北师大版数学高二-选修4课件 绝对值不等式的解法

因为f(x)=|x-a|+|x+3|≥|(x-a)-(x+3)|=|a+3|,
所以f(x)min=|a+3|,所以|a+3|>-a,即a+3<a或a+3>-a,
选修4—5 第1课时 绝对值不等式
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
衍生考点
核心素养
1.绝对值不等式的解法
1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对
2.与绝对值不等式有关的
值不等式的几何意义证明以下不等式:
参数范围
|a+b|≤|a|+|b|,|a-b|≤|a-c|+|c-b|.
因为|x-3|+|x+4|≥|x-3-x-4|=7,
所以m<7,则m的取值范围是(-∞,7).
考向3.利用绝对值三角不等式求参数范围
典例突破
例4.(2021全国乙,理23)已知函数f(x)=|x-a|+|x+3|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥6的解集;
(2)若f(x)>-a,求a的取值范围.
a 1 +a 2 +…+a n
均值,即
n
≥

1 2 … ,此式当且仅当 a1=a2=…=an 时取“=”号.
4.柯西不等式
(1)定理1:对任意实数a,b,c,d,有(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当向量(a,b)与向
量(c,d)共线时,等号成立.
(2)柯西不等式的向量形式,设α,β是两个向量,则|α·β|≤|α||β|,等号成立的条

解答
引申探究
假设f(x)＝|2x＋1|－|2x＋a|且f(x)＜a恒成立，求a的取值范围.
解 ∵f(x)＝|2x＋1|－|2x＋a|≤|(2x＋1)－(2x＋a)|＝|a－1|，
∴f(x)max＝|a－1|.
∵f(x)＜a恒成立，
∴|a－1|＜a， 当 a>0 时，－a<a－1<a，即 a>12，
2.解|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型的不等式的核心步骤是“零点分 段〞，即 ①令每个绝对值符号里的一次式为零，求出相应的根； ②把这些根由小到大排序并把实数集分为假设干个区间； ③由所分区间去掉绝对值符号组成假设干个不等式，解这些不等式，求 出它们的解集； ④这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集.
A.m＞1
B.m≥1
√C.m＞2
D.m≥2
解析 ∵|x－5|＋|x－3|≥|(x－5)－(x－3)|＝2， ∴m＞2.
12345
解析 答案
5.解不等式|2x－1|＋|3x＋2|≥8.
解 ①当 x≤－23时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8⇔1－2x－(3x＋2)≥8 ⇔－5x≥9⇔x≤－95，∴x≤－95. ②当－23＜x＜12时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8⇔1－2x＋3x＋2≥8⇔x≥5，
梳理 (1)含绝对值不等式|x|＜a与|x|＞a的解法 ①|x|＜a⇔ －a＜x＜a，a＞0，
_∅__，a≤0.
_R__，a＜0，
②|x|＞a⇔ _x_∈__R_且__x_≠_0__，a＝0， x＞a或x＜－a，a＞0.
(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c⇔ －c≤ax＋b≤c ，
① ②

第一章 不等关系与基本不等式
§2 含有绝对值的不等式
2．2 绝对值不等式的解法
学习目标
重点难点
1.根据不等式的性质，利用绝对值的 几何意义，会求解|f(x)|＜g(x)，|f(x)|＞
1.重点是利用绝对值 的几何意义求解含绝
g(x)型不等式．
对值的不等式．
2．掌握运用分段讨论法、图像法、几 何意义法求解形如
(2)解不等式x2－12＞2x.
解：①当 2x＜0，即 x＜0 时， ∵不等式x2－12≥0 对任意的 x∈R 恒成立， ∴不等式x2－12＞2x(x＜0)恒成立． ∴x＜0 满足原不等式．
②当 2x＝0，即 x＝0 时， ∵x2－12＝02－12＝12＞2x＝2×0＝0， ∴x＝0 满足原不等式． ③当 2x＞0，即 x＞0 时， x2－12＞2x⇒x2－12＞2x 或 x2－12＜－2x. 由 x2－12＞2x，得 x＜2－2 6或 x＞2＋2 6；
法二 原不等式等价于
2≤x－4＜3 或－3＜x－4≤－2，
即 6≤x＜7 或 1＜x≤2.
所以原不等式的解集为{x|1＜x≤2 或 6≤x＜7}．
(3)由原不等式，可得
x＋1＞2－x 或 x＋1＜x－2.
解得 x＞12.
所以所求不等式的解集为xx＞12

