2020-2021年高二数学直线与平面所成的角和二面角一

高二数学必修四知识点归纳【导语】知识掌控的巅峰，应当在一轮复习之后，也就是在你把所有知识重新捡起来之后。

这样看来，应对高二这一变化的较优挑选，是在高二还在学习新知识时，成心识地把高一内容从头捡起，自己计划进度，提早复习。

下面是作者为大家整理的《高二数学必修四知识点归纳》，期望对你有所帮助!1.高二数学必修四知识点归纳1.解三角形(1)正弦定理和余弦定理掌控正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.(2)运用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何运算有关的实际问题.2.数列(1)数列的概念和简单表示法了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).了解数列是自变量为正整数的一类函数.(2)等差数列、等比数列知道等差数列、等比数列的概念.掌控等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式.能在具体的问题情境中,辨认数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.3.不等式与不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.(1)一元二次不等式会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.(2)二元一次不等式组与简单线性计划问题会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性计划问题,并能加以解决.(3)基本不等式：了解基本不等式的证明进程.会用基本不等式解决简单的(小)值问题圆的辅助线一样为连圆心与切线或者连圆心与弦中点2.高二数学必修四知识点归纳空间角问题(1)直线与直线所成的角两平行直线所成的角：规定为.两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成的角.两条异面直线所成的角：过空间任意一点O,分别作与两条异面直线a,b平行的直线,形成两条相交直线,这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角.(2)直线和平面所成的角平面的平行线与平面所成的角：规定为.平面的垂线与平面所成的角：规定为.平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作,二证,三运算”.在“作角”时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线,在解题时,注意发掘题设中两个主要信息：(1)斜线上一点到面的垂线；(2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线.(3)二面角和二面角的平面角二面角的定义：从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角.直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角.两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直；反过来,如果两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角求二面角的方法定义法：在棱上挑选有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角3.高二数学必修四知识点归纳空间中的平行问题(1)直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.线线平行线面平行线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.线面平行线线平行(2)平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理(1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行(线面平行→面面平行),(2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行.(线线平行→面面平行),(3)垂直于同一条直线的两个平面平行,两个平面平行的性质定理(1)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行.(面面平行→线面平行)(2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行.(面面平行→线线平行)4.高二数学必修四知识点归纳空间直线与直线之间的位置关系(1)异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线(2)异面直线性质：既不平行,又不相交.(3)异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线异面直线所成角：作平行,令两线相交,所得锐角或直角,即所成角.两条异面直线所成角的范畴是(0°,90°],若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线相互垂直.(4)求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特别的位置,顶点选在特别的位置上.B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角(5)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补.(6)空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内——有无数个公共点.三种位置关系的符号表示：aαa∩α=Aaα(7)平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点；αβ相交——有一条公共直线.α∩β=b5.高二数学必修四知识点归纳1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径.2、圆的方程：(1)标准方程,圆心,半径为r；(2)一样方程当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为当时,表示一个点；当时,方程不表示任何图形.(3)求圆方程的方法：一样都采取待定系数法：先设后求.肯定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出a,b,r；若利用一样方程,需要求出D,E,F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点,以此来肯定圆心的位置.3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情形：(1)设直线,圆,圆心到l的距离为,则有；；(2)过圆外一点的切线：k不存在,验证是否成立k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k,得到方程(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r24、圆与圆的位置关系：两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来肯定.当时两圆外离,此时有公切线四条；当时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条；当时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线；当时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线；当时,两圆内含；当时,为同心圆.注意：已知圆上两点,圆心必在中垂线上；已知两圆相切,两圆心与切点共线。

高二数学立体几何试题答案及解析1.如图，在腰长为2的等腰直角三角形ABC内任取一点P，则点P到直角顶点A的距离小于的概率为【答案】【解析】点P到直角顶点A的距离小于，则点P在以点A为圆心为半径的扇形区域内，则其概率为2.已知长方体中，，点在棱上移动，当时，直线与平面所成角为．【答案】【解析】为直线与平面所成角，，,,所以．【考点】线面角3.已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为2，A1B1=1，AB=2，则该四棱台的侧面积等于．【答案】．【解析】因为正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为2，A1B1=1，AB=2，所以正四棱台的斜高，则该四棱台的侧面积为．【考点】正四棱台．4.已知空间中两点A（1，2，3），B（4，2，a），且，则a=（）A．1或2B．1或4C．0或2D．2或4【答案】D【解析】或【考点】空间两点间距离5.三棱锥A—BCD的四个顶点同在一个球O上，若AB⊥面BCD，BC⊥CD，AB=BC=CD=1，则球O的表面积等于．【答案】【解析】易知，棱AD的中点即为球心O．由已知条件可得AD=．所以球半径为，则其表面积等于．【考点】多面体与其外接球问题．6.在正方体中，下列几种说法正确的是（）A．与成角B．与成角C．D．【答案】A【解析】直线与是异面直线，而∥，所以即为与所成的角．显然三角形是等边三角型，所以．故选A．同时可分别证明答案B、C、D是错误的．【考点】异面直线所成的角及其是否垂直的问题．7.如图是一个几何体的三视图，其中正视图与左视图都是全等的腰为的等腰三角形，俯视图是边长为2的正方形，（1）画出该几何体；（2）求此几何体的表面积与体积．【答案】；【解析】根据题意可得该几何体是正四棱锥，底面为2的的正方形，因为侧面斜高为，所以可得高为2，即可求得表面积与体积试题解析：（1）此几何体是正四棱锥，它的底为边长为2的正方形，侧面斜高为表面积为体积为【考点】1．三视图；2．几何体的体积、表面积公式8.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9B．10C．11D．12【答案】D【解析】根据题中所给的几何体的三视图，可以断定该几何体是下边是一个圆柱，上边是一个球体，且球的半径和圆柱的底面圆的半径是相等的，可知其表面积是圆柱的表面积加上球的表面积，即为，故选D．【考点】根据几何体的三视图，求其表面积．9.如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为．（1）求侧面与底面所成的二面角的大小；（2）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值；【答案】（1）（2）【解析】（1）取中点，，连接，则为所求二面角的平面角，找出二面角的平面角再根据题目所给条件即可计算出二面角的大小。

