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4.1.2 圆的一般方程教学目标1.正确理解圆的一般式方程及其特点，会求圆的一般方程；2.熟练圆的一般式方程与标准方程的互化；3.初步掌握求动点的轨迹方程的思想方法。
教学重难点重点：根据圆的一般方程，熟练地求出圆心和半径。
难点：能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程。
复习回顾：圆的标准方程是什么？思考：若把圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2展开后，会得出怎样的形式？探究一、圆的一般方程思考：方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0在什么条件下表示圆？一、圆的一般方程二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，当D 2＋E 2－4F ＞0时，该方程叫做圆的一般方程。
圆心为_⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2_，半径长为__D 2＋E 2－4F 2__. 圆的一般方程的特点：（1）x 2，y 2项的系数相等且不为零； （2）没有xy 项； （3）D 2＋E 2－4F ＞0.思考：给出二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，若该方程表示圆的方程，可否根据圆的一般方程确定成立的条件？二、圆的一般方程与标准方程的关系（1）标准方程易于看出圆心与半径，一般方程突出了方程形式上的特点.（2）a ＝2D -，b ＝2E-，r ＝D 2＋E 2－4F 2.问题：圆是否还可以用其他形式的方程来表示呢？探究二、圆的参数方程思考：如图，设⊙O 的圆心在原点，半径是r ，与x 轴正半轴的交点为P 0，在圆上任取一点P ，若将OP 0按逆时针方向旋转到OP 位置所形成的角∠P0OP ＝θ，求P 点的坐标.3.圆的参数方程(1)圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程是：⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ是参数）(2)圆心在(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程是：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x （θ为参数）典例讲解题型一、圆的一般方程的概念例1.圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的圆心坐标为（ ）A.(1，2)B.(1，－2)C.(－1，2)D.(－1，－2) 例2.方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的条件是（ ）A.14<m <1B.m >1C.m <14D.m <14或m >1 例3.已知方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4＋9＝0表示一个圆.(1)求实数m 的取值范围． (2)求该圆半径r 的取值范围； (3)求圆心的轨迹方程．题型二、求圆的方程例4.根据下列条件求圆的方程：（1）过三点A (1，12)，B (7，10)，C (－9，2)；（2）经过点P (1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上；（3）求与x 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且截直线0=-y x 的弦长为72的圆的方程.题型三、圆的参数方程 例5.已知圆O 的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin 5cos 5y x （0≤θ<2π），如果圆上点P 所对应的参数θ＝5π3，则点P 的坐标是________.例6.若直线y ＝x ﹣b 与曲线2cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ∈[0，2π]）有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围为（ ）A.(2B.[2C.(,2(22,)-∞++∞D.(2例7.已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＋2x ﹣23y ＝0.（1）求x 2＋y 2的最大值； （2）求x ＋y 的最小值.题型三、与圆相关的轨迹问题例8.已知：一个圆的直径的两端点是A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，证明：圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.例9.已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆（x ＋1）2＋y 2＝4上运动，求线段AB 的中点M的轨迹方程.变式：如图，已知点A (－1，0)，与点B (1，0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连结BC 并延长至D ，使|CD |＝|BC |，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．