当前位置：文档之家 › 2.4.2 圆的一般方程

2.4.2 圆的一般方程

  • 格式：docx
  • 大小：101.37 KB
  • 文档页数：10

下载文档原格式

  / 10

合集下载

2.4.2圆的一般方程课件(人教版)(2)

2.4.2圆的一般方程课件(人教版)(2)

取值范围是( D)
AБайду номын сангаасa＜-2或 a＞ 2 3
C.-2＜a＜0
B.- 2＜a＜0 3
D.-2＜a＜ 2 3
2. (1)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线是以(-2,3) 为圆心,4为半径的圆.求D、E、F的值
答案:D=4,E=-6,F=-3
(2)求经过三点A(1,-1)、B(1,4)、C(4,-2)的圆 的方程. 待定系数法,答案:x2+y2-7x-3y+2=0.
x2 y2 4x 6 y 12 0
注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰 当选择圆的方程情势:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标 准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般 方程用待定系数法求解.
(特殊情况时,可借助图象求解更简单)
1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的
圆心 (－1, －2) ，半径|m|
1.掌握圆的一般方程及其特点. 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程,并能熟练地
指出圆心的位置和半径的大小.（重点） 3.能根据某些具体条件,运用待定系数法确定圆的方
程.（难点） 4.初步学会运用圆的方程来解决某些实际应用问题.
圆的标准方程：
x a2 y b2 r 2
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当 D2 E2 4F 0 时，表示圆，
圆心
-
D 2
,
E 2
（2）当 D2 E2 4F
r D2 E2 4F 2

2.4.2 圆的一般方程(与圆有关的轨迹问题) (教学课件)——高二上学期数学人教A版(2019)

2.4.2 圆的一般方程(与圆有关的轨迹问题) (教学课件)——高二上学期数学人教A版(2019)

三、典型例题
例3 已知圆O的直径AB=4，动点M到点A的距离是它到点B的距离的 2 倍,试探究动点M的轨迹.
三、典型例题
如果把本例中的“ 2倍”改 为“k(k>0)倍”，你能分析并解 决这个问题吗?
四、课堂小结
求动点的轨迹方程的常用方法:
1.直接法： 设动点坐标,直接得出坐标所满足的关系式,而求出轨迹方程,
(其中圆心为4（F->0D2),-
E 2
），半径为
Hale Waihona Puke 1 2D2 + E2 - 4F )
二、轨迹问题
点的轨迹方程是指点的坐标(x，y)满足的关系式．轨迹是指 点在运动变化过程中形成的图形.在解析几何中，我们常常把图形 看作点的轨迹（集合).
三、典型例题
例1 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上
运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
y
A
M
B
O
x
三、典型例题
方法归纳 求动点的轨迹方程的常用方法:
1.直接法: 能直接根据题目提供的条件列出方程; 2.代入法(相关点法): 找到所求动点与已知动点的关系,代入 已知动点所在的方程.
三、典型例题
例2 点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P、 Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．
第二课时 (与圆有关的轨迹问题)
一、知识回顾
1.圆的标准方程：(x-a)2 +(y-b)2 =r2 (1)(a，b)表示圆心坐标, r表示圆的半径. (2)确定圆的标准方程必须具备三个条件.

2.4.2圆的一般方程

2.4.2圆的一般方程
将点 D 1, 2 代入得： (1) 2 22 2 (1) 6 2 5 0 ，满足方程.
所以四点在同一个圆上.
课堂小结
直线的一般方程
类比
待定系数法
圆的一般方程
代数特征明显
配方
圆的标准方程
几何特征明显
典型例题
例2 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆 + 1
线段AB的中点的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
解: 设AB中点为P (x,y), A 0 , 0 ，B 0, 0 .
则有 =
0
,
2
=
0
.
2
则0 = 2, 0 = 2.
①
因为|AB| =2a,
所以 02 + 02 = 2a.
把①带入得 2
2
+ 2
2
= 42,
即 2 + 2 = 2.
另一个端点C的轨迹方程，并说明它是什么图形．
解: 设C(x,y).
由题 AB = AC ,
即
3−4
2
+ 5−2
2
=
−4
化简得端点的轨迹方程为 − 4
2
2
+ − 2 2,
+ −2
2
= 10.
又由A、B、C构成三角形，即三点不可共线,
∴需要去掉重合点（3,5），反向共线点(5, − 1)，
表示圆心在原点半径为a的圆.
目标检测
1.长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求
线段AB的中点的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
解: 设AB中点为P (x,y), 则|OP|=a.

2.4.2圆的一般方程(教学课件2)-高中数学人教A版选择性必修第一册

2.4.2圆的一般方程(教学课件2)-高中数学人教A版选择性必修第一册

联立①②，得 A(0,0) .
同理可得 B(2,2) ， C(8, 4) .
（2）由（1）可得 B(2,2) ， C(8, 4) ， 设 ABC 的外接圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0 ，
F 0 将 A，B，C 的坐标代入圆的方程可得 4 4 2D 2E F 0 ，
a
只有-2
与
0，
所以方程 x2 y2 3ax ay 5 a2 a 1 0 表示的圆的个数为 2. 2
7.圆 x2 y2 Dx Ey F 0 D2 E2 4F 0 关于直线 y x 1 对称，则( )
A. D E 2
B. D E 1
C. D E 2
D. D E 1
面积的最小值是( )
A. 3 2
B. 3 2
C. 3 2 2
3 2 D.
2
答案：A 解析：易得直线 AB 的方程为 x y 2 0 ，圆心坐标为 (1,0) ，半径为 1，
则圆心到直线 AB 的距离 d
|1 0 2| 12 (1)2
3
2 2
，所以点
C
到直线
AB
的最小距离为
3
2 2
1，
D2 E2 4F 0
，则圆心
D 2
,
E 2
，
由题意知，
2
D E 22 DE
F
0
D 4
，解得
E
4
，
10 3D E F 0
F 2
所以所求圆的一般方程是 x2 y2 4x 4y 2 0 .
13.若直线 l : ax by 1 0 始终平分圆 M : x2 y2 4x 2 y 1 0 ， 则 (a 2)2 (b 2)2 的最小值为____________.

