非线性方程组数值解法

第三章 非线性方程(组)的数值解法一．取步长1h =，试用搜索法确立3()25f x x x =--含正根的区间，然后用二分法求这个正根，使误差小于310-。

【详解】因为是要寻找正根，因此，可选含根区间的左端点为0。

(0)5f =-，(1)5f =-，(2)1f =-，(3)16f =，因此，(2,3)中有一个正根。

这就确立了含根区间。

接下来，我们用二分法求这个正根，使误差小于310-，计算结果如下表 迭代次数k ak b k x0 2 3 2.5 1 2 2.5000 2.250 0 2 2 2.2500 2.125 0 3 2 2.1250 2.062 5 4 2.0625 2.1250 2.093 8 5 2.0938 2.1250 2.109 4 6 2.0938 2.1094 2.101 6 7 2.0938 2.1016 2.097 7 8 2.0938 2.0977 2.095 7 92.09382.09572.094 7二．对方程2()2sin 20f x x x =--=，用二分法求其在区间[]1.5,2内的根，要求误差小于0.01。

【详解】用二分法求解方程在[]1.5,2内的根，要求误差小于0.01，计算结果如下表： 迭代次数k ak b k x0 1.5 2 1.75 1 1.7500 2.0000 1.8750 2 1.8750 2.0000 1.9375 3 1.9375 2.0000 1.9688 4 1.9375 1.9688 1.9531 51.95311.96881.9609三．用不动点迭代法，建立适当的迭代格式，求方程3()10f x x x =--=在0 1.5x =附近的根，要求误差小于610-。

【详解】310x x --=，等价于x =。

这样，可以建立不动点迭代格式1k x +=当0x ≥时，总有23110(1)133x -'<=+≤<，因此，迭代格式对于任意初始值00x ≥总是收敛的。

非线性方程组数值解法
，
非线性方程组数值解法是通过数值方法解决非线性方程组问题的一种解法。

非线性方程组不像普通的线性方程组，它们往往没有普遍的解析解，一般只有数值解。

因此，非线性方程组的数值解法非常重要。

非线性方程组数值解法的基本思想是，将非线性方程组分解为多个子问题，并采用一种迭代算法求解这些子问题。

最常见的数值方法有牛顿法、拟牛顿法和共轭梯度法等。

牛顿法是利用曲线上的点的二次近似，将非线性方程分解为两个子问题，转换为求解一个简单的一元方程的问题来求解非线性方程组的数值解。

拟牛顿法利用有限差分方法来求解非线性方程组的数值解，共轭梯度法利用解的搜索方向，进行有效的搜索，通过解的最优性条件收敛到解。

非线性方程组数值解法是目前应用最广泛的数值解法，它能很好地求解非线性方程组。

不仅能有效求解复杂的非线性方程组，还能求出较精确的数值解。

此外，非线性方程组数值解法运算速度快，可以对模型进行实时定位和跟踪，非常适合模拟复杂的动态系统。

总之，非线性方程组数值解法是一种求解复杂非线性方程组的有效解法，它的准确性高，运算速度快，广泛应用于现实世界中的多种工程与科学计算问题。

非线性方程数值解法及其应用摘要:数值计算方法主要研究如何运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和算法。

本文主要介绍非线性方程的数值解法以及它在各个领域的应用。

是直接从方程出发，逐步缩小根的存在区间，或逐步将根的近似值精确化，直到满足问题对精度的要求。

我将从二分法、Steffensen加速收敛法、Newton迭代法、弦截法来分析非线性方程的解法及应用。

关键字：非线性方程;二分法；Steffensen加速收敛法；代数Newton法；弦截法一、前言随着科技技术的飞速发展，科学计算越来越显示出其重要性。

科学计算的应用之广已遍及各行各业，例如气象资料的分析图像，飞机、汽车及轮船的外形设计，高科技研究等都离不开科学计算。

因此经常需要求非线性方程 f(x) = O的根。

方程f(x) = O 的根叫做函数f(x)的零点。

由连续函数的特性知：若f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<O，则f(x) = O在开区间(a,b)内至少有一个实根。

这时称[a,b]为方程f(x) = O的根的存在区间。

本文主要是对在区间[1.2]的根的数值解法进行分析，介绍了非线性方程数值解法的四种方法，从而得到在实际问题中遇到非线性方程根的求解问题的解决方法。

二、非线性方程的数值解法1、二分法二分法的基本思想是将方程根的区间平分为两个小区间，把有根的小区间再平分为两个更小的区间，进一步考察根在哪个更小的区间内。

如此继续下去，直到求出满足精度要求的近似值。

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<O，则[a,b]是方程f(x)=O 的根的存在区间，设其内有一实根，记为。