.

|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c
单＞0击)型此不处等编式的辑解母法版文本样式
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法三 将原不等式转化为 |x＋7|－|x－2|－3≤0， 构造函数 y＝|x＋7|－|x－2|－3，即 y＝－2x＋122，，x－＜－7≤7，x≤2，
6，x＞2. 作出函数的图像如图所示， 由图可知当 x≤－1 时，有 y≤0，即|x＋7|－|x－2|－3≤0. 所以原不等式的解集为{x|x≤－1}．

-c<ax+b<c
|ax+b|>c
ax+b>c 或 ax+b<-c
思考：如何求不等式|x-1|+|x+2|≥5 的解集？
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2.探究：怎么解不等式|x-1|+|x+2|≥5
呢? 解绝对值不等式关键是去绝对值符号,
你有什么方法解决这个问题呢?
方法一：利用绝对值的几何意义(体现了数形结 合的思想).
第4页/共24页
2、教学重点与难点
本节注重培养学生“数形结合”、“分类讨论”思想及解 决问题分析问题的能力，因而确定重、难点为：
重点：掌握|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法。 难点：处理含绝对值的不等式变换时的等价性.
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三、教法分析
根据学生现有的认知水平，本节通过师生之间的 相互探讨和交流进行教学，即以探究研讨法为主，通 过讲练结合法等展开教学.
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6、作业布置
1.必做题:P20 8题
2.选做题： （1）解不等式|2x＋1|－|x－4|＞2. （2） (2012·新课标高考)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(i)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(ii)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．
⑴ 运用绝对值的几何意义, 数形结合；
⑵ 零点分段法:分类讨论去绝对值符号；
（含两个或两个以上绝对值符号）
①
②
③
x1
x2
⑶ 构造函数：利用函数图象来分析.
第13页/共24页
.
3、例题讲解

04 多元绝对值不等 式解法
逐项分析法
逐项分析法的定义
通过对多元绝对值不等式中的每一项进行分析，将其转化 为一系列一元或二元绝对值不等式，然后分别求解。
逐项分析法的步骤
首先确定不等式中各项的符号，然后根据绝对值的性质将 其转化为一系列一元或二元绝对值不等式，最后分别求解 这些不等式。
逐项分析法的优缺点
02 一元一次绝对值 不等式解法
分类讨论法
01
02
03
去除绝对值符号
根据绝对值的定义，将绝 对值不等式转化为分段函 数，分别讨论每个区间内 的情况。
解不等式
在每个区间内，去除绝对 值符号，将不等式转化为 普通的一元一次不等式进 行求解。
合并解集
将每个区间内的解集合并 ，得到最终的解集。
数轴分析法
力学中的弹性和塑性变形
在力学中，弹性和塑性变形是物体受力后发生的两种基本变 形。绝对值不等式可以用来描述物体在受力过程中的变形情 况，帮助分析物体的力学性质和稳定性。
在工程学中应用举例
工程设计中的误差分析
在工程设计中，误差分析是评估设计方 案可行性和可靠性的重要环节。绝对值 不等式可以用来描述设计方案中各项参 数在一定范围内的波动情况，进而分析 误差对设计方案的影响程度和可接受范 围。
绝对值定义
对于任意实数$x$，其绝对值$|x|$定义为：若$x geq 0$，则$|x| = x$；若$x < 0$，则$|x| = -x$。
绝对值性质
绝对值具有非负性、对称性和三角不等式性质。即对于任意实数$x, y$，有$|x| geq 0$，$|-x| = |x|$，$|x + y| leq |x| + |y|$。
典型例题解析

