【精准解析】山东省临沂市罗庄区2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题

山东省临沂市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）如图，目标函数z＝ax－y的可行域为四边形OACB（含边界），若是该目标函数z＝ax－y 的最优解，则a的取值范围是（）A .B .C .D .2. （2分）△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若a＝3，b＝4，∠C＝60°，则c的值等于（）．A . 5B . 13C .D .3. （2分）若方程表示一条直线，则实数m满足A .B .C .D .4. （2分） (2018高一下·新乡期末) 向边长为1的正方形内随机投入粒芝麻，假定这些芝麻全部均匀地落入该正方形中，发现有粒芝麻离点的距离不大于1，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（）A .B .C .D .5. （2分）如图：样本A和B分别取自两个不同的总体，他们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为SA和SB ，则（）A . >,SA>SBB . <,SA>SBC . >,SA<SBD . <,SA<SB6. （2分）(2017·宁德模拟) 已知在三角形ABC中，AB＜AC，∠BAC=90°，边AB，AC的长分别为方程的两个实数根，若斜边BC上有异于端点的E，F两点，且EF=1，∠EAF=θ，则tanθ的取值范围为（）A .B .C .D .7. （2分）已知圆锥的底面半径为R，高为2R，在它的所有内接圆柱中，侧面积的最大值是（）A .B .C . πR2D . 2πR28. （2分）过点与圆相交的所有直线中，被圆截得的弦最长的直线方程是（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·重庆模拟) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱BB1、BC的中点，则异面直线AB1与EF所成角的大小为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°10. （2分） (2016高二上·成都期中) 与直线l：3x﹣5y+4=0关于原点对称的直线的方程为（）A . 3x+5y+4=0B . 3x﹣5y﹣4=0C . 5x﹣3y+4=0D . 5x+3y+4=0二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分） (2019高二上·南充期中) 已知直线平行，则________12. （1分） (2017高二下·河北期末) 某企业三月中旬生产，、、三种产品共件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作如下的统计表格：产品类别产品数量（件）样本容量（件）由于不小心，表格中、产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得产品的样本容量比产品的样本容量多，根据以上信息，可得的产品数量是________件．13. （1分） (2018高二上·镇原期中) 在中,若 ,则的外接圆的半径为________.14. （1分） (2017高一下·定州期末) 若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16 ，则a=________．15. （1分） (2018高二上·梅河口期末) 已知两圆相交于两点，两圆圆心都在直线上，则的值是________．16. （1分）在△ABC中，若，则BC=________．三、解答题 (共5题；共65分)17. （10分） (2018高二上·成都月考) 已知圆过两点，且圆心在上．（1）求圆的方程；（2）设是直线上的动点，是圆的两条切线，为切点，求四边形面积的最小值.18. （10分） (2018高二上·凌源期末) 已知顶点在单位圆上的中，角的对边分别为，且 .（1）求的值；（2）若，求的面积.19. （15分） (2019高二上·南宁月考) 某中学为了组建一支业余足球队，在高一年级随机选取50名男生测量身高，发现被测男生的身高全部在160cm到184cm之间，将测量结果按如下方式分成六组：第1组，第2组，...，第6组，如图是按上述分组得到的频率分布直方图，以频率近似概率.（1）若学校要从中选1名男生担任足球队长，求被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率；（2）现在从第5与第6组男生中选取两名同学担任守门员，求选取的两人中最多有1名男生来自第5组的概率.20. （15分） (2016高一下·黄冈期末) 如图，在底面是正方形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC 于点E，F是PC中点，G为AC上一点．（1）求证：BD⊥FG；（2）确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由；（3）当二面角B﹣PC﹣D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．21. （15分）已知圆C经过点A（3，2）和B（3，6）．（I）求面积最小的圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过定点T（1，0），且与（I）中的圆C相切，求l的方程．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、第11 页共13 页20-3、第12 页共13 页21-1、第13 页共13 页。