高中数学选择性必修一《2.4.2圆的一般方程》课件

高中数学选择性必修一《2.4.2圆的一般方程》课件

[解] (1)设点 D 为线段 AB 的中点，直线 m 为线段 AB 的 垂直平分线，则 D32，－12.
又 kAB＝－3，所以 km＝13， 所以直线 m 的方程为 x－3y－3＝0. 由xx－ －3y＋y－13＝＝00， 得圆心 C(－3，－2)， 则半径 r＝|CA|＝ －3－12＋－2－12＝5， 所以圆 C 的方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
① ②
令 x＝0，得 y2＋Ey＋F＝0， ③
由已知|y1－y2|＝4 3，其中 y1，y2 是方程③的两根．
∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48. ④
D＝－2， 联立①②④解得，E＝0，
F＝－12
D＝－10， 或E＝－8，
F＝4.
故所求圆的方程为 x2＋y2－2x－12＝0 或 x2＋y2－10x－8y
(2)设线段 PQ 的中点为 N(x，y)， 在 Rt△PBQ 中，|PN|＝|BN|. 设 O 为坐标原点，连接 ON，则 ON⊥PQ， ∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， ∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4， 故线段 PQ 的中点 N 的轨迹方程为 x2＋y2－x－y－1＝0.
解：设所求圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则圆心为－D2 ，－E2 . ∵圆心在直线 2x－y－3＝0 上， ∴2×－D2 －－E2 －3＝0.① 又∵点(5,2)和(3，－2)在圆上， ∴52＋22＋5D＋2E＋F＝0. ②
32＋(－2)2＋3D－2E＋F＝0. ③ 解①②③组成的方程组，得 D＝－4， E＝－2，F＝－5. ∴所求圆的一般方程为 x2＋y2－4x－2y－5＝0.
代入法
若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1) 而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标 代入到已知圆的方程中，得P点的轨迹方程

选择性必修第一册2.4.2圆的一般方程课件(人教版)

选择性必修第一册2.4.2圆的一般方程课件(人教版)

∴2D＋4E－F－20＝0 ② ，8D＋6E＋F＋100＝0. ③
联立①②③，解得 D＝－11，E＝3，F＝－30，
故所求圆的方程为 x2＋y2－11x＋3y－30＝0.
思考 满足什么条件时，二元二次方程 表示圆.
二元二次方程
表示圆
(1) x2 和 y2 的系数相同且不为 0，即A＝C ≠ 0；
(2) 没有 xy 这样的二次项，即B=0；
方程特征：直接体现了圆上点的坐标x, y的间接关系, 体现了变元(改 变变量情势)和换元思想.
例5 已知线段AB的端点B的坐标是(4, 3), 端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动, 求线段AB
的中点M的轨迹方程.
y
解2：(参数法) 设 M(x, y), A(x0, y0). ∵点 A 在圆(x+1)2+y2=4上 ,
2.4.2 圆的一般方程
复 习： 1. 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为 (x－a) 2 + (y－b) 2 = r2 当圆心在原点时(a=b=0)，圆的标准方程为： x2 + y2 = r2 2. 由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数，因此必须具备三个独立
的条件才能确定圆；对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需 利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程.
课本P88
解：(1) 方程表示一个点(0, 0)；
(2) 方程表示圆心坐标为(1, -2), 半径长为1的圆；
(3) 当a2 b2 0时,方程表示圆心坐标为(a,0), 半径长为 a2 b2 . 当a2 b2 0时,方程表示一个点(0, 0).
例4 求过三点 O(0, 0), M1(1, 1), M2(4, 2) 的圆的方程及圆的半径和圆心坐标.

2.4.2圆的一般方程课件(人教版)

2.4.2圆的一般方程课件(人教版)
足的关系式．轨迹是指点在运动变化过程中
形成的图形、在解析几何中，我们常常把图
形看作点的轨迹(集合).
分析:如图，点A运动引起点M运动，而点
A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程
+ 1 2 + 2 = 4.建立点M与点A坐标之间的
关系，就可以利用点A的坐标所满足的关系式
得到点M的坐标满足的关系式，求出点M的轨
2
2
(3)当D2 + E2 − 4F < 0时，方程(2)没有实数解,它不表示任何图形.
概念生成
因此，当2 + 2 − 4 > 0时，方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0表示一个圆.
我们把方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0叫做圆的一般方程.
2
2
解:设圆的方程是 2 + 2 + + + = 0 ①.
因为O，M1，M2三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把
它们的坐标依次代入方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组
=0
= −8
ቐ + + + 2 = 0 ，解这个方程组，得ቐ = 6 ，
4 + 2 + + 20 = 0
圆的标准方程: (x-a) +(y-b) =r2
圆的一般方程与标准方程的关系：
D
E
1
2
2
(1)a= ，b= ，r=
D E 4F
2
2
2
(2)标准方程易于看出圆心与半径,
(3)一般方程突出形式上的特点：

2.4.2圆的一般方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

2.4.2圆的一般方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
(3) 解出a, b, r或D, E, F, 得到标准方程或一般方程.
巩固练习
1、若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4
为半径的圆，则F＝______.
2、已知圆C的一般方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，它的圆心
C(5,0)，则圆C的半径r＝_____.
3．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值
解3： 线段OM 1的垂直平分线方程为
1
1
y ( x ),即x y 1 0.
2
2
线段OM 2的垂直平分线方程为
y 1 2( x 2),即2 x y 5 0.
x y 1 0
联立方程
,解得x 4,y 3.
2 x y 5 0
新授课
第二章 直线和圆的方程
2.4.2 圆的一般方程
温故知新
两要素：圆心 A(a,b)
半径 r
圆
的
标
准
方
程
( x a ) ( y b) r .
2
2
2
点与圆的位置关系
几何法
求圆的标准方程
三条件
待定系数法
与圆有关的最值问题
思想方法
类比法
坐标法
代数法
数形结合
新知探究
思考：一般地, 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开后，会得出怎样的形式？
2
2
2
2
表示以(
)为圆心，
以

,

>0，
D

E
4F为半径的圆.
D +E -4F

2.4.2圆的一般方程ppt课件新教材人教A版选择性必修第一册

2.4.2圆的一般方程ppt课件新教材人教A版选择性必修第一册
1 + 1 + − + ＝0，
＝ − 7，
组ቐ 1 + 16 + + 4 + ＝0， 解得ቐ ＝ − 3，
16 + 4 + 4 − 2 + ＝0，
＝2.
故圆的方程为x2＋y2－7x－3y＋2＝0.
问题式预习
2.4.2 圆的一般方程
02
任务型课堂
任务一 圆的一般方程的概念辨析
(3)解出a，b，r或D，E，F，得到标准方程或一般方程．
知识点三
轨迹方程与轨迹
点M的________是指点M的坐标(x，y)满足的关系式．点M
的 轨迹
____是
轨迹方程
指点M在运动变化过程中形成的图形．在解析几何中，我们常常把
轨迹
图形看作点的____(集合)．
2.4.2 圆的一般方程
问题式预习
任务型课堂
3
2
，因此方程表示圆心为
1
3
，
2
−
3
，半径为
−
1 2
3
+ +
23
的圆．
3
2 2
3
2.4.2 圆的一般方程
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
【类题通法】
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆的两种判断方法：
(1)配方法．对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，可以通
过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆．
第二章 直线和圆的方程
2.4 圆的方程
2.4.2 圆的一般方程
问题式预习
2.4.2 圆的一般方程
任务型课堂