重难点01线线角、线面角、二面角问题（重难点突破解题技巧与方法）1.求异面直线所成的角的三步曲2.求直线和平面所成角的关键作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值。

3.找二面角的平面角的常用方法 （1）由定义做出二面角的平面角 （2）用三垂线定理找二面角的平面角 （3）找公垂面（4）划归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角求异面直线所成的角一、填空题1．（2021·上海·复旦附中高二期中）已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，异面直线11A C 与DB 所成角为3π，且11111,AC D B O ACDB O ==，1OA OB ==，则AB 的长为_________．【答案】1或3【分析】根据题意得出AOB ∠为异面直线11A C 与DB 所成角或所成角的补角，从而在AOB 中，应用余弦定理即可求出答案.【详解】因为11//AC AC ，所以AOB ∠为异面直线11A C 与DB 所成角或所成角的补角，即3AOB π∠=或23π， 当3AOB π∠=时，因为1OA OB ==，所以AOB 为等边三角形，所以1AB =；能力拓展技巧方法当23AOB π∠=时，因为1OA OB ==， 在AOB 中，由余弦定理，得22222cos33AB OA OB OA OB π,所以3AB =.故答案为：1或3.2．（2021·上海·格致中学高二期中）设E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1CC 的中点，在棱1AA 上任取一点P ，在线段1A E 上任取一点Q ，则异面直线PQ 与BD 所成角的大小为______．【答案】2π【分析】连接BD ，利用线面垂直的判定定理证得BD ⊥平面1A ECA ，再利用线面垂直的性质定理可知BD PQ ⊥，即可得解.【详解】连接BD ，由底面ABCD 为正方形，可知BD AC ⊥，由正方体的性质，可知1AA ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，则1AA ⊥BD 又1AA AC A =，则BD ⊥平面1A ECA ，由已知可知PQ ⊂平面1A ECA ，则BD PQ ⊥所以异面直线PQ 与BD 所成角的大小为2π 故答案为：2π3．（2021·上海中学高二期中）正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AB 与BD所成角大小为______ 【答案】3π【分析】连接1AD 、11B D ，，证明11//B D BD ，可得11AB D ∠即为异面直线1AB 与BD 所成角，在11AB D 求11AB D ∠即可求解.【详解】如图，连接1AD 、11B D ， 因为11//BB DD ，11BB DD =, 所以四边形11BB D D 是平行四边形， 所以11//B D BD ，所以11AB D ∠即为异面直线1AB 与BD 所成角， 设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ， 在11AB D 中，11112AD AB B D a ===， 所以11AB D 是等边三角形， 所以113AB D π∠=，即异面直线1AB 与BD 所成角为3π， 故答案为：3π二、解答题4．（2022·上海浦东新·高二期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中.(1)求异面直线1A B 和1CC 所成的角的余弦值；(2)求证：直线1//A B 平面11DCC D . 【答案】(1)22(2)证明见解析 【分析】（1）根据已知11//CC BB ，可将异面直线1A B 和1CC 所成的角转化为直线1A B 和1BB 所成的角，再根据题目的边长关系，即可完成求解；（2）可通过连接1D C ，证明四边形11A BCD 为平行四边形，从而得到11//A B D C ，再利用线面平行的判定定理即可完成证明.(1)因为11//CC BB ，所以11A BB ∠就是异面直线1A B 和1CC 所成的角.又因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以异面直线1A B 和1CC 所成的角为45o ，所以异面直线1A B 和1CC 所成的角的余弦值为22. (2)连接1D C ，因为11//A D BC 且11A D BC =，所以四边形11A BCD 为平行四边形，所以11//A B D C ；1A B ⊄平面11DCC D ，1D C ⊂平面11DCC D ；所以直线1//A B 平面11DCC D .即得证.线面角一、单选题1．（2022·上海市控江中学高二期末）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，点P 是棱1CC 的中点，设直线AB 为a ，直线11A D 为b ．对于下列两个命题：①过点P 有且只有一条直线l 与a 、b 都相交；②过点P 有且只有两条直线l 与a 、b 都成75︒角．以下判断正确的是（ ）A ．①为真命题，②为真命题B ．①为真命题，②为假命题C ．①为假命题，②为真命题D ．①为假命题，②为假命题【答案】A【分析】①由正方形的性质，可以延伸正方形，再利用两条平行线确定一个平面即可；②一组邻边与对角面的夹角相等，在平面内绕P 转动，可以得到二条直线与a 、b 的夹角都等于75. 【详解】如下图所示，在侧面正方形11A B BA 和11A D DA 再延伸一个正方形11B E EB 和11D F FD ，则平面1E C 和1C F 在同一个平面内，所以过点P ，有且只有一条直线l ，即1EF 与a 、b 相交，故①为真命题；取1A A 中点N ，连PN ，由于a 、b 为异面直线，a 、b 的夹角等于11A B 与b 的夹角.由于11A C ⊂ 平面11A C ，NP ⊄平面11A C ，11NP AC ，所以NP 平面11A C ，所以NP 与11A B 与b 的夹角都为45 .又因为1C C ⊥平面11A C ，所以1C C 与11A B 与b 的夹角都为90，而457590<<，所以过点P ，在平面1A C 内存在一条直线，使得与11A B与b 的夹角都为75，同理可得，过点P ，在平面1A C 内存在一条直线，使得与a 与AD 的夹角都为75；故②为真命题. 故选：A二、填空题2．（2021·上海市行知中学高二阶段练习）6，且对角线与底面所成角的余弦值为33，则该正四棱柱的全面积等于_________． 【答案】10【分析】结合已知条件分别求出正四棱柱的底面边长和高即可求解. 【详解】由题意，正四棱柱1111ABCD A B C D -如下图：不妨设正四棱柱1111ABCD A B C D -底面边长为a ，1||AA h =，由已知条件可得，2222221||2(6)6BD a a h a h =++=+==，又因为1DD ⊥底面ABCD ，所以对角线1BD 与底面ABCD 所成角为1DBD ∠，因为对角线与底面所成角的余弦值为33，||2BD a =， 所以11||23cos ||36BD a DBD BD ∠===，解得1a =，从而2h =， 故该正四棱柱的表面积12411210S =⨯⨯+⨯⨯=. 