探究！到两定点的距离之比为定值的点的轨迹到两定点F 1、F 2的距离之比为定值λ（λ>0）的点的轨迹是圆.例10.已知一曲线是与两定点O (0，0)、A (3，0)距离的比为12的点的轨迹，求这个曲线的方程.题型四、与圆相关的最值问题（数形结合，巧解“与圆有关的最值问题”）例11.已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.（1）求yx 的最大值与最小值；（2）求y －x 的最大值与最小值；（3）求x 2＋y 2的最大值和最小值．变式：实数x ，y 满足x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，求下列各式的最大值和最小值：（1）4-x y；（2）2x ＋y .课堂小结1.本节课的主要内容是圆的一般方程，其表达式为⎪⎩⎪⎨⎧>-+=++++0402222F E D F Ey Dx y x 2.圆的一般方程与圆的标准方程的联系一般方程配方得标准方程，标准方程（圆心，半径）展开得一般方程。
一、选择题1．圆x2+y2+4x–6y–3=0的圆心和半径分别为A．（4，–6），r=16 B．（2，–3），r=4C．（–2，3），r=4 D．（2，–3），r=16【答案】C【解析】将圆x2+y2+4x–6y–3=0的方程化成标准形式，得（x+2）2+（y–3）2=16，∴圆x2+y2+4x–6y–3=0的圆心为C（–2，3），半径r=4，故选C．2．由方程x2+y2–4tx–2ty+5t2–4=0（t为参数）所表示的一组圆的圆心轨迹是A．一个定点B．一个椭圆C．一条抛物线D．一条直线【答案】D3．已知圆C的一般方程为x2+y2+2x–4y+1=0，其圆心坐标为（a，b），半径为r，则以下说法中，正确的是A．a=–1，b=2，r=2 B．a=–1，b=2，r=4C．a=1，b=–2，r=2 D．a=1，b=–2，r=4【答案】A【解析】圆C的一般方程为x2+y2+2x–4y+1=0，它的标准方程为（x+1）2+（y–2）2=4，表示以（–1，2）为圆心、半径等于2的圆．再根据其圆心坐标为（a，b），半径为r，可得a=–1，b=2，r=2，故选A．4．方程x2+xy=x表示的曲线是A．一个点B．一条直线C．两条直线D．一个点和一条直线【答案】C【解析】方程x2+xy=x即x（x+y–1）=0，化简可得x=0或x+y–1=0．而x=0表示一条直线，x+y–1=0也表示一条直线，故方程x2+xy=x的曲线是两条直线，故选C．5．已知实数x，y满足x2+y2–2x–2y+1=0，则x2+y2的最小值为A1B C．3-D．2【答案】C【解析】圆x2+y2–2x–2y+1=0，即（x–1）2+（y–1）2=1，表示以C（1，1）为圆心、半径等于1的圆．则x2+y2表示圆上的点和原点连线的距离的平方．由于CO∴CO2=2，∴x2+y2的最小值为)21=3–C．6．过三点A（–3，2），B（3，–6），C（0，3）的圆的方程为A．x2+y2+4y–21=0 B．x2+y2–4y–21=0C．x2+y2+4y–96=0 D．x2+y2–4y–96=0【答案】A7．已知方程x2+y2–2x+2y+a=0表示圆，则实数a的取值范围是A．（2，+∞）B．（–2，+∞）C．（–∞，2）D．（–∞，1）【答案】C【解析】∵方程x2+y2–2x+2y+a=0表示圆，∴22+22–4a>0，∴4a<8，∴a<2，故选C．8．曲线x2+y2––4=0关于A．直线x B．直线y=–x轴对称C．点（–2D0）中心对称【答案】B【解析】曲线x2+y2––4=0于圆心在直线y=–x上，∴曲线关于直线y=–x对称．∴A、C、D都不正确．故选B．9．在平面直角坐标系内，若曲线C：x2+y2+2ax–4ay+5a2–4=0上所有的点均在第二象限内，则实数a取值范围为A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（–∞，–2）D．（–∞，–1）【答案】B10．已知圆x2+y2–4x+6y=0的圆心坐标为（a，b），则a2+b2=A．8 B．16 C．12 D．13【答案】D【解析】圆x2+y2–4x+6y=0化为：（x–2）2+（y+3）2=13的圆心坐标为（2，–3），则a2+b2=4+9=13．故选D．二、填空题11．圆x2+y2–2x+4y=0的面积为___________．【答案】5π【解析】圆的方程即（x–1）2+（y+2）21，–2的圆，故圆的面积为π•r2=5π，故答案为：5π．12．圆x2+y2–2x+6y+8=0的周长为___________．【答案】【解析】圆x2+y2–2x+6y+8=0，即圆（x–1）2+（y+3）2=2，表示以（1，–3）为圆心，．13．圆x2+y2+6x–4y+12=0的圆心坐标是___________．【答案】（–3，2）【解析】圆x2+y2+6x–4y+12=0，即（x+3）2+（y–2）2=1，故圆的圆心为（–3，2），故答案为：（–3，2）．14．若直线3x –4y +12=0与两坐标轴的交点为A ，B ，则以线段AB 为直径的圆的一般方程为___________．【答案】x 2+y 2+4x –3y =0【解析】由x =0得y =3，由y =0得x =–4，∴A （–4，0），B （0，3），∴以AB 为直径的圆的圆心是（–2，32），半径r 52=，∴以AB 为直径的圆的方程是（x +2）2+（y –32）2=254，即x 2+y 2+4x –3y =0．故答案为：x 2+y 2+4x –3y =0． 15．若方程x 2+y 2–2mx +（2m –2）y +2m 2=0表示一个圆，且圆心位于第一象限，则实数m 的取值范围是___________． 