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ﹣b ＝ccosB ﹣ccosA ，则△ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形2．下面的程序运行后，输出的值是（ ）A ．90B ．29C ．13D ．543．将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数恰为偶函数，则的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．4．若扇形的面积为38π、半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A ．32π B ．34π C ．38π D ．316π 5．一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是 A ．两次都中靶 B ．至少有一次中靶 C ．两次都不中靶 D ．只有一次中靶6．各项不为零的等差数列}{n a 中，23711440a a a -+=，数列}{n b 是等比数列，且77b a =，则68b b =（ ）A ．4B ．8C ．16D ．647．不等式2320x x -+-≥的解集是 A ．{|2x x >或1}x < B ．{|2x x ≥或1}x ≤ C ．{|12}x x ≤≤D ．{|12}x x <<8．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，若实数a 满足()()120f a f a +->，则a 的取值范围是（ ）A ．()1,1-B ．()0,1C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭9．已知不等式20x ax b -+>的解集为(,1)(2,)-∞-+∞，则不等式20x ax b ++>的解集为( )A ．(,2)(1,)-∞--+∞B ．(,2)(1,)-∞-+∞C ．(,1)(2,)-∞-+∞ D ．(,1)(2,)-∞⋃+∞10．下列函数，是偶函数的为（ ） A ．cos 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．sin 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．tan 2y x =11．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S = A ．5B ．7C ．9D ．1112．若角α的终边过点P(-3，-4)，则cos(π-2α)的值为() A ．2425-B ．725-C ．725D ．2425二、填空题：本题共4小题13．已知圆Ω过点A （5，1），B （5，3），C （﹣1，1），则圆Ω的圆心到直线l ：x ﹣2y+1＝0的距离为_____．14．在ABC ∆中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 所对应的边，1tan 3A =，1tan 2B =，如果1a =，则b =________. 15．下列命题：①函数()cos 2y x =-的最小正周期是π；②在直角坐标系xOy 中，点(),P a b ，将向量OP 绕点O 逆时针旋转90︒得到向量OQ ，则点Q 的坐标是(),b a -；③在同一直角坐标系中，函数cos y x =的图象和函数y x =的图象有两个公共点； ④函数sin 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在[]0,π上是增函数． 其中，正确的命题是________（填正确命题的序号）．16．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知,,a b c 成等比数列，且22a c ac bc -=-，则sin cb B的值为________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

山东省临沂市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 与角3π-终边相同的角是（ ）A. 53π B.116πC. 56π-D. 23π-2. 某单位有青年职工35人，中年职工25人，老年职工15 人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中青年职工为7人，则样本容量为（ ） A. 7B. 15C. 25D. 353. 若非零向量a ，b 满足||a b |=|，向量2a b +与b 垂直，则a 与b 的夹角为（ ） A. 150︒B. 120︒C. 60︒D. 304. 某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛,他们取得成绩(满分100分)的茎叶如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x y +的值为（ ）A. 7B. 10C. 9D. 8 5. 已知()()sin 3cos 20παπα+--=，则cos2α的值为（ ） A.45B. 45-C.35D.356. 执行如图所示的程序框图，若输出15S =，则框图中①处可以填入（ ）．的A. 2k <B. 3k <C. 4k <D. 5k <7. 下列函数中，周期为π，且在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增的奇函数是（ ）A 3sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. cos 22y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C. cos 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D. sin 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭8. 任取一个自然数，则该数平方的末尾数是4的概率为（ ）A. 15B.310C.14D.129. 若圆222660x y x y ++-+=有且仅有三个点到直线10x ay ++=的距离为1，则实数a 的值为（ ）A. ±1B. 4±C.D. 2±10. 在区间[]0,π上随机取一个数x ，使得1sin 2x ≤的概率为（ ） A.13B.2πC. 12D.2311. 将函数()2cos 13f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象所有的点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则图象()y g x =的一个对称中心为（ ） .A. ,06π⎛⎫-⎪⎝⎭B. ,112π⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. ,16π⎛⎫-⎪⎝⎭D. ,112π⎛⎫-⎪⎝⎭12. ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O ，且20,OC CB CA OC CB ++== ，则·AC AB =（ ）A.32B.C. 3D. 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某校高三（1）班共有48人，学号依次为1,2,3,...,48，现用系统抽样的办法抽取一个容量为6的样本.