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第2章非线性方程的数值解法

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数值计算方法第2章2-1节

数值计算方法第2章2-1节

（2）计算
f
(
a
2
b)
。
（3）若
f
(
a
2
b
)
0
，计算停止；若
f
(
a
2
b
)
f
(a)
0
，用
若
f
(
a
2
b)
f
(b)
0
，以
a
2
b
代替
a
。
a
2
b
代替
b
；
（4）反复执行第二步与第三步，直到区间长缩小到允许误差范围
之内，此时区间中点即可作为所求的近似解。
18
证明方程 x3 3x2 6x 1 0 在区间（0，1）内有唯一的实根，并
在[－1,－0.25]，[0.5，1.25]，[1.25，2]各区间内至少有一个实根。
10
2.1.3 区间二分法
定理 函数f(x)在[a,b]上单调连续，且f(a)f(b)<0， 则方程f(x)=0在区间[a,b]上有且仅有一个实根x*。
二分法的基本思想 将有根的区间二分为两个小区间，然后判断根在那 个小区间，舍去无根的小区间，而把有根的小区间 再一分为二，再判断根属于哪个更小的区间，如此 反复 ，直到求出满足精度要求的近似根。
5
有根区间
介值定理 若函数 f (x) 在[a, b] 连续，且
f (a) f (b) 0 ，则方程 f ( x) 0 在(a,b) 内至
少有一个实根。将[a, b] 称为 f (x) 的有根区间。
6
2.1.2 逐步搜索法
假设f(x)在区间[a,b]内有一
个实根x*,若 b – a较小，则可 在(a,b)上任取一点x0作为初始 近似根。

第二章-一元非线性方程的数值解法

第二章-一元非线性方程的数值解法
从而 便是方程(5.0.1)的根．但实际计算当然不可能做无穷多步，实用上，当 充分大时，若
就取 作为原方程的近似根．这种求根法称为不动点迭代法，或称逐次逼近法(Picard迭代法)．(5.3.2)就是一个不动点迭代公式．当迭代公式产生的迭代序列 收敛时，就称迭代法或迭代公式是收敛的，否则就称为是发散的．
二、不动点迭代法的构造
我们使用迭代法求解非线性方程(5.0.1)时需要解决如下四个问题：(1) 迭代函数的构造；(2) 初始近似根的选取；(3) 迭代序列收敛性分析；(4) 收敛速度和误差分析．
三、牛顿迭代法及其收敛性
设 是一元非线性方程 的根，函数 在 的某邻域内连续可微， 是某个迭代近似根，且 ．把 在点 处进行一阶泰勒展开，可得
由以上步骤可以看出，求非线性方程数值近似根的方法一般为迭代法．
第一节初始近似根的确定
一、有根区间的确定
设 为区间 上的连续函数，若 ，由闭区间上连续函数的性质（根的存在定理）可知，方程 在 内至少存在一个实根，此时则称 为方程 的有根区间(Rooted Inter-val)．
此外我们也可以借助某些数学软件(如MathCAD, Mathematics, Matlab等)描绘出 的图像，直观地了解方程 根的分布情况．因此，我们可用试探的办法或根据函数的图象，确定出根的分布范围，即将函数 的定义域分成若干个只含一个实根的区间．
输出满足精度的根 ，结束．
例用牛顿迭代法求方程 在 附近的根，精度为 ．
解这里 , ，相应的牛顿迭代公式为
表
0
1
0.
2
3
4
,
取 ，迭代结果见表，易见
故
迭代了4次就得到了较满意的结果．
例用牛顿法计算 ．

