学案34一元二次不等式及其解法

高三数学一元二次不等式及其解法教案范例一、教学目标1.理解一元二次不等式的概念及其与一元二次方程的关系。

2.掌握一元二次不等式的解法及解集表示方法。

3.能够运用一元二次不等式解决实际问题。

二、教学重点与难点1.教学重点：一元二次不等式的解法及解集表示方法。

2.教学难点：一元二次不等式解法中的分类讨论。

三、教学过程1.导入新课（1）回顾一元二次方程的解法，引导学生思考如何将一元二次方程转化为一次方程来求解。

（2）引出一元二次不等式的概念，让学生初步了解一元二次不等式的解法。

2.知识讲解（1）讲解一元二次不等式的定义：形如ax^2+bx+c>0（a≠0）的不等式称为一元二次不等式。

（2）讲解一元二次不等式的解法：a.将一元二次不等式化为标准形式：ax^2+bx+c>0。

b.然后，求解对应的一元二次方程ax^2+bx+c=0的根。

c.根据根的情况，将实数轴分为三个区间，分别讨论每个区间内的不等式解。

d.将三个区间的解合并，得到一元二次不等式的解集。

（3）讲解一元二次不等式解集的表示方法：a.使用区间表示法，如（-∞，x1）∪（x2，+∞），其中x1、x2为方程ax^2+bx+c=0的根。

b.使用集合表示法，如{x|x<x1或x>x2}。

3.实例讲解（1）讲解例题1：解一元二次不等式x^24x+3>0。

a.将不等式化为标准形式：x^24x+3>0。

b.求解对应的一元二次方程x^24x+3=0，得到根x1=1，x2=3。

c.根据根的情况，将实数轴分为三个区间：（-∞，1）、（1，3）、（3，+∞）。

d.分别讨论每个区间内的不等式解，得到解集为（-∞，1）∪（3，+∞）。

（2）讲解例题2：解一元二次不等式2x^25x3<0。

a.将不等式化为标准形式：2x^25x3<0。

b.求解对应的一元二次方程2x^25x3=0，得到根x1=-1/2，x2=3。

c.根据根的情况，将实数轴分为三个区间：（-∞，-1/2）、（-1/2，3）、（3，+∞）。

学案4—一元二次不等式及其解法[课程标准]1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象理解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系．3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.[知识梳理]1．一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集(1)当a>0时，解集为．(2)当a<0时，解集为．2．三个“二次”间的关系(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔思考辨析判断正误(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为(x1，x2)，则必有a>0.()(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.()(3)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.()(4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．() [典例精讲]考点一一元二次不等式的解法(基础型)命题点1不含参的不等式【例1】求下列不等式的解集(1)08822>+-xx (2)03722<+-xx (3)04432>-+-yy(4)2x＋1x－5≥－1 (5) | x2－x－2|≤4命题点2含参不等式【例2】解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)【跟踪训练】(1)y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________________．（2）已知不等式ax2－bx－1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪－12<x<－13，则不等式x2－bx－a≥0的解集是________．考点二一元二次不等式恒成立问题(综合型)命题点1在R上的恒成立问题【例3】已知函数f (x)＝mx2－mx－1.若对于x∈R，f (x)<0恒成立，求实数m的取值范围．命题点2在给定区间上的恒成立问题【例4】已知函数f (x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f (x)<5－m恒成立，求实数m的取值范围．【若将“f (x)<5－m恒成立”改为“存在x，使 f (x)<5－m成立”，如何求m的取值范围？命题点3给定参数范围的恒成立问题【例5】若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，求实数x的取值范围．思维升华解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．课时作业41．关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是() A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(1,2) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)2．在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含1个整数，则a的取值范围是() A．(－3,5) B．(－2,4)C．[－1,3] D．[－2,4]3．“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的充要条件是( ) A ．m >14 B ．m <14C ．m <1D ．m >14．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3] D ．[－1,3]5．若存在实数x ∈[2,4]，使x 2－2x ＋5－m <0成立，则m 的取值范围为( ) A ．(13，＋∞) B ．(5，＋∞) C ．(4，＋∞)D ．(－∞，13) 6．(多选)下列四个解不等式，正确的有( ) A ．不等式2x 2－x －1>0的解集是{x |x >2或x <1}B ．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－23或x ≥12C ．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是3D ．关于x 的不等式x 2＋px －2<0的解集是(q,1)，则p ＋q 的值为－17．(多选)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)，则下列说法正确的是( ) A ．若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，则k ＝－25B ．若不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，x ≠1k ，则k ＝66 C ．若不等式的解集为R ，则k <－66D ．若不等式的解集为∅，则k ≥668．(多选)关于x 的不等式(ax －1)(x ＋2a －1)>0的解集中恰有3个整数，则a 的值可以为( ) A ．－12 B ．1 C ．－1 D ．29.．已知关于x 的不等式－x 2＋ax ＋b >0. (1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a ，b 的值； (2)若b ＝a ＋1，求此不等式的解集．学案4-------一元二次不等式及其解法【例2】.解 原不等式变为(ax －1)(x －1)<0，因为a >0，所以⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. 所以当a >1时，解得1a <x <1；当a ＝1时，解集为∅；当0<a <1时，解得1<x <1a .综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <1a ；当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a <x <1. 【跟踪训练】(1)答案 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞解析 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞. （2）答案 {x |x ≥3或x ≤2}解析 由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎨⎧－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝ba，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.故不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≥3或x ≤2.【例4】.解 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．方法一 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 解 由题意知f (x )<5－m 有解，即m <6x 2－x ＋1有解，则m <⎝⎛⎭⎫6x 2－x ＋1max ，又x ∈[1,3]，得m <6，即m 的取值范围为(－∞，6)．【例5】.解 设g (m )＝mx 2－mx －1＝(x 2－x )m －1，其图象是直线，当m ∈[1,2]时，图象为一条线段，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)<0，g (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1<0，2x 2－2x －1<0，故x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32.课时作业41.答案 C 解析 关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，∴a >0，且－ba ＝1，∴关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)<0可化为⎝⎛⎭⎫x ＋b a (x －2)<0，即(x －1)(x －2)<0， ∴不等式的解集为{x |1<x <2}．故选C.2.解析 因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0， 当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }，当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}，当a ＝1时，不等式的解集为∅，要使得解集中至多包含1个整数，则a ＝1或1<a ≤3或－1≤a <1， 所以实数a 的取值范围是a ∈[－1,3]，故选C. 3.解析 ∵不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立，∴Δ＝(－1)2－4m <0，解得m >14，又∵m >14，∴Δ＝1－4m <0，∴“m >14”是“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的充要条件．故选A.4.解析 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3，综上可得－4≤a ≤3.5.解析 m >x 2－2x ＋5，设f (x )＝x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4，x ∈[2,4]，当x ＝2时f (x )min ＝5，∃x ∈[2,4]使x 2－2x ＋5－m <0成立，即m >f (x )min ，∴m >5.故选B. 6.解析 对于A ，∵2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)，∴由2x 2－x －1>0得(2x ＋1)(x －1)>0，解得x >1或x <－12，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1或x <－12.故A 错误；对于B ，∵－6x 2－x ＋2≤0，∴6x 2＋x －2≥0， ∴(2x －1)(3x ＋2)≥0，∴x ≥12或x ≤－23.故B 正确；对于C ，由题意可知－7和－1为方程ax 2＋8ax＋21＝0的两个根．∴－7×(－1)＝21a ，∴a ＝3.故C 正确；对于D ，依题意q,1是方程x 2＋px －2＝0的两根，q ＋1＝－p ，即p ＋q ＝－1，故D 正确．7.解析 对于A ，∵不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，∴k <0，且－3与－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，∴(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25.故A 正确；对于B ，∵不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，x ≠1k ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2＝0，解得k ＝－66.故B 错误； 对于C ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2<0，解得k <－66.故C 正确；对于D ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝4－24k 2≤0，解得k ≥66.故D 正确．8答案 AC 解析 由题意知a <0，则排除B ，D ；对于A 项，当a ＝－12时，⎝⎛⎭⎫－12x －1(x －2)>0，即(x ＋2)(x －2)<0，解得－2<x <2，恰有3个整数，符合题意；对于C 项，当a ＝－1时，(－x －1)(x －3)>0，即(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，恰有3个整数，符合题意，故选AC.9.解 (1)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－4＝a ，2×(－4)＝－b ，解得a ＝－2，b ＝8.(2)当b ＝a ＋1时，－x 2＋ax ＋b >0⇔x 2－ax －(a ＋1)<0， 即[x －(a ＋1)](x ＋1)<0.当a ＋1＝－1，即a ＝－2时，原不等式的解集为∅； 当a ＋1<－1，即a <－2时，原不等式的解集为(a ＋1，－1)； 当a ＋1>－1，即a >－2时，原不等式的解集为(－1，a ＋1)．综上，当a <－2时，不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＝－2时，不等式的解集为∅；当a >－2时， 不等式的解集为(－1，a ＋1)。

一元二次不等式及其解法教案教学目标1.知识与技能:二次不等式与会解一元二次不等式及含参数的一元二次不等式。

2.过程与方法:通过学案让学生有目的复习，自主预习。

通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系，进而探究一元二次不等式和含参数不等式的解法;以函数为载体，突破一元二次不等式恒成立问题。

3.情感态度与价值观:培养探究合作的能力和推证能力及解决问题的能力。

2学情分析本节课内容的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性.一元二次不等式的解法是一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化，对已学习过的集合、函数等知识的巩固和运用具有重要作用，也与后面的线形规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关，许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法。

因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性，体现出很大的工具作用。

我班中等程度的学生占大多数，程度较高与程度较差的学生占少数。

学生数学基础差异不大，但进一步钻研的精神相差较大。

学生已经学习了一元一次不等式(组)的解法和二次函数的零点，会画一元二次函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，初步的数形结合知识可以使学生写出一元二次不等式的解集，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍一元二次不等式的解法，从认知规律上讲，应该是容易理解的。

在教学中加强师生互动，尽多的给学生动手的机会，让学生让学生观察、讨论，在实践中体验三者的联系，从而直观地归纳、总结、分析出三者的联系成为可能。

3重点难点1.重点:会解一元二次不等式及含参数不等式。

2.难点:一元二次不等式恒成立应用问题。

4教学过程4.1复习课教学活动活动1【活动】一元二次不等式及其解法引入：以高考考点及类型复习引入学生复习学案上的高考考点明确高考考点教学过程：一快速起跑——学案总结明确学习目标，总结学生学案的完成情况题。

二完善学案——自主学习总结1、一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。

数学：3.3《一元二次不等式的解法》教案（新人教B版必修5）3.3一元二次不等式及其解法教案教学目标：掌握一元二次不等式的解法教学重点：重点、难点：一元二次不等式的解法。

