四年级高思奥数之横式问题含答案

⾼思奥数导引⼩学四年级含详解答案第19讲格点与割补.第19讲格点与割补兴趣篇1、图中相邻两个点间的距离均为1厘⽶。

三个多边形的⾯积分别是多少平⽅厘⽶？2、图中相邻两格点间的距离均为1厘⽶。

三个阴影图形的⾯积分别是多少平⽅厘⽶？3、图中每个⼩正⽅形的⾯积均为2平⽅厘⽶。

阴影多边形的⾯积是多少平⽅厘⽶？4、图是⼀个三⾓形点阵，其中能连出的最⼩的等边三⾓形的⾯积为1平⽅厘⽶。

三个多边形的⾯积分别为多少平⽅厘⽶？5、如图所⽰，如果每个⼩等边三⾓形的⾯积都是1平⽅厘⽶。

四边形ABCD和三⾓形EFG的⾯积分别是多少平⽅厘⽶？6、图中的数字分别表⽰对应线段的长度，试求这个多边形的⾯积。

（单位：厘⽶）7、如图所⽰，在正⽅形ABCD内部有⼀个长⽅形EFGH。

已知正⽅形ABCD的边长是6厘⽶，图中线段AE AH、都等于2厘⽶。

求长⽅形EFGH的⾯积。

8、如图所⽰，四边形ABCD是正⽅形，长AD等于7厘⽶，宽AB等于5厘⽶，四边形CDEF是平⾏四边形。

如果BH的长是3厘⽶，那么图中阴影部分⾯积是多少平⽅厘⽶？9、如图所⽰，⼤正⽅形的边长为10厘⽶。

连接⼤正⽅形的各边中点得到⼀个⼩正⽅形，将⼩正⽅形每边三等分，再将三等分点与⼤正⽅形的中⼼和⼀个顶点相连。

请问：图中阴影的⾯积总和等于多少平⽅厘⽶？10、在图中，五个⼩正⽅形的边长都是2厘⽶，求三⾓形ABC的⾯积。

拓展篇1、图中相邻格点围成的最⼩正⽅形或正三⾓形的⾯积均为1平⽅厘⽶。

这三个多边形的⾯积分别是多少平⽅厘⽶？2、（1）图1中每个⼩正⽅形的⾯积是2平⽅厘⽶。

阴影部分⾯积是多少平⽅厘⽶？（2）图2中每个⼩正三⾓形的⾯积是4平⽅厘⽶。

阴影部分⾯积是多少平⽅厘⽶？3、图中每个⼩正⽅形的边长是1厘⽶。

阴影部分的⾯积是多少平⽅厘⽶？4、如图1和图2，把两个相同的正三⾓形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点。

已知图1中阴影部分的⾯积是394平⽅分⽶。

请问：图2中的阴影部分⾯积是多少平⽅分⽶？5、如图，在两个相同的等腰直⾓三⾓形中各作⼀个正⽅形，如果正⽅形A 的⾯积是36平⽅厘⽶，那么正⽅形B 的⾯积是多少平⽅厘⽶？6、如图所⽰，正六边形ABCDEF 的⾯积是6平⽅厘⽶，M 是AB 中点，N 是CD 中点，P 是EF 中点。

第六讲横式问题我们已经学过了不少数字谜，这一讲我们来看看写成横式的数字谜．和竖式问题相比，横式问题的已知条件比较少，因此如何充分利用已知条件是我们非常关心的问题．竖式问题常见的突破口在横式问题中仍然可以使用，比如尾数分析、首位估算等等．和竖式问题相比，位数信息的重要性大大加强，估算的方法在横式问题中尤为重要．某些横式问题，可以转化为竖式问题求解；对于较复杂的题目，一般从约束条件较多、可能性较少的算式入手．例题1请在下面两个算式的方框中填入适当的数字，使得等式成立，并且算式中的数字关于等号左右对称．（1）12233221⨯=⨯；（2）4615335164⨯=⨯．「分析」算式两边关于等号对称，所以两边空格里填的数字应该相同．如果把所有可能的填法都枚举出来再一一验算，比较麻烦．等号左右的结果相同，因此这两个乘积的末位数字应该是一样的．你能知道乘积的末位数字应该是多少吗？练习1请在下面算式的方框中填入适当的数字，使等式成立，并且算式中的数字关于等号左右对称．88911988⨯=⨯．上面的例题中，我们看到，通过尾数分析我们能确定某个位置上数的可能性，这样能够大幅度减少试算的次数．这是数字谜最常用的突破口．除了从末位入手，我们有时也从首位入手进行估算．估算的方式在乘除法横式问题中的应用更为广泛．例题2 满足等式8888⨯=的四位乘数是多少？「分析」这是四位数乘以一位数得到一个五位数，并且这个五位数的首位比较大，你能估算出一位乘数是多少吗？ 练习2满足等式8765⨯=的四位乘数是多少?对于多位数四则运算，我们通常都习惯列竖式来计算，因此对横式问题中出现的多位数计算，我们也常常将横式改写成竖式，从中寻找突破口．例题3请将下面的乘法算式补充完整．使得等式成立．⨯63=49「分析」先根据横式把具体的竖式现出来，然后再从末位、首位等突破口一一分析．练习3请将下面的乘法算式补充完整．使得等式成立．⨯57=51前面的例题都只是形式比较简单的横式问题．还有一些横式问题包含多个等式，这时我们就要从一些特殊的数字“0”或约束条件多、可能性较少的等式入手分析．在含有多个等式的问题中，我们常常以乘除法等式以及特殊数字“0”作为突破口．例题4将0、1、2、3、4、5、7这7个数字分别填入下面算式的七个空格内（每个数字只许用一次），使算式成立．+=⨯=「分析」0最特殊，你能推断出0应该在哪个位置吗？练习4将0、1、2、3、4、5这6个数字分别填入下面算式的6个空格内，每个数字只能用一次，使得算式成立．+=÷=对于多位数四则运算，我们通常都习惯列竖式来计算，因此对横式问题中出现的多位数计算，我们也常常将横式改写成竖式，从中寻找突破口．在字母算式中，反复出现的相同字母往往也是突破口．很多时候我们还需要应用假设否定的方法，进行分情况计算．例题5在乘法算式ABC ABC ABDBD ⨯=中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．请问：最后的乘积是多少？「分析」先试着从末位和首位入手，哪一边比较好呢？三位数乘三位数计算比较复杂，大家可以列竖式来试试看，注意在字母算式中，反复出现的字母往往是突破口．对于多个等式的问题，我们就要从约束条件多、可能性较少的等式入手分析，我们常常以乘除法等式作为突破口． 例题6将1至9这9个数字分别填入下面四个算式的方框中（每个数字只能用一次），使得四个等式都成立．1999-=⎧⎪+=⎪⎨÷=⎪⎪⨯=⎩「分析」哪个算式填法最少？我们就从它开始考虑．这个算式填完之后，剩下的三个算式，哪个可能的填法最少？ 课堂内外数字入诗 奇趣无穷对大多数人而言，数字往往是枯燥无味的．可是，当那些单调的数字被巧妙地运用到诗中后，却往往会变得十分形象生动,使全诗妙趣横生，竟能化平淡为奇趣．平添了许多魅力．数字入诗，用得最多的是“一”字．如：“朝辞白帝彩云间,千里江陵一日还”、“离离原上草，一岁一枯荣”、“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”等等．这不仅能使数字获得新的生机，显示出浓厚的数趣，而且又能变抽象为具体，别具情趣，也产生浓厚的诗趣，增添了诗歌的艺术感染力．唐代王建《古谣》是这样写的：一东一西陇头水，一聚一散天边路．一来一去道上客，一颠一倒池中树．四个反义词加上八个“一”字，来说明从西到东的流水，分分合合的道路，来来去去的行人，一正一反的倒影，既形象生动，又充满哲理．当然，诗人运用数字，决不是随心所欲的，而是力求用得意达声谐，收到浑然天成之效．杜甫《绝句》中的两句诗写道：“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天．”诗中遣用数字“两”、“一”，别具匠心．试想：翠柳丛中，黄鹂双栖，和鸣相亲，是何等的幸福快乐！如果是“一”只，则形单影只，孤寂难鸣，也就不会有你呼我应的幸福；若是“几”只，你吵我闹，鸣声错乱，也就破坏了宁静闲适的快乐；只有“两个”，雌雄双栖，和鸣相亲，情深深，意绵绵，那份幸福和快乐才令人向往．蓝天下，白鹭高翔，联成一线，青白交融，色彩绚丽，一个“一”字，把白鹭的“小”与青天的“大”对比起来，形成了幽邃、静谧的意境．由此看来，枯燥的数字一旦到了诗人的笔下，就会迸发出鲜活的生命力．作业1. 请在算式的方框中填入适当的数字，使等式成立，并且算式中的数字关于等号左右对称．⨯=⨯642552462. 在算式82381÷=的四个方框中填入适当的数字，使得等式成立．(写出所有可能的答案)3. 已知1⨯=，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数ABCD D DCB字，那么ABCD DCBA+等于几？4. 在算式3=⨯的5个空格中，分别填入0，1，2，3，4这5个数字，使算式成立．5．将1至8这8个数字填入下面算式的方框中（每个数字只能用一次），使得两个等式都成立，其中5已经填好．⨯=；⨯=5第六讲 横式问题1. 例题1答案：填1；填2 详解： （1）12233221⨯=⨯，根据右边的算式，可得乘积个位是2，所以左边的“□”中可填1或6；然后进行位数估算：如果填6，左边算式结果是四位数，右边结果是五位数，明显不符合，所以填1． （2）4615335164⨯=⨯，根据左边的算式，可得乘积个位是2，所以左边的“□”中可填2或7；然后进行位数估算：如果填7，左右两边结果明显相差很大，所以填2． 2. 例题2答案：9876详解：观察横式的特点，四位数乘以一位数得到五位数，而这个五位数的最高位是8，位数分析和首位估算相结合，只有九千多乘九才能得到八万多，因此一个乘数的最高位是9，另外一位乘数是9．然后从首位开始分析，根据进位可得算式为9876988884⨯=3. 例题3答案：6373=4599⨯详解：首先进行末位分析3=9⨯，所以第二个乘数的个位只能是3．此时将横式转化成乘法竖式（见右图）．第二个乘积的百位可能是3或4，当第二个乘积的百位是3，第二个乘数的十位只能是5或6，此时竖式不成立；当第二个乘积的百位是4，第二个乘数的十位只能是7，此时竖式成立．即6373=4599⨯．4. 例题4答案：1374520+=⨯=或1734520+=⨯=详解：首先0只能填在最后一个小框内，填在其它的任何位置要么会不符合格式要么会出现两个相同的数字．然后只有25⨯，45⨯的积尾数为0，如果中间的框填25⨯，那么与前面的+矛盾．所以只能填45⨯．前面的框填137+或173+．5. 例题5答案：10404详解：首位估算易得，A 只能是1．列出竖式（见下图）．发现第二个乘积的百位应当为0，因此第二个乘积实际上不存6 3× 31 8 94 91 B C× 1 B C1 B C1 B D B D在，0=B ．这样第一个乘积的十位是0，⨯C C 不进位，尝试可知，2=C ．这个乘积就是10404． 6. 例题6答案：5416397289199-=⎧⎪+=⎪⎨÷=⎪⎪⨯=⎩详解：从乘法入手，只能是199⨯=，此时1和9都使用过，数字8不能在加法算式中出现．所以8只能出现在减法算式或除法算式中．当8出现在减法算式中，只能是871-=；此时剩下的5个数是2、3、4、5、6．这5个数能够组成的除法算式只有364÷；546÷，这两种情况剩下的两个数之和不是9，无法满足加法算式，所以8不能出现在减法算式中；因此8只能出现在除法算式中，除法算式只能是728÷，剩下的四个数是3、4、5、6，其中加法算式可以是63+或54+，要使得剩下的两个数差1，加法算式只能是63+，减法算式就是54-．7. 练习1答案：填1简答：88911988⨯=⨯，根据左边的算式，可得乘积个位是8，所以左边的“□”中可填1或6；然后进行位数估算：如果填6，左右两边结果明显相差很大，所以填1．8. 练习2答案：9739简答：观察横式的特点，四位数乘以一位数得到五位数，而这个五位数的最高位是8，位数分析和首位估算相结合，只有九千多乘九才能得到八万多，因此一个乘数的最高位是9，另外一位乘数是9．然后从首位开始分析，根据进位可得算式为9739987651⨯=9. 练习3答案：5793=5301⨯简答：首先进行末位分析7=1⨯，所以第二个乘数的个位只能是3．此时将横式转化成乘法竖式（见右图）．第二个乘积的百位可能是4或5，第二个乘数的十位只能是9，此时竖式成立．即5793=5301⨯．10. 练习45 7× 31 7 15 1+=÷=答案：132054简答：首先0只能填在被除数的十位，填在其它的任何位置要么会不符合格式要么会出现两个相同的数字．然后只有102÷、105÷、204÷、205÷、305÷或405÷，一一尝试可得只能为÷．20511.作业1答案：3简答：算式左右对称，所以两个方框内填的数字相同，右边式子乘积末位是2，所以左边的方框内只可能是3或8．经计算，只有3正确．12.作业2答案：8132或8322简答：商的首位是2，商的末位可以是4或9．分别尝试发现两种情况都成立．13.作业3答案：10890简答：转换成竖式，D D⨯的末尾是1，D有1和9两种可能，排除1，D只能是9．接下来利用首位分析和尾数分析，得出A是1，B是0，C是8．所以+=+=．ABCD DCBA108998011089014.作业4答案：102简答：334102⨯=．数字0只能填在乘积的十位，最大的数字是4，所以乘积的百位只能是1，积为一百零几，乘数只能为三十几，乘数的十位为3，又有3412⨯=，即可填出．15.作业5答案：56；12简答：1至8中，乘积十位是5的只有7856⨯=．⨯=，所以第二个算式就是3412。