非线性方程的数值解法

非线性方程的数值解法

2. 2 二分法
二分法的误差估计
由于 x − x* ≤ 1 (b − a ) = b − a k k k k +1 k +1
2
只要有根区间[a 只要有根区间 k+1, bk+1]的长度小于预先给定的误 的长度小于预先给定的误 差ε，那么就可以取 作为所求根x*的第 次近似值。 作为所求根 的第k+1次近似值。其误差估计为 的第
计算机科学与工程系 21
2.3 迭代法
简单迭代法的原理 迭代法的收敛性 迭代加速法
计算机科学与工程系 22
2.3.1 简单迭代法原理
基本思想
将方程f 将方程 (x) = 0化为一个等价的方程 化为一个等价的方程 x = ϕ (x ) 从而构成序列
x k +1 = ϕ ( x k ) k = 0 , 1, 2 , L
计算机科学与工程系
9
2.1.2 根的隔离方法
画图法
f(x)
x0 =
a
x0 + h
x* b
计算机科学与工程系 10
2.1.2 根的隔离方法
逐步扫描法
设单值连续函数f(x)在有根区间 b]，从左端点 = 在有根区间[a, ，从左端点x 设单值连续函数 在有根区间 a出发，按某个预先选定的步长 一步一步地向右跨 出发， 出发 按某个预先选定的步长h一步一步地向右跨 每跨一步都检验每步起点x 和终点x 每跨一步都检验每步起点 0和终点 0 + h的函数值 的函数值 如果
1 x − xk ≤ k +1 (b − a) 2
*
计算机科学与工程系 16
1 xk = (ak + bk ) 2
输入 a, b, ε 定义f (x) 是

非线性方程组数值解法课件

非线性方程组数值解法课件
非线性方程组数值 解法课件
目 录
• 非线性方程组概述 • 迭代法求解非线性方程组 • 牛顿法求解非线性方程组 • 拟牛顿法求解非线性方程组 • 非线性方程组数值解法的应用
01
非线性方程组概述
非线性方程组的定义与分类
定义
非线性方程组是由多个非线性方 程组成的数学模型，描述了多个 变量之间的关系。
在工程问题中的应用
航空航天工程
土木工程
非线性方程组数值解法用于设计和优 化飞行器、卫星和火箭的结构和性能。
在建筑设计、桥梁和高层建筑的结构 分析中，非线性方程组数值解法用于 模拟结构的承载能力和稳定性。
机械工程
在机械设计中，非线性方程组数值解 法用于分析复杂机械系统的动力学特 性和稳定性。
在金融问题中的应用
拟牛顿法的收敛性分析主要基于Hessian 矩阵的条件数和近似矩阵的误差界。在适 当的条件下，拟牛顿法能够保证全局收敛 性和局部超线性收敛性。
拟牛顿法的实现
总结词
拟牛顿法的具体实现可以通过不同的算法实 现，如DFP算法和BFGS算法等。
详细描述
DFP算法（Davidon-Fletcher-Powell）和 BFGS算法（Broyden-Fletcher-GoldfarbShanno）是两种常见的拟牛顿算法。它们 的主要区别在于近似矩阵的更新方式。DFP 算法采用三对角化方法更新近似矩阵，而 BFGS算法采用迭代更新的方式。在实际应 用中，BFGS算法通常比DFP算法更受欢迎， 因为它在大多数情况下都能提供更好的收敛 效果。
05
非线性方程组数值解法的 应用
在物理问题中的应用
量子力学方程
非线性方程组数值解法在 量子力学中用于描述微观 粒子的行为和相互作用。

