静定刚架

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第三章静定平面刚架讲解

A C
x
L
B 斜梁的反力与相应简支梁的反力相同。
（2）内力求斜梁的任意截面C的内力，取隔离体AC：
a
相应简支梁C点的内力为：
FP1 A
FYA
x
MC FNC C
FQC
MC0
=
FY
0 A
x
FP1 (x
a)
FQ0C = FY A FP1 FN0C = 0
Fp1 M0
C
斜梁C点的内力为：
MC = FYA x FP1 (x a) = MC0
F0 YA
F0 QC
FQC = (FYA FP1)Cos = FQ0CCos
FNC = (FYA FP1)Sin = FQ0CSin
结论：斜梁任意点的弯矩与水平梁相应点相同，剪力和轴力等于水平梁相应点的剪力在沿斜梁切口及轴线上的投影。
例：求图示斜梁的内力图。
q
A
L
解：a、求反力
B
XA =0
FNDC=8k0N
A
MDC=24kN.m（下拉）
FQDB=8kN D FNDB=6kN
MDB=16kN.m（右拉）
8kN
B
6kN C 6kN
2m
8kN
B24kN.m
6kN
4m
6kN

－6kN 8kN
∑Fx = 8－8 = 0 ∑Fy = －6－（－6） = 0
16kN.m 6kN
∑M = 24－8 － 16 = 0
Fx = 0 : FNCE = 0 .45 kN
校核 Fy= (3.13+0.45)sin +(1.793.58)cos
= 3.58 1.79×2 = 0

第2章4 静定结构受力分析-刚架

20kN 20kN
20kN (g) 校核
解法一：基本方法这是悬臂式单体刚架，不需求支反力。（1）支反力这是悬臂式单体刚架，不需求支反力。）（2）求控制截面内力）
M BC = 40 kN ⋅ m(上侧受拉） FN BC = −20 kN FQ BC = 20 kN
FQ BA = −20 kN
（c）一个基本部分（a）仅一个基本部分基附附基
作用在附属部分的荷载能影响基本部分，载能影响基本部分，而作用在基本部分荷载对附属部分没有影响。附属部分没有影响多跨静定梁的求应从附属部分开始，解应从附属部分开始，即按照“ 即按照 “ 与结构几何组成次序相反” 组成次序相反 ” 的原则求解。则求解
M图图
段为隔离体，取BD 段为隔离体，列
∑MB = 0 FCy ×a + FP ×2a −2FPa = 0, 得FCy = 0 ∑Fy = 0 FBy + FCy + FP = 0, 得FBy =−FP ( ↓)
（3）绘制内力图）（4）校核）
FQ图 FP
例题2-14图图2-37 例题图
ql2/8 C l/4 D l/4 M2 （c） M2 B
图形纵坐标相加。图形纵坐标相加
ql2/16 M2
（d） M1 （f） M1
(ql2/16)
ql2/16 ql2/32
ql2/3 2 3 ql2/3 2 M2
（e）
3ql2/32 M2
在单一荷载作用的梁段上应用区段叠加法。上应用区段叠加法。
3m 3m
B
＝13.3kN FBy＝0
∑M ∑M
A
=0
=0
FBy = 0

