2020届山东省临沂市高三上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}{}1=2,3,,3aA B a b A B ⎧⎫=⋂=⎨⎬⎩⎭，，则A B =U （ ）A ．1123⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，， B ．113⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，C ．123⎧⎫⎨⎬⎩⎭，D ．1123⎧⎫⎨⎬⎩⎭，， 【答案】A【解析】根据13A B ⎧⎫⋂=⎨⎬⎩⎭得：1133A B ∈∈，，可得1,a =-13b =，最后利用集合的并运算，可得答案. 【详解】因为13A B ⎧⎫⋂=⎨⎬⎩⎭，所以1133A B ∈∈，， 所以1,a =-13b =， 所以11=2,,1,33A B ⎧⎫⎧⎫=-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，所以1123A B ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭=U ，，.故选：A. 【点睛】本题考查元素与集合的关系、集合的并运算，考查对集合概念的理解及基本的运算求解能力.2．函数()ln 21y x =++ ） A ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,22⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．12,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】由对数的真数大于0，被开方数大于等于0，列出关于x 的不等式组，再解不等式得到函数的定义域. 【详解】因为21210,,1,2240,222,x x x x x ⎧+>>-⎧⎪⎛⎤⇒⇒∈-⎨⎨ ⎥-≥⎝⎦⎩⎪-≤≤⎩， 所以函数的定义域为1,22x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦. 故选：B. 【点睛】本题考查函数定义域的求法，即使函数解析式有意义的自变量x 的取值的集合，考查基本运算求解能力.3．设函数()()21,04,0x log x x f x x ⎧-<=⎨≥⎩，则()()233f f log -+=（ ）A ．9B ．11C ．13D ．15【答案】B【解析】根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案. 【详解】 ∵函数2log (1),0()4,0xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩， ∴()2l 23og 2(3)log 3log 44f f -+=+=2+9=11．故选：B ． 【点睛】本题考查函数值的求法，考查指对函数的运算性质，是基础题．4．已知,,a b c 满足a b c >>，且0ac <，那么下列选项中不一定．．．成立的是（ ） A ．ab ac > B ．()0a b c -<C ．22a c b c <D ．()0ac a c -<【答案】C【解析】利用不等式的性质、结合综合法、分析法对选项进行验证. 【详解】因为a b c >>，且0ac <，所以0,0,0a c b c ><->，对A ，若()0ab ac a b c >⇔->显然成立，所以ab ac >，故A 正确； 对B ，因为0,0a b c -><，所以()0a b c -<，故B 正确；对C ，因为0c <，所以2222a c b c a b <⇔>，若5,3,4c a b =-==-，此时22a b >不成立，若5,3,1c a b =-==-，此时22a b >成立，故C 不一定成立； 对D ，因为0ac <，0a c ->，所以()0ac a c -<成立，故D 正确； 故选：C. 【点睛】本题考查不等式性质的运用，求解时注意结合不等式证明的综合法、分析法，可使问题的求解更清晰，考查逻辑推理能力.5．已知向量,a b r r ，满足2,2,1a b a b ==⋅=r r r r ，则向量a r 与b r的夹角的余弦值为（ ）A ．25B ．24C ．23D ．22【答案】B【解析】直接根据向量的夹角公式求得余弦值. 【详解】设向量a r 与b r的夹角为θ，所以4co 2s 22a b a b θ⋅=⋅==r r r r . 故选：B. 【点睛】本题考查向量数量积的定义、向量的夹角公式，考查基本的运算求解能力.6．二十四节气是中国古代的一种指导农事的补充历法，是我国劳动人民长期经验的积累成果和智慧的结晶，被誉为“中国的第五大发明”．由于二十四节气对古时候农事的进行起着非常重要的指导作用，所以劳动人民编写了很多记忆节气的歌谣：春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒．《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影是按照等差数列的规律计算出来的，在下表中，冬至的晷影最长为130．0寸，夏至的晷影最短为14．8寸，那么《易经》中所记录的清明的晷影长应为（ ）A ．77.2寸B ．72.4寸C ．67.3寸D ．62.8寸【答案】D【解析】设冬至的晷影长为等差数列{}n a 的首项1a ，夏至的晷影长为13a ，求出等差数列的公差d ，再求8a 即可得到清明的晷影长. 【详解】设冬至的晷影长为等差数列{}n a 的首项1a ，夏至的晷影长为为13a ， 所以13114.81309.613112a a d --===--，所以8130(81)(9.6)62.8a =+--=. 故选：D. 【点睛】本题考查实际问题的建模，考查等差数列通项公式的应用，求解时要以哪一项为等差数列的首项，防止公差d 求错，考查基本运算求解能力.7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13243,6a a a a +=+=，则8=S （ ） A ．45 B ．81C ．117D ．153【答案】D【解析】利用通项公式得到关于1,a q 的两个方程组，求出1,a q 的值后，直接代入等比数列的前n 项和公式中，求得8S 的值. 