2.4.2圆的一般方程课件(人教版)(1)

2.4.2圆的一般方程课件(人教版)(1)

y 2
பைடு நூலகம்
.
A在圆上运动, 将点A的坐标代入圆的方程, 得
x
2
2
2
1
y 2
2
2,
化简得( x 4)2 y2 8,
点M的轨迹方程为( x 4)2 y2 8.
典型例题 例3.已知两点P(2, 2),Q(0, 2)以及一条直线l : y x,设长为 2 的线段AB在直线l上移动,求直线PA与QB的交点M的轨迹方程. 解： 线段AB在直线y x上移动,且 | AB | 2,
2.若圆x2+y2-2kx-4=0关于直线2x-y+3=0对称,则k等于( B )
A. 3 B. 3 C . 3 D. 3
2
2
解析 :由题意知,直线2x y 3 0过圆心. 圆心坐标为(k,0),2k 3 0, k 3 . 2
巩固练习
3.已知一动点M到点A(-4,0)的距离是它到点B(2,0)的距 离的2倍,则动点M的轨迹方程是 x2+y2-8x=0 .
典型例题
例1.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。
解：设点M的坐标是( x, y),点A的坐标是( x0, y0 ).由于点B的坐标是 （4, 3),且M是线段AB的中点，
所以
x= y=
x0 2
y0 2
4 3
, .
3 2
,
3 2
为圆心,半径为1的圆.
典型例题 例1.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。
点M的轨迹方程是指点M的坐标(x,y)满足的关 系式，轨迹是指点在运动变化过程中形成的图 形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的 轨迹（集合）

高中数学选择性必修一课件：2.4.2圆的一般方程

高中数学选择性必修一课件：2.4.2圆的一般方程
第二章 直线和圆的方程
2.4 圆的方程
2.4.2 圆的一般方程
学习目标 1.了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和 半径 2.会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一 般方程解决简单问题 3.初步掌握求动点的轨迹方程的方法
素养要求 数学抽象
数学运算 数学运算
|自学导引|
|课堂互动|
|素养达成|
圆上的动点． (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程． 素养点睛：考查数学运算的核心素养．
|自学导引|
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
解：(1)设AP的中点为M(x，y)，
由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
2 0
＋y
2 0
＋Dx0＋
Ey0＋F>0. 【答案】(1)√ (2)√ (3)× (4)√
()
|自学导引|
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
【解析】(1)圆的方程都能写成一个二元二次方程． (2)圆的一般方程和标准方程是可以互化的． (3)不表示圆，方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝0，故不表示圆，而表 示点(1，－2)． (4)因为点M(x0，y0)在圆外，所以x0＋D2 2＋y0＋E22>D2＋E42－4F， 即x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F&
|素养达成|
课后提能训练
2．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上， 且圆心在第二象限，半径为 2，求圆的一般方程．
解：圆心C－D2 ，－E2， 因为圆心在直线x＋y－1＝0上， 所以－D2 －E2－1＝0，即D＋E＝－2①. 又r＝ D2＋2E2－12＝ 2，所以D2＋E2＝20②.

2.4.2圆的一般方程教学设计+-2024-2025学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.4.2圆的一般方程教学设计+-2024-2025学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.4.2圆的一般方程教学设计【学习目标】1.会推导圆的一般方程，能够说出圆的一般方程的特点以及满足的条件.2.会根据已知条件运用待定系数法求圆的方程.3.会求动点的轨迹方程.【重点难点】重点：圆的一般方程及限制条件.难点：动点轨迹方程.【新课导入】1. 复习圆的标准方程，说出圆心和半径；2. 标准方程展开式：x 2+y 2-2ax-2by+a 2+b 2-r 2=03. 抽象为：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0提问：二元二次方程一定表示圆吗？设计意图：复习巩固圆的标准方程，展开后，类比直线的一般方程，抽象出二元二次方程的形式，由问题引入本课主题。

任务一：探究圆的一般方程问题一：圆的一般方程是什么？有什么限制条件？思：认真阅读课本85-86页，在课本上圈画关键知识。

1. 结合以下问题认真阅读课本85-86页，在课本上圈画关键知识并回答以下问题：2. 小组研讨:一般方程022=++++C Ey Dx y x 配方得（x +D 2)2+（x +E 2)2=D 2+E 2−4F 4 （1）当D 2+E 2−4F =0时，方程表示一个点，该点的坐标为(−D 2,−E 2).（2）当D 2+E 2−4F <0时，方程不表示任何图形.（3）当D 2+E 2−4F >0时，方程表示的曲线为圆，它的圆心坐标为(−D 2,−E 2)，半径为r =√D 2+E 2−4F 4. 小结：一般方程转化为标准方程的常用方法：配方法训练：（教材88页练习 1题和第2题）第1题：求下列各圆的圆心坐标和半径，并画出它们的图形：（1）圆心：(3,0)半径：r=3（2）圆心：(0,-b)半径：r=|b|（3）圆心：(a ,√3a )半径：r=|a|第2题：求下列各圆的方程，并画出图形：（1）表示一个点(0,0)（2）表示一个圆，圆心为(1,-2)，半径为√11（3）当a 2+b 2=0表示点（0，0）：当a 2+b 2>0表示圆，圆心为（−a,0)，半径为r =√a 2+b 2 设计意图：通过学生自主学习教材知识，小组讨论方程的特点，认识圆的一般方程及其成立的条件。

人教A版选择性必修第一册2.4.2圆的一般方程课件

人教A版选择性必修第一册2.4.2圆的一般方程课件
解：设所求圆的一般方程为 2
+
2
+ + + =
∵圆心在直线2 − − 3 = 0上，∴2 ×

(− )
2

− (− )
2


0，则圆心为(− , − ).
2
2
− 3 = 0.①
又∵点(5,2)和(3, −2)在圆上，
∴52 + 22 + 5 + 2 + = 0.②
32 + (−2)2 +3 − 2 + = 0.③
4.轨迹方程的求法：相关点法
) =
.
2
4
①
(பைடு நூலகம்)当2 + 2 − 4 > 0时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程(2)


1
表示以(− , − )为圆心， 2 + 2 − 4为半径的圆；
2
2
2

(2)当2 + 2 − 4 = 0时，方程(2)只有实数解 = − ，
2

2

2
=− ，

2
它表示一个点(− , − )；
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于，，或，，的方程组；
(3)解出，，或，，，得到标准方程或一般方程.
追问2：例 的两种解法比较，你有什么体会？
例1.求过三点 O(0, 0), M1(1, 1), M2(4, 2) 的圆的方程及圆
的半径和圆心坐标.
联立方程
,解得x 4,y 3.
2 x y 5 0
∴所求圆的圆心坐标为(4， 3),半径为r 5.