【答案】（0，12） 【解析】方程x 2+y 2–2mx +（2m –2）y +2m 2=0表示一个圆，可得：圆心为（m ，1–m ），r ．∴12m <，由圆心位于第一象限，010m m >⎧⎨->⎩，解得0<m <1．∴实数m 的取值范围是0<m <12．故答案为：（0，12）． 三、解答题16．若方程x 2+y 2+2mx –2y +m 2+5m =0表示圆，求：（1）实数m 的取值范围； （2）圆心坐标和半径．17．若圆过A（2，0），B（4，0），C（0，2）三点，求这个圆的方程．【解析】设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则有420 1640 240D FD FE F++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩①②③，②–①得：12+2D=0，∴D=–6，代入①得：4–12+F=0，∴F=8，代入③得：2E+8+4=0，∴E=–6，∴D=–6，E=–6，F=8，∴圆的方程是x2+y2–6x–6y+8=0．18．求下列满足条件的圆的方程（1）圆心为C（2，–2）且过点P（6，3）的圆的方程；（2）已知点A（–4，–5），B（6，–1），求以线段AB为直径的圆的方程．【解析】（1=故圆的方程为（x–2）2+（y+2）2=41；（2）由中点坐标公式得线段AB的中点坐标为C（1，–3），即圆心的坐标，r=故圆的方程为（x–1）2+（y+3）2=29．19．已知实数x，y满足方程x2+y2–4x+1=0．（1）求yx的最值；（2）求y–x的最值；（3）求x2+y2的最值．（2）令y–x=t，即x–y+t=0对应直线l，将直线l平移，当l与圆C：（x–2）2+y2=3相切时，t达到最大或最小值，由d=t=–2∴t的最小值为–2（3）满足x2+y2–4x+1=0的点P（x，y）在以C（2，0x2+y2=|OP|2，∵当P、O、C三点共线时，|OP|达到最大值或最小值，∴当圆C上的点P在OC延长线上时，|OP|的最大值为|OC得到x2+y2的最大值为（2当圆C上的点P在线段OC上时，|OP|的最小值为|OC|得到x2+y2的最大值为（22=7–综上所述，x2+y2的最大值为7–20．m为何值时，方程x2+y2–4x+2my+2m2–2m+1=0表示圆，并求半径最大时圆的方程．。
4.1.2圆的一般方程●三维目标1．知识与技能(1)掌握圆的一般方程及一般方程的特点．(2)能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求圆心和半径．(3)能用待定系数法由已知条件求出圆的方程．(4)能用坐标法求动点的轨迹方程．2．过程与方法(1)进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力．(2)加深对数形结合思想的理解和加强待定系数法的运用．3．情感、态度与价值观(1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识．(2)培养学生勇于思考、探究问题的精神．●重点难点重点：圆的一般方程及待定系数法求圆的方程．难点：用坐标法求动点的轨迹方程．重点突破：以教材的思考为切入点，采取由特殊到一般、由具体到抽象的方法，结合圆的标准方程，突破“二元二次方程同圆的关系”这一重难点，通过学生探究合作与交流，结合题组训练，引导学生进一步掌握用“待定系数法”求解圆的一般方程；借助多媒体演示及学生的直观感知突破“求动点的轨迹方程”这一难点．●教学建议本节课是上节课的拓展和延伸，可采用开门见山、单刀直入的引入方法，让学生通过对一组二元二次方程的观察比较，分析讨论，得出圆的一般方程的形式，并指明“二元二次方程”同“圆”的关系，培养学生分类讨论的思想意识．考虑到“用相关点法求动点的轨迹方程”的难度，教学时可结合一些具体例子，让学生分组协作，通过组内讨论的方式找出动点的轨迹与已知曲线的关系，教师适时点拨，这样学生既掌握了用相关点法求动点轨迹的问题，又对一般的轨迹问题有了了解，为今后进一步学习轨迹问题奠定基础．●教学流程创设问题情境，引出问题：二元二次方程同圆什么关系？⇒引导学生结合配方法及圆的标准方程得出圆的一般方程形式.⇒通过引导学生回答所提问题理解二元二次方程同圆的关系及表示圆的条件.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握圆的一般方程的概念.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握圆的一般方程的求法.⇒通过例3及其变式训练，初步培养学生解决与圆相关的轨迹问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.1．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2展开可得到一个什么式子？ 【提示】 x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2＝0. 2．观察以下三个方程： (1)x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋8＝0； (2)x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋2＝0； (3)x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0.先将它们分别配方，分析它们分别表示什么图形？