第五讲加法原理与乘法原理“加法原理与乘法原理”研究的可不是加法和乘法怎么算！我们以前学习过枚举计数的方法，但枚举法对于很多计数问题来说太麻烦了，今天我们要学习的加法原理、乘法原理是计数问题中的两种新的计算方法．先举一个例子：餐厅里有4 种炒菜和2 种炖菜，4 种炒菜分别是：红烧鱼块、滑溜里脊、清炒虾仁和三鲜豆腐，2 种炖菜分别是：土豆炖牛肉和萝卜炖排骨．点菜时如果只点一个菜，有点炒菜和点炖菜这两类方式．也就是说，可以点：红烧鱼块、滑溜里脊、清炒虾仁、三鲜豆腐、土豆炖牛肉和萝卜炖排骨之一，有4 2 6种点菜方法，其中4代表4种炒菜，2代表2种炖菜．这就是加法原理．加法原理：如果完成一件事有几类方式，在每一类方式中又有不同的方法，那么把每类的方法数相加就得到所有的方法数．如果要求炒菜和炖菜各点一个，这时我们可以把一个炒菜和一个炖菜看成一个点菜组合，点炒菜是一第一步，点炖菜是第二步，这两步缺一不可．炒菜选红烧鱼块的点菜方法有2 种：（红烧鱼块，土豆炖牛肉）、（红烧鱼块，萝卜炖排骨）；类似地，选滑溜里脊的也有2种：（滑溜里脊，土豆炖牛肉）、（滑溜里脊，萝卜炖排骨）；选清炒虾仁的也有2种：（清炒虾仁，土豆炖牛肉）、（清炒虾仁，萝卜炖排骨）；选三鲜豆腐的也有2种：（三鲜豆腐，土豆炖牛肉）、（三鲜豆腐，萝卜炖排骨）．合在一起就有4 2 8种点菜方法，其中4 代表4 种炒菜，2代表2 种炖菜．这就是乘法原理．乘法原理：如果完成一件事分为几个步骤，在每一个步骤中又有不同的方法，那么把每步的方法数相乘就得到所有的方法数．例题1 小高一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机．经过网上查询，出发的那一天中火车有4 班，汽车有3班，飞机有2班．任意选择其中一个班次，有多少种出行方法？「分析」选择不同的交通工具是分类还是分步？是用加法原理还是乘法原理呢？练习1书架上有8 本不同的小说和10 本不同的漫画，大头要从书架上任意取一本书，有多少种不同的取法？例题2 用红、黄两种颜色给图中房子的屋顶、烟囱、门、窗四个部分染色，每个部分只能染一种颜色，一共有多少种不同的染色方法？「分析」要给四个部分染色，我们很容易想到要依次染每个部分，这是分类还是分步呢？只染一个部分能完成这件事情吗？练习2 用红、黄两种颜色给图中鸭子的眼睛、嘴巴、身子三个部分染色，每个部分只能染一种颜色，一共有多少种不同的染色方法？分类是指完成一件事情有几类不同方法，从中任意选取一类即可，它们之间可以相互替代，任意选取一类都可以完成这件事．这种情况下一般要用到加法原理．分步是指完成一件事情有几步不同步骤，每一步都必须执行，它们之间不可以相互替代，少一步都不能完成这件事．这种情况下一般要用到乘法原理．例题3从甲地到乙地有3 条路，从乙地到丙地有3 条路，从甲地到丁地有2 条路，从丁地到丙地有4 条路．如果要求所走路线不能重复，那么从甲地到丙地共有多少条不同的路线？「分析」要从甲地到丙地，就必须途径乙、丁两地之一．“甲→乙→丙”与“甲→丁→丙”这两类路线各有多少条呢？练习3 任意两地之间的路线都已在下图中标示出来，如果要求所走路线不能重复，那么从甲地到丙地共有多少条不同的路线？通过上面这几个例题，我们总结一下加法原理与乘法原理之间的区别．加法原理类与类之间会满足下列要求：1. 只能选择其中的某一类，而不能几类同时选；2. 类与类之间可以相互替代，只需要选择某一类就可以满足要求．比如例题1 中，飞机、火车或汽车是可以随意选择的，小高一家人只选择其中一种交通工具，就能到达目的地了．乘法原理步与步之间满足下列要求：1. 每步都只是整件事情的一个部分，必须全部完成才能满足结论；2. 步骤之前有先后的顺序，先确定好一步，再做下一步，⋯⋯，直到最后．比如例题2中，衣服和帽子都要选择，只是可以有先后的步骤关系．在这里，衣服和帽子先选哪种都可以．但有的时候却不能随意安排顺序，这种问题稍微难一些，我们在日后会接触到．加法原理与乘法原理的混合有些问题中，既有分类的关系，又有分步的关系．这时应该分清主次关系，弄清楚到底是“分类中含有分步” ，还是“分步中含有分类” ．如果是某一大类里面又可以再分为几小步，那么应该这一类里用乘法原理进行计算，最后再用加法原理把各类中的情况加在一起，比如例题3．当然我们以后也会碰到某一大步里面又可以再分为几小类的情况，这就要先用加法原理算出每一大步中有多少种情况，再用乘法原理把总数算出来．在本讲的最后，我们来介绍标数法．标数法是解决路径条数问题的重要方法．如下图所示，我们要计算蚂蚁从A 点沿箭头的方向爬到B 点的不同路线有多少条．C E G BA D F H由于蚂蚁只能向上走或者向右走，因此对于最下面一行中的每个点，蚂蚁只有一种方法可以到达，对于最左边一列中的点也是同样的结论（特别地，我们把A 点处标上1 ，表示蚂蚁从A 点出发到达A 点，只有原地不动这一种方式）．我们用标数法标出蚂蚁到达每个点的路线数，已经得到的结果如下图所示．C 1 E G BA 1 D 1 F 1 H 1容易看出，蚂蚁可以从C点或者D 点到达E 点，而且只有这两类不同的方式，那么我们可以在E点处标上数字1 1 2（把C点与D点的数字相加），表示蚂蚁到达E 点有两条路线．同样道理，蚂蚁可以从E点或者F 点到达G点，那么蚂蚁到达G点就有2 1 3条路线（把E点与F 点的数字相加）．最后可以得到蚂蚁到达B点有4 条路线，如下图所示．C 1 E 2 G 3 B 4A 1 D 1 F 1 H 1例题4在下图中，从A 点沿线段走到B 点，每次只能向上或向右走一步，共有多少种不同走法？「分析」标数法其实就是要找到前一步可能在的所有点，把它们的方法数加起来．练习4在下图中，从A点沿线段走到B 点，每次只能向上或向右走一步，共有多少种不同走法？例题老师要求墨莫在黑板上写出一个减法算式，要求被减数必须是三位数，减数必须是两位数．请问墨莫共有多少种不同的写法？「分析」被减数与减数都有很多种写法，只写其中一个能完成这个减法算式吗？写被减数和写减数是写出减法算式的两类还是两步？例题6书架上有三层书，第一层放了并且这些书都各不相同．请15本小说，第二层放了10本漫画，第三层放了5 本科普书，（1）如果从所有的书中任取（2）如果从每一层中各任取1 本，共有多少种不同的取法？1 本，共有多少种不同的取法？（3）如果从中取出2 本不同类别的书，共有多少种不同的取法？「分析」从第一层取1 本书、从第二层取1 本书、从第三层取1 本书，这三件事对于前两问来说是分类还是分步？B加减乘除的由来加减乘除（＋、－、×、÷）等数学符号是我们每一个人最熟悉的符号，因为不光在数学学习中离不开它们，几乎每天的日常的生活也离不开它们．别看它们这么简单，直到17 世纪中叶才全部形成．法国数学家许凯在1484 年写成的《算术三篇》中，使用了一些编写符号，如用D 表示加法，用M 表示减法．这两个符号最早出现在德国数学家维德曼写的《商业速算法》中，他用“＋”表示超过，用“─”表示不足．到1514 年，荷兰的赫克首次用“＋” 表示加法，用“ ─”表示减法．1544 年，德国数学家施蒂费尔在《整数算术》中正式用“＋”和“ ─”表示加减，这两个符号逐渐被公认为真正的算术符号，广泛采用．以符号“×”代表乘是英国数学家奥特雷德首创的．他于1631 年出版的《数学之钥》中引入这种记法．据说是由加法符号“＋”变动而来，因为乘法运算是从相同数的连加运算发展而来的．后来，莱布尼兹认为“×”容易与“X”相混淆，建议用“ ?”表示乘号，这样，“ ?”也得到了承认．除法符号“÷”，最初这个符号是作为减号在欧洲大陆流行，奥屈特用“：”表示除或比，也有人用分数线表示比，后来有人把二者结合起来就变成了“÷”．瑞士的数学家拉哈的著作中正式把“÷”作为除号．符号“÷”是英国的瓦里斯最初使用的，后来在英国得到了推广．除的本意是分，符号“÷”的中间的横线把上、下两部分分开，形象地表示了“分”．至此，四则运算符号齐备了．作业1.题库中有三种类型的题目，数量分别为30 道、40 道和45 道，每次考试要从三种类型的题目中各取一道组成一张试卷．问：由该题库共可组成多少种不同的试卷？2.小琴、小惠、小梅三人报名参加运动会的跳绳、跳高和短跑这三个项目的比赛，每人只能参加一项比赛，不一定三项比赛都要有人参加．请问报名的情况有多少种？3.图书馆有30本不同的数学书、20 本不同的英语书和10本不同的语文书．（1）墨莫要去图书馆借1 本书，有多少种不同的选择？（2）墨莫三种书都要各借1 本，有多少种不同的选择？4.萱萱要从4幅水墨画、3 幅油画和2 幅水彩画中选取两幅不同类型的画布布置客厅，有几种选法？5.在下图中，从A 点沿线段走到B 点，每次只能向上或向右走一步，共有多少种不同走法？第五讲 加法原理与乘法原理1. 例题 1 答案： 9 种 详解： 小高一家外出旅行，火车、汽车或飞机只要选择其中一类就可以完成要做的事情，所以 这是出行方式分成了三类，即加法原理，有 4 3 2 9 种出行方式．2. 例题 2答案： 16 种详解： 房子的四个部分都要染色，所以先给屋顶染色，有 色，也有 2 种颜色可以选择，再接下来给门染色，也有 样有 2 种颜色可以选择，分了四步即乘法原理，一共有3. 例题 3答案： 17 种 详解： 分成“甲 →乙→丙”和“甲 →丁→丙”这两类路线．对于“甲 →乙 →丙”这类路线：第 一步从甲到乙，有 3 种走法，第二步从乙到丙，有 3 种走法，利用乘法原理得到共有 3 3 9 种 走法．类似地，对于“甲 →丁→丙”这类路线，共有 2 4 8 种走法．把两类的走法加起来，可 得从甲地到丙地一共有 9 8 17 种走法．4. 例题 4答案： 35 种详解： 标数法，如下图：5. 例题 5答案： 81000 种详解： 一个减法算式，只要被减数和减数确定了，这个减法算式就是确定的，而且被减数和减 数都要有，所以先选择一个被减数，再选择一个减数．被减数是三位数，三位数的总个数有两 种算法，方法一：最小的三位数是 100，最大的三位数是 999，所以一共有 999 100 1 900 个 三位数；方法二：三位数必须要有百位、十位、个位，所以先给百位选择一个数字， 1~9 有 9 种 选择，再给十位选择一个数字， 0~9有10种选择，最后给百位选择一个数字， 0~9有 10种选择， 一共分了三步即乘法原理， 一共有 9 10 10 900 个三位数．两位数的总个数算法和三位数一样， 一种是 99 10 1 90 个两位数，另一种是 9 10 90 个两位数．要组成一个减法算式，先从三 位数中选择 1 个作为被减数，一共有 900 种选择，再从两位数中选择 1 个作为减数，一共有 90 种选择，分了两步即乘法原理，共有 900 90 81000 种不同的写法．6. 例题 6答案： 30种； 750 种； 275种详解：（1）从所有的书中任取 1 本，即可以选择小说或者漫画或者科普书，即在三类2 种颜色可以选择，接下来给烟囱染 2 种颜色可以选择，最后给窗染色，同中选择1 本，加法原理，共有15 10 5 30种不同的取法；（2）从每一层中各任取1 本，可以先在第一层取小说，再在第二层取漫画，最后在第三层取科普书，分了三步即乘法原理，共有15 10 5 750 种不同的取法；（3）从中取出2 本不同类别的书，可以是小说和漫画，也可以是漫画和科普，还可以是小说和科普，这是分了三类，在第一类小说和漫画必须各有一本，所以先取小说再取漫画，有15 10 150 种不同的取法；在第二类漫画和科普必须各有一本，所以先取漫画再取科普，有10 5 50 种不同的取法；在第三类小说和科普必须各有一本，所以先取小说再取科普，有15 5 75 种不同的取法，三类是加法原理，共有150 50 75 275 种不同的取法．7.练习1答案：18 种详解：从小说、漫画中任意取一本即可，即加法原理，有8 10 18 种取法．8.练习2答案：8 种详解：先给眼睛染，有2 种方法；再给嘴巴染，有2 种方法；最后给身子染，有2 种染法，分三步，乘法原理，所以共有2 2 2 8 中不同的染法．9.练习3答案：11 种简答：分成“甲→乙→丙”和“甲→丙”这两类路线．对于“甲→乙→丙”这类路线：第一步从甲到乙，有3种走法，第二步从乙到丙，有3种走法，利用乘法原理得到共有3 3 9种走法．而对于“甲→ 丙”这类路线，共有2 种走法．把两类的走法加起来，可得从甲地到丙地一共有9 2 11 种走法．10.练习4答案：10 种简答：标数法：B11.作业1 答案：54000 种．简答：乘法原理，30 40 45 54000 种．12.作业2答案：27 种简答：乘法原理，3 3 3 27 种．13.作业3 答案：（1）60种；（2）6000 种简答：（1）加法原理，30 20 10 60 种．（2）乘法原理，30 20 10 6000 种．14.作业4答案：26 种简答：分三类：水墨、油画，4 3 12 种选法；油画、水彩，3 2 6 种选法；水墨、水彩，4 2 8 种选法，所以一共有12 6 8 26 种选法15.作业5 答案：25 种简答：标数法，如下图所示．1 3 6 102 3 410 25B155。