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UBIAODAOHANG HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析 S随堂演练
IANLITOUXI
UITANGYANLIAN
1
2
3
2 .|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 (1)|ax+b| ≤c(c>0)型不等式的解法:先化为不等式组-c≤ax+b≤c,再利 用不等式的性质求出原不等式的解集,也可以利用绝对值的几何意义求解. (2)|ax+b| ≥c(c>0)的解法:先化为 ax+b≥c 和 ax+b ≤-c,再进一步利用 不等式的性质求出原不等式的解集,也可以利用绝对值的几何意义求解. 【做一做 2-1】 不等式|x+4|>9 的解集是 . 解析 :由原不等式,得 x+4>9 或 x+4<-9, 解得 x>5 或 x<-13. 答案 :{x|x<-13 或 x>5} 【做一做 2-2】 不等式| 2x+1|>x+1 的解集为 . 解析 :原不等式可化为不等式 2������ + 1 < 0, 2 2������ + 1 ≥ 0, 组: 或 解得 x>0 或 x<- . 3 2������ + 1 > ������ + 1 -(2������ + 1) > ������ + 1. 2 答案 : ������ ������ < - 或������ > 0
3
-4-
2.2 绝对值不等式的解法
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课前探究学习 课堂讲练互动
自主探究
1．如何解形如|ax＋b|≤c、|ax＋b|≥c的不等式？
提示 (1)当c≥0时，|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c， 解之即可；
|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，解之即可．
(2)当c<0时，由绝对值的定义知|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax ＋b|≥c的解集为R.
∴不等式的解集为{x|－2<x<3}．
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知识点2 解|f(x)|<|g(x)|型不等式 【例2】解不等式|x－a|<|x－b| (a≠b)． 解 由|x－a|<|x－b|两边平方得：(x－a)2<(x－b)2. 整理得：2(a－b)x>a2－b2. a＋ b 因 a≠b，当 a>b 时，x> ； 2 a＋ b 当 a<b 时，x< . 2 ∴不等式的解集为： 1 当 a>b 时， x|x>2（a＋b）； 1 当 a<b 时， x|x<2（a＋b）. 【反思感悟】 解含有绝对值符号的不等式关键是去掉绝
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解|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋ |x－b|≤c型不等式 x 【例3】 解不等式|x＋3|－|2x－1|<2＋1. x 解 ①x<－3 时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)< ＋1，解得 2
x<10，∴x<－3. 1 x ②当－ 3≤x< 时，原不等式化为 (x＋ 3)－ (1－2x)< ＋ 1，解得 2 2 2 2 x<－ ，∴－3≤x<－ . 5 5 1 x ③当 x≥ 时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)< ＋1， 2 2 解得 x>2，∴x>2. 2 综上可知：原不等式的解集为x|x<－5，或x>2.

从数轴上可以看到 , 点A1与点B1之间的任何点到 点A, B的距离之和都小于 5; 点A1的左边或点 B1的
右边的任何点到 A, B的距 A1 A B B1 x O 1 2 - 3 - 2 -1 离之和都大于 5 . 所以, 原不等式的解集是 图1.2 11 ,3 2, . 分析 上 述 解法, 可以发现 , 解 | x 1 | | x 2 | 5 时, 数轴上与 2 ,1 对应的点 A , B 把 实数 集分成 了三个区间 ,2 , 2,1 , 1, , 先 分别在这 三个区间上讨论不等式的 解 的情 况 , 然 后 把 它 们综合在一起就得到不等式的解集 .
x1 a
x
x1 a
x1
x1 a
x
| x x1 | a
图1.2 9
| x x1 | a
利用上述式及绝对值的几何意义 , 可以解一些含有绝对值 的不等式.
1 | ax b | c和 | ax b | c
型不等式的解法
例3 解不等式 | 3 x 1 | 2 .
探究 你能给出上述绝对值不 等式的 解的几何解释吗?
2 | x a | | x b | c和 | x a | | x b | c 型不
等式的解法 例5 解不等式| x 1 | | x 2 | 5 .
分析 这个绝对值不等式 A1 A B B1 x 比较复杂, 我们从它的几何 - 3 - 2 -1 O 1 2 意义来分析.如图1.2 11, 设 图1.2 11 数轴上与 2 ,1 对应的点分 别是A, B, 那么不等式的解就是数轴上到A, B两 点的距离之和不小于 5的点所对应的实数 .所以, 我们只要在数轴上确定出具有上述特点的点的 位置, 就可以得出不等式的解 .