静定平面刚架的内力分析- 内力图

建筑力学
静定平面刚架的内力分析 • 内力图
1.1 刚架结构的特征和基本类型
1. 刚架结构的特征
刚架是用刚结点将若干直杆联结而成的结构。当刚架的轴线和外力都在同一平面时，此种钢架称为平面刚架。由静力平衡条件可以求出全部约束反力和内力的平面刚架称为静定平面刚架。
刚架在构造方面具有杆件少、内部空间大、便于使用等特点；在受力方面，由于刚结点能承受和传递弯矩，从而使结构中弯矩的分布较均匀，峰值较小，节约材料。因此，刚架结构在工程中是最为常见的一种结构。
2. 静定平面刚架的基本类型静定平面刚架的基本类型有三种：悬臂刚架、简支刚架和三铰刚架，分别如图9-4 a 、b 、c 所示。
图9-4
1.2 静定平面刚架的内力计算及内力图绘制
静定平面刚架横截面上的内力一般有轴力 FN 、剪力 FQ 和弯矩 M 等三个内力，其内力的计算方法与静定梁基本相同。通常将刚架拆成单个杆件，求出各杆的杆端内力，然后利用杆端内力分别作出各杆件的内力图，再将各杆件的内力图组合在一起，即得刚架的内力图。
计算杆端内力时，杆端内力的表示方法是在内力符号后面加两个下角标。例如，对杆 AB 的杆端内力可表示为：MAB 表示杆 AB 在 A 端的弯矩，MBA 表示杆AB 在 B 端的弯矩；FQAB 表示杆 AB 在 A 端的剪力，FQBA 表示杆 AB 在 B 端的剪力。
在作刚架的内力图时，通常将弯矩图画在杆件弯曲时受拉的一侧，而不必标注正负号；在作剪力图和轴力图时，剪力和轴力可画在杆件的任一侧，但必须标明正负号。下面举例说明。
图9-6
② 求各杆的杆端弯矩，作 M 图。
杆CE :
M CE
22
4
1 2
8
42
24

静定平面刚架

悬臂刚架
静
定
A
D
刚
简支刚架
架
B
C
三铰刚架
D
E
刚架--具有刚结点的由直杆组成的结构。
有基、附关系的刚架
附属部分
基本部分
刚结点处的变形特点
保持角度不变
超静定刚架
一个多余约束
三个多余约束
静定刚架的内力图绘制方法：
一般先求反力，然后求控制弯矩，用区段叠加法逐杆绘制，原则上与静定梁相同。
例一、试作图示刚架的内力图
附属部分
基本部分
弯矩图如何?
少求或不求反力绘制弯矩图
根
1.弯矩图的形状特征（微分关系） 2.刚结点力矩平衡
3.外力与杆轴关系(平行,垂直,重合)
4.特殊部分(悬臂部分,简支部分)
据 5.区段叠加法作弯矩图
例五、不经计算画图示结构弯矩图
FP
40
80ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D
FNDE FNED
E
30
30
FNDC
FNEB
FQ
40 kN
FN 30 kN
80 kN
例三、试作图示三铰刚架的内力图
整体对A、B
取矩，部分
20
对C取矩。 20
FBx
FBx
80 FAy
80 FBy
FN FQ
关键是注意：取斜杆对杆端取矩求剪力
这样可不解联立方程
例四、试作图示刚架的弯矩图
求反力
(单位：kN . m)
48
144
192
126
12
48 kN
22 kN
42 kN
例一、试作图示刚架的内力图 FQ (单位：kN . m)

建筑力学课件8

成反比。
三铰拱的计算
2、内力的计算
计算图a所示三铰拱K截面的内力取隔离体如图b
M [ FAV x F1 ( x a1 )] FH y
相应简支梁K截面的弯矩为M 0 相应简支梁K截面的剪力为FS0 相应简支梁K截面的轴力为FN0 相应简支梁
M M 0 FH y
FS FS0 cos FH sin FN FS0 sin FH cos 压力为正
Mk1
FNK1 FQK1
4m
5.33kN 1.33kN
FNK1 1.33sin (5.33 q y1 ) cos 0.72kN
FQK 1 1.33cos (5.33 q y1 ) sin 1.95kN y12 M K 1 1.33x1 5.33y1 q 3.80kN m 2
练习: 作图示结构弯矩图
Pl / 2 Pl / 2 l/2
P
P
P
l
l/2
l l
Pl / 2
l
2 Pl
P
l/2 l/2
Pl
Pl
P
l l
l
练习: 作图示结构弯矩图
P
l l l l
P
l
l
P
l
l
拱的内力分析
一般指杆的轴线为曲线形状，并且在竖向荷载作用下会产生水平支座反力的结构。
重要特点：竖向荷载产生水平推力（与梁相比）优点： M减小，FN为主 ——便于使用抗压材料：砖、石、混凝土缺点：水平反力要求 ——地基、支承结构、（墙、柱、墩等）更坚固。 ——可称拱式结构或推力结构
刚架的内力：刚架的内力是指各杆件中垂直于杆轴的横截面上的弯矩、剪力和轴力。在计算静定刚架时，通常应由整体或某些部分的平衡条件，求出各支座反力和各铰接处的约束力，然后逐杆绘制内力图。