【提示】 (1)配方得(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝－6，不表示任何图形． (2)配方得(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝0，表示点(－1，－1)． (3)配方得(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2，表示圆． 方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(*)表示的图形(1)变形：(x ＋D 2)2＋(y ＋E 2)2＝D 2＋E 2－4F4.(2)图形：①当D 2＋E 2－4F >0时，方程表示的曲线为圆，且圆心为(－D 2，－E2)，半径为12D 2＋E 2－4F ，方程(*)称为圆的一般方程； ②当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程(*)表示一个点(－D 2，－E2)；③当D 2＋E 2－4F <0时，方程(*)不表示任何图形.下列方程能否表示圆？若能，求出圆心和半径．(1)2x 2＋y 2－7y ＋5＝0； (2)x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0； (3)x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0； (4)2x 2＋2y 2－5x ＝0.【思路探究】 分析每个方程是否具有圆的一般方程的特征，也可以把方程配方观察求解．【自主解答】 (1)∵方程2x 2＋y 2－7y ＋5＝0中x 2与y 2的系数不相同， ∴它不能表示圆．(2)∵方程x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0中含有xy 这样的项， ∴它不能表示圆．(3)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0化为(x －1)2＋(y －2)2＝－5， ∴它不能表示圆．(4)方程2x 2＋2y 2－5x ＝0化为(x －54)2＋y 2＝(54)2，∴它表示以(54，0)为圆心，54为半径长的圆．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，应满足的条件是：①A ＝C ≠0，②B ＝0，③D 2＋E 2－4AF >0.如果x 2＋y 2－2x ＋y ＋k ＝0是圆的方程，则实数k 的范围是________． 【解析】 由题意可知(－2)2＋12－4k >0， 即k <54.【答案】 (－∞，54)并求这个圆的半径长和圆心坐标．【思路探究】 设圆的一般式方程――→过点O 、M 、N 求圆的一般式方程――→公式法求圆心坐标、半径【自主解答】 设圆的一般式方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 由题意可知点O (0,0)，M (1,1)，N (4,2)满足圆的方程，即 ⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，D ＋E ＋F ＋2＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝6，F ＝0.所以，所求圆的一般方程是x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0化为标准方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝25. ∴圆的圆心坐标是(4，－3)，半径r ＝5.1．一般地，所求的圆经过几点且不易得知圆心和半径，常选用一般式． 2．圆的一般式方程中也含有三个未知参数，求解时也需要三个独立的条件．已知A (2,2)，B (5,3)，C (3，－1)，求三角形ABC 的外接圆的方程． 【解】 设三角形ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2D ＋2E ＋F ＋8＝0，5D ＋3E ＋F ＋34＝0，3D －E ＋F ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12，即三角形ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0.【思路探究】 本题考查动点轨迹方程的求法，关键是寻找动点M 的横、纵坐标之间的关系．【自主解答】 设M (x ，y )，由于M 是AP 的中点， ∴P 点的坐标是(2x －4,2y )．∵P 是圆x 2＋y 2＝1上的点， ∴(2x －4)2＋(2y )2＝1.即动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝14.本题是运用代入法求轨迹方程．用动点坐标表示相关坐标，再根据相关点所满足的方程即可求动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫作相关点法或代入法．经过圆x 2＋y 2＝4上任意一点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，则线段PQ 中点M 的轨迹方程为________．【解析】 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝2y .又点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，故x 20＋y 20＝4，即x 2＋4y 2＝4，所以，所求轨迹方程为x 2＋4y 2＝4. 【答案】x 2＋4y 2＝4忽略圆的一般方程中D 2＋E 2－4F >0致误已知定点A (a,2)在圆x 2＋y 2－2ax －3y ＋a 2＋a ＝0的外部，求a 的取值范围． 