2.4.2圆的一般方程-(人教A版选择性必修第一册)课件

2.4.2圆的一般方程-(人教A版选择性必修第一册)课件
的标准方程吗？
例如，对于方程x2+y2-2x-4y+6=0，请检验其能否变形为
圆的标准方程.
对方程x2+y2-2x-4y+6=0进行配方，得
(x-1)2+(y-2)2=-1，
任意一个点的坐标(x,y)都不满足这个方程，所以这个方
程不表示任何图形.
所以，形如(1)的方程不一定都能通过恒等变形变为圆的
=
所以，圆的方程为x2+y2-8x+6y=0，
圆心为(4,-3)，半径为5.
·小结·
求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是：
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组；
(3)解出a,b,r或D,E,F，得到标准方程或一般方程.
点M0(x0,y0)在圆C的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0内的条

M
O
A
得x0=2x，y0=2y
因为点A在圆x2+y2-8x=0上，
所以有x02+y02-8x0=0，所以有 (2x)2+(2y)2-8·2x=0,
整理得(x-2)2+y2=4（x≠0,y≠0）,这就是点M的轨迹方程，
它表示去掉点(0,0)的，以(2,0)为圆心，半径为2的圆.
圆的一般方程： x2+y2+Dx+Ey+F=0


整理得( − ) +( − ) = ，这就是点M的轨迹方程，



它表示以( , )为圆心，半径为1的圆.

x
·小结·
求轨迹方程的一般步骤：

2.4.2圆的一般方程ppt

2.4.2圆的一般方程ppt
则点的轨迹是什么?


= ( > ),
归纳小结：
1. 我们是如何探究方程 + + + + =
表示的几何图形？
2. 圆的一般方程的定义是什么？
求圆的一般方程的基本方法是什么？
3. 本节课的学习过程体现了哪些数学思想？
什么条件时，这个方程分别表示几何图形？
圆的一般方程
当 + − > 时，
将方程 + + + + = 叫做圆的一般方程。
说明：
（1）书写顺序： 按 , 降幂排列
（2）结构特征： 2 ， 2 的系数相等（且不为0）
没有 , 的乘积项

试证明。
追问：方程 + + + + =
表示的几何图形一定是圆吗？
例:方程 2 + 2 − 2 + 4 + 5 = 0
方程 2 + 2 − 2 + 4 + 6 = 0
探究：
方程 + + + + = 中的，， 满足
2.4.2 圆的一般方程
人教A版选择性必修第一册
问题1: 方程 + − + + = 表示什么图形？
猜想: 一般地，圆的标准方程 ( − ) + ( − ) = ,
可变形为 + + + + = （其中, , 是实数 ）,