思维方法：归类、转化。

数形结合。

特别提示：解分式不等式时，注意先移项，使右边为０。

教学过程一、复习引入：（一）复习已学过的不等式：1.一元一次不等式ax+b0(1)若a0时,则其解集为{x|x-}.(2)若a0时,则其解集为{x|x-}.(3)若a=0时,b0,其解集为R.b≤0,其解集为.2. 不等式|x|a与|x|a(a0)的解集（1）|x|a(a0)的解集为:{x|-axa},几何表示为:（2）|x|a(a0)的解集为:{x|xa或x-a},几何表示为: （二）一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系一元二次不等式的解集：设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根R例题讲解：例1．解下列不等式1．2。

变式练习：1。

2。

例2．解不等式。

例3．解不等式。

例4．解不等式。

例5．求函数函数f(x)=的定义域。

知识精讲：① 一元一次不等式（略）② 一元二次不等式,与二次函数、二次不等式结合。

③ 高次不等式的解法：a）降次化作不等式组求解；f（x）·g（x）＞0f(x) ＞0或f(x)＜0g(x) ＞0g(x)＜0f(x) ＞0f(x)＜0f（x）·g（x）＜0g(x)＜0或g(x) ＞0b)数轴标根法求解.：④ 分式不等式的解法:记f(x),g(x)为x的整式函数,分式不等式与f(x)·g(x)0同解;与f(x)·g(x)0同解.一般形式的分式不等式可先化为上述形式.提高练习：解关于x的不等式解：原不等式可以化为：若即则或若即则若即则或。

课堂练习：第78页练习A、B课堂小结：1、解不等式基本思想是化归转化；2、解分式不等式时注意先化为标准式，使右边为0；1、含参数不等式的基本途径是分类讨论（1）要考虑参数的总体取值范围（2）用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏。

3.一元二次不等式学案(共4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--22014届高一第一学期数学学案3．一元二次不等式【教学目标】1．通过一元二次函数的图象得到一元二次不等式的解法．2．会解决与一元二次不等式有关的问题．【教学重点】一元二次不等式的解法及其步骤．【教学难点】根据一元二次函数的图象理解一元二次不等式的解法．【教学过程】一．知识概述1．考察一元二次函数342+-=x x y 的图象，回答：（1）当0=y 时，x 的值是 ；（2）当0>y 时，x 的取值范围是 ；（3）当0<y 时，x 的取值范围是 ．归纳：当0>y 时，得到的x 取值范围就是不等式0342>+-x x 的解， 当0<y 时，得到的x 取值范围就是不等式0342<+-x x 的解． 所以，我们可以利用二次函数的图象来解二次不等式．2．推广到一般情形：对于一元二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 和一元二次不等式02>++c bx ax （或0<），有下表所示关系：3二．应用举例例1．解下列不等式：（1）01562>--x x ； （2）015442≥+--x x ；（3）3252->-x x ； （4）05432<+-x x ．例3．（1）若关于x 不等式02<+-b ax x 的解集为{}21<<x x ，求实数b a ,的值；（2）已知关于x 的不等式02<++c bx ax 的解是⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<212x x x 或，求下列不等式的解：①02>+-c bx ax ； ②02<++a bx cx例4*．已知函数3)1(4)54(22+-+-+=x k x k k y 的图象都在x 轴的上方，求实数k 的取值范围．4三．小结与作业1．小结：（1）一元二次不等式与二次函数、一元二次方程等有密切的关系，根据解题需要常可互相转化．（2）解一元二次不等式02>++c bx ax （或0<）时，应将二次项系数a 化成正数，然后根据表格中的归纳熟练求解．2014届高一第一学期数学练习3．一元二次不等式 班级 姓名一．选择题1．不等式0322>-+x x 的解为 （ ）（A ）123<<-x （B ）31<<-x（C ）31<<x （D ）323<<-x 2．若关于x 的不等式)0(02≠<++a c bx ax 无解，那么 （ ）（A ）0<a 且042>-ac b （B ）0<a 且042≤-ac b（C ）0>a 且042≤-ac b （D ）0>a 且042>-ac b3．若关于x 的二次不等式02182<++mx mx 的解是17-<<-x ，则实数m 的值等于（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4二．填空题4．不等式x x 2312>-的解为______ _．5．若对任意实数x ，不等式03)1(22>++++k x k x 恒成立，则k 的取值范围是 ．5 6．若1>a ，则不等式0112<+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x a a x 的解为 7. 已知实数x 满足015442≤--x x ，化简31682--+-x x x =_ ___．三．解答题8．解下列不等式：（1）1832<-x x ； （2）0212≥--x x ； （3）0)13)(2(>+-x x ．9．（1）已知关于x 的不等式)0(0622≠<+-k k x kx ，若不等式的解为全体实数，求实数k 的取值范围；（2）当00900<<ϕ时，要使ϕsin 28622=++-x x x 成立，求实数x 的取值范围．10．某商店购进一批杯子，若按每个杯子15元的价格销售，每天能卖出30个；若售价每提高1元，日销售量将减少2个；若降价，日销售量将增加．为使这批杯子每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批杯子的销售价格？6。

一元二次不等式及其解法教案一元二次不等式及其解法教案【教学目标】1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

【教学重点】从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。

【教学难点】理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

【教学过程】一、课题导入1、在初中，我们解过一元一次不等式，如解不等式x – 1 > 0，现在请同学们先画出函数y = x – 1 的图象，并通过观察图象回答以下问题:1）x 为何值时， y = 0;2）x 为何值时， y > 0;3）x 为何值时， y < 0;所以，不等式的解集是﹛x|x<1或x>6﹜，从而解决了本节开始时提出的问题。

(3)探究一般的一元二次不等式的解法任意的一元二次不等式，总可以化为以下形式： )0(,02>>++a c bx ax 或)0(,02><++a c bx ax一般地，怎样确定一元二次不等式的解集呢？组织讨论：从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：(1)抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程c bx ax ++2=0的根的情况(2)抛物线=y c bx ax ++2的开口方向，也就是a 的符号总结讨论结果：（l ）抛物线 =y c bx ax ++2（a> 0）与 x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 c bx ax ++2=0的判别式ac b 42-=∆三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来确定.因此，要分三种情况讨论（2）a<0可以转化为a>00>∆ 0=∆ 0<∆二次函数c bx ax y ++=2 （0>a ）的图象0672>+-x x三、例题解析例1、解不等式02322>--x x 解：原不等式等价于0)2)(12(>-+x x方程02322=--x x 的解是2,2121=-=x x 所以，原不等式的解集是：}⎩⎨⎧>-<221|x x x 或 例2、解不等式2632≥+-x x 解：原不等式可变形为02632≤--x x 0>∆ ，方程02632=--x x 的解为33133121+=-=x x 或所以，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫-≤≤-331331|x x 例3、 求不等式01442>+-x x 的解集. 解：因为210144,0212===+-=∆x x x x 的解是方程. 所以，原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠21x x 通过例题让学生总结解一元二次不等式的步骤一看：看二次项系数是否为正，若为负化为正二算：算△及对应方程的根三写：由对应方程的根，结合不等号的方向，根据函数图象写出不等式的解集。