非线性方程与方程组数值解法

非线性方程与方程组数值解法

2.2 二分法
表2-2 计算结果
k
0 1 2 3 4 5 6 7
ak
1 1 1.25 1.25 1.3125 1.3125 1.3125 1.3203
bk
2 1.5 1.5 1.375 1.375 1.3438 1.3281 1.3281
xk
1.5 1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3281 1.3203 1.3242
ab ；否则，回 2
5.2 二分法
说明：
x*
(ⅰ)上述计算步骤（2）和（3）每执行一次就把新的区间分成两份，根的范围也 缩小一半. 如果第 k 次二分后得到的区间记 为 [ak , bk ]，根的近似值记为 xk ，则 ba (a b ) 有 bk ak k ， xk k k ，那么当时 k ， bk ak 0，这说明如果二分过 2 2 程无限继续下去，这些区间必将收敛于一点，即为所求根. (ⅱ) 第
3
2 f ( x ) 3 x 1 0, x [1, 2] 解 已知 f (1) 1 0, f (2) 5 0 且 ，
则方程
f ( x) x 3 x 1 0
在区间
(1, 2)
内只有一个实根.
当 k 1 ， x1
bk ak 102 ，继续二分；
2.1 引言
通常隔离区间的确定方法为 （1）作 y f ( x) 的草图, 由 y f ( x)与横轴交点的大致位置来确定； 或 者将 f1 ( x) f 2 ( x) 改写成 f ( x) 0 ， 根据 y f1 ( x) 和 y f 2 ( x) 交点横坐标来确定
根的隔离区间.
当 k 2 ， x2

非线性方程(组)的数值解法——牛顿法、弦切法

非线性方程(组)的数值解法——牛顿法、弦切法

需要求导数！
9
简化的Newton法
简化的 Newton 法
基本思想：用 f’(x0) 替代所有的 f’(xk)
xk 1
f ( xk ) xk f '( x0 )
线性收敛
10
Newton下山法
Newton下山法
基本思想：要求每一步迭代满足下降条件
f x k 1 f x k
非线性方程组的数值解法牛顿法弦切法非线性方程组数值解法非线性方程数值解法非线性方程的数值解法非线性方程组迭代解法非线性方程组的解法非线性方程组解法微分方程数值解法常微分方程的数值解法微分方程数值解法pdf
计算方法
第七章
非线性方程(组)的数值解法
—— Newton 法 —— 弦截法、抛物线法
1
本讲内容
13
举例
例：求 x4 - 4x2 ＋ 4=0 的二重根 x* 2 (1) 普通 Newton 法
x2 2 1 ( x ) x 4x
(2) 改进的 Newton 法 x2 2 2 ( x) x
2x
(3) 用 Newton 法解 (x) = 0
x ( x 2 2) 3 ( x) x x2 2
f [ xk , xk 1 , xk 2 ]( x xk )( x xk1 )
xk 1 xk
2 f ( xk )
2 4 f ( xk ) f [ xk , xk 1 , xk 2 ]
f [ xk , xk1 ] f [ xk , xk1 , xk2 ]( xk xk1 )
f ( x) ( x) x f '( x )
1 '( x*) 1 m

非线性方程数值解法


对分区间法
对分法的基本思想


对分法的基本思想是在平分有根区间的 过程中，逐步缩小有根区间. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) f(b)<0 ，则方程f(x)=0在(a, b)内至少有一 个根.为简便起见，假定方程f(x)=0在(a, b) 内仅有一个根.这样(a, b)为有根区间.这 时可用下面的对分法求方程f(x)=0的近似 根.

迭代法的整体收敛性


定理1 （迭代收敛定理）设(x)在[a, b]上具有一阶 导数，且 1°x[a, b] ，总有(x)[a, b] ； 2°存在0m<1，使x(a, b) ，有'(x)m 则 1°方程x=(x)在[a, b]内有且仅有一根α ，其中α 为对任意初值x0 [a, b]由迭代过程xk+1=(xk)所产生 序列的极限. m xk xk xk 1 2°有估计式

求根步骤


（1）确定所给方程存在多少个根. （2）进行根的隔离，找出每个有根区间， 有根区间内的任一点都可看成是该根的 一个近似值. （3）逐步把近似根精确化，直到足够精 确为止.
根的隔离
根的隔离

确定出若干个小区间，使每个小区间有 且仅有方程f(x)=0的一个根，这个步骤称 为根的隔离.其中每个有根小区间都称为 隔根区间.
第三章
非线性方程的数值解法
根的概念
给定方程f(x)=0，如果有α使得f(α)=0， 则称α为f(x)=0的根或f(x)的零点. 设有正整数m使得f(x)=(x-α)mg(x) 且g(α)0 ，则当m2时，称α为f(x)=0的 m重根；当m=1时，称为f(x)=0的单根. 本章只讨论实根的求法.

