重庆市第一中学2017届高三10月月考数学(理)试题 Word版含解析

绵阳中学高2022级高三上期第一学月月考数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）A.3个B.2个C.1个D.无穷多个2.围棋是中国传统棋种，蕴含着中华文化丰富内涵，围棋棋盘横竖各有19条线，共有个落子点.每个落子点都有落白子、落黑子和空白三种可能，因此围棋空间复杂度的上限.科学家们研究发现，可观测宇宙中普通物质的原子总数.则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：）A. B. C. D.3.的定义域为（ ）A. B.C. D.4.设，，，则（ ）A. B. C. D.5.设函数，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D.6.下列选项可以使得成立的一个充分不必要条件的是（ ）A. B. C. D.R U ={}2230M x x x =--≤{}21,Z N x x k k ==-∈1919361⨯=3613M ≈8010N ≈MNlg 30.48≈9310831073105310lg(tan 1)y x =-ππππ,Z 24xk x k k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭+>>+∈πππ,π,Z 42x x k x k k ⎭>+≠+⎧⎫⎨⎬⎩∈ππ,Z 4x x k k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭>+∈ππ,Z 42k x x k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭>+∈0.30.2a =0.20.3b =0.2log 2c =c b a>>c a b >>b a c >>a b c>>3()f x x x =()()332log 3log 0f x f x +-<1,2727⎛⎫⎪⎝⎭10,27⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,27()27,+∞1144xy -≤≤221x y +=2241x y +=1x y +=1y x=7.函数的导函数，若函数仅在有极值，则的取值范围是（ ）A. B.或 C.或 D.8.存在三个实数，，使其分别满足下述两个等式：（1）；（2）其中表示三个实数，，中的最小值，则（ ）A.的最小值是 B.的最大值是 C.的最小值是 D.的最大值是二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知定义在R 上的奇函数，其周期为4，当时，，则（ ）A. B.的值域为C.在上单调递增D.在上有9个零点10.已知函数，下列说法正确的是（ ）A.关于对称B.的值域为R ，当且仅当或C.的最大值为1，当且仅当D.有极值，当且仅当11.关于函数，下列说法中正确的是（ ）A.图象关于直线对称 B.为偶函数C.为的周期D.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.）12.已知顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，其终边上一点P 的坐标为，则的值为________13.甲说：在上单调递减乙说：存在实数使得在成立若甲、乙两人至少有一人说的话是对的，则的取值范围是________()f x ()(1)(ln 1)f x x x ax '=-+-()f x 1x =a 21e a ≤-21ea <-1a =21ea ≤-1a =1a =1a 2a 3a 1232a a a =-1230a a a ++=M 1a 2a 3a M 2-M 2-M M -()f x (0,2)x ∈()22xf x =-(2024)0f =()f x (2,2)-()f x (2,2)-()f x [4,4]-()214()log 21f x x ax =-+()f x x a =()f x 1a ≥1a ≤-()f x a =()f x 1a <()cos sin 2f x x x =π4x =()f x 2π()f x αx 11,23⎛⎫⎪⎝⎭sin(2)α()2ln 23y x ax =-+(,1]-∞x 2210x ax -+>1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦a14.已知不等式对任意的实数恒成立，则的最大值为________四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（13分）已知函数.（1）若，求函数的极值；（2）讨论函数的单调性.16.（15分）已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.（1）求的解析式；（2）若关于的方程在区间上有且只有两个实数解，求实数的取值范围.17.（15分）已知，，，（1）求的值（2）求角的值.18.（17分）已知函数.（1）证明：曲线是中心对称图形；（2）若，求实数m 的取值范围.19.（17分）已知函数.（1）函数与的图像关于对称，求的解析式；（2）在定义域内恒成立，求的值；（3）求证：，.112x aeax b -+-≥x ba3212()232a f x x x ax +=-+1a =()f x ()f x π()sin 26f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()f x π212()y g x =()g x x ()g x k =-π5π,186⎡⎤-⎢⎥⎣⎦k ππ42α≤≤3ππ2β≤≤4sin 25α=cos()αβ+=225sin 8sincos11cos 82222πsin 2ααααα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭βα-3()ln2(1)2xf x x x x=++--()y f x =(21)()40f m f m -+-<()2ln(1)cos(2)g x x x =--+--()f x ()g x 1x =-()f x ()1f x ax -≤a 2111ln 42nk n f k =+⎛⎫-< ⎪⎝⎭∑*N n ∈绵阳中学高2022级高三上期第一学月月考数学试题参考答案题号1234567891011答案AAACBBABABDABCCD12.13. 14.8.【详解】由已知得，，，中必有2个正数，1个负数，设，，，则，因为，所以，所以，即，所以，由得，，即，所以，故选：B.10.【详解】A.令，有，由于，所以，所以关于对称，故A 正确；B.当函数的值域为R ，则能取到的所有值，所以解得：或，故B 正确；C.若函数的最大值为1，则，故C 正确；D.若有极值，则在定义域内不单调，所以，则，故D 错误.故选：ABC 11.【详解】对于A ，，故A 错误；对于B ，，故B 错误对于C ，，故是的周期，故C 正确；对于D ，，令故，，利用导数求得，故D 正确.故选：CD 12132a <22ln 2-1a 2a 3a 30a <10a >20a >3M a =1230a a a ++=312a a a -=+312a a a -=+≥23124a a a ≤331234a a a a ≥1232a a a =-3324a ≤-338a ≤-32a ≤-2()21g x x ax =-+()(2)g x g a x =-14()log ()f x g x =1144(2)log (2)log ()()f a x g a x g x f x -=-==()f x x a =2()21g x x ax =-+(0,)+∞2440a ∆=-≥1a ≥1a ≤-()f x min 11()()44g x g a a =⇒=⇒=()f x 2()21g x x ax =-+2440a ∆=-<11a -<<ππcos sin(π2)sin sin 2()22f x x x x x f x ⎛⎫⎛⎫-=--=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()cos()sin(2)()f x x x f x -=--=-(2π)cos(2π)sin(24π)cos sin 2()f x x x x x f x +=++==2π()f x ()22()cos sin 22cos sin 21sin sin f x x x x x x x ===-sin x t =()2()21f x t t =-[1,1]t ∈-()f x13.甲对，则有在上单调递减，且大于零，所以有且，则.若乙对，则，，若甲、乙两人至少有一人说的话是对的其对立面为甲乙说的均不对，此时或与求交集为，取其补集后的取值范围，所以14.