已知学好为3,11,19,35,43的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为__________．14. 如表是降耗技术改造后生产某产品过程中记录产量（吨)与相应的生产能耗（吨标准煤)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆ0.70.3yx =+，那么表中m 的值为__________．15. 若圆22:240C x y x y m +--+=与230x y +-=相交于,M N 两点，且MN =，则实数m 的值为__________．16. 若(){}{}(),,0,1,2,2,0,1,1,1AB x y x y a =∈∈-=-，则AB 与a 的夹角为锐角的概率是__________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知向量()()2,3,1,2a b ==-. （1）求()()·2a b a b -+；（2）若向量a b λ+与2a b -平行，求λ的值. 18. 已知圆C ：2268210x y x y +--+=.（1）若直线1l 过定点(1,1)A ，且与圆C 相切，求直线1l 的方程；（2）若圆D 的半径为3，圆心在直线2l ：20x y -+=上，且与圆C 外切，求圆D 的方程.19. 某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计．按照，，，，的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）．频率分布直方图 茎叶图 （Ⅰ）求样本容量n 和频率分布直方图中x 、y 的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，求所抽取的2名同学来自不同组的概率． 20.平面直角坐标系xOy中，已知点122P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，将向量OP 绕原点O 按逆时针方向旋转x 弧度得到向量OQ . （1）若4x π=，求点Q 坐标；（2）已知函数()·f x OP OQ =，且()1·34f f παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，若()0,απ∈，求α的值. 21. 某单位需要从甲、乙2人中选拔一人参加新岗位培训，特别组织了5个专项的考试，成绩统计如下： 第二项（1）根据有关统计知识，回答问题:若从甲、乙2人中选出1人参加新岗位培训，你认为选谁合适，请说明理由；（2）根据有关概率知识，解答以下问题： 从甲、乙2人成绩中各随机抽取一个，设抽到甲的成绩为x ，抽到乙的成绩为y ，用A 表示满足条件2x y -≤的事件，求事件A 的概率.22. 已知向量()()()2cos ,1,3sin cos ,10a x b x x ωωωω==->，函数()·f x a b =，若函数()f x 的图的象与x 轴的两个相邻交点的距离为2π. （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若75,126x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()65f x =-，求cos2x 的值. （3）若()1cos ,0,2x x π≥∈，且()2f x m =有且仅有一个实根，求实数m 的值. 山东省临沂市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 与角3π-终边相同的角是（ ）A. 53π B.116πC. 56π-D. 23π-【答案】A 【解析】 依题意有:π5π2π33-+= 【点睛】利用终边相同的角的集合，可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角.对于选择题，还可以直接加上周期的整数倍来得到结果.2. 某单位有青年职工35人，中年职工25人，老年职工15 人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中青年职工为7人，则样本容量为（ ） A. 7 B. 15C. 25D. 35【答案】B 【解析】 比例为71355=，故样本容量为()1352515155++⋅=. 3. 若非零向量a ，b 满足||a b |=|，向量2a b +与b 垂直，则a 与b 夹角为（ ）A. 150︒B. 120︒C. 60︒D. 30【答案】B【解析】∵||||a b =，且2a b +与b 垂直，∴(2)0a b b +⋅=，即220a b b ⋅+=，∴2||2b a b ⋅=-，∴2||12cos ,2b a b a b a b b b-⋅===-⋅⋅，∴a 与b 的夹角为120︒． 故选B ．4. 某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x y +的值为（ ）A. 7B. 10C. 9D. 8【答案】D 【解析】甲班众数为85，故5x =，乙班中位数为83，故3y =，所以8x y +=. 5. 已知()()sin 3cos 20παπα+--=，则cos2α的值为（ ） A45B. 45-C.35D.35【答案】B 【解析】sin(π+α)−3cos(2π−α)=0，即：sin α+3cos α=0，① 又∵sin 2α+cos 2α=1，② 由①②联立解得：cos 2α=110. ∴cos2α=2cos 2α−1=45-. 故选B.6. 执行如图所示的程序框图，若输出15S =，则框图中①处可以填入（ ）．.A. 2k <B. 3k <C. 4k <D. 5k <【答案】C 【解析】1,1k S ==，判断是，2,2Sk ，判断是，6,3S k，判断是，15,4Sk ==，判断是，31,5S k ==，判断否，输出S ，故填5k <.7. 下列函数中，周期为π，且在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增的奇函数是（ ）A. 3sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B. cos 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. cos 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. sin 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】对于A ，由于cos2x y =-，故为偶函数.