第7讲直线形计算一兴趣篇1、如图，由十六个同样大小的正方形组成一个“5”字。

如果这个图形的周长是102厘米，那么它的面积是多少平方厘米？2、如图，用两块长方形纸片和一块小正方形纸片拼成了一个大正方形纸片，其中小正方形纸片面积是49平方厘米，其中一个长方形纸片的面积为28平方厘米，那么最后拼成的大正方形纸片面积是多少平方厘米？3、如图，小、中、大三个正方形从左到右依次紧挨着摆放，边长分别是3、7、9。

图中两个阴影平行四边形的面积分别是多少？4、如图，从梯形ABCD中分出两个平行四边形ABEF和CDFG。

其中ABEF的面积等于60平方米，且AF的长度为10米，FD的长度为4米。

平行四边形CDFG的面积等于多少平方米？5、如图，把大、小两个正方形拼在一起，它们的边长分别是8厘米和6厘米，那么左图和右图中阴影部分的面积分别是多少平方厘米？6、如图，在正方形ABCD中，对角线AC的长度为8厘米，那么正方形的面积是多少平方厘米？7、如图，平行四边形ABCD中，AD的长度为20厘米，高CH的长度为9厘米；E是底边BC上的一点，且BE长6厘米，那么两个阴影三角形的面积之和是多少平方厘米？8、图中，平行四边形ABCD的面积是32平方厘米，三角形CED是一个直角三角形。

