第二章-一元非线性方程的数值解法

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数值分析_第2章

证：由1。 f '( x) C[a, b],由2。 f '( x)不变号，故f ( x) 知知单调，再由3。唯一的 [a, b]，使f ( ) 0. 知
由1 3 知f ( x)在[a, b]上必属于下列四种情形之一：
。。
f ''( x) 0 f (a) 0, f (b) 0, f '( x) 0(增) f ''( x) 0
二．收敛性：
mn . n .
◆判定二分次数：
1 lim n 1 b0 a0 0 n 2
1 对 0，若要求 mn n 1 b0 a0 2
b0 a0 则2 n log 2 1与取整的 1抵消 .
定理1.(单点法收敛的充分条件) 设f ( x)在[a, b]上二阶可导，且满足：
。 1. f ''( x)在[a, b]上不变号（凹凸不变性）；
2。 f '( x)在[a, b]上不为0（单调性）； . 3。 f (a) f (b) 0; . 4。取x0 [a, b], 使f ( x0 ) f ''( x0 ) 0.x1 [a, b], f ( x1 ) f ( x0 ) 0. . 则由(6)所得 xn 单调收敛于f ( x) 0在[a, b]上的唯一根。
列表计算：
n
0 1 2 3 4 5
xn
2 1 1.33333 1.40000 1.41176 1.40378
2
f ( xn )
2 -1 -0.22223 -0.04000 -0.00692
hn

非线性方程组数值解法

非线性方程组数值解法
，
非线性方程组数值解法是通过数值方法解决非线性方程组问题的一种解法。

非线性方程组不像普通的线性方程组，它们往往没有普遍的解析解，一般只有数值解。

因此，非线性方程组的数值解法非常重要。

非线性方程组数值解法的基本思想是，将非线性方程组分解为多个子问题，并采用一种迭代算法求解这些子问题。

最常见的数值方法有牛顿法、拟牛顿法和共轭梯度法等。

牛顿法是利用曲线上的点的二次近似，将非线性方程分解为两个子问题，转换为求解一个简单的一元方程的问题来求解非线性方程组的数值解。

拟牛顿法利用有限差分方法来求解非线性方程组的数值解，共轭梯度法利用解的搜索方向，进行有效的搜索，通过解的最优性条件收敛到解。

非线性方程组数值解法是目前应用最广泛的数值解法，它能很好地求解非线性方程组。

不仅能有效求解复杂的非线性方程组，还能求出较精确的数值解。

此外，非线性方程组数值解法运算速度快，可以对模型进行实时定位和跟踪，非常适合模拟复杂的动态系统。

总之，非线性方程组数值解法是一种求解复杂非线性方程组的有效解法，它的准确性高，运算速度快，广泛应用于现实世界中的多种工程与科学计算问题。

非线性方程数值解法及其应用

非线性方程数值解法及其应用摘要:数值计算方法主要研究如何运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和算法。

本文主要介绍非线性方程的数值解法以及它在各个领域的应用。

是直接从方程出发，逐步缩小根的存在区间，或逐步将根的近似值精确化，直到满足问题对精度的要求。

我将从二分法、Steffensen加速收敛法、Newton迭代法、弦截法来分析非线性方程的解法及应用。

关键字：非线性方程;二分法；Steffensen加速收敛法；代数Newton法；弦截法一、前言随着科技技术的飞速发展，科学计算越来越显示出其重要性。

科学计算的应用之广已遍及各行各业，例如气象资料的分析图像，飞机、汽车及轮船的外形设计，高科技研究等都离不开科学计算。

因此经常需要求非线性方程 f(x) = O的根。

方程f(x) = O 的根叫做函数f(x)的零点。

由连续函数的特性知：若f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<O，则f(x) = O在开区间(a,b)内至少有一个实根。