【错解】 因为点A (a,2)在圆的外部， 所以a 2＋4－2a 2－3×2＋a 2＋a >0， 解得a >2.故所求a 的范围为(2，＋∞)．【错因分析】 上述解法的错误在于“忘记判断二元二次方程表示圆的条件”． 【防范措施】 对于二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0只有在D 2＋E 2－4F >0的前提下，它才表示圆，故求解本题在判定出点与圆的位置关系后，要验证所求参数的范围是否满足D 2＋E 2－4F >0.【正解】 因为点A 在圆的外部，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4－2a 2－3×2＋a 2＋a >0，(－2a )2＋(－3)2－4(a 2＋a )>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >2，a <94，即2<a <94.所以a 的取值范围为(2，94)．1．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0是圆的另一种表示形式，其隐含着D 2＋E 2－4F >0，同圆的标准方程类似，求圆的一般式方程也需要三个独立的条件．2．求轨迹的方法很多，注意合理选取，在求与圆有关的轨迹时，注意充分利用圆的性质．1．已知圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0，则圆心坐标、半径的长分别是( ) A ．(2，－1)，3 B ．(－2,1)，3 C ．(－2，－1)，3 D ．(2，－1)，9【解析】 圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9. 故其圆心坐标为(2，－1)，半径的长为3. 【答案】 A2．点P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝16上的动点，点M 是OP (O 为原点)的中点，则动点M 的轨迹方程是________．【解析】 设M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 02，y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ， 又P (x 0，y 0)在圆上， ∴4x 2＋4y 2＝16，即x 2＋y 2＝4. 【答案】 x 2＋y 2＝43．若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则实数k 的取值范围是________． 【解析】 由(－4)2＋22－4×5k >0，得k <1. 【答案】 (－∞，1)4．已知圆C 过点O (0,0)，A (1,0)，B (0，－1)，求圆C 的方程．【解】 设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将O ，A ，B 三点坐标依次代入，得 ⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋D ＋F ＝0，(－1)2－E ＋F ＝0，解之得D ＝－1，E ＝1，F ＝0. 所以圆C的方程为x 2＋y 2－x＋y＝0.一、选择题1．(2013·聊城高二检测)方程x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示一个圆，则( ) A ．a ＝－1 B ．a ＝2 C ．a ＝－2 D ．a ＝1【解析】 由题意可知a ＋2＝1，∴a ＝－1. 【答案】 A2．(2013·浏阳高一检测)若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2>4F )表示的曲线关于直线y ＝x 对称，那么必有( )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．E ＝FD ．D ＝E ＝F【解析】 方程所表示的曲线为圆，由已知，圆关于直线y ＝x 对称，所以圆心在直线y ＝x 上，即点(－D 2，－E2)在直线y ＝x 上，所以D ＝E .故选A.【答案】 A3．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形为( ) A ．以(a ，b )为圆心的圆 B ．以(－a ，－b )为圆心的圆 C ．点(a ，b ) D ．点(－a ，－b )【解析】 原方程可化为：(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0.所以它表示点(－a ，－b )． 【答案】 D4．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B.12或32C ．2或0D ．－2或0【解析】 由圆心(1,2)到直线的距离公式得|1－2＋a |2＝22得a ＝0或a ＝2.故选C.【答案】 C5．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π【解析】 设点P 的坐标为(x ，y )，由|P A |＝2|PB |得(x ＋2)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2 即(x －2)2＋y 2＝4.故点P 的轨迹所围成的图形的面积S ＝4π. 【答案】 B 二、填空题6．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F ＝________. 