已知AE=5厘米，CE=4厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？9、如图，在平行四边形ABCD中，三角形BCE的面积是42平方厘米，BC的长度为14厘米，AE的长度为9厘米，那么平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米？三角形BCE的面积又是多少平方厘米？10、如图，小正方形ABCD放在大正方形EFGH的上面。

已知小正方形的边长为4厘米，且梯形AEHD的面积是28平方厘米，那么梯形AFGD的面积多少平方厘米？拓展篇1、如图，有一块长方形田地被分成了五小块，分别栽种了茄子、黄瓜、豆角、莴笋和苦瓜。

其中栽种茄子的面积是16平方米，栽种黄瓜的面积是28平方米，栽种豆角的面积是32平方米，栽种莴笋的面积是72平方米，而且左上角栽种茄子的田地恰好是一个正方形。

第二十二讲数表规律计算三年级的时候我们学习过找位置，其实就是简单的数表规律问题，今天我们来学习更为复杂的数表规律问题．数表，其实也就是把数列中的数按某种规律排列成了表格的形式．一般地，在长方形数表中，我们记：从上向下横行依次为第一行、第二行、第三行、……从左到右竖行依次为第一列、第二列、第三列、……请大家仔细观察下面几个表中的数是按照什么规律排列的．我们在观察一个数表时，首先要关注的是数表中有哪些数，这些数在数表中按照什么规律排列，能不能找到它们的周期．实际上，数表中的数也构成一个数列．但数列与数表是不同的，在数列问题中我们只需要关注所求的是第几个数，而在数表问题中我们则要考虑所求的数在第几行第几列．我们一般通过以下三个步骤判断一个数在数表中的位置：1. 找到数表中的数组成的数列规律，判断这个数在对应的数列中是第几个；2. 数表中的数在排列时有什么周期规律，所求的数是第几个周期中的第几个数；3. 找到这个数所在的行或列．如果我们知道了某个数在数表中的具体位置，要反求这个数是多少，可以通过三个步骤来考虑：1. 数表中的数在排列时有什么周期规律，所求的数是第几个周期中的第几个数；2. 找到这些数组成的数列规律，判断这个数在对应的数列中是第几个；3. 求出这个数具体是多少．例题1如表所示，把从2开始连续的偶数按照一定规律排列，请问：140这个数在第几行第几列？第11行第6列是多少？「分析」首先要观察找到数表中的数列是什么．7个数一行，即一周期，求140在第几行第几列，即求140是第几个周期的第几个数．思考一下，能直接用1407 来计算吗？练习1如表所示，把从2开始连续的偶数按照一定规律排列，请问：100这个数在第几行第几列？第21行第3列是多少？如表所示，表格中的数是按照一定规律排列的，请问：300这个数在第几行第几列？第3行第20列是多少？「分析」数表中的数列是3，6，9，12，…，要求300在第几行第几列，要先求出300是第几个数，再求出它是第几个周期的第几个数．练习2如表所示，表格中的数是按照一定规律排列的，请问：350这个数在第几行第几列？第71行第2列是多少？例题3如图所示，将自然数有规律地填入方格表中，请问： （1）81在第几行、第几列？（2）第51行第2列是多少？「分析」9个数一周期，每周期占了两行，那么第51行第2列这个格子中的数是在第几个周期中呢？它又是这个周期中的第几个数呢？练习3如图所示，将自然数有规律地填入方格表中，请问： （1）100在第几行、第几列？ （2）第40行第4列是多少？如表所示，把从2开始连续的偶数按照一定规律排列，请问：96这个数在第几行第几列？第20行第3列是多少？「分析」两行10个数一周期，96是第几个数？在第几个周期中呢？第20行第3列是在第几个周期中呢？ 练习4如表所示，把从1开始连续的自然数按照一定规律排列，请问：157这个数在第几行第几列？第3行第22列是多少？ 例题5如图，表格中的数是按一定规律排列的， 请问：（1）102在第几行、第几列？ （2）第20行第3列的数是多少？「分析」两行8个数一周期，102是第几个数？在第几个周期中呢？第20行第3列是在第几个周期中呢？ 例题6如表所示，把从2开始连续的偶数按照一定规律排列，请问：200这个数在第几行第几列？第2行第40列是多少？「分析」几个数一周期呢？200是数列中的第几个数？在哪一个周期中呢？第2行第40列是第几个周期中的第几个数呢？第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第6列第1行2 4 6 8第2行16 14 12 10第3行1820 22 24第4行32 30 28 26第5行 34 ……课堂内外随机数表法随机数表，也称乱数表，是由随机生成的从0到9十个数字所组成的数表，每个数字在表中出现的次数是大致相同的，它们出现在表上的顺序是随机的．随机数表在实际生活中具有重大的意义．随机数表法就是利用随机数表抽取样本的方法．比如，对银行来说，银行的ID和密码非常脆弱，如果有随机数表，就可以防备此类事件．随机数表为每个客户指定各不相同的数字列表，申请时将该随机数表分配给客户，而不是按照一定的规律给出，这就安全很多．举个例子说明：某企业要调查消费者对某产品的需求量，要从95户居民家庭中抽选10户居民，用随机数表法抽取样本．第一步：将95户居民家庭编号，即01~95；第二步：在附录中的随机数表里，随机确定抽样的起点和抽样的顺序．假定从第一行、第五列开始抽，抽样顺序从左往右；第三部：依次抽出号码分别是86、36、96、47、36、61、46、99、69、81．其中96和99不在编号范围内，所以排除掉，补充后面的两个数62、74．由此生成的10个样本单位号码为：86、36、47、36、61、46、69、81、62、74．编码为这些号码的居民家庭就是抽样调查的对象．采用随机数表法抽取样本，完全排除主观挑选样本的可能性，使得抽样调查有较强的科学性．作业1. 如左下表所示，将从1开始的自然数按某种规律填入方格表中，请问：（1）66在第几行，第几列？（2）第33行第4列的数是多少？2. 如左下表所示，将从1开始的自然数按某种规律填入方格表中，请问： （1）91在第几行，第几列？ （2）第3行第44列的数是多少？3. 如左下表所示，将从1开始的自然数按某种规律填入方格表中，请问：（1）第4行第100列的数是多少？ （1）75在第几行，第几列？ 4.如表所示，将从2开始连续的偶数按某种规律填入方格表中，请问： （1）196在第几行，第几列？ （2）第4行第60列的数是多少？5． 如左下表所示，数阵中的数是按一定规律排列的，请问：（1）97在第几行第几列？ （2）第18行第4列的数是多少？第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第6列 第1行1 2 3 4 5第2行6 7 8 9 10第3行11 12 13 14 15第4行16 17 18 19 20第5行 21 LL第二十二讲数表规律计算1.例题1答案：第10行第7列；152详解：（1）一行7个数一周期，140是整个数列中的第70个数，70710÷=，即是第10个周期的最后一个数，在第10行第7列；（2）一行7个数一周期，第11行第6列是第11个周期的第6个数，即整个数列中的第⨯=．107676⨯+=个数，即为7621522.例题2答案：第4行第25列；237详解：（1）一列4个数一周期，300是整个数列中的第100个数，100425÷=，即是第25个周期的最后一个数，在第4行第25列；（2）一列4个数一周期，第3行第20列是第20个周期的第3个数，即整个数列中的第⨯=．⨯+=个数，即为7932371943793.例题3答案：第18行第6列；227详解：（1）两行9个数一周期，81是整个数列中的第81个数，8199÷=，即是第9个周期的最后一个数，在第18行第6列；（2）两行9个数一周期，第51行第2列是第26个周期的第2个数，即整个数列中的第⨯+=个数，即为227．25922274.例题4答案：第10行第3列；196详解：（1）两行10个数一周期，96是整个数列中的第48个数，481048÷=L L，即是第5个周期的第8个数，在第10行第3列；（2）两行10个数一周期，第20行第3列是第10个周期的第8个数，即整个数列中的第⨯-=个数，即为982196⨯=．10102985.例题5答案：第13行第5列；156详解：（1）两行8个数一周期，102是整个数列中的第51个数，51863÷=L L，即是第7个周期的第3个数，在第13行第5列；（2）两行8个数一周期，第20行第3列是第10个周期的第3个数，即整个数列中的第98678⨯+=个数，即为782156⨯=．6.例题6答案：第1行第34列；238详解：（1）三列9个数一周期，200是整个数列中的第100个数，1009111÷=L L，即是第12个周期的第1个数，在第1行第34列；（2）三列9个数一周期，第2行第40列是第14个周期的第2个数，即整个数列中的第⨯=．⨯+=个数，即为119223813921197.练习1答案：第10行第5列；206简答：（1）一行5个数一周期，100是整个数列中的第50个数，50510÷=，即是第10个周期的最后一个数，在第10行第5列；（2）一行5个数一周期，第21行第3列是第21个周期的第3个数，即整个数列中的第⨯=．⨯+=个数，即为103220620531038.练习2答案：第14行第5列；1760简答：（1）一行5个数一周期，350是整个数列中的第70个数，70514÷=，即是第14个周期的最后一个数，在第14行第5列；（2）一行5个数一周期，第71行第2列是第71个周期的第2个数，即整个数列中的第⨯=．7052352⨯+=个数，即为352517609.练习3答案：第34行第2列；119简答：（1）两行6个数一周期，100是整个数列中的第100个数，1006164÷=L L，即是第17个周期的第4个数，在第34行第2列；（2）两行6个数一周期，第40行第4列是第20个周期的第5个数，即整个数列中的第⨯-=个数，即为119．206111910.练习4答案：第4行第40列；86简答：（1）两列8个数一周期，157是整个数列中的第157个数，1578195÷=L L，即是第20个周期的第5个数，在第4行第40列；（2）两列8个数一周期，第3行第22列是第11个周期的第6个数，即整个数列中的第⨯-=个数，即为86．11828611.作业1答案：第14行第1列；164简答：（1）一行5个数一周期，66是整个数列中的第66个数，665131÷=L L，即是第14个周期的第1个数，在第14行第1列；（2）一行5个数一周期，第33行第4列是第33个周期的第4个数，即整个数列中的第⨯+=个数，即为164．325416412.作业2答案：第3行第23列；175简答：（1）一列4个数一周期，91是整个数列中的第91个数，914223÷=L L，即是第23个周期的第3个数，在第3行第23列；（2）一列4个数一周期，第3行第44列是第44个周期的第3个数，即整个数列中的第⨯+=个数，即为175．434317513.作业3答案：497；第5行第15列简答：（1）两列10个数一周期，第4行第100列是第50个周期的第7个数，即整个数列中的第⨯+=个数，即为497；49107497（2）两列10个数一周期，75是整个数列中的第75个数，751075÷=L L，即是第8个周期的第5个数，在第5行第15列．14.作业4答案：第3行第20列；594简答：（1）两列10个数一周期，196是整个数列中的第98个数，981098÷=L L，即是第10个周期的第8个数，在第3行第20列；（2）两列10个数一周期，第4行第60列是第30个周期的第7个数，即整个数列中的第⨯=．⨯+=个数，即为29725942910729715.作业5答案：第20行第2列；89简答：（1）两行10个数一周期，97是整个数列中的第97个数，971097÷=L L，即是第10个周期的第7个数，在第20行第2列；（2）两行10个数一周期，第18行第4列是第9个周期的第9个数，即整个数列中的第⨯+=个数，即为89．810989。

