选修4—5不等式选讲必备知识预案自诊知识梳理1.绝对值三角不等式(1)定理1:若a,b是实数,则|a+b|≤,当且仅当时,等号成立;(2)性质:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|;(3)定理2:若a,b,c是实数,则|a-c|≤,当且仅当时,等号成立.2.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a(a>0)的解法:①|x|<a⇔-a<x<a;②|x|>a⇔x>a或x<-a.(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:①|ax+b|≤c⇔;②|ax+b|≥c⇔.(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法:①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;③通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了函数与方程及数形结合的思想.3.基本不等式定理1:设a,b∈R,则a2+b2≥,当且仅当a=b时,等号成立.定理2:若a,b为正数,则a+b2≥√ab,当且仅当a=b时,等号成立.定理3:若a,b,c为正数,则a+b+c3≥√abc3,当且仅当a=b=c时,等号成立.定理4:若a1,a2,…,a n为n个正数,则a1+a2+…+a nn ≥√a1a2…a nn,当且仅当a1=a2=…=a n时,等号成立.4.柯西不等式(1)若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.(2)设a1,a2,a3,…,a n,b1,b2,b3,…,b n是实数,则(a12+a22+…+a n2)(b12+b22+…+b n2)≥(a1b1+a2b2+…+a n b n)2,当且仅当b i=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得a i=kb i(i=1,2,…,n)时,等号成立.(3)柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则|α||β|≥|α·β|,当且仅当β是零向量或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.5.不等式证明的方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、放缩法以及利用绝对值三角不等式、柯西不等式法等.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)对|a-b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≤0时,等号成立.()(2)|a+b|+|a-b|≥|2a|.()(3)|x-a|+|x-b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a,b的距离之和.()(4)用反证法证明命题“a,b,c全为0”时假设为“a,b,c全不为0”.()(5)若m=a+2b,n=a+b2+1,则n≥m.() 2.若|a-c|<|b|,则下列不等式正确的是()A.a<b+cB.a>c-bC.|a|>|b|-|c|D.|a|<|b|+|c|3.若不等式|x+1x|>|a-2|+1对于一切非零实数x均成立,则实数a的取值范围是() A.(2,3) B.(1,2)C.(1,3)D.(1,4)4.设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则√m2+n2的最小值为.5.若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是.第1课时绝对值不等式关键能力学案突破考点绝对值不等式的解法【例1】(2020全国1,理23)已知函数f(x)=|3x+1|-2|x-1|.(1)画出y=f(x)的图像;(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集.解题心得解含有两个以上绝对值符号的不等式的方法解法1:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;解法2:利用“零点分段法”求解,即令各个绝对值式子等于0,求出各自零点,把零点在数轴上从小到大排列,然后按零点分数轴形成的各区间去绝对值,进而将绝对值不等式转化为常规不等式,体现了分类讨论的思想;解法3:通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了函数与方程的思想.对点训练1(2019全国2,理23)已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;(2)若x∈(-∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.