高二数学两条直线的夹角

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（第2课时）教学设计本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第一章《空间向量与立体几何》的第四节《空间向量的应用》。

以下是本节的课时安排：1.4 空间向量的应用课时内容 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题所在位置教材第26页教材第33页新教材内容分析在向量坐标化的基础上，将空间中线线、线面、面面的位置关系，转化为向量语言，进而运用向量的坐标表示，从而实现运用空间向量解决立体几何问题，为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点，为培养学生思维提供了更广阔的空间。

在向量坐标化的基础上，将空间中点到线、点到面、两条平行线及二平行平面角的距离问题，首先转化为向量语言，进而运用向量的坐标表示，从而实现运用空间向量解决空间距离问题，为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点，为培养学生思维提供了更广阔的空间。

核心素养培养通过直线的方向向量、平面的法向量的理解，培养数学抽象的核心素养；通过计算法向量判断直线与平面的位置关系，提升逻辑推理和数学运算的核心素养。

通过线线角、线面角、二面角的理解，培养数学抽象的核心素养；通过空间角、空间距离的计算，强化数学运算和逻辑推理的核心素养。

教学主线直线与平面平行、垂直通过前面的学习，学生已经掌握了空间向量的基本运算，在此基础上，可以研究空间向量在求距离、夹角的应用，体现了向量的优势。

1.理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系,会用向量方法求两异面直线所成角，培养数学抽象的核心素养.2.理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求直线与平面所成，强化数学运算的核心素养.3.理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求二面角的大小，提升逻辑推理的核心素养。