第十讲游戏策略对策论又称博弈论，研究的现象与政治、经济、军事乃至人们的日常生活学习都有密切的联系．一般地，在具有竞争或对抗性质的行为中，参加竞争对抗的各方具有不同的目标．为了达到各自的目标，各方既要制定出对自己最有利的方案，又要考虑到对手所有可能采取的方案．对策论就是研究竞争对抗中各方是否存在最佳行动方案，以及如何找到这个最佳方案．我们将要学习的对策问题，主要是研究在两人的游戏过程中如何使自己取胜的策略问题．如果说“统筹规划”所研究的是“死的”对象的话，那么“对策问！题”所研究的就是一个“活的”对手，因而在考虑问题时需要设想对手可能采取的各种方案，并使己方的策略能在对手所有可能采取的方案中都处于有利位置， 我们将这种状态称作“必胜状态”（否则称为“必败状态”）．那么在给定的游戏 规则下，是否存在必胜状态，以及为了达到必胜状态所采取的策略就成了问题的 关键．需要强调的是，我们的目标不是“可能胜” 而是“必胜” 我们不能存在侥幸心理，不能寄希望于对方的失误，而是要在假定双方都足够聪明的前提下寻找必胜策略．例题 1有 12 枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定甲先取，每人每次至少取 1 枚，最多取 3 枚．如果谁取走最后一枚棋子谁赢，那么谁有必胜策略？ 如果谁取走最后一枚棋子谁输，那么谁有必胜策略？必胜策略是什 么？「分析」直接考虑 12 枚棋子并不容易，大家不妨试试棋子较少时谁有必胜策略，看看能否找到规律．练习 1有 15 枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定甲先取，每人每次至少取 1 枚，最多取 2 枚．如果谁取走最后一枚棋子谁赢．那么谁有必胜策略？如果谁取走最后一枚棋子谁输，那么谁有必胜策略？必胜策略是什么？情况很复杂时，我们往往需要先从比较简单的情况开始尝试，在逐渐变复杂的过程中，寻找规律进而解决题目．这其实是一种非常重要的数学思想，高年级乃至往后的数学学习中应用的递推、数学归纳法等都是以此为基础的．利用互补的想法，我们有更一般的结论．“有 m 枚棋子，两人轮流取棋子，规定每人每次可以取走 1 至 n 枚，直到把棋子取完为止，谁取得最后的一枚棋子谁胜．”其取胜策略是：每次取走棋子数除以 (n + 1) 的余数枚棋子，让对方面对(n + 1) 的倍数枚棋子——必败状态，则可保证取到最后的一枚棋子而获胜．例题2现有2014根火柴．甲、乙两个人轮流从中取出火柴，规定甲先取，每人每次至少从中取出2根，最多取出4根．如果谁无法取出火柴谁就赢，请问谁一定能赢？策略是什么？「分析」本题中每人每次最少要取出2根火柴，如果恰好剩下1根火柴，就已经无法再次取出了．能否像例题1那样，从火柴较少的情况入手，找出规律呢？练习2现有2009个糖豆，甲、乙两个人轮流取从中出糖豆，每次至少从中取出2个，最多取出5个，谁无法取出糖豆谁就赢．如果甲先取，请问谁一定能赢？策略是什么？在一定能分出胜负的对策问题中，一方要么处于必胜状态，要么处于必败状态．处于必胜状态的一方，总能进行一次适当的操作后，把必败状态留给对手．反之，处于必败状态的一方，无论采取什么策略，都只能把必胜状态留给对手．在很多对策问题中，具有对称性的状态往往是解决问题的关键．例题3甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取，个数不为零即可．规定取到最后一个球的人赢，甲先取球．如果开始时两堆分别有五个球和八个球，那么谁有必胜策略？请说明理由．「分析」直接考虑5个和8个并不容易，你能像之前一样，从最简单的情况开始分析，找到规律吗？练习3甲、乙两个海盗分金币：有两堆金币，一堆有2009枚，一堆有2014枚．甲、乙轮流从中拿金币，每次只能从同一堆中拿，个数不为零即可．规定拿到最后一枚金币的人获胜，胜者可以获得所有金币．如果甲先拿，那么谁有必胜策略？请说明理由．例题4B如下图，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45°角走1步，最终将棋子走到方格B的人获胜．请问：A谁一定能获胜？必胜策略是什么？「分析」在棋盘中，有一些是必胜格，有一些是必败格．一方想要获胜，必须每次都把棋子走到必胜格子中，使得对手下一步无论采取什么操作，都不得不进入必败格子．本题中方格B就是必胜格．那么其他的格子中哪些是必胜格？哪些是必败格？B 练习4如右图，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45°角走1步，A最终将棋子走到方格B的人获胜．请问：谁有必胜策略？必胜策略是什么？例题5如下图，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后B 轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45角走1步，最终将棋子走到方格B的人获胜．请问：（1）谁一定能获胜？必胜策略是什么？（2）如果每次允许往同一方向（上、右或A右上）走任意多步，结果又如何呢？「分析」第（1）问中，每次只能走1步，那么B为必胜格，则它相邻的左、下、左下三个格子全是必败格；第（2）问中，每次可以走任意多步，那么B为必胜格，则由B可以直接找出多少个必败格呢？“ 例题 6桌上有一块巧克力，它被直线划分成 3 行 7 列的 21 个小方块，如图 所示．现在让你和对手进行一种两人轮流切巧克力的游戏，规则如下：①每人每次只许沿一条直线把巧克力切成两块； ②拿走其中一块，把另一块留给对手再切；③不断重复前两步，最后谁能恰好留给对手一个小方块，谁获胜． 如果你首先切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能保证自己最后获胜？「分析」直接分析并不容易，还是先来看看简单情况吧！如果只有一行或一列的小方块，谁会获胜？两行或两 列呢？你能发现什么规律呢？在对策问题中，要想取得胜利，必须使自己能始终保持在必胜状态中，而使对手总是处于必败状态．明确了这一点，我们就知道了解决对策问题的关键在于弄清楚什么是必胜状态，什么是必败状态． 知己知彼，百战不殆．”哪一方的策 略更胜一筹，哪一方就会取得最终的胜利．课堂内外田忌赛马田忌很喜欢赛马．有一回他和齐威王约定，进行一次比赛．将马分成上、中、下三等，比赛的时候，上等马对上等马，中等马对中等马，下等马对下等马．由于齐威王每个等级都比田忌的强，三场比下来，田忌都失败了．田忌觉得很扫兴，垂头丧气地准备离开赛马场．这时，田忌发现，他的好朋友孙膑也在人群里．孙膑招呼田忌过来，拍着他的肩膀，说：“从刚才的情形看，齐威王的马比你的马快不了多少呀……”孙膑还没说完，田忌瞪了他一眼，说：“想不到你也来挖苦我！”孙膑说：“我不是挖苦你，你再同他赛一次，我有办法让你取胜．” 田忌疑惑地看着孙膑：“你是说另换几匹马？” 孙膑摇摇头，说：“一匹也不用换．”田忌没有信心地说：“那还不是照样输！”孙膑胸有成竹地说：“你就照我的主意办吧．”齐威王正在得意洋洋地夸耀自己的马，看见田忌和孙膑过来了，便讥讽田忌：“怎么，难道你还不服气？”田忌说：“当然不服气，咱们再赛一次！”齐威王轻蔑地说：“那就来吧！”一声锣响，赛马又开始了．孙膑让田忌先用下等马对齐威王的上等马，第一场输了．接着进行第二场比赛．孙膑让田忌拿上等马对齐威王的中等马，胜了第二场．齐威王有点儿心慌了．第三场，田忌拿中等马对齐威王的下等马，又胜了一场．这下，齐威王目瞪口呆了．比赛结果，田忌胜两场输一场，赢了齐威王．还是原来的马，只调换了一下出场顺序，就可以转败为胜．作业1.10枚正面朝下的硬币排成一排放在桌子上，两个小朋友玩翻硬币游戏．规定：每人每次只能翻动一枚或两枚硬币使之正面朝上，翻过的硬币不能再翻．两人轮流翻硬币，翻动最后一枚硬币的人获胜．请问：谁有必胜策略？必胜策略是什么？2.现有200个石子．甲、乙两个人轮流从中取出石子，每次最少从中取出2个，最多取出4个，谁无法取出石子谁就赢．如果甲先取，那么谁有必胜的策略？必胜策略是什么？3.甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取任意多个，但不能不取．规定取到最后一个球的人输，甲先取球．（1）如果开始时两堆各有两个球，那么谁有必胜策略？请说明理由；（2）如果开始时两堆分别有两个球和三个球，那么谁有必胜策略？请说明理由．4.甲、乙二人轮流在一个正十二边形中画对角线（即两个不相邻顶点的连线）规定新画．的对角线不能与已经画出的对角线相交，谁不能继续画谁输．甲先画，请问谁有必胜策略？必胜策略是什么？\5.如下图所示，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45角走1步，最终将棋子走到方格B的人获胜．请问：谁一定能获胜？必胜策略是什么？BA第十讲游戏策略1.例题1答案：（1）乙有必胜策略；（2）甲有必胜策略详解：（1）如果剩不到4枚棋子，先取的人把所有棋子取走后获胜；如果剩4枚棋子，无论先取的人如何取，所剩的棋子数都不到4枚，所以后取的人获胜；如果有12枚棋子，甲取1枚时乙取3枚，甲取2枚时乙取2枚，甲取3枚时乙取1枚，在每次甲取完后，乙可以取适当数量的棋子以保证两人一个回合共取4枚棋子，这样乙可以拿到最后1枚，乙胜．（2）如果剩1枚，那么先取的人必败；如果剩2至4枚，先取的人可以剩1枚不取，所以后取的人败．12枚的情况与4枚的情况类似，甲先取3枚，剩下9枚．之后乙取1枚时甲取3枚，乙取2枚时甲取2枚，乙取3枚时甲取1枚，甲保证两人一个回合共取4枚棋子．最后1枚必然被乙拿到，甲胜．2.例题2答案：甲有必胜策略详解：根据上题经验，第二个人总可以保证和第一个人共取6根火柴，2014÷6=335L L4，所以2014根火柴的情况与4枚火柴的情况相同．4枚火柴时甲先取2根火柴即可获胜，因此2014根火柴时甲也先取2根火柴，之后乙无论怎么取，甲再取时都可以保证两人一个回合共取6根火柴．(2014-2)÷6=335L L2，最后剩下的2根火柴留给了乙，甲无法取出火柴，甲获胜．3.例题3答案：甲必胜详解：甲先从8个球的那堆中取出三个球，使得两堆球一样多．之后每次乙取几个球，甲就在另一堆中取相同数量的球，甲获胜．4.例题4答案：甲必胜详解：我们给必胜格子（如方格B）标记“√”，给必败格子标记“×”．从方格B逆推，能一步走到B的格子都要标记“×”．特别地，最上边一行和最右边一列为“√”和“×”相间的标记，如左图．对于左图中的格子1和格子3，对方有办法把它移到必胜格子中，所以格子1和格子3都是必败格子．如果把棋子移到格子2中，对手无论怎么移，都只能移到必败格子中，因此格子2是必胜格子．用类似的方法分析，得到右图．因此甲有必胜策略，每次把棋子移到标有“√”的格子中即可．×√×B1××23√A××√×B ×××××√×√××××5.例题5答案：（1）甲必胜；（2）甲必胜详解：（1）我们给必胜格子（如方格B）标记“√”，给必败格子标记“×”．从方格B逆推，能一步走到B的格子都要标记“×”．特别地，最上边一行和最右边一列为“√”和“×”相间的标记，如左图．对于左图中的格子1和格子3，对方有办法把它移到必胜格子中，所以格子1和格子3都是必败格子．如果把棋子移到格子2中，对手无论怎么移，都只能移到必败格子中，因此格子2是必胜格子．用类似的方法分析，得到右图．因此甲有必胜策略，每次把棋子移到标有“√”的格子中即可．√×√×√×B1××23√×√√×√×√×B ×××××××√×√×√×√×××××××√×√×√×√A×A××××××（2）与第（1）问方法类似，得到下图．甲有必胜策略，每次把棋子移到标有“√”的格子中即可．××××××B××××√×××××××√××√××××××××××××A××√×××6.例题6答案：切走12个小方块详解：当只剩1行（或1列）时，但不是一个小方块，先切的人只要切剩下一个小方块就赢了．当剩2行（或2列）时，如果剩2⨯2的方块，那么先切的人切完后成为1⨯2的方块，所以后切的人必胜；如果剩2⨯3、2⨯4、…等情况，先切的人只要切剩下一个2⨯2的方块就可以取胜．当剩3行（或3列）时，如果剩3⨯3的方块，先切的人切一刀后只能剩下1⨯3或2⨯3的方块，此时后切的人获胜．当有3⨯7块时，先切的人切走3⨯4=12块，给对手留下一个3⨯3的正方形，接着每次都给对手留下一个1⨯1或2⨯2的正方形即可获胜．7.练习1答案：（1）乙必胜；（2）甲必胜详解：（1）甲取1枚时乙取2枚，甲取2枚时乙取1枚，乙只要保证两人一个回合共取3枚棋子，即可拿到最后1枚获胜．（2）甲先取2枚，剩下13枚．之后乙取1枚时甲取2枚，乙取2枚时甲取1枚，甲保证两人一个回合共取3枚棋子，最后1枚必然被乙拿到，甲胜．8.练习2答案：甲必胜详解：2009÷(2+5)=287，甲先取5个糖豆，之后乙无论怎么取，甲再取时都可以保证两人一个回合共取7个糖豆，最后剩下的2个糖豆留给了乙，甲无法再次取出糖豆，甲获胜．9.练习3答案：甲必胜简答：甲先从2014个金币中取出5个金币，使两堆金币一样多．之后每次乙拿几个金币，甲就在另一堆中拿相同数量的金币，最后肯定甲拿走最后一个金币，甲获胜．10.练习4答案：甲必胜简答：策略是每次把棋子走到下图中标有“√”的格子内．√×√×B×××××√×√×√A××××11.作业1答案：先翻动的人必胜简答：先翻硬币的小朋友翻1枚硬币，以后对手翻1枚时自己翻2枚，对手翻2枚时自己翻1枚，保证两人一个回合共翻3枚，即可保证自己翻到最后1枚．12.作业2答案：乙必胜简答：甲取2个乙就取4个，甲取3个乙也取3个，甲取4个乙就取2个．200÷6=33L L2，最后剩下2个石子，甲取完，乙无法再取，乙获胜．13.作业3答案：（1）乙必胜；（2）甲必胜简答：（1）甲取1个乙就取2个，甲取2个乙就取1个．（2）必胜策略是从三个球的那堆中取1个球，之后乙取1个甲就取2个，乙取2个甲就取1个．14.作业4答案：甲必胜简答：策略是先画一条经过正十二边形中心的对角线，以它为对称轴，把图形分成对称的两部分．之后乙每画一条对角线，甲就在对称的位置上画出对角线．最后肯定是乙不能继续画，甲胜．15.作业5答案：乙必胜简答：策略是每次把棋子走到下图中标有“√”的格子内．√×√×√×B×××××××A×√×√×√。