考点求参数范围(多考向探究)考向1分离参数法求参数范围【例2】(2017全国3,理23)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集;(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.解题心得在不等式有解或成立的情况下,求参数的取值范围,可以采取分离参数,通过求对应函数最值的方法获得.对点训练2已知f(x)=|x+1|,g(x)=2|x|+a,(1)当a=-1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若存在x0∈R使得f(x0)≥g(x0)成立,求a的取值范围.考向2利用函数最值求参数范围【例3】(2020辽宁大连一中6月模拟,23)已知函数f(x)=x|x-a|,a∈R.(1)当f(1)+f(-1)>1时,求a的取值范围;+|y-a|恒成立,求a的取值范围.(2)若a>0,对任意x,y∈(-∞,a],都有不等式f(x)≤y+54解题心得1.对于求参数范围问题,可将已知条件进行等价转化,得到含有参数的不等式恒成立,此时通过求函数的最值得到关于参数的不等式,解不等式得参数范围.2.解答此类问题应熟记以下转化:f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a;f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a;f(x)>a有解⇔f(x)max>a;f(x)<a有解⇔f(x)min<a;f(x)>a无解⇔f(x)max≤a;f(x)<a无解⇔f(x)min≥a.对点训练3(2020山西太原三模,23)已知函数f(x)=|x+1|+|x-2a|,a∈R.(1)若a=1,解不等式f(x)<4;(2)对任意的实数m,若总存在实数x,使得m2-2m+4=f(x),求实数a的取值范围.考向3恒等转化法求参数范围【例4】(2020全国2,理23)已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4的解集;(2)若f(x)≥4,求a的取值范围.解题心得在不等式成立的前提下求参数范围,通常对不等式进行等价变形,求出不等式的解,然后根据已知条件确定参数范围.对点训练4(2018全国1,理23)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.考点求函数或代数式的最值(多考向探究)考向1利用基本不等式求最值【例5】(2020河北石家庄二模,文23)函数f(x)=|2x-1|+|x+2|.(1)求函数f(x)的最小值;(2)若f(x)的最小值为M,a+2b=2M(a>0,b>0),求证:1a+1+12b+1≥47.解题心得在求某一代数式的最值时,根据已知条件利用基本不等式a 2+b 2≥2ab ,a+b2≥√ab (a ,b 为正数),a+b+c3≥√abc 3(a ,b ,c 为正数)对代数式进行适当的放缩,从而得出其最值.对点训练5(2020河南开封三模)关于x 的不等式|x-2|<m (m ∈N +)的解集为A ,且32∈A ,12∉A. (1)求m 的值;(2)设a ,b ,c 为正实数,且a+b+c=3m ,求√a +√b +√c 的最大值.考向2 利用绝对值三角不等式求最值【例6】已知函数f (x )=2|x+a|+|x -1a|(a ≠0).(1)当a=1时,解不等式f (x )<4;(2)求函数g (x )=f (x )+f (-x )的最小值.解题心得利用绝对值三角不等式求函数或代数式的最值时,往往需要对函数或代数式中的几个绝对值里面的代数式等价变形,使相加或相减后对消变量,得到常数.对点训练6已知函数f (x )=|2x+1|-|x-1|. (1)求f (x )+|x-1|+|2x-3|的最小值;(2)若不等式|m-1|≥f (x )+|x-1|+|2x-3|有解,求实数m 的取值范围.考向3利用放缩法求最值【例7】(2019全国3,理23)设x,y,z∈R,且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥13成立,证明:a≤-3或a≥-1.解题心得利用放缩法求代数式的最值,一般利用基本不等式,绝对值三角不等式及数学结论进行放缩,在放缩的过程中,结合已知条件消去变量得到常量,从而得到代数式的最值.对点训练7已知实数m,n满足2m-n=3.(1)若|m|+|n+3|≥9,求实数m的取值范围;(2)求|53m-13n|+|13m-23n|的最小值.1.绝对值不等式主要利用“零点分段法”求解,有时也利用函数图像通过观察得出不等式的解集.2.含绝对值不等式的恒成立问题的求解方法(1)分离参数法:运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a,f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题.