【解析】 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－D2＝2，－E2＝－4，12D 2＋E 2－4F ＝4，解得D ＝－4，E ＝8，F ＝4. 【答案】 47．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的周长等于________． 【解析】 圆的半径r ＝12(－2)2＋62－4×8＝2，故圆的周长为22π. 【答案】 22π8．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则P A 的中点M 的轨迹方程是________．【解析】 设M 的坐标为(x ，y )，由题意可知圆心A 为(2，－1)，P (2x －2,2y ＋1)在圆上， 故(2x －2)2＋(2y ＋1)2－4(2x －2)＋2(2y ＋1)－11＝0，即x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0. 【答案】 x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0 三、解答题9．(2013·济宁高一检测)设圆的方程为x 2＋y 2－4x －5＝0， (1)求该圆的圆心坐标及半径；(2)若此圆的一条弦AB 的中点为P (3,1)，求直线AB 的方程．【解】 (1)将x 2＋y 2－4x －5＝0配方得：(x －2)2＋y 2＝9.∴圆心坐标为C (2,0)，半径为r ＝3.(2)设直线AB 的斜率为k .由圆的几何性质可知：CP ⊥AB ，∴k CP ·k ＝－1. 又k CP ＝1－03－2＝1，∴k ＝－1.∴直线AB 的方程为y －1＝－(x －3)， 即x ＋y －4＝0.10．(2013·黄冈高一检测)已知定点O (0,0)，A (3,0)，动点P 到定点O 的距离与到定点A 的距离的比值是1λ，求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线． 【解】 设动点P 的坐标为(x ，y )，则由λ|PO |＝|P A |，得λ(x 2＋y 2)＝(x －3)2＋y 2， 整理得：(λ－1)x 2＋(λ－1)y 2＋6x －9＝0.∵λ>0，∴当λ＝1时，方程可化为2x －3＝0，故方程表示的曲线是线段OA 的垂直平分线；当λ≠1时，方程可化为(x ＋3λ－1)2＋y 2＝[3λ(λ－1)]2，即方程表示的曲线是以(－3λ－1，0)为圆心，3λ|λ－1|为半径的圆．11．(思维拓展题)设△ABC 顶点坐标A (0，a )，B (－3a ，0)，C (3a ，0)，其中a >0，圆M 为△ABC 的外接圆．(1)求圆M 的方程；(2)当a 变化时，圆M 是否过某一定点，请说明理由． 【解】 (1)设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵圆M 过点A (0，a )，B (－3a ，0)，C (3a ，0)，∴⎩⎨⎧a 2＋aE ＋F ＝0，3a －3aD ＋F ＝0，3a ＋3aD ＋F ＝0，解得D ＝0，E ＝3－a ，F ＝－3a .∴圆M 的方程为x 2＋y 2＋(3－a )y －3a ＝0.(2)圆M 的方程可化为(3＋y )a －(x 2＋y 2＋3y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3＋y ＝0，x 2＋y 2＋3y ＝0，解得x ＝0，y ＝－3. ∴圆M 过定点(0，－3).等腰三角形的顶点是A (4,2)，底边的一个端点是B (3,5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．【思路探究】 用直接法求轨迹方程，但必须考虑点C 是三角形的另一顶点，即A ，B ，C 三点不能共线，这一点容易被忽略，应注意．【自主解答】 设另一端点C 的坐标为(x ，y )． 依题意得|AC |＝|AB |. 由两点间距离公式，得：(x －4)2＋(y －2)2＝(4－3)2＋(2－5)2， 整理得(x －4)2＋(y －2)2＝10.这是以点A (4,2)为圆心，以10为半径的圆，如图所示，又因为A ，B ，C 为三角形的三个顶点，所以A ，B ，C 三点不共线，即点B ，C 不能重合且B ，C 不能为⊙A 的一直径的两个端点．因为点B ，C 不能重合，所以点C 不能为(3,5)． 又因为点B ，C 不能为一直径的两个端点， 所以x ＋32≠4，且y ＋52≠2，即点C 不能为(5，－1)．故端点C 的轨迹方程是(x －4)2＋(y －2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))，它的轨迹是以点A (4,2)为圆心，10为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点．一般地，求轨迹方程就是求等式，就是找等量关系．把等量关系用数学语言表达出来，再进行变形、化简，就会得到相应的轨迹方程，所以找等量关系是解决问题的关键．如图所示，自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程．【解】 ∵P 为BC 中点，O 为圆心，∴OP ⊥BC .设P (x ，y )，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·y x －4＝－1，即x 2＋y 2－4x ＝0(0<x <1)．① 当x ＝0时，P 点坐标为(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(0≤x ＜1).。