重点：理解运用向量方法求空间角的原理难点：掌握运用空间向量求空间角的方法（一）新知导入地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”,黄道面与地球赤道面交角(二面角的平面角)为23°26'.黄道面与天球相交的大圆为“黄道”.黄道及其附近的南北宽9°以内的区域称为黄道带,太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内.黄道带内有十二个星座,称为“黄道十二宫”.从春分(节气)点起,每30°便是一宫,并冠以星座名,如白羊座、狮子座、双子座等等,这便是星座的由来.【问题】空间角包括哪些角?求解空间角常用的方法有哪些?【提示】线线角、线面角、二面角; 传统方法和向量法.（二）用空间向量研究夹角【探究1】根据前面数量积的学习，我们已经知道向量法求两条异面直线a ，b 的夹角的方法，思考：异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量分别为a ，b ，那么夹角θ与方向向量的夹角〈a ，b 〉之间有怎样的关系式？【提示】cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|.◆异面直线所成的角的向量表示式：若异面直线l 1，l 2所成的角为θ，其方向向量分别是u ，v ，则cos θ＝|cos 〈u ，v 〉|＝|u ·v ||u ||v |. 【思考】两直线夹角的公式为什么不是cos θ＝a ·b|a |·|b |？【提示】由于两直线夹角的范围为[0，π2]，两向量夹角的范围为[0，π]，因此，两直线夹角的公式为cos θ＝|a ·b |a |·|b ||，而不能直接用向量夹角公式求两直线的夹角．【做一做】(教材P38练习1改编)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值是( )A.65B.64C.63D.66 【答案】D【解析】以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，可知A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，A (1,0,0)，C (0,0,0)，则A 1B →＝(－1,1，－2)，AC →＝(－1,0,0)，∴cos 〈A 1B →，AC →〉＝AC →·A 1B →|AC →|·|A 1B →|＝11＋1＋4＝66，即A 1B 与AC 所成角的余弦值是66.【探究2】如图，设直线AB 的方向向量为u ，AC ⊥平面α，垂足为C ，平面α的法向量为n ，思考：直线AB 与平面α所成的角是哪个角？这个角与向量的夹角〈u ，n 〉之间满足什么关系式？[提示] 直线AB 与平面α所成的角是∠ABC ＝θ，sin θ＝|cos 〈u ，n 〉|.◆直线与平面所成的角的向量表示式：直线与平面相交，设直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量为u ，平面的法向量为n ，则sin θ＝|cos 〈u ，n 〉|＝|u ·n ||u ||n |. 【思考】设平面α的斜线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角的公式为什么不是cos θ＝a ·n|a ||n |？ 【提示】(1)当a ，n 与α，l 的关系如下图所示时，l 与α所成的角与a ，n 所成的角互余．即sin θ＝cos a ，n ． (2)当a ，n 与α，l 的关系如下图所示时，l与α所成的角与两向量所成的角的补角互余．此时，sinθ＝|cos a，n|.总之，若设直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与平面的法向量所成的角为φ，则有sinθ＝|cosφ|.若直线的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝|a·n||a|·|n|.【做一做】已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－3 2，则l与α所成的角为()A．30°B．60°C．150°D．120°【答案】B【解析】设l与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈m，n〉|＝32，∴θ＝60°，应选B.【探究3】如图，设平面α，β的法向量分别是n1和n2，平面α与平面β所成的夹角为θ，思考：角θ与向量的夹角〈n1，n2〉满足什么关系式？【提示】cos θ＝|cos〈n1，n2〉|.◆(1)平面与平面的夹角的定义：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．(2)平面与平面的夹角的向量表示式：设平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n 1和n 2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|. 【说明】二面角的平面角也可转化为两直线的方向向量的夹角．在两个半平面内，各取一直线与棱垂直，当直线的方向向量的起点在棱上时，两方向向量的夹角即为二面角的平面角．【思考】两平面法向量的夹角就是两平面的夹角吗？【提示】不一定．两平面法向量的夹角可能等于两平面的夹角(当0≤n 1，n 2≤π2时)，也有可能与两平面的夹角互为补角(当π2<n 1，n 2≤π时)．其中n 1，n 2是两平面的法向量． 【做一做】平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1,1)，则平面α与平面β的夹角为_______． 【答案】π3【解析】设u ＝(1,0，－1)，v ＝(0，－1,1)，α与β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈u ，v 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12×2＝12，∴θ＝π3.【超级概括】1．求两异面直线所成的角时，要注意其范围是(0，π2]．2．求线面角的大小时，要注意所求直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值才是线面角的正弦值．3．求二面角的大小要特别注意需根据具体的图形来判断该二面角是锐角还是钝角．（三）典型例题 1.异面直线所成角例1.（2022·浙江高二期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，3PD =，2PN ND =，底面ABCD 为直角梯形，90ADC ∠=︒，//AD BC ，22=3BC AD DC ==．（1）求证：//PB 平面ACN ；（2）求异面直线PA 与CN 所成角的余弦值． 【解析】（1）连接,AC BD 相交于点E ，连接EN .//AD BC ,可得AED 与BCE 相似，则12ED AD BE BC == 又12ND PN =,则12ND AD PN BC ==，所以//EN PB 又PB ⊄平面ACN ，EN ⊂平面ACN ，所以//PB 平面ACN ；（2）由PD ⊥平面ABCD ，90ADC ∠=︒.以D 为原点，以,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,如图. 