(2)数形结合法:在研究不等式f(x)≤g(x)恒成立问题时,若能作出两个函数的图像,通过图像的位置关系可直观解决问题.3.求函数或代数式的最值主要应用基本不等式、绝对值三角不等式以及通过放缩求解.在解决有关绝对值不等式的问题时,充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨论不全面的问题.若用零点分段法求解,要掌握分类讨论的标准,做到不重不漏.选修4—5 不等式选讲必备知识·预案自诊知识梳理1.(1)|a|+|b| ab ≥0 (3)|a-b|+|b-c| (a-b )(b-c )≥02.(2)①-c ≤ax+b ≤c ②ax+b ≥c 或ax+b ≤-c3.2ab考点自诊1.(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)√2.D |a|-|c|≤|a-c|<|b|,即|a|<|b|+|c|,故选D .3.C 因为|x +1x |=|x|+|1x |≥2,要使对于一切非零实数x ,|x +1x|>|a-2|+1恒成立,则|a-2|+1<2,即1<a<3.4.√5 由柯西不等式可知(a 2+b 2)(m 2+n 2)≥(ma+nb )2,即5(m 2+n 2)≥25,当且仅当an=bm 时,等号成立,所以√m 2+n 2≥√5.5.[-2,4] ∵|x-a|+|x-1|≥|(x-a )-(x-1)|=|a-1|,要使|x-a|+|x-1|≤3有解,可使|a-1|≤3,∴-3≤a-1≤3,∴-2≤a ≤4.第1课时 绝对值不等式 关键能力·学案突破 例1解(1)由题设知f (x )={-x -3,x ≤-13,5x -1,-13<x ≤1,x +3,x >1.y=f (x )的图像如图所示.(2)函数y=f (x )的图像向左平移1个单位长度后得到函数y=f (x+1)的图像.y=f (x )的图像与y=f (x+1)的图像的交点坐标为-76,-116.由图像可知当且仅当x<-76时,y=f (x )的图像在y=f (x+1)的图像上方. 故不等式f (x )>f (x+1)的解集为(-∞,-76). 对点训练1解(1)当a=1时,f (x )=|x-1|x+|x-2|·(x-1).当x<1时,f (x )=-2(x-1)2<0; 当x ≥1时,f (x )≥0.所以,不等式f (x )<0的解集为(-∞,1). (2)因为f (a )=0,所以a ≥1. 当a ≥1,x ∈(-∞,1)时,f (x )=(a-x )x+(2-x )(x-a )=2(a-x )(x-1)<0. 所以,a 的取值范围是[1,+∞). 例2解(1)f (x )={-3,x <-1,2x -1,-1≤x ≤2,3,x >2.当x<-1时,f (x )≥1无解;当-1≤x ≤2时,由f (x )≥1得,2x-1≥1,解得1≤x ≤2; 当x>2时,由f (x )≥1解得x>2. 所以f (x )≥1的解集为{x|x ≥1}.(2)由f (x )≥x 2-x+m 得m ≤|x+1|-|x-2|-x 2+x. 而|x+1|-|x-2|-x 2+x ≤|x|+1+|x|-2-x 2+|x|=-(|x |-32)2+54≤54,且当x=32时,|x+1|-|x-2|-x 2+x=54. 故m 的取值范围为(-∞,54].对点训练2解(1)当a=-1时原不等式可化为|x+1|-2|x|≥-1,设φ(x )=|x+1|-2|x|={x -1,x ≤-1,3x +1,-1<x <0,-x +1,x ≥0,则{x ≤-1,x -1≥-1,或{-1<x <0,3x +1≥-1,或{x ≥0,-x +1≥-1. 即-23≤x ≤2.所以原不等式的解集为-23,2.(2)若存在x 0∈R 使得f (x 0)≥g (x 0)成立,等价于|x+1|≥2|x|+a 有解, 由(1)即φ(x )≥a 有解,即a ≤φ(x )max ,由(1)可知,φ(x )在(-∞,0)单调递增,在[0,+∞)单调递减, 所以φ(x )max =φ(0)=1,所以a ≤1.故a 的取值范围为(-∞,1].例3解(1)f (1)+f (-1)=|1-a|-|1+a|>1,若a ≤-1,则1-a+1+a>1,得2>1,即当a ≤-1时,不等式恒成立;若-1<a<1,则1-a-(1+a )>1,得a<-12,即-1<a<-12; 若a ≥1,则-(1-a )-(1+a )>1,得-2>1,此时不等式无解. 综上所述,a 的取值范围是-∞,-12.(2)由题意知,要使不等式恒成立,只需f (x )max ≤y+54+|y-a|min .当x ∈(-∞,a ]时,f (x )=-x 2+ax ,f (x )max =f a 2=a 24. 因为y+54+|y-a|≥a+54, 所以当y ∈-54,a 时,y+54+|y-a|min =a+54=a+54.于是a 24≤a+54,解得-1≤a ≤5.结合a>0,所以a 的取值范围是(0,5].