刚架结构简介

一、胶合木刚架利用较薄的板材拼接而成，不受原木尺寸及
缺陷的限制，具有较好的防腐防燃性能，构造简单，造型美观，便于运输。二、钢刚架结构实腹式：跨度不大，常用两铰式。格构式：使用范围大，刚度大，耗钢省。
15
三、钢筋混凝土刚架适用于跨度不大于18米，高度不大于10米的
无吊车或吊车荷载不大于100KN的建筑。截面形式一般矩形工字型。四、预应力混凝土刚架为提高结构刚度，减少构件截面，可采用预应力混凝土刚架。跨度可达50米。
满足：∑X＝0，∑Y＝0，∑M＝0
4.5 三铰刚架及多层多跨静定刚架的内力图
25
三铰刚架及多层多跨静定刚架内力图的绘制步骤仍然是：计算支座反力；计算杆端截面的内力；绘制内力图。应注意的是：计算支座反力时，对三铰刚架要利用中间铰M＝0的条件；对多层多跨静定刚架，一般应按照与几何组成相反的顺序。
M
A

0,
P
l 2
YB
l

0,
YB

P 2

MB

0,
P
l 2
YA
l

0,
YA
P 2

右半边平衡
C P
XA
A
YA
B XB YB
l
P
MC 0, X B l YB 2 0, X B 4
整体平衡
X 0, P X A X B 0,
3 静定平面刚架的几何组成及特点
1
一、刚架刚架是由若干直杆，部分或全部用刚结点连接而成的结构。
二、刚结点的特点 1.变形：刚结点处的各杆端不能发生相对移动和相对转动，因而受力变形后，各杆杆断转动了同一角度，即各杆之间的夹角保持不变。 2.受力：刚结点可承受和传递弯矩

静定梁和刚架内力分析

(0＜x＜l ) (0≤x＜l)
M
(-)
(c)
x
2.作剪力图和弯矩图：
由剪力方程可知，当 0 <x <l，时（即 AB 段上），剪力为常数，因此剪力图为一条水平的直线；由弯矩方程可知，AB 梁段上沿着轴线方向弯矩呈线性变化，因此，弯矩图为一条斜直线，只需求出两个端截面上
F A FQ x m m l
在列平衡方程求解内力时，需事先确定截面内力的方向，而此时截面内力为未知力，因此，一般假定截面内力沿其正向作用，则计算得到的正负号就是该截面内力的正负号。另外，在利用截面法求解前，通常先确定支座反力，因支座反力并无正负规定，在求支反力前可任意假设正方向。
若结果为正，则表示支反力实际方向与假设方向相同；
上所有外力对该截面形心的力矩的代数和。
其中外力对横截面形心之矩正负号选取规律为：（1）力——不论横截面左侧还是右侧，只要向上就取正，
反之取负；
（2）力偶——横截面左侧顺时针或右侧逆时针取正，反之取负。利用上述结论，可以不画分离体的受力图、不列平衡方程，直接得出横截面的剪力和弯矩。这种方法称为直接法。直接法将在以后求指定截面内力中被广泛使用。
2
求梁指定截面上的内力的方法：剪力：梁任一横截面上的剪力在数值上等于该截面一侧梁段上所有外力在平行于截面方向投影的代数和。其中外力正负号选取规律为：横截面左侧梁段上向上的外力取正，横截面右侧梁段上
向下的外力取正；反之取负。
简记为左上右下取正，反之取负。
弯矩：梁任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧梁段
若外力或外力偶矩使所考虑的梁段产生向下凸的变形(即上部受压，下部受拉)时，等式右方取正号，反之，取负号。此规律可简化记为“下凸弯矩正”或“左顺，右逆弯矩正” ，相反为负。