可转化为图像恒在上方，所以必然有，现考虑刚好相切时的情况，设切点为，则，消元得到带得到，所以图像恒在上方，只需要，所以，令，所以15.【详解】（1），，所以或时，，时，，则在上递减，在递增，所以的极小值为，极大值为.（2），当时，，所以在上递增，当时，或时，；时，，所以在上递增，在上递减，当时，或时，；时，，所以在上递增；在上递减.16.【详解】（1）将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，2210x ax -+>(,1]-∞1a ≥420a ->12a ≤<1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦max 115522224x a x a a a x x ⎛⎫+>⇒+>⇒>⇒< ⎪⎝⎭{1a a <}2a ≥54a a ⎧≥⎫⎨⎬⎩⎭{}2a a ≥a {}2a a <{}2a a <11x ay e-=2y ax b =+0a >0110,x ax e-+⎛⎫ ⎪⎝⎭001111022x a x a e ae ax b-+-+⎧=⎪⎨⎪=+⎩022a b x a -=0112x a e a -+=121212ln 22422ln 22a b a ab e a a b a a a a a--+=⇒=--⇒=--11x ay e -+=2y ax b =+422ln 2b a a a ≤--242ln 2b a a a ≤--222(1)42ln 2()()a a h a h a a a-'--=⇒=max ()(1)22ln 2h a h ==-321323()2x x x f x =-+(1)(2)()x x f x =--'1x <2x >()0f x '>12x <<()0f x '<()f x (1,2)(,1),(2,)-∞+∞()f x 2(2)3f =5(1)6f =()()(2)f x x a x '=--2a =()0f x '≥()f x (,)-∞+∞2a >2x <x a >()0f x '>2x a <<()0f x '<()f x (,2),(,)a -∞+∞(2,)a 2a <x a <2x >()0f x '>2a x <<()0f x '<()f x (,),(2,)a -∞+∞(,2)a ()f x π2πππsin 2sin 2263y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，所以.（2）因为，所以.，即在区间上有且只有两个实数解，于是函数与的图象在区间上有且只有两个交点，，，，所以.画出在区间上的图象如图所示，所以，所以，.所以实数的取值范围是.17.（1）由12πsin 223y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π()sin 223g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π5π186x-≤≤4ππ4π2933x-≤-≤()g x k =-πsin 223x k ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭π5π,186⎡⎤-⎢⎥⎣⎦πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭2y k =--π5π,186⎡⎤-⎢⎥⎣⎦44πsin sin 99π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭4πππ3πsin sin πsin sin 3339⎛⎫=+=-=-= ⎪⎝⎭3π4ππ0992<<<4π4πsin sin93⎛⎫-< ⎪⎝⎭πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭π5π,186⎡⎤-⎢⎥⎣⎦21k ≤--<23k +≤-<32k -<≤k 3,2⎛--+ ⎝222225sin 5cos 4sin 6cos 85sin 8sin cos 11cos 82222222πcos sin 2αααααααααα⎛⎫+++-++- ⎪⎝⎭=-⎛⎫- ⎪⎝⎭2254sin 6cos 84sin 6cos 34sin 3cos 22(4tan 3)cos cos cos αααααααααα++-+-+====-+---又因为，所以，可得，解得或，由于，所以.原式.（2）又由知，因则，由，又因，故.18.【详解】（1）函数，定义域为，所以曲线关于点对称.（2），因为，，所以，所以在定义域上单调递增；又关于点对称，，由（1）得恒成立，所以，所以所以，解得19.【详解】（1）依题意，设图像上任意一点坐标为，则其关于对称的点在图像上，4sin 25α=2sin cos 5αα=222sin cos tan 2sin cos 1tan 5αααααα==++tan 2α=1tan 2α=ππ42α≤≤tan 2α=∴11=-3ππ2β≤≤5π2π4αβ≤+≤cos()αβ+=sin()αβ+===sin()sin[()2]sin()cos 2cos()sin 2βααβααβααβα-=+-=+-+3455⎛⎛⎫=--⨯= ⎪ ⎝⎭⎝π5π24βα≤-≤3π4βα-=3()ln 2(1)2xf x x x x=++--(0,2)332()(2)ln 2(1)ln 2(2)(1)2x xf x f x x x x x x x-+-=++-++-+--332ln [22(2)](1)(1)04042x x x x x x x x-⎡⎤=⋅++-+-+-=++=⎣⎦-()y f x =(1,2)22112()23(1)23(1)2(2)f x x x x x x x '=+++-=++---(0,2)x ∈20(2)x x >-22()23(1)0(2)f x x x x '=++->-()f x (0,2)()f x (1,2)(21)()4f m f m -+<()(2)4f x f x +-=()(2)4f m f m +-=(21)()4()(2)f m f m f m f m -+<=+-212021202022m mm m m -<-⎧⎪<-<⎪⎨<<⎪⎪<-<⎩112m <<()f x ()00,x y 1x =-()002,x y --()g x则，则，故，；（2）令，则在在恒成立，又，且在上是连续函数，则为的一个极大值点，，.下证当时，在恒成立，令，，当，，在上单调递增，当，，在上单调递减，故，在上恒成立，又，则时，恒成立，综上，.（3）由（2）可知：，则，即，则，又由（2）可知：在上恒成立，则在上恒成立且当且仅当时取等，令，，则，即，则，综上，，即证.()()0002y f x g x ==--()()()000022ln 1cos f x g x x x =--=++()01x >-()2ln(1)cos f x x x =++(1)x >-()()12ln(1)cos 1h x f x ax x x ax =--=++--(1)x >-()0h x ≤(1,)x ∈-+∞(0)0h =()h x (1,)x ∈-+∞0x =()h x 2()sin 1h x x a x '=--+(0)202h a a '=-=⇒=2a =()0h x ≤(1,)x ∈-+∞()ln(1)x x x ϕ=+-1()111xx x x ϕ'=-=-++(1,0)x ∈-()0x ϕ'>()x ϕ(1,0)-(0,)x ∈+∞()0x ϕ'<()x ϕ(0,)+∞()(0)0x ϕϕ≤=ln(1)x x +≤(1,)-+∞cos 1x ≤2a =()()12[ln(1)](cos 1)0h x f x ax x x x =--=+-+-≤2a =()12f x x -≤11111222f k k ⎛⎫⎛⎫--≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1122f k k ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭211111122122nk n f k n n n =+⎛⎫⎛⎫-≤+++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑ ln(1)x x +≤(1,)-+∞ln 1x x ≤-(0,)+∞1x =(0,1)1n x n =∈+*N n ∈1ln 1111n n n n n -<-=+++11ln ln ln(1)ln 11n n n n n n n +<-==+-++111ln(1)ln ln(2)ln(1)ln(2)ln(21)122n n n n n n n n n+++<+-++-+++--++ ln(2)ln ln 2n n =-=21112ln 2ln 42nk n f k =+⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑。