这时称[a,b]为方程f(x) = O的根的存在区间。

本文主要是对在区间[1.2]的根的数值解法进行分析，介绍了非线性方程数值解法的四种方法，从而得到在实际问题中遇到非线性方程根的求解问题的解决方法。

二、非线性方程的数值解法1、二分法二分法的基本思想是将方程根的区间平分为两个小区间，把有根的小区间再平分为两个更小的区间，进一步考察根在哪个更小的区间内。

如此继续下去，直到求出满足精度要求的近似值。

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<O，则[a,b]是方程f(x)=O 的根的存在区间，设其内有一实根，记为。

取区间[a,b]的中点，并计算，则必有下列三种情况之一成立：(1)= O,就是方程的根；(2)f(a)·f()<O，方程的根位于区间[a,]之中，此时令，；(3)f()·f(b)<O，方程的根位于区间[,b]之中，此时令。

数值计算方法-复习-第二章

有 − 1 <c<0
5
27
局部收敛性
例2.3.8：对方程x3-x2-1=0在初值x0=1.5附近建立收敛的迭代格式，并求解，要求精确到小数点后4位
解：构造迭代公式，写出方程的等价形式
x = 3 x2 +1
迭代格式为
xk+1 = 3 xk 2 +1
ϕ'(x) = 2x
33 (x2 +1)2
例2.3.6：求方程 x3-3x+1=0 在[0, 0.5]内的根，精确到10-5
24
局部收敛性
定义2.2：如果存在x* 的某个邻域△: |x-x*| ≤δ，
使迭代过程 xk+1 = ϕ (xk)对于任意初值 x0 ∈△均收敛，则称迭代过程xk+1 = ϕ (xk)在根x* 附近具
有局部收敛性。
解：设f(x)=xex-1, 则
f(0)=-1<0, f(1)=e-1>0
因此f(x)=0在（0，1）内有根又 f '(x) = ex + xex = ex (1+ x) > 0
因此方程f(x)=0在(0, ∞)内仅有一根
令ϕ(x) = e−x
在[0,1]上，ϕ
(x)
∈[1 e
,1]
⊂
[0,1]
30
牛顿迭代公式的建立
已知方程f (x) = 0的一个近似根x0，把f (x)在x0
处作泰勒展开
f (x) =
f (x0 ) +
f '(x0 )(x − x0 ) +
f
′′( x0 2!
)
(x
−
x0

计算方法课程知识点.

计算方法课程知识点、技能点和能力点第一章误差1.理解数值计算的概念，了解误差来源以及舍入误差、截断误差的定义。

2.掌握绝对误差、相对误差、有效数字的定义和相互关系。

理解误差分析的一些基本原则和算法的稳定性概念。

第二章一元非线性方程的解法1.了解确定方程的有根区间的方法，会用二分法求方程的近似根。

2. 熟练掌握迭代法求方程根的算法，理解其收敛性定理，会判断迭代序列的收敛性。

3. 熟练掌握牛顿法求根的算法及其局部收敛性定理。

4. 了解加速迭代法求方程根的算法。

第三章线性代数计算方法1.理解高斯消去法原理，掌握用高斯消去法和列主元消去法求解方程组的算法，并会计算行列式的值。

2.会用直接三角分解法解AX=b。

(1)用Doolittle分解法求方程组的解。

(2)用矩阵乘法进行A的LU分解。

(3) A为三对角阵时掌握追赶法计算公式。

(4) A为对称正定时掌握分解法解方程组。

3.熟练掌握向量和矩阵范数的定义及其性质。

4.掌握解线性方程组的迭代法的构造和迭代法收敛的充要条件，会判断具体迭代法是否收敛，掌握迭代矩阵范数判别迭代法收敛的充分条件。

5.掌握Jacobi迭代、Gauss-seidel迭代和SOR迭代法解线性方程组的计算公式、迭代矩阵表达式、收敛的充要条件。

第四章插值法1.掌握插值多项式存在唯一性条件，并由此条件求插值多项式，计算函数近似值及误差估计。

2.熟练掌握Lagrange和Newton均差插值公式及其余项表达式，掌握分段线性插值和二次插值。

3.掌握等距节点的Newton前插及后插差分公式，利用插分定义及插分构造Newton 插分多项式。

4. 会求三次样条插值函数，理解曲线拟合法思想。

第五章数值积分1.掌握求积公式代数精度的定义，会用定义确定求积公式的系数和节点，会判断求积公式的代数精度。

2.理解Newton-Cotes公式解决数值积分思想，熟练掌握梯形公式和Simpson公式及其余项，复合梯形公式和复合Simpson公式及其余项，并会进行误差估计。