对点训练3解(1)当a=1时,f (x )<4,即|x+1|+|x-2|<4,化为{x <-1,2x >-3或{-1≤x ≤2,3<4或{x >2,2x -1<4,解得-32<x<-1或-1≤x ≤2或2<x<52,综上,-32<x<52,即不等式f (x )<4的解集为-32,52.(2)根据题意,得m 2-2m+4的取值范围是f (x )值域的子集.m 2-2m+4=(m-1)2+3≥3,又f (x )=|x+1|+|x-2a|≥|2a+1|, 所以f (x )的值域为[|2a+1|,+∞).故|2a+1|≤3,解得-2≤a ≤1,即实数a 的取值范围为[-2,1].例4解(1)当a=2时,f (x )={7-2x ,x ≤3,1,3<x ≤4,2x -7,x >4.因此,不等式f (x )≥4的解集为{x |x ≤32或x ≥112}. (2)因为f (x )=|x-a 2|+|x-2a+1|≥|a 2-2a+1|=(a-1)2,故当(a-1)2≥4,即|a-1|≥2时,f (x )≥4. 所以当a ≥3或a ≤-1时,f (x )≥4.当-1<a<3时,f (a 2)=|a 2-2a+1|=(a-1)2<4. 所以a 的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).对点训练4解(1)当a=1时,f (x )=|x+1|-|x-1|,即f (x )={-2,x ≤-1,2x ,-1<x <1,2,x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为{x |x >12}.(2)当x ∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax-1|<1成立. 若a ≤0,则当x ∈(0,1)时|ax-1|≥1;若a>0,|ax-1|<1的解集为0<x<2a ,所以2a ≥1,故0<a ≤2. 综上,a 的取值范围为(0,2]. 例5(1)解f (x )=|2x-1|+|x+2|={-3x -1,x ≤-2,-x +3,-2<x <12,3x +1,x ≥12,当x ≤-2时,f (x )≥5;当-2<x<12时,52<f (x )<5; 当x ≥12时,f (x )≥52. 所以f (x )的最小值为52. (2)证明由(1)知M=52,即a+2b=5.又因为a>0,b>0,所以1a+1+12b+1=17[(a+1)+(2b+1)]1a+1+12b+1=172+2b+1a+1+a+12b+1 ≥172+2√2b+1a+1·a+12b+1 =47,当且仅当a=2b ,即a=52,b=54时,等号成立.所以1a+1+12b+1≥47. 对点训练5解(1)由已知得{|32-2|<m ,|12-2|≥m ,解得12<m ≤32.因为m ∈N *,所以m=1.(2)因为a+b+c=3,所以√a +√b +√c =√1·a +√1·b +√1·c ≤1+a 2+1+b 2+1+c2=3+a+b+c2=3, 当且仅当a=b=c=1时,等号成立.所以√a +√b +√c 的最大值为3.例6解(1)∵a=1,∴原不等式为2|x+1|+|x-1|<4,∴{x <-1,-2x -2-x +1<4,或 {-1≤x ≤1,2x +2-x +1<4,或{x >1,2x +2+x -1<4,∴-53<x<-1或-1≤x<1或∅. ∴原不等式的解集为(-53,1).(2)由题意得g (x )=f (x )+f (-x )=2(|x+a|+|x-a|)+(|x +1a |+|x -1a |)≥2|2a|+2|a |≥4√2.当且仅当2|a|=1|a |,即a=±√22,且-√22≤x ≤√22时,g (x )取最小值4√2. 对点训练6解(1)f (x )+|x-1|+|2x-3|=|2x+1|-|x-1|+|x-1|+|2x-3|=|2x+1|+|2x-3|≥|2x+1-(2x-3)|=4,当-12≤x ≤32时等号成立,所以f (x )+|x-1|+|2x-3|的最小值为4.(2)不等式|m-1|≥f (x )+|x-1|+|2x-3|有解,∴|m-1|≥[f (x )+|x-1|+|2x-3|]min .∴|m-1|≥4,∴m-1≤-4或m-1≥4,即m ≤-3或m ≥5,∴实数m 的取值范围是(-∞,-3]∪[5,+∞).例7(1)解由于[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)]≤3[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2],故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2≥43,当且仅当x=53,y=-13,z=-13时等号成立.所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43.