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静定平面刚架

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第三章静定平面刚架讲解

第三章静定平面刚架讲解

A C
x
L
B 斜梁的反力与相应简支 梁的反力相同。
（2）内力 求斜梁的任意截面C的内力，取隔离体AC：
a
相应简支梁C点的内力为：
FP1 A
FYA
x
MC FNC C
FQC
MC0
=
FY
0 A
x
FP1 (x
a)
FQ0C = FY A FP1 FN0C = 0
Fp1 M0
C
斜梁C点的内力为：
MC = FYA x FP1 (x a) = MC0
F0 YA
F0 QC
FQC = (FYA FP1)Cos = FQ0CCos
FNC = (FYA FP1)Sin = FQ0CSin
结论：斜梁任意点的弯矩与水平梁相应点相同， 剪力和轴力等于水平梁相应点的剪力在沿斜梁 切口及轴线上的投影。
例：求图示斜梁的内力图。
q
A
L
解：a、求反力
B
XA =0
FNDC=8k0N
A
MDC=24kN.m（下拉）
FQDB=8kN D FNDB=6kN
MDB=16kN.m（右拉）
8kN
B
6kN C 6kN
2m
8kN
B24kN.m
6kN
4m
6kN

－6kN 8kN
∑Fx = 8－8 = 0 ∑Fy = －6－（－6） = 0
16kN.m 6kN
∑M = 24－8 － 16 = 0
Fx = 0 : FNCE = 0 .45 kN
校核 Fy= (3.13+0.45)sin +(1.793.58)cos
= 3.58 1.79×2 = 0

静--定-平-面-刚--架PPT课件

静--定-平-面-刚--架PPT课件
FyA 60kN FyB 60kN
Fx 0 FxA 120kN
五、静定刚架的M图正误判别
① M图与荷载情况是否相符。 ② M图与结点性质、约束情况是否相符。 ③作用在结点上的各杆端弯矩及结点集中力偶
是否满足平衡条件。
×P
D
×B
C
×q
A
E
（a）
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
×C
× A （c）
B×
A
B
M
l ql 2 / 2 ql
l ql
ql
3ql 2 / 2
ql 2
A FQAB
B FQBA
FQBA 0, FQAB ql
FQAB ql
FQBA 0
FQ ql
ql
ql
§3-2 静定平面刚架
四、刚架内力图绘制
3.由做出的剪力图作轴力图 做法:逐个杆作轴力图,利用结点的平衡条件,由已 知的杆端剪力求杆端轴力,再由杆端轴力画轴力图.
注意:轴力图画在杆件哪一侧均可,必须注明符号 和控制点竖标.
四、刚架内力图绘制
例：计算图示刚架，绘内力图 (1) 求水平支座反力； （2）用叠加法做弯矩图 （3）由弯矩图做剪力图 （4）利用结点平衡做轴力图
练习：做出的剪力图作轴力图
Fpa / 2 Fp a / 2
Fp a Fp
Fp / 2
Fp
A
静 定平面刚 架
§3-2 静定平面刚架
一、刚架分类及特点
1.刚架的分类
悬臂刚架
单体结构
静
简支刚架
定
刚
三铰刚架
架
复合刚架
三铰结构
刚架--具有刚结点的由直杆组成的结构。
主从结构

结构力学§3-3 静定平面刚架

结构力学§3-3 静定平面刚架

6m
20kN
2m
[例3] 作“三铰式刚架”的内力 图 解：1）求竖向支反力
20kN/m C
3）作弯矩图
20kN/m 40 40
4）求作剪力图
取斜杆DC段为隔离体：
20kN/m
120
120
20kN
120 D
C FQCD
80kN
弯矩图 kN∙m
80kN
20kN
FQDC
M
M
C
0
0
FQDC
FQCD
b.分段叠加法求作M图(受拉侧)。
3）求作FQ图: 4）求作FN图: 5）校核 a.核M 取任意结点有∑M=0 取任意部分有∑X=0、 ∑Y=0 b.核FQ 、 FN 以截面的一边为分离体求FQ 、 FN， 图可画在任一侧，必须标＋、－。
由于结构是对称的，因此：
D
α
E
20 8 FYA FYB 80kN () 2
120 20 4 2 62.6kN 16 4
E
62.6
＋
M
FQCE
0
- 20
20
20kN
20kN
120 20 4 2 8.9kN 16 4
80kN
剪力图 kN
80kN
5）求作轴力图 取D结点为隔离体：
2 4
FNDC
D FQDA
20kN