非线性方程的数值解法

非线性方程的数值解法《计算方法》期末论文论文题目非线性方程的数值解法学院专业班级姓名学号指导教师日期目录摘要第1 章绪论1.1 问题的提出和研究目的和意义1.2 国内外相关研究综述1.3 论文的结构与研究方法第2 章非线性方程的数值解法2.1 二分法2.2 迭代法2.3 迭代法的局部收敛性及收敛的阶2.4 牛顿迭代法2.5 牛顿法的改进2.6 插值摘要数值计算方法，是一种研究解决数学问题的数值近似解方法，它的计算对象是那些。

在理论上有解而又无法用手工计算的数学问题。

在科学研究和工程技术中都要用到各种计算方法。

例如 在地质勘探、汽车制造、桥梁设计、天气预报和汉字设计中都有计算方法的踪影。

本文讨论了非线性方程的数值解法：非线性方程的二分法、迭代法原理、牛顿迭代法，迭代法的收敛性条件及适合非线性方程的插值法等等。

第1 章绪论可以证明插值多项式L (x) n 存在并唯一。

拉格朗日插值多项式的算法 step1.输入 插值节点控制数n 插值点序列 i i x , yi=0,1,…,n 要计算的函数点x。

step2. FOR i =0,1,…,n i 制拉格朗日基函数序列问题的提出和研究目的和意义非线性方程的问题在工程实践中有很多用途 研究其数值解法是当前一个研究方向。

目前已有相当一部分算法在广泛使用于工程实践中。

非线性方程组和无约束最优化的数值解法 一直是数值优化领域中热门的研究课题。

本文对传统的方法进行改进和提出新的算法 该算法不仅有重要的论价值，而且有很高的实用价值。

例如在天体力学中，有如下Kepler 开普勒方程 x-t- sin x=0,0< <1,其中t 表示时间 x 表示弧度，行星运动的轨道x 是t 的函数。

也就是说，对每个时刻i t 上述方程有唯一解i x ，运动轨道位置。

国内外相关研究综述随着科学技术的高速发展和计算机的广泛应用 求解形如F(x)=0 的非线性方程组问题越来越多的被提出来了 其中F 是的连续可微函数。

数值分析课件第二章_非线性方程求根

*
| xn x || ( xn 1 ) ( x ) |
* *
| ( ) || xn 1 x* |
*
| xn x | L | xn1 x | | xn x | L | x0 x |
* n *
lim | xn x | lim L | x0 x | 0
x*即为不动点。
不动点存在的唯一性证明：
设有 x1*≠ x2*, 使得
* 1 * 2 * 1
(x ) x
* 1
* 1
(x ) x
* 2
* 2
* * 则 | x x || ( x ) ( x ) || ( ) || x1 x2 | * 2
其中，ξ介于 x1* 和 x2* 之间。
由于
计法

Ln xn x * x1 x0 1 L
很难估计，采用事后估
| xn x* |
1 | xn 1 xn || xn 1 xn | ，L大误差大。 1 L
不动点迭代法可以求方程的复根和偶数重根。
例 用不同方法求 x 2 3 0 在x=2附近的根。 解： 格式（1）
则对任意x0 [a, b]，由xn+1=(xn )得到的迭代序 列{xn }收敛到(x)的不动点x *，并有误差估计：
1 | xn x | | xn 1 xn | 1 L
*
L xn x * x1 x0 1 L
n
证明：
xn ( xn1 ) * * x ( x )
x0
O
x1
x3 x * x2
x0
y ( x)
发散
y ( x)
O

