能量法

1

3Eh2 10GL2

It is therefore customary in engineering practice to neglect the effect of shear in computing the strain energy of slender beams.
F 广义力
1
广义位移
基本变形下杆的应变能：（线弹性范围内）
F
V

1 2
Fl

FN2l 2EA
l
FN2 x dx
2EA
Me
V

1 2
M e

T 2l 2GI P

T 2 xdx
l 2GIP
M
V

1 M
2

M 2l 2EI
横力弯曲
M 2 x dx
2EI 0
2GI p 0
4EI 4GI p
外力功
V
W

1 2
P
A
A

PR3
2EI

3PR3
2GI p
互等定理 (Reciprocal theorems)
1. 功的互等定理
设有两组外力F1和F2分别作用于同一线弹性结构上，如 图所示，(a)、(b)分别称为结构的第一状态和第二状态。
F1 Δ11 1
F1 dF
0
线弹性范围内：
1

1
Vc
V

F 2
➢ 余能仅具有与应变能相同的量纲，无具体 的物理意义。线弹性材料，余能数值上等 于应变能，应区分两者的概念。
应变能的普遍表达式

V
V F
l
l
0
M 2 ( x)dx 2 EI
F 0
l M 2 ( x) 1 M ( x) 1 dx 2M ( x) F 0 dx 0 0 F 2 EI F F 0 2 EI
V 1 即： F EI

l
0
M ( x) F 0
M ( x) dx F F 0
其中fi、δi为加载过程中荷载及位移的瞬时值。
因积分后Vε为Δi 的函数，所以有：
V dV d i i
目录
18
I、卡氏第一定理
当第i 个荷载相应的位移Δi有一增量dΔi时，外力的功
dW dV Fi d i
故：
V Fi d i d i i
说明：
线弹性、单向应力状态：

1
0
1 2 d E1 2 2E
2 1
线弹性、纯剪应力状态：

1
0
1 2 d G 1 2 2G
2 1
9
目录
例题3-1
弯曲刚度为EI的简支梁受均布荷载q作用，试求 q 梁内的应变能
A B
w
解：梁的弯矩方程：
1 1 2 M qlx qx 2 2
25
目录
II、卡氏第二定理
同样，对于同时作用有n个荷载F1，F2，…，Fn 的梁，外力的余功为：
Wc Vc i df i
Fi i 1 0 n
其中fi、δi为加载过程中荷载及位移的瞬时值。积分后Vc 为fi 的函数。 当第i 个荷载Fi 有一改变量dFi时，外力的余功增量：
dW c dVc i dFi
目录
II、卡氏第二定理

三 利用功能原理计算位移
第十三章 能量法/三 利用功能原理计算位移
利用
U W
1 P 2
可以计算荷载作用点的位移,但是
只限于单一荷载作用,而且所求位移只是荷载作用点 (或作用面)沿着荷载作用方向与荷载相对应的位移。
第十三章 能量法/三 利用功能原理计算位移
例题 图示变截面受拉杆，E、A 为已知，求加力点C的水平位
第十三章 能量法/二 变形能
4 关于变形能计算的讨论
1 2 以上计算公式仅适用于线弹性材料在小变形下的变形能的计算。 变形能可以通过外力功计算，也可以通过杆件微段上的内力功
等于微段的变形能，然后积分求得整个杆件上的变形能。
3 变形能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理在变形能计算
中不能使用。只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不做功
P
CP
Pl 3 48 EI
BP
mo
Pl 2 16 EI
A
B
Bm
o
C
Cm
o
mol 2 16 EI
mol 3EI
L/2
L/2
B
Pl 2 16 EI
Pl 3 mo l 2 C 48EI 16 EI

mo l 3EI
第十三章 能量法 /一 外力功
解: (2)外力功的计算
FN L U W 2 EA
式中
2
FN
——轴力，
A ——截面面积
第十三章 能量法/二 变形能
由拉压杆件组成的杆系的变形能： 2 1 5 4 受力复杂杆(轴力沿杆的轴线变化)的变形能
x
P 3
2 n Pi 2 Li FNi Li U i 1 2 Ei Ai i 1 2 Ei Ai n

M n ( x) = − Px
EI L x
2
P A O
U =
∫
[M n ( x)]
L
2 EI
P 2 L2 dx = 6 EI
∂U PL3 = ③求位移 δ A = ∂P 3EI
例5(续): 求 A点的转角 解： ①求弯矩 M n ( x) = −(M 0 + Px) ②求变形能
U =
EI L x
P A O
N1 = N 2 cos α = Pctgα , N 2 =
对每个杆内能
2 2
P sin α
2
L
A N1 α
2
P
U =∫
L
[ N ( x)] dx + [ M T ( x)] dx + [ M n ( x)] dx = N
2 EA
∫
L
2GI p
∫
L
2 EI
L 2 EA
C
对整个杆系内能 N 12 l1 N 22 l 2 1 U = + = W = P yc 2 E A1 2 E A2 2 1 ( Pctg α ) 2 l1 l2 P 2 Py c = + ( ) 2 2 EA 1 2 EA 2 sin α
δ1 δi δn
δ2
Fi
Fn
1 n U = ∑ Fiδ i 2 i =1
二. 互等定理
1.功互等定理 Fi δ′ = Fjδ′ji ij
i 力在 j 力引起的位移δ’ij上 做的功等于j 力在 i 力引起 的位移δ’ji上做的功。
Fi
δ i′
i
0 Fj j
δ i′
i Fi
0
δ ij ′
δ j′