3.2 一元二次不等式及其解法材拓展1．一元一次不等式通过同解变形，一元一次不等式可化为：ax >b .若a >0，则其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >b a .若a <0，则其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <b a .若a ＝0，b <0，解集为R ；b ≥0，解集为∅. 2．三个“二次”的关系通过同解变形，一元二次不等式可化为：ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)． 不妨设方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1、x 2且x 1<x 2.从函数观点来看，一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集，就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在x 轴上方部分的点的横坐标x 的集合；ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集，就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在x 轴下方部分的点的横坐标x 的集合．从方程观点来看，一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值．3．简单的高次不等式的解法——数轴穿根法数轴穿根法来源于实数积的符号法则，例如要解不等式(x －1)(x －2)(x －3)>0.我们可以列表如下：x 的区间x <1 1<x <2 2<x <3 x >3 x －1 － ＋ ＋ ＋ x －2 － － ＋ ＋ x －3 － － － ＋(x －3)(x －2)·(x －1) － ＋ － ＋把表格的信息“浓缩”在数轴得：据此，可写出不等式(x －1)(x －2)(x －3)>0的解集是{x |1<x <2或x >3}． 一般地，利用数轴穿根法解一元高次不等式的步骤是：(1)化成形如p (x )＝(x －x 1)(x －x 2)…(x －x n )>0 (或<0)的标准形式； (2)将每个因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每个点画曲线； (3)奇次根依次穿过，偶次根穿而不过(即不要改变符号)；(4)根据曲线显现出的p (x )的符号变化规律，标出p (x )的正值区间和负值区间； (5)写出不等式的解集，并检验零点是否在解集内． 4．分式不等式的解法 (1)f (x )g (x )>0⇔f (x )·g (x )>0. (2)f (x )g (x )<0⇔f (x )·g (x )<0. (3)f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≥0g (x )≠0. (4)f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≤0g (x )≠0. 注意：解不等式时，一般情况下不要在两边约去相同的因式．例如：解不等式：2x ＋1x －3>2x ＋13x －2.解 原不等式⇔2x ＋1x －3－2x ＋13x －2>0⇔(2x ＋1)2(x －3)(3x －2)>0⇔⎝⎛⎭⎫x ＋122(x －3)⎝⎛⎭⎫x －23>0⇔x <－12或－12<x <23或x >3.∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，23∪(3，＋∞)．5．恒成立问题(1)f (x )≥a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )min ≥a ，x ∈D 恒成立； f (x )≤a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )max ≤a ，x ∈D 恒成立；(2)ax 2＋bx ＋c >0恒成立⇔⎩⎨⎧ a >0Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c >0ax 2＋bx ＋c <0恒成立⇔⎩⎨⎧ a <0Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c <0. 6．一元二次方程根的分布我们以ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)为例，借助开口方向向上的二次函数的图象给出根的分布的充要条件.根的分布 二次函数的图象 充要条件x 1<k <x 2f (k )<0x 1<x 2<k⎩⎨⎧ f (k )>0－b2a <k Δ>0k <x 1<x 2⎩⎨⎧f (k )>0－b 2a >k Δ>0k 1<x 1 <x 2<k 2⎩⎨⎧f (k 1)>0f (k 2)>0k 1<－b 2a <k 2Δ>0k 1<x 1<k 2 <x 2<k 3⎩⎪⎨⎪⎧f (k 1)>0f (k 2)<0f (k 3)>0法突破一、分式不等式的解法方法链接：解分式不等式通常是移项通分再求解，切忌随意去分母(仅在分母恒大于零时可以去分母)．例1 解不等式：x 2＋2x －23＋2x －x 2≥x .解 原不等式⇔x 2＋2x －23＋2x －x 2－x ≥0⇔x 3－x 2－x －23＋2x －x 2≥0⇔(x 3－2x 2)＋(x 2－x －2)3＋2x －x 2≥0⇔(x －2)x 2＋(x －2)(x ＋1)x 2－2x －3≤0⇔(x －2)(x 2＋x ＋1)(x －3)(x ＋1)≤0⇔x －2(x ＋1)(x －3)≤0. 由图可知，原不等式的解集为{x |x <－1或2≤x <3}．二、含参数不等式的解法方法链接：对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行分类讨论，即要产生一个划分参数的标准．例2 解不等式：(x －k )(x ＋3)x ＋2<x ＋1 (k ∈R )．解 原不等式⇔kx ＋3k ＋2x ＋2>0⇔(x ＋2)(kx ＋3k ＋2)>0当k ＝0时，原不等式解集为{x |x >－2}； 当k >0时，(kx ＋3k ＋2)(x ＋2)>0，变形为⎝⎛⎭⎫x ＋3k ＋2k (x ＋2)>0.∵3k ＋2k ＝3＋2k >3>2，∴－3k ＋2k<－2.∴x <－3k ＋2k 或x >－2.故解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－2或x <－3k ＋2k . 当k <0时，原不等式⇔(x ＋2)⎝⎛⎭⎫x ＋3k ＋2k <0由(－2)－⎝⎛⎭⎫－3k ＋2k ＝k ＋2k .∴当－2<k <0时，k ＋2k <0，－2<－3k ＋2k ，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－3k ＋2k ； 当k ＝－2时，－3k ＋2k＝－2，原不等式⇔(x ＋2)2<0不等式的解集为∅；当k <－2时，k ＋2k >0，－2>－3k ＋2k .不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3k ＋2k <x <－2.综上所述，当k ＝0时，不等式的解集为{x |x >－2}； 当k >0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－3k ＋2k 或x >－2；当－2<k <0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－3k ＋2k ；当k ＝－2时，不等式的解集为∅； 当k <－2时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3k ＋2k <x <－2.三、恒成立问题的解法方法链接：在含参数的恒成立不等式问题中，参数(“客”)和未知数(“主”)是相互牵制、相互依赖的关系，在这里是已知参数a (“客”)的取值范围，反过来求x (“主”)的取值范围，若能转换“主”与“客”两者在问题中的地位：视参数a 为“主”，未知数x 为“客”，则关于x 的一元二次不等式就立即转化为关于a 的一元一次不等式，运用反“客”为“主”的方法，使问题迎刃而解．例3 已知不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围； (2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围．分析 题中不等式含有两个字母x ，p ，由(1)的条件可知，应视p 为变量，x 为常量，再求x 的范围；由(2)的条件可知，应视x 为变量，p 为常量，再求p 的范围．解 (1)不等式化为：(x －1)p ＋x 2－2x ＋1>0， 令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，则f (p )的图象是一条直线．又因为|p |≤2，所以－2≤p ≤2，于是得：⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)>0，f (2)>0.即⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)·(－2)＋x 2－2x ＋1>0，(x －1)·2＋x 2－2x ＋1>0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x 2－1>0. ∴x >3或x <－1. 故x 的取值范围是x >3或x <－1.(2)不等式可化为(x －1)p >－x 2＋2x －1， ∵2≤x ≤4，∴x －1>0.∴p >－x 2＋2x －1x －1＝1－x .由于不等式当2≤x ≤4时恒成立，所以p >(1－x )max .而2≤x ≤4，所以(1－x )max ＝－1， 于是p >－1.故p 的取值范围是p >－1. 四、一元二次方程根的分布 方法链接：一元二次方程根的分布一般要借助一元二次函数的图象加以分析，准确找到限制根的分布的充要条件．常常从以下几个关键点去限制，①判别式，②对称轴，③根所在区间端点函数值的符号．例4 已知关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围．解 设f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，根据题意，画出示意图由图分析可得，m 满足不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2m ＋1<0f (－1)＝2>0f (1)＝4m ＋2<0f (2)＝6m ＋5>0解得：－56<m <－12.五、一元二次不等式的实际应用 方法链接：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，解出不等式后还应注意变量应具有的“实际含义”．例5 国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m 吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点．即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x 个百分点，收购量能增加2x 个百分点．试确定x 的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.分析对比项 调整前 调整后税率 8% (8－x )%收购量 m (吨) (1＋2x %)m (吨)税收总收入 2 400m ×8%2 400(1＋2x %)m×(8－x)%解 设税率调低后的“税收总收入”为y 元． y ＝2 400m (1＋2x %)·(8－x )%＝－1225m (x 2＋42x －400) (0<x ≤8)．依题意，y ≥2 400m ×8%×78%即：－1225m (x 2＋42x －400)≥2 400m ×8%×78%整理得x 2＋42x －88≤0，解得－44≤x ≤2. 根据x 的实际意义，知0<x ≤8， 所以0<x ≤2为所求．区突破1．忽略判别式的适用范围而致错例1 若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围． [错解] 不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0， 对x ∈R 恒成立．⇔{ a －Δ<0 ⇔{ a(a －2)2－4(a －2)(－4)<0 ⇔－2<a <2.[点拨] 当a －2＝0时，原不等式不是一元二次不等式，不能应用根的判别式，应当单独检验不等式是否成立．[正解] 当a －2＝0，即a ＝2时，原不等式为－4<0，所以a ＝2时成立． 当a －2≠0时，由题意得{ a －Δ<0， 即{ a(a －2)2－4(a －2)(－4)<0， 解得－2<a <2.综上所述，可知－2<a ≤2. 温馨点评 在中学阶段，“判别式”是与“二次”联系在一起的，对于一元一次不等式不能应用判别式法来判断．在处理形如ax 2＋bx ＋c 的问题时，要注意对x 2系数的讨论．2．混淆“定义域为R ”与“值域为R ”的区别而致错例2 若函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ，求a 的取值范围． [错解1] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴ax 2－2x ＋a >0对x ∈R 恒成立．∴{ aΔ<0， 即{ a－4a 2<0，∴a >1. [错解2] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴代数式ax 2－2x ＋a 能取遍一切正值． ∴Δ＝4－4a 2≥0， ∴－1≤a ≤1.[点拨] 上述解法1把值域为R 误解为定义域为R ；解法2虽然理解题意，解题方向正确，但是忽略了a <0时，代数式ax 2－2x ＋a 不可能取到所有正数，从而也是错误的．[正解] 当a ＝0时，y ＝lg(－2x )值域为R ， a ＝0适合．当a ≠0时，ax 2－2x ＋a ＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a 2＋⎝⎛⎭⎫a －1a 为使y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ， 代数式ax 2－2x ＋a 应取到所有正数．所以a 应满足⎩⎨⎧a a －1a ≤0，解得0<a ≤1. 综上所述，0≤a ≤1.题多解例 解不等式：lg x －1≤3－lg x . 解 方法一 lg x －1≤3－lg x⇔{ lg x －1≥－lg x ≥x －1≤(3－lg x )2 ⇔{ 1≤lg x ≤2x －7lg x ＋10≥0 ⇔{ 1≤lg x ≤x ≤2或lg x ≥5 ⇔1≤lg x ≤2⇔10≤x ≤100. 方法二 设lg x －1＝t ， 则lg x ＝t 2＋1 (t ≥0)．∴lg x －1≤3－lg x⇔{ t ≥t ≤2－t 2⇔0≤t ≤1⇔0≤lg x －1≤1 ⇔1≤lg x ≤2 ⇔10≤x ≤100.方法三 解方程lg x －1＝3－lg x ， 解得：x ＝100. 令f (x )＝lg x －1，易知f (x )在[10，＋∞)为增函数，g (x )＝3－lg x 在[10，＋∞)为减函数． 且f (100)＝g (100)＝1.为使f (x )≤g (x )， 则10≤x ≤100.方法四 令lg x ＝t ，f (t )＝t －1，g (t )＝3－t .在同一坐标系中画出它们的图象如图所示： 易知交点为(2,1)．当1≤t ≤2时，f (t )≤g (t )． 即lg x －1≤3－lg x 成立． 由1≤t ≤2，即1≤lg x ≤2， 解得：10≤x ≤100.题赏析1．(2009·江西)若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝________.解析 令y 1＝9－x 2，y 2＝k (x ＋2)－2，在同一个坐标系中作出其图象，因9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为[a ，b ]且b －a ＝2.结合图象知b ＝3，a ＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,22)．∴k ＝22＋21＋2＝ 2.答案 2赏析 本题主要考查解不等式、直线过定点问题以及数形结合的数学方法． 2．(2009·天津)设0<b <1＋a ，若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数恰有3个，则( )A ．－1<a <0B ．0<a <1C ．1<a <3D ．3<a <6解析 (x －b )2>(ax )2，(a 2－1)x 2＋2bx －b 2<0，要使x 的解集中恰有3个整数，必须有a 2－1>0.又a ＋1>0，∴a >1.不等式变形为[(a －1)x ＋b ][(a ＋1)x －b ]<0.∵a >1，b >0，∴b a －1>0,0<ba ＋1<1，∴b 1－a <x <b a ＋1， 其中含三个整数，∴－3≤b 1－a <－2,2<ba －1≤3.∴2a －2<b ≤3a －3.∴{ 3a －3≥b >0，a －2<b <a ＋1，∴{ a >1，a <3，∴1<a <3. 答案 C赏析 本题考查了一元二次不等式知识灵活地运用．。

一元二次不等式及其解法 （文科学案）编者：赵学磊 审核:王光图 2014.9.29【教学目标】1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神。