对于B ，由于sin 2y x =，故函数在区间上为减函数.对于C ，由于sin 2y x =-，在区间上递增，符合题意.对于D ，cos y x =为偶函数. 8. 任取一个自然数，则该数平方的末尾数是4的概率为（ ） A.15B.310C.14D.12【答案】A【解析】自然数的个位数有09共10种可能，其中平方末尾数为4，则需要个位数为2,8两种情况，故概率为21105=. 9. 若圆222660x y x y ++-+=有且仅有三个点到直线10x ay ++=的距离为1，则实数a 的值为（ ）A. ±1B. 4±C.D. 【答案】B 【解析】圆的圆心为()1,3-，半径2r，由于圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，故圆心到直线的距离为1，1=，解得a =10. 在区间[]0,π上随机取一个数x ，使得1sin 2x ≤的概率为（ ） A.13B.2πC. 12D.23【答案】A 【解析】1sin 2x ≤则π5π0,,π66x ⎡⎤⎡⎤∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故概率为π216π3⋅=.11. 将函数()2cos 13f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象所有的点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则图象()y g x =的一个对称中心为（ ） A. ,06π⎛⎫-⎪⎝⎭B. ,112π⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. ,16π⎛⎫-⎪⎝⎭D. ,112π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】D 【解析】横坐标缩短为原来一半后函数为π2cos 213y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，再向右平移π6后得到()ππ2π2cos 212cos 21633g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.将选项逐一代入验证可知D 选项符合题意.【点睛】本题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数的对称中心等问题. 横坐标缩短为原来一半这个属于伸缩变化，这里要注意就是缩小为原来的一半，x 的系数变为原来的两倍.左右平移时，要注意x 的系数不为1的情况.余弦函数的对称中心即其零点.12. ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O ，且20,OC CB CA OC CB ++== ，则·AC AB =（ ）A.32C. 3D. 【答案】C 【解析】如图所示，由于20OC CB CA ++=，故O 为AB 中点，也即AB 为圆的直径，2AB =.由于12CB OC AB ==，所以π,6A AC ∠==πcos 36AC AB AC AB ⋅=⋅⋅=.【点睛】本题主要考查向量运算的平行四边形法则，考查三角形一边中线的向量表示，由于2CB CA OC +=-，所以O 为AB 中点，也即AB 为圆的直径.这个性质要准确的记忆下来并能数量运用.直径所对的圆周角为直角.在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某校高三（1）班共有48人，学号依次为1,2,3,...,48，现用系统抽样的办法抽取一个容量为6的样本.已知学好为3,11,19,35,43的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为__________． 【答案】27 【解析】依题意可知抽样的间隔为8，故还有一个同学学号为19827+=.14. 如表是降耗技术改造后生产某产品过程中记录产量（吨)与相应的生产能耗（吨标准煤)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆ0.70.3yx =+，那么表中m 的值为__________．【答案】2.8 【解析】由题意得，3456911,424m x y ++++=== ，即数据的样本中心911(,)24m+， 代入回归直线方程，得1190.70.3 2.842m m +=⨯+⇒=. 考点：回归直线方程的应用.15. 若圆22:240C x y x y m +--+=与230x y +-=相交于,M N 两点，且5MN =，则实数m 的值为__________． 【答案】4 【解析】圆心为()1,2，圆心到直线的距离d ==，故圆的半径为2221,15r d r ⎛=+== ⎝⎭，根据圆的半径，有51m -=，解得4m =.16. 若(){}{}(),,0,1,2,2,0,1,1,1AB x y x y a =∈∈-=-，则AB 与a 的夹角为锐角的概率是__________． 【答案】59【解析】AB 的基本事件有()()()()()()()()()0,2,0,0,0,1,1,2,1,0,1,1,2,2,2,0,2,1---，其中使得0AB a ⋅>的有()()()()()()0,2,1,2,1,0,2,2,2,0,2,1---，但()2,2-与a 同向，故排除，所以一共有()()()()()0,2,1,2,1,0,2,0,2,1--等5种，故概率为59. 【点睛】本题主要考查了利用列举法求解古典概型，考查向量的坐标运算，还考查了向量共线，包括同向与反向.在例举基本事件时，要做到不重不漏，本题由于,x y 是点的坐标，有顺序，故基本事件有9种，然后计算0AB a ⋅>，由此可得到符合题意的事件的总数，并求得概率.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知向量()()2,3,1,2a b ==-. （1）求()()·2a b a b -+；（2）若向量a b λ+与2a b -平行，求λ的值.【答案】(1) ()()·27a b a b -+=; (2) 12λ=- 【解析】试题分析：（1）先计算()()3,1,20,7a b a b -=+=，由此求得两者的数量积.（2）先计算()()2,32,25,4a b a b λλλ+=-+-=，利用两个向量共线的性质，可以23254λλ-+=， 解得λ的值. 试题解析： (1)向量()()2,3,1,2a b ==-，()()3,1,20,7a b a b ∴-=+=，()()·27a b a b ∴-+=.(2)()()2,32,25,4a b a b λλλ+=-+-=向量a b λ+与2a b -平行，23254λλ-+∴=，解得12λ=-.18. 