(2)证明由于[(x-2)+(y-1)+(z-a )]2=(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a )+(z-a )(x-2)]≤3[(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2],故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2≥(2+a )23,当且仅当x=4-a 3,y=1-a 3,z=2a -23时等号成立. 因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2的最小值为(2+a )23.由题设知(2+a )23≥13,解得a ≤-3或a ≥-1.对点训练7解因为2m-n=3,所以2m=n+3.(1)|m|+|n+3|=|m|+|2m|=3|m|≥9,所以|m|≥3,所以m ≤-3或m ≥3.故m 的取值范围为(-∞,-3]∪[3,+∞).(2)53m-13n +13m-23n =53m-13(2m-3)+13m-23(2m-3)=|m+1|+|m-2|≥3,当且仅当-1≤m ≤2(或-5≤n ≤1)时等号成立, 所以53m-13n +13m-23n 的最小值是3.。
§2 含有绝对值的不等式2.1 绝对值不等式学习目标 1.进一步理解绝对值的意义.2.理解并掌握绝对值不等式|a ＋b|≤|a|＋|b|的代数及几何解释.3.会用|a ＋b|≤|a|＋|b|解决一些简单的绝对值不等式问题．知识点 绝对值不等式定理思考1 实数a 的绝对值|a|的几何意义是什么？ 答案 |a|表示数轴上以a 为坐标的点A 到原点的距离． 思考2 代数式|x ＋2|＋|x －3|的几何意义是什么？ 答案 表示数轴上的点x 到点－2,3的距离之和．思考3 画画图，看看|x ＋2|＋|x －3|与|(－2)－3|的关系． 答案由数轴可以看出数轴上的点x 到点－2,3的距离之和大于等于点－2到3的距离，即|x ＋2|＋|x －3|≥|(－2)－3|.梳理 (1)实数的绝对值 |a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a>0，0，a ＝0，－a ，a<0.由定义易得|ab|＝|a|·|b|；⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＝|a||b|(b ≠0)；|a|2＝a 2；a 2＝|a|；－|a|≤a ≤|a|.(2)绝对值的几何意义设a 是任意一个实数，在数轴上：①|a|表示实数a 对应的点与原点O 的距离；②|x －a|表示实数x 对应的点与实数a 对应的点之间的距离； ③|x ＋a|表示实数x 对应的点与实数－a 对应的点之间的距离． (3)绝对值不等式(定理)对任意实数a 和b ，有|a ＋b|≤|a|＋|b|. 拓展 ||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.类型一 含绝对值不等式的证明例1 设函数f(x)＝x 2－2x ，|x －a|＜1. 求证：|f(x)－f(a)|＜2|a|＋3. 证明 ∵f(x)＝x 2－2x ，且|x －a|＜1， ∴|f(x)－f(a)|＝|x 2－2x －a 2＋2a| ＝|(x ＋a)(x －a)－2(x －a)|＝|(x －a)(x ＋a －2)|＝|x －a|·|x＋a －2| ＜|x ＋a －2|＝|(x －a)＋(2a －2)| ≤|x －a|＋|2a －2| ＜1＋|2a|＋|2|＝2|a|＋3， ∴|f(x)－f(a)|＜2|a|＋3.反思与感悟 两类含绝对值不等式的证明技巧一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明．另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．跟踪训练1 已知|A －a|＜s 3，|B －b|＜s 3，|C －c|＜s3，求证：|(A ＋B ＋C)－(a ＋b ＋c)|＜s.证明 ∵|(A ＋B ＋C)－(a ＋b ＋c)|＝|(A －a)＋(B －b)＋(C －c)|≤|(A －a)＋(B －b)|＋|C －c|≤|A －a|＋|B －b|＋|C －c|，又∵|A －a|＜s 3，|B －b|＜s 3，|C －c|＜s3，∴|A －a|＋|B －b|＋|C －c|＜s 3＋s 3＋s3＝s ，∴|(A ＋B ＋C)－(a ＋b ＋c)|＜s. 类型二 利用绝对值不等式求最值例2 (1)求函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值和最小值；(2)如果关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|＜a 的解集为空集，求参数a 的取值范围． 解 (1)∵||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4， ∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4， ∴y max ＝4，y min ＝－4.