非线性微分方程的数值求解方法

非线性微分方程的数值求解方法非线性微分方程是现代科学研究中的一个重要课题，其涉及机械、物理、化学、电子、生物、医学等众多领域。

然而，由于非线性微分方程普遍难以求解，因此，数值求解成为了解决问题的有效方法。

在本文中，我们将介绍非线性微分方程数值求解的常用方法和一些应用实例。

1. 常用方法1.1 有限差分法有限差分法是一种基于离散化技术的数值求解方法。

其具体操作是将非线性微分方程转化为一个差分方程，然后利用数值迭代的方法逐步计算出方程的解。

有限差分法是非线性微分方程数值求解的最基本方法，其优点是简单、易于实现，但由于离散化带来的误差限制了其应用范围。

1.2 有限元法有限元法是结构力学和流体力学中常用的一种数学方法，可以用于求解大量的非线性微分方程。

该方法将连续的物理问题转化为一系列离散的有限元问题，并利用数值技术实现数值计算。

相对于有限差分法，有限元法更加灵活、精确，能够模拟各种复杂的力学问题。

1.3 辛波特-欧拉法辛波特-欧拉法是非线性微分方程数值求解中的一种高精度方法。

其基本思想是将微分方程用欧拉法离散化，然后利用辛波特方法来提高精度。

该方法应用广泛，在计算机模拟、物理学、天文学等领域有着广泛的应用。

2. 应用实例2.1 生态学非线性微分方程在生态学中有着广泛的应用，其中最经典的例子是Lotka-Volterra方程。

这个模型描述了食物链中食草动物和食肉动物的数量变化。

利用有限元法、有限差分法等数值方法，可以对生态系统的发展、演变进行模拟，研究生态链条的稳定性、物种丰富度变化、环境扰动的影响等问题。

2.2 理论物理学非线性微分方程在理论物理学中也有着广泛的应用。

例如，把非线性微分方程用于研究非线性波方程和非线性光学方程，以及非线性薛定谔方程和非线性薛定谔场方程等等。

这些数值方法的应用可以有效地模拟和研究各种物理现象。

例如，研究自然灾害引起的气候变化、稳定器的效应、研究界面液晶显示器，以及研究光学调制中涉及的非线性现象等等。

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0.02
所以，x=2.1015625
2.2
2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4
迭代法（不动点迭代法）
迭代原理 迭代的收敛性 迭代的收敛速度 迭代的加速（不讲）
2.2 迭代法（不动点迭代） 2.2.1迭代法原理：
f (x) = 0 f (x) 的根
等价变换
x5 x 3 0 x 5 x 3 x 3 x5
第二章 非线性方程的数值解法
非线性方程:f(x)=0 包括：代数方程（多项式）、超越方程（三角函数、指
数函数或对数函数）。
求解方法：直接求解法、间接求解法； 直接求解法一般为解析法，能够得到精确解，如二次方 程求根公式等。简单但不一定总有效。 间接求解法一般较复杂，可以利用计算机进行计算，其 结果为近似解，但误差可以控制。
l g2
注：用二分法求根，最好先给出 f (x) 草图以确定根的大 概位置。或用搜索程序，将[a, b]分为若干小区间，对每一 个满足 f (ak)· f (bk) < 0 的区间调用二分法程序，可找出区 间[a, b]内的多个根，
定义f (x)
输入
a, b,
k=0
f (a) f (b)>0 否 否 m=(a+b)/2 |a-b|< 是 a=m 是 打印m, k 结束 f (a) f (b)=0
*
，则称
x 是方程 的 m重根。
*
②
根的存在性定理：
上必有一根；若 f 在[a, b]上连续且单调则 f 在 (a, b) 上有且仅有一根。
定理：若 f 在[a, b]上连续，且 f (a) ·f (b) < 0，则 f 在 (a, b)
Hale Waihona Puke 2.1.2 逐步搜索法 1．画出 f(x) 的略图，从而看出曲线与x 轴交点的位置。 f(x)
x = φ (x) φ (x) 的不动点