α
FQDC
2）求水平支反力
20kN
A 8m
B
80kN
80kN
竖向荷载会引起水平反力是“三铰式刚架”的重要特点! 必须取C铰左(或右)边为隔离体才能求出。 取AC部分为隔离体：
FXB FXA 20kN ()

§3-3 静定平面刚架

§3-3 静定平面刚架
qa ∑ M A = 0，FyB = (↑) 2 qa ∑ Fy = 0，FyA = − (↓) 2
qa
q
A
qa 2
qa 2
Step2：求控制截面的内力。设弯矩内侧受拉为正。
FNAC
M AC
M AC = 0 FQAC = qa FNAC qa = 2
M CB
FNCB
C
B qa
FQCB
2
qa
F A QAC
FNBA
M BA
M BC = −6.23KN .m FQBA M = −6.23KN .m BA FQBC = 3.86 KN FNBC = −2.74 KN FQBA = −1.348 KN FNBA = −4.5 KN
1.384 KN 4.5 KN
A
1KN / m
FNCB
FQCB
M CB
C B A 1.384 KN 4.5 KN
§3-3 静定平面刚架
平面刚架：由直杆组成的具有刚结点的结构，且各杆轴线和外力作用 线都处于同一平面内。
一、刚架的特征
变形特征：刚结点处，各杆端不能产生 变形特征 相对移动和转动，变形前后各杆所夹角 度不变。
受力特征：刚结点能够承 受力特征 受和传递弯矩 使 结构中内力分布相对比较 均匀、合理，减小弯矩的 峰值，节省材料
3、组合刚架：先进行几何组成分析，分清附属部分和基本部分，先计 算附属部分的支座反力，再计算基本部分的支座反力
例1：三铰刚架支座反力的求解
思路：尽量每列一个方程就能求解一个未知力 FAy=30KN(↑),FBy=10KN(↑) FBx=6.67KN(←) ,FAx=6.67KN(→)
例2：组合刚架支座反力的求解

结构力学 第三章 静定梁和静定平面钢架

结构力学 第三章 静定梁和静定平面钢架

２、截面法 若要求某一横截面上的内力，假想用一平面沿杆轴垂直方向将该 截面截开，使结构成两部分；在截开后暴露的截面上用力（内力）代 替原相互的约束。
对于截开后结构的两部分上，截面上的内力已成为外力，因此，
由任一部分的静力平衡条件，均可列出含有截面内力的静力平衡方程。 解该方程即将内力求出。
３、截面内力 截开一根梁式杆件的截面上有三个内力（分量），即：轴力ＦN 、 剪力ＦQ和弯矩Μ 。
dFN/dx=-qx
dFQ/dx=-qy dM/dx=Q
d2M/dx2=-qy
增量关系： DFN=-FPx
DFQ=-FPy
DM=m
１）微分关系及几何意义： dFN/dx=-qx dFQ/dx=-qy dM/dx=Q d2M/dx2=-qy （１）在无荷载区段，ＦQ图为水平直线；
当ＦQ≠０时，Μ图为斜直线;
右右为正。
ＦQ＝截面一侧所有外力在杆轴垂直方向上投影的代数和。左上为正， 右下为正。
Μ ＝截面一侧所有外力对截面形心力矩代数和。弯矩的竖标画在杆
件受拉一侧。
例3-1-1 求图（a）所示简支梁在图示荷载下截面的内力。
解：1）支座反力 ∑ΜA=0 FBy×4﹣10×4×2﹣100× (4/5)×2=0 Fby=60kN (↑) ∑ΜB=0 FAy=60kN (↑) ∑Fx= 0 FAx+100×(3/5)=0 FAx=－60kN (← ) 由 ∑Ｆy= 0 校核，满 足。
(下侧受拉)
区段叠加法求Ｅ、Ｄ截面弯矩； ΜE＝20×42/8＋120/2＝100kNm ΜＤ＝40×4/4＋120/2＝100kNm
(下侧受拉) (下侧受拉)
内力应考虑
说明：集中力或集中力偶作用点，注意对有突变的 分两侧截面分别计算。