由3PD =，2PN ND =，22=3BC AD DC == 则()0,0,1N ,33,0,0,0,,022A C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()0,0,3P 则3,0,32AP ⎛⎫=-⎪⎝⎭,30,,12CN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以465cos ,999144AP CN AP CN AP CN⋅===+⋅+465所以异面直线PA与CN【类题通法】利用空间向量求两异面直线所成角的步骤.(1)建立适当的空间直角坐标系.(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标.(3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角.(4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角.2.求两条异面直线所成的角的两个关注点.(1)余弦值非负:两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值,而对应的方向向量的夹角可能为钝角.],故两直线方向向量夹角的余弦值为负时,应取其绝对值.(2)范围:异面直线所成角的范围是(0,π2【巩固练习1】（2022·贵州遵义市第五中学）在三棱锥P—ABC中，P A、PB、PC两两垂直，且P A=PB=PC，M、N分别为AC、AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（）A3B3C6D6【答案】B【解析】以点P为坐标原点，以PA，PB，PC方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，令2PA =，则()0,0,0P ，()0,2,0B ，()1,0,0M ，()1,1,0N ，则(1,1,0)PN =，(1,2,1)BM =-，设异面直线PN 和BM 所成角为θ，则||3cos 6||||PN BM PN BM θ⋅==.故选B.2.直线与平面所成的角例2.（2022·江西省信丰中学）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PAB△为正三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD ，M 为PD 的中点.(1)求证：PB ∥平面ACM ；(2)求直线BM 与平面PAD 所成角的大小；【解析】(1)证明：连接BD ，与AC 交于O ，则O 为BD 的中点，又M 分别为PD 的中点，∴BP OM ∥，∵BP ⊄平面ACM ，OM ⊂平面ACM ，∴BP ∥平面ACM.(2)解：设E 是AB 的中点，连接PE ，∵ABCD 是正方形，PAB △为正三角形，∴PE AB ⊥.又∵面PAB ⊥面ABCD ，交线为AB ，∴PE ⊥平面ABCD .以E 为原点，分别以EB ，EO ，EP 所在直线为x ，y ，z 轴，如图，建立空间直角坐标系E xyz -，则()0,0,0E ，()1,0,0B ，()1,0,0A -，(3P ，()1,2,0C ，()1,2,0D -，132M ⎛- ⎝⎭，∴(1,0,3PA =--，()0,2,0AD =，332BM ⎛=- ⎝⎭. 设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =，则3020n PA x z n AD y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1z =.则3x =-()3,0,1n =-.设直线BM 与平面PAD 所成角为α，∴33sin |cos ,|||||n BMn BM n BM α→→→→→→⋅=<>===，即直线BM 与平面PAD 3 故所求角大小为60°.【类题通法】求直线与平面的夹角的方法与步骤方法一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．方法二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量． 利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤：【巩固练习2】（2022·青海海东市第一中学）如图，在三棱柱111ABC AB C -中，11222AC AA AB AC BC ====，160BAA ∠=︒．(1)证明：平面ABC ⊥平面11AA B B ．(2)设P 是棱1CC 的中点，求AC 与平面11PA B 所成角的正弦值．【解析】(1)设2AB =．在四边形11AA B B 中，∵12AA AB =，160BAA ∠=︒，连接1A B ，∴由余弦定理得2221112cos6012A B AA AB AA AB =+-⋅︒=，即123A B =∵22211A B AB AA +=，∴1A B AB ⊥．又∵22211A B BC A C +=，∴1A B BC ⊥，AB BC B ⋂=，∴1A B ⊥平面ABC ，∵1A B ⊂平面11AA B B ，∴平面ABC ⊥平面11AA B B ． (2)取AB 中点D ，连接CD ，∵AC BC =，∴CD AB ⊥， 由（1）易知CD ⊥平面11AA B B ，且3CD =如图，以B 为原点，分别以射线BA ，1BA 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系B -xyz ，则(2,0,0)A ，1(0,23,0)A ，3)C ，1(2,23,0)B -，1(1,23,3)C -，3,3)P ．11(2,0,0)A B =-，1(0,3,3)A P =-，设平面11PA B 的法向量为(,,)n x y z =，则11100n A B n A P ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得20330x z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令1y =，则取(0,1,1)n =，(13)AC =-，||36cos,||||22AC n AC n AC n ⋅〈〉===AC 与平面11PA B 63.二面角【例3】在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，1,,2AB AP AD E F ==分别是AP BC ，的中点．(1)求证：//EF 平面PCD ； (2)求二面角C EF D --的余弦值．【解析】(1)证明：取DP 的中点G ，连接EG ，CG ， 又E 是AP 的中点，所以EG AD ∥，且12EGAD ． 因为四边形ABCD 是矩形，所以BC AD =且//BC AD ，所以12EG BC =，且//EG BC ． 因为F 是BC 的中点，所以12CF BC =，所以EG CF =且//EG CF ， 所以四边形EFCG 是平行四边形，故//EF CG ．因为EF ⊄平面PCD ，CG ⊂平面PCD ，所以//EF 平面PCD ．(2) 解：因为PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直，以点A 为坐标原点，直线AB ，AD ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图所示）．设122AB AP AD ===，所以2AB AP ==，4AD BC ==． 