【详解】由题意得：21113113,3,56, 2.a a a q a q a q q ⎧⎧=+=⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎩所以883(12)515312S -==-. 故选：D. 【点睛】本题考查等比数列通项公式、前n 项和公式，求解时要注意运算的准确性. 8．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0,2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需将()f x 图象（ ）A ．向右平移4π个单位长度 B ．向左平移4π个单位长度 C ．向右平移12π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度【答案】C【解析】根据函数()f x 的图象求得1,3,4A πωϕ===，再根据左加右减平移变换，要得到()g x 的解析式，观察出如何进行平移变换. 【详解】由题意得：1A =，5223412463T T πππππωω=-=⇒==⇒=， 所以()()sin 3f x x ϕ=+， 所以5553sin 312,121242f k k Z ππππϕϕπ⎛⎫⎛⎫=⋅+=-⇒+=+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为2πϕ<，所以4πϕ=，所以()sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象向右平移12π个单位长度可得：()sin 3()sin 3()124f x x x g x ππ⎛⎫=-+== ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查从三角函数图象提取信息求,,A ωϕ的值，考查“左加右减”平移变换，求解过程中注意是由函数()f x 平移变换到函数()g x ，考查数形结合思想的运用.9．已知()()21sin ,42f x x x f x π⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭为()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用诱导公式对函数解析式进行化简，再利用函数'()f x 的奇偶性及函数'()f x 在原点右边的小邻域内单调递减，即可选出正确答案. 【详解】 因为()21sin 42f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以()21cos 4f x x x =+， 所以'()f x 为奇函数，排除A ，D ；因为'1()sin 2f x x x =-，''1()cos 2f x x =-， 当0)3x π∈（，时，''1()cos 02f x x =-<， 所以'()f x 在0)3π（，内递减. 故选：B. 【点睛】本题考查导数在函数中的应用、诱导公式、奇偶性、单调性的综合运用，求解时要充分利用图象提供的信息，寻找隐含条件，考查逻辑推理能力和运算求解能力.10．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()6,3f x f x y f x +==+为偶函数，若()f x 在(0,3)内单调递减．则下面结论正确的是（ ）A ．()()1210ln 2f f e f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B ．()()12ln 210f e f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．()()12ln 210f f f e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D ．()()12ln 210f f e f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭【答案】A【解析】先得到函数的周期为6，利用()3y f x =+为偶函数，得到()()33f x f x -+=+，将(10)f 化成(2)f ，再比较12,ln 2,2e 的大小关系，最后利用函数的单调性得到()()12ln 2,10,f f f e ⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系.【详解】因为()()6f x f x +=，所以()f x 的最小正周期6T =， 因为()3y f x =+为偶函数，所以()()33f x f x -+=+， 所以(10)(4)(2)f f f ==，因为0ln 21<<，1212e <<，且()f x 在(0，3)内单调递减，所以()()1210ln 2f f e f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题考查函数的周期性、奇偶性、单调性的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时要注意利用函数的性质把自变量的取值都化到同一个单调区间内.二、多选题11．下列命题中，是真命题的是（ ）A ．已知非零向量,a b r r ，若,a b a b +=-r r r r 则a b ⊥r rB ．若():0,,1ln ,p x x x ∀∈+∞->则()000:0,,1ln p x x x ⌝∃∈+∞-≤C ．在ABC ∆中，“sin cos sin cos A A B B +=+”是“A B =”的充要条件D ．若定义在R 上的函数()y f x =是奇函数，则()()y f f x =也是奇函数【答案】ABD【解析】对A ，对等式两边平方；对B ，全称命题的否定是特称命题；对C ，sin cos A A +=sin cos B B +两边平方可推得2A B π+=或A B =；对D ，由奇函数的定义可得()()y f f x =也为奇函数.