3-2_2静定梁和静定平面刚架new

3kN
0
9kN FNDC FyD sin 3kN 3 1.8kN 5 Ft 0, FNCD FyD sin 2kN m4msin 0 FNCD 3kN FQCD 4kN MBE 4kNm(上拉) FQBE 4kN Fn 0, FQCD FyD cos 2kN m4mcos 0 F 0
3-2-3 静定刚架
16kN 47kN 73kN
M CE 12kN m(左拉) FQCE 6kN FNCE 0
M CA 30kN m(左拉) M CD 18kN m(上拉) M DC 96kN m(上拉) FQCD 47kN FQDC 73kN FQCA 10kN FNCD 16kN FNDC 16kN FNCA 47kN
联立求解, 得: FxC 29kN, FyC 4.75kN 由此可求得各支座反力：
FyA 0.25kN() FyB 4.75kN() FyD 29.0kN()
对复杂刚架，例如：
X
FP X
X X
可先假设C支座的未知反力为X, 在根据局部或整体的平衡条件, 将各支座反力和铰联结中的相关约束力用X来表示。由整体∑Fy=0, 得A支座的反力为: FP−X。
3. 在竖向荷载作用下:多跨静定梁中无轴力,附属梁向基本梁只传递竖向分力.
静定平面刚架
• 刚架和桁架都是由直杆组成的结构。二者的区别是：桁架中的结点全部都是铰结点，刚架中的结点全部或部分是刚结点。
一. 刚架的受力特点
梁
1 2 ql l 8
桁架
1 2 ql 8
刚架
弯矩分布均匀可利用空间大
二. 刚架的支座反力计算
集中力偶作用点
dM ( x ) FQ ( x) dx

《结构力学》_龙驭球_第3章_静定结构的受力分析(2)

一、求支座反力
40 kN
在支座反力的计算过程中，应尽可能建立独立方程。
B
D
C
20 kN/m
4m
MA 0 FY 0
FDY 4 40 2 (20 4) 2 0 FDY 60kN () FAY 40 60 0 FAY 20kN ()
FX 0 FAX 80kN ()
二、绘制内力图
⑴ 分段：根据荷载不连续点、结点；
解，本题剪力很容易用投影方程求得。
4kN/m
1kN
C
MDE D
E
8
14kN
4m
1kN B 4m
2kN
28 24
4
4D
8
E
F
A
B
M 图（kN·m）
14
D
E
2
2
16
1
F
A
B
FQ 图（kN）
③ 作FN 图各杆轴力可以用投影方程求
解。也可根据剪力图，取各结点为隔离体，用投影方程求轴力。
④ 校核
16
14
40
载和B端外力偶作用的简支梁(图C)。
画M图时，将 B 端弯矩竖标画在受拉 80 A
侧，连以虚直线，再叠加上横向荷载产生
20
的简支梁的弯矩图，如图(d)示。
(b)
A
A
(c)
(d)
B 160
D
160
120
20 60
120
20
A M图 (kN·m）
80 F Q 图（kN)
F N 图（kN)
练习3-3.1：试计算图示简支刚架的支座反力，并绘制Ｍ、F Q 和 F N 图。
Fx 0, FBx 2 11kN()