【教学重点】从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。

【教学难点】理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

【自主梳理】⒈一次不等式ax>b ，若a>0，解集为_____________；若a<0，解集为 ；若a=0，则当b ≥0时，解集为 ；当b<0时，解集为___________．⒉若ax 2+bx+c ＝0有两个不等实根x 1,x 2且x 1>x 2，那么一元二次不等式ax 2+bx+c>0(a>0)的解集为 ；ax 2+bx+c<0(a>0)的解集为 ；若ax 2+bx+c ＝0有两个相等实根x 0，那么一元二次不等式ax 2+bx+c>0(a>0)的解集为 ；若ax 2+bx+c ＝0没有实根，那么一元二次不等式ax 2+bx+c>0(a>0)的解集为 ．⒊分式不等式可以转化为一元二次不等式，试写出下列分式不等式的转化形式：⇔≥0)()(x g x f ；⇔>0)()(x g x f ． 【自我检测】⒈若a>0,b>0，则不等式b x a 〈〈-1的解集是（ ） A. }1001|{b x x a x 〈〈〈〈-或 B. }11|{a x b x 〈〈- C. }1001|{a x x b x 〈〈〈〈-或 D.}11|{bx a x x 〉〈-或 2．已知m ｘ2+m ｘ+m<1的解集为Ｒ，则m 的取值范围是（ ） Ａ．)0,(-∞ Ｂ．),34()0,(+∞⋃-∞ Ｃ．（－∞，]0 Ｄ．]),340,(+∞⎢⎣⎡⋃-∞⒊二次方程ax 2+bx+c ＝0的两个根为－2，3，且a<0，那么ax 2+bx+c>0的解集为（ ） Ａ．｛ｘ｜ｘ＞3或x<－2｝ Ｂ．｛ｘ｜ｘ＞2或x<－3｝Ｃ．｛ｘ｜－2<ｘ<3｝ Ｄ．｛ｘ｜－3<ｘ<2｝ ⒋已知x 满足不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧+<+>--365)2(20)3)(12(x x x x ，则平面坐标系中点P （x+2,x-2）所在象限为（ ） Ａ．一 Ｂ．二 Ｃ．三 Ｄ．四 ⒌不等式9322)21(--x x ≤1982)21(--x x 的解集是（ ）Ａ．[]10,1 Ｂ．(][)+∞⋃∞-,101, Ｃ．（1，10） Ｄ．(]),10(1,+∞∞-6..不等式│x 2－5x │>6的解集为（ ）Ａ．｛ｘ｜ｘ＞6或x<－1｝ Ｂ．｛ｘ｜2<ｘ<3｝ Ｃ．Φ Ｄ．｛ｘ｜x<－1或2<ｘ<3或ｘ＞6｝【典型讲解】题型一、解一元二次不等式例1、求下列不等式的解集.（1）),0(01)1(2R a a aa x ∈≠<++- （2）)2(3)3)(12(2+>-+x x x（3）3252---x x x ＜－1变式：（1）解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax （2）解关于x 的不等式12)1(>--x x a （0>a ）题型二、一元二次不等式与一元二次方程的关系例3 已知一元二次方程ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－2<x <1}，求a ，b 的值．变式训练2、若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－3<x <4}，求不等式bx 2＋2ax －c －3b <0的解集．题型三 一元二次不等式的应用例3 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；(2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．变式训练3、（1）已知y ＝mx 2＋2mx ＋8的定义域为全体实数，则 m 的范围是 ．（2）若不等式13642222＜++++x x k kx x 对于x 取任何实数均成立，则k 的取值范围是 ．. （3）关于x 的不等式组⎩⎨⎧<+++>--05)52(20222k x k x x x 的整数解的集合为｛－2｝，求实数k 的取值范围．题型四、一元二次不等式的实际应用例4.某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品每件销售价每提高1元，销售量就要减少10件，则他将销售价每件定为多少元时，才能使得每天所获的利润最大？销售价每件定为多少元时，才能保证每天所获的利润在300元以上？变式训练4. 为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比.现有制箱材料60平方米.问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A 、B 孔的面积忽略不计）?五、当堂检测：1. 已知方程20ax bx c ++=的两根为12,x x ，且12x x <，若0a <，则不等式20ax bx c ++<的解为（ ）.A ．RB ．12x x x <<C ．1x x <或2x x >D ．无解2. 关于x 的不等式20x x c ++>的解集是全体实数的条件是（ ）.A ．14c <B ．14c ≤C ．14c >D ．14c ≥3. 在下列不等式中，解集是∅的是（ ）.A ．22320x x -+>B ．2440x x ++≤C ．2440x x --<D ．22320x x -+->4. 方程0)12(2=+++m x m mx 有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 A. 41->m B. 41-<m C. 41≥m D. 41->m 且0≠m 5．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．6．不等式(2―a )x 2―2(a ―2)x ＋4>0对于一切实数x 都成立，则（ ）。

张喜林制3.3 一元二次不等式及其解法教材知识检索考点知识清单1．一般地，含有 未知数，且未知数的最高次数为 的整式不等式，叫做一元二次不等式． 2．一元二次不等式的解法。

一元二次不等式经过变形，可以化成以下两种标准形式： ①____（a>O ）； ②____(a>O)．上述两种形式的一元二次不等式的解集，可通过方程+2ax 0=+c bx 的根来确定．设,42ac b -=∆则：0)1(>∆时，方程02=++c bx ax 有两个 的解,21x x 、设,21x x <则不等式①的解集为 ，不等式②的解集为0)2(=∆时，方程02=++c bx ax 有两个 的解，即,21x x =此时不等式①的解集为 ，不等式②的解集为0)3(<∆时，方程02=++c bx ax 无实数解，则不等式①的解集为 ；不等式②的解集为要点核心解读1．一元二次不等式的解法一元二次不等式经过变形，可以化成以下两种标准形式：);0(02>>++a c bx ax ① ).0(02><++a c bx ax ②通过方程02=++c bx ax 求得两根,,21x x 若21x x <（此时),0>∆则不等式①的解在“两根之外”，即大于大根，小于小根，此时有2|{x x x >或};1x x <不等式②的解在“两根之间”，即小于大根，大于小根，此时有}.|{21x x x x <<若21x x =（此时△=0)，则不等式①的解集为};,|{1R x x x x ∈=/不等式②的解集为空集，若,0<∆则不等式①的解集为R ；不等式②的解集为空集.二次项系数是正数的二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的主要结论与三者之间的关系如下：从函数观点来看，一元二次不等式)0(02>>++a c bx ax 的解集，就是二次函数)0(2>++=a c bx ax y 在x 轴上方部分的点的横坐标算的集合；)0(02><++a c bx ax 的解集，就是二次函数)0(2>++=a c bx ax y 在x 轴下方部分的点的横坐标x 的集合．从方程观点来看，一元二次方程的根是二次函数与x 轴交点的横坐标，一元二次不等式)0(02>>++a c bx ax 的解集，就是大于大根，或者小于小根的实数的集合；><++a c bx ax (02)0的解集，就是大于小根，且小于大根的实数的集合．由此，利用二次函数的图象和一元二次方程的两根就可以解一元二次不等式．一元二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的具体关系对比见下表.由上表可以看出02>++c bx ax 对一切R x ∈都成立的条件为0b .0,02<++⎩⎨⎧<∆>c x ax a 对一切R x ∈都成立的条件为⎩⎨⎧<∆<.0,0a对于二次项系数是负数（即a<0）的不等式，可以先依据不等式的性质把二次项系数化为正数，再参照上述两种形式求解．2．三个“二次”间的关系[记)]0()(2>++=a c bx ax x f(1)理解三个“二次”的关键是抓住从特殊到一般的思想，如(2)连接三个“二次”的纽带是坐标思想：函数值），是否大于零等价于点P(x ，y)是否在x 轴的上方．(3)三个“二次”关系的实质是数形结合思想：=++c bx ax 20的解c bx ax y ++=⇔2图象上的点0);0,(2>++c bx ax x 的解c bx ax y ++=⇔2图象上点（x ，y ）在x 轴上方的x 的取值范围．(4)研究三个“二次”的作用是：3．解一元二次不等式的常见思考步骤和解题程序由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般思考步骤：(1)化不等式为标准形式：),0(02>>++a c bx ax 或+2ax );0(0><+a c bx(2)求方程)0(02>=++a c bx ax 的根，并画出对应函数c bx ax y ++=2图象的简图； (3)由图象得出不等式的解集．典例分类剖析考点1 一元二次不等式的解法 命题规律(1)解简单的一元二次不等式．(2)利用一元二次不等式的解法来解决集合间的运算． [例1] 解不等式.0322>--x x[答案] 方法一：方程0322=--x x 的判别式,016)3(4)2(2>=-⨯--=∆得方程两根.3,121=-=x x故原不等式的解集为1|{-<x x 或}.3>x 方法二：作函数322--=x x y 的图象， 如图3 -3 -2所示．由图可知322--=x x y 图象在x 轴上方（即函数值大于零）的点的横坐标的取值范围是1-<x 或.3>x故原不等式的解集为1|{-<x x 或}.3>x 方法三：原不等式可化为,0)3)(1(>-+x x即⎩⎨⎧>->+,03,01x x 或⎩⎨⎧<-<+,0301x x 解得3>x 或.1-<x故原不等式的解集为1|{-<x x 或}.3>x[方法技巧] 首先判断判别式的正负号，求根，然后注意不等号的方向及首项系数的正负号写出解集．这是解一元二次不等式的基本方法，应当熟练掌握．母题迁移 1．解下列不等式．;32)1(2->--x x ;145)2(2>-x x .67)3(2>+-x x考点2 一元二次不等式的解法的逆向思维 命题规律(1)利用根与系数的关系确定一元二次不等式中的参系数（合有参数的系数）． (2)利用一元二次不等式的解法能逆向求解一元二次不等式．[例2] 若不等式02>++c bx ax 的解集为<<-x x 3|{，}4求不等式0322<--+b c ax bx 的解集．[答案] 因为02>++c bx ax 的解集为},43|{<<-x x 所以,0<a 且-3和4是方程02=++c bx ax 的两根，由一元二次方程根与系数的关系可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯--=+-,43,43a c ab即⎩⎨⎧-=-=,12,a c ab 所以不等式,0322<--+bc ax bx即为,01522<++-a ax ax 即,01522<--x x 故所求的不等式的解集为}.53|{<<-x x[规律方法] 给出了一元二次不等式的解集，则可知二次项的符号和一元二次方程的两根，由根与系数的关系可知a ，b ，c 之间的关系．母题迁移 2．（2010年山东部分重点中学联考题）(1)已知不等式022>++bx ax 的解集是},3121|{<<-x x 求不等式022>+-bx ax 的解集； (2)若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+++>--05)25(2,0222a x a x x x 的整数解只有-2，求a 的取值范围．考点3 含参数的一元二次不等式的解法命题规律(1)二次项系数含有字母，应先对二次项系数进行大于零、小于零、等于零分类讨论． (2)二次项系数不等于零，对其判别式进行大于零、小于零、等于零的分类讨论． (3)二次项系数和判别式讨论完后，再对两根大小的比较进行讨论． (4)分类讨论中应确定好讨论的标准，讨论应不重不漏．[例3] 解关于x 的不等式).(0)(322R a a x a a x ∈>++- [答案] 原不等式可化为.0))((2>--a x a x,0时当<⋅∴a ,2a a <解集为};|{2a x a x x ><或 ,0时当=a ,2a a =解集为};0|{=/x x当10<<a 时，,2a a <解集为};|{2a x a x x ><或 当1=a 时，,2a a =解集为};1|{=/x x当1>a 时，,2a a <解集为}.|{2a x a x x ><或综上所述，当0<a 或1>a 时， 解集为};|{2a x a x x ><或当10<<a 时，解集为};|{2a x a x x ><或 当0=a 时，解集为};0|{=/x x 当1=a 时，解集为}.1|{=/x x[规律方法] 含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易因式分解，则可对判别 式分类讨论，分类要不重不漏．若二次项系数含有参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；其次，对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．母题迁移 3．解关于x 的不等式>--)2)(2(ax x ).(0R a ∈考点4 简单的一元高次不等式和分式不等式的解法 命题规律(1)利用“根轴法”求解简单的一元高次不等式．(2)把分式不等式转化为一元二次不等式或简单的高次不等式，再进行求解． [例4] 解下列不等式：;0152)1(23>--x x x ;0)2()5)(4)(2(32<-++x x x.04)2)(1()1()3(2<+-+-x x x x[答案] (1)原不等式可化为.0)3)(52(>-+x x x 把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标在数轴上，然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图3 -3 -3阴影部分．∴ 原不等式的解集为}3025|{><<-x x x 或 (2)原不等式等价于⇔>-++0)2()5)(4(32x x x ⎩⎨⎧>-<-=/⇔⎩⎨⎧>-+=/+.24,50)2)(4(,05x x x x x x 或 ∴ 原不等式解集为},2455|{>-<<--<x x x x 或或如图3 -3 -4阴影部分．(3)原不等式等价于0)2)(1)(4(<-++x x x 且,1=/x ∴ 原不等式的解集为或11|{<<-x x x <1}42-<<x 或[特别提醒] 用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可参照(2)的解法转化为不合重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如图3 -3 -4.母题迁移 4．解下列不等式：;0)30)(1)(1(2>---x x x ;01103)2(22≤---x x x .14133532)3(22≥+---x x x x 考点5 不等式在区间上的恒成立问题命题规律(1)以“不等式”为载体考查恒成立问题．(2)以不等式在区间上的恒成立问题为载体考查化归与转化的数学思想方法．[例5] （2010年杭州市调考题）不等式+-2)2(x m 04)2(2<--x m 对一切实数x 都成立，求实数m 的取值范围．[答案] ①若,02=-m 即2=m 时，不等式可化为<-4,0这个不等式与x 无关，即对一切R x ∈ 都成立，②若2,02=/=/-m k m J 时，不等式为一元二次不等式．由解集为R ，知抛物线2)2(2+-=x m y4)2--x m （开口向下，且与x 轴无交点，故有⎩⎨⎧<∆<-,0,02m 即⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-⋅---<-,0)4()2(4)2(4022m m m ， 解得.22<<-m综上所述．m 的取值范围是.22≤<-m[规律方法] (1)不等式02>++c bx ax 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是当0=a 时，;0,0>=c b当0=/a 时，⎩⎨⎧<∆>.0,0a(2)不等式02<++c bx ax 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是当0=a 时，;0,0<=c b当0=/a 时，⎩⎨⎧<∆<00a 类似地，还有a x f ≤)(恒成立⇔a x f a x f ≥≤)(,)]([max 恒成立.)]([min a x f ≥⇔母题迁移 5．a 为何值时，不等式---a x a （22)1(01)1>+x 的解集是全体实数？优化分层测讯学业水平测试1．若m<0，则关于x 的不等式22235m mx x <-的解集为( )．)5,7.(m m A -)7,5.(m m B - ),5()7,.(+∞--∞Λm m ),7()5,.(+∞--∞mm D 2．如果02>++c bx ax 的解集为2|{-<x x 或},4>x 那么对于函数c bx ax x f ++=2)(有( )．)1()2()5(-<<⋅f f f A )1()5()2(-<<⋅f f f B )5()1()2(f f f C <-<⋅ )5()2()1(f f f D <<-⋅3．不等式0)3()2)(1(112<---+x x x x 的解集是( )． )3,2()1,1.( -A )3,2()2,1()1,.( --∞B )3,1()1,( --∞⋅C R D .4．一个车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线，生产的摩托车数量x （辆）与创造的价值y （元）之间的关系为=y ,44042x x +-要使它在一个星期内创造的价值多于12000元，那么它在一个星期内大约生产的摩托车数量的范围是( )．)60,50.(A )120,100.(B )50,0.(C )120,60.(D5．不等式11<-x ax的解集是1|{<x x 或},2>x 则=a 6．不等式01)1()1(22<----x a x a 对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围是 7．不等式0432<++x x 的解集是 8．已知不等式14853222<+-++x x kkx x 对一切实数x 都成立，求实数k 的取值范围。