【详解】对A ，222222220a b a b a b a b a b a b a b +=-⇒++⋅=+-⋅⇒⋅=r r r r r r r r r r r r r r ，所以a b ⊥r r，故A 正确；对B ，全称命题的否定是特称命题，量词任意改成存在，结论进行否定，故B 正确； 对C ，sin cos sin cos 2sin cos 2sin cos sin 2sin 2A A B B A A B B A B +=+⇒⋅=⋅⇒=，所以2A B π+=或A B =，显然不是充要条件，故C 错误；对D ，设函数()()()F x ff x =，其定义域为R 关于原点对称，且()()()()()()()()F x f f x f f x f f x F x -=-=-=-=-，所以()F x 为奇函数，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查向量的数量积与模的关系、全称命题的否定、解三角形与三角恒等变换、奇函数的定义等知识，考查逻辑推理能力，注意对C 选项中sin 2sin 2A B =得到的是,A B 的两种情况.12．设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两个不相等的实数12,x x ，使得()()121222f x f x x x f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，则称函数()f x 具有性质P ，那么下列函数中，具有性质P 的函数为（ ）①()1,00,0x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；②()21f x x =-；③()3f x x x =+；④()2x f x =．A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】ABC【解析】函数()f x 具有性质P ，本质是在图象上找到三个点,,A B C ，且点B 为,A C 中点即可. 【详解】对A ，在函数()f x 图象上取(1,1),(0,0),(1,1)A B C --，有()()()1102f f f -+=成立，故A 正确；对B ，在函数()f x图象上取((0,1),A B C ，有()(02f ff +=成立，故B 正确；对C ，在函数()f x 图象上取(1,2),(0,0),(1,2)A B C --，有()()()1102f f f -+=成立，故C 正确；对D ，因为()2xf x =，()()121212||||||||||1212222222222x x x xx x f x f x x x f +++++⎛⎫=≥=≥= ⎪⎝⎭因为12x x ≠，所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭恒成立，故D 错误. 故选：ABC. 【点睛】本题考查对命题的直接判断，函数与方程的综合应用，将问题转化成找到图象上的三个点，且前后两点关于中间点对称是求解本题的关键，考查数形结合思想的应用. 13．设函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，对于下列4个说法正确的是（ ）A ．在()0,π上存在12,x x ，满足()()122f x f x -=B ．()f x 在()0,π有且仅有1个最大值点C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．ω的取值范围是1319,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】AD【解析】对A 选项，易知最小正周期T π<；对D ，结合伸缩变换先求sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在y 轴右侧的前4个零点，进而得到()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在y 轴右侧的前4个零点，再列出不等式组，即可得ω的范围；对B ，可以把第三个零点与第四个零点的中点坐标求出来，利用选项D 中ω的范围，可得该中点坐标可能在[0,]π内；对C ，根据选项D 中ω的范围，可得6x πω-的范围不在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内. 【详解】对A ，()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，则函数的最小正周期T π<，所以在()0,π上存在12,x x ，使得()()121,1f x f x ==-，所以()()122f x f x -=可以成立，故A 正确；对B ，由D 选项中前4个零点分别是：71319,,,6666ππππωωωω，得0131986623x πππωωω+==，此时083x πω=可使函数()f x 取得最大值，因为1319,66ω∈⎡⎫⎪⎢⎣⎭，所以1681619313πππω<≤，所以()f x 在()0,π可能存在2个最大值点，故B 错误； 对C ，由D 选项中1319,66ω∈⎡⎫⎪⎢⎣⎭，所以176612x πππω-<-<，区间17(,)612ππ-不是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的子区间，故C 错误； 对D ，函数sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在y 轴右侧的前4个零点分别是：71319,,,6666ππππ，则函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在y 轴右侧的前4个零点分别是：71319,,,6666ππππωωωω， 因为()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，所以13,13196,1966,6ππωωππω⎧≤⎪⎪⎡⎫⇒∈⎨⎪⎢⎣⎭⎪>⎪⎩，故D 正确； 故选：AD. 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，对三角函数的中ω对图象的影响作用做了深入的考查，求解时要能灵活地运用伸缩变换，研究函数的图象特征，考查数形结合思想、函数与方程思想，同时要注意懂得先判断D 选项的正确性，再利用ω的范围为判断B ，C 选项服务.三、填空题14．若tan 2α=，则cos 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________．