结构力学-静定梁与静定刚架

A BC
D
130 210
E
F
140
340
280 M图（kN·m）
130 D
120
40
A B C 30
E
F
FS 图（kN）
190
26
小结： 1）弯矩叠加是指竖标以基线或杆轴为准叠加，而非图形的简单拼合； 2）应熟悉简支梁在常见荷载下的弯矩图； 3）先画M 图后画FS图，注意荷载与内力之间的微分关系。
B (qlcosθ)/2
B (qlcosθ)/2
32
3) 作内力图。
(qlcosθ)/2 (qlsinθ)/2
ql2/8 M图 FQ 图
FN 图
(qlcosθ)/2 (qlsinθ)/2
33
例3-1-3 作图示斜梁的内力图。
x FxA A θ
FyA
q
l /cosθ
C qlcosθ
l
ql θ qlsinθ
1.荷载与内力之间的微分关系
qy
M FN
FS
o qx dx
M+dM x
FN+dFN
FS dFS
y
Fy 0, F SdS F qyd xF S0ddFxS q y .
MO 0, M M dM F Sd 2 xF SdF Sd 2 x0,
dM dxFS,
3）定点：求控制截面在全部荷载作用下的 M 值，将各控制面的 M 值按比例画在图上，在各控制截面间连以直线——基线。
4）连线叠加：对于各控制截面之间的直杆段，在基线上叠加该杆段作为简支梁时由杆间荷载产生的 M图。
18
例3-1-1 作图示静定单跨梁的M图和FS图。
8kN