3.3 静定平面刚架

3.3 静定平面刚架




FQDC
51.08 9 51.
3 0.4 10. 22
由∑MD = 0，得
FQ CD 68.58 20 4 2 2 4.447 20.43 kN
2



11.43
11.43
V 图(kN)
F NCD
4 20.
3
(4)求作N 图
.09 1 5 F NDC a
11.43kN
注意：斜杆的弯矩和剪力求法
F
10. 22
三铰刚架小结：
支 反 力： 一般先要求出各支杆的支反力 （中间铰处的力矩为零 作为附加条件） 解题顺序：从外围向中间。
解题方法：悬臂梁法，某段杆的一端内力(或荷载)已知时； 简支梁法，某段杆的两端弯矩均已知时。
【例3-14】试绘出图示静定结构在荷载作用下的弯矩图轮廓。
m 4.47
FQCD
20kN/m
D
4/c
os a
a
C
=4.
(40)
474
m 2m
68.58
C D E
45.72
E
4m
B A
2m 4m 4m
17.14kN
11.43kN
A
B
11.43kN
62.86kN
cosa = 0.894 sina = 0.447
FQCD
M图 (kN· m) 09
.09F N 1 5 F NDC
于是有 FAx
ql 16
(2)求作M、FQ 、 FN图
q
D E C ql2/16 (ql2/32) D l/4 C E ql2/16
ql FAx 16
FAy=3ql/8 3ql/8

静定平面刚架

悬臂刚架
静
定
A
D
刚
简支刚架
架
B
C
三铰刚架
D
E
刚架--具有刚结点的由 直杆组成的结构。
有基、附关系的刚架
附属部分
基本部分
刚结点处的 变形特点
保持角度不变
超静定刚架
一个多余约束
三个多余约束
静定刚架的内力图绘制方法：
一般先求反力，然后求控 制弯矩，用区段叠加法逐杆 绘制，原则上与静定梁相同。
例一、试作图示刚架的内力图
附属 部分
基本 部分
弯矩图如何?
少求或不求反力绘制弯矩图
根
1.弯矩图的形状特征（微分关系） 2.刚结点力矩平衡
3.外力与杆轴关系(平行,垂直,重合)
4.特殊部分(悬臂部分,简支部分)
据 5.区段叠加法作弯矩图
例五、不经计算画图示结构弯矩图
FP
40
80ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D
FNDE FNED
E
30
30
FNDC
FNEB
FQ
40 kN
FN 30 kN
80 kN
例三、试作图示三铰刚架的内力图
整体对A、B
取矩，部分
20
对C取矩。 20
FBx
FBx
80 FAy
80 FBy
FN FQ
关键是注意： 取斜杆对杆端取矩求剪力
这样可不解联立方程
例四、试作图示刚架的弯矩图
求反力
(单位：kN . m)
48
144
192
126
12
48 kN
22 kN
42 kN
例一、试作图示刚架的内力图 FQ (单位：kN . m)

第三章3静定结构受力分析(平面刚架)