已知圆C ：2268210x y x y +--+=.（1）若直线1l 过定点(1,1)A ，且与圆C 相切，求直线1l 的方程；（2）若圆D 的半径为3，圆心在直线2l ：20x y -+=上，且与圆C 外切，求圆D 的方程. 【答案】(1) 1x =和51270x y -+=;(2) ()()22689x y -+-=或()()22119x y ++-= 【解析】试题分析：（1）先求出圆心和半径，然后分成直线斜率存在或不存在两种情况，利用圆心到直线的距离等于半径列方程可求得直线的方程.（2）设出圆D 圆心坐标，利用两圆外切，连心线等于两圆半径的和列方程，可求得a 的值，从而求得圆D 的方程. 试题解析：(1)圆22:68210C x y x y +--+=化为标准方程为()()22344x y -+-=，所以圆C 的圆心为()3,4，半径为2，①若直线1l 的斜率不存在，即直线是1x =，符合题意.②若直线1l 的斜率存在,设直线1l 的方程为()11y k x -=-，即10kx y k --+=.由题意知，圆心()3,4到,已知直线1l 的距离等于半径22=2=，解得512k =，所以，直线方程为51270x y -+=，综上，所求1l 的直线方程是1x =和51270x y -+=. (2) 依题意设(),2D a a +，又已知圆C圆心为()3,4，半径为2，由两圆外切，可知5CD =，5=，解得1a =-或6a =，()1,1D ∴-或()6,8D ，∴所求圆D 的方程为()()22689x y -+-=或()()22119x y ++-=.19. 某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计．按照，，，，的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）．频率分布直方图 茎叶图 （Ⅰ）求样本容量n 和频率分布直方图中x 、y 的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，求所抽取的2名同学来自不同组的概率． 【答案】（Ⅰ）500.030,0.004n x y ===，，; （Ⅱ）1021P = 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据茎叶图易知[)[)506090,100，，组的频数，由频率分布直方图可求[)5060，组的频率，由频率公式mp n=可求样本容量n ，进而求得[]90,100组的频率，从而求得y ，（Ⅱ）在第一问基础上，可求[)8090，组的人数，这样分别用字母表示出[)8090，，[]90,100两组的元素，一一列举出从中任取两两人的所有可能组合，得解．试题解析：（Ⅰ）由题意可知，样本容量8500.01610n ==⨯，20.0045010y ==⨯的（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）有5人，分别为，分数在[90，100）有2人，分别为，共7人，从中任意抽取2个人共有如下21种不同方法 ：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中至少有一个同学的成绩在有11种，所以至少有一个同学的成绩在的概率为．考点：茎叶图，频率分布直方图及古典概型中的概率问题．【方法点晴】本题把茎叶图和频率分布直方图结合起来考查统计问题，很有创意．茎叶图给出了[)5060，的频数，频率分布直方图给出了样本中[)5060，的频率，二者一联系，便得到样本容量n ，其他量的求解就容易多了；求解“至少”“至多”这类问题的概率，可直接求解，也可以间接求解，本题第二问是“从80分以上的人中任取两人”只有两种情况[)8090，，[]90,100，所以直接求解即可．20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点12P ⎫⎪⎪⎝⎭，将向量OP 绕原点O 按逆时针方向旋转x 弧度得到向量OQ . （1）若4x π=，求点Q 坐标；（2）已知函数()·f x OP OQ =，且()·3f f παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，若()0,απ∈，求α的值.【答案】(1) ,44⎛ ⎪ ⎪⎝⎭；(2) 4πα=或12π【解析】试题分析：（1）依题意可知P 点在单位圆上，且对应的角度为π6，故cos ,sin 66P ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，逆时针旋转π4后，角度为ππ64+，根据两角和的余弦和正弦公式，可求得Q 点的坐标.（2）先求得()f x 的表达式为()cos f x x =，由此化简()·3f f παα⎛⎫-=⎪⎝⎭得sin 262πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，进而求得4πα=或12π. 试题解析：(1)由1,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭可得cos ,sin 66P ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1cos cos cos sin sin 64646422224ππππππ⎛⎫+=-=-⨯=⎪⎝⎭，1sin sin cos cos sin 646464222ππππππ⎛⎫+=+=⨯-=⎪⎝⎭∴点Q 的坐标为⎝⎭. (2)由31cos ,sin ,,6622OQ x x OP ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得()31·cos sin cos cos 262666f x OP OQ x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+++=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()21·cos cos cos cos 3322f f ππααααααα⎛⎫⎛⎫∴-=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos211sin 24426απαα+⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，由11sin 2426πα⎛⎫++= ⎪⎝⎭得sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以22,63k k Z ππαπ+=+∈或222,63k k Z ππαπ+=+∈，因为()0,απ∈，所以4πα=或12π. 21. 