重庆市巴蜀中学教育集团高2027届高一（上）月考考试数学试卷（命题人：先莹莹､唐莲骄，审题人：何方印）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､班级､学校在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{16}A xx =−<<∣，集合{}351B x x =−>∣，则A B = （ ） A. {16}x x −<<∣B. {26}x x <<∣C. {12}x x −<<∣D. ∅【答案】B【解析】 【分析】解不等式化简集合B .【详解】依题意，{|2}B x x ，而{16}A xx =−<<∣， 所以{|26}A Bx x =<< . 故选：B2. 命题2:,3450p x M x x ∀∈++≥的否定是（ ）A. 2,3450x M x x ∀∉++≥B. 2,3450x M x x ∀∈++<C. 2,3450x M x x ∃∈++≥D. 2,3450x M x x ∃∈++<【答案】D【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.【详解】2,3450x M x x ∀∈++≥的否定是2,3450x M x x ∃∈++<.故选：D3. 函数()f x = ）A. {2x x ≥∣或1}x ≤B. {2x x >∣或1}x <C. {}12xx ≤≤∣ D. {12}x x <<∣ 【答案】B【解析】【分析】利用函数有意义，列出不等式并求解即得.【详解】函数()f x =有意义，则2320x x −+>，解得1x <或2x >，所以函数()f x ={2xx >∣或1}x <. 故选：B 4. 已知命题:1p a >且1b >，命题()():110q a b −−>，则命题p 是命题q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若1a >且1b >，则10,10a b −>−>，即(1)(1)0a b −−>，因此p q ⇒，若(1)(1)0a b −−>，则1a >且1b >，或1a <且1b <，即q 不能推出p ，所以命题p 是命题q 的充分不必要条件.故选：A5. 若{}{}2,1,0,2,1A a a B a =+=，满足A B A = ，则a =（ ） A. 0B. 1±C. 1D. 1−【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用并集的结果，结合元素的互异性求解即得.【详解】由集合{}2,1,0A a a =+，得20a ≠，且10a +≠，则0a ≠且1a ≠−，由A B A = ，得B A ⊆，又11a +≠且20a ≠，因此2121a a a += =， 所以1a =.故选：C6. 已知220,0,1,424x y M x y N x y >>=++=−−，则（ ）A. M N >B. M N <C. M ND. M N ､的大小与x y ､的取值有关【答案】A【解析】【分析】用作差法比较代数式大小即可. 详解】()221424M N x y x y −=++−−− ()()22210x y =−++≥当且仅当2,1x y ==−时取等号，但0,0x y >>，则无法取到等号，故0M N −>，即M N >.故选：A.7. 已知正数,x y 满足1211x y +=+，则2x y +的最小值是（ ） A. 8B. 7C. 6D. 5 【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】由正数,x y 满足1211x y +=+，得222(1)2[2(1)12)1](x y x y x yy x +=++++−=+−+4(1)2261x y y x +=++≥+=+，当且仅当4(1)1x y y x +=+，即2(1)4y x =+=时取等号， 【所以当1,4x y ==时，2x y +取得最小值6. 故选：C8. 为了更加深入地了解重庆，高一某班倡导学生利用周末时间去参观洪崖洞，南山一棵树，磁器口这三个地方.调查发现该班共有55名同学，其中31个同学去了洪崖洞，21个同学去了南山一棵树，30个同学去了磁器口，同时去了洪崖洞和南山一棵树的有10人，同时去了南山一棵树和磁器口的有7人，每个人至少去了一个地方，没有人同时去三个地方，则只去了一个地方的有（ ）人A. 24B. 26C. 28D. 30【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用容斥原理列式计算即得.【详解】设去了洪崖洞的同学组成集合A ，去了南山一棵树的同学组成集合B ，去了磁器口的同学组成集合C ， 依题意，()55,()31,()21,()30,()10,()7n A B C n A n B n C n A B n B C ====== ， 而()0n A B C = ，由容斥原理得55312130107()n A C =++−−− ，解得()10n A C = ，所以只去了一个地方的有551071028−−−=(人).故选：C二､多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知a b c >>，则下列不等式恒成立的是（ ） A. 11a b < B. ac bc > C. 2a b c +> D. 11a b a c>−− 【答案】CD【解析】【分析】根据a b c >>，取特殊值即可排除错误选项，再根据不等式性质，利用作差法可得到正确选项．【详解】对于A ，取1,1a b ==−，满足a b >，同时11a b>，故错误； 对于B ：取2,1,0a b c ===，满足a b c >>，此时ac bc =，故错误； 对于C ：由a b c >>，可得2a b c c c +>+=，正确；对于D ：由a b c >>，的得0a c a b −>−>，由不等式的性质可得：11a b a c>−−，正确；故选：CD10. 命题“2,(1)(22)30x a x a x ∀∈−+−−<R ”为真命题的充分不必要条件是（ ）A. 20a −<<B. 21a −<<C. 22a −<<D. 23a −<<【答案】AB【解析】【分析】利用一元二次不等式恒成立求出a 的范围，再利用充分不必要条件的定义判断得解.【详解】由2,(1)(22)30x a x a x ∀∈−+−−<R ，得当1a =时，30−<成立，则1a =， 当1a ≠时，2104(1)12(1)0a a a −< −+−<，解得21a −<<，因此21a −<≤， 显然(2,0)− (2,1]−，(2,1)− (2,1]−，而22a −<<和23a −<<都不能推出21a −<≤，AB 是，CD 不是.故选：AB11. 已知0,0a b >>，满足3ab a b =++，则下列式子正确的是（ ）A. ab 最小值是9B. a b +的最小值是6C. 1111a b +−+的最小值是12 D. 4a b +的最小值是13【答案】ABD【解析】【分析】对AB ，利用基本不等式构造出关于a b +的一元二次不等式，解出即可；对CD ，利用减少变量的方法，再结合基本不等式即可.详解】对A ，0,0a b >>，33ab a b ∴=++≥+，230∴−−≥，3,9ab ≥∴≥，当且仅当3a b ==时等号成立.故A 选项正确；对B ，0,0a b >> ，232a b ab a b + ∴=++≤，2()4()120a b a b ∴+−+−≥ 6a b ∴+≥，当且仅当3a b ==时等号成立故B 选项正确； 的【.对C ，11(1)(1)4,14b a b a −−−=∴=− ，111111111114141222b b a b b b −+∴+=+=+−≥−=−+++， 当且仅当1141b b +=+，即1b =时等号成立， 但是1b =时，a 无解，1b ∴≠，故C 选项错误； 对D ，34111a b a a +==+−− ，因为0b >， 则301a b a +>−，解得1a >或3a <−，因为0a >，则1a >，则10a −>，444414(1)551311a b a a a a ∴+=++=−++≥+=−−， 当且仅当44(1)1a a −=−，即2,5a b ==时等号成立.故D 选项正确. 故选：ABD. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 已知{}*25A x x =∈−≤≤N ∣，它的非空真子集的个数为______. 【答案】30【解析】【分析】利用列举法表示集合A ，进而求出其非空真子集的个数.【详解】依题意，{1,2,3,4,5}A =，所以集合A 的非空真子集的个数为52230−=.