(2)只要a 不大于|x －3|＋|x －4|的最小值，则|x －3|＋|x －4|＜a 的解集为空集，而|x －3|＋|x －4|＝|x －3|＋|4－x|≥|x －3＋4－x|＝1，当且仅当(x －3)(4－x)≥0，即3≤x ≤4时等号成立． ∴当3≤x ≤4时，|x －3|＋|x －4|取得最小值1. ∴a 的取值范围为(－∞，1]．反思与感悟 (1)利用绝对值不等式求函数最值时，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键． 跟踪训练2 (1)已知x ∈R ，求f(x)＝|x ＋1|－|x －2|的最值； (2)若|x －3|＋|x ＋1|＞a 的解集不是R ，求a 的取值范围． 解 (1)∵|f(x)|＝||x ＋1|－|x －2||≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3， ∴－3≤f(x)≤3，∴f(x)min ＝－3，f(x)max ＝3. (2)∵|x －3|＋|x ＋1|≥|(x －3)－(x ＋1)|＝4， ∴|x －3|＋|x ＋1|≥4.∴当a ＜4时，|x －3|＋|x ＋1|＞a 的解集为R. 又∵|x －3|＋|x ＋1|＞a 的解集不是R ，∴a ≥4. ∴a 的取值范围是[4，＋∞)． 类型三 绝对值不等式的综合应用例3 设函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a|(a ＞0)． (1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)＜5，求a 的取值范围． (1)证明 由a ＞0，可得f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a|≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a －(x －a )＝1a＋a ≥2，所以f(x)≥2.(2)解 f(3)＝|3＋1a |＋|3－a|，当a ＞3时，f(3)＝a ＋1a ，由f(3)＜5，得3＜a ＜5＋212；当0＜a ≤3时，f(3)＝6－a ＋1a ，由f(3)＜5，得1＋52＜a ≤3.综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.反思与感悟 含绝对值的综合问题，综合性强，所用到的知识多，在解题时，要注意应用绝对值不等式的性质、推论及已知条件，还要注意配方等等价变形，同时在应用绝对值不等式放缩性质求最值时，还要注意等号成立的条件．跟踪训练3 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，当|x|≤1时，恒有|f(x)|≤1，求证：|f(2)|≤7. 证明 因为当|x|≤1时，有|f(x)|≤1，所以|f(0)|＝|c|≤1，|f(1)|≤1，|f(－1)|≤1， 又f(1)＝a ＋b ＋c ，f(－1)＝a －b ＋c ， 所以|f(2)|＝|4a ＋2b ＋c| ＝|3(a ＋b ＋c)＋(a －b ＋c)－3c| ＝|3f(1)＋f(－1)－3f(0)| ≤3|f(1)|＋|f(－1)|＋3|f(0)| ≤3＋1＋3＝7，所以|f(2)|≤7.1．已知|x －m|＜ξ2，|y －n|＜ξ2，则|4x ＋2y －4m －2n|小于( )A ．ξB．2ξC．3ξD.ξ2答案 C解析 |4x ＋2y －4m －2n|＝|4(x －m)＋2(y －n)| ≤4|x －m|＋2|y －n|＜4×ξ2＋2×ξ2＝3ξ.2．已知a 为实数，则“|a|≥1”是“关于x 的绝对值不等式|x|＋|x －1|≤a 有解”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 B解析 由|a|≥1得a ≤－1或a ≥1.因为关于x 的不等式|x|＋|x －1|≤a 有解，而|x|＋|x －1|≥|x ＋1－x|＝1，所以a ≥1.故“|a|≥1”是“关于x 的绝对值不等式|x|＋|x －1|≤a 有解”的必要不充分条件． 3．已知|a|≠|b|，m ＝|a|－|b||a －b|，n ＝|a|＋|b||a ＋b|，则m ，n 的大小关系是( )A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ＝nD ．m ≤n答案 D解析 m ＝|a|－|b||a －b|≤|a －b||a －b|＝1.又n ＝|a|＋|b||a ＋b|≥|a ＋b||a ＋b|＝1，∴m ≤n.4．已知关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋a|≤8的解集不是空集，则a 的最小值是________． 答案 －9解析 ∵|x －1|＋|x ＋a|≥|x －1－(x ＋a)|＝|a ＋1|，且关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋a|≤8的解集不是空集，∴|a ＋1|≤8，解得－9≤a ≤7，即a 的最小值是－9.5．