一元二次不等式及其解法（优质课）教案 教学目标：教学重点： 正确理解一元二次不等式的解法；掌握一元二次不等式的不等式的解法；理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系；教学难点： 理解二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系。

教学过程：1. 一元二次不等式（1） 一元二次不等式的定义：一般地，含有1个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次等式；（2） 一元二次不等式的解集：使某个一元二次不等式成立的未知数的取值集合叫做这个一元二次不等式的解集；（3） 同解不等式：如果两个不等式的解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式。

2. 一元二次不等式与相应的函数、方程之间的关系对于一元二次方程()200ax bx c a ++=>设24b ac ∆=-它的解按0,0,0∆>∆<∆=可分为三种情况，列表如下： 0>∆ 0=∆ 0<∆ c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=23. 一元二次不等式的解法步骤（1） 对不等式进行变形，使一端为0，且二次项系数大于0；（2） 计算相应方程的根的判别式；（3） 当0∆>时，求出相应的一元二次方程的两根；（4） 根据一元二次不等式解集的结构，写出其解集。

注：若不等式左侧可因式分解，则可转化为一元一次不等式组求解。

（一看，二算，三写）4. 含参数的一元二次不等式的解法（1） 二次项系数含参数时，根据一元二次不等式的标准形式需要化二次项系数为正，所以要对参数讨论；（2） 解∆得过程中，若∆表达式含有参数且参数的取值影响∆的符号，这时根据∆的符号确定的需要，对参数进行讨论；（3） 方程的两根表达式中如果有参数，需要对参数讨论才能确定根的大小，这时要对参数进行讨论。

5. 不等式的恒成立问题（1） 结合二次函数的图像和性质用判别式法，当x 的取值为全体实数时，一般用此法；（2） 从函数的最值入手考虑，如大于零恒成立可转化为最小值大于零；（3） 能分离变量的尽量把参数和变量分离出来；（4） 数形结合，结合图形进行分析，从整体上把握图形。