数轴表示方法
在数轴上标出绝对值符号内表达式的 零点，然后根据不等式的性质确定解 集所在的区间，用实心点或空心点表 示区间的端点。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
02
一元一次绝对值不等式解法
转化为一元一次不等式组求解
去掉绝对值符号
根据绝对值的定义，将绝对值不等式转化 为两个一元一次不等式组。
解一元一次不等式组
分别解出两个不等式组的解集。
绝对值定义
对于任意实数$x$，其绝对值$|x|$定义为：若$x geq 0$，则$|x| = x$；若$x < 0$，则$|x| = -x$。
绝对值性质
绝对值具有非负性，即$|x| geq 0$；同时满足三角不等式$|x + y| leq |x| + |y|$和$||x| - |y|| leq |x - y|$。
平方消去根号
通过对不等式两边平方，消去根 号，转化为普通的不等式求解。
分类讨论
根据根式内表达式的正负情况， 将原不等式分为几种情况进行讨
论，分别求解。
换元法
通过换元将根式不等式转化为普 通的不等式，简化求解过程。
混合型复杂问题处理策略
综合运用
针对混合型复杂问题，需要综合 运用分式型、根式型绝对值不等 式的处理方法，以及普通绝对值
04
含参数绝对值不等式解法
参数分类讨论思想在解题中应用
参数取值范围确定
根据题目中给出的条件，确定参数的可能 取值范围。
分类讨论
针对不同的参数取值范围，分别讨论不等 式的解集情况。
汇总结论
将不同参数取值范围下的解集情况进行汇 总，得出最终结论。
含参数问题转化为标准形式求解
01
02
03

③当 x≥12时，原不等式可化为 2x－1＜x＋1， 解得 x＜2.从而有12≤x＜2. 综上，原不等式的解集是{x|0＜x＜2}． (2)法一 原不等式等价于 ①x－＜x－－13，＋x＋1＜1或
②－ －1x≤－x3＜－3，x＋1＜1或③xx≥－33，－x＋1＜1， 不等式组①的解集为∅， 由不等式组②，得12＜x＜3. 由不等式组③，得 x≥3. 综上，原不等式的解集为xx＞12.
3 ． 当 |a － b| ＞ c 时 ， 不 等 式 |x － a| ＋ |x － b| ＞ c 的 解 集 是 什 么？
提示：因为|x－a|＋|x－b|≥|(x－a)－(x－b)|＝|a－b|，所以 当|a－b|＞c时，不等式|x－a|＋|x－b|＞c的解集为R.
不等式|x－1|－|x－5|＜2的解集是( )
第一章 不等关系与基本不等式
§2 含有绝对值的不等式
2．2 绝对值不等式的解法
学习目标
重点难点
1.根据不等式的性质，利用绝对值的 几何意义，会求解|f(x)|＜g(x)，|f(x)|＞
1.重点是利用绝对值 的几何意义求解含绝
g(x)型不等式．
对值的不等式．
2．掌握运用分段讨论法、图像法、几 何意义法求解形如
A．(－∞，4)
B．(－∞，1)
C．(1,4)
D．(1,5)
解析：①当x＜1时，原不等式等价于
1－x－(5－x)＜2，即－4＜2，
所以x＜1.
②当1≤x≤5时，原不等式等价于 x－1－(5－x)＜2，即x＜4， 所以1≤x＜4. ③当x＞5时，原不等式等价于x－1－(x－5)＜2， 即4＜2，无解． 综合①②③知x＜4. 答案：A
[互动探究]若本例条件变为“若关于x的不等式|x＋2|－|x－ 1|≥a的解集为R”，求实数a的取值范围．

