第二章-一元非线性方程的数值解法

非线性方程组数值解法
，
非线性方程组数值解法是通过数值方法解决非线性方程组问题的一种解法。

非线性方程组不像普通的线性方程组，它们往往没有普遍的解析解，一般只有数值解。

因此，非线性方程组的数值解法非常重要。

非线性方程组数值解法的基本思想是，将非线性方程组分解为多个子问题，并采用一种迭代算法求解这些子问题。

最常见的数值方法有牛顿法、拟牛顿法和共轭梯度法等。

牛顿法是利用曲线上的点的二次近似，将非线性方程分解为两个子问题，转换为求解一个简单的一元方程的问题来求解非线性方程组的数值解。

拟牛顿法利用有限差分方法来求解非线性方程组的数值解，共轭梯度法利用解的搜索方向，进行有效的搜索，通过解的最优性条件收敛到解。

非线性方程组数值解法是目前应用最广泛的数值解法，它能很好地求解非线性方程组。

不仅能有效求解复杂的非线性方程组，还能求出较精确的数值解。

此外，非线性方程组数值解法运算速度快，可以对模型进行实时定位和跟踪，非常适合模拟复杂的动态系统。

总之，非线性方程组数值解法是一种求解复杂非线性方程组的有效解法，它的准确性高，运算速度快，广泛应用于现实世界中的多种工程与科学计算问题。

非线性方程数值解法及其应用摘要:数值计算方法主要研究如何运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和算法。

本文主要介绍非线性方程的数值解法以及它在各个领域的应用。

是直接从方程出发，逐步缩小根的存在区间，或逐步将根的近似值精确化，直到满足问题对精度的要求。

我将从二分法、Steffensen加速收敛法、Newton迭代法、弦截法来分析非线性方程的解法及应用。

关键字：非线性方程;二分法；Steffensen加速收敛法；代数Newton法；弦截法一、前言随着科技技术的飞速发展，科学计算越来越显示出其重要性。

科学计算的应用之广已遍及各行各业，例如气象资料的分析图像，飞机、汽车及轮船的外形设计，高科技研究等都离不开科学计算。

因此经常需要求非线性方程 f(x) = O的根。

方程f(x) = O 的根叫做函数f(x)的零点。

由连续函数的特性知：若f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<O，则f(x) = O在开区间(a,b)内至少有一个实根。

这时称[a,b]为方程f(x) = O的根的存在区间。

本文主要是对在区间[1.2]的根的数值解法进行分析，介绍了非线性方程数值解法的四种方法，从而得到在实际问题中遇到非线性方程根的求解问题的解决方法。

二、非线性方程的数值解法1、二分法二分法的基本思想是将方程根的区间平分为两个小区间，把有根的小区间再平分为两个更小的区间，进一步考察根在哪个更小的区间内。

如此继续下去，直到求出满足精度要求的近似值。

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<O，则[a,b]是方程f(x)=O 的根的存在区间，设其内有一实根，记为。

取区间[a,b]的中点，并计算，则必有下列三种情况之一成立：(1)= O,就是方程的根；(2)f(a)·f()<O，方程的根位于区间[a,]之中，此时令，；(3)f()·f(b)<O，方程的根位于区间[,b]之中，此时令。

计算方法课程知识点、技能点和能力点第一章误差1.理解数值计算的概念，了解误差来源以及舍入误差、截断误差的定义。

2.掌握绝对误差、相对误差、有效数字的定义和相互关系。

理解误差分析的一些基本原则和算法的稳定性概念。

第二章一元非线性方程的解法1.了解确定方程的有根区间的方法，会用二分法求方程的近似根。

2. 熟练掌握迭代法求方程根的算法，理解其收敛性定理，会判断迭代序列的收敛性。

3. 熟练掌握牛顿法求根的算法及其局部收敛性定理。

4. 了解加速迭代法求方程根的算法。

第三章线性代数计算方法1.理解高斯消去法原理，掌握用高斯消去法和列主元消去法求解方程组的算法，并会计算行列式的值。

2.会用直接三角分解法解AX=b。

(1)用Doolittle分解法求方程组的解。

(2)用矩阵乘法进行A的LU分解。

(3) A为三对角阵时掌握追赶法计算公式。

(4) A为对称正定时掌握分解法解方程组。

3.熟练掌握向量和矩阵范数的定义及其性质。

4.掌握解线性方程组的迭代法的构造和迭代法收敛的充要条件，会判断具体迭代法是否收敛，掌握迭代矩阵范数判别迭代法收敛的充分条件。

5.掌握Jacobi迭代、Gauss-seidel迭代和SOR迭代法解线性方程组的计算公式、迭代矩阵表达式、收敛的充要条件。

第四章插值法1.掌握插值多项式存在唯一性条件，并由此条件求插值多项式，计算函数近似值及误差估计。

2.熟练掌握Lagrange和Newton均差插值公式及其余项表达式，掌握分段线性插值和二次插值。

3.掌握等距节点的Newton前插及后插差分公式，利用插分定义及插分构造Newton 插分多项式。

4. 会求三次样条插值函数，理解曲线拟合法思想。

第五章数值积分1.掌握求积公式代数精度的定义，会用定义确定求积公式的系数和节点，会判断求积公式的代数精度。

2.理解Newton-Cotes公式解决数值积分思想，熟练掌握梯形公式和Simpson公式及其余项，复合梯形公式和复合Simpson公式及其余项，并会进行误差估计。

第2章 一元非线性方程的解法2.1初始近似根的确定在工程和科学技术领域中，如电路和电力系统计算、非线性微分和积分方程、非线性规划、非线性力学等众多领域，经常会遇到求解高次代数方程或求解含有指数和正弦函数的超越方程的问题。