从一个初值 x0 出发,计算 x1 = φ(x0), x2 = φ(x1), …, xk+1 = φ(xk), … 若 xk 收敛，即存在 x* 使得 思 lim x x * x k 1 lim x k， ，只要 φ 连续，则 lim 路 k k k k 也就是 x* = φ(x* )，即x* 是 φ 的根，也就是f 的根。 若｛ xk｝发散，则迭代 法失败。
f (x0) y0>0 否 打 印 结 束
例1：考察方程
f ( x ) x 3 11x 2 38.8 x 41.77 0
x 0 1 2 3 4 5 6
f(x)的符号 -
-
+
+
-
-
+
计算速度慢，一般用于确定根的位置
二分法
2.1.3 二分法
思路：二分法的基本思想 就是逐步对分区间,经过对根的搜 索，将有根区间的长度缩小到充分小，从而求出满足精度的 根 的近似值。
二分法的步骤：
a
x a0 1
x* x1 b1
执行步骤 1．计算f (x)在有解区间[a, b]端点处的值，f (a)，f (b)。 2．计算f (x)在区间中点处的值f (x1)。 3．判断若f (x1) = 0，则x1即是根，否则检验： （1）若f (x1)与f (a)异号，则知解位于区间[a, x1]， b1=x1, a1=a; （2）若f (x1)与f (a)同号，则知解位于区间[x1, b]，
非线性方程求解的基本问题：根的个数；根的位置。 求解方程的根，需要解决的问题： 根的存在性，根的个数 根的隔离 根的精细化 求解方程的根，一般有两种情形： 求出在给定范围内的某个根 求出方程的全部根，而根的数目和位置事先不知道
求非线性方程根的一些常用方法：
区间搜索法（逐步搜索法、 二分法）
x0 a
x0 h
x* b
2．从左端点x = a出发，按某个预先选定的步长h 一步一步地向右跨，每跨一步都检验每步起点x0
和终点x0 + h的函数值，若
f ( x0 ) f ( x0 h) 0
那么所求的根x*必在x0与x0+h之间，这里可取x0或x0+h
作为根的初始近似。
开 始
读入a, h a x0 f (x0) y0 x0 + h x0 是 继续扫描
二分法
1 每次二等分后，设取有根区间的中点x k a k bk 2
作为根的近似值，则在二分过程中可以获得一个近
似根的序列 x0 , x1 , x2 , ，该序列以根 x *为极限。
误差 分析：
2 1 1 * 似值，则误差估计为： x xk bk ak k 1 b a 2 2
若取区间的中点 x k 1 a k bk
作为 x * 的近
所以在实际计算时，只要二分足够多次，便
有 x * x 。这里，为预定精度。 k
二分法
对于给定的精度 ,可估计二分法所需的步数 k ：
ba ε k 1 2
l gb a l g ε k 1
a1=x1, b1=b。 反复执行步骤2、3，便可得到一系列有根区间：
(a, b), (a1, b1), …, (ak, bk), …
4、当
5、则
bk 1 ak 1
xk 1 1 ( a k bk ) 2
时 即为根的近似
①简单; ② 对f (x) 要求不高(只要连续即可) ； ③ 事先可以估计出迭代次数。 ①无法求复根及偶重根 ② 收敛慢 ③ 已知含根区间。


迭代法
牛顿法

弦截法
2.1区间搜索法
预备知识： ① 方程的根：单根、重根。
定理 函数 f (x)对于x* 有f (x*) =0，但
f ( x* ) 0
f（m1) ( x* ) 0
则称 为方程的单根。如果有 f ( x* ) f ( x* )
但
f
( m)
(x ) 0
是
是 是
f (a) =0
否
否 f(a)f(m)>0 否 b=m
打印b, k
结束
打印a, k
k=K+1
应用： 3 f x x 2x 5, a, b 2,3, 0.01 ，求x=? 例、设 ba a x b 解： k
0 1 2 3 4 5 6 23+ 2.5+ 1 22.5+ 2.25+ 0.5 22.25+ 2.125+ 0.25 22.125+ 2.06250.125 2.06252.125+ 2.093750.0625 2.09375 2.125+ 2.109375+ 0.03125 2.09375 2.109375 2.1015625 0.015625