故答案为：3013. 已知关于x 的方程220x mx +−=有两个实根12,x x ，满足22128x x +=，则实数m =______. 【答案】2±【解析】【分析】根据给定条件，利用韦达定理列式计算即得.【详解】方程220x mx +−=中，280m ∆=+>，而12,x x 是该方程的两个实根， 于是1212,2x x m x x +=−=−，由22128x x +=，得21212()28x x x x +−=， 即248m +=，解得2m =±，所以实数2m =±.故答案为：2±14. 存在正数,x y()4x y λ≥++成立，则λ的最大值是______.【解析】2133=.【详解】0,0,x y λ>>∴≤2133≤ 当且仅当21,433x y y =，即8,12x y ==时等号成立. λλ∴≤.. 四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15. 已知集合2{||21|5},{|280}A x x B x x x =−<=+−≤.（1）求集合,A B .（2）求,()A B A B ∪∩R .【答案】（1）{|23}Ax x =−<<，{|42}B x x =−≤≤； （2）{|43}A B x x =−≤< ，(){|42}A B x x =−≤≤−R . 【解析】【分析】（1）解不等式化简求出集合,A B .（2）由（1）的结论，利用并集、补集、交集的定义求解即得.【小问1详解】解不等式|21|5x −<，得5215−<−<x ，即23x −<<，因此{|23}Ax x =−<<；解不等式2280x x +−≤，得42x −≤≤，所以{|42}B x x =−≤≤. 【小问2详解】由（1）知，{|23}A x x =−<<，{|42}B x x =−≤≤，则R {|2Ax x =≤− 或3}x ≥， 所以{|43}A B x x =−≤< ，(){|42}A B x x ∩=−≤≤−R . 16. 为了促进黄花园校区与张家花园校区之间的便利往来，学校计划在明德楼旁修建电梯.根据公司的报价，购买并安装电梯的费用为25万元，每年在电力､安保等常规管理支出为3万元，使用x 年时，电梯保养的总维护费用为2189x x +万元. （1）设电梯的年平均使用费用为y 万元，求y 关于x 的表达式（注：年平均使用费用=总费用使用时间，单位：万元/年）；（2）考虑到电梯使用年限和经济效益，这部电梯使用多少年后，年平均使用费用最少？【答案】（1）()*255N 9x yx x ++∈ （2）15年.【解析】【分析】（1y 关于x 的表达式；（2）由2559x y x ++，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】由题意，电梯安装费用是25万元，使用x 年时，管理支出为3xx 万元，电梯的保养修费用为2189x x +万元，所以y 关于x 的表达式为()2*182532595N 9x x x x y x x x +++++∈. 【小问2详解】25255593x y x =++≥+= 当且仅当259x x =，即15x =时等号成立. 则这部电梯使用15年后，年平均使用费用最少..17. 已知集合22{|(45)(4)(10)0},{|12}A x x x x x B x a x a a =−−−−≤=+<<−−.（1）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3a <−；（2）23a −≤≤−或4a =.【解析】【分析】（1）解不等式化简集合A ，再利用充分不必要条件的定义列式求解.（2）由（1）的信息，利用并集的结果，结合集合的包含关系列式求解.【小问1详解】由不等式2(45)(4)(10)0x x x x −−−−≤，得2450(4)(10)0x x x x −−≤ −−≥ 或2450(4)(10)0x x x x −−≥ −−≤， 解(1)(5)0(4)(10)0x x x x +−≤ −−≥ ，得14x −≤≤，解(1)(5)0(4)(10)0x x x x +−≥ −−≤，得510x ≤≤， 因此{|14Ax x =−≤≤或510}x ≤≤，由“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件， 得A B ，则�aa +1<−1aa 2−aa −2>10，即�aa <−2(aa +3)(aa −4)>0，解得3a <−， 所以实数a 的取值范围是3a <−.【小问2详解】由（1）知{|14Ax x =−≤≤或510}x ≤≤，由A B A = ，得B A ⊆， 当B =∅时，212a a a +≥−−，即2230a a −−≤，解得13a −≤≤，满足B A ⊆，则13a −≤≤，当B ≠∅时，21124a a a −≤+<−−≤或251210a a a ≤+<−−≤，解21124a a a −≤+<−−≤，即�aa ≥−2(aa +1)(aa −3)>0(aa +2)(aa −3)≤0，解得21a −≤<−，解251210a a a ≤+<−−≤，即�aa ≥4(aa +1)(aa −3)>0(aa +3)(aa −4)≤0，解得4a =， 则21a −≤<−或4a =， 所以实数a 的取值范围是23a −≤≤−或4a =.18. 已知关于x 的不等式(21)(,)2a xb a b x −>∈−R .（1）若1,0a b =−=，解上述不等式. （2）若不等式的解集为{1xx <∣或2}x >，求b a 的值. （3）当1b =时，解上述不等式.【答案】（1）1{|2}2x x <<； （2）1−；（3）答案见解析.【解析】 【分析】（1）把1,0a b =−=代入，转化为一元二次不等式求解. （2）化不等式为一元二次不等式，再利用给定的解集，结合一元二次不等式与一元二次方程的关系求解. （3）把1b =代入，化不等式为一元二次不等式，再分类讨论解含参的不等式即可.【小问1详解】当1,0a b =−=时，不等式(21)02x x −−>−化为(21)(2)0x x −−<，解得122x <<， 所以不等式的解集为1{|2}2x x <<. 【小问2详解】不等式(21)2a xb x −>−0>，即[(2)(2)](2)0a b x a b x −−−−>， 依题意，20a b −>，且1,2是方程[(2)(2)](2)0a b x a b x −−−−=的二根，即0a b +=， 所以1a b=−. 【小问3详解】当1b =时，不等式(21)12a x x −>−化为(21)(2)02a x a x −−−>−，即[(21)(2)](2)0a x a x −−−−>， 当210a −=，即12a =时，3(2)02x −>，解得2x >； 当210a −>，即12a >时，2()(2)021a x x a −−−>−， 而23202121a a a a −−=>−−，解得221a x a −<−或2x >； 当210a −<，即12a <时，2()(2)021a x x a −−−<−，而2322121a a a a −−=−−， 若0a =，则不等式2(2)0x −<无解，若102a <<，则2221a a −<−，解得2221a x a −<<−， 若0a <，则2221a a −<−，解得2221a x a −<<−， 所以当12a >时，原不等式的解集为2{|2}21a x x x a −<>−或； 当12a =时，原不等式的解集为{|2}x x >； 当102a <<时，原不等式的解集为2{|2}21a x x a −<<−； 当0a =时，原不等式的解集为∅；当0a <时，原不等式的解集为2{|2}21a x x a −<<−. 19. 已知非空实数集,X Y 满足：若a X ∈，则11a X a +∈−；若b Y ∈，则11Y b −∈+. （1）若2X ∈，直接写出X 中一定包含的元素.（2）若Y 由三个元素组成，且所有元素之和为32−，求Y . （3）若X Y 由2027个元素组成，求X Y ∩的元素个数的最大值.【答案】（1）113,,,223−−； （2）1{2,1,}2Y =−−； （3）674.【解析】【分析】（1）由数集X 的属性求出X 中一定包含的元素.（2）令t Y ∈，求出Y 中的3个元素，进出求出t 值，得数集Y .（3）求出数集,X Y 中元素组成形式，结合元素循环的最小正周期，再分类讨论求出X Y ∩的元素个数的最大值.【小问1详解】若a X ∈，则11a X a+∈−，于是2X ∈，12312X +=−∈−，1(3)11(3)2X +−=−∈−−， 11()12131()2X +−=∈−−，1132113X +=∈−， 所以数集X 中一定包含的元素为113,,,223−−.