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24 E 28 4
24 28
C8
8
4
D 4E 8 H
B6
F
A
G
K
M 图（kN·m）
(3) 作Q 图
杆端剪力可以用投影方程或力矩方程求解，本题剪力很容易用投影方程求得。下面以EH杆为例说明用力矩方程求剪力的方法。
取右图示EH杆为隔离体：
MH 0
QEH (28 4 4 2 4) / 4 56 / 4 14kN
FyB
1 8
ql ()
由CEB部分平衡：
MC 0
FxB
2 l
(1 8
ql
l) 2
1 8
ql()
由整体平衡：
Fx 0
FxA
3 8
ql()
C
E
l/2
B
l/2
FxB
FyB ql 8
(2) 作M图 AD杆：
MDA＝ql2/16 (右拉) M中＝ql2/16 (右拉)
D ql2/16 C
ql2/16 E
ME 0
QHE (28 4 4 2 4) / 4 (8) / 4 2kN
28kN·m 4kN/m 4kN·m
E
H
QEH
QHE
4m
C
1 B
3
A
14 DE
16 F 2 G Q图（kN）
H 2
1
K
(4) 作N图
各杆轴力可以用投影方程求解。也根据剪力图，取各结点为隔离体，用投影方程求轴力。
0
例4-1 作图示平面刚架内力图。 4 kN/m
C
D
E
H
2kN B
2kN F
2m 2m
A FxA=3kN
2m
G
2m
4m
FyG=30kN
K FxK=1kN FyK=2kN
解：
2m 2m
ACD为附属部分，其余为基本部分。
(1）支座反力考虑附属部分ACD：
4 kN/m
C
D
8kN 1kN
MD 0
2kN
1
q 3ql/8
ql2/16
A
M图
ql/8
ql/8 B ql/8
(3) 作Q、N图
很容易作出剪力图和轴力图如下图示。
ql/8 ql/8
ql/8 ql/8
ql/8
ql/8
3ql/8
Q图
N图
4.4 三铰钢架及多层多跨静定刚架的内力图
例4-3 作图示三铰刚架内力图。 1kN/m
C
D
E
4.5m 2m
FxA 1.385kN
A
FyA
6m
4.5kN
B
FxB
1.385kN
6m
FyB
1. 5kN
解： (1) 支座反力考虑整体平衡:
MB 0
FyA (1 6 9) /12
4.5kN ()
4.5m 2m
1kN/m C E
D
FxA A FyA 6m
B
6m
FxB FyB
Y 0 FyB 6 4.5 1.5kN()
由BEC部分平衡：
ME 0
1kN
MEH
14kN
4m
MEH 1 4 4 4 2 2 4
36 8 28kN.m(上拉)
4m
H
K 1kN 2kN
取右图示DE部分为隔离体：
ME 0
8kN
M ED 8 2 4 21
16 8 24kN.m(上拉)
D
各柱上端弯矩为：
4kN/m
MED 2m
ห้องสมุดไป่ตู้
E 16kN
MCA 8kN.m(右拉) M EF 4kN.m(左拉) M HK 4kN.m(右拉)
二、静定平面刚架分类
悬臂刚架——梁为悬臂杆，如火车站之月台结构；
简支刚架——用三根链杆或一个铰和一根链杆与基础相连组成的刚架；
三铰刚架——三个刚片(包括基础)用三个铰两两相连组成的刚架。在竖向荷载作用下，三铰刚架的支座存在水平推力。
悬臂刚架
简支刚架
三铰刚架
4.3 静定刚架内力的计算和内力图的绘制
B 1.385kN
1. 5kN
(3) 作Q图
斜杆用力矩方程求剪力，竖杆、水平杆用
投影方程求剪力。
对于DC杆：MC 0
1kN/m
QDC
1 (1 63 6.23) 40
24.23 3.83kN 40
6.23
C
D
40
QCD
QDC 6m
MD 0
QCD
1 (1 6 3 6.23) 40
11.77 1.86kN 40
C
1
1 0
16 14
E
1
-1
2 -30
2 H
-1
1 -2
1
C
DE
H 1
30
2
A
G
K
N图（kN）
例4-2 作图示三铰刚架内力图。
D
C
E
l/2
q
3ql/8 A l/2
解： ql/8 (1) 支座反力
整体平衡： M B 0
Y 0
B
l/2
ql/8
ql/8
FyA
1( 1 l2
q
l2 4
)
1 8
ql ()
B
FxA 4 (2 2 4 2 1)
3kN () 考虑刚架整体平衡：
A FxA=3kN 2m
X 0 MK 0 Y 0
FxK 1kN () FyG (4 2 48 4) / 4 30kN() FyK 32 30 2kN ()
(2) 作M图
4kN/m 取右图示EHK部分为隔离体： E
对于EC杆：
ME 0
QCE
6.23 40
0.985kN
QEC 0.985kN
C 40 6E m
竖杆AD、BE的剪力用投影方程很容易求得。
剪力图见下页图。
1.86 C
D
1.39 3.83
A
0.99
E 1.39
B
Q 图 (kN)
(4) 作N图
竖杆、水平杆及斜杆均用投影方程求轴力。
结点D：
NDC
Dα
1.385
4.5
s
10 1
3
FS 0
NDC (4.5sin 1.385 cos )
(4.5 1 1.385 3 )
10
10
8.655 10 2.737kN (压)
结点E：
FS 0
s
NEC
10 1
3 NEC (1.5sin 1.385cos )
(1.5 1 1.385 3 )
4 静定刚架
4.1 静定平面刚架的几何组成及特点
一、基本概念
平面刚架由梁和柱组成，梁和柱通常用刚结点相连接。
刚结点有如下特征： •几何特征——一个简单刚结点相当于三个约束，能减少体系三个自由度。
•变形特征——在刚结点处，各杆端截面有相同的线位移及角位移。
•静力特征——刚结点能传递弯矩、剪力和轴力。
MC 0
FxB (1.5 6) / 6.5 1.385kN() FxA 1.385kN()
(2) 作M 图斜杆DC中点弯矩为：
M中 162 / 8 6.23/ 2 1.385kN.m(下拉)
弯矩图见下图。
1kN/m
6.23 D
C 1.385
6.23 E
1.385kN
A
4.5kN
M 图(kN.m)
10
10
5.655 10 1.788kN (压)
E
1.385
1.5
NCE 1.788kN (压)
右下图中，将结点C处的水平力和竖向力在杆
DC的轴向投影得：
NCD (1.5sin 1.385cos )
(1.5
1 1.385 10
3) 10
D
1kN/m
NCD s
C 1.385