由图可知，当且仅当10≤x≤20时， |x－10|＋|x－20|的最小
值为10.
|x －10| |x－20|

10
x 20
x
变式训练2：若关于x的不等式|x+5|-|3-x|≤a解
集为R,则实数a的取值范围是 [8,+∞) .
解析:由公式得|x+5|-|3-x|≤|(x+5)+(3-x)|=8（当且仅 当-5≤x≤3时等号成立），
a
∴|a-b|≤|a-c|+|c-b|
CA c a
B b x
BC b c x
B
b
x
情境引两个地点分别位于公路路牌的10km和20km处.现要在公路沿线建两 个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间 往返一次.要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何 处？
猜想：|a+b|≤|Aa|+|b|
0
B
几何
x法
a |a+b| -b
（1）当a(-b)<0即 ab>0时，|AB|=|OA|+|OB| （2）当a=0或b=0时，|AB|=|OA|+|OB|
（3）当a(-b)>0即 ab<0时，|AB|<|OA|+|OB| 提示：绝对值
于是，得到|A|aB+|b≤|≤|O|aA|+|+|b|O| (B当| 且等仅号当成a立b的的0几时条何,件等意？号义成立)
当|x+5|-|3-x|≤a解集为R时，即|x+5|-|3-x|≤a恒成立,
所以a8
课堂小结
定理内容
绝对值不等式： ||a|-|b||≤|a±b||a|+|b|

|x－a|±|x－b|≥c(≤c) 型不等式的解法
解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.
【精彩点拨】 本题考查|x－a|＋|x－b|≥c 型含两个绝对值的不等式的解法， 解答此题可利用绝对值的几何意义去掉绝对值符号求解，也可用零点分区间讨 论法求解，或者用图象法，利用图形分析求解．
【自主解答】 法一：如图所示，设数轴上与－1,1 对应的点分别为 A，B， 那么 A，B 两点的距离和为 2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在 A 点左侧有一点 A1，到 A，B 两点的距离和为 3，A1 对应数轴上的 x.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)|x|<a 的解集是(－a，a)．( ) (2)不等式|x－2|≥3 的解集是(－∞，－1]∪[5，＋∞)．( ) (3)若|x－a|<2 的解集是(－1,3)时，a 的值为 2.( )
【解析】 (1)× 当 a≤0 时，|x|<a 的解集为∅. (2)√ 由|x－2|≥3，得 x－2≥3 或 x－2≤－3，即 x≥5 或 x≤－1. (3)× 若|x－a|<2 的解集为(－1,3)时，－1 和 3 是|x－a|＝2 的根， 即||－ 3－1－ a|＝a|＝ 2，2， 解得aa＝ ＝11或 或－ 5，3， 故 a＝1. 【答案】 (1)× (2)√ (3)×
②当 0≤x＜12时，原不等式可化为－2x＋1＜x＋1，解得 x＞0， 又∵0≤x＜12，从而有 0＜x＜12； ③当 x≥12时，原不等式化为 2x－1＜x＋1，∴x＜2. 因此12≤x＜2. 综合①②③知，原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．
[探究共研型] 含参数的不等式 探究 1 函数 f(x)＝|x－a|＋|x－b|的最小值是什么？当|a－b|＞c 时，不等式|x －a|＋|x－b|＞c 的解集是什么？

三、例题讲解
例1、(1)不等式|x－1|＜2的解集是_____.
【解析】由|x－1|＜2得－2＜x－1＜2，解得－1＜x＜3.
答案：(－1,3)
(2)不等式|4－3x|≥2的解集是_____. 【解析】|4－3x|≥2⇔|3x－4|≥2⇔3x－4≤－2 或3x－4≥2，解得 x 或x≥2. 答案：
3 x 4 ， 或 1 x 0 .
原不等式的解集是 { x | 1 x 0 ， 或 3 x 4 }.
0 4
-1
3
三、例题讲解
例3、解不等式|2x－1|<2－3x.
解：原不等式等价为 3x－2<2x－1<2－3x，
2x－1<2－3x， 5x<3， 即 得 2x－1>3x－2， x<1，
2 3
2 ( , ) [2 , ) 3
三、例题讲解
例2、解不等式 3<|3-2x|≤5 .
3 |2 x 3 | 5 解法 1 ： 3 | 3 2 x | 5
| 2x 3|3 2 x 3 3 ， 或 2 x 3 3 | 2x 3|5 5 2 x 3 5
”；此后十年间，航空事业获得较快发展。
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政
(1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设
邮传部 邮传正式脱离海13年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加 万国邮联大会 。
2．电讯 (1)开端：1877年，福建巡抚在 办电报的开端。 (2)特点：进程曲折，发展缓慢，直到20世纪30年代情况才发生变 化。 3．交通通讯变化的影响