故答案为：10. 三、解答题3．（2021·上海市大同中学高二阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=︒，PA 垂直于底面ABCD ，22PA AD AB BC ====，M 、N 分别为PC 、PB 的中点.（1）求证：PB DM ⊥；（2）求BD 与平面ADMN 所成的角. 【答案】（1）证明见解析；（2）6π.【分析】（1）由题设易得BC AB ⊥，由已知及线面垂直的性质有BC ⊥面PAB ，根据线面垂直的判定可证BC PB ⊥、PA AB ⊥，再由线面垂直的判定及平行的推论可得PB ⊥面ADMN ，最后由线面垂直的性质证结论.（2）若BD 与平面ADMN 所成角为θ，由线面垂直易知sin BNBDθ=，即可求线面角的大小. 【详解】（1）由90BAD ∠=︒即AD AB ⊥，又//AD BC ，有BC AB ⊥， ∵PA ⊥面ABCD ，BC ⊂面ABCD ，∴PA BC ⊥，而PA AB A =，则有BC ⊥面PAB ， 又PB ⊂面PAB ，则BC PB ⊥， 由AB面ABCD ，有PA AB ⊥，且PA AB =，N 为PB 的中点，则AN PB ⊥，又M 为PC 的中点，有//BC MN ，即MN PB ⊥，而AN MN N =，又//AD BC ，则//AD MN ，即,,,A N D M 共面，∴PB ⊥面ADMN ，而DM ⊂面ADMN ，故PB DM ⊥.（2）由（1）知：PB ⊥面ADMN ，若BD 与平面ADMN 所成角为[0,]2πθ∈，且1BC =，∴2,22BN BD == ，则1sin 2BN BD θ==，故6πθ=.二面角一、单选题1．（2020·上海·曹杨二中高二期末）设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则 A ．,βγαγ<< B ．,βαβγ<< C ．,βαγα<< D ．,αβγβ<<【答案】B【解析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.【详解】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BDPB PB PB PBα===<=β，即αβ>，tan tan PD PDED BDγ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B. 方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ）由最大角定理β<γ'=γ，故选B.方法3：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得 333222cos sin sin α=α=β=γ=B. 【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法. 二、填空题2．（2021·上海·西外高二期中）在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1A BC A --的大小是___________. 【答案】4π 【分析】根据二面角的定义判断二面角1A BC A --的大小. 【详解】画出图象如下图所示， 由于1,BC A B BC AB ⊥⊥，所以1A BA ∠是二面角1A BC A --的平面角， 根据正方体的性质可知14A BA π∠=.故答案为：4π三、解答题3．（2022·上海·复旦附中高二期中）如图所示，某农户拟在院子的墙角处搭建一个谷仓，墙角可以看作如图所示的图形，其中OA 、OB 、1OO 两两垂直（OA 、OB 、1OO 均大于2米）．该农户找了一块长、宽分别为2米和1米的矩形木板．将木板的一边紧贴地面，另外一组对边紧贴墙面，围出一个三棱柱（无盖）形的谷仓．(1)若木板较长的一边紧贴地面，3问：此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为多少？(2)应怎样摆放木板，才能使得围成的谷仓容积最大？并求出该最大值． 【答案】(1)6π和3π (2)体积最大值为1立方米，此时木板长边贴地，与两个墙面所成锐二面角均为45° 【分析】（1）利用设二面角为θ或三棱柱底面的一条直角边长为x 两种方法进行求解即可； （2）用（1）中的θ或x 表示谷仓容积，再利用三角函数和基本不等式，进行求最值即可得解. (1)法一：设其中一个锐二面角的大小为θ，则三棱柱底面的两条直角边长分别为2cos θ、2sin θ，高为1，体积132cos 2sin 1sin 22V Sh θθθ==⋅⋅⋅==6πθ=或3π，所以此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为6π和3π．法二：设三棱柱底面的一条直角边长为()02x x <<，则另一条直角边长为24-x ，高为1，体积2134122V Sh x x ==⋅⋅-⋅=，解得x ＝1或3，所以此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为6π和3π． （2）法一：同（1）中法一所设，若长边紧贴底面，体积12cos 2sin 1sin 212V Sh θθθ==⋅⋅⋅=≤，等号当且仅当4πθ=时成立；若短边紧贴底面，体积111cos sin 2sin 2222V Sh θθθ==⋅⋅⋅=≤，等号当且仅当4πθ=时成立；显然112>，所以体积最大值为1立方米，此时木板长边贴地， 与两个墙面所成锐二面角均为45°． 法二：同（1）中法二所设，若长边紧贴底面，体积2221441124x x V Sh x x +-==⋅⋅-⋅≤=， 等号当且仅当2x =时成立；若短边紧贴底面，体积22211112222x x V Sh x x +-==⋅⋅-⋅≤=，等号当且仅当22x =时成立； 显然112>，所以体积最大值为1立方米， 此时木板长边贴地，与两个墙面所成锐二面角均为45°（也可描述底面两条直角边长）．4．（2021·上海·格致中学高二期中）在四棱锥P ABCD -中，底面为梯形，AB CD ∕∕，PAD △为正三角形，且2PA AB ==，90BAP CDP ∠=∠=︒，四棱锥P ABCD -的体积为23．(1)求证：AB ⊥平面PAD ；(2)求PC 与平面ABCD 所成角的正弦值；(3)设平面PAB ⋂平面PCD l =，求证：l AB ∕∕，并求二面角B l C --的大小．【答案】(1)证明见解析；(2)1510；(3)3π 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合题意，即可得证.（2）根据面面垂直的判定、性质定理，结合正三角形的性质，可证PQ ⊥平面ABCD ，则PCQ ∠即为PC 与平面ABCD 所成角，据四棱锥的体积，可求得CD 长，在Rt PCQ 中，求得各个边长，即可得答案. （3）根据线面平行的判定和性质定理，可证AB l ∕∕，结合题意，可得PA l ⊥，同理PD l ⊥，则APD ∠即为二面角B l C --所成的平面角，根据三角形性质，即可得答案.