下列四个不等式：①|log x 10＋lgx|≥2；②|a －b|＜|a|＋|b|；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2(ab ≠0)；④|x －1|＋|x －2|≥1.其中恒成立的是________．(把你认为正确的序号都填上)． 答案 ①③④解析 |log x 10＋lg x|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1lg x ＋lg x ＝1|lg x|＋|lg x|≥2，①正确；当ab ≤0时，|a －b|＝|a|＋|b|，②不正确； ∵ab ≠0，b a 与ab同号，∴|b a ＋a b |＝|b a |＋|ab|≥2，③正确； 由|x －1|＋|x －2|的几何意义知，|x －1|＋|x －2|≥1恒成立，④正确．1．求含绝对值的代数式的最值问题的综合性较强，直接求|a|＋|b|的最大值比较困难，可采用求|a ＋b|，|a －b|的最值，及ab ≥0时，|a|＋|b|＝|a ＋b|，当ab ≤0时，|a|＋|b|＝|a －b|的定理，达到目的． 2．求y ＝|x ＋m|＋|x ＋n|和y ＝|x ＋m|－|x ＋n|的最值，其主要方法有 (1)借助绝对值的定义，即零点分段； (2)利用绝对值的几何意义； (3)利用绝对值不等式的性质定理．一、选择题1．已知h ＞0，a ，b ∈R ，命题甲：|a －b|＜2h ；命题乙：|a －1|＜h 且|b －1|＜h ，则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 B解析 “乙⇒甲”， ∵|a －1|＜h ，|b －1|＜h ， ∴|a －1|＋|b －1|＜2h ，又|a －1|＋|b －1|≥|(a －1)－(b －1)|＝|a －b|， ∴|a －b|＜2h.“甲⇏乙”．当a ＝b ＝5，h ＝1时，甲⇏乙．2．设|a|＜1，|b|＜1，则|a ＋b|＋|a －b|与2的大小关系是( ) A ．|a ＋b|＋|a －b|＞2 B ．|a ＋b|＋|a －b|＜2 C ．|a ＋b|＋|a －b|＝2 D ．不能比较大小答案 B解析 当(a ＋b)与(a －b)同号或(a ＋b)(a －b)＝0时， |a ＋b|＋|a －b|＝|(a ＋b)＋(a －b)|＝2|a|＜2. 当(a ＋b)与(a －b)异号时，|a ＋b|＋|a －b|＝|(a ＋b)－(a －b)|＝2|b|＜2.3．对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x|＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 ∵|x －1|＋|x|＋|y －1|＋|y ＋1| ≥|(x －1)－x|＋|()y －1－(y ＋1)|＝3.4．设变量x ，y 满足|x －1|＋|y －a|≤1，若2x ＋y 的最大值是5，则实数a 的值是( ) A ．2B ．1C ．0D ．－1 答案 B解析 由|x －1|＋|y －a|≤1，得|x －1|≤1， ∴0≤x ≤2，且|x ＋y －1－a|≤1， ∴a ≤x ＋y ≤2＋a ， ∴2x ＋y ≤4＋a ， 又2x ＋y 的最大值为5， ∴4＋a ＝5，∴a ＝1.5．已知不等式|x －m|＜1成立的一个充分不必要条件是13＜x ＜12，则实数m 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞答案 B6．对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为( ) A ．5B ．4C ．8D ．7 答案 A解析 由题意，得|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －1)| ≤|x －1|＋|2(y －2)＋2|≤1＋2|y －2|＋2≤5， 即|x －2y ＋1|的最大值为5. 二、填空题7．若存在实数x 使|x －a|＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－2,4]解析 |x －a|＋|x －1|≥|a －1|，则只需要|a －1|≤3，解得－2≤a ≤4.8．已知函数f(x)＝|x －3|－|x －a|.若存在实数x ，使得不等式f(x)≥a 成立，则实数a 的取值范围为________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32解析 由不等式性质可知，f(x)＝|x －3|－|x －a| ≤|(x －3)－(x －a)|＝|a －3|，所以若存在实数x ，使得不等式f(x)≥a 成立， 则|a －3|≥a ，解得a ≤32，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32. 9．