例：判断方程 + − + = 是否为圆的方程。
例1：求过三点 , , , , (, ) 的圆的方程，

2.4.2 圆的一般方程

2.4.2 圆的一般方程

2.4.2 圆的一般方程基础过关练题组一 圆的一般方程1.圆x 2+y 2-2x+6y+8=0的面积为( ) A.8π B.4π C.2π D.π2.若方程x 2+y 2-x+y+m=0表示圆,则实数m 的取值范围是( ) A.m<12B.m>12C.m<1D.m>13.若圆x 2+y 2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为√22,则a 的值为( )A.-2或2B.12或23C.2或0D.-2或04.方程x 2+y 2+2ax-b 2=0表示的图形是( ) A.一个圆 B.只有当a=0时,才能表示一个圆 C.一个点 D.a,b 不全为0时,才能表示一个圆(1)x 2+y 2+5x-3y+1=0;(2)x 2+y 2+4x+4=0; (3)x 2+y 2+x+2=0;(4)x 2+y 2+2by=0(b ≠0).6.圆x 2+y 2-2x-1=0关于直线2x-y+3=0对称的圆的方程是( ) A.(x+3)2+(y-2)2=12B.(x-3)2+(y+2)2=12C.(x+3)2+(y-2)2=2D.(x-3)2+(y+2)2=27.与圆C:x 2+y 2-2x+4y-1=0有相同的圆心,且半径是圆C 的半径的一半的圆的方程为( )A.x 2+y 2-2x+4y+2=0B.x 2+y 2-2x+4y+1=0C.x 2+y 2-2x+4y-12=0D.x 2+y 2-2x+4y+72=08.已知两定点A(-2,0),B(1,0),若动点P 满足|PA|=2|PB|,则P 的轨迹为( ) A.直线B.线段C.圆D.半圆9.设A 为圆(x-1)2+y 2=1上的动点,PA 是圆的切线且|PA|=1,则点P 的轨迹方程是 .10.(2020四川绵阳中学高二上期末)已知△ABC 的三边BC,CA,AB 的中点分别是D(5,3),E(4,2),F(1,1).(1)求△ABC 的边AB 所在直线的方程及点A 的坐标; (2)求△ABC 的外接圆的方程.11.若点M(3,0)是圆x2+y2-8x-4y+10=0内一点,则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是()A.x+y-3=0B.x-y-3=0C.2x-y-6=0D.2x+y-6=012.若直线2x-5y+a=0平分圆x2+y2-4x+2y-5=0,则a=()A.9B.-9C.1D.-113.已知两点A(-2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC的面积的最小值是()A.3-√2B.3+√2C.3-√22D.3-√2214.已知圆x2+y2+2x-4y+1=0上任一点A关于直线x-ay+2=0对称的点A'仍在该圆上,则a=.15.已知定点A(a,2)在圆x2+y2-2ax-3y+a2+a=0的外部,则a的取值范围为.易错能力提升练题组一圆的一般方程1.()当方程x2+y2+ax+2y+a2=0所表示的圆的面积最大时,直线y=(a-1)x+2的倾斜角为()A.π4B.3π4C.3π2D.5π42.(2020河南郑州高一上期末,)已知圆x2+y2-2mx-(4m+2)y+4m2+4m+1=0(m≠0)的圆心在直线x+y-7=0上,则该圆的面积为()A.4πB.2πC.πD.π23.(多选)()已知方程x2+y2+3ax+ay+5a2+a-1=0,若方程表示圆,则a的值可能为2()A.-2B.0C.1D.3题组二圆的方程的求法4.()点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任意一点连线的中点的轨迹方程是()A.(x+2)2+(y-1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x-2)2+(y+1)2=15.(2019北京丰台高一期末,)过三点A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)的圆的方程为()A.x2+y2-7x-3y+2=0B.x2+y2+7x-3y+2=0C.x2+y2+7x+3y+2=0D.x2+y2-7x+3y+2=06.(2020浙江温州中学高二上期中,)如图,已知正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A(0,-2),C(4,2),B(4,-2),D(0,2).(1)求对角线AC所在直线的方程;(2)求正方形ABCD外接圆的方程;题组三 圆的方程的应用 7.(2019福建福田高三月考,)已知B(0,0),A(√3,3),C(2√3,0),平面ABC 内的动点P,M 满足|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是( )A.37+2√334B.37+6√334C.434D.4948.()已知圆的方程为x 2+y 2-6x-8y=0.设该圆过点(2,6)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD,则四边形ABCD 的面积为 .10.()已知以点C 为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),且圆心在直线x+3y-15=0上.设点P 在圆C 上,求△PAB 面积的最大值.答案全解全析 基础过关练1.C 原方程可化为(x-1)2+(y+3)2=2,∴半径r=√2,∴圆的面积S=πr 2=2π.2.A 由二元二次方程表示圆的充要条件可知,(-1)2+12-4m>0,解得m<12,故选A.3.C 由题意得圆心为(1,2).则圆心(1,2)到直线的距离为=√22,解得a=0或a=2. 4.D (2a)2+4b 2=4(a 2+b 2),所以当a=b=0时,方程表示一个点;当a ≠0或b ≠0时,方程表示一个圆.5.解析 (1)原方程配方得(x +52)2+(y -32)2=152,故该方程表示以(-52,32)为圆心,√302为半径的圆.(2)原方程配方得(x+2)2+y 2=0,表示一个点(-2,0).(3)∵原方程配方得(x +12)2+y 2=-74,无实数解,∴该方程不表示任何图形. (4)原方程配方得x 2+(y+b)2=b 2(b ≠0),故该方程表示圆心为(0,-b),半径为|b|的圆. 6.C 由x 2+y 2-2x-1=0得(x-1)2+y 2=2,所以(x-1)2+y 2=2的圆心O 1的坐标为(1,0),半径为√2,故排除A,B.又易求C 中圆(x+3)2+(y-2)2=2的圆心O 2的坐标为(-3,2),O 1O 2的中点(-1,1)在直线2x-y+3=0上,而D 中圆(x-3)2+(y+2)2=2的圆心O 3的坐标为(3,-2),O 1O 3的中点(2,-1)不在直线2x-y+3=0上,故选C.7.D 易知圆C 的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=6,所以圆C 的圆心坐标为(1,-2),半径为√6,故所求圆的圆心坐标为(1,-2),半径为√62,所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=(√62)2=32,即x 2+y 2-2x+4y+72=0.8.C 设点P 的坐标为(x,y),∵A(-2,0),B(1,0),动点P 满足|PA|=2|PB|,∴√(x +2)2+y 2=2√(x -1)2+y 2,两边平方得(x+2)2+y 2=4[(x-1)2+y 2], 即(x-2)2+y 2=4.∴P 的轨迹为圆.故选C. 9.答案 (x-1)2+y 2=2解析 设P(x,y),易知圆(x-1)2+y 2=1的圆心B(1,0),半径r=1, 则|PA|2+r 2=|PB|2,∴|PB|2=2.∴点P 的轨迹是以(1,0)为圆心,√2为半径的圆. ∴点P 的轨迹方程是(x-1)2+y 2=2.10.解析 (1)由题意可知k ED =k AB =3-25-4=1,又F(1,1)为AB 的中点,同理CA 所在直线的方程为x-2y=0,② 联立①②,得A(0,0). 同理可得B(2,2),C(8,4). (2)由(1)可得B(2,2),C(8,4),设△ABC 的外接圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,将A,B,C 的坐标代入圆的方程可得{F =0,4+4+2D +2E +F =0,64+16+8D +4E +F =0,解方程组可得{D =-16,E =12,F =0,∴圆的方程为x 2+y 2-16x+12y=0.11.C 圆x 2+y 2-8x-4y+10=0的圆心坐标为(4,2),则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长.则最长弦所在直线的斜率k=2-04-3=2,结合选项知C 正确.12.B 因为直线2x-5y+a=0平分圆x 2+y 2-4x+2y-5=0,所以直线2x-5y+a=0经过该圆的圆心(2,-1),则2×2-5×(-1)+a=0,解得a=-9.故选B. 13.A 易得直线AB 的方程为x-y+2=0,圆心坐标为(1,0),半径为1,则圆心到直线AB 的距离d==3√22,所以点C 到直线AB 的最小距离为3√22-1,所以△ABC 面积的最小值为12×|AB|×(3√22-1)=12×2√2×(3√22-1)=3-√2.14.答案 12解析 根据题意得,圆心在直线x-ay+2=0上.由x 2+y 2+2x-4y+1=0,得(x+1)2+(y-2)2=4,所以该圆的圆心是(-1,2),将(-1,2)代入x-ay+2=0中,得-1-2a+2=0,解得a=12.15.答案 (2,94)解析 因为点A(a,2)在圆的外部, 所以{a 2+22-2a 2-3×2+a 2+a >0,(-2a)2+(-3)2-4(a 2+a)>0.所以2<a<94.所以a 的取值范围为(2,94).易错警示 在运用圆的一般方程时,要注意隐含条件:D 2+E 2-4F>0,防止忽略此条件导致解题错误.能力提升练1.B 方程x 2+y 2+ax+2y+a 2=0可化为 (x +a2)2+(y+1)2=-34a 2+1, 设圆的半径为r(r>0),则r 2=1-34a 2,∴当a=0时,r 2取得最大值,从而圆的面积最大. 此时,直线方程为y=-x+2,斜率k=-1,倾斜角为3π4,故选B.2.A 圆的方程可化为(x-m)2+(y-2m-1)2=m 2(m ≠0),其圆心为(m,2m+1). 依题意得,m+2m+1-7=0,解得m=2, ∴圆的半径为2,面积为4π,故选A.3.AB 由(3a)2+a 2-4(52a 2+a -1)>0,得a<1,所以满足条件的只有-2与0.故选AB.4.D 设圆上任意一点为Q(x 1,y 1),PQ 的中点为M(x,y),则{x =x 1+42,y =y 1-22,即{x 1=2x -4,y 1=2y +2, 因为x 12+y 12=4,所以(2x-4)2+(2y+2)2=4.化简得(x-2)2+(y+1)2=1.故选D.5.A 设所求的圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0.依题意得{D -E +F +2=0,D +4E +F +17=0,4D -2E +F +20=0,解得{D =-7,E =-3,F =2.因此,所求圆的方程为x 2+y 2-7x-3y+2=0,故选A. 6.解析 (1)由两点式可知,对角线AC 所在直线的方程为y -2-2-2=x -40-4,整理得x-y-2=0.(2)设G 为外接圆的圆心,则G 为AC 的中点,∴G (0+42,-2+22),即(2,0),设r 为外接圆的半径,则r=12|AC|,而|AC|=√(4-0)2+(2+2)2=4√2, ∴r=2√2.∴外接圆方程为(x-2)2+y 2=8.(3)设点P 坐标为(x 0,y 0),线段PN 的中点M 坐标为(x,y),则x=x 0-22,y=y02,∴x 0=2x+2,y 0=2y,①∵点P 为外接圆上一点,∴(x 0-2)2+y 02=8,将①代入并整理,得x 2+y 2=2,∴该轨迹是以原点为圆心,√2为半径的圆,轨迹方程为x 2+y 2=2.7.D 由题易得,点P 的轨迹为以A 为圆心,1为半径的圆.如图所示,建立平面直角坐标系,取AC 的中点N,∵PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴M 为PC 的中点, ∵|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,∴|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12,从而M 的轨迹为以N 为圆心,12为半径的圆, ∴B,N,M 三点共线时,BM 最大. 又∵A(√3,3),C(2√3,0),∴N (3√32,32),则BN=√(3√32)2+(32)2=3,∴|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为3+12=72,∴|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是494,故选D.8.答案 20√5解析 设圆心为P,圆的方程x 2+y 2-6x-8y=0可化为(x-3)2+(y-4)2=25.圆心坐标为P(3,4),半径为5.由于点(2,6)到圆心的距离为√小于半径,故点(2,6)在圆内,则最长弦AC 是直径,最短弦BD 的中点是E(2,6),且AC ⊥BD.9.答案 2解析 设∠BOQ=α,根据题意得,点P 逆时针旋转2α,且α∈[0,π], 依题意得Q(cos α,sin α),P(-cos 2α,-sin 2α),=(-cos 2α+1)(cos α+1)-sin 2αsin α =1-cos 2α=2sin 2α≤2,当且仅当α=π2时,等号成立.故答案为2.10.解析 易求线段AB 的中点为(1,2),直线AB 的斜率为1,所以线段AB 的垂直平分线的方程为y-2=-(x-1),即y=-x+3.由{y =-x +3,x +3y -15=0解得{x =-3,y =6,即圆心C 为(-3,6),则半径r=√(-3+1)2+62=2√10.又|AB|=√(3+1)2+42=4√2,所以圆心C 到AB 的距离d=√(2√10)2-(2√2)2=4√2. 所以点P 到AB 的距离的最大值为4√2+2√10.所以△PAB 的面积的最大值为12×4√2×(4√2+2√10)=16+8√5.。