因为E ，F 分别为AP ，BC 的中点，所以()2,4,0C ，()0,4,0D ，()0,0,1E ，()2,2,0F 所以()2,2,1EF =-，()2,2,0DF =-，()0,2,0CF =-．设平面CEF 的一个法向量为()111,,m x y z =，由0,0,m EF m CF ⎧⋅=⎨⋅=⎩即1111220,20.x y z y +-=⎧⎨-=⎩ 令11x =，则12z =，10y =，所以()1,0,2m =．设平面DEF 的一个法向量为()222,,n x y z =，由0,0,n EF n DF ⎧⋅=⎨⋅=⎩即22222220,220.x y z x y +-=⎧⎨-=⎩ 令21x =，则21y =，24z =，所以()1,1,4n =．所以9310cos ,10518m n m n m n ⋅===⋅⨯． 由图知二面角C EF D --为锐角，所以二面角C EF D --310．【类题通法】利用平面的法向量求二面角利用向量方法求二面角的大小时,多采用法向量法,即求出两个面的法向量,然后通过法向量的夹角来得到二面角的大小,但利用这种方法求解时,要注意结合图形观察分析,确定二面角是锐角还是钝角,不能将两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来.提醒：若求二面角θ，求出cos 〈n 1，n 2〉后，观察图形，判断二面角为锐角还是钝角，若二面角为锐角，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|，若二面角为钝角，则cos θ＝－|cos 〈n 1，n 2〉|.【巩固练习3】如图，在三棱台111ABC A B C -中，AB AC ⊥，4AB AC ==，1112A A A B ==，侧棱1A A ⊥平面ABC ，点D 是棱1CC 的中点．(1)证明：平面1BB C ⊥平面1AB C ； (2)求二面角C BD A --的正弦值．【解析】(1)证明：因为1A A ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以1AA AC ⊥， 又AB AC ⊥，1AA AB A =，1AA ，AB平面11ABB A ，所以AC ⊥平面11ABB A ．又1BB ⊂平面11ABB A ，所以1AC BB ⊥． 又因为2212222AB =+，()22142222BB =-+=22211AB AB BB =+，所以11AB BB ⊥．又1AB AC A =，1AB ，AC ⊂平面1AB C ，所以1BB ⊥平面1AB C ，因为1BB ⊂平面1BB C ，所以平面1BB C ⊥平面1AB C ．(3) 解：以A 为坐标原点，AB ，AC ，1AA 的所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．因为4AB AC ==，111112A A A B A C ===，所以()0,0,0A ，()4,0,0B ，()0,4,0C ，()10,2,2C ，()0,3,1D ．设平面ABD 的一个法向量为()1111,,x n y z =，设平面CBD 的一个法向量为()2222,,n x y z =，且()4,0,0AB =，()0,3,1AD =，()4,4,0CB =-，()0,1,1CD =-，因为110,0,AB n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以1110,30,x y z =⎧⎨+=⎩令11y =，则10x =，13z =-，所以()10,1,3n =-．又因为220,0.CB n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以22220,0,x y y z -=⎧⎨-=⎩令21x =，则21y =，21z =，所以()21,1,1=n ．所以121212130cos ,310n n n n n n ⋅===⋅设二面角C BD A --的大小为θ，则230195sin 115θ⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以二面角C BD A --195（四）操作演练 素养提升1．已知直线l 1的方向向量s 1＝(1,0,1)与直线l 2的方向向量s 2＝(－1,2，－2)，则l 1和l 2夹角的余弦值为( )A.24B.12C.22D.32 【答案】C【解析】因为s 1＝(1,0,1)，s 2＝(－1,2，－2)，所以cos 〈s 1，s 2〉＝s 1·s 2|s 1||s 2|＝－1－22×3＝－22.又两直线夹角的取值范围为(0，π2]，所以l 1和l 2夹角的余弦值为22.2.正方形ABCD 所在平面外有一点P ，PA ⊥平面ABCD .若PA ＝AB ，则平面PAB 与平面PCD 所成的夹角的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】B【解析】建系如图，设AB ＝1，则A (0,0,0)，B (0,1,0)，P (0,0,1)，D (1,0,0)，C (1,1,0)． 平面PAB 的法向量为n 1＝(1,0,0)．设平面PCD 的法向量n 2＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·PD →＝0，n 2·CD →＝0，得⎩⎨⎧x －z ＝0，y ＝0.令x ＝1，则z ＝1，∴n 2＝(1,0,1)，cos 〈n 1，n 2〉＝12＝22. ∴平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的余弦值为22.∴此角的大小为45°. 3.在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 、C 1D 1的中点，则A 1B 1与平面A 1EF 夹角的正弦值为( ) A.62 B.63C.64D.2【答案】B【解析】建系如右图，设正方体棱长为1，则A 1(1,0,1)，E (1，12，0)，F (0，12，1)，B 1(1,1,1)．A 1B 1→＝(0,1,0)，A 1E →＝(0，12，－1)，A 1F →＝(－1，12，0)．设平面A 1EF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·A 1E →＝0n ·A 1F →＝0，即⎩⎨⎧12y －z ＝0－x ＋y2＝0.令y ＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1z ＝1.∴n ＝(1,2,1)，cos 〈n ，A 1B 1→〉＝26＝63.设A 1B 1与平面A 1EF 的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，A 1B 1→〉|＝63，即所求线面角的正弦值为63. 4. (双空题)已知点E ，F 分别在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则异面直线AE 与A 1C 1所成角的余弦值等于______，平面AEF 与平面ABC 的夹角的正切值等于________．【答案】3510 23【解析】如图，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，1，13，F ⎝⎛⎭⎫0，1，23，所以AE →＝⎝⎛⎭⎫0，1，13，A 1C 1→＝(－1,1,0)，EF →＝⎝⎛⎭⎫－1，0，13，所以cos 〈AE →，A 1C 1→〉＝AE →·A 1C 1→|AE →||A 1C 1→|＝3510.