B
YB
XB
M
A
0,
M
A
P
l 2
YB
l
0,
M
A
1 2
Pl(顺时针转)
例3: 求图示刚架的反力和约束力 P
B
l
XB YB
P
C
E
XB
B
CE
YB
N CD
N EF
XA
A
l
D
F
l
l
YA
3)取BCE为隔离体
解:1)取BCE为隔离体
Fx 0, XB 0
2)取整体为隔离体
MC 0, P l YB l NEF l 0,
NEF 4P()
MA 0, P3l YB l 0,YB 3P()
Fy 0, NCD 6P()
Fx 0, X A 0
Fy 0,YA YB P 0,YA 2P()
3.复合刚架(主从结构)的支座反力(约束力)计算
例1: 求图示刚架的支座反力
方法:先算附属部分,后算基本部 分,计算顺序与几何组成顺序相
二次抛物线
凸向即q指向
出现尖点
尖点指向即P的指向
4.集中力偶作用处
无变化
发生突变
m
两直线平行
注备
Q=0区段M图 Q=0处，M 平行于轴线 达到极值
集中力作用截 集中力偶作用点
面剪力无定义
弯矩无定义
5、在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩等于零， 有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。
∑MC＝qa2/2+ qa2/2 －QACa=0 QAC=（qa2/2+ qa2/2 ）/a
=qa
∑MA＝0 Q CA=（qa2/2 － qa2/2 ）/a

3-2 静定平面刚架

↑↑↑↑↑↑↑ qa/2 A qa qa/2
a
3、求值： NCA=qa/2， QCA=qa－qa=0， MCA=qa2/2（里拉） NCB=0， QCB=－qa/2， MCB=qa2/2（下拉）
第3章 静定结构的受力分析
防 灾 科 技 学 院
q C qa2/2
qa2/2在刚结点上,各杆端弯矩和结点集中
qa2/2
Q图
qa
∑Y＝0 ∑M＝0
第3章 静定结构的受力分析
防 灾 科 技 学 院
作刚架Q、N图的另一种方法：首先作出M图；然后取杆件 为分离体，建立矩平衡方程，由杆端弯矩求杆端剪力；最后 取结点为分离体，利用投影平衡由杆端剪力求杆端轴力。 qa2/2 C qa2/2 B q C B QC QB 2/2 qa B C 2/2+ Q a=0 ∑MC＝qa BC 2/8 2/2 qa qa QBC=QCB=－qa/2
铰连线，对o点取矩可求出B点水平反力，由B支座开始 作弯矩图。 集中力偶处，弯矩图发生突变，突变前后两条线平行。 三铰刚架绘制弯矩图时，关键是求出一水平反力！！
第3章 静定结构的受力分析
l
防 灾 科 技 学 院
O
2 q qL /4
C
qL2/4
A
=3/4ql XA l l
B RB
整体对O点建立平 衡方程得 ∑MO=ql×1.5l－ 2lXA=0 得 XA=3ql/4
A
B
XB
a
2
a
YB
反力校核
M C = YA a X A a +
qa + X B a YB a 2 2 2×3 = 3×3 2×4.5 + + 2×4.5 9×3 = 0 2

