山东省临沂市罗庄区2017-2018学年高一数学下学期期末考试试题理

山东省临沂市罗庄区2017-2018学年高一数学下学期期末考试试题 理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、考试科目及试卷类型用中性笔和2B 铅笔分别涂写在答题卡上；2.将所有试题答案及解答过程一律填写在答题卡上.试题不交，只交答题卡.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. = 240sin A ．21 B ．21- C ．23 D ．23- 2. 为了得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象A. 向左平移3π个单位长度 B. 向右平移3π个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度 D. 向右平移6π个单位长度 3．平面四边形ABCD 中，0AB CD +=，()0AB AD AC -⋅=，则四边形ABCD 是 A ．矩形 B ．正方形 C ．菱形 D ．梯形4．从1,2，…，9中任取两数，给出下列事件：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．其中是对立事件的是A ．①B ．②④C ．③D ．①③5．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为 A ．40π cm 2B ．80π cm2C ．40 cm 2D ．80 cm 26．在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是A ．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%B ．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%C ．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%D ．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%7．如图所示，程序框图的输出结果是A. 16B. 2524 C. 34 D. 11128. 已知圆错误！未找到引用源。

,在圆错误！未找到引用源。

中任取一点错误！未找到引用源。

， 则点错误！未找到引用源。

的横坐标小于错误！未找到引用源。

的概率为 A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．以上都不对 9．函数sin(2)3y x π=-在区间[,]2ππ-上的简图是10. 已知直线ax y =与圆0222:22=+--+y ax y x C 交于两点B A ,，且CAB 为等边三角形，则圆C 的面积为 A ．49πB ．36πC ．π7D ．π611．已知函数()2sin()1f x x π=-，若1234,,,x x x x 是函数()f x 的四个均为正数的零点，则1234x x x x +++的最小值为A ．7B ．6C ．5D ．412．实数,a b 满足22220a b a b +++=，实数,c d 满足2c d +=，则22()()a c b d -+-的小值是A ．2B ．8 D.第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸给定的横线上. 13．从300名学生(其中男生180人，女生120人)中按性别用分层抽样的方法抽取50人参加比赛，则应该抽取男生人数为____________.14．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝________.15．如图所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA ＝OB ＝1，4AB AC =，则()OC OB OA ⋅-=________. 16.已知(,)2πθπ∈，且3cos()45πθ-=，则tan()4πθ+=______________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程17．（本题满分12分）某种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：（1）求销售额y 的方差； （2）求回归直线方程.(参考数据： ()555221221111145,1350ˆ0,1380,ni i i iii i n i i i i i x y nxyx y x y bx n x =====-====-∑∑∑∑∑.)18．（本题满分12分）已知()()2cos 23sin ,1,cos ,m x x n x y =+=-，且m n ⊥.将y 表示为x 的函数，若记此函数为()f x ，（1）求()f x 的单调递增区间； （2）将()f x 的图象向右平移6π个单位，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在[0,]x π∈上的最大值与最小值.19.（本小题满分12分）某校对高一年级学生寒假参加社区服务的次数进行了统计，随机抽取了错误！未找到引用源。

名学生作为样本，得到这错误！未找到引用源。

名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：的值和频率分布直方图中错误！未找到引用源。

的值，并根据频率分布直方图估计该校高一学生寒假参加社区服务次数的中位数；（2）如果用分层抽样的方法从样本服务次数在错误！未找到引用源。

和错误！未找到引用源。

的人中共抽取6人，再从这6人中选2人，求2人服务次数都在错误！未找到引用源。

的概率. 20．（本题满分12分）已知O 为坐标原点，向量(sin ,1),(cos ,0),(sin ,2)OA OB OC ααα===-，点P 满足AB BP =. （1）记函数()f PB CA α=⋅，求函数()f α的最小正周期； （2）若O ，P ，C 三点共线，求OA OB +的值. 21. （本题满分12分）已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A (－5,0)，直线l ：x －2y ＝0. (1)求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；(2)在直线OA 上（O 为坐标原点），存在定点B （不同于点A ），满足：对于圆C 上任一点P ，都有PBPA为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标． 22. （本题满分10分）已知曲线221:4C x y +=，点N 是曲线1C 上的动点.（1）已知定点(3,4)M -，动点P 满足OP OM ON =+，求动点P 的轨迹方程； （2）设点A 为曲线1C 与x 轴的正半轴交点，将A 沿逆时针旋转23π得到点B ，点N 在曲线1C 上运动，若ON mOA nOB =+，求m n +的最大值．高一理科数学试题参考答案 2017.07一、选择题：DDCCB BDBA D BA二、填空题：13．30 14．－35 15．－12 16. 34-三、解答题： 17.解：（1）计算得245682530406050702505,505555x y ++++++++======……………2分2222221[(3050)(4050)(6050)(5050)(7050)]2005S =-+-+-+-+-=……6分(2),又已知55211145,1380ii i i i xx y ====∑∑，于是可得： ()1221138055506.5145555ˆni i i n ii x y nxybx n x ==--⨯⨯===-⨯⨯-∑∑，…………………………………9分ˆa=y - ˆb 50 6.5517.5x =-⨯=，…………………………………………11分 因此，所求回归直线方程为： ˆy6.517.5x =+.……………………………12分 18.解：（1）由m n ⊥得22cos cos 0m n x x x y ⋅=+-=， .………………1分所以22cos cos 1cos22sin 216y x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭.……2分 由222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， ……3分即函数2sin 216y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦….……4分 （2）由题意知()2sin()16g x x π=-+…………………….……………………………7分 因为5[0,],[,]666x x ππππ∈∴-∈-，……………………………………………………8分故当62x ππ-=时，()g x 有最大值为3；………………………………………………10分 当66x ππ-=-时，()g x 有最小值为0. ………………………………………………11分故函数()g x 在[0,]x π∈上的最大值为3，最小值为0. ….……………………………12分 19.解：（1）∵200.25M ÷=，∴80M =，∴500.62580N ==，…………………2分310.250.6250.050.07540p =---==，……………………………………………3分 10.12558n a ===.………………………………………………………………………4分 中位数位于区间[15,20)，设中位数为（15+x ）， 则0.1250.25x =，∴2x =，故学生参加社区服务次数的中位数为17次.……………………………………………6分 （2）由题意知样本服务次数在错误！未找到引用源。