2.4.2圆的一般方程

2.4.2圆的一般方程

F 0, D E F 2 0, 4D 2E F 20 0.
D 8,
解这个方程组,得 E 6,
F 0.
所以,所求圆的方程是 x2 y2 8x 6 y 0.
由前面的讨论可知,所求圆的圆心坐标是4,3 ,半径 r 5.
思考：与例2的方法比较,有什么体会?
例4也使用了待定系数法,这里选用圆的一般方程,与例2中选用 标准方程的方法相比,运算就显得容易一些.因为运算后得到的方程 没有二次项,是一个三元一次方程组.若像例2那样选用圆的标准方程, 得到的是三元二次方程组,需要消去二次项.一般来说,解一次方程比 解二次方程容易.
将方程的左边配方,并把常数项移到右边,得到:
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
(3)
(1)当 D2 E2 4F 0 时,比较方程(3)和圆的标准方程,可以看出方程(3)表示
以
D 2
,
E 2
为圆心,
1 2
D2 E2 4F 为半径的圆.
(2)当 D2 E2 4F 0 时,方程(3)只有实数解
(2)写出圆心坐标和半径.
解 将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为 (x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m，1)，半径 r＝ 1－5m.
小结1：二元二次方程表示圆的判断方法 任何一个圆的方程都可化为 x2 y2 Dx Ey F 0 （1）的形式，但方程（1）
形成概念
思考:圆的标准方程（ x a2 y b2 r2 ）与圆的一般方程
（ x2 y2 Dx Ey F 0，D2 E2 4F 0 ）各有什么特点?
圆的标准方程明确给出了圆心坐标和半径,而圆的一般方程

2.4.2 圆的一般方程

2.4.2 圆的一般方程
【解题模型示范】
【跟踪训练】
3.同类练(2023 茂名一模)过四点(-1,1),(1,-1),(2,2),(3,1)中的任意三
方法二 由方程 x2+y2-4mx+2my+20m-20=0,
可知 D=-4m,E=2m,F=20m-20,
所以 D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2,因此,当 m=2 时,
D2+E2-4F=0,原方程表示一个点;当 m≠2 时,D2+E2-4F>0,原方程表示
圆,此时圆心为(2m,-m),半径
当 D2+E2-4F>0 时,二元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆
的一般方程.
当 D2+E2-4F=0 时,二元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示点