学案34一元二次不等式及其解法导学目标： 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．自主梳理1．一元二次不等式的定义只含有一个未知数，且未知数的最高次数是____的不等式叫一元二次不等式．2．二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1,2＝－b±b2－4ac2a(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝________没有实根一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集a>0{x|x<x1，或x>x2}{x|x≠____}______a<0{x|x1<x<x2}________自我检测1．(2011·广州模拟)已知p：关于x的不等式x2＋2ax－a>0的解集是R，q：－1<a<0，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－4x＋6，x≥0，x＋6，x<0，则不等式f(x)>f(1)的解集是() A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)3．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集是B，不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B，那么a＋b等于()A．－3 B．1 C．－1 D．34．(2011·厦门月考)已知f(x)＝ax2－x－c>0的解集为(－3,2)，则y＝f(－x)的图象是()5．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围为________________.探究点一 一元二次不等式的解法 例1 解下列不等式：(1)－x 2＋2x －23>0；(2)9x 2－6x ＋1≥0.变式迁移1 解下列不等式： (1)2x 2＋4x ＋3<0； (2)－3x 2－2x ＋8≤0； (3)8x －1≥16x 2.探究点二 含参数的一元二次不等式的解法例2 已知常数a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2－2x ＋a <0.变式迁移2 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.探究点三 一元二次不等式恒成立问题 例3 (2011·巢湖月考)已知f (x )＝x 2－2ax ＋2 (a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．变式迁移3 (1)关于x 的不等式4x ＋mx 2－2x ＋3<2对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．(2)若不等式x 2＋px >4x ＋p －3对一切0≤p ≤4均成立，试求实数x 的取值范围．转化与化归思想的应用例 (12分)已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(α，β)，且0<α<β，求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．【答题模板】解 由已知不等式的解集为(α，β)可得a <0， ∵α，β为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴由根与系数的关系可得⎩⎨⎧ba＝－(α＋β)<0， ①ca＝αβ>0. ②[4分]∵a <0，∴由②得c <0，[5分]则cx 2＋bx ＋a <0可化为x 2＋b c x ＋ac >0.[6分]①÷②，得b c ＝－(α＋β)αβ＝－⎝⎛⎭⎫1α＋1β<0，由②得a c ＝1αβ＝1α·1β>0， ∴1α、1β为方程x 2＋b c x ＋ac＝0的两根．[10分]∵0<α<β，∴不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为{x |x <1β或x >1α}．[12分]【突破思维障碍】由ax 2＋bx ＋c >0的解集是一个开区间，结合不等式对应的函数图象知a <0，要求cx 2＋bx ＋a <0的解集首先需要判断二次项系数c 的正负，由方程根与系数关系知ca＝α·β>0，因a <0，∴c <0，从而知道cx 2＋bx ＋a <0的解集是x 大于大根及小于小根对应的两个集合．要想求出解集，需用已知量α，β代替参数c 、b 、a ，需对不等式cx 2＋bx ＋a <0两边同除c 或a ，用α、β代替后，就不难找到要求不等式对应方程的两根，从而求出不等式的解集．本题较好地体现了三个“二次”之间的相互转化．1．三个“二次”的关系：二次函数是主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数的函数值为零和不为零的两种情况，一般讨论二次函数常将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式来研究，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又常与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决．一元二次不等式解集的端点值就是相应的一元二次方程的根，也是相应的二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，即二次函数的零点． 2．解含参数的一元二次不等式的步骤：解含参数的一元二次不等式可按如下步骤进行：1°二次项若含有参数应讨论参数是等于0、小于0、还是大于0.然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.2°判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系.3°确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式．3．不等式恒成立问题：不等式恒成立，即不等式的解集为R ，一元二次不等式ax 2＋bx＋c >0 (a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac <0；ax 2＋bx ＋c <0 (a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝b 2－4ac <0.(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．函数y ()212log 1x -的定义域是( )A ．[－2，－1)∪(1，2]B ．[－2，－1]∪(1，2)C ．[－2，－1)∪(1,2]D ．(－2，－1)∪(1,2) 2．(2010·抚顺模拟)已知集合P ＝{x |x ＋1x －1>0}，集合Q ＝{x |x 2＋x －2≥0}，则x ∈Q 是x∈P 的( )A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 3．(2011·银川模拟)已知集合M ＝{x |x 2－2 008x －2 009>0}，N ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若M ∪N ＝R ，M ∩N ＝(2 009，2 010]，则( )A ．a ＝2 009，b ＝－2 010B ．a ＝－2 009，b ＝2 010C ．a ＝2 009，b ＝2 010D ．a ＝－2 009，b ＝－2 0104．若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．m >1 B ．m <－1C ．m <－1311D ．m >1或m <－13115．(创新题)已知a 1>a 2>a 3>0，则使得(1－a i x )2<1 (i ＝1,2,3)都成立的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，1a 1B.⎝⎛⎭⎫0，2a 1C.⎝⎛⎭⎫0，1a 3D.⎝⎛⎭⎫0，2a 3 二、填空题(每小题4分，共12分)6．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围为________．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ， x >0，x 2， x ≤0，则满足f (x )>1的x 的取值范围为______________．8．(2011·泉州月考)已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如右图所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)>1的解集为__________________．三、解答题(共38分)9．(12分)解关于x 的不等式x －ax －a 2<0 (a ∈R )．10．(12分)若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．11．(14分)(2011·烟台月考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3. (1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围； (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．学案34 一元二次不等式及其解法自主梳理1．2 2.－b 2a －b2aR ∅ ∅自我检测1．C 2.A 3.A 4.D 5．(－∞，－5]解析 记f (x )＝x 2＋mx ＋4，根据题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－16>0，f (1)≤0，f (2)≤0，解得m ≤－5.课堂活动区例1 解题导引 解一元二次不等式的一般步骤(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，ax 2＋bx ＋c <0(a >0)．(2)计算相应的判别式．(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根． (4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集． 解 (1)两边都乘以－3，得3x 2－6x ＋2<0， 因为3>0，且方程3x 2－6x ＋2＝0的解是x 1＝1－33，x 2＝1＋33，所以原不等式的解集是{x |1－33<x <1＋33}．(2)∵不等式9x 2－6x ＋1≥0， 其相应方程9x 2－6x ＋1＝0， Δ＝(－6)2－4×9＝0，∴上述方程有两相等实根x ＝13，结合二次函数y ＝9x 2－6x ＋1的图象知，原不等式的解集为R . 变式迁移1 解 (1)∵不等式2x 2＋4x ＋3<0可转化为 2(x ＋1)2＋1<0，而2(x ＋1)2＋1>0， ∴2x 2＋4x ＋3<0的解集为∅.(2)两边都乘以－1，得3x 2＋2x －8≥0， 因为3>0，且方程3x 2＋2x －8＝0的解是x 1＝－2，x 2＝43，所以原不等式的解集是(－∞，－2]∪[43，＋∞)．(3)原不等式可转化为16x 2－8x ＋1≤0， 即(4x －1)2≤0，∴原不等式的解集为{14}．例2 解题导引 (1)含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．(3)其次对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． 解 上述不等式不一定为一元二次不等式，当a ＝0时为一元一次不等式，当a ≠0时为一元二次不等式，故应对a 进行讨论，然后分情况求解．(1)a ＝0时，解为x >0. (2)a >0时，Δ＝4－4a 2. ①当Δ>0，即0<a <1时，方程ax 2－2x ＋a ＝0的两根为1±1－a 2a，∴不等式的解集为{x |1－1－a 2a <x <1＋1－a 2a}．②当Δ＝0，即a ＝1时，x ∈∅； ③当Δ<0，即a >1时，x ∈∅. (3)当a <0时，①Δ>0，即－1<a <0时，不等式的解集为{x |x <1＋1－a 2a 或x >1－1－a 2a}．②Δ＝0，即a ＝－1时，不等式化为(x ＋1)2>0， ∴解为x ∈R 且x ≠－1.③Δ<0，即a <－1时，x ∈R .综上所述，当a ≥1时，原不等式的解集为∅； 当0<a <1时，解集为 {x |1－1－a 2a <x <1＋1－a 2a}；当a ＝0时，解集为{x |x >0}； 当－1<a <0时，解集为{x |x <1＋1－a 2a 或x >1－1－a 2a}；当a ＝－1时，解集为{x |x ∈R 且x ≠－1}； 当a <－1时，解集为{x |x ∈R }．变式迁移2 解 ①当a ＝0时，解得x >1.②当a >0时，原不等式变形为(x －1a)(x －1)<0，∴a >1时，解得1a<x <1；a ＝1时，解得x ∈∅；0<a <1时，解得1<x <1a.③当a <0时，原不等式变形为(x －1a)(x －1)>0，∵1a <1，∴解不等式可得x <1a或x >1. 综上所述，当a <0时，不等式解集为(－∞，1a)∪(1，＋∞)；当a ＝0时，不等式解集为(1，＋∞)；当0<a <1时，不等式解集为(1，1a)；当a ＝1时，不等式解集为∅；当a >1时，不等式解集为(1a，1)．例3 解题导引 注意等价转化思想的运用，二次不等式在区间上恒成立的问题可转化为二次函数区间最值问题．解 方法一 f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a . ①当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a <－1；②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2， 由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围为－3≤a ≤1. 方法二 令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知， 得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，a <－1，g (－1)≥0.解得－3≤a ≤1.变式迁移3 解 (1)∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0，∴不等式4x ＋mx 2－2x ＋3<2同解于4x ＋m <2x 2－4x ＋6，即2x 2－8x ＋6－m >0.要使原不等式对任意实数x 恒成立，只要2x 2－8x ＋6－m >0对任意实数x 恒成立． ∴Δ<0，即64－8(6－m )<0， 整理并解得m <－2.∴实数m 的取值范围为(－∞，－2)． (2)∵x 2＋px >4x ＋p －3， ∴(x －1)p ＋x 2－4x ＋3>0.令g (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3， 则要使它对0≤p ≤4均有g (p )>0，只要有⎩⎪⎨⎪⎧g (0)>0g (4)>0.∴x >3或x <－1.∴实数x 的取值范围为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 课后练习区1．A [由已知有12log (x 2－1)≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1>0，x 2－1≤1. ∴⎩⎨⎧x >1或x <－1，－2≤x ≤ 2.∴－2≤x <－1或1<x ≤ 2.]2．D [化简得P ＝{x <－1，或x >1}，Q ＝{x ≤－2，或x ≥1}，集合P ，Q 之间不存在包含关系，所以x ∈Q 是x ∈P 的既不充分又不必要条件．] 3．D [化简得M ＝{x |x <－1或x >2 009}，由M ∪N ＝R ，M ∩N ＝(2 009,2 010]可知N ＝{x |－1≤x ≤2 010}，即－1,2 010是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根．所以b ＝－1×2 010＝－2 010，－a ＝－1＋2 010，即a ＝－2 009.] 4．C [当m ＝－1时，不等式变为2x －6<0，即x <3，不符合题意． 当m ≠－1时，由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，Δ＝(m －1)2－4(m ＋1)×3(m －1)<0， 化简，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，11m 2＋2m －13>0，解得m <－1311.]5．B [(1－a i x )2<1，即a 2i x 2－2a i x <0，即a i x (a i x －2)<0，由于a i >0，这个不等式可以化为x ⎝⎛⎭⎫x －2a i <0，即0<x <2a i ，若对每个都成立，则2a i应最小， 即a i 应最大，也即是0<x <2a 1.]6．(－12，32)解析 由题意知，(x －a )⊗(x ＋a )<1 ⇔(x －a )(1－x －a )<1 ⇔x 2－x －(a 2－a －1)>0. 因上式对x ∈R 都成立， 所以Δ＝1＋4(a 2－a －1)<0，即4a 2－4a －3<0.所以－12<a <32.7．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析 当x >0时，由log 2x >1，得x >2； 当x ≤0时，由x 2>1，得x <－1.综上可知，x 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 8．(2,3)∪(－3，－2)解析 由导函数图象知当x <0时，f ′(x )>0， 即f (x )在(－∞，0)上为增函数；当x >0时，f ′(x )<0，即f (x )在(0，＋∞)上为减函数，故不等式f (x 2－6)>1等价于f (x 2－6)>f (－2)或f (x 2－6)>f (3)，即－2<x 2－6≤0或0≤x 2－6<3，解得x ∈(2,3)∪(－3，－2)．9．解 x －a x －a2<0⇔(x －a )(x －a 2)<0，(2分) ①当a ＝0或a ＝1时，原不等式的解集为∅；(4分) ②当a <0或a >1时，a <a 2，此时a <x <a 2；(7分) ③当0<a <1时，a >a 2，此时a 2<x <a .(10分)综上，当a <0或a >1时，原不等式的解集为{x |a <x <a 2}； 当0<a <1时，原不等式的解集为{x |a 2<x <a }； 当a ＝0或a ＝1时，原不等式解集为∅.(12分) 10．解 由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，知a <0，(3分)又⎝⎛⎭⎫－13×2＝ca <0，则c >0. 又－13，2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，(6分)∴－b a ＝53，即b a ＝－53.又∵c a ＝－23，∴b ＝－53a ，c ＝－23a .(8分)∴不等式cx 2＋bx ＋a <0变为⎝⎛⎭⎫－23a x 2＋⎝⎛⎭⎫－53a x ＋a <0， 即2ax 2＋5ax －3a >0.又∵a <0，∴2x 2＋5x －3<0，∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3<x <12.(12分)11．解 (1)∵x ∈R 时，有x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立， 需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0， ∴－6≤a ≤2.(4分)(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：①如图(1)，当g (x )的图象恒在x 轴上方，满足条件时， 有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.(7分) ②如图(2)，g (x )的图象与x 轴有交点， 但在x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a2<－2，g (－2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－4(3－a )≥0，－a2<－2，4－2a ＋3－a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a >4，a ≤73，解之，得a ∈∅.(10分)③如图(3)，g (x )的图象与x 轴有交点， 但在x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a2>2，g (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4(3－a )≥0，－a2>2，4＋2a ＋3－a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a <－4，a ≥－7⇔－7≤a ≤－6.(13分)综合①②③，得a ∈[－7,2]．(14分)。