【答案】45-【解析】利用诱导公式、二倍角正弦公式，将目标式子化成关于tan α的表达式，再进行求值； 【详解】 原式=2222sin cos 2tan 4cos 2sin 22sin cos 2sin cos tan 15παααααααααα--⎛⎫+=-=-===- ⎪++⎝⎭. 故答案为：45-. 【点睛】本题考查诱导公式、二倍角正弦公式、同角三角函数的基本关系，考查基本运算求解能力，求解时要灵活地运用1的代换，能使问题的求解更简洁.15．若函数()3231f x x ax x =-++在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则实数a 的取值范围为__________. 【答案】154a ≥【解析】对函数进行求导，利用'()0f x ≤在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立，求得a 的取值范围.【详解】由题意得：'2()323f x x ax =-+， 因为()f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以'()0f x ≤在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立，所以2111()0,3(230,152224(1)0,3230,f a a f a ⎧⎧≤⨯-⨯+≤⎪⎪⇒⇒≥⎨⎨⎪⎪≤-+≤⎩⎩''）. 故答案为：154a ≥. 【点睛】本题考查导数研究函数的单调性，考查二次函数根的分布问题，求解时要注意是'()0f x ≤恒成立，而不是'()0f x <恒成立，考查逻辑推理能力和运算求解能力.16．ABC ∆中，D 为AC 上的一点，满足13AD DC =u u u r u u u r．若P 为BD 上的一点，满足()0,0AP mAB nAC m n =+>>u u u r u u u r u u u r ，则mn 的最大值为_________；41m n+的最小值为_________．【答案】11616 【解析】由13AD DC =u u u r u u u r 得14AD AC =u u ur u u u r ，再,,B P D 三点共线得41m n +=，进而利用基本不等式分别求得mn ，41m n+的最大值和最小值.【详解】 如图所示，由13AD DC =u u u r u u u r 得14AD AC =u u ur u u u r ，所以4AP mAB nAD =+u u u r u u u r u u u r，所以41m n +=()0,0m n >>，所以21141(4)()44216m n mn m n +=⋅≤=，等号成立当且仅当11,28m n ==， 所以mn 的最大值为116.因为414116()(4)816n m m n m n m n m n +=++=++≥，等号成立当且仅当11,28m n ==， 所以41m n+的最小值为16.故答案为：116；16.【点睛】本题以向量为问题背景，考查基本不等式的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时要会用“1”的代换，构造可以利用基本不等式求最值的式子，同时注意验证等号能否成立.17．设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知,,a b c 依次成等比数列，且()1cos cos 2A CB --=，则sinC =___________．【答案】12【解析】根据,,a b c 依次成等比数列得2b ac =，利用正弦定理得2sin sin sin B A C =⋅，利用()B A C π=-+化简()1cos cos 2A CB --=得1cos cos 4A C =，求出23B π=及A C =，最后求得sin C 的值.【详解】因为,,a b c 依次成等比数列， 所以2b ac =，在ABC ∆中，2sin sin sin a b cR A B C===， 所以2sin sin sin B A C =⋅①，因为()()()111cos cos cos cos cos cos 224A C B A C A C A C --=⇒-++=⇒=②，由①-②得：()2211cos sin cos (1cos )44A CB B B +=-⇒-=--，所以1cos 2B =-，因为0B π<<，所以23B π=，则sin B =. 由①+②得：cos()16A C A C π-=⇒==，所以1sin 2C =. 故答案为：12. 【点睛】本题考查等比中项、三角形内角和、诱导公式、三角恒等变换等知识的综合运用，求解时注意两角互补，余弦值是互为相反数，考查逻辑推理能力和运算求解能力，考查转化与化归思想的运用.四、解答题18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且346,20a S ==． (1)求n a ；(2)若12,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值． 【答案】（1）2.n a n =（2）6k =【解析】（1）利用通项公式和前n 项和公式得314126,43420,2a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩求出1,a d ，即可写出通项公式；（2）由等比中项性质得关于k 的一元二次方程，可求出k 的值，并把不符合题意的k 值舍去. 【详解】（1）设公差为d ，则314126,43420,2a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩解得，12,2,a d ==()2122.n a n n ∴=+-⨯=（2）()()()()()2212,22223.2k k k k a k S k k k +++==+⨯+⨯=++Q又12,,k k a a S +成等比数列，()()()22232k k k ∴++=， 2560k k ∴--=，6k ∴=或1k =-，又k *∈N ， 6k ∴=.【点睛】本题考查等差数列通项公式、前n 项和公式、等比中项性质，考查函数与方程思想及基本量法的运用.19．设函数()22sin cos f x x x x ωωω=+的图象关于直线x π=对称，其中ω为常数，且1,12ω⎛⎫∈⎪⎝⎭． (1)求函数()f x 的解析式； (2)若()()1,0,fααπ=∈，求α的值．