以下三个命题：①若|a －b|≤1，则|a|≤|b|＋1； ②若a ，b ∈R ，则|a ＋b|－2|a|≤|a －b|； ③|x|＜2，|y|＞3，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪x y ＜23.其中正确命题的序号为________． 答案 ①②③解析 因为|a|－|b|≤|a －b|≤1，所以|a|≤|b|＋1，故①正确；因为|a ＋b|－2|a|＝|a ＋b|－|2a|≤|(a ＋b)－2a|＝|a －b|.故②正确；③显然正确．10．若不等式|2a －1|≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x 对一切非零实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是______．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 解析 因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x|＋1|x|≥2， 所以由已知得|2a －1|≤2， 即－2≤2a －1≤2， 解得－12≤a ≤32.11．已知函数f(x)＝|x －3|－2，g(x)＝－|x ＋1|＋4，若函数f(x)－g(x)≥m ＋1的解集为R ，则m 的取值范围是________． 答案 (－∞，－3]解析 f(x)－g(x)＝|x －3|＋|x ＋1|－6， 因为x ∈R ，由绝对值不等式，得f(x)－g(x)＝|x －3|＋|x ＋1|－6＝|3－x|＋|x ＋1|－6 ≥|(3－x)＋(x ＋1)|－6＝4－6＝－2， 于是有m ＋1≤－2，得m ≤－3， 即m 的取值范围是(－∞，－3]． 三、解答题12．求证：(1)|a ＋b|＋|a －b|≥2|a|； (2)|a ＋b|－|a －b|≤2|b|.证明 (1)∵|a ＋b|＋|a －b|≥|(a ＋b)＋(a －b)|＝|2a|＝2|a|， ∴|a ＋b|＋|a －b|≥2|a|.(2)∵|a ＋b|－|a －b|≤|(a ＋b)－(a －b)|＝|2b|＝2|b|， ∴|a ＋b|－|a －b|≤2|b|.13．设a ∈R ，函数f(x)＝ax 2＋x －a(－1≤x ≤1)． (1)若|a|≤1，证明：|f(x)|≤54.(2)求使函数f(x)有最大值178的实数a 的值．(1)证明 ∵|x|≤1，|a|≤1，∴|f(x)|＝|a(x 2－1)＋x|≤|a||x 2－1|＋|x|≤|x 2－1|＋|x|＝1－|x|2＋|x|＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x|－122＋54≤54.(2)解 当a ＝0时，f(x)＝x ；当－1≤x ≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝1不可能满足题设条件，∴a ≠0. 又f(1)＝a ＋1－a ＝1，f(－1)＝a －1－a ＝－1，故f(±1)均不是最大值．∴f(x)的最大值为178，应在其对称轴上，即顶点位置取得．∴a<0，∴命题等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1<－12a<1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝178，a<0，得⎩⎪⎨⎪⎧a<－12，(a ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋18＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a<－12，a ＝－2或a ＝－18.∴a ＝－2. 四、探究与拓展14．设x ，y ∈R ，求证：|2x－x|＋|2y －y|＋|x ＋y|≥212x y++.证明 由绝对值三角不等式，得|2x －x|＋|2y－y|≥|2x＋2y－(x ＋y)|≥|2x＋2y|－|x ＋y|， ∴|2x－x|＋|2y－y|＋|x ＋y|≥|2x＋2y |. 而|2x＋2y|＝2x＋2y≥22x·2y＝22x+y＝2·22x y +＝212x y++，∴|2x－x|＋|2y－y|＋|x ＋y|≥212x y++.15．已知a ，b ∈R 且a ≠0，求证：|a 2－b 2|2|a|≥|a|2－|b|2.证明 (1)若|a|＞|b|，左边＝|a ＋b||a －b|2|a|＝|a ＋b||a －b||a ＋b ＋a －b|≥|a ＋b||a －b||a ＋b|＋|a －b|＝11|a ＋b|＋1|a －b|.∵1|a ＋b|≤1|a|－|b|，1|a －b|≤1|a|－|b|， ∴1|a ＋b|＋1|a －b|≤2|a|－|b|， ∴左边≥|a|－|b|2＝右边．(2)若|a|＜|b|，左边＞0，右边＜0， ∴原不等式显然成立．(3)若|a|＝|b|，原不等式显然成立． 综上可知，原不等式成立．。