§2.1 一元二次不等式的解法（学案）知识梳理1、形如)0(,2≠++=a c bx ax y 的函数叫二次函数；形如)0(,02≠=++a c bx ax 的方程叫一元二次方程；形如)0(),000(02≠≤<≥>++a c bx ax 或或或的不等式，叫作一元二次不等式.2、二次函数)0(,2≠++=a c bx ax y 当a ＞0时，图像是：图 5O y①判别式042>-=ac b δ，函数图像和x 轴相交（如图3），有两个交点，设交点是)0,(),0,(21x x ，()21x x < , 由图像可知，当自变量),(),(21+∞⋃-∞∈x x x 时，函数值 零；当),(21x x x ∈时，函数值 零；当21x x x 或=时，函数值 零.对于一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数解是： ; 对于一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解集是：)0(,02>≥++a c bx ax 的解集是：)0(,02><++a c bx ax 的解集是：)0(,02>≤++a c bx ax 的解集是：②判别式042=-=ac b δ，函数图像和x 轴相切（如图4），有一个切点，设切点是),0,(0x ，由图像可知，当自变量0x x R x ≠∈且时，函数值 零；当0x x =时，函数值 零;对于任意实数x ，函数值都不会 零.对于一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有两个相等的实数解是： ; 对于一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解集是：)0(,02>≥++a c bx ax 的解集是：)0(,02><++a c bx ax 的解集是：)0(,02>≤++a c bx ax 的解集是：③判别式042<-=ac b δ，函数图像在x 轴上方（如图5），由图像可知，当自变量R x ∈时，函数值均 零；即对于任意实数x ，函数值都不可能 零.对于一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 无实数解;对于一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解集是：)0(,02>≥++a c bx ax 的解集是：)0(,02>≤++a c bx ax 的解集是：3、解一元二次不等式的步骤：先判断二次项系数的正负；再看判别式；最后比较根的大小．解集要么为两根之外，要么为两根之内．具体地：①设不等式)0(02>>++a c bx ax ，对应方程02=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为：1x x <或2x x >（两根之外） ②设不等式)0(02>>++a c bx ax ，对应方程02=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为： 21x x x <<（两根之内） 注意：①若不等式)0(02<>++或c bx ax 中，a 0<,可在不等式两边乘1-转化为二次项系数为正的情况，然后再按上述①②进行②解一元二次不等式要结合二次函数的图象，突出配方法和因式分解法． 基础练习一、解下列不等式1、3x 2+5x-2>02、9x 2-6x+1>03、x 2-4x+5>04、-x 2+x+1<05、-x 2+4x-4>0二、设A ，B 分别是不等式3x 2+6≤19x 与不等式-2x 2+3x+5>0的解集，试求A ∩B,A ∪B.三、解关于x的不等式：x2-(2m+1)x+m2+m＜0.四、解关于x的不等式：x2+(1-a)x-a<0.基础自测1.下列结论正确的是 （ ）A.不等式x 2≥4的解集为{x|x ≥±2}B.不等式x 2-9＜0的解集为{x|x ＜3}C.不等式(x-1)2＜2的解集为{x|1-2＜x ＜1+2}D.设x 1,x 2为ax 2+bx+c=0的两个实根，且x 1＜x 2,则不等式ax 2+bx+c ＜0的解集为{x|x 1＜x ＜x 2}2.不等式12+-x x ≤0的解集是 （ ）A.（-∞,-1）(]2,1-YB.[]2,1-C.（-∞,-1）[)+∞,2YD.(]2,1-3.已知函数f(x)=⎩⎨⎧≥-<+-0,10,1x x x x 则不等式x+(x+1)·f(x+1)≤1的解集是( ) A.{}121|-≤≤-x x B. {}1|≤x x C.{}12|-≤x x D.{}1212|-≤≤--x x4.在R 上定义运算⊗:x ⊗y=x(1-y).若不等式(x-a)⊗(x+a)＜1对任意实数x 成立,则 ( )A.-1＜a ＜1B.0＜a ＜2C.21-＜a ＜23D.- 23＜a ＜21 5. A={x|(x-1)2＜3x-7}，则A ∩Z 的元素的个数为 . 例题讲解例1 解不等式23⎪⎭⎫ ⎝⎛+-352x ≥21(x 2-9)-3x.例2 已知不等式ax 2+bx+c ＞0的解集为(α,β),且0＜α＜β,求不等式cx 2+bx+a ＜0的解集.例3 已知不等式11+-x ax ＞0 (a ∈R ).(1)解这个关于x 的不等式; (2)若x=-a 时不等式成立,求a 的取值范围.例4已知f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈［-1，+∞）时，f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围.变式练习1.已知关于x 的不等式(a+b)x+(2a-3b)＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<31x x ，求关于x 的不等式(a-3b)x+(b-2a)＞0的解集.2.解关于x 的不等式2a x a x --＜0 （a ∈R ）.3.函数f(x)=x 2+ax+3.(1)当x ∈R 时,f(x)≥a 恒成立,求a 的范围;(2)当x ∈［-2,2］时,f(x)≥a 恒成立,求a 的范围.练习作业一、选择题1.函数y=)1(log 221-x 的定义域是（ ） A.［-2,-1）∪（1，2］ B.［-2,-1］∪（1，2）C.［-2,-1）∪（1，2］D.（-2,-1）∪（1，2） 2.不等式412--x x ＞0的解集是 （ ）A.（-2,1）B.（2，+∞）C.(-2,1)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)3.若(m+1)x 2-(m-1)x+3(m-1)＜0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.m ＞1 B.m ＜-1 C.m ＜-1113 D.m ＞1或m ＜-1113 4.若关于x 的不等式：x 2-ax-6a ＜0有解且解的区间长不超过5个单位，则a 的取值范围是 ( )A.-25≤a ≤1B.a ≤-25或a ≥1C.-25≤a ＜0或1≤a ＜24D.-25≤a ＜-24或0＜a ≤1 5. （10年全国高考（第2套试题第5题））不等式2601x x x ---＞的解集为：（ ） （A ）{}2,3x x x -＜或＞ （B ）{}213x x x -＜，或＜＜（C ）{}213x x x -＜＜，或＞ （D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜6.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-<-030122x x x 的解集为 （ ）A.{x|-1＜x ＜1}B.{x|0＜x ＜3}C.{x|0＜x ＜1}D.{x|-1＜x ＜3}二、填空题7.若不等式2x ＞x 2+a 对于任意的x ∈［-2，3］恒成立，则实数a 的取值范围为 .8.已知{x|ax 2-ax+1＜0}=∅,则实数a 的取值范围为 .三、解答题9.解关于x 的不等式56x 2+ax-a 2＜0.10.已知x 2+px+q ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ，求不等式qx 2+px+1＞0的解集.11.若不等式2x-1＞m(x 2-1)对满足|m|≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围.12.已知函数f(x)=ax 2+a 2x+2b-a 3,当x ∈(-2,6)时，其值为正， 而当x ∈(-∞,-2)∪(6,+∞）时，其值为负. （1）求实数a,b 的值及函数f(x)的表达式；（2）设F(x)=-4k f(x)+4(k+1)x+2(6k-1),问k 取何值时，函数F(x)的值恒为负值？§2.1 一元二次不等式的解法（学案）知识梳理2、形如)0(,2≠++=a c bx ax y 的函数叫二次函数；形如)0(,02≠=++a c bx ax 的方程叫一元二次方程；形如)0(),000(02≠≤<≥>++a c bx ax 或或或的不等式，叫作一元二次不等式.3、二次函数)0(,2≠++=a c bx ax y 当a ＞0时，图像是：图5Oy①判别式042>-=ac b δ，函数图像和x 轴相交（如图3），有两个交点，设交点是)0,(),0,(21x x ，()21x x < , 由图像可知，当自变量),(),(21+∞⋃-∞∈x x x 时，函数值大于零；当),(21x x x ∈时，函数值小于零；当21x x x 或=时，函数值等于零.对于一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数解是：21x x 和; 对于一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解集是：),(),(21+∞⋃-∞x x)0(,02>≥++a c bx ax 的解集是：),[],(21+∞⋃-∞x x )0(,02><++a c bx ax 的解集是：),(21x x )0(,02>≤++a c bx ax 的解集是：],[21x x②判别式042=-=ac b δ，函数图像和x 轴相切（如图4），有一个切点，设切点是),0,(0x ，由图像可知，当自变量0x x R x ≠∈且时，函数值大于零；当0x x =时，函数值等于零;对于任意实数x ，函数值都不会小于零.对于一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有两个相等的实数解是：0x ; 对于一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解集是：}:{0x x R x x ≠∈且)0(,02>≥++a c bx ax 的解集是：R )0(,02><++a c bx ax 的解集是：Φ)0(,02>≤++a c bx ax 的解集是： }{0x x x =③判别式042<-=ac b δ，函数图像在x 轴上方（如图5），由图像可知，当自变量R x ∈时，函数值均大于零；即对于任意实数x ，函数值都不可能小于或等于零.对于一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 无实数解;对于一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解集是：R x ∈)0(,02>≥++a c bx ax 的解集是：R )0(,02>≤++a c bx ax 的解集是：Φ4、解一元二次不等式的步骤：先判断二次项系数的正负；再看判别式；最后比较根的大小．解集要么为两根之外，要么为两根之内．具体地： ①设不等式)0(02>>++a c bx ax ，对应方程02=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为：1x x <或2x x >（两根之外） ②设不等式)0(02>>++a c bx ax ，对应方程02=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为： 21x x x <<（两根之内） 注意：①若不等式)0(02<>++或c bx ax 中，a 0<,可在不等式两边乘1-转化为二次项系数为正的情况，然后再按上述①②进行②解一元二次不等式要结合二次函数的图象，突出配方法和因式分解法．基础练习一、解下列不等式1、3x2+5x-2>02、9x2-6x+1>03、x2-4x+5>04、-x2+x+1<05、-x2+4x-4>0二、设A，B分别是不等式3x2+6≤19x与不等式-2x2+3x+5>0的解集，试求A∩B,A∪B.三、解关于x的不等式：x2-(2m+1)x+m2+m＜0.四、解关于x的不等式：x2+(1-a)x-a<0.基础自测1.下列结论正确的是（ C ）A.不等式x2≥4的解集为{x|x≥±2}B.不等式x2-9＜0的解集为{x|x＜3}C.不等式(x-1)2＜2的解集为{x|1-2＜x＜1+2}D.设x1,x2为ax2+bx+c=0的两个实根，且x1＜x2,则不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x 1＜x ＜x 2} 2.不等式12+-x x ≤0的解集是 （ D ）A.（-∞,-1）(]2,1-YB.[]2,1-C.（-∞,-1）[)+∞,2YD.(]2,1-3.已知函数f(x)=⎩⎨⎧≥-<+-0,10,1x x x x 则不等式x+(x+1)·f(x+1)≤1的解集是(C ) A.{}121|-≤≤-x x B. {}1|≤x x C.{}12|-≤x x D.{}1212|-≤≤--x x4.在R 上定义运算⊗:x ⊗y=x(1-y).若不等式(x-a)⊗(x+a)＜1对任意实数x 成立,则 ( C )A.