(1)证明：因为90CDP ∠=︒，所以CD DP ⊥，因为AB CD ∕∕，所以AB DP ⊥，又因为90BAP ∠=︒，即AB AP ⊥，且,AP DP ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ；(2)因为AB ⊥平面PAD ，AB平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ，取AD 中点Q ，连接PQ ，CQ ， 因为PAD △为正三角形，Q 为AD 中点，所以PQ AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD=AD ， 所以PQ ⊥平面ABCD ，所以PCQ ∠即为PC 与平面ABCD 所成角，在Rt PDQ 中，223PQ PD DQ -设CD 长为x ，则四棱锥P ABCD -的体积()1112+2323332ABCD V S PQ x =⨯=⨯⨯⨯= 求得CD 长4x =，在Rt CDQ △中，2217CQ CD DQ +=在Rt PCQ 中，2225PC CQ PQ =+所以315sin 1025PQ PCQ PC ∠===， 所以PC 与平面ABCD 所成角的正弦值为1510 (3)证明：因为AB CD ∕∕，CD ⊂平面PCD ，AB ⊄平面PCD ，所以AB ∕∕平面PCD ，又AB 平面PAB ，且平PAB ⋂平面PCD l =，所以AB l ∕∕.因为PA AB ⊥，AB l ∕∕，所以PA l ⊥，同理PD l ⊥，所以APD ∠即为二面角B l C --所成的平面角，因为PAD △为正三角形，所以3APD π∠=，即二面角B l C --的大小为3π. 一、填空题1．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二期中）若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则异面直线AB 与11D B 之间的距离为___________.【答案】1【分析】作出正方体图像，观察即可得到答案﹒【详解】如图：巩固练习∵1BB 与AB 、11B D 均垂直，∴1BB 即为两异面直线的距离，故答案为：1二、解答题2．（2021·上海中学高二阶段练习）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点．(1)求证：直线1BD ∥平面P AC ；(2)求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.【答案】(1)证明见解析；(2)30°. 【分析】(1)AC 和BD 交于点O ，由1PO BD ∥即能证明直线1BD ∥平面PAC ．(2)由1PO BD ∥，得APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角．由此能求出异面直线1BD 与AP 所成角的大小．(1)设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点，连结PO ，又∵P 是1DD 的中点，∴1PO BD ∥，又∵PO ⊂平面PAC ，1BD ⊂平面PAC ，∴直线1BD ∥平面PAC ； (2)由(1)知，1PO BD ∥，∴APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角， ∵2PA PC ==122AO AC =PO AO ⊥，∴212sin 22AO APO AP ∠===．又(0APO ∠∈︒，90]︒，∴30APO ∠=︒ 故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30．3．（2021·上海市进才中学高二期中）已知正四棱锥P ABCD -中，1AB =，2PA =；(1)求侧棱与底面所成角的正弦值；(2)求正四棱锥P ABCD -的体积【答案】(1)144(2)146【分析】（1）由于正四棱锥P ABCD -，故顶点在底面的投影在底面的中心O ，连结,PO AO 分析可得PAO ∠即为侧棱与底面所成角，利用题干长度关系求解即可（2）由于PO ⊥平面ABCD ，故13P ABCD ABCD V PO S -=⨯⨯，计算即可 (1)由于正四棱锥P ABCD -，故顶点在底面的投影在底面的中心O ，连结,PO AO故PO ⊥平面ABCD ，PAO ∠即为侧棱与底面所成角由1AB =，2PA =，故2222AO AB ==又PO ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ，故PO AO ⊥22114422PO PA AO ∴=-=-= 故14sin 4PO PAO PA ∠== 即侧棱与底面所成角的正弦值为144 (2)由（1）PO ⊥平面ABCD ，且142PO = 故11141413326P ABCD ABCD V PO S -=⨯⨯=⨯⨯= 即正四棱锥P ABCD -的体积为1464．（2021·上海中学高二期中）如图，在矩形ABCD 中，M 、N 分别是线段AB 、CD 的中点，2AD =，4AB =，将ADM △沿DM 翻折，在翻折过程中A 点记为P 点．(1)从ADM △翻折至NDM 的过程中，求点P 运动的轨迹长度；(2)翻折过程中，二面角P −BC −D 的平面角为θ，求tan θ的最大值.【答案】2π(2)12【分析】（1）取DM 的中点E ，则从ADM △翻折至NDM 的过程中，点P 运动的轨迹是以点E 为圆心，AE 为半径的半圆，由此可求得点P 运动的轨迹长度.（2）由（1）得，连接AN ，并延长交BC 延长线于F ，过P 作PO EF ⊥，再过点O 作OG BC ⊥，则PGO ∠就是二面角P −BC −D 的平面角θ，设(),0PEO ααπ∠=≤≤，sin 2PO PE αα==，322,3cos OF OG αα==-，可得2sin tan PO PGO OG α∠==2sin k α=，运用辅助角公式和正弦函数的性质可求得最大值.(1)解：取DM 的中点E ，则从ADM △翻折至NDM 的过程中，点P 运动的轨迹是以点E 为圆心，AE 为半径的半圆，因为2AD =，4AB =，所以2AE =，所以点P 运动的轨迹长度为2π.(2)解：由（1）得，连接AN ，并延长交BC 延长线于F ，AN DM ⊥，折起后，有DM ⊥面PEN ，过P 作PO EF ⊥，则PO ⊥面DMBC ，再过点O 作OG BC ⊥，则PGO ∠就是二面角P −BC −D 的平面角θ， 设(),0PEO ααπ∠=≤≤， sin 2sin PO PE αα==，4222cos 322cos ,3cos OF AF AE OE OG ααα=--=--=-=-，2sin tan 3cos PO PGO OG αα∠==-， 令2sin 2sin cos 33cos k k k αααα=⇒+=-，所以22sin()3k k αβ++=，所以23112k k -≤≤+，解得1122k -≤≤. 所以tan θ的最大值为12.。