3.3 静定平面刚架解析


悬臂梁法，某段杆的一端内力（或荷载）已知时； 简支梁法，某段杆的两端弯矩已知时。
【例3-10】试求作图3-25所示悬臂刚架的内力图。
q 2qa2 6qa
a
D F B E 3a
C
2q
A
4a
8qa
14qa2
2a 2a
10qa
4a
解：
(1) 求支反力 (2)求作M图 1) CD段
D
C
q
2qa
2
6qa
F B
10kN/m
D
2kN
F
20kN· m
C
MCD(求)
8kN· m
4kN
2m
24kN· m
① 杆AE：MAE = MEA = 0
FAy=17kN
16kN· m
② 杆EC：MEC = 0，MCE = 4×2 = 8kN· m (左侧受拉) ③ 杆BD：MBD = 0，MDB = 4×4 = 16 kN· m (右侧受拉) ④ 杆DF：MFD = 0，MDF = (2×2)+(×10×22)=24 kN· m(上 侧受拉)
2、方法：静定平面刚架内力图的基本作法是杆梁法，即把刚 架拆成若干个杆件，用截面法计算出各杆端内力，并根据杆端 内力分别绘出各杆的内力图，再拼合在一起成为刚架的内力图。 其内力计算方法原则上与静定梁相同。 3、通常步骤： 首先、由刚架的整体或局部平衡条件，求出支座反力或某些铰 结点处的约束力； 其次、用截面法逐杆计算各杆的杆端内力(控制截面的内力)； 然后、根据杆端内力按照静定梁方法分别作出各杆内力图；
E 3a
a
MDC=MCE=2qa2(左侧受拉)；
2q
A 8qa
4a
引直线相连。
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48kN·m 48kN m
C
144kN·m 144kN m 0
192kN·m 192kN m
（a）
24kN 0 22kN
C
24kN 22kN （b回 返）
例题 3—6 作图示刚架的内力图
返回
连接两个杆端的刚结点, 连接两个杆端的刚结点,若 刚架指定截面内力计算 结点上无外力偶作用, 结点上无外力偶作用,则两 与梁的指定截面内力计算方法相同. 与梁的指定截面内力计算方法相同.方向 个杆端的弯矩值相等, 个杆端的弯矩值相等, 相反. 相反. 求图示刚架1,2截面的弯矩 例: 求图示刚架 截面的弯矩
返回
（4）绘N图（略） （5）校核: 内力图作出后应进行校核。 M图: 通常检查刚结点处是否满足力矩的平衡条件。
例如取结点C为隔离体（图a），有： ∑MC=48－192+144=0 满足这一平衡条件。 Q(N)图： 可取刚架任何一部分为隔 离体，检查∑X=0 和 ∑Y=0 是否满足。 例如取结点C为隔离体（图b）， 有: ∑X=24－24=0 ∑Y=22－22=0 满足投影平衡条件。
练习: 练习 作图示结构弯矩图
Pl / 2 Pl / 2 l/2
P
P
P
l
l/2
l l
Pl / 2
l
2Pl
P
l/2 l/2
Pl
Pl
P
l l
l
练习: 练习 作图示结构弯矩图
P
l l
l
P
l
l
l
P
l
l
作业： 第48、49页 3-4、3-5、3-7
返回
MAB
返回
例3—4 作图示刚架的内力图
一、求支座 反力 二、绘制内 力图 1、弯矩图 2、剪力图 3、轴力图
返回
一、求支座反力 ∑MA =0 15×103 × 2 − FDy × 4 = 0 由 FDy = 7 .5 × 10 3 N = 7 .5 kN 得 FY = 0 得 FAy = 7.5×103 N = 7.5kN 由 ∑ 由 ∑ Fx = 0 得 FAx = 15 × 10 3 N = 15kN 由 ∑ M 二、绘制内力图
§3-3 静定刚架
1. 平面刚架的概念
刚架是由梁柱组成的含有刚结点的杆件结构
1 2 q ql 8
弯矩分布均匀 可利用空间大
刚架
2. 静定刚架型式
静定刚架的分类: 静定刚架的分类 三铰刚架 (三铰结构 三铰结构) 三铰结构
简支刚架 单体刚架 (联合结构 联合结构) 联合结构
悬臂刚架
绘制内力图如下： 绘制内力图如下：
返回
例3—5 作图示刚架的内力图 解：