-1＜a ＜1B.0＜a ＜2C.21-＜a ＜23 D.- 23＜a ＜21 5. A={x|(x-1)2＜3x-7}，则A ∩Z 的元素的个数为 0 .例题讲解例1 解不等式23⎪⎭⎫ ⎝⎛+-352x ≥21(x 2-9)-3x.解 原不等式可化为-23x 2+25≥21x 2-29-3x, 即2x 2-3x-7≤0. 解方程2x 2-3x-7=0,得x=4653±. 所以原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤-|4654346543|x x . 例2 已知不等式ax 2+bx+c ＞0的解集为(α,β),且0＜α＜β,求不等式cx 2+bx+a ＜0的解集.解 方法一 由已知不等式的解集为(α,β)可得a ＜0, ∵α，β为方程ax 2+bx+c=0的两根，∴由根与系数的关系可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+-=00)(αββαac ab∵a ＜0,∴由②得c ＜0,则cx 2+bx+a ＜0可化为x 2+x cb +ca ＞0, ①÷②得cb =αββα)(+-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+βα11＜0, 由②得ca =αβ1=α1·β1＞0, ∴α1、β1为方程x 2+cb x+ca =0的两根.∵0＜α＜β, ∴不等式cx 2+bx+a ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><αβ11x x x 或. 方法二 由已知不等式解集为(α,β),得a ＜0,且α，β是ax 2+bx+c=0的两根， ∴α+β=-ab ,αβ=ac ,∴cx 2+bx+a ＜0⇔acx 2+ab x+1＞0⇔(αβ)x 2-(α+β)x+1＞0⇔(αx-1)(βx-1)＞0⇔⎪⎭⎫ ⎝⎛-α1x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-β1x ＞0. ∵0＜α＜β,∴α1＞β1,∴x ＜β1或x ＞α1,∴cx 2+bx+a ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><αβ11x x x 或. 例3 已知不等式11+-x ax ＞0 (a ∈R ).(1)解这个关于x 的不等式; (2)若x=-a 时不等式成立,求a 的取值范围. 解 (1)原不等式等价于(ax-1)(x+1)＞0. ①当a=0时,由-(x+1)＞0,得x ＜-1;②当a ＞0时,不等式化为⎪⎭⎫⎝⎛-a x 1(x+1)＞0,解得x ＜-1或x ＞a1;③当a ＜0时,不等式化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x+1)＜0;若a 1＜-1,即-1＜a ＜0,则a1＜x ＜-1;若a1=-1,即a=-1,则不等式解集为空集;若a1＞-1,即a ＜-1,则-1＜x ＜a1.综上所述,① ②a ＜-1时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 11;a=-1时,原不等式无解;-1＜a ＜0时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<11|x ax ;a=0时,解集为{x|x ＜-1};a ＞0时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<a x x x 11或.(2)∵x=-a 时不等式成立,∴112+---a a＞0,即-a+1＜0,∴a ＞1,即a 的取值范围为a ＞1.例4已知f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈［-1，+∞）时，f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围.解 方法一 f(x)=(x-a)2+2-a 2, 此二次函数图象的对称轴为x=a,①当a ∈(-∞,-1)时，结合图象知, f(x)在［-1，+∞）上单调递增， f(x)min =f(-1)=2a+3,要使f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min ≥a,即2a+3≥a,解得a ≥-3,又a ＜-1,∴-3≤a ＜-1; ②当a ∈［-1，+∞）时，f(x)min =f(a)=2-a 2, 由2-a 2≥a,解得-2≤a ≤1,又a ≥-1,∴-1≤a ≤1. 综上所述，所求a 的取值范围为-3≤a ≤1.方法二 由已知得x 2-2ax+2-a ≥0在［-1，+∞）上恒成立， 即Δ=4a 2-4(2-a)≤0或⎪⎩⎪⎨⎧≥--<>∆0)1(10f a , 解得-3≤a ≤1. 变式练习1.已知关于x 的不等式(a+b)x+(2a-3b)＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<31x x ，求关于x 的不等式(a-3b)x+(b-2a)＞0的解集. 解 ∵(a+b)x+(2a-3b)＜0的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<31x x ,∴⎪⎩⎪⎨⎧>+=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+.0,0)32(31)(b a b a b a 于是a=2b ＞0,b ＞0,不等式(a-3b)x+(b-2a)＞0,即为-bx-3b ＞0,亦即-bx ＞3b,∴x ＜-3.故所求不等式的解集为{x|x ＜-3}. 2.解关于x 的不等式2a x a x --＜0 （a ∈R ）.解2ax a x --＜0⇔(x-a)(x-a 2)＜0,①当a=0或a=1时，原不等式的解集为∅； ②当a ＜0或a ＞1时，a ＜a 2，此时a ＜x ＜a 2; ③当0＜a ＜1时，a ＞a 2，此时a 2＜x ＜a.综上，当a ＜0或a ＞1时，原不等式的解集为{x|a ＜x ＜a 2}； 当0＜a ＜1时，原不等式的解集为{x|a 2＜x ＜a}; 当a=0或a=1时，原不等式的解集为∅. 3.函数f(x)=x 2+ax+3.(1)当x ∈R 时,f(x)≥a 恒成立,求a 的范围; (2)当x ∈［-2,2］时,f(x)≥a 恒成立,求a 的范围. 解 (1)∵x ∈R 时,有x 2+ax+3-a ≥0恒成立, 须Δ=a 2-4(3-a)≤0,即a 2+4a-12≤0,所以-6≤a ≤2.(2)当x ∈［-2,2］时,设g(x)=x 2+ax+3-a ≥0,分如下三种情况讨论(如图所示): ①如图(1),当g(x)的图象恒在x 轴上方时,满足条件时,有Δ=a 2-4(3-a)≤0,即-6≤a≤2.②如图(2),g(x)的图象与x轴有交点,但在x∈［-2,+∞)时,g(x)≥0,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--<-=≥∆)2(,22gax即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-+--<-≥--32422)3(42aaaaa⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-≤≥37462aaaa或解之得a∈∅.③如图(3),g(x)的图象与x轴有交点,但在x∈(-∞,2］时,g(x)≥0,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥>-=≥∆)2(,22gax即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-++>-≥--32422)3(42aaaaa⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≥-<-≤≥7462aaaa或⇔-7≤a≤-6 综合①②③得a∈［-7，2］.练习作业一、选择题1.函数y=)1(log221-x的定义域是（ A ）A.［-2,-1）∪（1，2］ B.［-2,-1］∪（1，2）C.［-2,-1）∪（1，2］D.（-2,-1）∪（1，2）2.不等式412--x x ＞0的解集是 （ C ）A.（-2,1）B.（2，+∞）C.(-2,1)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)3.若(m+1)x 2-(m-1)x+3(m-1)＜0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( C )A.m ＞1 B.m ＜-1 C.m ＜-1113 D.m ＞1或m ＜-11134.若关于x 的不等式：x 2-ax-6a ＜0有解且解的区间长不超过5个单位，则a 的取值范围是 ( D )A.-25≤a ≤1B.a ≤-25或a ≥1C.-25≤a ＜0或1≤a ＜24D.-25≤a ＜-24或0＜a ≤15. （10年全国高考（第2套试题第5题））不等式2601x x x ---＞的解集为 （A ）{}2,3x x x -＜或＞ （B ）{}213x x x -＜，或＜＜ （C ）{}213x x x -＜＜，或＞ （D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜6.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-<-030122x x x 的解集为（ C ）A.{x|-1＜x ＜1}B.{x|0＜x ＜3}C.{x|0＜x ＜1}D.{x|-1＜x ＜3} 二、填空题7.若不等式2x ＞x 2+a 对于任意的x ∈［-2，3］恒成立，则实数a 的取值范围为 .答案 (-∞,-8)8.已知{x|ax 2-ax+1＜0}=∅,则实数a 的取值范围为 .答案 0≤a ≤4三、解答题9.解关于x 的不等式56x 2+ax-a 2＜0.解 原不等式可化为(7x+a)(8x-a)＜0,即⎪⎭⎫⎝⎛+7a x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-8a x ＜0. ①当-7a ＜8a ,即a ＞0时,-7a ＜x ＜8a ;②当-7a =8a ,即a=0时,原不等式解集为∅;③当-7a ＞8a ,即a ＜0时,8a＜x ＜-7a .综上知:当a ＞0时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-87|a x a x ;当a=0时,原不等式的解集为∅;当a ＜0时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<78|a x a x .10.已知x 2+px+q ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ，求不等式qx 2+px+1＞0的解集.解 ∵x 2+px+q ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ,∴-21,31是方程x 2+px+q=0的两实数根，由根与系数的关系得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⨯-=-q p )21(312131,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==6161q p ,∴不等式qx 2+px+1＞0可化为-0161612>++x x,即x 2-x-6＜0,∴-2＜x ＜3,∴不等式qx 2+px+1＞0的解集为{x|-2＜x ＜3}.11.若不等式2x-1＞m(x 2-1)对满足|m|≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围. 解 方法一 原不等式化为(x 2-1)m-(2x-1)＜0. 令f(m)=(x 2-1)m-(2x-1)(-2≤m ≤2).则⎪⎩⎪⎨⎧<---=<----=-.0)12()1(2)2(,0)12()1(2)2(22x x f x x f 解得271+-＜x ＜231+.方法二 求已知不等式视为关于m 的不等式，（1）若x 2-1=0，即x=±1时，不等式变为2x-1＞0,即x ＞21,∴x=1,此时原不等式恒成立.（2）当x 2-1＞0时，使1122--x x ＞m 对一切|m|≤2恒成立的充要条件是1122--x x ＞2, ∴1＜x ＜231+.(3)当x 2-1＜0时，使1122--x x ＜m 对一切|m|≤2恒成立的充要条件是1122--x x ＜-2.∴271+-＜x ＜1.由（1）（2）（3）知原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+<<-213217|x x . 12.已知函数f(x)=ax 2+a 2x+2b-a 3,当x ∈(-2,6)时，其值为正， 而当x ∈(-∞,-2)∪(6,+∞）时，其值为负. （1）求实数a,b 的值及函数f(x)的表达式；（2）设F(x)=-4k f(x)+4(k+1)x+2(6k-1),问k 取何值时，函数F(x)的值恒为负值？解 (1)由题意可知-2和6是方程f(x)=0的两根，∴⎪⎩⎪⎨⎧-=⨯-=-=+-=-126224623aab a ,∴⎩⎨⎧-=-=84b a ,∴f(x)=-4x 2+16x+48. (2)F(x)=-4k (-4x 2+16x+48)+4(k+1)x+2(6k-1)=kx 2+4x-2.当k=0时，F(x)=4x-2不恒为负值；当k ≠0时，若F(x)的值恒为负值，则有⎩⎨⎧<+<08160k k ,解得k ＜-2.。