高二数学空间的角试题答案及解析1.在正方体中，直线与平面所成角的大小为____________．【答案】.【解析】连接，，连接.由正方体的性质可得，且，所以平面，所以可得为直线与平面所成的角.设正方体的棱长为，则，.在中，，从而得到答案为.【考点】直线与平面所成的角；棱柱的结构特征．2.如图是一个正方体的表面展开图，A、B、C均为棱的中点，D是顶点，则在正方体中，异面直线AB和CD的夹角的余弦值为。

【答案】【解析】试题分析:把正方体的表面展开图还原成正方体，设的中点为，连接，又，则为异面直线AB和CD所成的角，由余弦定理可得。

【考点】（1）异面直线所成角的定义；（2）平行公里；（3）余弦定理的应用。

3.空间四边形ABCD中，M，N分别是AB和CD的中点，AD=BC=6，MN=则AD和BC所成的角是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】取线段AC的中点P.由于M,N都是中点.所以QN=3，QM=3.又因为.所以三角形MNP是直角三角形.即MP⊥PN,又因为MP∥BC, PN∥AD.所以AD⊥BC.本题主要是应用三角形的中位线的知识.含中点的题一般都的转化为中位线的知识.【考点】1.异面直线所成的角.2.中位线定理.3.空间问题向平面问题转化.4.在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的大小是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在正方体中，容易得到平面，又因为平面,故得到.【考点】异面直线所成角.5.在三棱锥中,是边长为2的正三角形,平面平面,,分别为的中点.(1)证明:;(2)求锐二面角的余弦值;【答案】（1）见试题解析；（2）．【解析】（1）要证线线垂直，一般可先证线面垂直，而本题中有，是等边三角形，故可以取中点为，则有，，这是等腰三角形的常用辅助线的作法；（2）关键是作出所求二面角的平面角，由已知及（1）中辅助线，可知平面，由于是中点，故只要取中点，则有，也即平面，有了平面的垂线，二面角的平面角就容易找到了。

学案6：二面角及其度量一、学习目标：1、理解二面角的平面角的概念2、会求二面角 二、学习重点：求二面角的大小。

学习难点：找二面角的平面角 三、学习过程：学习活动一：定义法求二面角 【问题1】二面角的定义平面内的一条直线将平面分成两部分，其中每一部分叫做 。

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 ，这条直线叫做 ，每个半平面叫做 。

棱为l ，两个面分别为α，β的二面角，记为________． 【问题2】二面角的平面角在二面角α—l —β的棱上任取一点O ，在两个半平面内分别作射线OA ⊥l 、OB ⊥l ，则________叫做二面角α—l —β的平面角． 【问题3】直二面角平面角是________的二面角叫做直二面角，相交成直二面角的两个平面就是 的平面．注意：二面角的大小可以用它的 来度量小试牛刀1：1．如图，在正方体ABCD —A 'B 'C 'D '中， (1) 平面ABC 'D '与底面ABCD 所成二面角的棱是 ，平面角是 ，大小是 ； (2) 平面ABC 'D '与后面DCC 'D '所成二面角的棱是 ，平面角是 ，大小是 (3) 平面ABC 'D '与侧面B 'BCC '所成二面角的棱是 ，平面角是 ，大小是 ；(4)二面角C '-BD-C 的棱是 ，平面角是 ，二面角的正切值是 .2．如图，将边长为a 的正三角形ABC ，沿BC 边上的高线AD 将△ABC 折起，若折起后B 、C 间距离为a2，则二面角B —AD —C 的平面角是 大小为____．学习活动二：向量法求二面角【方法一】分别在二面角α-l-β的面α，β内，作向量n 1⊥l ，n 2⊥l ，则可用 度量这个二面角. 小试牛刀2：一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为（0,1,2）和（1,2,2），则这个二面角的余弦值为 ． 【方法二】法向量法设m 1⊥α，m 2⊥β，则〈m 1，m 2〉与该二面角 ． 注意：此方法的运用适宜于：①在空间直角坐标系下，平面α，β的法向量便于确定．②二面角的大小便于定性(锐角、钝角)．从图中便于直观获得二面角为锐角或钝角．小试牛刀3：已知两平面的法向量分别为m=（0,1,0），n=（0,1,1），且两平面所成的二面角为钝角，则两平面所成的二面角为 ．学习活动三：射影面积法求二面角【方法】已知二面角α-l -β的度数为θ（0≤θ≤2π），在α面内有△ABC,它在β内的射影为△A ’B ’C ’,且它们的面积分别为S 、S ’则有 即cos θ=小试牛刀4：在正方体AC 1中，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点，若截面EFDB与侧面BCC 1B 1所成的锐二面角为θ，则cos θ＝________.四、整体建构五、应用学习1．如图，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，试画出二面角P —AB —C的平面角并求它的度数．2、二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝2，AC ＝3，BD ＝3，CD ＝13，求该二面角的大小3、如图，四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD .底面ABCD 为边长是1的正方形，PA ＝1，求平面PCD 与平面PAB 夹角的大小．4、△ABC 是边长为1的正三角形，CD ⊥平面ABC ，且CD=1，求二面角B-AD-C 的大小。