【小问2详解】若b Y ∈，则11Y b −∈+，于是令t Y ∈，11Y t −∈+，11111t Y t t+−=−∈−+， 111t Y t t−=∈+−，显然1111,,11t t t t t t t t ++=−=−−=−++都无实数解， 因此11,,1t t t t+−−+是数集Y 中的三个元素，由11312t t t t +−−=−+， 整理得32331022t t t +−−=，即25(1)(1)02t t t −++=，解得2t =−或12t =−或1t =， 所以1{2,,1}2Y =−−. 【小问3详解】当s X ∈时，11s X s +∈−，1111111s s X s s s ++−=−∈+−−，111111s s X s s −−=∈++，111111s s s X s s −++=∈−−+， 而11s s s +=−无实数解，11111,,11111111,,s s s s s s s s s s s s s s s −+−+−+−+==−−−==−+=均无实数解， 因此数集X 是以}1{,1111,,s s s s s s +−−+−形式，4个数为一组出现，组与组之间无公共元素，且1,0,1X −∉， 数集Y 是以11{,,}1t t t t+−−+形式，3个数为一组出现，组与组之间无公共元素，且1,0Y −∉， 于是数集,X Y 的元素个数分别是以4和3为最小正周期循环，且当s t =时，1111s s t+≠−−+， 而4和3互素，因此数集,X Y 中各组最多只能有1个公共元素，设集合X 中共有m 个元素，满足m 是4的整数倍，其中有n 个元素在X Y ∩中，满足m n ≤， 由同一周期内元素不相等，得这n 个元素在集合Y 中归属于不同组内，则集合Y 中有3n 个元素，同时在Y 内还有k 个元素，并满足k 是3的整数倍，0k ≥，于是32027m n p n ++−=，显然2027233m n k n k n =++≥+≥，解得675n ≤， 当675n =时，不存在符合条件的整数,m k ，当674n =时，676,3m k ==，符合题意，n 的最大值为674；设集合Y 中共有p 个元素，满足p 是3的整数倍，其中有q 个元素在X Y ∩中，满足q p ≤， 同理，集合X 中有4q 个元素，同时在X 中还有l 个元素，满足l 是4的整数倍，0l ≥，于是42027p q q l +−+=，显然2027344p q l q l q =++≥+≥，解得506q ≤，当506,505q =时，不存在符合条件的整数,p l ，当504q =时，507,8p l ==，符合题意，q 的最大值为504，所以X Y ∩的元素个数的最大值为674.【点睛】关键点点睛：解析第3问的关键是确定集合中元素的构成以及元素的个数表达式.。

2021-2022学年重庆市清华中学高二（上）第一次月考数学试卷（10月份）一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．直线的倾斜角为（）A．60°B．30°C．45°D．120°2．已知向量，，且，那么x等于（）A．﹣4B．﹣3C．0D．13．点A（1，2）到直线l：3x﹣4y﹣1＝0的距离为（）A．B．C．4D．64．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，已知＝，＝，＝，＝，则＝（）A．﹣+B．++C．﹣﹣+D．﹣﹣+5．在空间直角坐标系中，A（1，﹣1，﹣1），B（2，1，1），平面BCD的一个法向量是（1，1，0），则直线AB与平面BCD所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6．若入射光线所在直线的方程为，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程是（）A．B．C．D．7．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为底面A1B1C1D1内一动点，则•的取值范围是（）A．[，1]B．[0，1]C．[﹣1，0]D．[﹣，0]8．已知直线l1：x﹣y﹣1＝0绕与x轴交点旋转过程中始终与动直线l2：x﹣ay﹣2＝0垂直，当直线l1逆时针旋转75°时，则直线l2沿与向量共线的方向平移4个单位长度后的直线的方程为（）A．B．C．或D．或二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20.0分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9．设直线l1：3x+2ay﹣5＝0，l2：（3a﹣1）x﹣ay﹣2＝0．若l1与l2平行，则a的值可以为（）A．﹣B．C．0D．610．对于直线l：x＝my+1，下列说法正确的是（）A．直线l恒过定点（1，0）B．直线l斜率必定存在C．m＝时，直线l的倾斜角为60°D．m＝2时，直线l与两坐标轴围成的三角形面积为11．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（）A．B．BD⊥平面ACC1C．向量与的夹角是60°D．直线BD1与AC所成角的余弦值为12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O在线段AC上移动，点M为棱BB1的中点，则下列结论中正确的有（）A．D1O∥平面A1BC1B．∠D1OM的大小可以为90°C．异面直线D1O与A1C1的距离为定值D．存在实数λ∈[0，1]，使得成立三、单空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）13．若三点P（1，1），A（2，﹣4），B（x，﹣9）共线，则x＝．14．已知四点A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），P（1，1，1），则点P面ABC（填写“∈”或者“∉”中的一个）．15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AA1＝A1B1＝A1C1＝4，点E是棱CC1上一点，且，则异面直线A1B与AE所成角的余弦值为．16．m∈R，动直线l1：x+my﹣1＝0过定点A，动直线过定点B，若直线l1与l2相交于点P（异于点A，B），则△PAB周长的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知直线l经过点P（1，2）．（1）求在两坐标轴上截距相等的直线l的方程；（2）求与第（1）问中斜率小于零的直线l距离等于的直线l1的方程．18．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，点E，F分别为棱CC1，AA1的中点．（1）求证：D1F∥平面BDE；（2）求直线D1F到平面BDE的距离．19．已知圆C经过点A（1，0），点B（3，﹣2），且它的圆心在直线2x+y＝0上．（1）求圆C的标准方程；（2）若圆D与圆C关于直线x﹣y+1＝0对称，求圆D的标准方程．20．在△ABC中，A（5，4），边AC上的高BE所在的直线方程为3x+4y﹣7＝0，边AB上的中线CM所在的直线方程为5x﹣2y﹣10＝0．（1）求点C坐标；（2）求直线BC的方程．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AC∩BD＝O，底面ABCD为菱形，边长为2，PO⊥CD，PA＝PC，且∠ABC＝60°．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）当异面直线PB与CD所成的角为60°时，在线段CP上是否存在点M，使得直线OM与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，请求出线段CM的长，若不存在，请说明理由．22．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．点E，F分别在AB，CD上，且AE＝2，CF＝1．沿EF将四边形AEFD翻折至四边形A'EFD'，使平面A'EFD'与平面BCFE垂直，若在线段EB上有动点H．（1）从以下两个条件中任选一个作为已知条件_____，以确定点的位置，①若四点A'，D'，C，H共面，②若三棱锥A'﹣EFH的体积是三棱锥C﹣A'EF体积的；（2）在第（1）问基础上，在线段A'D'上有一动点P，设二面角P﹣HF﹣E的平面角为θ，求cosθ的最大值．参考答案一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40.0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线的倾斜角为（）A．60°B．30°C．45°D．120°【分析】因为直线的斜率等于倾斜角的正切值，所以先找出直线的斜率，根据特殊角的三角函数值得到倾斜角的度数．