非线性方程(组)的解法

lnim(bn
an )
lim
n
2n1
(b
a)
0
lim
n
an
lim
n
bn
x
取
x
cn
1 2
(an
bn
)为
x 的近似解。
7
二分法
迭代终止准则
an - bn
即
x - cn
bn an 2
2
8
2.2一般迭代法
2.2.1 迭代法及收敛性
对于 f (x) 0 有时可以写成 x (x) 形式如： x3 x 1 0 x 3 x 1
12
例题
例2.2.1 试用迭代法求方程 f (x) x3 x 1 0
在区间(1，2)内的实根。解：由 x 3 x 1建立迭代关系
xk1 3 xk 1 k=0,1,2,3…… 计算结果如下:
13
例题
精确到小数点后五位
x 1.32472 1 105
2
14
例题但如果由x x3 1建立迭代公式
xk1 xk3 1 k 1,2,...
仍取 x0 1.5，则有 x1 2.375 ，x2 12.39 显然结果越来越大，{xk }是发散序列
15
2.3 Newton迭代法
设x*是方程f (x) = 0的根，又x0 为x* 附近的一个值，
将f (x) 在x0 附近做泰勒展式：
f (x)
二分法
用二分法(将区间对平分)求解。
令
a1
a, b1
b, c1
1 2
(a1
b1 )
若 f (a1) f (c1) 0，则[a1, c1] 为有根区间，否则 [c1,b1]为有根区间

非线性方程数值解法详解

1 ( p) (
p!
)( xk
)
p
xk1
1
p!
(
p)
(1
)(
xk
)p
lim
k
xk1 xk p
1 ( p) ( )
p!
0
必要性（略）
例能不能用迭代法求解方程x=4-2x，如果不能
时，试将方程改写成能用迭代法求解的形式.
方程为x-4+2x =0.设f(x)= x-4+2x ，则f(1)<0，f(2)>0， f‘(x)= 1+2x ln2>0,故方程f(x)=0仅在区间(1, 2)内有唯一根.
(1) f(a)f(b)<0; (2) f'(x)0, x[a, b]; (3) f''(x)不变号, x[a, b]; (4) 初值x0 [a, b]且使f''(x0) f(x0)>0; 则 Newton 迭代法收敛于f(x)=0在[a, b]内的惟一根.
例研究求
a的Newton公式xk 1 Nhomakorabeaxk 1 xk
f (xk ) f (xk )
(k 0,1, 2,L )
逐次逼近方程f(x)=0的根α ，这种求根算法称为 Newton法（切线法），此公式称为 Newton迭代公式.
Newton迭代法的收敛性及收敛阶
Newton法的迭代函数是 (x) x f (x)
从而
(x)
f (x) f (x) [ f (x)]2
或f(x)的零点. 设有正整数m使得f(x)=(x-α)mg(x)
且g(α)0 ，则当m2时，称α为f(x)=0的m 重根；当m=1时，称α为f(x)=0的单根. 若α为f(x)=0的m重根，则