专题3-1几何法求二面角，线面角立体几何空间向量求解过程，丧失了立体几何求解的乐趣，无形中也降低了学生的空间想象能力。

这是空间向量求解的巨大优点，也是缺点，就这么共存着。

其实不建系而直接计算真的很比较锻炼空间想象的能力，方法上也更灵活一些，对于备考的中档学生来说，2种方法都要熟练掌握。

方法介绍一、定义法：交线上取点 等腰三角形共底边时作二面角步骤第一步：在交线l上取一点O第二步：在α平面内过O点作l的垂线OA第三步：在β平面内过O点作l的垂线OB∠AOB即为二面角，余弦定理求角αβl OAB二、三垂线法（先作面的垂直）—后续计算小使用情况：已知其中某个平面的垂线段第二步：过垂直B作l的垂线OB∠AOB即为二面角且△AOB为直角三角形，邻比斜三、作2次交线的垂线作二面角步骤第一步：作AO⊥l第二步：作OB⊥l连接AB，∠AOB即为二面角，余弦定理求角四、转换成线面角作二面角步骤第一步：作AO⊥l第二步：作AB⊥β(找不到垂足B的位置用等体积求AB长)连接AB，∠AOB即为二面角△AOB为直角三角形，邻比斜五、转换成线线角—计算小，也是法向量的原理提问：什么时候用？若α平面存在垂线AB，且β平面存在垂线AC则α平面与β平面的夹角等于直线AC与AB的夹角αβlOABαβlOABβαOABCαβlOAB六、投影面积法——面积比（三垂线法进阶）将cos θ＝边之比∣面积之比，从一维到二维，可多角度求出两面积，最后求解如图△ABC 在平面α上的投影为△A 1BC ， 则平面α与平面ABC 的夹角余弦值1cos A BCABCθ=△△即cos θ=投影原S S补充：即使交线没有画出来也可以直接用例题：一题多解2023汕头二模T20如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，PQ 是所在棱上的中点.1C 1CD ABA B 1αBCAA 1D（1）求平面APQ 与平面ABCD 夹角的余弦值 （2）补全截面APQ2023全国乙卷数学(理)T9——由二面角求线面角P C 1CDABA B 1P C 1DABA B 1P C 1CDABA B 1P C 1DABA B 1P C 1CDABA B 1PC 1DABA B 11．已知ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD △为等边三角形，若二面角C AB D −−为150︒，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．252021·新高考1卷·T20——由二面角求线段长2．如图，在三棱锥A BCD −中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D −−的大小为45︒，求三棱锥A BCD −的体积.题型一 定义法1．如图，在三棱锥S—ABC 中，SC ⊥平面ABC ，点P 、M 分别是SC 和SB 的中点，设PM=AC =1，∠ACB =90°，直线AM 与直线SC 所成的角为60°.(1)求证：平面MAP ⊥平面SAC . (2)求二面角M—AC—B 的平面角的正切值；2．(湛江期末)如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，点M ，N 分别是PB ，AC 的中点，且MN ⊥A C ． （1）证明：BC ⊥平面PA C ．（2）若PA ＝4，AC ＝BC ＝22，求平面PBC 与平面AMC 夹角的余弦值．(几何法比较简单)3．如图1，在平行四边形ABCD 中，60,2,4A AD AB ∠=︒==，将ABD △沿BD 折起，使得点A 到达点P ，如图2．重点题型·归类精讲(1)证明：平面BCD⊥平面P AD；(2)当二面角D PA B−−的平面角的正切值为6时，求直线BD与平面PBC夹角的正弦值．题型二三垂线法4．(佛山期末)如图，四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，12PA AD AB CD===，侧面PAD⊥底面ABCD，E为PC的中点．（1）求证：BE⊥平面PCD；（2）若PA＝PD，求二面角P－BC－D的余弦值．5．如图，在四棱锥P -ABCD 中，△P AD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，,,224,23BC AD CD AD AD CD BC PB ⊥====∥ （2023广州一模T19）（1） 求证：AD PB ⊥；（2）求平面P AB 与平面ABCD 交角的正弦值.6．如图，在三棱锥A BCD −中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点．（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为2的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =且二面角E BC D −−的大小为60，求三棱锥A BCD −的体积．7．（2023·浙江·统考二模）如图，在三棱柱111ABCA B C 中，底面ABC ⊥平面11AA B B ，ABC 是正三角形，D 是棱BC 上一点，且3CD DB =，11A A A B =.(1)求证：111B C A D ⊥；(2)若2AB =且二面角11A BC B −−的余弦值为35，求点A 到侧面11BB C C 的距离.8．如图，在多面体ABCDE 中，平面ACD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，ABC 和ACD 均为正三角形，4AC =，3BE =.(1)在线段AC 上是否存在点F ，使得BF ∥平面ADE ?说明理由； (2)求平面CDE 与平面ABC 所成的锐二面角的正切值.题型三 作2次交线的垂线9．在三棱锥S ABC −中,底面△ABC 为等腰直角三角形,90SAB SCB ABC ∠=∠=∠=︒. （杭州二模） （1）求证：AC ⊥SB ；（2）若AB ＝2，22SC =，求平面SAC 与平面SBC 夹角的余弦值．题型四 找交线10．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCI )是平行四边形，∠ABC ＝120°，AB ＝1，BC ＝2，PD ⊥C D ． (1)证明：AB ⊥PB ；(2)若平面PAB ⊥平面PCD ，且102PA =，求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值． （广东省二模T19）题型五 转换成线线角湖北省武汉市江汉区2023届高三上学期7月新起点考试11．在直三棱柱111ABC A B C −中，已知侧面11ABB A 为正方形，2BA BC ==，D ，,E F 分别为AC ，BC ，CC 1的中点，BF ⊥B 1D ．(1)证明：平面B 1DE ⊥平面BCC 1B 1；(2)求平面BC 1D 与平面1B DE 夹角的余弦值六、 题型六 投影面积法12．(2022·惠州第一次调研)如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知//AB CD ，AD ⊥CD ，BC BP =，CD ＝2AB＝4，△ADP 是等边三角形，E 为DP 的中点．(1)证明：AE ⊥平面PCD ；(2)若2,PA =求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值13．(2022深圳高二期末)如图(1)，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ⊥BC ，且12,2BC CD AB ===取AB 的中点O ，连结OD ，并将△AOD 沿着OD 翻折，翻折后23AC =M ，N 分别是线段AD ，AB 的中点，如图(2)．（1）求证：AC⊥OM.（2）求平面OMN与平面OBCD夹角的余弦值．专题3-1几何法求二面角，线面角立体几何空间向量求解过程，丧失了立体几何求解的乐趣，无形中也降低了学生的空间想象能力。