所以异面直线AE 与A 1C 1所成角的余弦值等于3510.平面ABC 的法向量为n 1＝(0,0,1)，设平面AEF 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )．则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AE →＝0，n 2·EF →＝0，即⎩⎨⎧y ＋13z ＝0，－x ＋13z ＝0.取x ＝1，则y ＝－1，z ＝3.故n 2＝(1，－1,3)． 所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝31111.所以平面AEF 与平面ABC 的夹角α满足cos α＝31111，sin α＝2211，所以tan α＝23. 答案：1.C 2.B 3.B4.3510 23【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程(二) 1．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角设两条直线所成的角为θ，v1和v2分别是l1和l2的方向向量则l1⊥l2⇔________，cos θ＝________________.2．求两直线所成的角应注意的问题：在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v1，v2，所以cos〈v1，v2〉＝v1·v2|v1||v2|.但要注意，两直线的夹角与〈v1，v2〉并不完全相同，当〈v1，v2〉为钝角时，应取________作为两直线的夹角．探究点一两条直线垂直问题怎样利用向量证明两直线垂直？例1 已知正方体ABCD—A′B′C′D′中，点M、N分别是棱BB′与对角线CA′的中点．求证：MN⊥BB′；MN⊥A′C.跟踪1在棱长为a的正方体OABC—O1A1B1C1中，E、F分别是AB、BC上的动点，且AE ＝BF，求证：A1F⊥C1E.例2 已知三棱锥O—ABC(如图)，OA＝4，OB＝5，OC＝3，∠AOB＝∠BOC＝60°，∠COA ＝90°，M，N分别是棱OA，BC的中点．求直线MN与AC所成角的余弦值．跟踪2长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F分别是面A1B1C1D1与面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE所成角的余弦值．探究点三探索性问题例3已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都为1，M为底面BC边的中点，N为侧棱CC1上的点．(1)当CNCC1为何值时，MN⊥AB1；(2)在棱A1C1上是否存在点D，使MD∥平面A1B1BA，若存在，求出D的位置；若不存在，说明理由跟踪3 如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD .问当CD CC 1的值等于多少时，A 1C ⊥BD 且 A 1C ⊥BC 1?【达标检测】1. 若直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)，则 ( )A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1、l 2相交但不垂直D ．不能确定2．设l 1的方向向量a ＝(1,3，－2)，l 2的方向向量b ＝(－4,3，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( )A ．1B ．52C ．12D ．33. 在正四面体ABCD 中，点E 为BC 中点， 点F 为AD 中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为( )A. 13B. 12C. 23D. 634.如图所示，三棱柱OAB —O 1A 1B 1中，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，∠O 1OB ＝60°，∠AOB ＝90°，且OB ＝OO 1＝2，OA ＝3，求异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值．【课堂小结】用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量．共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程(二)一、基础过关1．若直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角是150°，则l 1与l 2这两条异面直线所成的角等于( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．以上均错 2.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于 ( )A ．ACB ．BDC ．A 1D D ．A 1A3．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为( )A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°4．已知A (3,0，－1)、B (0，－2，－6)、C (2,4，－2)，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．以上都不对5．A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA ＝90°，点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是( ) A.3010 B.12 C.3015 D.1510 6．在△ABC 中，已知AB →＝(2,4,0)，BC →＝(－1,3,0)，则∠ABC ＝________.二、能力提升7．设ABCD 、ABEF 都是边长为1的正方形，F A ⊥平面ABCD ，则异面直线AC 与BF 所成的角为________．8．已知空间三点A (0,0,1)，B (－1,1,1)，C (1,2，－3)，若直线AB 上一点M ，满足CM ⊥AB ，则点M 的坐标为________．9．已知两点A (1，－2,3)，B (2,1，－1)，则AB 连线与xOz 平面的交点坐标是____________．10．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 为正方形ABCD 的中心，证明OA 1⊥AM .11.如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N是A1A的中点．(1)求BN的长；(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值．12.直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1，AA1＝3，M是BC的中点．在DD1上是否存在一点N，使MN⊥DC1？并说明理由．三、探究与拓展13．已知△ABC，∠C＝90°，SA⊥面ABC，且AC＝2，BC＝13，SB＝29，求异面直线CS与AB所成角的余弦值．。