非线性方程的数值解法

运用迭代法求解方程的根应解决以下两个问题：确定根的初值; 将进一步精确化到所需要的精度。
记笔记
数值计算方法
数值计算方法
非线性方程的数值解法
在科学研究和工程设计中, 经常会遇到的一大类问题是非线性方程
f(x)=0
(2.1)
的求根问题，其中f(x)为非线性函数。
方程f(x)=0的根, 亦称为函数f(x)的零点
如果f(x)可以分解成
Hale Waihona Puke ,其中m为正整数且
,则称f (xx*)是 (fx(xx)*的)m mg(重x) 零点,或称
方程f(x)g=(x0* )的m0 重根。当m=1时称x*为单根。若f(x)
存在m阶导数,则是方程f(x)的m重根(m>1) 当且仅当
f (x* ) f (x* ) f (m1) (x* ) 0, f (m) (x* ) 0
非线性方程的数值解法
当f(x)不是x的线性函数时，称对应的函数方程为非线性方程。如果f(x)是多项式函数，则称为代数方程，否则称为超越方程（三角方程，指数、对数方程等）。一般称n次多项式构成的方程
an x n an1 x n1 a1 x a0 0 (an 0)
为n次代数方程,当n＞1时,方程显然是非线性的一般稍微复杂的3次以上的代数方程或超越方程,
很难甚至无法求得精确解。本章将介绍常用的求解非线性方程的近似根的几种数值解法
记笔记
非线性方程的数值解法
通常方程根的数值解法大致分为三个步骤进行 ① 判定根的存在性。即方程有没有根？如果有
根，有几个根？ ② 确定根的分布范围。即将每一个根用区间隔
离开来，这个过程实际上是获得方程各根的初始近似值。 ③ 根的精确化。将根的初始近似值按某种方法逐步精确化，直到满足预先要求的精度为止

非线性方程数值解法

对分区间法
对分法的基本思想

对分法的基本思想是在平分有根区间的过程中，逐步缩小有根区间. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) f(b)<0 ，则方程f(x)=0在(a, b)内至少有一个根.为简便起见，假定方程f(x)=0在(a, b) 内仅有一个根.这样(a, b)为有根区间.这时可用下面的对分法求方程f(x)=0的近似根.

迭代法的整体收敛性

定理1 （迭代收敛定理）设(x)在[a, b]上具有一阶导数，且 1°x[a, b] ，总有(x)[a, b] ； 2°存在0m<1，使x(a, b) ，有'(x)m 则 1°方程x=(x)在[a, b]内有且仅有一根α ，其中α 为对任意初值x0 [a, b]由迭代过程xk+1=(xk)所产生序列的极限. m xk xk xk 1 2°有估计式

求根步骤

（1）确定所给方程存在多少个根. （2）进行根的隔离，找出每个有根区间，有根区间内的任一点都可看成是该根的一个近似值. （3）逐步把近似根精确化，直到足够精确为止.
根的隔离
根的隔离

确定出若干个小区间，使每个小区间有且仅有方程f(x)=0的一个根，这个步骤称为根的隔离.其中每个有根小区间都称为隔根区间.
第三章
非线性方程的数值解法
根的概念
给定方程f(x)=0，如果有α使得f(α)=0，则称α为f(x)=0的根或f(x)的零点. 设有正整数m使得f(x)=(x-α)mg(x) 且g(α)0 ，则当m2时，称α为f(x)=0的 m重根；当m=1时，称为f(x)=0的单根. 本章只讨论实根的求法.

数值计算(第二版)第二章

2.1.2 根的隔离方法

例：考察方程
f ( x) x x 1 0
3
利用逐步搜索法确定一个有根区间

解：注意到f (0) < 0, f (+) >0，知f (x)至少有一个正的实根设从x = 0出发，取h = 0.5为步长向右进行根的扫描 x
0 0.5 1.0 1.5
f (x) 的符号－

有根区间

根的隔离

计算机科学与工程系
8
2.1.1 方程的根

定理1：设函数f (x)在区间[a, b]上连续，如果f (a) f (b) < 0，则方程f (x) = 0在[a, b]内至少有一实根x* 定理2：设函数f (x)在区间[a, b]上是单调连续函数，并且f (a) f (b) < 0，则方程f (x) = 0在 [a, b]上有且仅有一实根x*
-
0.0157
0.0078
计算机科学与工程系 21
2.3 迭代法

简单迭代法的原理迭代法的收敛性迭代加速法
计算机科学与工程系 22
2.3.1 简单迭代法原理

基本思想

将方程f (x) = 0化为一个等价的方程 x (x ) 从而构成序列
xk 1 ( xk ) k 0, 1, 2,
在区间[1, 1.5]内的实根，要求准确到小数点后第2位。
解：预先估计一下二分的次数：按误差估计式
1 1 x xk bk 1 ak 1 k 1 (b a) 10 2 2 2 k 6
*
计算机科学与工程系 20
2. 2 二分法