高二数学（下）复习讲义（1）线面角与面面角一、知识与方法要点：1．斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。

求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。

若垂足的位置难以确定，可考虑用其它方法求出斜线上一点到平面的距离。

2．二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关键是找到或作出它的平面角(要证明)。

作二面角的平面角经常要用三垂线定理，关键是过二面角的一个面内的一点向另一个面作垂线，并确定垂足的位置。

若二面角的平面角难以作出，可考虑用射影面积公式求二面角的大小。

3．判定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线。

两个平面垂直的性质定理是：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．二、例题例1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，M 为C1D1中点．(1)求证：AC1⊥平面A1BD ．(2)求BM 与平面A1BD 成的角的正切值．解： (1)连AC ，∵C1C ⊥平面ABCD ， ∴C1C ⊥BD ．又AC ⊥BD ， ∴AC1⊥BD ．同理AC1⊥A1B∵A1B ∩BD=B ．∴AC1⊥平面A1BD ．(2)设正方体的棱长为a ，连AD1，AD1交A1D 于E ，连结ME ，在△D1AC1中，ME ∥AC1， ∵AC1⊥平面A1BD ．∴ME ⊥平面A1BD ．连结BE ，则∠MBE 为BM 与平面A1BD 成的角．在Rt MEB ∆中，12AC ME a ==，6BE a ==，∴tan ME MBE BE ∠==．例2．如图，把等腰直角三角形ABC 以斜边AB 为轴旋转，使C 点移动的距离等于AC 时停止，并记为点P ．（1）求证：面ABP ⊥面ABC ；（2）求二面角C-BP-A 的余弦值．证明（1） 由题设知AP ＝CP ＝BP ．∴点P 在面ABC 的射影D 应是△ABC 的外心，即D ∈AB ．∵PD ⊥AB ，PD ⊂面ABP ，由面面垂直的判定定理知，面ABP ⊥面ABC ．（2）解法1 取PB 中点E ，连结CE 、DE 、CD ．∵△BCP 为正三角形，∴CE ⊥BD ．△BOD 为等腰直角三角形，∴DE ⊥PB ．∴∠CED 为二面角C-BP-A 的平面角．又由（1）知，面ABP ⊥面ABC ，DC ⊥AB ，AB ＝面ABP ∩面ABC ，由面面垂直性质定理，得DC ⊥面ABP ．∴DC ⊥DE ．因此△CDE 为直角三角形．设1BC =，则2CE =，12DE =，1cos DE CED CE ∠===．例3．如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，1E BB ∈，截面1A EC ⊥侧面1AC ． (1)求证：1BE EB =； (2)若111AA A B =，求平面1A EC 与平面111A B C所成二面角(锐角)的度数．证明：在截面A1EC 内，过E 作EG ⊥A 1C ，G 是垂足，如图，∵面A 1EC ⊥面AC 1，∴EG ⊥侧面AC 1．取AC 的中点F ，分别连结BF 和FC ，由AB ＝BC 得BF ⊥AC ．∵面ABC ⊥侧面AC 1，∴BF ⊥侧面AC 1，得BF ∥EG ．BF 和EG 确定一个平面，交侧面AC 1于FG ．∵BE ∥侧面AC 1，∴BE ∥FG ，四边形BEGF 是，BE ＝FG ．∴BE ∥AA 1，∴FG ∥AA 1，△AA 1C ∽△FGC ．解：(2)分别延长CE 和C1B1交于点D ，连结A 1D ．∵∠B 1A 1C 1＝∠B 1C 1A 1＝60°，∴∠DA 1C 1＝∠DA 1B 1＋∠B 1A 1C 1＝90°，即 DA 1⊥A 1C 1．∵CC 1⊥面A 1C 1B 1，由三垂线定理得DA 1⊥A 1C ，所以∠CA 1C 1是所求二面角的平面角．且∠A 1C 1C ＝90°． ∵CC 1＝AA 1＝A 1B 1＝A 1C 1，∴∠CA 1C 1＝45°，即所求二面角为45°．说明：如果改用面积射影定理，则还有另外的解法．三、作业：1．已知平面α的一条斜线a 与平面α成θ角，直线b ⊂α，且a,b 异面，则a 与b 所成的角为（A ）A ．有最小值θ，有最大值2πB ．无最小值，有最大值2π。