小学四年级上册数学奥数知识点讲解第12课《填横式2》试题附答案第十四讲填横式（二）在上讲基础上，这一讲我们继续研究.某些横式中只给了运算符号和个别数字，需要我们通过分析、思考填入一些适当的数字，使算式成立.例1将1〜驰九个数字分别填入下面算式的空格内，其中有一个数字已经知道，每个空格内只许填一个数字，使算式成立:例21〜9这九个数字分别填入下面算式的空格中，每个空格只许填一个数字,使算式成立:□□一□=□□+□=□□+□例3下题是由1〜9这九个数字组成的算式，其中有一个数字己经知道，请将其余的数字填入空格，使算式成立：1口又口=5口f口口+口乂口=口例4是由1〜9这九个数字组成的算式，请将这些数字填入空格，使算式成立.［口乂口乂口=口+口（□+口=口+口答案第十四讲填横式（二）在上讲基础上，这一讲我们继续研究.某些横式中只给了运算符号和个别数 字，需要我们通过分析、思考填入一些适当的数字，使算式成立.例1将1-9这九个数字分别填入下面算式的空格内，其中有一个数字已经知 道，每个空格内只许填一个数字，使算式成立：□□□+分析观察此横式，共三个算式，口口口一口口、口-口、口・7,要使这三 个算式的运算结果相同.由于第三个算式的减数己经知道，所以选择第三个算式 口-7的差作为解题的突破口.因为口-7中被减数可填8和9,所以口-7,的差就可以为1和2这两种情况.空格内填什么数字，都不能出现商为1,因此第三个算式不可能为 （2）若第三个算式为回一口那么第一个算式为：口口口一口口=2,即 □□□=□0X2,从而积的百位数为1,此时还有2,3,4,5,6,8可填，由数 字不重复出现可得两位乘数只能为86、83、82、64、62五种取值。

