)
2
1 2 ( 1 2 3 ), 1 2 3 E 1 2 1 2 ( 1 2 3 ) ( x y z ) （5-8） E E
5.2 体积改变能密度

-
纯剪单元体的比能为：
1 2 u , 2 2G

纯剪单元体比能的主应力表示为：
1 2 2 2 1 2 3 2 1 3 u 1 2 3 2 2E 1 2 2 0 ( ) 2 0 0 ( ) 2E 1 2 E E G 2 1

min
y
x
max 0
x
（5-3）
x
x
由上式可确定主应力max所在主平面的法向方位角0 。另 一个主应力min则在与此垂直的一个主平面上(0+90°)。 计算时按三角函数规定：分子视为y坐标，而分母为x坐标 ，先确定tan-1(…)属第几象限角，再用( )中分式的绝对值 算出相应锐角的角度值。
P

O y x O


x
y O x y P
O r x

r x
2.4 切应力极值 极大切应力max和极小切应力min
x y max 2 x 2 min
2
y
y x
y
n
1
max
1 x
x
min x
2.5 极大切应力max所在平面的方位角1
任意角的三角函数 :
P
x r
y
y
x r
P y x
y/r叫做角α的正弦， 记作sinα，即sinα= y/r ； y x/r叫做角α的余弦， 记作cosα , 即cosα= x/r ； y/x叫做角α的正切， 记作tanα，即 tanα = y/x 它们只依赖于的大小， 与点P在终边上的位置 无关。 y
sin 2 , 90 sin 2 ; 45 cos 2 , 45 cos 2

1 1 [ ( 90 z )] sin 2 , E E 1 1 45 [ 45 ( 45 z )] cos 2 ; E E 1 2 1 m 2 2 E E WP 3 E d E 2 2 m WP 1 16 1
2.平面应力状态分析的解析法 在平面应力状态的单元体中，有一对平面上的应力等 于零，即为主平面，其上主应力为零。可将单元体用平 面图形表示，如图所示。 y y
e
y y
y
x
e
y x
n
x
x
x
α a f

x
x
a
f
2.1任意斜截面上的应力 应用截面法，列平衡方程可得

x
2 xy
2
（5-2）
y
y
min
y
max 0
x
按代数值大小排列，分别用1 、2 、
x
x
3表示： 1 ≥2 ≥3 。
2.3主平面的方位角0 主平面与x轴间的夹角0可按下式计算
y
y
2 x 1 1 0 tan 2 y x
2 2
;
2
2 2
圆球形薄壁容器，壁厚为 t，内径为D，承受内 压p作用。求薄壁容器的主应力。
p
圆球形薄壁容器，壁厚为 t，内径为D，承受内 压p作用。

p

N 4 A Dt pD 4t
p
D
2
pD 1 2 4t 3 0
求图示单元体的主应力值及主方向，并画 在单元体上。 解：建立坐标系 x=-40 MPa, y =-20 MPa, x =-40 MPa 1.主应力