某单位需要从甲、乙2人中选拔一人参加新岗位培训，特别组织了5个专项的考试，成绩统计如下：（1）根据有关统计知识，回答问题:若从甲、乙2人中选出1人参加新岗位培训，你认为选谁合适，请说明理由；（2）根据有关概率知识，解答以下问题：从甲、乙2人的成绩中各随机抽取一个，设抽到甲的成绩为x ，抽到乙的成绩为y ，用A 表示满足条件2x y -≤的事件，求事件A 的概率.【答案】(1) 派甲适合；(2) 15【解析】试题分析：（1）计算两者成绩的平均数和方差，平均数相等，故选择方差较小的比较稳定.（2）利用列举法列出所有的可能性有25种，其中符合题意的有5种，由此求得概率为15. 试题解析：(1)甲的平均成绩为8182799687855x ++++==甲，乙的平均成绩为9476809085855x ++++==乙，故甲乙二人的平均水平一样. 甲的成绩方差()521137.25i i S x x ==-=∑甲甲，乙的成绩方差()521142.45i i S x x ==-=∑乙乙，22S S ∴<甲乙，故应派甲适合.(2)从甲乙二人的成绩中各随机抽一个，设甲抽到的成绩为x ，乙抽到的成绩为y ，则所有的(),x y 有()()()()()81,94,81,76,81,80,81,90,81,85, ()()()()()82,94,82,76,82,80,82,90,82,85, ()()()()()79,94,79,76,79,80,79,90,79,85, ()()()()()96,94,96,76,96,80,96,90,96,85, ()()()()()87,94,87,76,87,80,87,90,87,85,共25 个，其中满足条件2x y -≤ 的有，()()()()()81,80,82,80,79,80,96,94,87,85,共有5 个，所求事件的概率为51255= . 【点睛】本题主要考查样本均值和方差.考查了利用列举法求解古典概型的方法和策略.平均数相同的情况下，方差越小表示的就是越稳定.在利用列举法求解古典概型的问题时，列举要做到不重不漏，可以考虑利用属性图等知识辅助列举，然后根据题目所求得到符合题意的方法数，由此求得概率. 22. 已知向量()()()2cos ,1,3sin cos ,10a x b x x ωωωω==->，函数()·f x a b =，若函数()f x 的图象与x 轴的两个相邻交点的距离为2π. （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若75,126x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()65f x =-，求cos2x 的值. （3）若()1cos ,0,2x x π≥∈，且()2f x m =有且仅有一个实根，求实数m 的值. 【答案】(1) (),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（3）2m =或1m =-【解析】试题分析：（1）首先化简()2sin 26f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用函数()f x 图象与x 轴的两个相邻交点的距离为2π得到周期为π，由此求得ω的值，即求得函数的表达式，由此求和函数的单调区间.（2）利用（1）的结论的有()62sin 265f x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，即3sin 265x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，由此求得4cos 265x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，利用cos 2cos 266x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭展开后可求得cos2x 的值.（3）先根据1cos 2≥x 求得0,3x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.在同一直角坐标系中作出()2sin 4,6y x g x m π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭两个函数图象，可知2m =或1m =-. 试题解析：(1)函数()2·23sin cos 2cos 1f x a b x x x ωωω==-+ cos22sin 26x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，函数()f x 图象与x 轴的两个相邻交点的距离为2π，2,22T ππωπ∴=∴==，解得1ω=，()2sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，由222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，得2222,33k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.(2)由（1）得()632sin 2,sin 26565f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-∴-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 753,,2,12662x x πππππ⎛⎫⎛⎫∈∴-∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，4cos 265x π⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，cos2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+=---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭431552⎛⎫⎛⎫---⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）()22sin 46y f x x π⎛⎫==-⎪⎝⎭，1cos 2x ≥，且余弦函数在()0,π上是减函数，0,3x π⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦，在同一直角坐标系中作出()2sin 4,6y x g x m π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭两个函数图象，可知2m =或1m =-. 【点睛】本题主要考查利用二倍角公式和降次公式以及辅助角公式化简三角恒等式，考查了三角函数图像与性质，其中包括三角函数的对称轴及单调区间.第二问求解某个角的三角函数值，利用角的变换可以使得运算减少.第三问利用数形结合的思想方法，利用两个函数图像的交点可求得所要的m 的值.。