取区间[a,b]的中点，并计算，则必有下列三种情况之一成立：(1)= O,就是方程的根；(2)f(a)·f()<O，方程的根位于区间[a,]之中，此时令，；(3)f()·f(b)<O，方程的根位于区间[,b]之中，此时令。

非线性方程的数值解法研究在数学和科学计算领域，非线性方程的求解是一个至关重要的问题。

非线性方程不像线性方程那样具有简单和直接的求解方法，它们的复杂性使得寻找精确解往往变得非常困难，甚至在很多情况下是不可能的。

因此，数值解法成为了处理非线性方程的重要手段。

首先，让我们来理解一下什么是非线性方程。

简单来说，非线性方程是指方程中包含未知数的非线性函数，例如幂次高于 1 的项、三角函数、指数函数等。

常见的非线性方程有二次方程、三次方程、指数方程、对数方程等等。

在实际应用中，非线性方程广泛出现在物理学、工程学、金融学、生物学等众多领域。

比如在物理学中，描述天体运动的方程往往是非线性的；在工程学中，结构力学和电路分析中的一些问题也会涉及非线性方程。

那么，为什么非线性方程的求解如此具有挑战性呢？这是因为非线性方程的解可能不是唯一的，甚至可能不存在。

而且，非线性方程的解可能对初始条件非常敏感，微小的变化可能导致完全不同的结果。

接下来，我们来探讨一些常见的非线性方程数值解法。

牛顿法是一种经典且广泛应用的方法。

它基于函数的泰勒展开，通过不断迭代来逼近方程的根。

基本思想是在每一步迭代中，根据当前点的函数值和导数值来确定下一个近似解的位置。

如果函数的导数容易计算，并且初始猜测值比较接近真实解，牛顿法通常收敛速度很快。

然而，如果初始猜测值不好，或者函数的导数在某些点不存在，牛顿法可能会失效。

割线法是牛顿法的一种改进。

它不需要计算函数的导数，而是通过两个初始猜测值来构造一条割线，然后用割线与 x 轴的交点作为新的近似解。

割线法虽然在计算导数困难的情况下很有用，但它的收敛速度通常比牛顿法慢。

二分法是一种简单而可靠的方法。

它基于区间收缩的原理，通过不断将包含根的区间一分为二，逐步缩小根所在的范围，从而逼近根的精确值。

二分法的优点是它总是收敛的，并且对函数的性质要求不高，只要函数在给定区间内连续且两端点函数值异号即可。

但二分法的收敛速度相对较慢，是线性收敛的。

第四章 非线性方程和方程组的数值解法教学目标：1.了解并掌握非线性方程的根的相关概念，如m 重根、有根区间等概念；2.掌握逐步搜索法和二分法（区间对分法）的基本思想及步骤，了解这两种方法的适用性及缺点，能应用其求解简单的非线性方程；3.了解迭代法的分类，理解并掌握不动点迭代法的概念及相关收敛性定理，掌握全局收敛性及局部收敛性联系及区别，理解收敛阶和计算效率的相关概念的来历及含义；4.了解迭代加速的思想，掌握加权法（松弛法）、Aitken 以及Steffensen 加速方法的思想及相关理论、计算公式；5.理解并掌握Newton 迭代法及求重根的修正Newton 迭代法的思想、实现步骤以及相关理论；6.理解Newton 迭代法的相关变形方法的提出及实现步骤，如简化Newton 法（平行弦法）、Newton 下山法、拟Newton 法和Steffensen 方法；7、理解割线法和Muller 法提出的背景及实现步骤，掌握相关的理论。

教学重点：1.逐步搜索法和二分法（区间对分法）的基本思想及步骤；2.不动点迭代法的概念及相关收敛性定理；3.迭代加速的思想及三种实现方式；4. Newton 迭代法及相关变形或改进的迭代法的思想及步骤。