2
- ,-

2
.
2
2
D
+E
-4F<0 时,二元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 不表示
当
任何图形.
(2)圆的一般方程对应的圆心和半径:
1 2
+
2
+
1 2 1
=- ,所以它不
2
2
表示任何图形;
2
2
对于选项 B,由 x +y -x+y-1=0,得
1 2
+
2
+
1 2 3
= ,它表示圆的方程;
2
2
对于选项 C,由 x2+y2+2x-4y-6=0,得(x+1)2+(y-2)2=11,它表示圆的方程;
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2.4.2 圆的一般方程基础过关练题组一 圆的一般方程1.圆x 2+y 2-2x+6y+8=0的面积为( ) A.8π B.4π C.2π D.π2.若方程x 2+y 2-x+y+m=0表示圆,则实数m 的取值范围是( ) A.m<12B.m>12C.m<1D.m>13.若圆x 2+y 2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为√22,则a 的值为( )A.-2或2B.12或23C.2或0D.-2或04.方程x 2+y 2+2ax-b 2=0表示的图形是( ) A.一个圆 B.只有当a=0时,才能表示一个圆 C.一个点 D.a,b 不全为0时,才能表示一个圆5.下列方程分别表示什么图形?若表示圆,则写出圆心和半径. (1)x 2+y 2+5x-3y+1=0;(2)x 2+y 2+4x+4=0; (3)x 2+y 2+x+2=0;(4)x 2+y 2+2by=0(b ≠0).6.圆x 2+y 2-2x-1=0关于直线2x-y+3=0对称的圆的方程是( ) A.(x+3)2+(y-2)2=12B.(x-3)2+(y+2)2=12C.(x+3)2+(y-2)2=2D.(x-3)2+(y+2)2=27.与圆C:x 2+y 2-2x+4y-1=0有相同的圆心,且半径是圆C 的半径的一半的圆的方程为( )A.x 2+y 2-2x+4y+2=0B.x 2+y 2-2x+4y+1=0C.x 2+y 2-2x+4y-12=0D.x 2+y 2-2x+4y+72=08.已知两定点A(-2,0),B(1,0),若动点P 满足|PA|=2|PB|,则P 的轨迹为( ) A.直线B.线段C.圆D.半圆9.设A 为圆(x-1)2+y 2=1上的动点,PA 是圆的切线且|PA|=1,则点P 的轨迹方程是 .10.(2020四川绵阳中学高二上期末)已知△ABC 的三边BC,CA,AB 的中点分别是D(5,3),E(4,2),F(1,1).(1)求△ABC 的边AB 所在直线的方程及点A 的坐标; (2)求△ABC 的外接圆的方程.11.若点M(3,0)是圆x2+y2-8x-4y+10=0内一点,则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是()A.x+y-3=0B.x-y-3=0C.2x-y-6=0D.2x+y-6=012.若直线2x-5y+a=0平分圆x2+y2-4x+2y-5=0,则a=()A.9B.-9C.1D.-113.已知两点A(-2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC的面积的最小值是()A.3-√2B.3+√2C.3-√22D.3-√2214.已知圆x2+y2+2x-4y+1=0上任一点A关于直线x-ay+2=0对称的点A'仍在该圆上,则a=.15.已知定点A(a,2)在圆x2+y2-2ax-3y+a2+a=0的外部,则a的取值范围为.易错能力提升练题组一圆的一般方程1.()当方程x2+y2+ax+2y+a2=0所表示的圆的面积最大时,直线y=(a-1)x+2的倾斜角为()A.π4B.3π4C.3π2D.5π42.(2020河南郑州高一上期末,)已知圆x2+y2-2mx-(4m+2)y+4m2+4m+1=0(m≠0)的圆心在直线x+y-7=0上,则该圆的面积为()A.4πB.2πC.πD.π23.(多选)()已知方程x2+y2+3ax+ay+5a2+a-1=0,若方程表示圆,则a的值可能为2()A.-2B.0C.1D.3题组二圆的方程的求法4.()点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任意一点连线的中点的轨迹方程是()A.(x+2)2+(y-1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x-2)2+(y+1)2=15.(2019北京丰台高一期末,)过三点A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)的圆的方程为()A.x2+y2-7x-3y+2=0B.x2+y2+7x-3y+2=0C.x2+y2+7x+3y+2=0D.x2+y2-7x+3y+2=06.(2020浙江温州中学高二上期中,)如图,已知正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A(0,-2),C(4,2),B(4,-2),D(0,2).(1)求对角线AC所在直线的方程;(2)求正方形ABCD外接圆的方程;(3)若动点P为外接圆上一点,点N(-2,0)为定点,问线段PN中点的轨迹是什么?并求出该轨迹方程.题组三 圆的方程的应用 7.(2019福建福田高三月考,)已知B(0,0),A(√3,3),C(2√3,0),平面ABC 内的动点P,M 满足|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是( )A.37+2√334B.37+6√334C.434D.4948.()已知圆的方程为x 2+y 2-6x-8y=0.设该圆过点(2,6)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD,则四边形ABCD 的面积为 . 9.(2020湖南长沙明德中学高一期中,)如图,O 是坐标原点,圆O 的半径为1,点A(-1,0),B(1,0),点P,Q 分别从点A,B 同时出发,在圆O 上按逆时针方向运动,若点P 的速度大小是点Q 的两倍,则在点P 运动一周的过程中,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 .10.()已知以点C 为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),且圆心在直线x+3y-15=0上.设点P 在圆C 上,求△PAB 面积的最大值.答案全解全析 基础过关练1.C 原方程可化为(x-1)2+(y+3)2=2, ∴半径r=√2,∴圆的面积S=πr 2=2π.2.A 由二元二次方程表示圆的充要条件可知,(-1)2+12-4m>0,解得m<12,故选A.3.C 由题意得圆心为(1,2).则圆心(1,2)到直线的距离为2=√22,解得a=0或a=2. 4.D (2a)2+4b 2=4(a 2+b 2),所以当a=b=0时,方程表示一个点;当a ≠0或b ≠0时,方程表示一个圆.5.解析 (1)原方程配方得(x +52)2+(y -32)2=152,故该方程表示以(-52,32)为圆心,√302为半径的圆.(2)原方程配方得(x+2)2+y 2=0,表示一个点(-2,0).(3)∵原方程配方得(x +12)2+y 2=-74,无实数解,∴该方程不表示任何图形. (4)原方程配方得x 2+(y+b)2=b 2(b ≠0),故该方程表示圆心为(0,-b),半径为|b|的圆. 6.C 由x 2+y 2-2x-1=0得(x-1)2+y 2=2,所以(x-1)2+y 2=2的圆心O 1的坐标为(1,0),半径为√2,故排除A,B.