山东省临沂市2019-2020学年高一下期末学业水平测试数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若直线过点，则的最小值等于（ ）A ．3B ．4C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】 将代入直线方程得到，利用均值不等式得到的最小值.【详解】 将代入直线方程得到当时等号成立故答案选C 【点睛】本题考查了直线方程，均值不等式，1的代换是解题的关键. 2．为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像 A ．向左平移4π个长度单位 B ．向右平移4π个长度单位C ．向左平移2π个长度单位D ．向右平移2π个长度单位【答案】B 【解析】试题分析：记函数(2)6y sin x f x π+=＝（），则函数(2)[2()]3464y sin x sin x f x ππππ-=-+=-＝（）∵函数f （x ）图象向右平移4π单位，可得函数4f x π-（）的图象∴把函数(2)6y sin x π+＝的图象右平移4π单位，得到函数(2)3y sin x π-＝的图象,故选B.考点：函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．3．ABC ∆中，30A ∠=︒，3AB =1BC =，则ABC ∆的面积等于（ ）A B ．4C D 4 【答案】D 【解析】 【分析】先根据余弦定理求AC ，再根据面积公式得结果. 【详解】因为2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，所以22133+2=01AC AC AC AC AC =+--⋅∴=或2，因此ABC ∆的面积等于111sin 1222AB AC A ⋅⋅=⨯=或等于112222⨯=， 选D. 【点睛】本题考查余弦定理与三角形面积公式，考查基本求解能力，属基础题.4．如果圆()()()2210x a y a a -+-=>上总存在点到原点的距离为3，则实数a 的取值范围为( )A ．2⎤⎦B ．C ．⎡⎣D ．⎡⎣【答案】B 【解析】 【分析】将圆上的点到原点的距离转化为圆心到原点的距离加减半径得到答案. 【详解】()()()2210x a y a a -+-=>，圆心为(,)a a 半径为1如果圆()()()2210x a y a a -+-=>上总存在点到原点的距离为3 即圆心到原点的距离[2,4]∈即24a ≤≤⇒≤≤故答案选B 【点睛】本题考查了圆上的点到原点的距离，转化为圆心到原点的距离加减半径是解题的关键. 5．有一个内角为120°的三角形的三边长分别是m ，m+1，m+2，则实数m 的值为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．52【答案】B 【解析】 【分析】由已知利用余弦定理可得2230m m --=，解方程可得m 的值. 【详解】在三角形中，由余弦定理得：()()()22212cos12021m m m m m ︒++-+=+，化简可得：2230m m --=，解得32m =或1m =-（舍）. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题. 6．在等比数列{}n a 中，546、、a a a 成等差数列，则公比q 等于（ ） A ．1 或 2 B ．−1 或 −2C ．1 或 −2D ．−1 或 2【答案】C 【解析】 【分析】设出基本量，利用等比数列的通项公式，再利用等差数列的中项关系，即可列出相应方程求解 【详解】等比数列{}n a 中，设首项为1a ，公比为q ，546,,a a a 成等差数列，4562a a a ∴=+，即3451112a q a q a q =+， (2)(1)0q q ∴+-=2q ∴=-或1q =答案选C 【点睛】本题考查等差数列和等比数列求基本量的问题，属于基础题7．若圆222210x y ax by +-++=的圆心在第一象限，则直线0ax y b +-=一定不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】由圆心位置确定a ，b 的正负，再结合一次函数图像即可判断出结果.因为圆222210x y ax by +-++=的圆心坐标为()a,b -，由圆心在第一象限可得a 0,b 0><，所以直线0ax y b +-=的斜率a 0-<，y 轴上的截距为0b <，所以直线不过第一象限.【点睛】本题主要考查一次函数的图像，属于基础题型.8．直线l 是圆224x y +=在(1,3)-处的切线，点P 是圆22430x x y -++=上的动点，则点P 到直线l 的距离的最小值等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．2【答案】D 【解析】 【分析】先求得切线方程，然后用点到直线距离减去半径可得所求的最小值． 【详解】圆224x y +=在点(1,3)-处的切线为:34l x y -+=，即:340l x y -+-=， 点P 是圆22(2)1x y -+=上的动点， 圆心(2,0)到直线:340l x y -+=的距离313d ==+，∴点P 到直线l 的距离的最小值等于1312d -=-=．故选D ． 【点睛】圆中的最值问题，往往转化为圆心到几何对象的距离的最值问题．此类问题是基础题.9．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =,点O 为AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且90EOF ∠=︒，则EF 的最大值是( )A 43B 5C 32D 7【答案】A 【解析】把线段最值问题转化为函数问题，建立函数表达式，从而求得最值. 【详解】 设BOE x ∠=，1OB =，BC =[]30,60x ∴∈︒︒，1cos OE x =，()11cos 90sin OF x x ==︒-，12sin cos sin2EF x x x ∴===， 3060x ︒≤≤︒，602120x ∴︒≤≤︒，sin21x ≤≤， EF ∴故选A.【点睛】本题主要考查函数的实际应用，建立合适的函数关系式是解决此题的关键，意在考查学生的分析能力及数学建模能力.10．已知三个互不相等的负数a ，b ，c 满足2b a c =+，设11M a c =+，2N b=，则( ) A ．M N > B ．M N ≥C ．M N <D ．