高二数学二面角教学目标1．使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”的概念，并能初步运用它解决实际问题；2．引导学生探索和研究“二面角的平面角”应该如何定义，在概念形成的过程中，发展学生的思维能力．教学重点和难点本课的重点是“二面角”和“二面角的平面角”的概念；本课的难点是“二面角的平面角”概念形成的过程．教学设计过程教师：在平面几何中“角”是怎样定义的？学生：从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角．教师：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？学生；直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．它们的共同特征是都是将三维空间的角转化为二维空间的角．教师：请同学们观察下面的几个问题．（当教师说完上述话后，利用多媒体技术，让学生通过计算机看两个例子）例子之一：镜头一：淡蓝色的地球．（图片）镜头二：火箭发射人造地球卫星．（录相）镜头三：人造地球卫星绕地球旋转，最后画出卫星的轨道平面和地球赤道平面．让学生观察这两个平面相交成一定的角度．例子之二：镜头一：人走在坡度不太大的桥上．（录相）镜头二：人在爬山．（录相）镜头三：攀岩运动．（录相）镜头四：演示下面动态图象．（让水平面静止不动，坡面在不断变化，目的是让学生看到，在生活实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形）（注意：四个镜头要连续编排在一起进行演示，时间一分钟）教师：如何给二面角下定义呢？下面我们用类比的办法，与角的概念对比，探讨二面角的定义．这一段教学采用计算机辅助手段，每一个问题分三步完成，首先给出平面角的问题，然后请学生思考并回答二面角的问题，最后计算机显示正确结果．这部分共有四个问题，全部研究完毕后，将整个过程列成一个总表，显示在屏幕上．教师：请看角的图形，思考二面角的图形．学生可以将自己画的图展示给大家．计算机显示：二面角的图形．教师：（给出平面角的定义）请同学们给二面角下定义．显示：从平面内一点出发的两条射线所组成的图形．学生：（口答）计算机显示：从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形．教师：平面角由射线—点—射线构成．二面角呢？学生：二面角由半平面—线—半平面构成．教师：平面角表示法：∠AOB．二面角表示法α-a-β或α-AB-β．最后计算机显示整个过程．教师：经过上面的研究我们已经看到，平面上的角，可以看作是一条射线绕其端点旋转形成的图形；类似地，一个半平面绕其界线旋转到一定位置所得到的图形，就是二面角．教师：二面角与平面内的角一样，是可以比较大小的，其比较方法，与平面内的角的大小的比较方法类似．（教师让学生打开书本）打开书本的过程，给我们一种二面角的大小连续变化的形象．（前面看到的爬山问题也是如此）教师：用量角器可以量出平面内的角的大小，能否也能用量角器直接去量出二面角的大小呢？比如，这里有一个对顶量角器和一个三角木块（直三棱柱）模型，你们能用我们自制的对顶量角器来量出三角木块模型的某两面角的大小吗？比如平面α与β的夹角？教师：一般地说，量角器只能测量“平面角”（指两条相交直线所成的角．相应地，我们把异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，均称为空间角）那么，如何去度量二面角的大小呢？我们以往是如何度量某些角的？学生：分别通过“取点、平移（相交）”（对异面直线所成的角）与“斜线的射影（相交）”（对斜线与平面所成的角）去度量的．教师：这些做法的共同点是什么？学生：都是将空间角化为平面角．教师：对！再回到刚才的量角操作，你是怎样用对顶量角器去量二面角α-l-β的大小呢？学生：将对顶量角器的一个角的两边靠紧二面角的两个面，角的顶点则在二面角的棱上．教师：大家注意，实际上同学们量的是一个平面内的角：∠BAC．这个角的顶点在二面角的棱上，它的两边分别在二面角的两个面内且与棱垂直．而且对于确定的二面角，这样的角的大小是唯一的，确定的，我们把它叫做二面角的平面角．（对于训练有素，肯于思考的学生可能会提出下面的问题）学生：若以棱a上任意一点O为端点，在两个面内作与棱成等角θ′（0°＜θ′＜90°）的两条射线OA′，OB′，由空间等角定理知，∠A′OB′也是存在且唯一的，为什么不用这样的角定义二面角的平面角？教师：记∠AOB=θ，∠A′OB′= ．当OA′，OB′在平面AOB同侧时θ＞；当OA′，OB′在平面AOB异侧时θ＜．请看图6：设 A′P′=a，A′P=b，A′B′=x由余弦定理，得：x2=b2+b2-2b2cos=2b2（1-cos），x2=a2+a2-2a2cosθ=2a2（1-cosθ），当OA′，OB′在平面AOB的同侧时，若用∠A′OB′=表示二面角的大小，由（*）知，与θ之间会有常数关系，这将给表示，尤其是计算、应用带来诸多不便；另外，若用∠A′OB′=表示二面角的大小，当平面α⊥平面β时；≠90°，当半平面α与半平面β在同一平面时，=2θ′≠180°，都与已有知识和经验不符，不能直观反映出空间两个相交平面的相对位置关系。