又易求C 中圆(x+3)2+(y-2)2=2的圆心O 2的坐标为(-3,2),O 1O 2的中点(-1,1)在直线2x-y+3=0上,而D 中圆(x-3)2+(y+2)2=2的圆心O 3的坐标为(3,-2),O 1O 3的中点(2,-1)不在直线2x-y+3=0上,故选C.7.D 易知圆C 的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=6,所以圆C 的圆心坐标为(1,-2),半径为√6,故所求圆的圆心坐标为(1,-2),半径为√62,所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=(√62)2=32,即x 2+y 2-2x+4y+72=0.8.C 设点P 的坐标为(x,y),∵A(-2,0),B(1,0),动点P 满足|PA|=2|PB|,∴√(x +2)2+y 2=2√(x -1)2+y 2,两边平方得(x+2)2+y 2=4[(x-1)2+y 2], 即(x-2)2+y 2=4.∴P 的轨迹为圆.故选C. 9.答案 (x-1)2+y 2=2解析 设P(x,y),易知圆(x-1)2+y 2=1的圆心B(1,0),半径r=1,则|PA|2+r 2=|PB|2,∴|PB|2=2.∴点P 的轨迹是以(1,0)为圆心,√2为半径的圆. ∴点P 的轨迹方程是(x-1)2+y 2=2.10.解析 (1)由题意可知k ED =k AB =3-25-4=1,又F(1,1)为AB 的中点,∴AB 所在直线的方程为y-1=1·(x-1),即x-y=0.① 同理CA 所在直线的方程为x-2y=0,② 联立①②,得A(0,0). 同理可得B(2,2),C(8,4). (2)由(1)可得B(2,2),C(8,4),设△ABC 的外接圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,将A,B,C 的坐标代入圆的方程可得{F =0,4+4+2D +2E +F =0,64+16+8D +4E +F =0,解方程组可得{D =-16,E =12,F =0,∴圆的方程为x 2+y 2-16x+12y=0.11.C 圆x 2+y 2-8x-4y+10=0的圆心坐标为(4,2),则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长.则最长弦所在直线的斜率k=2-04-3=2,结合选项知C 正确.12.B 因为直线2x-5y+a=0平分圆x 2+y 2-4x+2y-5=0,所以直线2x-5y+a=0经过该圆的圆心(2,-1),则2×2-5×(-1)+a=0,解得a=-9.故选B. 13.A 易得直线AB 的方程为x-y+2=0,圆心坐标为(1,0),半径为1,则圆心到直线AB 的距离d==3√22,所以点C 到直线AB 的最小距离为3√22-1,所以△ABC 面积的最小值为12×|AB|×(3√22-1)=12×2√2×(3√22-1)=3-√2.14.答案 12解析 根据题意得,圆心在直线x-ay+2=0上.由x 2+y 2+2x-4y+1=0,得(x+1)2+(y-2)2=4,所以该圆的圆心是(-1,2),将(-1,2)代入x-ay+2=0中,得-1-2a+2=0,解得a=12.15.答案 (2,94)解析 因为点A(a,2)在圆的外部,所以{a 2+22-2a 2-3×2+a 2+a >0,(-2a)2+(-3)2-4(a 2+a)>0. 所以2<a<94.所以a 的取值范围为(2,94).易错警示 在运用圆的一般方程时,要注意隐含条件:D 2+E 2-4F>0,防止忽略此条件导致解题错误.能力提升练1.B 方程x 2+y 2+ax+2y+a 2=0可化为 (x +a2)2+(y+1)2=-34a 2+1,设圆的半径为r(r>0),则r 2=1-34a 2,∴当a=0时,r 2取得最大值,从而圆的面积最大. 此时,直线方程为y=-x+2,斜率k=-1,倾斜角为3π4,故选B.2.A 圆的方程可化为(x-m)2+(y-2m-1)2=m 2(m ≠0),其圆心为(m,2m+1). 依题意得,m+2m+1-7=0,解得m=2, ∴圆的半径为2,面积为4π,故选A.3.AB 由(3a)2+a 2-4(52a 2+a -1)>0,得a<1,所以满足条件的只有-2与0.故选AB.4.D 设圆上任意一点为Q(x 1,y 1),PQ 的中点为M(x,y),则{x =x 1+42,y =y 1-22,即{x 1=2x -4,y 1=2y +2, 因为x 12+y 12=4,所以(2x-4)2+(2y+2)2=4.化简得(x-2)2+(y+1)2=1.故选D.5.A 设所求的圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0.依题意得{D -E +F +2=0,D +4E +F +17=0,4D -2E +F +20=0,解得{D =-7,E =-3,F =2.因此,所求圆的方程为x 2+y 2-7x-3y+2=0,故选A. 6.解析 (1)由两点式可知,对角线AC 所在直线的方程为y -2-2-2=x -40-4,整理得x-y-2=0.(2)设G 为外接圆的圆心,则G 为AC 的中点,∴G (0+42,-2+22),即(2,0),设r 为外接圆的半径,则r=12|AC|,而|AC|=√(4-0)2+(2+2)2=4√2, ∴r=2√2.∴外接圆方程为(x-2)2+y 2=8.(3)设点P 坐标为(x 0,y 0),线段PN 的中点M 坐标为(x,y),则x=x 0-22,y=y02,∴x 0=2x+2,y 0=2y,①∵点P 为外接圆上一点,∴(x 0-2)2+y 02=8,将①代入并整理,得x 2+y 2=2,∴该轨迹是以原点为圆心,√2为半径的圆,轨迹方程为x 2+y 2=2.7.D 由题易得,点P 的轨迹为以A 为圆心,1为半径的圆.如图所示,建立平面直角坐标系,取AC 的中点N,∵PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴M 为PC 的中点, ∵|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,∴|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12,从而M 的轨迹为以N 为圆心,12为半径的圆,∴B,N,M 三点共线时,BM 最大. 又∵A(√3,3),C(2√3,0),∴N (3√32,32),则BN=√(3√32)2+(32)2=3,∴|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为3+12=72,∴|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是494,故选D.8.答案 20√解析 设圆心为P,圆的方程x 2+y 2-6x-8y=0可化为(x-3)2+(y-4)2=25.圆心坐标为P(3,4),半径为5.由于点(2,6)到圆心的距离为√5,小于半径,故点(2,6)在圆内,则最长弦AC 是直径,最短弦BD 的中点是E(2,6),且AC ⊥BD. |PE|=√5,|BD|=2×√52-(√5)2=4√5,|AC|=2×5=10,所以S 四边形ABCD =12|AC|·|BD|=12×10×4√5=20√5.9.答案 2解析 设∠BOQ=α,根据题意得,点P 逆时针旋转2α,且α∈[0,π], 依题意得Q(cos α,sin α),P(-cos 2α,-sin 2α),∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AQ ⃗⃗⃗⃗⃗=(-cos 2α+1,-sin 2α)·(cos α+1,sin α) =(-cos 2α+1)(cos α+1)-sin 2αsin α =1-cos 2α=2sin 2α≤2,当且仅当α=π2时,等号成立.故答案为2.10.解析 易求线段AB 的中点为(1,2),直线AB 的斜率为1,所以线段AB 的垂直平分线的方程为y-2=-(x-1),即y=-x+3.由{y =-x +3,x +3y -15=0解得{x =-3,y =6,即圆心C 为(-3,6),则半径r=√(-3+1)2+62=2√10.又|AB|=√(3+1)2+42=4√2,所以圆心C 到AB 的距离d=√(2√10)2-(2√2)2=4√2. 所以点P 到AB 的距离的最大值为4√2+2√10.所以△PAB 的面积的最大值为12×4√2×(4√2+2√10)=16+8√5.。