解：设直线的倾斜角为α，0＜α＜180°，由直线的斜率为得到：tanα＝，所以α＝60°故选：A．2．已知向量，，且，那么x等于（）A．﹣4B．﹣3C．0D．1【分析】利用向量垂直的性质直接求解．解：向量，，且，∴＝x﹣1＝0，解得x＝1．故选：D．3．点A（1，2）到直线l：3x﹣4y﹣1＝0的距离为（）A．B．C．4D．6【分析】由题意利用点到直线的距离公式，求得结果．解：点A（1，2）到直线l：3x﹣4y﹣1＝0的距离为＝，故选：B．4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，已知＝，＝，＝，＝，则＝（）A．﹣+B．++C．﹣﹣+D．﹣﹣+【分析】利用空间向量加法法则求解．解：因为在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，＝，＝，＝，＝，所以＝（+）＝﹣+（+）＝﹣++＝﹣+（﹣）+（﹣）＝﹣++＝﹣+．故选：A．5．在空间直角坐标系中，A（1，﹣1，﹣1），B（2，1，1），平面BCD的一个法向量是（1，1，0），则直线AB与平面BCD所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【分析】记平面BCD的一个法向量＝（1，1，0），设直线AB与平面BCD所成的角为θ，根据sinθ＝|cos＜，＞|，求解即可．解：在空间直角坐标系中，A（1，﹣1，﹣1），B（2，1，1），＝（1，2，2），记平面BCD的一个法向量＝（1，1，0），设直线AB与平面BCD所成的角为θ，直线AB与平面BCD所成的角的正弦值sinθ＝|cos＜，＞|＝＝＝．则直线AB与平面α所成角θ为45°．故选：B．6．若入射光线所在直线的方程为，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程是（）A．B．C．D．【分析】经x轴反射的两条光线的斜率互为相反数，再求出入射光线与x轴的交点，然后由点斜式即可写出反射光线所在直线的方程．解：由题意知，反射光线所在直线的斜率为﹣，在直线中，令y＝0，则x＝，所以入射光线所在直线与x轴的交点坐标为（，0），所以反射光线所在直线的方程是y﹣0＝﹣（x﹣），即y＝﹣x+4．故选：B．7．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为底面A1B1C1D1内一动点，则•的取值范围是（）A．[，1]B．[0，1]C．[﹣1，0]D．[﹣，0]【分析】由题意画出图形，建立适当的空间直角坐标系，求出•的表达式，再由配方法求解．解：如图，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．则A（1，0，0），C（0，1，0），设E（x，y，1），则0≤x≤1，0≤y≤1．∴，，∴＝．由二次函数的性质可得：当x＝y＝时，•取最小值为；当x＝0或x＝1，且y＝0或y＝1时，•取得最大值为1．∴•的取值范围是[，1]．故选：A．8．已知直线l1：x﹣y﹣1＝0绕与x轴交点旋转过程中始终与动直线l2：x﹣ay﹣2＝0垂直，当直线l1逆时针旋转75°时，则直线l2沿与向量共线的方向平移4个单位长度后的直线的方程为（）A．B．C．或D．或【分析】根据题意先求出l2的直线方程，再对直线进行平移即可．解：直线l1：x﹣y﹣1＝0的斜率k＝1，倾斜角为45°，将直线l1逆时针旋转75°，可得直线的倾斜角为45°+75°＝120°，所以旋转后直线的斜率k1＝tan120°＝﹣，因为旋转后的直线与直线l2：x﹣ay﹣2＝0垂直，所以﹣×＝﹣1，所以a＝，所以l2：x﹣y﹣2﹣0，因为||＝＝2，所以将直线l2沿与向量共线的方向平移4个单位长度后的直线的方程为（x+2）﹣（y+2）﹣2＝0或（x﹣2）﹣（y﹣2）﹣2＝0，即x﹣y﹣6＝0或x﹣y+2＝0；故选：D．二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20.0分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9．设直线l1：3x+2ay﹣5＝0，l2：（3a﹣1）x﹣ay﹣2＝0．若l1与l2平行，则a的值可以为（）A．﹣B．C．0D．6【分析】对a是否等于0分情况讨论，利用两直线平行的斜率关系即可求出a的值．解：①当a＝0时，直线l1：x＝，直线l2：x＝﹣2，此时两直线平行，符合题意．②当a≠0时，直线l1：y＝，直线l2：y＝，若l1与l2平行，则＝，解得：a＝﹣，综上所述，a＝0或﹣，故选：AC．10．对于直线l：x＝my+1，下列说法正确的是（）A．直线l恒过定点（1，0）B．直线l斜率必定存在C．m＝时，直线l的倾斜角为60°D．m＝2时，直线l与两坐标轴围成的三角形面积为【分析】由题意求出直线的斜率和倾斜角，求直线和坐标轴的交点坐标，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．解：对于直线l：x＝my+1，令y＝0，求得x＝1，可得它恒过定点（1，0），故A正确；当m＝0时，它的斜率不存在，故B错误；m＝时，直线l的斜率为＝，故它的倾斜角为30°，故C错误；m＝2时，直线l即x﹣2y﹣1＝0，它与坐标轴的交点为（1，0）、（0，﹣），故该直线与两坐标轴围成的三角形面积为×1×＝，故D正确，故选：AD．11．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（）A．B．BD⊥平面ACC1C．向量与的夹角是60°D．直线BD1与AC所成角的余弦值为【分析】直接在平行六面体中，利用向量的线性运算，向量的模，向量的夹角，向量的数量积，线面垂直和线线垂直之间的转换判断A、B、C、D的结论．解：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，所以：，故：＝+2＝36+36+36+3×2×6×6×cos60°＝216；整理得：，故A错误；对于B：由于底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD，由于，所以AC1⊥BD，故BD⊥平面ACC1，故B正确；对于C：由于，△AA1D为等边三角形，所以和的夹角为120°，故向量与的夹角是120°，故C错误；对于D：，，利用：，解得：，，由于，所以，故D正确．故选：AC．12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O在线段AC上移动，点M为棱BB1的中点，则下列结论中正确的有（）A．D1O∥平面A1BC1B．∠D1OM的大小可以为90°C．异面直线D1O与A1C1的距离为定值D．存在实数λ∈[0，1]，使得成立【分析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示，设正方体的棱长为2，通过求解，转化判断A的正误；通过证明OD1⊥平面MAC，判断B的正误；利用空间向量法求出异面直线的距离，从而判断C的正误，通过A，O，C三点共线，结合向量的模的关系，判断D的正误．解：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示，设正方体的棱长为2，设O（x，2﹣x，0），0⩽x⩽2，D1（0，0，2），B（2，2，0），B1（2，2，2），所以．又DB1⊥平面A1BC1，所以平面A1BC1的法向量为．因为，所以OD1⊥DB1，所以D1O∥平面A1BC1，故A正确；对于B，当O为AC的中点时，O（1，1，0），M（2，2，1），A（2，0，0），C（0，2，0），所以，所以，，所以OD1⊥AC，OD1⊥AM，因为AC∩AM＝A，AC，AM⊂平面MAC，所以OD1⊥平面MAC，所以∠D1OM的大小可以为90°，故B正确；对于C，，设，所以，即，令a＝1，则b＝1，c＝1，所以，又，所以异面直线D1O与A1C1的距离，故C不正确，对于D，A，O，C三点共线，，，，所以，故D正确．故选：ABD．三、单空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）13．若三点P（1，1），A（2，﹣4），B（x，﹣9）共线，则x＝3．【分析】三点共线等价于以三点为起点终点的两个向量共线，利用向量坐标公式求出两个向量的坐标，利用向量共线的充要条件列出方程求出x．解：三点P（1，1），A（2，﹣4），B（x，﹣9）共线，，，⇒1×（﹣10）＝﹣5（x﹣1）⇒x＝3故答案为314．已知四点A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），P（1，1，1），则点P∉面ABC（填写“∈”或者“∉”中的一个）．【分析】设＝x+y，根据空间向量的坐标运算，可得关于x和y的方程组，解之即可．