若乘数为86,积为86X2=172,7已出现,不行；若乘数为83,积为83X2=166,6重复出现，不行；若乘数为82,积为82X2=164,剩下的5-3=2,可以，此时有164+82二5-3二9一7若乘数为64,积为64X2=128,剩下的5-3=2,可以，此时有若乘数为62,积为62X2=124,2重复出现，不行.可昨回一囱二回-R（1）若第三个算式为 回一L 由于第一个算式口口口 一口口，不论这五个 回-7例21〜成九个数字分别填入下面算式的空格中，每个空格只许填一个数字, 使算式成立:□□+□=□□+□=□□+□分析由于三个算式都是两位数除以一位数，所以考虑起来比较困难.(1)如果1出现在被除数的十位，则每个算式的商最小为2,最大为9为了叙述方便，将方格内先填上字母：AB+C=DE+F=GH+I①若网回一回二回回，回密回，旺2,则三个算式中A =D =G=L 出现重复数字，所以三个算式的商不可能都为2.②®回,昨回回+回密回,臼=3,则三个算式中的人、D 、G 必为1和2,也出现重复数字，所以三个算式的商不可能都为立③同同「回二回回+回密回一旺4,则三个算式中的人、D 、G 为1、2和3,12+3=424+6=432+8=416+4=428+7=436+9=44 I I 68 I M回-2 8若第一个算式为回凶,回，则D 与G 都不能为2,只能为3,出现重复数 字，因此第一个算式为同回,回,由于4与6都已用过，所以第二个算式不可能 为回回,忖，便为回圆，回，这时剩下3、5、9三个数字没有用过，而这三个 数字无法组成商为4的除法算式，因此三个算式的商不可能都为4.④三个算式的商不可能都为5,否则会出现B=E=H=5,或B 、E 、H 中有为0的，而我们所使用的数字中不包括618+3=642+7=654+9=6由于在这三个算式的被除数与除数部分，4重复出现，因此三个算式的商不 可能都为6.14+2=721+3=728+4=742+6=749+7=756+8=763+9=7由于找不到三个左边数字不重复出现的式子，因此三个算式的商不可能都 为7.16+2=824+3=832+4=856+7=864+8=872+9=8由于找不到三个左边数字不重复出现的式子，因此三个算式的商不可能都 为8.⑧若因叵]+©=©国+国=©闻+[1]=9.18+2=927+3=936+4=954+6=9 ⑤若 可回+回二回回+回二回回+臼=6.⑥若 司回,回二回回十回二回回+臼二7⑦若 可回一回二回回+回二回回一臼二863+7=972+8=981+9=9由于找不到三个左边数字不重复出现的式子，因此三个算式的商不可能都（2）如果1出现在被除数的个位，则商为3、7、9、13、17、27.①若回国]+©=回国+国=©闻+[1]=3,21+7=3剩下3、4、5、6、8、9这六个数字，不可能组成被除数是两位 蜘，除数是一位数且商为3的除法算式，因此这三个算式的商不可能都为3.②若因回+©=回国+国=回回+国=7,21+3=756+8=749+7=7便有回[3+因=回回+回=⑷囱+团②若回回+回=回国+国=回回+[1]=9,81+9=954+6=927+3=9便有团团+囱=回⑷+回=叵][H+叵]④若囚回+©=回国+国=回回+|1]=13,91+7=1352+4=13,还剩3、6、8三个数字,不可能组成商为13的除法 算式.因此三个算式的商不可能都为13.⑤若回回+©=回国+国=©回+[1]=17,51*3=1768+4=17,还剩2、7、9三个数字，不可能组成商为17的除法 算式.因此三个算式的商不可能都为17.⑥若因回+©=回国+国=回回+[U=27,81+3=2754+2=27,还剩6、7、9三个数字，不可能组成商为27的除法（3）如果1出现在除数部分，则商为23〜29和32,经试验无一成立.为9.解：回田+③=⑷囱+团=囱回+回，团团+国=回⑷+回=叵!LT+m.例3下题是由1〜9这九个数字组成的算式，其中有一个数字已经知道，请将其余的数字填入空格，使算式成立：（口、口=5口f□□土口乂口=口分析由于第一个算式中己经知道了一个数字，所以选择第一个算式作为解题的突破口.由于回X回=5回,团＞＜回=5回，所以第一个算式只有这两种情况.现在看第二个算式，为了叙述方便，先将第二个算式的空格内填上字母:因回+回乂回=匡］由于第二个算式的结果为一位数，所以第二个算式中因国］+©的商必为一位数，且不为1.①若第一个算式为固x叵］=5固，则还剩1、2、3、7、8这五个数字，因此D为1或2.若D=l,则还剩2、3、7、8这四个数字，无论怎样填，也都无法使算式因回子©X1］=国成立.若D=2,则还剩1、3、7、8这四个数字，无论怎样填，都不能使算式囚回+回义团=国成立.因此第一个算式不可能为回x叵］=5⑷②若第一个算式为团X叵]=5回，则还剩1、2、3、4、9这五个数字，D可能为1、2或3.若D=l,还剩下2、3、4、9这四个数字，无论怎样填，都无法使算式回回+©x[J]=国成立.若D=2,则还剩1、3、4、9这四个数字，无论怎样填，都无法使算式因回+©乂团=国成立.若D=3,则还剩L2、4、9这四个数字,m②+田义因=回.1臼②+⑷、因=囱其中7和8可对换，4和9可对换.例4是由1~9这九个数字组成的算式，请将这些数字填入空格，使算式成立.[□又□'□=口+口(□+□=□+口分析为了叙述方便，先将算式各空格中填上字母:J囚X闻乂©=回+国i国+回=回+©由于第二个算式的左右两边是两个一位数相除，商必为一位数，且不为1.因此选择第二个算式左右两边的商作为解题的突破口.而这个商可以为2、3或4.①若国土回=闻+叵]=22+1=24+2=26+3=28+4=22+1=6+3,还剩下4、5、7、8、9这五个数字，回+国目和最大为8+9=17,而因X回X©的积最小为4X5X7=140, 所以不可能使第一式成立.2+1=8+4,则还剩3、5、6、7、9这五个数字，回+国的和最大为7+9=16,而因X回X©的积最小为3X5X6=90, 所以不可能使第一式成立.4+2=6+3,则还剩1、5、7、8、9这五个数字，回+国的和最大为8+9=17,而因X回X©的积最小为1X5X7=35, 所以不可能使第一式成立.6+3=8+4,则还剩1、2、5、7、9这五个数字,有[J]x②义团=回+叵]所jHx②X团=囱+叵]②若国+©=回+[2=3,3+1=36+2=39+3=33+1=6+2,则还剩4、5、7、8、9这五个数字，由于回+国的和最大为8+9=17,而囚X叵]X©的积最小为4X5X7=140, 所以不可能使第一式成立.6+2=9+3,则还剩1、4、5、7、8这五个数字，由于回+国的和最大为7+8=15,而因X国]X©的积最小为1X4X5=20, 所以不可能使第一式成立.③若国+回=回+叵|=4,4+1=48+2=44+1=8+2,还剩下3、5、6、7、9这五个数字，由于回+国的和最大为7+9=16,而囚义叵]X©的积最小为3X5X6=90, 因此不可能使第一式成立.解|[1]><回*团=回+回f回+囱=回+团习题十四o〜9这十个数字分别填在1.里，使等式都成立(每个数字只能用一次).①5X(□-8)=5,(4)(口+2)+=□，②□+2+3=6,⑤2乂口+口=10,③口乂口乂+3=27,⑥2X =10.2.上、下、左、右四个汉字分别代表四个一位偶数，请你把下面的算式翻译出来:is_固］-困一固一（田-国）+田=3.有一个已填出，请你把“匚r内的数字补齐，使等式成立:□x□=nnn-5n=nn4.把1〜9填入下面的空格中，每个空格只许填一个数字，使等式成立:□x□一□=□□+□□+□=□5.请你将1〜9这九个数字分别填入下面各题的空格中，其中有的已填出, 每个空格只许填入一个数字，使各算式都成立：199===固国固国田3. 广面算式中的每一个“匚r表示1〜9这九个数字中的一个，其中①1口+口=口（84义口=□□口②（口+口=口（16乂口+（□一口）=口6 .在下面各题中的空格内，用1〜9这九个数字将空格补齐，每个空格内只 许填一个数字，使等式都成立.①（口义口=□口（口口+口=口+口②（口+□-口=口四年级奥数上册：第十四讲填横式（二）习题解答习题十四解答5X 但-8）=5 回+2+3=6 叵|x 叵]+3=27 （E+2）-6=[7] 2X 团+回=102X （团一团）=10.2 .回一固+②-⑷=1叵|一回+②+@=9⑷一回+②+回=9⑷一（回一区]）+②=3.3 .囱乂回=回回团+5国=[1]回提示：从三位数除以两位数的商入手.4 .回x 回一回=回回+⑷叵]+m=囱5 .①J [U+[1]=[I]（84X 叵]=回回回②]国+国二叵Ifl6X ②士（团-囱）=闻或！囱+⑷二团116X 回+但一回）=回 ①②③④⑤⑥6.①[区]x回=回⑷②+因=团+[1]或j团+叵I-团=回t⑷X回+因=[1]②或！囱+叵]一团=囱[回X（D+⑷=印②或！②+团-@=回1囱X回一③二小回附：奥数技巧分享分享四个奥数小技巧。