高二数学两直线平行、两直线垂直、两条直线的交点、两条直线的夹角 人教版一. 本周教学内容：两直线平行、两直线垂直、两条直线的交点、两条直线的夹角［知识点］11212.若直线、的斜率为、l l k kl l k k b b 121212//⇔=≠且l l k k 12121⊥⇔=-·（证明过程：略）201111.若：l A x B y C ++=l A x B y C 22220：++=()l l A A B B C C A B C 121212122220//⇔=≠≠·· ()l l A A B B B B 1212121200⊥⇔+=≠·30.若：（直线系）l Ax By C ++=与平行：l Ax By C ++=10与垂直：l Bx Ay C -+=2041122.到角：若的斜率为，的斜率为l k l kαα为到的角，则l l k k k k 1221121tan =-+ ββ为到的角，则l l k k k k 2112121tan =-+ 512.夹角：设与的夹角为l l αtan α=-+k k k k 12121 6. 两条直线的交点若的方程为：l A x B y C 11110++=若的方程为：l A x B y C 22220++=则方程组有唯一解A x B y C A x B y C 11122200++=++=⎧⎨⎩⇔ l l 12和有交点，坐标为方程组的解。

【典型例题】例1. 求过点（，）且与直线平行的直线方程。

A x y 142350-++=分析：法一：求出直线的斜率，再用直线的点斜式方程求解。

法二：设所求直线的方程为2x ＋3y ＋b ＝0，求出b 即可。

解：法一：已知直线的斜率是，因为所求直线与已知直线平行，所以它的斜-23 率也是。

-23 ()根据点斜式，得所求直线的方程是，即y x x y +=--++=423123100 法二：设所求直线的方程为2x ＋3y ＋b ＝0，直线过点A （1，-4）()∴⨯+⨯-+==有，解之得2134010b b故所求直线的方程是2x ＋3y ＋10＝0。