解：由题意知，＝（﹣1，1，0），＝（﹣1，0，1），＝（0，1，1），设＝x+y，则（0，1，1）＝（﹣x﹣y，x，y），即，该方程无解，所以点P∉面ABC．故答案为：∉．15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AA1＝A1B1＝A1C1＝4，点E是棱CC1上一点，且，则异面直线A1B与AE所成角的余弦值为．【分析】以点A1为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A1﹣xyz，求出两直线的方向向量，利用向量法求异面直线所成的角的余弦值．解：以点A1为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A1﹣xyz，则A1（0，0，0），B（4，0，4），A（0，0，4），E（0，4，），则＝（4，0，4），＝（0，4，﹣），cos＜，＞＝＝﹣，所以异面直线A1B与AE所成角的余弦值为，故答案为：．16．m∈R，动直线l1：x+my﹣1＝0过定点A，动直线过定点B，若直线l1与l2相交于点P（异于点A，B），则△PAB周长的最大值为2+2．【分析】求出直线l1：x+my﹣1＝0过定点A的坐标和直线l2：mx﹣y﹣2m+＝0过定点B的坐标，l1与l2交于点P，根据两条直线的斜率不难发现有则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝4．利用基本不等式的性质可得|PA|+|PB|的最大值，即可得到所求周长的最大值．解：直线l1：x+my﹣1＝0过定点A（1，0），直线l2：mx﹣y﹣2m+＝0即m（x﹣2）＝y﹣，可得过定点B（2，），由于1•m+m•（﹣1）＝0，则l1与l2始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝4．由a2+b2≥2ab可得2（a2+b2）≥（a+b）2，那么2（|PA|2+|PB|2）≥（|PA|+|PB|）2，即有|PA|+|PB|≤＝2，当且仅当|PA|＝|PB|＝时，上式取得等号，则△PAB周长的最大值为2+2．故答案为：2+2．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知直线l经过点P（1，2）．（1）求在两坐标轴上截距相等的直线l的方程；（2）求与第（1）问中斜率小于零的直线l距离等于的直线l1的方程．【分析】（1）直线l经过原点时，利用点斜式可得方程；直线l不经过原点时，可设方程为：x+y＝a，把点P（1，2）代入可得a．（2）第（1）问中斜率小于零的直线l为：x+y﹣3＝0．设要求的直线l1的方程为：x+y+m ＝0，利用平行线之间的距离公式即可得出．解：（1）直线l经过原点时，可得方程为：y＝2x；直线l不经过原点时，可设方程为：x+y＝a，把点P（1，2）代入可得：a＝1+2＝3，此时直线l的方程为：x+y﹣3＝0．综上可得直线l的方程为：y＝2x；或x+y﹣3＝0．（2）第（1）问中斜率小于零的直线l为：x+y﹣3＝0．设要求的直线l1的方程为：x+y+m＝0，则＝2，解得m＝1，或﹣7．∴要求的直线l1的方程为：x+y+1＝0，或x+y﹣7＝0．18．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，点E，F分别为棱CC1，AA1的中点．（1）求证：D1F∥平面BDE；（2）求直线D1F到平面BDE的距离．【分析】（1）取BB1的中点G，连接FG，C1G，先证明四边形C1D1FG为平行四边形，从而得到D1F∥C1G，由中位线定理以及平行公理可得，D1F∥BE，再利用线面平行的判定定理证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面BDE的法向量，又直线D1F到平面BDE的距离，即为点D1到平面BDE的距离，由点到平面距离的向量公式求解即可．解：（1）证明：取BB1的中点G，连接FG，C1G，因为A1B1∥C1D1，且A1B1＝C1D1，又A1B1∥FG，且A1B1＝FG，所以FG∥C1D1，且FG＝C1D1，故四边形C1D1FG为平行四边形，则D1F∥C1G，在矩形BCC1B1中，因为E，G分别为CC1，BB1的中点，所以BE∥C1G，所以D1F∥BE，又D1F⊄平面BDE，BE⊂平面BDE，故D1F∥平面BDE；（2）以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则D（0，0，0），B（1，1，0），E（0，1，1），D1（0，0，2），所以，，设平面BDE的法向量为，则，即，令y＝﹣1，则x＝z＝1，故，由（1）可知，D1F∥平面BDE，所以直线D1F到平面BDE的距离即为点D1到平面BDE的距离，又点D1到平面BDE的距离为＝，所以直线D1F到平面BDE的距离为．19．已知圆C经过点A（1，0），点B（3，﹣2），且它的圆心在直线2x+y＝0上．（1）求圆C的标准方程；（2）若圆D与圆C关于直线x﹣y+1＝0对称，求圆D的标准方程．【分析】（1）先求得线段AB的垂直平分线方程，与2x+y＝0联立，求得圆心即可；（2）根据圆D与圆C关于直线x﹣y+1＝0对称，求得圆心C关于直线x﹣y+1＝0的对称点即可．解：（1）已知圆C经过点A（1，0），点B（3，﹣2），则线段AB的垂直平分线方程为：y+1＝x﹣2，即x﹣y﹣3＝0，又圆心在直线2x+y＝0上，联立，解得，所以其圆心为C（1，﹣2），R＝|AC|＝2，所以圆C的标准方程（x﹣1）2+（y+2）2＝4；（2）设圆D的圆心为D（x，y），因为圆D与圆C关于直线x﹣y+1＝0对称，所以，解得，所以圆D的标准方程是（x+3）2+（y﹣2）2＝4．20．在△ABC中，A（5，4），边AC上的高BE所在的直线方程为3x+4y﹣7＝0，边AB上的中线CM所在的直线方程为5x﹣2y﹣10＝0．（1）求点C坐标；（2）求直线BC的方程．【分析】（1）由边AC上的高BE所在的直线方程为3x+4y﹣7＝0，可设直线AC的方程为4x﹣3y+m＝0，把A（5，4）代入解得m．直线AC的方程与CM的方程联立即可得出C点的坐标．（2）设B（a，b），利用中点坐标公式可得M坐标，代入CM可得方程5×﹣2×﹣10＝0，把B坐标代入BE方程，联立即可得出．解：（1）由边AC上的高BE所在的直线方程为3x+4y﹣7＝0，可设直线AC的方程为4x﹣3y+m＝0，把A（5，4）代入可得：4×5﹣3×4+m＝0，解得m＝﹣8，∴直线AC的方程为4x﹣3y﹣8＝0，联立，解得C（2，0）．（2）设B（a，b），则5×﹣2×﹣10＝0，又3a+4b﹣7＝0，联立解得：a＝b＝1，∴B（1，1）．∴直线BC的方程为：y﹣0＝（x﹣2），化为：x+y﹣2＝0．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AC∩BD＝O，底面ABCD为菱形，边长为2，PO⊥CD，PA＝PC，且∠ABC＝60°．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）当异面直线PB与CD所成的角为60°时，在线段CP上是否存在点M，使得直线OM与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，请求出线段CM的长，若不存在，请说明理由．【分析】（1）只要证明PO垂直于平面ABCD中两相交直线AC和CD即可；（2）用向量数量积计算直线与平面成角的正弦值，列方程求解．【解答】（1）证明：因为ABCD为菱形，所以O为AC中点，又因为PA＝PC，所以PO⊥AC，又因为PO⊥CD，AC∩CD＝C，所以PO⊥平面ABCD．（2）解：因为ABCD为菱形，所以BD⊥AC，由（1）知OC、OD、OP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，B（0，﹣，0），C（1，0，0），D（0，，0），设P（0，0，t），t＞0，＝（0，，t），＝（﹣1，，0），因为异面直线PB与CD所成的角为60°，所以＝，解得t ＝，所以P（0，0，），PC＝＝，设，λ∈[0，1]，则M（λ，0，﹣），＝（λ，0，﹣），＝（﹣1，0，），设平面PCD的法向量为＝（x，y，z），，令z＝1，＝（，，1），直线OM与平面PCD所成角的正弦值为＝，要使直线OM与平面PCD所成角的正弦值等于，只要＝，解得，所以CM＝PC﹣PM＝PC﹣λPC＝（1﹣λ）PC＝＝．22．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．点E，F分别在AB，CD上，且AE＝2，CF＝1．沿EF将四边形AEFD翻折至四边形A'EFD'，使平面A'EFD'与平面BCFE垂直，若在线段EB上有动点H．