（1）计算支反力 由∑X=0 可得： MCD= R HA=48kN←， B=42kN↑ HA=6×8=48kN← （左） 由∑M144 可得： VA=22kN↓ 48 A=0 MEB=MEC=42×3 ↑ R=126kN·m（下） （2）逐杆绘M图 126 B= 192 CD杆： DC=0 M MCB=42×6-20×3 由∑Y=0 可得： MCD=48kN·m（左） =192kN·m（下） （3）绘Q图
C
P
M1
M
1
2
l 2 l 2
M2
A
B
l 2 l 2
M
P/4 P/4
XA YA
解:
XB YB
M 2 = − Pl / 4 (右侧受拉 )
YA = − P / 2(↓) X B = P / 4(←) X A = − P / 4(←)
YB = P / 2(↑)
M 1 = − Pl / 4(上侧受拉 )
M 1 = M 2 (外侧受拉 )
RB↑ ←HA VA↓
CB杆：
MBE=0 CD杆： MEB=MEC QDC=0, QCD=24kN =126kN·m（下） CB杆： MCB=192kN·m（下） QBE=-42kN, QEC=-22kN AC杆: MAC=0 AC杆： MCA=144kN·m（右） QAC=48kN, QCA=24kN
刚架的内力： 刚架的内力是指各杆件中垂直于杆轴的横 截面上的弯矩、剪力和轴力。在计算静定刚 截面上的弯矩、剪力和轴力。 弯矩 架时， 架时，通常应由整体或某些部分的平衡条件 求出各支座反力和各铰接处的约束力， ，求出各支座反力和各铰接处的约束力，然 后逐杆绘制内力图。 后逐杆绘制内力图。
返回
前述有关梁的内力图的绘制方法， 前述有关梁的内力图的绘制方法， 对于刚架中的每一杆件同样适用。 对于刚架中的每一杆件同样适用。 刚架杆件中一般有轴力， 刚架杆件中一般有轴力，这是它们 与梁的主要区别。应该指出， 与梁的主要区别。应该指出，当荷 载与杆轴垂直时， 载与杆轴垂直时，此杆的轴力沿杆 轴无变化。 轴无变化。
复合刚架 (主从结构 主从结构) 主从结构
3.刚架的特点：具有刚结点。
刚架的梁与柱联结处在构造上为刚性联结， 刚架的梁与柱联结处在构造上为刚性联结， 即当刚架受力而变形时， 即当刚架受力而变形时，汇交于联结处的各杆端 之间的夹角始终保持不变。这种结点称为刚结点 之间的夹角始终保持不变。这种结点称为刚结点 具有刚结点是刚架的持点。 。具有刚结点是刚架的持点。
1、弯矩图：各控制截面弯矩 、弯矩图：
D
= 0
校核
M
AB
=0
右侧受拉 右侧受拉
返回
图d M BA = 30kN ⋅ m 图b M CB = 30 kN ⋅ m
图C M CD = 30 kN ⋅ m 下边受拉
M
DC
=0
由控制截面的弯矩值， 由控制截面的弯矩值，即可绘出弯矩图 。 校核： 校核：∑ M C = 0 30 ×103 − 30 ×103 = 0
2、剪力图： 、剪力图： 分别由图b、c、d所示隔离体，即可求得 所示隔离体， 分别由图 、 、 所示隔离体
计算无误
F QCB
= 0
FQCD = −7.5kN
FQBA = 15kN
即可绘出剪力图
3、轴力图： 、轴力图： 分别由图b、 、 所示隔离体 所示隔离体， 分别由图 、c、d所示隔离体，即可求得
FNCB = −7.5kN
F
CD
= 0
FNBA = 7.5kN
绘出轴力图
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为了校核所作剪力图和轴力图的正确性， 为了校核所作剪力图和轴力图的正确性， 可用任一截面截取出刚架的某一部分， 可用任一截面截取出刚架的某一部分，检 验其平衡条件 ∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 是否得到满足。 是否得到满足。 如右图
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（1）首先计算支反力,一般支反力只有三个,由平衡 方程求得。三铰刚架支反力有四个，须建立补充方程。 （2）按“分段、定点、连线”的方法，逐个杆绘制内 力图。
4. 计算刚架内力的一般步骤:
说明：
（a）M图画在杆件受拉的一侧。 （b） 、 的正负号规定同梁。 、 在杆的任意一侧，但必须注明正负号。 （c）汇交于一点的各杆端截 面的内力用两个下标表示，例如： MAB表示AB杆A端的弯矩。 图可画