M N ≤【答案】C 【解析】 【分析】作差后利用已知条件变形为()22a c abc-，可知为负数，由此可得答案.【详解】 由题知1122a c M N a cb ac b+-=+-=- 22b ac b=- ()22b ac abc-=()()22242a c a c ac abc abc ⎡⎤+-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.因为a ，b ，c 都是负数且互不相等，所以0M N -<，即M N <. 故选：C 【点睛】本题考查了作差比较大小，属于基础题.11．执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P 是A ．8B ．5C ．3D ．2【答案】C 【解析】试题分析：k=1，满足条件k ＜4，则执行循环体，p=0+1=1，s=1，t=1 k=2，满足条件k ＜4，则执行循环体，p=1+1=2，s=1，t=2 k=3，满足条件k ＜4，则执行循环体，p=1+2=3，s=2，t=3 k=4，不满足条件k ＜4，则退出执行循环体，此时p=3 考点：程序框图12．已知函数2()2cos 32f x x x =-，在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，内角A 满足()1f A =-，若6a =ABC 的面积的最大值为（ ） A ．33B ．332C ．34D ．3【答案】B 【解析】 【分析】通过将2()2cos 32f x x x =利用合一公式变为2cos 213x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，代入A 求得A 角，从而利用余弦定理得到b,c,的关系，从而利用均值不等式即可得到面积最大值. 【详解】2()2cos 32f x x x ==cos 23212cos 213x x x π⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭()2cos 211cos 2133f A A A ππ⎛⎫⎛⎫=++=-⇒+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 为三角形内角，则3A π=a =222222cos 2abc bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-=，当且仅当b c =时取等号11sin 62222ABCSbc A =≤⨯⨯=【点睛】本题主要考查三角函数恒等变换，余弦定理，面积公式及均值不等式，综合性较强，意在考查学生的转化能力，对学生的基础知识掌握要求较高. 二、填空题：本题共4小题13．数列{}n a 中，11a =，以后各项由公式2123...n a a a a n ⋅⋅⋅⋅=给出，则35a a +等于_____.【答案】6116【解析】 【分析】可以利用前n 项的积与前1n -项的积的关系，分别求得第三项和第五项，即可求解，得到答案. 【详解】由题意知，数列{}n a 中，11a =，且2123...n a a a a n ⋅⋅⋅⋅=， 则当2n =时，21224a a ⋅==； 当3n =时，212339a a a ⋅⋅==，则12331294a a a a a a ⋅⋅==⋅，当4n =时，21234416a a a a ⋅⋅⋅==； 当5n =时，212345525a a a a a ⋅⋅⋅⋅==，则12345512342516a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅，所以359256141616a a +=+=. 【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式的应用，其中解答中熟练的应用递推关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 14．若扇形的周长是16cm ，圆心角是360π度，则扇形的面积（单位2cm ）是__________.【答案】16 【解析】 【分析】根据已知条件可计算出扇形的半径，然后根据面积公式212S r α=即可计算出扇形的面积. 【详解】设扇形的半径为r cm ，圆心角弧度数为3602180παπ=⋅=， 所以216r r α+=即416r =，所以4r =， 所以2112161622S r α==⨯⨯=. 故答案为：16. 【点睛】本题考查角度与弧度的转化以及扇形的弧长和面积公式，难度较易.扇形的弧长公式：l r α=，扇形的面积公式：21122S lr r α==. 15．若x 、y 满足约束条件24326x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为________.【答案】18 【解析】 【分析】先作出不等式组24326x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩所表示的平面区域，再观察图像即可得解.【详解】解：作出不等式组24326x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩所表示的平面区域，如图所示，由图可得：目标函数3z x y =+所在直线过点14(,4)3M 时，z 取最大值， 即max 1434183z =⨯+=， 故答案为：18 .【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，重点考查了作图能力，属基础题.16．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若要从身高[)120130,，[)130140,，[]140,150三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取18人参加一项活动，则从身高在[]140,150内的学生中抽取的人数应为________.【答案】3 【解析】 【分析】先由频率之和等于1得出a 的值，计算身高在[)120,130，[)130,140，[]140,150的频率之比，根据比例得出身高在[]140,150内的学生中抽取的人数. 【详解】(0.0050.010.020.035)101a ++++⨯=0.03a ∴=身高在[)120,130，[)130,140，[]140,150的频率之比为0.03:0.02:0.013:2:1= 所以从身高在[]140,150内的学生中抽取的人数应为11836⨯= 故答案为：3【点睛】本题主要考查了根据频率分布直方图求参数的值以及分层抽样计算各层总数，属于中档题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。