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从而便是方程(5.0.1)的根．但实际计算当然不可能做无穷多步，实用上，当充分大时，若
就取作为原方程的近似根．这种求根法称为不动点迭代法，或称逐次逼近法(Picard迭代法)．(5.3.2)就是一个不动点迭代公式．当迭代公式产生的迭代序列收敛时，就称迭代法或迭代公式是收敛的，否则就称为是发散的．
二、不动点迭代法的构造
我们使用迭代法求解非线性方程(5.0.1)时需要解决如下四个问题：(1) 迭代函数的构造；(2) 初始近似根的选取；(3) 迭代序列收敛性分析；(4) 收敛速度和误差分析．
三、牛顿迭代法及其收敛性
设是一元非线性方程的根，函数在的某邻域内连续可微，是某个迭代近似根，且．把在点处进行一阶泰勒展开，可得
由以上步骤可以看出，求非线性方程数值近似根的方法一般为迭代法．
第一节初始近似根的确定
一、有根区间的确定
设为区间上的连续函数，若，由闭区间上连续函数的性质（根的存在定理）可知，方程在内至少存在一个实根，此时则称为方程的有根区间(Rooted Inter-val)．
此外我们也可以借助某些数学软件(如MathCAD, Mathematics, Matlab等)描绘出的图像，直观地了解方程根的分布情况．因此，我们可用试探的办法或根据函数的图象，确定出根的分布范围，即将函数的定义域分成若干个只含一个实根的区间．
输出满足精度的根，结束．
例用牛顿迭代法求方程在附近的根，精度为．
解这里 , ，相应的牛顿迭代公式为
表
0
1
0.
2
3
4
,
取，迭代结果见表，易见
故
迭代了4次就得到了较满意的结果．
例用牛顿法计算．
解令，则，即求等价于求方程
的正实根．因为，由牛顿迭代公式得
， (5.3.5)
取初值，得
，
，
第二节二分法
二分法也称为区间对分法，是解非线性方程最直观、最简单的方法．
为讨论方便，不妨设函数在上连续，严格单调，且，则方程在区间内有且仅有一个实根．
二分法的基本思想：将方程的有根区间平分为两个小区间，然后判断根在哪个小区间，舍去无根小区间，而后再把有根的小区间一分为二，判断根属于哪个更小的区间，如此反复，直到求出满足精度要求的近似根．
设切线点与轴的交点为，若，则可得
牛顿迭代公式(5.3.4)
,
因此，牛顿迭代法又称为切线法(Tangent Method)．
牛顿迭代法的几何意义：用曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标来代替曲线与轴交点的横坐标．
牛顿迭代法的计算步骤为：
给出初始近似根及精度；
计算；
对于给定的允许误差，若 , 转向；否则 ,转向；
如此反复，便得到一系列有根区间
显然，区间的长度为
(5.2.1)
当时，上式的极限为，区间最终必收敛于一点, 该点就是所求方程(5.0.1)的根．
我们取二分后的最后的有根区间的中点作为方程(5.0.1)的根的近似根
，，
其误差估计式为
(5.2.2)
当时，取，即．
对预先给定的精度 (即指定的绝对误差限 )，可以用以下方式结束二分法：
3、收敛性可保证．
二分法的缺点：
1、收敛速度很慢；
2、不能求偶数重根，原因在于当方程(5.0.1)有偶数重根时所分区间端点处函数值同号，而将该区间舍去造成失根现象．
因此．在实际应用时，可用它求方程根的初始近似值．
例用二分法求方程在上的根(取 )．
解(1) 这里，，得有根区间；
(2) 计算，得有根区间；
(5.3.1)
若要求满足，则只需求出即可；反之也是如此，则称为函数的一个不动点，求函数的零点就等价于求函数的不动点．在有根区间内选一个初始近似值，然后按(5.3.1)构造公式
(5.3.2)
可得到一个数列
称为迭代序列，而称(5.3.1)式中的为迭代函数．如果迭代序列是收敛的，且收敛于，则当连续时，在式两边取极限即得，即