教学难点：1..不动点迭代法的概念及相关收敛性定理；2.迭代加速的思想及三种实现方式；3. Newton 迭代法及相关变形或改进的迭代法的思想及步骤。

教学方法：教具：§4.1 问题的提出非线性科学是当今科学发展的一个重要研究方向，而非线性方程的求根也成了一个不可缺的内容。

但是，非线性方程的求根非常复杂。

本章重点讨论单个方程的求根方法，对于非线性方程组的解法仅作一些简单的介绍。

这是因为单个方程的求根问题比非线性方程组更普遍。

另外非线性方程组的求解是个难度比较大的问题，许多近代研究集中在这个问题上。

非线性方程和方程组的数值解法主要是迭代法。

一般的非线性方程组可以写成()0F x =，其中F 和x 都是n 维向量。

姓名 班级 学号第三章 非线性方程的数值解法一、学习体会本章主要介绍了非线性方程组的方程根的解法，求方程根的步骤，由于非线性方程组只有少数类型能解出根的解析表达式，只能用数值方法求出它的近似值。

求解非线性方程组的方法有作图法等，求根的方法有二分法、迭代法、牛顿法、割线法等。

在学习过程当中，我们要注意各种方法的特点与使用范围，针对不同场合下的非线性方程组，选择合适的方法有利于我们快速准确的得到所要求的结果。

二、知识梳理非线性方程的迭代解法1、对分法对分法的算法步骤如下：对k=0，1……，M 执行（1）计算k 2a kk x b +=； （2）()k f x ε<或者2k k b a ε-<则停止计算。

取s=k x ，否则转（3）； （3）若f(k a )f (k x )〈0，令k+1k+1k k a =b =a x ，，；若f(k a )f (k x )〉0则有k+1k+1k k a =b =b x ，，； （4）若k=M ，则输出M 次迭代不成功的信息；否则继续。

2、简单迭代法及其收敛性定理1：设函数()[,]x C a b ϕ∈,在(a,b)内可导,且满足两个条件:（1）当[,]x a b ∈时, ()[,]x a b ϕ∈；（2）当(,)x a b ∈时, |'()|1x L ϕ≤<, 其中L 为一常数。

则有如下结论:（1）方程=()x x ϕ在区间[,]a b 上有唯一的根s ；（2）对任取0[,]x a b ∈，简单迭代法1=()k k x x ϕ+产生的序列{}[,]k x a b ⊂且收敛于s ；（3）成立误差估计式101|-|||1|-|||1kk k k k L s x x x L L s x x x L-≤--≤-- 定理2 设=()s s ϕ，'()x ϕ在包含s 的某个开区间内连续。

如果|'()|<1s ϕ，则存在0δ>，当0[,]x s s δδ∈-+时，由简单迭代法1=()k k x x ϕ+产生的序列{}[,]k x s s δδ⊂-+且收敛于s 。

非线性方程求解的数值方法研究非线性方程求解是数学领域中的重要问题之一。

与线性方程不同，非线性方程存在更加复杂的形式和求解方法。

本文将针对非线性方程求解的数值方法进行研究，探讨其应用和效果。

一、引言非线性方程是指未满足线性关系的方程，形如f(x) = 0。

相比于线性方程，非线性方程更具挑战性和难度。

在实际问题中，非线性方程常常出现，如物理、经济、工程等领域。

因此，研究非线性方程的数值解法对解决实际问题具有重要意义。

二、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种经典的非线性方程求解方法。

其基本思想是通过不断逼近方程的根来求解方程。

具体来说，牛顿迭代法通过将非线性方程化为一系列线性方程的解来逼近方程的根。

该方法的迭代过程如下：1. 选取初始近似解x_0；2. 对于第n+1次迭代，计算x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)；3. 若满足终止准则，如|f(x_{n+1})| < ε，则停止迭代，得到近似解x_{n+1}。

牛顿迭代法具有收敛速度快的优点，尤其对于初始值选择合适的情况下，其迭代过程可以较快地接近方程的根。

然而，该方法也有其局限性，如可能出现迭代发散或震荡等问题。

三、二分法二分法是一种较为简单但有效的非线性方程求解方法。

其思想是通过判断非线性方程在区间内的正负性来逼近方程的根。

该方法的基本过程如下：1. 选取区间[a, b]，满足f(a) * f(b) < 0；2. 对区间[a, b]进行二分，计算c = (a + b) / 2；3. 判断f(c)和f(a) * f(c)的正负关系，更新区间[a, b]；4. 若满足终止准则，如|f(c)| < ε，则停止迭代，得到近似解c。

二分法的优点在于其简单性和稳定性，适用于一些函数有明显单调性的情况。

然而，该方法的收敛速度较慢，尤其对于复杂的非线性方程，可能需要较多的迭代次数才能得到较精确的解。

四、弦截法弦截法是一种综合了牛顿迭代法和二分法思想的非线性方程求解方法。