有20人，样本服务次数在错误！未找到引用源。

有4人，如果用分层抽样的方法从样本服务次数在错误！未找到引用源。

和错误！未找到引用源。

的人中共抽取6人，则抽取的服务次数在错误！未找到引用源。

和错误！未找到引用源。

的人数分别为：错误！未找到引用源。

和错误！未找到引用源。

.…………… 8分记服务次数在错误！未找到引用源。

为错误！未找到引用源。

，在错误！未找到引用源。

的为错误！未找到引用源。

.从已抽取的6人任选两人的所有可能为： 错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

共15种，……………………………………10分设“2人服务次数都在错误！未找到引用源。

”为事件错误！未找到引用源。

，则事件错误！未找到引用源。

包括错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

共10种，所有错误！未找到引用源。

. ………………………………………………………………… 12分 20.解：（1）(cos sin ,1),(,),AB OP x y αα=--=设则(cos ,)BP x y α=-，…………………………………………………………………1分 2cos sin ,1AB BP x a y α==-=-由得，(2cos sin ,1)OP αα=--故.…………………………………………………………2分(sin cos ,1),(2sin ,1)PB CA ααα=-=-，………………………………………3分∴()(sin cos ,1)(2sin ,1)f αααα=-⋅-22sin 2sin cos 1ααα=--…………………………………………………………4分 (sin 2cos2)αα=-+π)4α=+……………………………………………………………………5分∴()πf T α=的最小正周期.…………………………………………………………6分（2）由O ，P ，C 三点共线可得(1)(sin )2(2cos sin )ααα-⨯-=⨯-，………………………………………………7分得4tan 3α=，…………………………………………………………………………………8分 2222sin cos 2tan 24sin 2sin cos 1tan 25ααααααα===++，…………………………………………10分(sin OA OB+===分 21.解：(1)设所求直线方程为y ＝－2x ＋b ，即2x ＋y －b ＝0，……………………………………1分∵直线与圆C 相切，3,=得b =± (2)分∴所求直线方程为2y x =-±.……………………………………………………………………………………4分（2）解法一：假设存在这样的点(,0)B t ， 当P 为圆C 与x 轴左交点(3,0)-时，|3|2PB t PA +=； 当P 为圆C 与x 轴右交点(3,0)时，|3|8PB t PA -=，……………………………………………………………6分 由题意|3||3|28t t +-=，解得5t =-（舍去），或95t =-. 下面证明点9(,0)5B -对于圆C 上任意一点P ，都有PBPA为一常数.………………………………8分 设(,)P x y ，则229y x =-，∴222222222291881()95525(5)10259x y x x x PB PA x y x x x +++++-==+++++-18(517)9252(517)25x x +==+， 故35PB PA =为常数.……………………………………………………………………………………………………………………12分解法二：假设存在这样的点(,0)B t ，使得PBPA为常数λ，则222PB PA λ=, ∴22222()(5)]x t y x y λ-+=++[，将229y x =-代入得22222229(10259)x xt t x x x x λ-++-=+++-，即2222(5)3490t x t λλ++--=对[3,3]x ∈-恒成立，…………………………………………………8分∴22250,3490,t t λλ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩解得3,595t λ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或1,5t λ=⎧⎨=-⎩（舍去）， ∴存在点9(,0)5B -对于圆C 上任一点P ，都有PB PA为常数35.……………………..12分22.解：（1）由 OP OM ON =+得，1MP OP ==，所以点P 在以M 为圆心1为半径的圆上，故点P 的轨迹方程为22(3)(4)1x y ++-=.…………………………5分 （2）设1(1,0),((cos ,sin )2A B Q θθ-. 由OQ mOA nOB =+得1(cos ,sin )((1,0)(2m n θθ=+-得1cos 2sin 2m n n θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，整理得cos m n θ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以cos 2sin(),(0,2)6m n πθθθθπ+=+=+∈故当3πθ=时m n +有最大值2. ………………………………………………10分其它方法酌情给分.。