【答案】（1）()52sin 136f x πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（2）=10πα或710π.【解析】（1）利用降幂公式、辅助角公式得()2sin 216f x x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再根据图象的对称轴求得ω的值，进而得到函数的解析式； （2）根据()1f α=得到关于α的方程，再解三角方程得到α的值.【详解】（1）()22sin cos f x x x x ωωω=+2cos 21x x ωω=-+2sin 216x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.Q ()f x 图象关于直线x π=对称，2,62k k Z πππωπ∴-=+∈.123k ω∴=+，又112ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， 令1k =时，5=6ω符合要求， ∴()52sin 136f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（2）()52sin 11,36f παα⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭Q 5sin 0,36πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭536k παπ∴-=，即3=,510k k Z παπ+∈， ()0,απ∈Q ，∴当0k =时，=10πα；当1k =时，7=10πα； =10πα∴或710π. 【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数图象性质、已知三角函数值求角，考查基本运算求解能力，注意在解题过程中关注ω和角α的范围.20．已知函数()()1ln ,0f x a x a R a x=+∈≠. (1)若曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线与y 轴垂直，求a 的值；(2)若在区间(0,]e 上至少存在一点0x ，使得()00f x <成立，求a 的取值范围． 【答案】（1） 1.a =（2）1a e<-或a e >【解析】（1）先对函数求导，由()10f '=得到a 的值；（2）若在区间(]0,e 上存在0x ，使得()00f x <，问题转化为()f x 在区间(]0,e 上的最小值小于0，再对a 分3种情况讨论. 【详解】解：（1）()1ln ,f x a x x=+Q ()2211,a ax f x x x x-'∴=-= Q 曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线与y 轴垂直，()10,f '∴=()110,f a '∴=-= 1.a ∴=（2）()210,ax f x a x-'=≠Q ，且 令()0f x '=，得1x a=， 若在区间(]0,e 上存在0x ，使得()00f x <，即()f x 在区间(]0,e 上的最小值小于0. ①当10a<，即0a <时，()()00f x '<+∞在，上恒成立， ()f x ∴在区间(]0,e 上的最小值为()1f e a e=+.由10a e+<，得1a e <-.②当10e a<<时，即1a e >，此时，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当1,x e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x∴在区间1 0,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦上的最小值为11ln,f a aa a⎛⎫=+⎪⎝⎭由()11ln1ln0f a a a aa a⎛⎫=+=-<⎪⎝⎭，得a e>.③当1ea≥，即10,ae<≤此时当()0,x e∈上时，()0f x'<恒成立，()f x∴在(0,)e上的最小值为()1f e ae=+，显然1ae+<不成立.综上可知，所求a的取值范围为1ae<-或a e>.【点睛】本题考查函数在某点处的切线方程、利用导数研究函数的单调性，求解时注意曲线在某点处的切线方程与过某点切线方程的区别，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的综合运用，在分类时要找准分类的标准，做到不重不漏.21．如图，在平面四边形ABCD中，3,,244ABC BAC DAC CD ABπ∠=∠=∠==．(1)若20AC=△ABC的面积；(2)若6ADCπ∠=，求AC．【答案】（1）2（2）25AC=【解析】（1）利用余弦定理求出BC的值，再由面积公式得到1sin2ABCS AB BC ABC∆=⋅⋅∠求得△ABC的面积；（2）设BAC CADθ∠=∠=，在ABC∆中利用正弦定理得2sin4ACπθ=⎛⎫-⎪⎝⎭，在ACD ∆中利用正弦定理得4sin sin6ACπθ=，从而得到关于θ的方程2sin cos θθ=，求出θ后，代入AC 的表达式，即可得答案. 【详解】 （1）3,2,4ABC AB AC π∠===Q ， 由余弦定理可得，2222cos ,AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠22044BC BC ∴=++⨯2160,BC ∴+-=BC ∴=BC =-，11sin 22222ABC S AB BC ABC ∆=⋅⋅∠=⨯⨯=. （2）设BAC CAD θ∠=∠=，则04πθ<<，4BCA πθ∠=-，在ABC ∆中，sin sin AC ABABC BCA =∠∠，即23sin sin 44AC ππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭sin 4AC θ∴=- ⎪⎝⎭在ACD ∆中sin sin AC CD ADC CAD=∠∠，即4sin sin 6AC πθ=， 2.sin AC θ∴=2sin sin 4θθ=- ⎪⎝⎭，解得：2sin cos θθ=，又0,sin 4πθθ<<∴=，2sin AC θ∴==【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查函数与方程思想、转化与化归思想，在第（2）问求解时，关键是设出角θ，然后利用正弦定理寻找等量关系，从而得到关于θ的方程，是对函数与方程思想的深入考查.22．