小学四年级上册数学奥数知识点讲解第11课《填横式1》试题附答案第十三讲填横式（一）整数可以分为奇数和偶数两类.我们把1,3,5,7,9和个位数字是1,3,5,7,9的数叫奇数.把0,2,4,6,8和个位数是0,2,4,6,8的数叫偶数.①整数的加法有以下性质：奇数+奇数二偶数；奇数+偶数二奇数；偶数+偶数二偶数.②整数的减法有以下性质：奇数稳数二偶数；奇数T禺数二奇数；偶数希数二奇数；偶数稳数二奇数；偶数T禺数二偶数.③整数的乘法有以下性质：奇数X奇数二奇数；奇数X偶数二偶数；偶数X偶数二偶数.@奇数/偶数.利用上面的性质住住可以巧妙地解出一些数字问题，请看下面的例题.例1把1~8这八个数字写成两个四位数字，使它们的差等于III1即：例2将1〜9这九个数字分别填入下面算式的九个口中，使每个算式都成立.'□+口=□<□一□=□□×□=□例3将1~9分别填入下面算式的中，使每个算式都成立，其中1,2,5已填出.∫□×□=5∏I四+□=□+□例4将1~8这八个数字分别填入下面算式的口中，使每个算式都成立.∫□×□=□□t□×□+9=□□答案例1把1~8这八个数字写成两个四位数字，使它们的差等于II11即:□□□□-□□□□=1111分析注意到两个四位数字的差是1111,也就是要求被减数上的每一位数，都要比减数上相对应的位上的数大1而所给的八个数字最小的是1,是奇数，所以被减数各位上的数字都应是偶数，而减数的每一位，都是比被减数上相对应的位上的数小1的奇数.这样就可以得到答案.解：本题的答案不惟一，下面是其中的三个.则亚E-EHiEniii；EE囱回-回回亚I=I1I1；回回回回也回回m=1111补充说明：这道题的答案共有24个.同学们可以试着写出其他的解.例2将1-9这九个数字分别填入下面算式的九个口中，使每个算式都成立.□÷□=□□×□≡□分析①审题.在题目的三个算式中，乘法运算要求比较高，它要求在从1~9这九个数字中选出两个，使它们的积是一位数，且三个数字不能重复.②选择解题的突破口.由①的分析可知，填出第三个乘法算式是解题的关键.③确定各空格中的数字.由前面的分析，满足乘法算式的只有2X3=6和2X4=8.如果第三式填2X3=6.则剩下的数是1,4,5,7,8,9,共两个偶数，四个奇数.由整数的运算性质知，两个偶数必定是前两个式中各填一个试一试，可以这样填：（答案不是惟一的，这里只填出一个）.如果第三式填2X4=8,则剩下的数是1,3,5,6,7,9.其中只有一个偶数和五个奇数，由整数的运算性质知，无论怎样组合都不能填出前两个算式.解：本题的一个答案是：例3将1~9分别填入下面算式的中，使每个算式都成立，其中1,2,5已填出.∫□×□≡5∏‘回+□=□÷□分析①审题.本题由两个算式构成，题目中给了三个数字.由题目可见，第一个算式的要求比较高.②选择解题的突破口.填出第一式是解决这道题的关键.③确定各口中的数字，观察题目发现，满足第一个算式的只有7X8=56和6X9=54.如果第一式填7X8=56,则剩下的数是3,4,9.无论怎样把它们填入第二式，都不能满足.所以这种填法不行.如果第一式填6X9=54,则剩下的数是3,7,8.可以这样填入第二式，即：12+回二团+回解：本题的答案是：（O<[2>50112÷[U=[2]÷0补充说明：形如例2、例3这样的多个算式填数的问题，在解决时，常常把填出要求比较高的算式（如乘法算式）作为解题的突破口，然后再考虑其他算式，得出答案.有时，答案是不惟一的，在解题时，只要写出一个正确的答案就可以了.例4将1~8这八个数字分别填入下面算式的口中，使每个算式都成立.∫□×□≡□□∖□×□+9=□□分析①审题.题目中的□比较多，且两个算式要求都比较高.如果硬猜会很难，为叙述方便，我们将各空格中填上字母如下：‘国X回=回叵］‘叵IX国+9=国国②选择解题的突破口.由于要填的数字中没有0,而所有的数字不能重复.所以，第一式的A、B、D不能填5.且第二式的E、F中，只能有一个填5,不妨设可填在E上,这样，5只能填在C、E、G、H四个空格之一.这就是解决本题的突破口.③确定各口中的数字.⑴若C=5,则第一式为：阿X回二回回，空格A、B只能填7和8,此时D=6.即:回二EE.此时，剩下数字1,2,3,4去填第二式.在用它们去填E、F时，有如下几种情况：1X2,1×3,1×4,2×3,2×4,3X4.（注意：在讨论中，应该把各种可能性不重、不漏地考虑到.这样从小到大，循序渐进的方法很重要）.把每一种情况都试验结果知，只有E、F填3和4时，可以满足第二个等式，此时，囱X@+9二日［斗这就找到了一个解.（ii）若E=5,则第二个算式为：回X®+9=回回,F不能填偶数,否则结果中的H=9,重复.F只能填奇数1,3,7.若F=I,则G=I,出现重复数字，不行，若F=3,则第二式为：E1XB]+9二回回,剩下数字1,6,7,8,无论怎样，都无法满足第一式，不行；若F=7.则网昨44,出现重复数字.也不行,所以，E所在空格不能填5.Gii）若G=5,则第二个算式为回X回+9二回回.这时，E、F可以填6、7或6、8.如果E、F填6、7,则有向Xm+9=∣苑],H=I.下面用剩下的数字2,3,4,8填第一式.分析第一式，可以得到两个解为:∫0×国=国区］∫0Xri1=5∏^1⅛□÷94∏ΓΓ痼X0÷9=0□如果E、F填6、8,则有网x[i]+9胴同，H=T.下面用剩下的数字1,2,3,4填第一式，分析第一式，可以这样填：0×0=0∣2∣∙GV）若H=5,则第二个算式为：回X回+9二回回，这时回XM的个位必须等于6.EXF 可以是IX6,2×3,2×8,7×8.如果E、F填1和6,则G=I,重复，不行.如果E、F填2和3,则囱X回+9=/回,剩下的数字为：4、6、7、8,不论怎样填，都不能满足第一式，所以E、F不能填2和3.如果E、F填2和8,则G=2,重复.不行.如果E、F填7和8,则第二式为团乂回+9二回回.剩下的数字是1,2,3,4.用它们填第一式，可以是：m×g=∣τ]∣2].解:H×[I]=□□./团义国=国©∖□×0÷9=[D[1]∣0×□÷9=[J]∏]5X叵]=囱0,O×0=[T][Γ]:国xE+9=国Ijj国乂国+9=囱区IJEXH=∣T∣[Γ](0×回+9=回£]补充说明：这道题应用乘法的交换律还可以写出一些解答的形式.习题十三1.把1~8这八个数字分别填入下面的口中，使算式成立.□□□□+□□□□=99992 .把O〜9这十个数字分别填入下面的口中，使各算式都成立.(□÷□=□<□-口=□1□×□=□□3 .把2~9这个八个数字分别填入下面的口中，使各算式都成立(□+□^□=□1□×□≡□□4 .把1-9这九个数字分别填入下面的口中，使各算式都成立.'□+□=□四年级奥数上册: 第十三讲填横式(一)习题解答习题十三解答1 ,0000+IU00®=9999（解不惟-，有384种不同的填法）.2 .解不惟一，第一、二式可有不同填法.[国+团・国国0・臼∣0×□=[i]03•解不惟一，第一式可有不同填法.∫□÷U]-[4]=0 /团+m-叵]=团（叵|X回=回回驮∣0×H]=Ξ0回+回=叵]f0+国=回②1叵]@x 国=团叵]回[[1][∑]×□=囱回回f0÷[U=ΞΜ但+B=□P□×E=[I][I]0[[∑EM1]=回③国/©+国=团」口+回=国 ΘPE×□=[2J[I]□⑧[回回Xm=回国国但+②=团 JE+*回⑨[叵][∑]X[I]=国回国(EΞ×0≡ΞEH]附：奥数技巧分享分享四个奥数小技巧。

第12讲 复杂竖式兴趣篇1、图是一个字母竖式，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字。

请把竖式用数字表示出 来。

2、在图中的各个方框内填入恰当的数字后，可使算式成立，并且个位上的5个数字从上向下看，恰好是图 中顺时针次序的连续5个数字，十位上的5个数字也有这样的性质。

请问：竖式中计算的结果是多少？＋80123456793、请把1至9这9个数字填在图的方框中（其中有3个数字已经填好），使得加法和乘法这两个算式都成 立。

367×＋4、图是一个乘法竖式，请在其中的10个方框内分别填入0至9这10个数字，使得竖式成立。

84227543×835、如图，在乘法竖式的每个方框中填入一个数字，使其成为正确的竖式，那么所得的乘积应该是多少？×116、如图，在乘法竖式的每个方框中填入一个数字，使其成为正确的竖式，那么所得的乘积应该是多少？551×7、在图的方框内填入恰当的数字，可以得到一个正确的乘法竖式。

已知这样的填法有两种，这两种填法所得到的两个不同的乘积相差多少？×153248、在图的方框内填上适当的数字，使得竖式成立，请写出所有的答案。

2112672029、请把图中的除法竖式补充完整。

22290410、请把图中的除法竖式补充完整。

这个算式的被除数、除数以及商的总和是多少？668592拓展篇1、在图的字母竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。

已知个位向十位的进位为2，且E 是奇数，则A 、B 、C 、D 分别代表什么数字？A AB D E ＋A B E ECC D A C2、在图中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。

请给出两种使竖式成立的填法。

E S V YN E T E T E NF F II F F N Y E F T ＋O R T E3、在图所示的乘法竖式中，每个方框和字母都代表一个数字，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。

第20讲幻方与数阵图扩展兴趣篇1、把1，2，…，9填入图中9个空白圆圈内，使得三个圆周及三条线段上3个数之和都相等。

2、（1）如图1，在3×3的方格表的每个方格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等。

（2）如图2，在4×4的方格表的每个方格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等。

3、在图所示的3×4方格表的每个方格中填入恰当的数后，可以使各行所填的数之和相等，各列所填的数之和也相等。

现在一些数已经填出，标有符号“*”的方格内所填的数是多少？4、如图，请在空格中填入适当的数，组成一个三阶幻方。

5、请将图所示的5×5方格表补充完整，使得每个方格内都有一个数字，并且具有如下的性质：方格表中每行，每列和每条对角线的5个方格内所填的5个数中，1、2、3、4、5 恰好各出现一次。

请问：标有符号“△”，“▽”和“◯”的方格中所填的数分别是什么？6、请将1至9这9个数填入图中的方框内，使得所有不等号都成立。

所有满足要求的填法共有多少种？7、请在图所示的8个小圆圈内，分别填入1至8这8个数字，使得图中用线段连接的两个小圆圈内所填的数的差（大减小）恰好是1、2、3、4、5、6、7。

8、将1至5这5个数字填入图中的圆圈内，使得横线、竖线、大圆周上所填数之和都相等。

9、请在图中的六块区域内填入1、2、3、4、5、6，使得对每一个小圆圈来说，与它相邻的区域内的数之和都相等。

10、将0至9填入图的10块区域中（阴影区域除外），使得每个圆内的三个数之和都是相等的。

请问：这个和最小是多少？最大是多少？拓展篇1、将1，2，3，…，24，25分别填入图的各个方格中，使得每行、每列及两条对角线上的数的和相等。

现在已经填入了一些数，标有符号“*”的方格内所填的数是多少？2、请在图的每个空格内填入一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都相等。