高次代数方程和超越方程统称为非线性方程。

对于二次代数方程，可以用熟悉的求根公式。

对于三次、四次代数方程，虽然有求根公式，但并不实用。

而高于四次的代数方程没有求根公式，至于一般的超越方程，更没有求根公式可套。

例如高次代数方程02736=-+-x x x或超越方程 06sin =--xe x π这些方程看似简单，却不易求其准确根。

而在实际问题中，只要能获得满足一定精确度的近似根就可以了，所以研究适用于实际计算的求方程近似根的数值方法，具有重要的现实意义。

本章主要讨论一元非线性方程的数值解法。

设一元非线性方程为0)(=x f )1.2(若有数*x 使0)(=*x f 成立，则称*x 为方程0)(=x f 的根，或称*x 为函数)(x f 的零点。

如果)(x f 能写成)()()(x g x x x f m *-=其中m 是正整数，0)(*≠x g ，则称x *为f x ()=0的m 重根，或称x *为)(x f 的m 重零点；1=m 时，称x *为方程的单根。

求方程的根往往分为两个步骤：()1确定根的初始近似值(称之为初始近似根)；()2根的精确化。

已知根的初始近似值，利用某种方法将此近似值逐步精确化，直至满足预先要求的精度为止。

如何求根的初始近似值？由连续函数的性质知： 如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，严格单调，且0)()(<b f a f ，则在],[b a 内方程0)(=x f 有且仅有一个实根（如图1.2）。

根据这一结论，可以采用下面介绍的逐步扫描法来求根的初始近似值。

方程)1.2(的根的分布可能很复杂，一般可用试探的办法或根据函数的图象，确定出根的分布范围，即将函数)(x f 的定义域分成若干个只含一个实根的区间。

实用文档《数值计算方法》复习资料第一章数值计算方法与误差分析第二章非线性方程的数值解法第三章线性方程组的数值解法第四章插值与曲线拟合第五章数值积分与数值微分第六章常微分方程的数值解法自测题课程的性质与任务数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好基础。

第一章数值计算方法与误差分析一考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。

二复习要求1.知道产生误差的主要来源。

2.了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。

3.知道四则运算中的误差传播公式。

实用文档三例题例 1 设x*= =3.1415926⋯近似值 x=3.14 ＝ 0.314× 101,即 m=1，它的绝对误差是－ 0.001 592 6 ，⋯有即 n=3，故 x=3.14 有 3 位有效数字 .x=3.14准确到小数点后第 2 位 .又近似值 x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074 ⋯，有即 m=1,n＝ 5， x=3.1416 有 5 位有效数字 .而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926 ⋯，有即 m=1,n＝ 4， x=3.1415 有 4 位有效数字 .这就是说某数有s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s 位有效数字；例 2指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.000 4－0.002 009 0009 000.00解因为 x1=2.000 4＝ 0.200 04× 101, 它的绝对误差限 0.000 05=0.5 × 10 1―5，即m=1,n=5, 故 x=2.000 4 有 5 位有效数字 . a1=2，相对误差限x2=－ 0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为 m=－2，n=3 ，x2=－ 0.002 00 有 3 位有效数字 . a1=2 ，相对误差限r ==0.002 5实用文档x3=9 000 ，绝对误差限为0.5× 100，因为 m=4, n=4, x3=9 000 有 4 位有效数字， a=9 ，相对误差限r＝＝ 0.000 056x4=9 000.00 ，绝对误差限0.005，因为 m=4， n=6， x4=9 000.00 有 6 位有效数字，相对误差限为r＝＝ 0.000 000 56由 x3与 x4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.例 3 ln2=0.69314718⋯，精确到10－3的近似值是多少？解精确到 10－3＝ 0.001，意旨两个近似值x1,x2满足，由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足，近似值的绝对误差限应是＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。

第二章非线性方程数值解法本章将讨论非线性方程0)(=x f (2.1)的数值解法，我们最为熟悉的非线性方程是一元二次方程02=++c bx ax也是最简单的非线性方程，其解为：aac b b x 2422,1-±-=但是对于(2.1)式中一般形式的非线性函数)(x f ，很难甚至不可能找到解析形式的解，通常只能用数值的方法求其近似数值解。

2.1 基本概念定义2.1如果*x 满足0)(*=x f ，则称*x 为方程(2.1)的解或根，也称*x 为函数)(x f 的零点或根。

用数值方法求解非线性方程的解，通常需要我们对其解有一个初步的估计，或知道其解的一个限定区间，因此确定包含解的区间将是我们首先需要解决的问题。

定义2.2若连续函数)(x f 在],[b a 内至少有一个根，则称],[b a 为有根区间，若在],[b a 内恰有一个根，则称],[b a 为隔根区间。

定理2.1 如果函数)(x f 在],[b a 上连续且0)()(<b f a f ，则)(x f 在),(b a 内至少有一个根，如果函数)(x f 另外满足在],[b a 上单调连续，则)(x f 在),(b a 内恰有一个根。

寻找隔根区间的通常方法有：图形法, 试探法。

例2.1 求033)(3=+-=x x x f 的有根区间。

解：作出函数)(x f y =的曲线图形图2.1 例2.1曲线示意图观察图中的曲线与X 轴的交点，可判断在区间)2,3(--之间方程有一个根。

例2.2 求033)(23=--+=x x x x f 的有根区间。

解：计算出)(x f 在一些点的值。

从表中可以看出1-=x 是一个根，区间)2,1(是一个有根区间。

如果在[-2,-1]之间把间隔再缩小到0.25我们可以得到下列表格在这个表格里我们又发现一个有根区间)5.1,75.1(--。

从此例中我们可以体会到试探法有可能漏掉某些有根区间，具有一定的局限性。