某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为80万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚4万元，以后每月增加2万元．如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备(改造设备时间不计)，一方面可以改善环境，另一方面可以大大降低原料成本，据测算，添加回收净化设备并投产后的前4个月中的累计生产净收入g (n )是生产时间n 个月的二次函数2()(g n n kn k =+是常数)，且前3个月的累计生产净收入可达309万元，从第5个月开始，每个月的生产净收入都与第4个月相同，同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励120万元． (1)求前6个月的累计生产净收入g (6)的值；(2)问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造的纯收入． 【答案】（1）630万元（2）经过10个月投资开始见效【解析】（1）由前3个月的累计生产净收入可求得100=k ，第4个月的净收入为()()43107g g -=万元，再根据题意得()()642107g g =+⨯；（2）求出表达式()2100,4,10712, 4.n n n g n n n ⎧+≤=⎨->⎩要想投资开始见效，必须且只需()()150012080422n n g n n n -⎡⎤-+>-+⨯⎢⎥⎣⎦，将分段函数代入不等式解出n 的取值.【详解】解：（1）据题意()2333309g k =+=，解得100.k =()2100.g n n n ∴=+第4个月的净收入为()()43107g g -=万元.()()642107g g ∴=+⨯244002107630=++⨯=万元.（2）()()()()()2100,4,4443,4,n n n g n g n g g n ⎧+≤⎪=⎨⎡⎤+-->⎪⎣⎦⎩ 即()2100,4,10712, 4.n n n g n n n ⎧+≤=⎨->⎩ 要想投资开始见效，必须且只需()()150012080422n n g n n n -⎡⎤-+>-+⨯⎢⎥⎣⎦， 即()2773800g n n n +-->，①当1,2,3,4n =时，22100773800,n n n n ++-->即22233800,n n +->即()223380n n +>，显然不成立. ②当4n >时，210712773800n n n -+-->，即2303920n n +->，即()30392n n +>， 验算得10n ≥时，()30392n n +>， 所以，经过10个月投资开始见效. 【点睛】本题考查分段函数与二次函数的实际应用，考查对实际问题的建模能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想的综合运用.在求解关于n 的不等式时，可以灵活运用代入法判断不等式的解.23．已知()()()5,ln 2x e f x g x x x x ==-．(1)当0x >时，证明：()()f x g x >；(2)已知点()()(),sin ,cos P x xf x Q x x -，点，若O 为坐标原点，设函数()h x OP OQ =⋅u u u r u u u r ，当,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，试判断()h x 的零点个数．【答案】（1）证明见解析（2）零点个数为2【解析】（1）构造函数()()()()5ln 2x e x f x g x x x x ϕ=-=--，利用导数证明()x ϕ的最小值大于0，从而证明不等式成立；（2）求出函数()sin cos x h x x x e x =-，对区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦分成四种情况讨论，并利用零点存在定理、结合函数的单调性判断零点的情况.【详解】（1）令()()()()5ln 2x e x f x g x x x x ϕ=-=--. 则()()2512.x e x x x x ϕ⎛⎫-- ⎪⎝⎭'= 令()5,0,2x G x e x x =-> 则()5,2xG x e '=- 由()0G x '>，得5ln 2x >， 由()0G x '<，得5ln 2x <<0， ()G x ∴在50ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减，在5ln ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增， ()555555ln ln 1ln 0222222G x G ⎛⎫⎛⎫∴≥=-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 502x e x ∴->在()0+∞，上恒成立， ()x ϕQ 在()01，递减，在()1+∞，递增， ()()510,2x e ϕϕ∴≥=-> ()()f x g x ∴>.（2）Q 点()(),P x xf x ，点()sin cos Q x x -，， ()(,)(sin ,cos )sin cos x x h x OP OQ x e x x x x e x ∴=⋅=⋅-=-u u u r u u u r ， ()()()1sin cos ,x x h x e x x e x '∴=++-①当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，可知,0x x e x x e >∴-<，又sin 0,cos 0,x x ≤≥()()0,h x h x '∴<在02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，单调递减， ()01,022h h ππ⎛⎫=--=> ⎪⎝⎭. ()h x ∴在02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上有一个零点。