（1）从以下两个条件中任选一个作为已知条件_____，以确定点的位置，①若四点A'，D'，C，H共面，②若三棱锥A'﹣EFH的体积是三棱锥C﹣A'EF体积的；（2）在第（1）问基础上，在线段A'D'上有一动点P，设二面角P﹣HF﹣E的平面角为θ，求cosθ的最大值．【分析】（1）选①，过点C作CM⊥平面BCFE，因为四边形ABCD是矩形，所以BC ⊥CF，因为四点A'，D'，C，H共面，所以存在一对实数λ，μ使＝λ+μ，设BH＝x，用坐标表示向量可求得x的值，选②，三棱锥A'﹣EFH的体积是三棱锥C﹣A'EF体积的，设BH＝x，表示体积可求得x的值；（2）设，表示出两平面的法向量，利用向量法求出两平面所成角的余弦值的绝对值，可求得余弦值的最大值，解：选①，（1）过点C作CM⊥平面BCFE，因为四边形ABCD是矩形，所以BC⊥CF，以C为原点，CF，CB，CM分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，2，0），C（0，0，0），A′（，，），D'（，，），设H（x，2，0），所以＝（x，2，0），＝（，，），＝（，，），因为四点A'，D'，C，H共面，所以存在一对实数λ，μ使＝λ+μ，所以（x，2，0）＝λ（，，）+μ（，，），则（x，2，0）＝（λ，λ，λ）+（μ，μ，μ）＝（λ+μ，λ+μ，λ+μ），解得x＝，当HB＝时，四点A'，D'，C，H共面，选②，点A'到面BCFE的距离为，设BH＝x，则S△EHF＝×（2﹣x）×2＝2﹣x；因为三棱锥A'﹣EFH的体积是三棱锥C﹣A'EF体积的，所以×（2﹣x）×＝×S△CEF××，所以2﹣x＝，解得x＝，（2）由（1）知A′（，，），D'（，，），H（，2，0），E （2，2，0），F（1，0，0）设＝（﹣，﹣，λ），所以点P（﹣+，﹣+，λ+），所以＝（﹣，﹣2，0），＝（﹣+﹣，﹣+﹣2，λ+），设平面HPF的一个法向量为＝（x，y，z），，令x＝6，则y＝﹣1，z＝，所以平面HPF的一个法向量为＝（6，﹣1，），因CM⊥平面BCFE，所以平面BCFE的一个法向量为＝（0，0，1）所以cosθ＝＝＝，所以当λ＝0时，cosθ的值最大，且cosθ＝，故答案为：．。

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2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷题目一、选择题(本题共12道小题，每小题5分，共60分)1.已知全集U=R，A={x|x2﹣2x<0}，B={x|x≥1}，则A∪(∁UB)=( )A.(0，+∞)B.(﹣∞，1)C.(﹣∞，2)D.(0，1)2.已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=()A.{1}B.{4}C.{1，3}D.{1，4}3.在△ABC中，“ >0”是“△ABC为锐角三角形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.下列说法错误的是( )A.命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”B.“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C.若p且q为假命题，则p、q均为假命题D.命题p：“∃x∈R使得x2+x+1<0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”5.已知0A.a2>2a>log2aB.2a>a2>log2aC.log2a>a2>2aD.2a>log2a>a26.函数y=loga(x+2)﹣1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m>0，n>0，则 + 的最小值为( )A.3+2B.3+2C.7D.117.已知f(x)是定义在R上的偶函数，在[0，+∞)上是增函数，若a=f(sin )，b=f(cos )，c=f(tan )，则( )A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a8.若函数y=f(x)对x∈R满足f(x+2)=f(x)，且x∈[-1 ，1]时，f(x)=1﹣x2，g(x)= ，则函数h(x)=f(x)﹣g(x)在区间x∈[-5 ，11]内零点的个数为( ) A.8 B.10 C.12 D.149设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f(x)•f(y)=f(x+y)，若a1= ，an=f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n 项和Sn的取值范围是( )A.[ ，2)B.[ ，2]C.[ ，1)D.[ ，1]10.如图所示，点P从点A处出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周，O为ABC的中心，设点P走过的路程为x，△OAP的面积为f(x)(当A、O、P三点共线时，记面积为0)，则函数f(x)的图象大致为( )A . B.C. D.11.设函数f(x)=(x﹣a)|x﹣a|+b，a，b∈R，则下列叙述中，正确的序号是( )①对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上是单调函数;②对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上都不是单调函数;③对任意实数a，b，函数y=f(x)的图象都是中心对称图象;④存在实数a，b，使得函数y=f(x)的图象不是中心对称图象.A.①③B.②③C.①④D.③④12.已知函数，如在区间(1，+∞)上存在n(n≥2)个不同的数x1，x2，x3，…，xn，使得比值= =…= 成立，则n的取值集合是( )A.{2，3，4，5}B.{2，3}C.{2，3，5}D.{2，3，4}第II卷(非选择题)二、填空题(本题共4道小题，每小题5分，共20分)13.命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1<0”的否定是 .14.定义在R上的奇函数f(x)以2为周期，则f(1)= .15.设有两个命题，p：x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0};q：函数y=lg(ax2﹣x+a)的定义域为R.如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是 .16.在下列命题中①函数f(x)= 在定义域内为单调递减函数;②已知定义在R上周期为4的函数f(x)满足f(2﹣x)=f(2+x)，则f(x)一定为偶函数;③若f(x)为奇函数，则 f(x)dx=2 f(x)dx(a>0);④已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，则a+b+c=0是f(x)有极值的充分不必要条件;⑤已知函数f(x)=x﹣sinx，若a+b>0，则f(a)+f(b)>0.其中正确命题的序号为 (写出所有正确命题的序号).三、解答题(本题共7道小题,第1题12分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题10分,第7题10分,共70分)17.已知集合A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，函数y=ln(x2﹣4)的定义域为B.(Ⅰ)求A∩B;(Ⅱ)若C={x|x≤a﹣1}，且A∪(∁RB)⊆C，求实数a的取值范围.18.已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}.(1)求实数a，b的值;(2)解关于x的不等式： >0(c为常数).19.已知函数f(x)= 是定义在(﹣1，1)上的奇函数，且f( )= .(1)确定函数f(x)的解析式;(2)证明f(x)在(﹣1，1)上是增函数;(3)解不等式f(t﹣1)+f(t)<0.20.已知关于x的不等式x2﹣(a2+3a+2)x+3a(a2+2)<0(a∈R).(Ⅰ)解该不等式;(Ⅱ)定义区间(m，n)的长度为d=n﹣m，若a∈R，求该不等式解集表示的区间长度的最大值.21.设关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β(α<β)，函数(1)证明f(x)在区间(α，β)上是增函数;(2)当a为何值时，f(x)在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小.选做第22或23题，若两题均选做，只计第22题的分。