(3) 计算得有根区间；
如此继续，直到时停止，计算结果见表：
表
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
1
1
由表知
所以原方程在内的根．
第三节牛顿迭代法及其收敛性
迭代法在数学的各个分支都有着重要的应用．本节主要讨论迭代法在非线性方程求根的应用．
一、迭代法的基本思想
迭代法的基本思想是：将方程(5.0.1)中化为下列等价形式
= ，
其中为正整数，且．当 =1时，称为方程的单根，而当时，则称为方程的重根，或称为的重零点．设为的重零点，且充分光滑，则
， .
根的求解：对于次多项式方程，当次数时，多项式方程的根可用求根公式表示：时方程的根是我们已经熟知的，时虽然有求根公式，但已不适合用于数值计算；而次数时，就不能用公式表示多项式方程的根了．因此，对于次数的多项式方程和一般连续函数方程(5.0.1)，在实际应用时，通常并不需要得到方程根的解析表达式，只要得到满足一定精度的数值近似根就可以了．
当时，必有，结束二分法计算，取；
二分法的计算步骤如下：
(1) 输入有根区间的端点及预先给定的精度；
(2) ；
(3) 若，则，转向(4)；否则，转向(4)；
(4) 若，则输出方程满足精度的根，结束；否则转向(2)．
二分法的优点：
1、是算法简单；
2、对函数的性质要求较低(只要连续即可)；
例试确定方程的有根区间.
解由于，当时，则为严格单调增函数；而当时，则为严格单调减函数．又由于，，所以方程只有两个实根．
经进一步分析可知，，则方程在[1，2]内有一个实根；，则方程的另一个实根在[-1，0]内.
下面介绍的几种求方程的根的常用数值解法，即二分法，牛顿迭代法，都是将方程的初始近似根逐步精确化的方法．
第二章一元非线性方程的数值解法
在科学和工程计算中，如电路和电力系统计算、非线性微分和积分方程、非线性规划、非线性力学等众多领域中，经常会遇到求解非线性方程的问题．非线性科学是当今科学发展的一个重要的研究方向，而非线性方程的数值解法又是其中不可缺少的内容．
本章主要讨论一元非线性方程
(5.0.1)
的数值解法，其中，为的非线性函数．
对于非线性方程，求其近似数值根一般分为四步：
(1) 判断根的存在性：判断方程是否有根若有，有几个
(2) 确定根的分布范围：分析并估计方程根的分布情况，并将每一个根用相应区间分隔开，即确定方程根的有根区间；
(3) 根的初始化：确定根的初始近似值(称之为初始近似根)；
(4) 根的精确化：对根的某个初始近似值设法逐步精确化，使其满足一定的精度要求．
则方程可近似表示为
(5.3.3)
这是一个线性方程，求解得
将其右端项作为新的迭代值，则可得迭代公式
(5.3.4)
图切线法示意图
这就是牛顿迭代法(Newton’s Method)，(5.3.4)称为牛顿迭代公式.
如图所示，曲线与轴的交点就是方程的根．设是方程的一个近似根，过曲线上的点作切线，切线与轴的交点为 ,切线的方程为
这个迭代公式的意义在于通过加法和乘除法实现开方运算，这是在计算机上作开方运算的一个方法．
二分法的具体计算过程如下：
1. 取区间的中点，计算区间中点函数值，并判断求根；
若，则根，令，则新的有根区间为．
2. 对有根区间施行同样的操作，即取中点，再将分为两个子区间和，计算和，若
则，令；否则，令．这样又确定了一个有根区间，其长度是区间长度的一半．
在方程(5.0.1)中，若函数是的次多项式，则称方程为多项式方程或代数方程：；若函数是超越函数（自变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数。如指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等都是超越函数），则称方程为超越方程：例
使的称为方程的根，又称为函数的零点．若可分解为